第一篇：廈大《數學分析》教學大綱

數學分析教學大綱

一、集合映射與函數(12學時)

實數概念、絕對值不等式、區間與鄰域、有界集、確界與確界原理、函數概念、函數的幾種表示法（解析法、列表法和圖像法等），函數的四則運算、復合函數、反函數、基本初等函數、初等函數。具有某些特性的函數（有界函數、單調函數、奇函數與偶函數、周期函數）。

二、數列極限(12學時)

數列、數列極限的 定義，收斂數列——唯一性、有界性、保號性、不等式性、夾逼性、四則運 算，單調有界數列極限存在定理。柯西準則，重要極限

三、實數的完備性（14學時）。

區間套定理，數列的柯西（Cauchy）收斂準則，聚點原理，有界數列存在收斂子列，有限覆蓋定理，閉 區間上連續函數性質的證明。實數完備性基本定理的等價性 *，上極限和下極限 *。

四、函數極限(16學時)

函數極限。定義，定義，單側極限，函數極限的性質——唯一性、局部有界性、局部保號性、不等式性、夾逼性、四則運算、Heine 定理。函數極限的柯西準則。兩個重要的極限公式，無窮小量、無窮大量及其階的比較，記號 o，O，非正常極限，漸近線。

五、函數的連續性(14學時)

函數在一點的連續性、單側連續性、間斷點及其分類。在區間上連續的函數，連續函數的局部性質——有界性、保號性。連續函數的四則運算。復合函數的連續性。閉區間上連續函數的性質——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致連續性、反函數的連續性，初等函數連續性。

六、導數和微分(16學時)

引入問題（切線問題與瞬時速度問題）。導數定義，單側導數、導函數、導數的幾何意義、費馬(Fermat)定理。和、積、商的導數、反函數的導數、復合函數的導數、初等函數的導數、參變量函數的導數、高階導數、微分概念、微分的幾何意義、微分的運算法則、一階微分形式不變性、微分在近似計算中的 應用，高階微分。

七、微分中值定理及其應用（24學時）

柯西（Cauchy）中值定理，不定式極限，洛比達（L'Hospital）法則，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亞諾余項與拉格朗日余項）。近似計算，極值、最大值與最小值。曲線的凸凹性。拐點，函數圖的討論。方程近似解 *。

八、不定積分（12學時）

原函數與不定積分概念，基本積分表，線性運算法則，換元積分法、分部積分法，有理函數積分法，三角函數有理式的積分法，幾種簡單無理根式的積分。

九、定積分（18學時）

引入問題（曲邊梯形面積與變力作功）。定積分定義，定積分的幾何意義，牛頓——萊布尼茨公式，可積的必要條件，可積的充要條件，可積函數類。定積分性質——線性運算法則、區間可加性、不等式性質、絕對可積性，積分中值定理，微積分學基本定理。換元積分法，分部積分法，泰勒公式的積分型余項。上和與下和的性質 *。

十、定積分的應用（10學時）

簡單平面圖形面積。有平行截面面積求體積，曲線的弧長與微分、曲率 *。微元法、旋轉體體積與側面積，物理應用（液體靜壓力、引力、功、平均功率等）。定積分近似計算 *。

十一、反常積分（14學時）

無窮限反常積分概念、柯西準則，線性運算法則，絕對收斂、無窮限反常積分收斂性判別法：比較判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。無界函數反常積分概念，無界函數反常積分收斂性判別法。

十二、數項級數（12學時）

級數收斂與和的定義，柯西準則，收斂級數的基本性質，正項級數比較原則。比式判別法與根式判別法、積分判別法、拉貝（Raabe）判別法 *。一般項級數的絕對收斂與條件收斂，交錯級數，萊布尼茨判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法。絕對收斂級數的重排定理。

十三、函數列與函數項級數（14學時）

函數列與函數項級數的收斂與一致收斂概念，一致收斂的柯西準則。函數項級數的維爾斯特拉斯（Weierstrass）優級數判別法，狄利克雷（Dirichlet）判別法，阿貝爾（Abel）判別法，函數列極限函數與函數項級數和的連續性、逐項積分與逐項求導。

十四、冪級數（12學時）

冪級數的收斂半徑與收斂區間，一致收斂性、連續性、逐項積分與逐項求導，冪級數的四則運算。泰勒級數、泰勒展開的條件，初等函數的泰勒展開、近似計算、復變量指數函數與歐拉（Euler）公式 *。

十五、Euclid空間上的極限和連續（14學時）

平面點集概念（鄰域、內點、界點、開集、閉集、開域、閉域），平面點集的基本定理——區域套定理、聚點原理、有限覆蓋定理。

二元函數概念。二重極限、累次極限，二元函數的連續性、復合函數的連續性定理、有界閉域上連續函數的性質。

十六、多元函數的微分學（32學時）

偏導數及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應用，復合函數的偏導數與全微分，一階微分形式不變性，方向導數與梯度，混合偏導數與其順序無關性，高階導數，高階微分，二元函數的泰勒定理，二元函數的極值。隱函數定理及其應用，隱函數求導，隱函數組概念、隱函數組定理、隱函數組求導、反函數組與坐標變換，條件極值與拉格朗日乘數法。

十七、重積分（20學時）

二重積分定義與存在性，二重積分性質，二重積分計算（化為累次積分）。二重積分的換元法（極坐標與一般變換）。

三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標、球坐標與一般變換）。

重積分應用（體積，曲面面積，重心、轉動慣量、引力等）。

反常重積分 *。

無界區域上的收斂性概念 *。無界函數反常二重積分 *。

十八、曲線積分與曲面積分（26學時）

第一型和第二型曲線積分概念與計算，兩類曲線積分的聯系 *。

曲面的側。第一型和第二型曲面積分概念與計算，格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關條件。高斯公式。斯托克斯公式。

十九、場論初步 *（場的概念、梯度場、散度場、旋度場、管量場與有勢場）。

二十、含參量積分（14學時）

含參量積分概念、連續性、可積性與可微性，積分順序的交換。

含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則。維爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法。連續性、可積性與可微性，積分順序的交換 *，T函數與B函數。

二十一、傅里葉（Fourier）級數（14學時）

三角級數、三角函數系的正交性、傅里葉（Fourier）級數，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼——勒貝格定理，按段光滑且以2?為周期的函數展開，傅里葉級數的收斂定理，以2L為周期的函數的傅里葉級數，奇函數與偶函數的傅里葉級數，收斂定理的證明。

實施本大綱是說明：

1． 陳紀修等編寫的數學分析上下冊，是面向21世紀課程教材，本教學大綱以此教材為藍本來制定。本課程是進一步學習復變函數論、微分方程、微分、概率論、實數函數與泛函分析等后繼課程的先修基礎課程。

2． 本課程總教學時數為342學時，其中講授課與習題課之比大約為2：1（括號內的時數包括習題課時數）。

3． 在不影響基本要求的情況下，本大綱所列各單元講授順序和時數安排，可作適當調整。

4.本大綱列入帶*號的內容供選學。

第二篇：數學分析教學大綱..

數學分析課程教學大綱

一、課程說明

1、課程性質

本課程是數學與應用數學專業的專業基礎核心課程，是從初等數學到高等數學過渡的橋梁，是學生學習數學與應用數學專業其它后繼課程的重要基礎。掌握這門課程的基本理論和基本方法，對于學習本專業基礎課和專業課以及進一步學習、研究和應用都是至關重要。數學分析以極限為基本思想和基本運算研究實變實值函數。主要研究微分和積分兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數, 并依據這些運算引進并研究一些非初等函數。數學分析基本上是連續函數的微積分理論。

2、教學目的與要求和要求

數學分析是數學與應用數學專業的一門主干基礎課和必修課，本課程的目的是為后繼課程提供必要的知識，同時通過本課程的教學，鍛煉和提高學生的思維能力，培養學生掌握分析問題和解決問題的思想方法。本課程不僅對許多后繼課程的學習有直接影響，而且對學生基本功的訓練與良好素質的培養起著十分重要的作用。

本課程學習經典數學分析的基本知識，包括極限論、一元微積分學、級數論和多元微積分等基本內容，并用“連續量的演算體系及其數學理論”的觀點統率整個體系。在教學上要求學生能掌握四個基本方面，即基本概念、基本理論、基本方法和基本技巧。在教學基本要求上分為三個檔次，即牢固掌握、一般掌握和一般了解。

牢固掌握：基本概念明確，能聯系幾何與物理的直觀背景，并能從正反兩方面進行理解（極限論、一元微積分學和級數論的概念按此要求）；基本理論較扎實，具有較好的推理論證和分析問題的能力（極限論、一元微積分學和級數論的理論一般按此要求，但實數理論和定積分可積性理論除外）；基本方法較熟練，具備較好的運算和解決應用問題的能力，并能較靈活地運用基本技巧（本課程的一般方法和技巧按此要求，但含參變量積分的方法和技巧除外）。

一般掌握：對基本概念一般只要求能從正面理解（廣義積分和多元微積分學的概念按此要求）；對基本理論一般要求能應用和了解如何證明（實數理論、定積分可積性理論和多元微積分學的理論按此要求）；對基本方法一般要求能掌握運用，但不要求很熟練和技巧性（含參變量積分的方法按此要求）。

一般了解：對基本理論只要求能應用，不要求掌握證明方法（隱函數存在定 1 理、重積分一般變量替換公式和富里埃級數收斂性理論按此要求）；對基本方法一般要求會做，不要求靈活技巧（如果講授本大綱中的選講內容，則按此要求）。

3、先修課程和后繼課程

先修課程：初等數學，包括：代數，三角，立體幾何，平面解析幾何。后繼課程：常微分方程，復變函數，實變函數，泛函分析。

4、教課時數分配

5、使用教材

《數學分析》第四版上、下冊，華東師范大學數學系主編，高等教育出版社，2001年6月。

6、教學方法與手段

本課程以黑板講授、學生自學、精講精練相結合的教學方法為主，個別章節輔之以多媒體教學手段或數學實驗手段。

在教學過程中，應當積極開展對教學要點與知識點與課程體系、教學方法與教學手段的改革，認真總結經驗，并將教學改革的成果逐步吸收到教學中來，不斷提高教學質量。要不斷更新教學要點與知識點，逐步實現教學要點與知識點的現代化；要加強不同數學分支間的相互結合和相互滲透，進行課程和內容的重組；要突出數學思想方法的教學，加強數學應用能力的培養，注重運算技巧的訓練；要尊重個性，發揮特長，探索現階段因材施教的新方法、新模式；要不斷探索以學生為主體有利于調動學生自主學習積極性的啟發式、討論式、研究式的教學方法；要積極采用現代教育技術手段，使傳統的教學手段與現代教學手段相互結合，取長補短。

7、考核方式

本課程采用閉卷考試形式。

8、主要參考書目

《數學分析講義》(第四版)，劉玉璉主編，高等教育出版社，2003年。

二、課程內容

第一章 實數集與函數（14課時）

第一節 實數（2課時）

1、教學目的與要求：掌握實數的基本概念和最常見的不等式，以備以后各章應用．

2、教學要點與知識點：實數的基本性質和絕對值的不等式,實數的有序性，稠密性，阿基米德性．實數的四則運算．

3、教學重點與難點：用無限小數統一表示實數的意義及引入不足近似值與過剩近似值的作用．

第二節 數集.確界原理（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握實數的區間與鄰域概念；分清最大值與上確界的聯系與區別；結合具體集合，能指出其確界；能用一種方式，證明集合 A的上確界為 ?．即：

?x?A,x??, 且 ?a??,?x0?A,x0?a；

或 ?x?A,x??, 且 ???0,?x0?A, x0????．

(2)較高要求：掌握確界原理的證明，并用確界原理認識實數的完備性．掌握實數的區間與鄰域概念，掌握集合的有界性和確界概念．

2、教學要點與知識點：

實數的區間與鄰域；集合的上下界，上確界和下確界；確界原理．

3、教學重點與難點：

(1)此節重點是確界概念和確界原理．不可強行要求一步到位，對多數學生可只布置證明具體集合的確界的習題．

(2)此節難點亦是確界概念和確界原理．對較好學生可布置證明抽象集合的確界的習題．

第三節 函數概念（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握函數的定義與表示法；理解復合函數與反函數；懂得初等函數的定義，認識狄利克萊函數和黎曼函數．

(2)較高要求：函數是一種關系或映射的進一步的認識．掌握函數概念和不同的表示方法．

2、學要點與知識點：函數的定義與表示法；復合函數與反函數；初等函數．

3、教學重點與難點：通過狄利克萊函數和黎曼函數，使學生對函數的認識從具體上升到抽象．

第四節 具有某些特性的函數（4課時）

1、教學目的與要求：掌握函數的有界性，單調性，奇偶性和周期性．

2、教學要點與知識點：有界函數，單調函數，奇函數，偶函數和周期函數．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是通過對函數的有界性的分析，培養學生了解研究抽象函數性質的方法．

