第一篇：3.2勾股定理的“無字證明”

學英語報社http://全新課標理念，優質課程資源 ·勾股定理的“無字證明”

·教學目標

知識目標: 了解勾股定理的“無字證明”法，能通過拼圖并根據面積等驗證勾股定。能力目標: 通過拼圖活動，嘗試驗證勾股定理，培養學生的動手實踐和創新能力。情感目標: 讓學生經歷查詢資料、自主探究、合作交流、觀察比較、計算推理、動手

操作等過程，獲得一些研究問題的方法，取得成功和克服困難的經驗，培

養學生良好的思維品質，增進他們數學學習的信心。

· 教學重點: 了解勾股定理的“無字證明”法，分析和欣賞幾種常見的驗證勾股定理的方法。

·教學難點:通過拼圖，探求驗證勾股定理的“無字證明”法。

·教學方法:啟發、合作交流和直觀演示。

·教學過程:

（一）創設情境，引入新課

在精彩的幾何學世界中，有著無數條定理，畢達哥拉斯定理（勾股定理）是其中最耀眼的一個。畢達哥拉斯定理被發現到至今已有五千多年的歷史了，其證明方法至少有370多種，其中包括大物理學家愛因斯坦和大畫家達?芬奇及美國總統詹姆士??阿?加菲爾德（James Abram Garfield,1831–1881）的證法.這真是科學史上的一大奇跡！它是人類科學發現中的一條基本定理，對科技的進步起了不可估量的作用。

在勾股定理的學習過程中，我們已經學會運用以下圖形，驗證著名的勾股定理：

整個大正方形的面積可以表示為里面小正方形的面積與四邊上的４個直角三角形的面積之和，即為

(a+b)

由此可以推出勾股定理

a+b=c。

注意：這種根據圖形可以極其簡單地直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無優課軒資源網http://未經授權，本站資源禁止用于任何商業目的 2222=c+4（21ab），2學英語報社http://全新課標理念，優質課程資源 字證明”。

對于勾股定理，我們還可以找到一些用于“無字證明”的圖形．昨天已布置同學們，查閱課本和其他有關書籍，上網查詢各種相應的資料，現在我們進行交流。

（二）自主探索、合作交流

方法二： 整個大正方形的面積可以表示為里面小正方形的面積與四邊

上的４個直角三角形的面積之和，即為

(a-b)

由此可以推出勾股定理

a+b=c．

方法三：美國總統詹姆士??阿?加菲爾德的證法

如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A=90,E是AB上一

點,AE=BC=a,EB=AD=b，梯形的面積SABCD=S△AED+S△EBC+S△DCE b+ 4（12ab）=c, 2222?DC11?（BC+AD）?AB=?(a+b)?(a+b)2

211S△AED=?AE?AD=?a?b 22

11S△EBC=?EB?BC=?a?b 22

11S△DCE=?DE?EC=?c2 22

11112 于是?(a+b)?(a+b)=?a?b+ ?a?b+?c222 2

222 化簡成：a+2?a?b+b=2?a?b+ c而SABCD=AEB

即：a2+b2= c2,由此證明了畢達哥拉斯定理。

方法四：劉徽的“出入相補法”

約公元 263 年，三國時代魏國的數學家劉徽為古籍《九章算

術》作注釋時，用“出入相補法”證明了勾股定理.如圖，證明

時不需用任何數學符號和文字，更不需進行運算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現，整個證明單靠移動幾塊圖形而得出，被

稱為最美的“無字證明”法。

（三）自我評價、形成知識

我最大的收獲；

我表現較好的方面；

我學會了哪些知識；

我還有哪些疑惑。

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第二篇：勾股定理的“無字證明”學案的

勾股定理的“無字證明”學案

一、學習內容：P64頁課題學習

二、學習目標：

1、會利用圖形的移、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，即利用數形結合的方法來驗證勾股定理。

2、通過以形證數的方法體會“數形結合”和“幾何變換”的數學思想方法。

三、學習過程與指導：(一)回憶：勾股定理的內容：

(二)導入新課：怎樣用幾何圖形證明勾股定理表達式呢？(三)自學課本P64頁課題學習自學指導：

1、什么叫“無字證明”？

2、搜集課本和其他有關書籍中，利用有趣圖形證明勾股定理的實例。

四、檢測：

結合以下圖形，說明證明勾股定理的方法，寫出證明過程。

1、證明：

2、證明：

3、證明：

4、證明：

五、討論：

1、無字證明的思想方法；

2、P58頁做一做的拼圖方法。

六、教師講解：

1、質疑：針對測中的疑難問題講解；

2、無字證明的實質：

七、悟：

1、根據下圖提示，寫出勾股定理無字證明：

2、結合以下圖形寫出無字證明表達式：

15.2 圖形的旋轉

一、學習目標：

1、理解什么是圖形的旋轉，明確決定圖形旋轉后位置的要素。

2、通過觀察、實驗能準確辯認旋轉后圖形與原圖形的對應元素

3、結合生活實際，體會數學的美學價值。

二、學習重點與難點：

1、重點：決定圖形旋轉的因素，及旋轉圖形之間的對應關系。

2、難點：對旋轉中心在圖形外的某個點的旋轉圖形的認識。

三、學習過程與指導：(一)自學課本P72—P74 自學指導：

1、什么是圖形的旋轉？你能用自己的話說明嗎？

2、決定圖形的旋轉的要素有哪些？因此描述圖形旋轉時必須要

3、思考P73中的相關問題。

4、圖2.4與圖2.5的旋轉中心有何不同？(二)檢測：

1、P74頁練習2、3

2、填空：

⑴圖形的旋轉是由_________、_________和_________決定的。⑵如圖，△ABC與△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠E都是直我，若△ABC經旋轉后能與 △BDE重合，那么旋轉中心是點________，旋轉了 _______度。

