第一篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品21

第二十一講 三角函數的性質 班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

ππ1．(精選考題·重慶)下列函數中，周期為π，且在??42上為減函數的是()

ππ2x＋?B．y＝cos?2x＋? A．y＝sin?2?2???

πx＋?C．y＝sin??2? πx D．y＝cos??2πππ2x＋＝cos2x的最小正周期為π，且在?上是減函數，故選解析：由于y＝sin?2??42A.答案：A

2．(精選考題·陜西)函數f(x)＝2sinxcosx是()

A．最小正周期為2π的奇函數

B．最小正周期為2π的偶函數

C．最小正周期為π的奇函數

D．最小正周期為π的偶函數

解析：因為f(x)＝2sinxcosx＝sin2x是奇函數，T＝π，所以選C.答案：C

3．(精選考題·陜西)對于函數f(x)＝2sinxcosx，下列選項中正確的是()

ππ?A．f(x)在??42?上是遞增的B．f(x)的圖象關于原點對稱

C．f(x)的最小正周期為2π

D．f(x)的最大值為2

ππ?解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，故f(x)在??42?上是遞減的，A錯；f(x)的最小正周期

為π，最大值為1，C、D錯．故選B.答案：B

4．在下列關于函數y3sin2x＋cos2x的結論中，正確的是()

kπ，＋kπ?(k∈Z)上是增函數 A．在區間?6?3?

πB．周期是

2C．最大值為1，最小值為－1

D．是奇函數

答案：A

ππ－?上是增函數，那么()5．ω是正實數，函數f(x)＝2sin(ωx)在??34?

3A．0＜ω≤ B．0＜ω≤2 2

C．0＜ω≤24 D．ω≥2 7

ππωπωπππ－，則ωx∈?－，.又y＝sinx是?－，上的單調增函數，解析：x∈??34?34?22?

則?ωππ－≥－?32

答案：A ωππ≤423?0＜ω≤2

1－1，?，則b－a的值不可能是()6．已知函數y＝sinx定義域為[a，b]，值域為?2??

π2π4πA.B.C．πD.333

2π4π?解析：畫出函數y＝sinx的草圖分析知b－a的取值范圍為??33?，故選A.答案：A

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

π2x－?－22sin2x的最小正周期是________． 7．(精選考題·浙江)函數f(x)＝sin?4??

1－cos2xπ2222x－?－22sin2x＝sin2x－cos2x－22×解析：f(x)＝sin?＝sin2x＋4??2222

π22π2x＋?2＝π.cos2x－2＝sin?4??22

答案：π

0，上的函數y＝6cosx的圖象與y＝5tanx的圖象8．(精選考題·江蘇)設定義在區間??2交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數y＝sinx的圖象交于點P2，則線段P1P2的長為________．

??y0＝6cosx0解析：設P(x0，y0)，則由?消去y0得，6cosx0＝5tanx0?6cos2x0＝5sinx0，即?y0＝5tanx0?

326sin2x0＋5sinx0－6＝0，解得sinx0＝－舍去)或，∵PP1⊥x軸，且點P、P1、P2共線，∴|P1P2|2

32＝sinx0＝.3

2答案： 3

9．(精選考題·山東濰坊模擬)對于函數

??sinx，sinx≤cosxf(x)＝?給出下列四個命題： ?cosx，sinx>cosx?

①該函數是以π為最小正周期的周期函數；

②當且僅當x＝π＋kπ(k∈Z)時，該函數取得最小值是－1；

5π③該函數的圖象關于x＝＋2kπ(k∈Z)對稱； 4

π2④當且僅當2kπ

其中正確命題的序號是________．(請將所有正確命題的序號都填上)

答案：③④

10．給出下列五個命題，其中正確命題的序號為______．

π1π2x＋－的最小正周期是； sin?①函數y＝?33??2

3π3πx－?在區間?π?上單調遞減； ②函數y＝sin?2?2???

③直線x＝5π5π2x＋的圖象的一條對稱軸； 是函數y＝sin?2?4

4，x∈(0，π)的最小值是4； sinx④函數y＝sinx＋xcosx⑤函數y＝tan的一個對稱中心為點(π，0)． 2sinx

5π?3解析：①最小正周期是π，②y在區間[π，π]上單調遞增，③4，0?為對稱中心，2

④sinx≠2，∴y的最小值不是4.答案：⑤

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

111．已知函數f(x)＝log(sinx－cosx)． 2

(1)求它的定義域和值域；

(2)判定它的奇偶性；

(3)判定它的周期性，若是周期函數，求出它的最小正周期．

πx>0，解：(1)由sinx－cosx>0?2sin??4

π5π2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)． ∴定義域為?44?