(2)本節的難點是要求用分析的方法定義函數的無界性．對較好學生可初步教會他們用分析語言表述否命題的方法．

第二章 數列極限（12課時）

第一節 數列極限概念（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：理解數列極限的分析定義，學會證明數列極限的基本方法，懂得數列極限的分析定義中 ?與 N的關系．

(2)較高要求：學會若干種用數列極限的分析定義證明極限的特殊技巧．掌握數列極限概念。

2、學要點與知識點：數列極限．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是數列極限的分析定義，要強調這一定義在分析中的重要性．具

lim1?0limnn??a?0nk； ；(|a|?1)，然后教會他們用這體教學中先教會他們證明 n??些無窮小量來控制有關的變量（適當放大但仍小于這些無窮小量）．

(2)本節的難點仍是數列極限的分析定義．對較好學生可要求他們用數列極限的分析定義證明較復雜的數列極限，還可要求他們深入理解數列極限的分析定義．

第二節 數列極限的性質（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：理解數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則，并會用其中某些性質計算具體的數列的極限．

(2)較高要求：掌握這些性質的較難的證明方法，以及證明抽象形式的數列極限的方法．掌握數列極限的主要性質，學會利用數列極限的性質求數列的極限．

2、學要點與知識點：數列極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則和數列的子列及有關子列的定理．

3、教學重點與難點：(1)本節的重點是數列極限的性質的證明與運用．可對多數學生重點講解其中幾個性質的證明，多布置利用這些性質求具體數列極限的習題．

(2)本節的難點是數列極限性質的分析證明．對較好的學生，要求能夠掌握這些性質的證明方法，并且會用這些性質計算較復雜的數列極限，例如：

第三節 數列極限存在的條件（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握單調有界定理的證明，會用單調有界定理證明數列極限的存

1lim(1?)nn存在的證明．理解柯西收斂準則的直觀意義． 在性，其中包括 n??n??limnn?1．

(2)較高要求：會用單調有界定理證明數列極限的存在性，會用柯西收斂準則判別抽象數列（極限）的斂散性．

2、教學要點與知識點：單調有界定理，柯西收斂準則．

3、教學重點與難點：

（1)本節的重點是數列單調有界定理．對多數學生要求會用單調有界定理證明數列極限的存在性．

(2)本節的難點是柯西收斂準則．要求較好學生能夠用柯西收斂準則判別數列的斂散性．

第三章 函數極限（16課時）

第一節 函數極限概念（2課時）

?x?xx?xx???x???0x??0；

1、教學目的與要求：掌握當 ； ； ； ；

?x?x0時函數極限的分析定義，并且會用函數極限的分析定義證明和計算較簡單的函數極限．掌握各種函數極限的分析定義，能夠用分析定義證明和計算函數的極限．

2、學要點與知識點：各種函數極限的分析定義．

3、教學重點與難點：本節的重點是各種函數極限的分析定義．對多數學生要求主要掌握當 x?x0時函數極限的分析定義，并用函數極限的分析定義求函數的極限．

第二節 函數極限的性質（2課時）

1、教學目的與要求：

5(1)基本要求：掌握函數極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則，并會用這些性質計算函數的極限．

(2)較高要求：理解函數極限的局部性質，并對這些局部性質作進一步的理論性的認識．掌握函數極限的性質．

2、教學要點與知識點：函數極限的唯一性，有界性，保號性，保不等式性，迫斂性，四則運算法則．

3、教學重點與難點：

（1）本節的重點是函數極限的各種性質．由于這些性質類似于數列極限中相應的性質，可著重強調其中某些性質與數列極限的相應性質的區別和聯系．

（2）本節的難點是函數極限的局部性質．對較好學生，要求懂得這些局部的 ?（的大小）不僅與 ?有關，而且與點 x0有關，為以后講解函數的一致連續性作準備．

第三節 函數極限存在的條件（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握函數極限的歸結，理解函數極限的柯西準則．(2)較高要求：能夠寫出各種函數極限的歸結原理和柯西準則．

(3)函數極限的歸結原理和函數極限的單調有界定理，理解函數極限的柯西準則

1、教學要點與知識點：函數極限的歸結；函數極限的單調有界定理；函數極限的柯西準則．

2、教學重點與難點：

(1)本節的重點是函數極限的歸結原理．要著重強調歸結原理中數列的任意性．

(2)本節的難點是函數極限的柯西準則．要求較好學生能夠熟練地寫出和運用各種函數極限的歸結原理和柯西準則．

第四節 兩個重要的極限（3課時）

1、教學目的與要求：

limsinx?1x的證明方法，利用兩個重要極限計算函數極限(1)基本要求：掌握 x?0與數列極限．

?1?lim?1??x???x??e證明方法．掌握兩個重要極限：(2)較高要求：掌握 ?1?sinx?1limlim?1??x?0x； x???x??e．

sinx?1??1；lim?1???e．

2、學要點與知識點：兩個重要極限：lim x?0x x???x?xxx3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是與兩個重要的函數極限有關的計算與證明．可用方法：

?1?sin?(x)?lim?1?lim?1?(x)????(x)?0?(x)?(x)??? ；

?(x)?e，其中 ?(x)、?(x)分別為任一趨于0或趨于∞的函數．

?1?lim?1??(2)本節的難點是利用迫斂性證明 x???x??e． 第五節 無窮小量與無窮大量（3課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念．

(2)較高要求：能夠寫出無窮小量與無窮大量的分析定義，并用分析定義證明無窮小量與無窮大量．在計算及證明中，熟練使用“ o”與“ O”掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念．

2、學要點與知識點：無窮小量與無窮大量，高階無窮小，同階無窮小，等階無窮小，無窮大．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念．(2)本節的難點是熟練使用“ o”與“ O”進行運算．

第四章 函數的連續性（10課時）

第一節 連續性概念（3課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握函數連續性概念，可去間斷點，跳躍間斷點，第二類間斷點，區間上的連續函數的定義．

x(2)較高要求：討論黎曼函數的連續性．掌握函數連續性概念．

2、學要點與知識點：函數在一點和在區間上連續的定義，間斷點的分類．

3、教學重點與難點：

(1)函數連續性概念是本節的重點．對學生要求懂得函數在一點和在區間上連續的定義，間斷點的分類．

(2)本節的難點是用較高的分析方法、技巧證明函數的連續性，可在此節中對較好學生布置有關習題．

第二節 連續函數的性質（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握函數局部性質概念，可去間斷點，跳躍間斷點，第二類間斷點；了解閉區間上連續函數的性質．

(2)較高要求：對一致連續性的深入理解．掌握連續函數的局部性質和閉區間上連續函數的整體性質．

2、學要點與知識點：

連續函數的局部保號性，局部有界性，四則運算；閉區間上連續函數的最大最小值定理，有界性定理，介值性定理，反函數的連續性，一致連續性．

3、教學重點與難點：

(1)函數連續性概念是本節的重點．要求學生掌握函數在一點和在區間上連續的定義，間斷點的分類，了解連續函數的整體性質．對一致連續性作出幾何上的解釋．

(2)本節的難點是連續函數的整體性質，尤其是一致連續性和非一致連續性的特征．可在此節中對較好學生布置判別函數一致連續性的習題．

第三節 初等函數的連續性（1課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握初等函數的連續性．

(2)較高要求：掌握指數函數的嚴格定義．了解指數函數的定義.2、教學要點與知識點：指數函數的定義；初等函數的連續性．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是初等函數的連續性．要求學生會用初等函數的連續性計算極限．

(2)本節的難點是理解和掌握指數函數的性質．

第五章 導數和微分（20課時）

第一節 導數的概念（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握函數在一點處的導數是差商的極限．了解導數的幾何意義，理解費馬定理．

(2)較高要求：理解達布定理．掌握導數的概念，了解費馬定理、達布定理．

2、學要點與知識點：函數的導數，函數的左導數，右導數，有限增量公式，導函數．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是導數的定義和導數的幾何意義．會用定義計算函數在一點處的導數．

(2)本節的難點是達布定理．對較好學生可布置運用達布定理的習題． 第二節 求導法則（4課時）

1、教學目的與要求：熟練掌握求導法則和熟記基本初等函數的求導公式．

2、學要點與知識點：導數的四則運算，反函數求導，復合函數的求導，基本初等函數的求導公式．

3、教學重點與難點：求導法則 第三節 參變量函數的導數（2課時）

1.教學目的與要求： 熟練掌握參變量函數的導數的求導法則． 2.教學要點與知識點：參變量函數的導數的求導法則．

3、教學重點與難點：參變量函數的求導法則． 第四節 高階導數（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握高階導數的定義，能夠計算給定函數的高階導數．(2)較高要求：掌握并理解參變量函數的二階導數的求導公式掌握高階導數的概念，了解求高階導數的萊布尼茨公式．

2、教學要點與知識點：高階導數；求高階導數的萊布尼茨公式．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是高階導數的概念和計算．要求學生熟練掌握．

9(2)本節的難點是高階導數的萊布尼茨公式，特別是參變量函數的二階導數．要強調對參變量求導與對自變量求導的區別．可要求較好學生掌握求參變量函數的二階導數．

第五節 微分（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握高階導數的定義，能夠計算給定函數的高階導數。(2)較高要求：掌握并理解參變量函數的二階導數的求導公式掌握微分的概念和微分的運算方法，了解高階微分和微分在近似計算中的應用。

2、教學要點與知識點：微分的概念，微分的運算法則，高階微分，微分在近似計算中的應用。

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是掌握微分的概念，要講清微分是全增量的線性主部。

(2)本節的難點是高階微分，可要求較好學生掌握這些概念。

第六章

微分中值定理及其應用（22課時）

第一節 拉格朗日定理和函數的單調性（3課時）

1、教學目的與要求：掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，會用導數判別函數的單調性．

2、要點與知識點：

(1)基本要求：掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，會用導數判別函數的單調性．

(2)較高要求：掌握導數極限定理．羅爾中值定理；拉格朗日中值定理．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是掌握羅爾中值定理和拉格朗日中值定理，要求牢記定理的條件與結論，知道證明的方法．

(2)本節的難點是用拉格朗日中值定理證明有關定理與解答有關習題．可要求較好學生掌握通過設輔助函數來運用微分中值定理．

第二節 柯西中值定理和不定式極限（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必達法則求各種不定式極限．

10(2)較高要求：掌握洛必達法則

0型定理的證明．了解柯西中值定理。

02、教學要點與知識點：柯西中值定理；洛必達法則的使用．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是掌握用洛必達法則求各種不定式極限．可強調洛必達法則的重要性，并總結求各種不定式極限的方法．

(2)本節的難點是掌握洛必達法則定理的證明，特別是第三節 泰勒公式（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：了解柯西中值定理，掌握用洛必達法則求各種不定式極限．

0(2)較高要求：掌握洛必達法則 0型定理的證明．理解帶佩亞諾余項和帶拉格

?型的證明． ?

朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式．

2、教學要點與知識點：帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式及其在近似計算中的應用．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是理解帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式．

(2)本節的難點是掌握帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式、麥克勞林公式的證明．對較好學生可要求掌握證明的方法．

第四節 函數的極值與最大(小)值（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握函數的極值的第一、二充分條件；學會求閉區間上連續函數的最值及其應用．

(2)較高要求：掌握函數的極值的第三充分條件．掌握函數的極值與最大(小)值的概念．

2、教學要點與知識點：函數的極值與最值．

3、教學重點與難點：函數的不可導點和導函數（以及二階導數）的零點（穩定點）凸區間，函數極值．

第五節 函數的凸性與拐點（2課時）

1、教學目的與要求：

（1）基本要求：掌握函數的凸性與拐點的概念，應用函數的凸性證明不等式．（2）較高要求：運用詹森不等式證明或構造不等式，左、右導數的存在與連續的關系．

2、學要點與知識點：函數的凸性與拐點．

3、教學重點與難點：(1)判斷凸性的充分條件．

(2)本節的難點是運用詹森不等式證明不等式． 第六節 函數圖象的討論（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握直角坐標系下顯式函數圖象的大致描繪．

(2)較高要求：能描繪參數形式的函數圖象．掌握函數圖象的大致描繪．

2、教學要點與知識點：作函數圖象．

3、教學重點與難點：根據函數的性態表，以及函數的單調區間，凸區間，大致描繪函數圖象．

第七章 實數的完備性（8課時）

第一節 關于實數集完備性的基本定理（3課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握和運用區間套定理、致密性定理．