⑶如圖，正方形ABCD中，P為正方形ABCD 內一點，△ABP經過旋轉后到達△BCQ的位置，那么旋轉中心是點________，旋轉了________度，若M是AB的中點，則旋轉后點M到_______位置。

4、如圖，等邊△ABC繞點C順時針旋轉120°得△DEC，那么點A的對應點是_________，線段BC的對應線段是_______，線段AB的對應線段是__________，∠B的對應角是，旋轉中心是_________。

(三)議：

1、針對測中的問題；

2、旋轉中心的位置有哪幾種情況？(四)教師講解：

1、旋轉要說明旋轉中心，旋轉的角度，旋轉的方向。

2、旋轉要學會用運動的觀點看問題。

3、注意旋轉中心的位置。(五)悟：作業：P78頁2、3題的位置及大小關系。交待什么？

第三篇：如何證明勾股定理

如何證明勾股定理

勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因為這個定理太貼近人們的生活實際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統都愿意探討和研究它的證明．下面結合幾種圖形來進行證明。

一、傳說中畢達哥拉斯的證法（圖1）

左邊的正方形是由1個邊長為的正方形和1個邊長為的正方形以及4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。右邊的正方形是由1個邊長為的正方形和4個直角邊分別為、，斜邊為的直角三角形拼成的。因為這兩個正方形的面積相等(邊長都是)，所以可以列出等式，化簡得。

在西方，人們認為是畢達哥拉斯最早發現并證明這一定理的，但遺憾的是，他的證明方法已經失傳，這是傳說中的證明方法，這種證明方法簡單、直觀、易懂。

二、趙爽弦圖的證法（圖2）

第一種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的直

角三角形圍在外面形成的。因為邊長為的正方形面積加上4個直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

第二種方法：邊長為的正方形可以看作是由4個直角邊分別為、，斜邊為 的角三角形拼接形成的（虛線表示），不過中間缺出一個邊長為的正方形“小洞”。

因為邊長為的正方形面積等于4個直角三角形的面積加上正方形“小洞”的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法很簡明，很直觀，它表現了我國古代數學家趙爽高超的證題思想和對數學的鉆研精神，是我們中華民族的驕傲。

三、美國第20任總統茄菲爾德的證法（圖3）

這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因為3個直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式，化簡得。

這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡潔，它在數學史上被傳為佳話。

第四篇：勾股定理 專題證明

勾股定理 專題證明

1.我們給出如下定義：若一個四邊形中存在一組相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊。

(1)寫出你所學過的特殊四邊形中是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：----------，----------；

(2)如圖1，已知格點(小正方形的頂點)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)請你畫出以格點為頂

點，OA,OB為勾股邊且對角線相等的兩個勾股四邊形OAMB ；

(3)如圖2，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉60°，得到 △DBE，連結AD,DC,∠DCB=

30°。寫出線段DC,AC,BC的數量關系為----------------；

2.（1）如圖1，已知∠AOB，OA＝OB，點E在OB邊上，四邊形AEBF 是平行四邊形，請你只用無刻度的直尺在圖中畫出∠AOB的平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）

（2）如圖2，10×10的正方形網格中，點A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（－1，3），①依次連結A、B、C、D四點得到四邊形ABCD，四邊形ABCD的形狀是------------；

②在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最短（直接畫出圖形，不要求寫作法）；

此時，點P的坐標為------------，最短周長為------------------；

3.如圖正方形ABCD ,E 為AD邊上一點，F為CD邊上一點，∠FEA=∠EBC,若AE= kED, 探究DF與CF的數量關系；

4.如圖1 等腰直角 △ABC，將 等腰直角△DMN如圖 放置，△DMN的斜邊MN與△ABC的一直角邊AC重合.⑴ 在圖1中，繞點 D旋轉△DMN，使兩直角邊DM、DN分別與 交于點E，F如圖2，求證：AE2+BF2=EF2 ；

⑵ 在圖1 中，繞點 C旋轉△DMN，使它的斜邊CM、直角邊 CD的延長線分別與 AB交于點E，F，如圖3，此時結論AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.⑶ 如圖4，在正方形 ABCD中，E、F 分別是邊BC、CD 上的點且滿足△CEF 的周長等于正方形ABCD 的周長的一半，AE、AF 分別與對角線 BD交于點M、N.線段BM、MN、DN 恰能構成三角形.請指出線段BM、MN、DN 所構成的三角形的形狀，并給出證明；

5.將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形ABCD（AB＜BC）的對角線的交點O旋轉（如圖①②③），圖中的M、N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點，⑴如圖①三角板一直角邊與OD重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑵如圖②三角板一直角邊與OC重合，則線段BN、CD、CN間的數量關系為-----------------------；

⑶如圖③，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

④若將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉到圖④，兩直角邊與AB、BC分別交于M、N，探究線段BN、CN、CM、DM間的數量關系，寫出你的結論，加以說明；

6.如圖，四邊形ABCD, AD∥BC，AD≠BC，∠B=90°，AD=AB ,點E是AB邊上一動點(點E不與點A、B重合)，連結ED，過ED的中點F作ED的垂線，交AD于點G,交BC于點K,過點K作KM⊥AD于M．若AB=k AE , 探究DM與DG 的數量關系；（用含 的式子表示）．

第五篇：勾股定理證明

勾股定理證明

直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高（約公元前1120年）答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”因此，勾股定理在中國又稱“商高定理”。在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。

以下即為一種證明方法：

如圖，這個直角梯形是由2個直角邊分別為、，斜邊為 的直角三角形和1個直角邊為的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c2）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c2=a2+b2，即在直角三角形中，斜邊長的平方等于兩直角邊的平方和

初二十四班秦煜暄