(2)較高要求：掌握聚點定理和有限覆蓋定理的證明與運用．掌握區間套定理和柯西判別準則的證明，了解有限覆蓋定理和聚點定理(較熟練運用致密性定理)．

2、教學要點與知識點：區間套定理、柯西判別準則的證明；聚點定理；有限覆蓋定理．

3、教學重點與難點：

本節的重點是區間套定理和致密性定理．教會學生在什么樣情況下應用區間套定理和致密性定理以及如何應用區間套定理和致密性定理．

本節的難點是掌握聚點定理和有限覆蓋定理．教會較好學生如何應用聚點定理和有限覆蓋定理．

第二節 閉區間上的連續函數性質的證明（4課時）

1、教學目的與要求：（1）基本要求：掌握用有限覆蓋定理或用致密性定理證明閉區間上連續函數的有界性；用確界原理證明閉區間上的連續函數的最大(小)值定理；用區間套定理證明閉區間上的連續函數介值定理．

（2）較高要求：掌握用有限覆蓋定理證明閉區間上的連續函數的有界性和一致連續性．證明閉區間上的連續函數性質．

2、教學要點與知識點：閉區間上的連續函數有界性的證明；閉區間上的連續函數的最大(小)值定理的證明；閉區間上的連續函數介值定理的證明；閉區間上的連續函數一致連續性的證明．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是證明閉區間上的連續函數的性質．

(2)本節的難點是掌握用有限覆蓋定理證明閉區間上的連續函數的一致連續性以及實數完備性的六大定理的等價性證明，對較好學生可布置這方面的習題．

第八章 不定積分（14課時）

第一節 不定積分的概念與基本積分公式（4課時）

1、教學目的與要求：熟練掌握原函數的概念和基本積分公式．掌握原函數的概念和基本積分公式

2、教學要點與知識點：原函數的概念；基本積分公式；不定積分的幾何意義．

3、教學點與難點：原函數的概念，基本積分公式 第二節 換元積分法與分部積分法（4課時）

1、教學目的與要求：熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法．

2、教學要點與知識點：第一、二換元積分法；分部積分法．

3、教學重點與難點：換元積分法與分部積分法.第三節 有理函數和可化為有理函數的不定積分（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：有理函數的不定積分；三角函數有理式的不定積分；某些無理根式的不定積分．

(2)較高要求：利用歐拉代換求某些無理根式的不定積分會計算有理函數和可化為有理函數的不定積分．

2、教學要點與知識點：有理函數的不定積分；三角函數有理式的不定積分；某些無理根式的不定積分．

3、教學重點與難點：

(1)三角函數有理式的不定積分，某些無理根式的不定積分

(2)本節的難點是利用歐拉代換求某些無理根式的不定積分，可要求較好學生

掌握.第九章 定積分（20課時）

第一節 定積分的概念（3課時）

1、教學目的與要求：掌握定積分的定義，了解定積分的幾何意義和物理意義．引進定積分的概念．

2、教學要點與知識點：定積分的定義．

3、教學重點與難點：定積分的定義及定積分的幾何意義． 第二節 牛頓-萊布尼茨公式（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：熟練掌握和應用牛頓-萊布尼茨公式．(2)較高要求：利用定積分的定義來處理一些特殊的極限．

2、學要點與知識點：牛頓-萊布尼茨公式．

3、教學重點與難點：應用牛頓-萊布尼茨公式． 第三節 可積條件（3課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握定積分的第一、二充要條件．

(2)較高要求：掌握定積分的第三充要條件．理解定積分的充分條件，必要條件和充要條件．

2、教學要點與知識點：

定積分的充分條件和必要條件；可積函數類

3、教學重點與難點：

(1)理解定積分的第一、二充要條件是本節的重點，要求學生必須掌握．(2)證明定積分的第一、二、三充要條件是本節的難點．對較好學生可要求掌 握這些定理的證明以及證明某些函數的不可積性．

第四節 定積分的性質（3課時）

1、教學目的與要求：

（1）基本要求：掌握定積分的基本性質和積分第一中值定理．（2）較高要求：較難的積分不等式的證明．

2、教學要點與知識點：定積分的基本性質；積分第一中值定理．

3、教學重點與難點：

(1)定積分的基本性質和積分第一中值定理是本節的重點，要求學生必須掌握并靈活應用．

(2)較難的積分不等式的證明是本節的難點．對較好學生可布置這方面的習題． 第五節 微積分學基本定理（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握變限的定積分的概念；掌握微積分學基本定理和換 元積分法及分部積分法．

(2)較高要求：掌握積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項．

2、學要點與知識點：變上限的定積分；變下限的定積分；微積分學基本定理；積分第二中值定理，換元積分法；分部積分法；泰勒公式的積分型余項．

3、教學重點與難點：

(1)微積分學基本定理是本節的重點，要求學生必須掌握微積分學基本定理完整的條件與結論．

(2)積分第二中值定理和泰勒公式的積分型余項是本節的難點．對較好學生要求他們了解這些內容．

第十章 定積分的應用（10課時）

第一節平面圖形的面積（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握平面圖形面積的計算公式，包括參量方程及極坐標方程所定義的平面圖形面積的計算公式．

(2)較高要求：提出微元法的要領．掌握平面圖形面積的計算公式． 2.教學要點與知識點：平面圖形面積的計算公式．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是平面圖形面積的計算公式，要求學生必須熟記并在應用中熟練掌握．

(2)領會微元法的要領．

第二節 由平行截面面積求體積（1課時）

1、教學目的與要求：

掌握由平行截面面積求體積的計算公式．

2、教學要點與知識點：

由平行截面面積求體積的計算公式．

3、教學重點與難點：

平行截面面積求體積的計算公式，微元法的要領． 第三節平面曲線的弧長與曲率（2課時）

1、教學目的與要求：

（1）基本要求：掌握平面曲線的弧長計算公式．（2）較高要求：掌握平面曲線的曲率計算公式．

2、學要點與知識點：

平面曲線的弧長與曲率的計算公式．

3、教學重點與難點：平面曲線的弧長計算公式． 第四節 旋轉曲面的面積（2課時）

1、教學目的與要求：

掌握求旋轉曲面的面積的計算公式，包括求由參數方程定義的旋轉曲面的面積；

掌握平面曲線的曲率的計算公式．

2、教學要點與知識點：旋轉曲面的面積計算公式．

3、教學重點與難點：旋轉曲面面積的計算公式，參數方程定義的旋轉曲面的面積．

第五節 定積分在物理中的某些應用（3課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：要求學生掌握求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式．(2)較高要求：要求學生運用微元法導出求液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式．掌握定積分在物理中的應用的基本方法．

2、教學要點與知識點：液體靜壓力；引力；功與平均功率．

3、教學重點與難點：液體靜壓力、引力、功與平均功率的計算公式．

十一章 反常積分（10課時）

第一節 反常積分的概念（2課時）

1、教學目的與要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義與計算方法．掌握反常積分的定義與計算方法．

2、教學要點與知識點：無窮積分；瑕積分．

3、教學重點與難點：講清反常積分是變限積分的極限． 第二節 無窮積分的性質與收斂判別（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握無窮積分與瑕積分的定義，會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性．

(2)較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．掌握無窮積分的性質與收斂判別準則．

2、教學要點與知識點：無窮積分的收斂；條件收斂；絕對收斂；比較判別法；柯西判別法；狄利克雷判別法；阿貝爾判別法．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是掌握判別無窮積分與瑕積分收斂的方法，要求學生主要學會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性．

(2)本節的難點是用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性，對較好學生布置這方面的習題．舉例說明：當有 x????

?a|f(x)|dx收斂時，不一定limf(x)?0，由此使學生對柯西準則有進一步的理解．

第三節 瑕積分的性質與收斂判別（2課時）

1、教學目的與要求：掌握瑕積分的定義，會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性．掌握瑕積分的性質與收斂判別準則．

2、教學要點與知識點：瑕積分的收斂；

3、教學重點與難點：

（1）本節的重點是掌握判別瑕積分收斂的方法，要求學生主要學會用柯西判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性．

（2）本節的難點是用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別無窮積分與瑕積分的斂散性，對較好學生布置這方面的習題．

第十二章 數項級數（14課時）

第一節 級數的收斂性（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握數項級數收斂性的定義和基本性質，等比級數，調和級數．(2)較高要求：應用柯西收斂準則判別級數的斂散性．

2、學要點與知識點：數項級數收斂性的定義和基本性質；等比級數；調和級數．

3、教學重點與難點：數項級數收斂性的基本性質；應用柯西收斂準則判別級數的斂散性是一個難點，對較好的學生可提出相應要求．

第二節 正項級數（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握比較判別法，比式判別法，根式判別法和積分判別法．(2)較高要求：介紹拉貝判別法．

2、教學要點與知識點：比較判別法；比式判別法；根式判別法；積分判別法．

3、教學重點與難點： 比較判別法，比式判別法，根式判別法，拉貝判別法。第三節 一般項級數（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握條件收斂和絕對收斂的定義，掌握交錯級數的萊布尼茨判別法．

(2)較高要求：掌握一般項級數的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，了解絕對收斂級數的性質．

2、教學要點與知識點：交錯級數；萊布尼茨判別法； 狄利克雷判別法；阿貝爾判別法；條件收斂；絕對收斂．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是要求學生必須熟練掌握交錯級數的萊布尼茨判別法，掌握條件收斂和絕對收斂的定義，了解絕對收斂級數性質的結論．總結判別一般項級數的斂散性的各種方法．

(2)本節的難點是要求學生掌握一般項級數的狄利克雷判別法與阿貝爾判別法，要求較好學生掌握絕對收斂級數的性質．

第十三章 函數序列與函數項級數（10課時）

第一節 一致收斂性（4課時）

1、教學目的與要求：

18(1)基本要求：掌握函數序列與函數項級數一致收斂性的定義，函數序列與函數項級數一致收斂性判別的柯西準則，函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．

(2)較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．

2、學要點與知識點：函數序列與函數項級數一致收斂性的定義；函數序列與函數項級數一致收斂性判別的柯西準則；函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．

3、教學重點與難點：函數序列與函數項級數一致收斂性判別的柯西準則，函數項級數一致收斂性的魏爾斯特拉斯判別法．狄利克雷判別法和阿貝爾判別法．

第二節 一致收斂函數序列與函數項級數的性質（4課時）

1、教學目的與要求：

（1）基本要求：了解一致收斂函數序列與函數項級數的連續性，可積性和可微性的證明．

（2）較高要求：掌握一致收斂函數序列與函數項級數的連續性，可積性和可微性的證明．

2、學要點與知識點：一致收斂函數序列與函數項級數的連續性的判別；可積性的判別，可微性的判別．

3、教學重點與難點：一致收斂函數序列與函數項級數的連續性，可積性，可微性的結論．

第十四章 冪級數（10課時）

第一節 冪級數（4課時）

1、教學目的與要求：

（1）基本要求：掌握冪級數收斂半徑和收斂區間的定義與求法，學會解答有關冪級數收斂半徑和收斂區間的習題．

（2）較高要求：學會解答有關冪級數收斂區域的習題．掌握冪級數收斂半徑和收斂區間的定義與求法，掌握冪級數的性質和運算．

2、教學要點與知識點：冪級數收斂半徑和收斂區間的定義與求法；掌握冪級數收斂半徑，收斂區間和收斂域的概念．

3、教學重點與難點：求冪級數收斂半徑和收斂區間。第二節 函數的冪級數展開（4課時）

1、教學目的與要求：(1)基本要求：掌握泰勒級數和麥克勞林展開式，五種基本初等函數的冪級數展開．

(2)較高要求：學會用逐項求積和逐項求導的方法展開初等函數，并利用它們作間接展開．掌握泰勒級數和麥克勞林級數展開，初等函數的冪級數展開．

2、教學要點與知識點：泰勒級數和麥克勞林級數展開式的定義；五種基本初等函數的冪級數展開式．

3、教學重點與難點：泰勒級數和麥克勞林展開式，并利用五種基本初等函數的冪級數展開某些初函數或作間接展開．

第十五章 傅里葉級數（12課時）

第一節 傅里葉級數（3課時）

1、教學目的與要求：

（1）基本要求：掌握三角級數和傅里葉級數定義，了解傅里葉級數的收斂定理；能夠展開比較簡單的函數的傅里葉級數．

（2）較高要求：有關傅里葉級數的逐項求導和逐項求積的問題，向學生介紹引入傅里葉級數的意義(包括物理意義和數學意義)．

2、學要點與知識點：三角級數；正交函數系；傅里葉級數定義；傅里葉級數的收斂定理．

3、教學重點與難點：傅里葉級數的展開． 第二節 以 2l為周期的函數的展開式（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握以 2l為周期的函數的傅里葉級數展開的基本方法．(2)較高要求：掌握通過對函數做奇延拓或偶延拓并展開為正弦級數或余弦級數的基本方法．掌握以 2l為周期的函數的展開式，偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開，正弦級數，余弦級數．

2、教學要點與知識點：對以 2l為周期的函數作傅里葉級數展開的基本方法；偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開；正弦級數；余弦級數

3、教學重點與難點：三角級數和傅里葉級數的展開式。第三節 收斂定理的證明（3課時）

1、教學目的與要求：

20（1）基本要求：掌握貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理；了解收斂定理的證明要點．

（2）較高要求：理解收斂定理的證明．

2、教學要點與知識點：貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理； 收斂定理的證明．

3、教學重點與難點：貝塞爾不等式和黎曼-勒貝格定理，收斂定理的證明．

第十六章 多元函數的極限與連續（14課時）

第一節平面點集與多元函數（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義，以及 R2的完備性，掌握二元及多元函數的定義．

(2)較高要求：掌握 R2的完備性定理．

2、教學要點與知識點：平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義； R2的完備性；二元及多元函數的定義．

3、教學重點與難點：平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域等有關 R2的概念。

第二節 二元函數的極限（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握二元函數的極限的定義，了解重極限與累次極限的區別與聯系，熟悉判別極限存在性的基本方法．

(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區別與聯系，能用來處理極限存在性問題．

2、教學要點與知識點：二元函數的極限的定義；累次極限．

3、教學重點與難點：一元函數極限與多元函數極限的聯系與區別，重極限與累次極限的區別與聯系。

第三節 二元函數的連續性（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握二元函數的連續性的定義，了解有界閉域上連續函數的性質．

21(2)較高要求：掌握有界閉域上連續函數性質的證明要點，以及多元函數的局部性質和它們在有界閉域上的整體性質．

2、教學要點與知識點：二元函數的連續性的定義；有界閉域上連續函數的有界性，最大最小值定理，介值性定理和一致連續性．

3、教學重點與難點：有界閉域上多元連續函數的性質對

第十七章 多元函數微分學（22課時）

第一節 可微性（5課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握多元函數偏導數，可微性與全微分的定義，熟記可微的必要條件與充分條件．

(2)較高要求：切平面存在定理的證明．

2、教學要點與知識點：多元函數偏導數，可微性與全微分的定義；可微的必要條件與充分條件．

3、教學重點與難點：

（1）本節的重點是多元函數偏導數，可微性與全微分的定義．

（2）通過討論可微的必要條件與充分條件，弄清多元函數連續，存在偏導數與可微這三個分析性質之間的關系．

第二節 復合函數微分法（8課時）

1、教學目的與要求：

（1）基本要求：掌握復合函數求導的鏈式法則．

（2）較高要求：掌握鏈式法則的證明和理解一階全微分形式不變性．

2、學要點與知識點：復合函數鏈式法則；復合函數的全微分；一階全微分形式不變性．

3、教學重點與難點： 復合函數求導的鏈式法則，一階全微分形式不變性 第三節 方向導數與梯度（2課時）

1、教學目的與要求：掌握方向導數與梯度的定義，掌握方向導數與梯度的計算．

2、教學要點與知識點：方向導數與梯度的定義；方向導數與梯度的計算公式．

3、教學重點與難點： 方向導數存在性與偏導數存在性和可微性的區別與聯系． 第四節 泰勒公式與極值問題（4課時）

1、教學目的與要求：（1）基本要求：掌握二元函數的高階偏導數與泰勒公式的定義，能夠根據二元函數的極值的必要條件與充分條件尋找二元函數的極值與最大(小)值．

（2）較高要求：掌握混合偏導數與求導次序無關的定理的證明以及二元函數的極值的必要條件充分條件定理的證明．

2、教學要點與知識點：二元函數的高階偏導數；中值定理與泰勒公式；二元函數的極值的必要條件與充分條件．

3、教學重點與難點： 二元函數的高階偏導數和求二元函數的極值。

第十八章 隱函數定理及其應用（14課時）

第一節 隱函數（4課時）

1、教學目的與要求：

（1）基本要求：掌握隱函數存在的條件，理解隱函數定理的證明要點；學會隱函數求導法．

（2）較高要求：掌握隱函數定理的證明．

2、學要點與知識點：隱函數的定義；隱函數存在性定理；隱函數可微性定理．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是隱函數定理，學會隱函數求導法．要求學生必須熟記隱函數定理的條件與結論，了解隱函數定理的證明要點．

(2)本節的難點是隱函數定理的嚴格證明，對較好學生在這方面提出要求． 第二節 隱函數組（3課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握隱函數組和反函數組存在的條件，學會隱函數組和反函數組求導法．

（2）較高要求：理解隱函數組和反函數組定理的證明．

2、教學要點與知識點：隱函數組的定義； 隱函數組定理；反函數組的定義與求導法．

3、教學重點與難點： 隱函數組和反函數組存在的條件與證明。第三節 幾何應用（2課時）

1、教學目的與要求：能夠寫出平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程以及曲面的切平面與法線方程．掌握用隱函數和隱函數組求導法求平面曲線的切線與法線，求空間曲線的切線與法平面，求曲面的切平面與法線．

2、教學要點與知識點：平面曲線的切線與法線方程；空間曲線的切線與法平面方程；求曲面的切平面與法線方程．

3、教學重點與難點：平面曲線的切線與法線方程，空間曲線的切線與法平面方程以及曲面的切平面與法線方程的求法。

第四節 條件極值（3課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：了解拉格朗日乘數法的證明，掌握用拉格朗日乘數法求條件極值的方法．

(2)較高要求：用條件極值的方法證明或構造不等式．了解拉格朗日乘數法，學會用拉格朗日乘數法求條件極值．

2、教學要點與知識點：條件極值；拉格朗日乘數法．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是用拉格朗日乘數法求條件極值．要求學生熟練掌握．(2)多個條件的的條件極值問題，計算量較大，可布置少量習題．

(3)在解決很多問題中，用條件極值的方法證明或構造不等式，是個好方法．可推薦給較好學生．

第十九章 含參量積分（14課時）

第一節 含參量正常積分（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：了解含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明，熟練掌握含參量正常積分的導數的計算公式．

(2)較高要求：掌握含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明．掌握含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理。

2、教學要點與知識點：含參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明；含參量正常積分的導數的計算．

3、教學重點與難點： 參量正常積分的連續性，可微性和可積性定理的證明.第二節 含參量反常積分（3課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握含參量反常積分的一致收斂性及其判別法，含參量反常積分的性質，以及含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法．(2)較高要求：掌握和應用狄里克雷判別法和阿貝爾判別法．掌握含參量反常積分的一致收斂性概念，含參量反常積分的性質，含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，了解狄里克雷判別法和阿貝爾判別法．

2、教學要點與知識點：含參量反常積分的一致收斂性及其判別法；含參量反常積分的性質；含參量反常積分的魏爾斯特拉斯判別法，狄里克雷判別法和阿貝爾判別法；含參量反常積分的連續性，可微性與可積性定理．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是含參量反常積分的一致收斂性及魏爾斯特拉斯判別法．要求學生會用魏爾斯特拉斯判別法判別含參量反常積分的一致收斂性．

(2)本節的難點是狄里克雷判別法和阿貝爾判別法以及含參量反常積分的連續性，可微性與可積性定理的證明．對較好學生在這方面提出高要求，布置有關習題；另外，由于這方面內容與函數項級數部分有類似之處，還可要求他們作比較與總結．

第三節 歐拉積分（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：了解 ?函數與 ?函數的定義與有關性質．

(2)較高要求：了解 ?函數與 ?函數的關系公式．了解 ?函數與 ?函數的定義．

2、教學要點與知識點： ?函數與 ?函數的定義； ?函數與 ?函數的聯系．

3、教學重點與難點： ?函數與 ?函數的定義和性質，?函數與 ?函數的關系．

第二十章 曲線積分（8課時）

第一節 第一型曲線積分（2課時）

1、教學目的與要求：掌握第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．

2、教學要點與知識點：第一型曲線積分的定義，性質和計算公式．

3、教學重點與難點：第一型曲線積分的定義，性質和計算公式． 第二節 第二型曲線積分（4課時）

1、教學目的與要求：

25(1)基本要求：掌握第二型曲線積分的定義和計算公式，了解第一、二型曲線積分的差別．

(2)較高要求：了解兩類曲線積分的聯系．掌握第二型曲線積分的定義，性質和計算公式．

2、教學要點與知識點：第二型曲線積分的定義，性質和計算公式．

3、教學重點與難點：第二型曲線積分的定義和計算公式．

第二十一章 重積分（24課時）

第一節 二重積分概念（2課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握二重積分的定義和性質，二重積分的充要條件，了解有界閉區域上的連續函數的可積性．

(2)較高要求：平面點集可求面積的充要條件．

2、教學要點與知識點：二重積分的定義和性質．

3、教學重點與難點： 二元函數可積的充要條件.第二節 直角坐標下二重積分的計算（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握二重積分化為累次積分的方法和累次積分的積分次序的交換公式．

(2)較高要求：掌握二重積分化為累次積分公式的證明．掌握直角坐標下二重積分的計算公式．

2、教學要點與知識點：二重積分化為累次積分；累次積分的積分次序的交換．

3、教學重點與難點：

（1）直角坐標下二重積分的計算公式．（2）掌握二重積分化為累次積分公式的證明． 第三節 格林公式，曲線積分與路線無關性（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件，理解格林公式以及曲線積分與路線無關的條件的定理的證明．

(2)較高要求：掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件定理應用的特殊技巧．

2、教學要點與知識點：格林公式；曲線積分與路線無關的條件．

3、教學重點與難點：格林公式以及曲線積分與路線無關的條件，并應用格林公式化二重積分為曲線積分和化曲線積分為二重積分，曲線積分與路線無關的條件的定理時掌握“挖”“補”等某些特殊技巧．

第四節 二重積分的變量變換（4課時）．

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：了解二重積分的一般的變量變換公式，掌握二重積分的極坐標變換．

(2)較高要求：理解二重積分的一般的變量變換公式的證明．

2、教學要點與知識點：二重積分的一般的變量變換公式；極坐標變換公式．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是極坐標變換公式，要求學生必須熟練掌握．

(2)本節的難點是二重積分的一般的變量變換公式的證明，可要求較好學生了解．

第五節 三重積分（4課時）

1、教學目的與要求：掌握三重積分的定義和性質，熟練掌握化三重積分為累次積分，及用柱面坐標變換和球面坐標變換計算三重積分的方法．

2、教學要點與知識點：三重積分的定義和性質；三重積分的積分換元法；柱面坐標變換；球面坐標變換．

3、教學重點與難點：三重積分的定義和性質，有界閉區域上的連續函數必可積． 第六節 重積分的應用（4課時）

1、教學目的與要求：學會用重積分計算曲面的面積，物體的重心，轉動慣量與引力．

2、教學要點與知識點：曲面面積的計算公式；物體重心的計算公式；轉動慣量的計算公式；引力的計算公式．

3、教學重點與難點：曲面面積的計算公式，物體重心的計算公式，轉動慣量的計算公式和引力的計算公式，第二十二章 曲面積分（16課時）

第一節 第一型曲面積分（2課時）

1、教學目的與要求：(1)基本要求：掌握第一型曲面積分的定義和用顯式方程表示的曲面的第一型曲面積分計算公式．

(2)較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計算公式．

2、教學要點與知識點：第一型曲面積分的定義和計算公式．

3、教學重點與難點：曲面的第一型曲面積分的定義和計算公式．隱式方程或參量表示的曲面的第一型曲面積分計算公式．

第二節 第二型曲面積分（4課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：掌握用顯式方程的第二型曲面積分的定義和計算公式．(2)較高要求：掌握用隱式方程或參量表示的曲面的第二型曲面積分計算公式，掌握兩類曲面積分的聯系．

2、教學要點與知識點：曲面的側；第二型曲面積分的定義和計算公式．

3、教學重點與難點：

(1)本節的重點是要求學生必須掌握第二型曲面積分的定義和計算公式，要強調一、二型曲面積分的區別，要講清確定有向曲面側的重要性．

(2)本節的難點是用隱式方程或參數方程給出的曲面的第二型曲面積分的計算公式以及兩類曲面積分的聯系，可對較好學生要求他們掌握．

第三節 高斯公式與斯托克斯公式（6課時）

1、教學目的與要求：

(1)基本要求：學會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分．懂得高斯公式與斯托克斯公式證明的思路，掌握沿空間曲線的第二型積分與路徑無關的條件．

(2)較高要求：應用高斯公式與斯托克斯公式的某些特殊技巧．

2、教學要點與知識點：高斯公式；斯托克斯公式；沿空間曲線的第二型積分與路徑無關的條件．

3、教學重點與難點：本節的重點是要求學生學會用高斯公式計算第二型曲面積分，用斯托克斯公式計算第二型曲線積分．要講清應用兩公式的條件并強調曲面與曲面的邊界定向的關系．

第三篇：數學分析教學大綱

《數學分析》教學大綱

教學目的

1.通過本課程的教學，使學生獲得極限論、一元微積分、無窮級數與多元微積分等方面的系統知識，正確理解和掌握數學分析的基本概念、基本理論和基本方法，提高學生的抽象思維、邏輯推理及分析運算能力；

2.為學生進一步學習復變函數論、常微分方程、概率論理數理統計、實變函數論等后繼課程提供必要的數學概念、理論、方法以及運算技能；

3.使學生掌握本課程與此同時學數學內容的內在聯系，加深對中學數學內容、方法的理解，為用高觀點指導中學數學教學打下必要的基礎。

4.本課程的教學應使學生理解的掌握常量與變量、直與曲、有限與無限、特殊與一般，具體與抽象等辨證關系，培養的辯證唯物主義觀點；應重視數學思想方法的數學，培養學生學數學，用數學的能力，提高學生分析問題解決問題的能力。

教學內容

數學分析是現代數學的基礎學科，是學習和掌握其它數學學科及科學技術的基礎和工具，是數學專業的一門重要基礎課程。在實數范圍內用極限方法研究函數性質，本課程的基本內容包括：函數、極限與連續，一元函數微積分學，無窮級數與多元函數微積分學。

教學基本內容及要求

（一）第一章： 實數集與函數

1，教學基本要求 [目的要求]

（1）理解實數系，實數的性質與不等式；（2）準確理解上確界與下確界、確界存在定理；

(3)熟練掌握一元實函數、初等函數、基本初等函數、函數的表示；(4)掌握函數的有界、單調、周期性。[重點難點] 重點： 基本初等函數；難點：確界

2教學具體內容

實數系，實數的性質與不等式。上確界與下確界、確界存在定理。一元實函數、初等函數、基本初等函數、函數的表示。函數的有界、單調、周期性。

第二章： 數列極限

1，教學基本要求

[目的要求]（1）領會實數的性質，能用數列極限的定義進行分析、證明；（2）掌握數列極限定義、性質、四則運算，極限存在的條件。[重點難點] 重點：極限 ；難點：極限定義，極限存在的條件

2教學具體內容

數列、數列極限的定義、無窮小量，數列極限和性質，數列極限的四則運算；數列極限和性質，數列極限的四則運算；單調有界收斂定量Cauchy收斂定理。

第三章： 函數極限 1，教學基本要求

[目的要求]（1）準確理解函數極限的定義，性質、四則運算、與數列極限的關系；（2）熟練掌握單側極限Cauchy收斂原理；

（3）熟練掌握兩個重要極限，無窮小量與無窮大量的階。[重點難點] 重點：兩個重要極限 ；難點：函數極限的定義

2教學具體內容

函數極限???定義、單側極限、函數極限定義的推廣。函數極限的性質――唯一性、局部保序性、局部有界性、夾逼性、函數極限的四則運算；函數極限與數列極限的關系――Heine定理、Cauchy收斂原理；兩個重要極限 ；無窮小量的比較、高階、同階、等價無窮小量、無窮大量和比較、高階、同階、等價無窮大理、等價量、等價量的代換。

第四章：連續函數

1，教學基本要求

[目的要求]（1）熟練掌握連續函數的定義、連續函數的四則運算、不連續點的類型、反函數的連續性、復合函數 的連續性；

（2）掌握閉區間上連續函數的性質、理解一致連續的概念。[重點難點] 重點：連續函數的定義 ；難點：一致連續的概念

2教學具體內容

連續函數的定義、單側連續、不連續點的類型；連續函數的四則運算，反函數連續性定理、復合函數的連續性，閉區間連續函數的有界性定義、最值性定理、零點存在定理、中間值定理、一致連續的概念、閉區間上連續函數的一致連續性；初等函數連續性質

第五章：導數與 微分

1，教學基本要求

[目的要求]（1）熟練掌握微分的定義、導數的定義、導數的四則運算和反函數的求導法則、復合函數的求導法則及其應用；

（2）理解一階微分形式的不變性、高階導數和高階微分及運算法則；（3）會應用Leibniz公式、理解和掌握復合函數求高階導數的鏈式法則。[重點難點]

重點：導數的定義；難點：復合函數的求導法則

2教學具體內容

導數的定義和微分的關系導數產生的背景、幾何意義、單側導數；用定義求導數、求導的四則運算、反函數求導法則、基本求導公式，復合函數求導法則——鏈式法則、一階微分 形式的不變性；微分的定義、導數的定義和微分的關系；高階導數的定義、運算、高階微分的概念；參數形式的函數求導，參數方程所確定函數的高階導數。

第六章：微分中值定理及其應用

1，教學基本要求

[目的要求]（1）使學生掌握微分中值定理、Taylor公式及其應用（函數的極值與最值；函數的凸性拐點）

（2）熟練掌握LHospital法則和應用；

（3）數學建模及函數方程的近似求解，會進行函數作圖。[重點難點]

重點：中值定理；難點：Taylor公式 '2教學具體內容

函數單調性；極值、Fermat引理、Rolle定理、Lagrange中值定理、函數單調性凸函數、二階導數與凸函數的關系、Cauchy中值定理；LHospital法則 ；Taylor公式及其Lagrange型余項、Peano 型余項；求極限、最值問題，求曲線的漸進線方程； 函數的凸性拐點；函數作圖。

'第七章：實數的完備性定理

1，教學基本要求

[目的要求]

使學生掌握實數的完備性定理，確界原理，區間套定理等 [重點難點]

重點：區間套定理 ；難點：完備性定理

2教學具體內容

實數的基本定理；閉區間上的連續函數性質的證明。

第八章：不定積分

1，教學基本要求

[目的要求]（1）理解不定積分的概念、性質、運算和換元積分法、分部積分法；（2）熟練掌握不定積分的基本公式，分部積分法和換元積分法；

（3）掌握有理函數積分的計算、區分無理函數的積分和可化為有理函數積分的類型 [重點難點]

重點：分部積分法和換元積分法；難點：有理函數積分的計算

2教學具體內容

原函數、不定積分的定義、不定積分線性性質、不定積分的基本公式，基本積分表；換元積分法——第一類換元積分法、第二類換元積分法，分部積分法；有理函數、有理函數的積分、可化為有理函數不定積分的情況。

教學基本內容及要求

（二）第九章：定積分

1，教學基本要求

[目的要求]（1）重點掌握定積分的概念；

（2）了解可積的充要條件，可積函數類；

（3）掌握定積分的性質，微積分基本定理，定積分計算方法（換元法、分部積分法及奇偶函數的定積分等。

[重點難點]

重點：微積分基本定理；難點：定積分的概念

2教學具體內容

定積分的引入和概念； 積分上、下限函數，微積分基本定理；Riemann可積的充要條件和一些可積函數類；定積分的基本性質（定積分的基本性質：線性性，保序性，區間可加性和積分第一中值定理等）；定積分的計算（定積分的換元積分法和分部積分法，奇偶函數的定積分）。

第十章 ：

定積分的應用

1，教學基本要求

[目的要求]（1）重點掌握求面積、弧長、體積和側面積：（2）了解微元法及其應用。

[重點難點]

重點：求面積 ；難點：微元法

2教學具體內容

求平面圖形的面積；求幾何體的體積 ；求曲線的弧長 ；求旋轉體的側面積

；定積分在理上的應用。

第十一章 ：

反常積分

1，教學基本要求

[目的要求]（1）掌握反常積分斂散性的定義，掌握一些重要的反常積分收斂和發散的例子，（2）理解并掌握絕對收斂和條件收斂的概念并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負函數反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，（3）理解一般函數反常積分的Abel、Dirichlet判別法判別基本的反常積分。

[重點難點]

重點：反常積分斂散性的判定；難點：Abel、Dirichlet判別法

2教學具體內容

反常積分的概念和計算 ；絕對收斂和條件收斂的概念，反常積分的Cauchy收斂原理，非負函數反常積分的比較判別法，Cauchy判別法，以及一般函數反常積分的Abel,Dirichlet判別法。

第十二章：

數項級數

1，教學基本要求

[目的要求]（1）準確理解斂散性概念、級數收斂的必要條件和其它性質，（2）熟練地求一些級數的和；

4（3）比較熟練利用正項級數的收斂原理，比較判別法，Cauchy、D`Alembert判別法及其極限形式，Raabe判別法和積分判別法判別正項級數的斂散性；

（4）準確理解Leibniz級數，并比較熟練利用Leibniz級數，Abel、Dirichlet判別法判別一般級數的斂散性。

[重點難點]

重點：級數斂散性的判定；難點：Cauchy、D`Alembert判別法

2教學具體內容

數項級數及其斂散性概念，級數收斂的必要條件和其它性質，一些簡單的級數求和。正項級數的概念，正項級數的收斂原理，比較判別法，Cauchy、D`Alembert及其極限形式，Raabe判別法和積分判別法；級數的Cauchy收斂原理，Leibniz級數及其判別法，Abel變換、條件收斂和絕對收斂概念，Abel、Dirichlet判別法，條件收斂和絕對收斂的級數具有的性質。

第十三章：

函數項級數

1，教學基本要求

[目的要求]（1）重點理解點態收斂、一致收斂和內閉一致收斂，函數列一致收斂的判別法；（2）掌握并學會應用函數項級數的Cauchy收斂原理，Weierstrass判別法，Abel、Dirichlet判別法，（3）掌握一致收斂級數的連續性、可導性和可積性

[重點難點]

重點：一致收斂級數的連續性、可導性和可積性 ；難點：一致收斂

2教學具體內容

點態收斂，收斂域，部分和函數，點態收斂函數項級數的基本問題，一致收斂、內閉一致收斂，函數列一致收斂的判別法。函數項級數的Cauchy收斂原理，Weierstrass判別法，Abel、Dirichlet判別法，一致收斂級數的連續性、可導性和可積性。

第十四章：

冪級數

1，教學基本要求

[目的要求]（1）掌握冪級數的收斂半徑和收斂域及其半徑求法，（2）掌握函數冪級數展開的條件，初等函數的冪級數展開 [重點難點]

重點：冪級數展開；難點：冪級數展開的條件

2教學具體內容

冪級數概念，收斂半徑和收斂域，利用Cauchy-Hadamard定理，D`Alembert判別法求收斂半徑，冪級數的連續、可導和可積性，利用冪級數的連續、可導和可積性求冪級數的和。函數冪級數展開的條件，初等函數的冪級數展開。

第十五章：

Fourier級數

1，教學基本要求

[目的要求]

熟練掌握函數的Fourier級數的概念和Fourier級數各種展開。

[重點難點]

重點：Fourier級數各種展開 ；難點：Fourier級數各種展開

2教學具體內容

Fourier級數的來歷及與Taylor展開的比較；周期為2π的函數的Fourier展開；將函數展開為正弦級數與余弦級數；任意周期的函數的Fourier展開。將函數展開為正弦級數與余弦級數；任意周期的函數的Fourier展開。收斂定理的證明（說明思路，不證明）

第十六章：

多元函數的極限和連續

1，教學基本要求 [目的要求]（1）理解有界集，內點，邊界點，孤立點，聚點，開集和閉集及其關系，閉包，（2）理解閉矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收斂定理，Heine-Borel定理；（3）掌握多元函數的定義，多元函數的重極限和二次極限及其關系，多元函數的連續，、連續等性質，連續函數的有界性、最值定理、一致連續性定理、中間值定理，（4）掌握連通集和區域等概念。

[重點難點]

重點：多元函數的重極限和二次極限 ；難點多元函數的重極限和二次極限：

2教學具體內容

Rn的極限，有界集，內點，邊界點，孤立點，聚點，開集和閉集及其關系，閉矩形套定理，Bolzano-Weierstrass定理，Cauchy收斂定理，Heine-Borel定理等。多元函數的定義，多元函數的重極限和二次極限及其關系。多元函數的連續，連續函數的性質：有界性、最值定理、一致連續性定理、中間值定理等，連通集和區域。

第十七章：

多元函數的微分學

1，教學基本要求

[目的要求]（1）重點掌握偏導數，方向導數，全微分，連續、可偏導、可微之間的關系，梯度，高階偏導數和高階全微分，（2）了解混合偏導數的相等，重點掌握多元復合函數的鏈式法及其應用，（3）了解一階全微分的形式不變性。

[重點難點]

重點：偏導數 ；難點：多元復合函數的鏈式法

2教學具體內容

偏增量和全增量，偏導數，全微分，連續，可偏導，可微之間的關系；多元復合函數的鏈式法及其應用，一階全微分的形式不變性。方向導數與梯度 ；高階偏導數和高階全微分，混合偏導數的相等，Taylor公式及Lagrange余項的計算；Taylor公式的簡單應用，條件極值的幾個基本結論；最小二乘法；函數的無條件極值與最值的計算；無條件極值在幾何及不等式中的應用。

教學基本內容及要求

（三）第十八章： 隱函數定理及應用

1，教學基本要求

[目的要求]（1）理解隱函數，隱函數組，反函數組的概念及相關定理。

（2）熟練計算隱函數的導數；偏導數和高階偏導數，計算隱函數組的導數；偏導數。（3）會求曲線的切線與法平面的方程；曲面在給定點處的切平面與法線方程。（4）掌握無條件極值與條件極值的求法。

[重點難點]

重點：隱函數的導數 ；難點：條件極值

2教學具體內容

一元及多元隱函數存在定理；由方程或方程組所確定的隱函數的偏導數的計算；通過變量變換進行方程的化簡和變換。隱函數組 ；空間曲線的切線與法平面的概念及對應的切線與法平面方程的計算；曲面的切平面與法線的概念；會計算曲面在給定點處的切平面與法線方程；偏導數與在幾何中的其它應用； 條件極值。

第十九章：

含參變量積分 1，教學基本要求

[目的要求]

（1）理解含參變量的常義積分的定義及分析性質；

（2）掌握含參變量的反常積分的一致收斂的判別法及一致收斂積分的分析性質；（3）掌握Beta函數和Gamma函數的性質、遞推公式及二者之間的關系。[重點難點]

重點：含參變量積分的定義；難點：一致收斂積分

2教學具體內容

含參變量正常積分 ；含參變量的反常積分 ；掌握Beta函數和Gamma函數的定義、性質、遞推公式及二者之間的關系。

第二十章：

曲線積分

1，教學基本要求

[目的要求]

理解第一、二類曲線積分的概念；掌握計算曲線積分的方法。[重點難點]

重點：曲線積分的計算 ；難點：曲線積分的概念

2教學具體內容

第一類曲線積分的概念；第一類曲線積分的性質；第一類曲線積分的計算公式。第二類曲線積分的概念及性質：方向性、線性性與路徑可加性；第二類曲線積分的計算公式。

第二十一章：

重積分

1，教學基本要求

[目的要求]

（1）理解重積分的概念；掌握二重積分、三重積分的計算；（2）理解二重積分與三重積分的變量代換；（3）掌握重積分的應用

[重點難點]

重點：重積分的計算 ；難點：變量代換

2教學具體內容

二重積分的概念與了解二重積分七條基本性質、按定義計算有界閉區域上的重積分。直角坐標下二重積分的計算； Green公式與曲線積分與路徑無關的條件 ；二重積分變量代換 ；三重積分的計算

；重積分的應用。

第二十二章

曲面積分

1，教學基本要求

[目的要求]（1）理解第一、二類曲面積分的概念；

（2）掌握利用Green公式、Gauss公式和Stokes公式計算曲線積分與曲面積分的方法；（3）理解曲線積分與路徑無關的條件；理解梯度、通量與散度、旋度的概念。

[重點難點]

重點：Green公式、Gauss公式和Stokes公式；難點：曲面積分的概念

2教學具體內容

第一類曲面積分的概念、計算及應用。第二類曲面積分的概念及性質：方向性、線性性與曲面可加性；第二類曲面積分的計算及應用。Gauss公式及其應用；Stokes公式及其應用；Green公式、Gauss公式和Stokes公式三者之間的關系。

第四篇：數學分析課程教學大綱

《數學分析》課程教學大綱

(理工科師范類數學教育專業)

說明

數學分析是理工科師范類數學教育專業的一門必修的基礎課。這門課程對于學員加深理論基礎的學習，增強基本技能的訓練，提高數學修養和業務素質，以便居高臨下地分析和處理中學數學教材，有著重要作用。

本課程以極限概念為基礎，主要內容為一元微積分的理論和應用。

本課程的教學目的一要求是：

一、使學員對極限思想與方法有較深刻的認識，弄清具體與抽象、特殊與一般、有限與無限等辯證關系，學習科學的思想方法，以利于辯證唯物主義世界觀的培養與形成。

二、使學員掌握數學分析的基本知識、基本理論與基本技能，提高抽象思維、邏輯推理與運算的能力，并認識到數學分析在自然科學與社會科學中的廣泛應用。

三、使學員對中學數學的有關內容有較深刻的理性認識，能深入淺出地處理好這些教材內容。

本大綱是在國家教委1990年頒布的《中學教師進修高等師范專科數學分析教學大綱》基礎上修訂而成。本課程課內學時為288學時，其中錄像220學時(學時分配見下表)。

大綱內容

一、函數

（一）目的要求

１、正確理解和掌握函數概念，了解函數的各種表示法和記號；理解和掌握函數的四則運算與復合，會求函數的定義域；掌握反函數的定義和圖象等。

２、理解和掌握有界函數與無界函數、單調函數、奇函數與偶函數、周期函數等概念。３、熟練掌握五種基本初等函數的定義與性質，能熟練地繪出它們的草圖。

４、了解幾個常用的非初等函數的例子。

（二）主要內容

１、函數概念（函數概念絕對值不等式定義域值域函數的符號圖象 函數的各種表示法）

２、函數的特性種類（有界函數與無界函數單調函數奇函數與偶函數周期函數）３、函數的四則運算與復合４、反函數（定義存在的充要條件圖象）

５、基本初等函數（冪函數指數函數對數函數三角函數反三角函數）６、初等函數（基本初等函數初等函數）

７、幾個非初等函數的例子（整數部分函數小數部分函數符號函數狄里赫勒函數黎曼函數）

二、極限

（一）目的要求

１、理解和掌握數列極限與函數極限的概念，掌握它們的有關性質。

２、理解和掌握無窮小量與無窮大量的概念，掌握它們的有關性質。

３、會用“ε-N”、“ε-δ”、“ε-E” 等語言處理極限的有關問題。

４、能運用四則運算、兩邊夾定理、單調有界數列極限存在定理與兩個重要極限，熟練地求極限。

（二）主要內容

１、數列極限的概念（數列數列極限的定義幾何意義）

２、數列極限的性質（唯一性有界性保號性保序性兩邊夾定理四則運算定理單調有界數列極限存在定理）

３、子數列（子數列數列極限與子數列極限的關系）

４、函數極限的概念（在一點處函數極限的定義左、右極限及其與雙邊極限的關系 χ→∞時的極限幾何意義）

５、函數極限的定理（函數極限的性質函數極限與數列極限的關系）

６、兩個重要極限

limsinχ── χ ＝1lim（1＋1─ χ）χ＝ е

χ→0χ→∞

７、無窮小量與無窮大量（無窮小量與無窮大量的定義、關系、性質、無窮大量與無界的區別無窮小量比較）

三、連續函數

（一）目的要求

１、理解和掌握函數連續的概念，一致連續概念要清楚。

２、對于間斷點及其分類要有清楚的了解。

３、掌握閉區間上連續函數的性質。

４、了解初等函數的連續性。

（二）主要內容

１、連續概念（一點處連續、單側連續與區間上連續的定義間斷點及其分類）

２、函數在一點處連續的性質（有界性全保號性四則運算復合函數的連續性反函數的連續性）

３、閉區間上連續函數的性質（價值性有界性量值定理一致連續定理（均暫不證明））

４、初等函數連續性

四、實數的連續性

（一）目的要求

１、了解實數集關于極限運算的封閉性。

２、了解實數連續性的幾個基本定理的證明方法并掌握其條件與結論。

３、了解閉區間上連續函數的性質的證明方法。

（二）主要內容

１、幾個基本定理（閉區間套定理確界確界存在定理聚點聚點定理有限覆蓋定理柯西收斂準則）

２、閉區間上連續函數性質的證明（一致連續定理不證）

五、導數與微分

（一）目的要求

１、掌握導數與微分的概念及其幾何意義，了解它們的應用。

２、能熟練地應用導數的定義與求導法則求函數的導數。

３、會求一些函數的高階導數。

（二）主要內容

１、導數概念（概念引入導數定義幾何意義可導與連續的關系）

２、求導法則（四則運算復合函數與反函數的導數基本公式表）

３、隱函數與參數方程求導（隱函數求導法則參數方程求導法則）

４、微分（微分定義幾何意義微分與導數的關系微分法則一階微分形式不變性微分在近似計算上的應用）

５、高階導數與高階微分（高階導數萊布尼茲公式（不證）高階微分）

６、幾何應用（曲線的切線方程與法線方程兩條曲線的交角弧長的微分）

六、微分學中值定理和泰勒公式

（一）目的要求

１、掌握中值定理的條件、結論和證明方法。

２、會用中值定理證明一些恒等式與不等式。

３、會求一些簡單函數的泰勒展開式。

（二）主要內容

１、中值定理（費爾引理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理）

２、泰勒公式（泰勒公式泰勒公式的余項（拉格朗日型））

七、導數的應用

（一）目的要求

１、能熟練地應用洛畢大法則求不定理的極限。

２、會利用導數判定函數的單調性，會求函數的極值和最大（小）值。

３、能運用導數較正確地作出函數的圖象。

（二）主要內容

１、洛畢大法則（0 ─0 型∞─∞ 型（不證）其他不定型的轉化）

２、函數的單調性（函數單調的充要條件函數嚴格單調的充要條件應用函數的單調性證明不等式）

３、函數的極值（極值概念極值判別法最大值與最小值）

４、函數作圖（函數的凹凸性拐點漸近線函數作圖）

八、不定積分

（一）目的要求

１、掌握原函數與不定積分概念。

２、熟練掌握換元積分法與分部積分法，了解不理函數積分法。

（二）主要內容

１、不定積分的概念（原函數與不定積分的概念不定積分的運算法則基本積分表）２、換元積分法（湊微分法典型代換法）

３、分部積分法

４、有理函數的積分（有理函數部分分式（了解原理，掌握方法））

∫dχ──────（χ2＋a2）n的遞推公式

５、三角函數有理式和積分

九、定積分

（一）目的要求

１、正確理解和掌握定積分概念，了解可積準則，掌握可積函數類。

２、掌握定積分的性質，能熟練地應用牛頓－萊布尼茲公式計算定積分。

３、掌握并正確用換元積分法與分部積分法。

（二）主要內容

１、定積分概念（概念引入定積分的定義）

２、可積準則（大和與小和可積的必要條件可積的充要條件）

３、可積函數類（連續函數只有有限個間斷點的有界函數單調有界函數可積分函數類與有原函數的函數類的區別）

４、定積分的性質（線性有限可加性單調性絕對可積性積分第一中值定理）５、定積分的計算（可變上限的定積分牛頓－萊布尼茲公式換元積分法分部積分法）

十、定積分的應用

（一）目的要求

１、掌握定積分在幾何上的應用，了解定積分在物理上的應用。

２、了解定積分的近似計算。

（二）主要內容

１、定積分在幾何上的應用（微元法平面區域的面積平面曲線的弧長利用截面面積計算立體體積旋轉體的側面積）

２、定積分在物理上的應用（靜壓力變力作功非均勻曲線的質量）

３、定積分在近似計算（梯形法拋物線法）

十一、數項級數

（一）目的要求

１、掌握無窮級數及其斂散性等基本概念。

２、了解收斂級數的性質。

３、能熟練使用幾種常用的判斂法則。

（二）主要內容

１、數項級數的斂散性（無窮級數部分和收斂與發散和與余和收斂級數的性質收斂的必要條件柯西準則）

２、正項級數斂散性判別法（比較判別法級數通項比值極限法達朗貝爾判別法柯西判別法）

３、任意項級數斂散性判別法（絕對收斂與條件收斂交錯級數萊布尼茲判別法）

十二、函數項級數

（一）目的要求

１、掌握函數項級數的收斂域、和函數與一致收斂等基本概念。

２、會使用一致收斂的優級數判別法。

３、掌握和函數與極限函數的分析性質。

４、了解極限、收斂的否定語句敘述。

（二）主要內容

１、函數項級數的收斂域（函數項級數收斂域和函數極限函數一致收斂極限與收斂的否定語句敘述）

２、一致收斂的判別法（柯西準則優級數判別法）

３、函數項級數的分析性質（和函數的連續性、可積性、可微性極限函數的連續性、可積性、可微性）

十三、冪級數

（一）目的要求

１、弄清冪級數及其收斂半徑、收斂域等概念，會求冪級數的收斂半徑與收斂域。２、明確冪級數和函數的分析性質。

３、了解函數能展成泰勒級數的條件，能將一些函數民成泰勒級數。

４、了解函數民開式在近似計算上的應用及三角函數表與對數表的造表原理。

（二）主要內容

１、冪級數的收斂域（冪級數阿貝爾定理收斂半徑收斂域）

２、冪級數的性質（內閉一致收斂性和函數的連續性、可積性、可微性）

３、函數的泰勒展開（系數求法與展開式的唯一性可展成冪級數的充要條件 幾個初等函數的冪級數展開式）

４、冪級數在近似計算上的應用（求方根的近似值e和π的近似值三角函數造表對數造表）

十四、廣義積分

（一）目的要求

１、掌握廣義積分的收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念。

２、能用收斂性判別法判斷一些廣義積分的斂散性。

（二）主要內容

１、無窮區間上的廣義積分（無窮積分的收斂與發散絕對收斂與條件收斂收斂準則收斂性判別法與級數的關系）

２、無界函數的廣義積分（瑕積分的收斂與發散絕對收斂與條件收斂收斂準則收斂判別法與無窮積分的關系Г函數簡介）

十五、多元函數微分學

（一）目的要求

１、掌握平面點集的一些基本概念與多元函數的概念。

２、理解和掌握二元函數的極限、二元函數的連續性等概念。

３、掌握偏導數、全微分等概念，能熟練地求偏導數與全微分，了解高階偏導數的概念，能求高階偏導數。

４、弄清全微分、偏導數與連續三者之間的關系。

（二）主要內容

１、平面點集（點的圓形領域內點聚點界點邊界開集閉集區域）

２、二元函數的極限與連續性（多元函數概念二元函數的定義域二元函數的極限與累次極限二元函數連續的概念閉區間上連續函數的性質（不證））

３、偏導數與全微分（偏導數全微分高階偏導數全微分與偏導數、連續三者之間的關系）

４、復合函數的偏導數（復合函數可導的充分條件鏈式公式一階微分形式不變性）５、隱函數存在定理（一元隱函數存在定理隱函數的求導）

十六、二重積分

（一）目的要求

１、掌握二重積分的概念，了解它的性質。

２、會正確計算二重積分，并利用它計算空間形體的體積與平面圖形的面積。３、了解三重積分的概念。

（二）主要內容

１、二重積分的概念（概念引入二重積分的定義二重積分的性質二重積分的性質二重積分存在的充分條件（不證））２、二重積分的計算（二重積分化為累次積分利用級坐標計算二重積分）

３、二重積分的應用（空間形體的體積平面圖形的面積）

４、三重積分的概念計算方法舉例

十七、曲線積分

（一）目的要求

１、掌握兩類曲線積分的概念，會求曲線積分。

２、掌握格林公式、曲線積分與道路無關的條件。

（二）主要內容

１、兩類曲線積分（第一型曲線積分的定義、性質與計算方法兩類曲線積分的關系）２、格林公式

３、曲線積分與道路無關的條件

十八、微分方程簡介

（一）目的要求

１、了解微分方程的一些基本概念。

２、掌握幾種簡單類型微分方程的解法。

（二）主要內容

１、基本概念（微分方程階解初始條件特解通解）

２、一階微分方程（可分離變量的微分方程齊次方程一階線性方程全微分方程）

第五篇：數學分析課程教學大綱1

數學分析課程教學大綱

課程名稱：數學分析/ Mathematical Analysis

學時/學分：264學時/18學分（其中課內學時264學時，實驗上機0學時）先修課程：初等數學

適用專業：數學與應用數學、信息與計算科學 開課院（系、部、室）：數學與計算機科學學院

一、課程的性質與任務

數學分析是數學與應用數學專業一門重要的基礎課。學好本課程為進一步學習微分方程、復變函數、數值計算方法以及概率論等后繼課程必將打下堅實的基礎。通過本課程的學習有助于學生樹立辯證唯物主義思想和觀點，有助于培養學生嚴密的邏輯思維能力和較強的抽象思維能力。本課程以極限為工具，研究函數的微分和積分的一門學科，其主要內容包括極限論、一元微積分理論、多元微積分和級數等四大部分。理論學時共264學時，分三學期完成：《數學分析I*》88學時；《數學分析II*》88學時；《數學分析III*》88學時。

其任務是：通過本課程的學習，使學生達到：

1、對極限思想和極限方法有深刻的認識，從而樹立辯證唯物主義觀點。

2、掌握數學分析的基本知識和基本理論，能熟練地進行基本運算（如求極限、導數、微分和積分等），并具有一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，以及分析論證能力。

3、能應用微積分方法解決一定的實際問題。

二、《數學分析I*》課程的教學內容、基本要求與學時分配（總學時88）

（一）函數 6學時

1、熟練掌握函數、反函數、復合函數、單調函數、有界函數、奇偶函數與周期函數等概念。

2、會求函數的定義域。

3、了解函數的各種表示法，掌握分析（或解析）表示法特別對分段表示的函數要很好地理解。

4、熟悉基本初等函數，初等函數。

重點：函數、反函數、復合函數、單調函數、有界函數、奇偶函數與周期函數等概念。難點：反函數、復合函數的概念。

（二）極限 28學時

1、掌握數列極限、函數極限、無窮小量、無窮大量及確界概念，對極限的否定形式要有所了解。

2、會用“ε-N”，“ε-δ”，“ε-A”方法處理極限問題。

3、對下述性質與定理，如唯一性、有界性、保號性、柯西收斂定理和海涅定理等，能準確地敘述并會證明。

4、會運用四則運算、兩邊夾定理、單調有界數列極限存在定理及兩個重要極限熟練地求極限。

5、理解無窮小量、無窮大量的概念，并會用無窮小量、無窮大量的性質處理極限問題。重點：極限的相關概念及其相關理論。

難點：極限的概念，柯西收斂定理和海涅定理。

（三）連續函數 8學時

1、理解一點連續、單側連續與區間上連續的定義；理解間斷點及其分類概念。理解保號性，有界性，四則運算，復合函數的連續性，反函數的連續性。

2、會準確敘述并會證明閉區間上連續函數的介值性，有界性，最值定理；一致連續定理（一致連續性定理的證明可不作要求），并進行相關證明。

3、了解初等函數的連續性。

重點：函數連續的概念及其相關性質。

難點：一點處連續、左右連續的概念和性質。

（四）實數的連續性 9學時

1、準確地敘述并會證明實數系的幾個基本定理

區間套定理，確界概念，確界存在定理，單調有界數列極限存在定理，聚點原理，收斂準則，有限覆蓋定理。

2、會用上述定理處理某些證明問題。

重點：用實數的連續性的幾個定理處理有關證明問題。難點：實數的連續性幾個定理的證明及其等價性。

（五）導數與微分 14學時

1、掌握導數（包括單側導數與導函數）的概念，熟悉它的幾何意義，掌握可導與連續的關系。

2、能熟練地應用導數定義與四則運算，復合函數的導數，反函數的導數，基本公式表，隱函數求導法，參數方程求導法求函數的導數。

3、會求一些函數的高階導數。

4、理解微分的定義，微分的幾何意義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式的不變法，會用微分進行近似計算。

重點：導數（包括單側導數與導函數）微分的概念，導數微分的計算。難點：導數（包括單側導數函數）微分的概念

（六）微分中值定理及泰勒公式，導數的應用 23學時

1、能正確敘述并證明費爾馬引理，羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

2、會用中值定理證明一些恒等式與不等式。

3、會求一些簡單函數的泰勒展開式。

4、能熟練地應用洛畢大法則求不定型的極限。

0??“"型與”"型(型不證),其它形式的不定型轉化成以上兩種形式的不定型。0??

5、函數單調性判別法。理解函數單調的充要條件，函數嚴格單調的充要條件，應用函數的單調性證明不等式。

6、理解極值概念，極值判別法，最大值與最小值概念，能熟練地求函數的極值和最大（小）值。

7、理解函數的凹凸性，拐點，漸近線等概念，會用有關的知識討論函數的凹凸性及拐點，能應用導數較正確地作出函數的圖像。

重點：中值定理的相關應用。難點：中值定理的證明。

三、《數學分析II*》課程的教學內容、基本要求與學時分配（總學時88）

（一）不定積分 18學時

1、掌握原函數與不定積分的概念，熟記基本積分表，理解線性運算法則。

2、熟練掌握換元積分法與分部積分法。

3、掌握有理函數積分法，三角函數有理式的積分。

4、掌握簡單無理函數的積分。重點：不定積分計算

難點：原函數與不定積分的概念，無理函數的積分。

（二）定積分 18學時

1、掌握定積分概念。

2、可積的必要條件。理解大和與小和及其性質，可積的充要條件。

3、理解可積的充要條件，并能應用它判斷或證明函數的可積性（包括可積函數類）。

4、定積分的性質。熟悉定積分的線性，有限可加性，單調性，絕對可積性，積分中值定理。

5、理解可變上限的定積分的性質并能熟練的處理相關問題。

6、能熟練應用牛頓——萊布尼茲公式、換元積分法和分部積分法計算定積分。

7、了解定積分的近似計算方法。

重點：可積理論，定積分的性質與計算。難點：大小和的性質，可積準則。

（三）定積分的應用 10學時

1、會用微元法解決幾何、物理中的一些問題。

2、掌握平面圖形的面積，已知截面面積函數的立體體積，旋轉體的側面積，曲線的弧長與曲率。

3、定積分在物理上的應用：會求壓力、功、靜力矩、重心。重點：幾何與物理上的應用。難點：微元法思想。

（四）級數 42學時

1、數項級數

（1）掌握無窮級數的收斂、發散、和、絕對收斂及條件收斂等概念。（2）掌握收斂級數的性質（包括絕對收斂與條件收斂的性質）。（3）熟練掌握正項級數的斂散性判別法。

（4）掌握交錯級數的萊布尼茲判別法，理解任意項級數的狄利克雷、阿貝耳判別法。（5）了解級數的重排性質（黎曼定理不證明）。重點：級數收斂的性質，正項級數收斂判別法。

難點：級數收斂的定義，絕對收斂及條件收斂等概念及其判別。

2、數項級數

（1）理解收斂域、極限函數、和函數和一致收斂等概念。

（2）熟練掌握優級數判別法；理解狄利克雷判別法、阿貝耳判別法。

（3）理解函數列的極限函數的連續性、可積性、可微性、函數項級數的和函數的連續性、可積性（逐項積分）與可微性（逐項微分）。會用性質處理一些相關問題。

重點：函數項級數一致收斂的性質、和函數的分析性質。難點：函數項級數一致收斂的概念。

3、冪級數

（1）理解冪級數、函數的泰勒級數的概念，了解函數可展成泰勒級數的條件。

（2）掌握冪級數的內閉一致收斂性，和函數的連續性，可積性（逐項積分）與可微性（逐項微分）。

（3）熟練掌握冪級數的收斂半徑與收斂域的求法。（4）能用冪級數做某些近似計算。

重點：冪級數收斂的性質，和函數的性質和計算。難點：和函數的計算。

4、傅里葉哀級數

（1）掌握三角函數系的正交性與函數的傅里葉級數的概念。（2）能正確敘述傅里葉級數收斂性判別法。（3）能將一些函數展成傅里葉級數。

重點：傅里葉級數收斂定理及函數的傅里葉級數的展開。難點：傅里葉級數收斂定理的證明（可不做要求）。

四、《數學分析III*》課程的教學內容、基本要求與學時分配（總學時88學時）

（一）多元函數及其連續性 10學時

1、掌握平面點集的有關概念，多元函數的極限，累次極限以及連續性等概念。

2、了解閉區域套定理、聚點原理、有限覆蓋定理以及多元連續函數的性質。重點：多元函數的極限、累次極限以及連續性等概念，多元函數的性質 難點：平面點集的概念，多元函數極限的概念。

（二）多元函數微分學 14學時

1、掌握偏導數、全微分、方向導數、高階偏導數等概念。

2、掌握全微分、偏導數、連續三者之間的關系。

3、會求函數的偏導數、全微分、方向導數。

4、了解多元函數的泰勒公式。

5、理解極值和最值的概念，掌握極值的必要條件，充分條件，會求多員函數的極值和某些函數的最大（小）值。

重點：偏導數、全微分的概念和計算，極值和最值的判別和計算。難點：全微分的概念，泰勒公式。

（三）隱函數 14學時

1、了解隱函數、函數行列式、條件極值的概念。

2、能用隱函數存在定理判別隱函數的存在性，會求隱函數的導數或偏導數。

3、理解條件極值的概念及Lagrange's乘數法。會求多元函數的條件極值。

4、會求曲線的切線方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程。重點：隱函數的概念和存在定理的應用。難點：隱函數存在定理的證明。

（四）反常積分與含有參變量的積分 14學時

1、掌握反常積分（無窮積分、瑕積分）收斂、發散、絕對收斂與條件收斂等概念。

2、能用收斂性判別法判斷一些廣義積分的斂散性。

3、理解含有參變量積分的概念和分析性質，了解Г-函數、-函數的性質。

4、能用收斂性判別法判斷一些廣義含參積分的斂散性。

重點：反常積分與含參積分收斂、發散、絕對收斂與條件收斂的性質與判別.難點：含參積分的分析性質的證明。

（五）重積分 18學時

1、理解二重積分與三重積分的概念。

2、理解二重積分與三重積分的性質。

3、掌握直角坐標系及極坐標系下二重積分的計算方法，能將三重積分化為累次積分，并利用柱面坐標、球面坐標計算三重積分。

4、會求一些圖形的面積、體積以及一些物體的質量和重心。重點：二重積分與三重積分的計算。難點：二重積分與三重積分換元積分法。

（六）曲線積分與曲面積分 18學時

1、理解第一型曲線積分及第二型曲線積分的定義、性質，掌握第一型、第二型曲線積分的計算方法，了解第二型曲線積分與第一型曲線積分的關系；掌握格林公式。

2、理解第一型曲面積分的定義、性質；第二型曲面積分的定義、性質，掌握第一型、第二型曲面積分的計算方法，了解第二型曲面積分與第一型曲面積分的關系；理解奧——高公式,了解斯托克斯公式。

3、了解場論初步。

重點：第一、第二曲線積分與曲面積分的計算，格林公式與高斯公式。難點：第一、第二曲線積分與曲面積分的概念，斯托克斯公式。

五、推薦教材和主要參考書：

1、推薦教材：

(1)劉玉璉 等編著，《數學分析講義》（上、下冊）北京：高等教育出版，第四版，2003。

2、推薦參考書：(1)謝惠民等，《數學分析講義》（上、下冊），北京： 高等教育出版。(2)陳紀修等著，《數學分析》（上、下冊，北京： 高等教育出版。(3)華東師范大學數學系 著，《數學分析 》（上、下冊），北京：高等教育出版。(4)裴禮文 著，《數學分析典型問題與方法》，北京：高等教育出版社出版。

大綱制訂者：劉學飛

大綱審定者： 組合數學課程教學大綱

課程名稱：組合數學/ Combinatory Mathematics 學時/學分： 48學時/3學分(上機實驗0學時）

先修課程：數學分析/高等數學、高等代數/線性代數、離散數學、運籌學。適用專業：數學與應用數學模塊2/數學與應用數學模塊1 開課院（系、部、室）：數學與計算機科學學院

一、課程的性質與任務

《組合數學》是數學與應用數學專業的一門選修基礎課程本課程的任務是介紹組合分析的基礎知識、基本原理和基本方法。目的與任務是為學習算法分析奠定基礎。

二、課程內容、基本要求與學時分配

（一）排列與組合 9學時 理解加法原理與乘法原理的基本含義。2 理解排列與組合的定義。掌握排列的生成算法和鄰位互換算法。4 理解組合的生成。能求解允許重復的組合問題。6 能給出常用等式的組合意義。7 掌握排列與組合的應用實例。8 理解Stirling近似公式。

重點：排列的生成算法和鄰位互換算法。難點：Stirling近似公式及其應用。

（二）母函數與遞推關系

13學時 掌握母函數的概念和它的基本性質及其應用。2 掌握遞推關系及其應用。3 掌握常系數遞推關系的求解。了解整數拆分及相關性質和Ferrers圖象。5 理解指數型母函數。掌握母函數與遞推關系的應用實例。掌握錯排問題、Stirling數、Catalan數的組合意義及相關結論。重點：母函數的概念及其基本性質與其應用。

難點：錯排問題、Catalan數的組合意義及相關結論。

（三）容斥原理與鴿巢原理

12學時 掌握容斥原理及其應用。2 會解錯排問題。會熟練地解決有限制排列。4 了解Mobius反演。掌握鴿巢原理及其應用。會解決簡單的Ramsey問題并記住常見的Ramsey數。重點：容斥原理、鴿巢原理及其應用。難點：Ramsey問題。

（四）Polya定理

7學時 1 了解群的有關概念。2 了解置換群的概念。掌握循環群的基本性質。了解Burnside引理的條件與結論。理解Polya定理的基本內容，掌握Polya定理的應用。6 了解母函數的Polya定理。7 掌握圖的計數方法。

重點：置換群、循環群的基本性質。難點：Polya定理及其應用。

（五）區組設計與編碼

7學時 了解拉丁方的概念。2 了解域的有關概念。掌握Galois域GF(pn)上的多項式的運算。4 了解正交拉丁方。掌握均衡不完全的區組設計（BIBD）的基本原理。6 了解GF(p)域上的射影空間的有關概念。理解Hadamard矩陣，掌握Hadamard矩陣的構成。8 了解編碼理論的基本概念。了解線性碼和Hamming碼、陪集譯碼法、BIBD和編碼。重點：均衡不完全的區組設計（BIBD）的基本原理。難點：陪集譯碼法、BIBD和編碼。

三、推薦教材和主要參考書 推薦教材：

（1）盧開澄，組合數學,北京：清華大學出版社,1999。2 主要參考書：

（1）L.Comet.譚明術等譯，高等組合學，大連：大連理工大學出版社，1991。（2）柯召等，組合論，北京：科學出版社，1981。（3）柳柏濂，組合矩陣論，北京：科學出版社，1996。注：對模塊1/2的課時分別用/分開。

大綱制訂者：劉學飛 大綱審定者：

泛函分析課程教學大綱

課程名稱：泛函分析/ Functional Analysis 學時/學分：64學時/4學分（其中課內學時64學時，實驗上機0學時）先修課程：數學分析，高等代數，復變函數，實變函數 適用專業：數學與應用數學 開課院（系、部、室）：數學與計算機科學學院

一、課程的任務與性質

泛函分析是數學與應用數學本科專業的一門重要的專業必修課程，是數學分析，高等代數，復變函數，實變函數的后續課程，是了解近代數學的一個窗口。它對加強學生的數學修養具有十分重要的意義。其任務是使學生學會和養成使用抽象的分析方法，為學習現代數學打下良好的基礎。

二、課程內容、基本要求與學時分配

1、了解集合的對等與基數的概念。

2、理解可數集合及其基本性質。

3、知道不可數集合的存在性以及證明方法。

4、了解一維空間中內點、聚點、界點的概念。

5、理解開集、閉集、完備集的概念以及直線上開集、閉集的構造方法。

6、理解外測度的定義。

7、了解可測集的概念及其基本性質和知道不可測集的存在。

8、了解可測集類。

9、了解可測函數的基本性質。

10、解葉果洛夫定理。

11.、理解可測函數的構造。

12.、知道依測度收斂的概念及其有關的定理。

13、了解勒貝格積分的定義，理解勒貝格積分的性質。

14、熟悉積分的極限定理。

15、理解有界變差函數及其性質。

16、理解不定積分的概念和有關性質、了解斯蒂階積分。重點：測度與勒貝格積分。

難點：可數與不可數集的概念和性質。

1、理解度量空間中的極限，稠密集以及可分空間的概念。

2、理解連續映照以及相關定理，特別是壓縮映射原理。

3、理解柯西列的概念和懂得一般度量空間完備化方法。

4、掌握線性賦范空間及巴拿赫空間的基本性質。

重點：連續算子、線性賦范空間及巴拿赫空間的基本性質。難點：度量空間的完備化。

（一）預備知識

24學時

（二）度量空間和線性賦范空間

10學時

（三）線性有界算子和線性連續泛函

8學時

1、理解線性有界算子和線性連續泛函。

2、了解線性算子空間和共軛空間，知道廣義函數大意。重點：線性有界算子和線性連續泛函

難點：現行線性算子空間和共軛空間

（四）內積空間和希爾伯特空間

10學時

1、理解投影定理。

2、了解希爾伯特空間中的規范正交系概念。

3、掌握希爾伯特空間上的連續線性泛函。

4、了解自伴算子、算子和正常算子。

重點：希爾伯特空間上的連續線性泛函的表示理論。難點：規范正交系及其性質。

1、理解泛函延拓定理和了解C[a,b]的共軛空間。

2、理解共軛算子。

3、熟悉綱定理和一致有界性定理

4、知道強收斂、弱收斂和一致收斂的概念。重點：泛函延拓定理、一致有界性定理。難點：共軛算子。

（五）巴拿赫空間中的基本定理

8學時

（六）線性算子的譜

4學時

1、了解譜的概念

2、理解有界線性算子譜的基本性質

3、了解緊集和全連續算子和自伴全連續算子的譜論。重點：有界線性算子譜的基本性質。難點：譜的概念與性質。

三、使用教材和主要參考書

1、推薦教材：

（1）程其襄等編著，實變函數與泛函分析基礎，北京：高等教育出版社。

2、推薦參考書：

（1）薛昌興，實變函數與泛函分析基礎，北京：高教出版社。

（2）夏道行等著，實變函數與泛函分析基礎，北京：高教出版社（第二版）。（3）周民強 著，實變函數論，北京大學出版社。

（4）鄭維行、王聲望 著，實變函數與泛函分析概要（第一、二冊），高教出版社。

大綱制訂者：劉學飛 大綱審定者：

運籌與優化課程教學大綱

課程名稱：運籌與優化/ Operations and Optimization

學時/學分：48學時/3學分（其中課內學時48學時，實驗上機0學時）

先修課程：高等代數或線性代數，概率論與數理統計，數值計算方法，算法語言等 適用專業：數學與應用數學 開課院（系、部、室）：數學與計算機科學學院

一、課程的性質、目的與任務

本課程是數學與應用數學專業基礎課程之一。其任務是使學生從理論和實踐上掌握數學優化的基本原理和基本方法，培養學生對典型的數學優化模型及基本算法的理解與應用能力。

二、課程內容、基本要求與學時分配

（一）緒論

了解運籌與優化這門科學的產生、發展、現狀、應用及相關知識;介紹開設本課程的背景意義、注意之處、與其它課程的相互聯系、教學安排、學習方法、相關參考書;介紹本課程的主要內容；介紹相關軟件；對學生提出要求等。

（二）線性規劃（LP）

4學時

1.理解LP建模及實際背景。

2.掌握LP(二維)的圖解法、LP的標準型、LP解的相關基本概念（可行解、可行域、基、基可行解、可行基）。了解LP問題解的幾種情況。

3.了解LP的幾何意義（可選擇其中的結論證明），掌握可行域頂點與基可行解的重要對應關系。

重點：LP(二維)的圖解法，LP解的相關基本概念。難點：可行域頂點與基可行解的重要對應關系。

（三）LP的單純形法 6學時

1．了解單純形法原理及運算過程中的基本概念。2．熟練掌握單純形法計算方法（特別是表上運算）。

3．掌握LP問題的大M法、兩階段法，了解LP問題的退化情況。重點：單純形法計算方法。難點: 大M法、兩階段法。

（四）LP問題的應用舉例 2學時

列舉幾個典型的LP問題數學模型，培養學生建立LP模型的基本能力。重點：數學建模思想。難點：建模方法。

（五）對偶理論 4學時

1．了解單純形法的矩陣描述及改進單純形法。

2．了解LP對偶問題提出的背景，會寫出一個LP問題的對偶問題。3．掌握對偶理論的基本性質（特別是互補松馳條件的應用）。4．了解對偶單純形法及靈敏度分析。重點：對偶問題的性質。難點：互補松馳性。

（六）運輸問題

4學時 掌握產銷平衡的運輸問題的數學模型及表上運算方法，了解產銷不平衡情形。重點：產銷平衡的運輸問題。難點：產銷不平衡問題。

（七）整數規劃 4學時

1．掌握整數規劃的常用兩種算法之一（分支定界法與割平面法）。2．掌握0-1規劃的隱枚舉法。掌握指派問題的解法。重點：整數規劃的分支定界法、指派問題。難點: 整數規劃的割平面法。

（八）非線性規劃

8學時

1．了解非線性規劃問題提出的意義及一般數學模型與相關概念。

2．掌握多元無約束極值問題的2-3個常用算法（如最速下降法、共軛梯度法、變尺度法、牛頓法等），了解這些算法各自的優缺點。

3．了解約束條件下的極值問題有關基本概念及算法。重點：無約束極值問題的幾種算法。難點：變尺度法。

（九）動態規劃初步 4學時

1.了解動態規劃的基本原理（多階段決策的動態規劃方法）。2.通過舉例（典型問題）要求學生掌握應用本原理的基本方法。重點：動態規劃的基本原理。難點：動態規劃方法求解方法。

（十）網絡優化 4學時

1．掌握最小生成樹、最短路、網絡最大流算法。了解最小費用最大流問題的算法。了解一些著名網絡優化問題。

2．會求關鍵路線（CPM）。了解GERT（圖解評審法）。重點：最短路、網絡最大流算法。難點：最小費用最大流問題算法。

（十一）排隊論 6學時

1．了解排隊系統模型及基本概念。

2．了解顧客到達時間和服務時間的分布。

3．掌握幾個常用排隊模型（M/M/

1、M/M/1/N/、M/M/1/ /m）中相關參數的計算。重點是M/M/1模型。

4．了解多服務臺排隊模型。重點：重點是M/M/1模型。難點：模型的有關指標。

（十二）機動與總復習 2學時

三、推薦教材和主要參考書

1．推薦教材：

（1）運籌學教材編寫組, 運籌學，北京：清華大學出版社，1998。2．主要參考書：

（1）張瑩，運籌學基礎，北京：清華大學出版社，1995。

（2）羅榮桂，新編運籌學題解，武漢：華中科技大學出版社，2002。

（3）胡運權，運籌學基礎及應用，哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，1988。

（4）M S Bazarra , J Jarvis.Linear programming and network flows.New York: John Wiley & Sons , Inc.，1977。

（5）S Bradley，應用數學規劃，瞿立林等譯，北京：機械工業出版社，1986。（6）胡運權，運籌學習題集，北京：清華大學出版社，1995。

大綱制訂者：劉學飛

大綱審定者：