π1x－?∈(02]，∴值域為?－，＋∞?.∵2sin??4??2?(2)∵定義域關于原點不對稱，∴f(x)是非奇非偶函數．

1(3)∵f(x＋2π)＝log[sin(x＋2π)－cos(x＋2π)] 2

1＝log(sinx－cosx)＝f(x)，2

∴已知函數是周期函數，且最小正周期T＝2π.1312．求當函數y＝sin2x＋acosx－1時a的值． 22

分析：先通過變形化為關于cosx的二次函數，配方后，根據函數式的特點，對a進行分類討論．

a2a2a1a1132?解：y＝1－cosx＋acosx－a－cosx＋acosx?cosx－2＋－22224222

設cosx＝t，∵－1≤cosx≤1，∴－1≤t≤1.aaa1t－?2＋－－1≤t≤1.∴y＝－??2?422

a33(1)當1，即a＜－2時，t＝－1，y有最大值－a－.222335由已知條件可得－a－1，∴a＝－＞－2(舍去)． 223

aaa2a1(2)當－1≤≤1時，即－2≤a≤2時，t＝，y有最大值－－22422

a2a1由已知條件可得－＝1，解得a＝1－7或a＝1＋7(舍去)． 422

aa3(3)當1，即a＞2時，t＝1，y有最大值.222a3由已知條件可得＝1，∴a＝5.22

綜上可得a＝1－7或a＝5.評析：解答此類問題的一般步驟：

(1)化為關于sinx或cosx的二次函數；

(2)利用配方法或換元法，轉化為閉區間上二次函數的最值問題；

(3)對于字母系數的問題需進行分類討論．

π13．(精選考題·廣東)已知函數f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞，＋∞),0<φ<π)在x＝12

時取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的解析式；

2π12＋?＝sinα.(3)若f312?5

解：(1)T2π3

π3×φ?＝1，(2)由題設可知A＝4且sin??12?

πππ則φ＋＝2kπ(k∈Z)，得φ＝2kπ(k∈Z)． 424

ππ3x＋?.∵0<φ<π，∴φ＝.∴f(x)＝4sin?4??4

2ππ12＋?＝4sin?2α＋＝4cos2α＝(3)∵f2312??5

3∴cos2α5

115∴sin2α＝(1－cos2α).∴sinα＝.255

第二篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品32

第三十二講 一元二次不等式及其解法

班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

1．在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實數x的取值范圍為

()

A．(0,2)B．(－2,1)

D．(－1,2)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0?x2＋x－2<0?－2

x＋52．不等式2的解集是()(x－1)11－3，?B.?－3? A.?2???2?

1?11∪(1,3]D.?－1?∪(1,3] C.??2??2?

12???2x≤3，?x＋5≥2(x－1)x＋5解析：≥2????(x－1)?x－1≠0???x≠1.1－1?∪(1，3].故選D.∴x∈??2?

答案：D

x>0??2，3．設函數f(x)＝?若f(－4)＝f(0)，x?bx?c,x≤0,?2

f(－2)＝0，則關于x的不等式f(x)≤1的解集為()

A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)

B．[－3，－1]

C．[－3，－1]∪(0，＋∞)

D．[－3，＋∞)

b解析：由f(－4)＝f(0)，得函數f(x)＝x2＋bx＋c(x≤0)的對稱軸x＝－2＝－，所以b＝4.f(－2

2)＝0得c＝4.??x>0時－2≤1，不等式f(x)≤1等價于? 2?x≤0時x＋4x＋4≤1，?

解得x>0或－3≤x≤－1.故選C.答案：C

44．不等式≤x－1的解集是()x－1

A．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

B．[－1,1)∪[3，＋∞)

C．[－1,3]

D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)

x2－2x－3解析：原不等式化為0，由數軸標根法解得－1≤x<1或x≥3.x－1

答案：B

10，?成立，則a的取值范圍是()5．若不等式x2＋ax＋1≥0對于一切x∈??2?

A．a≥0

B．a≥－2 D．a≥－3 5C．a≥－2

1aa10，?解析：設f(x)＝x2＋ax＋1，則對稱軸為x若－≥，即a≤－1時，則f(x)在??2?222

1?5上是減函數，應有f?≥0?－≤a≤－1 ?2?2

1a0，上是增函數，應有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0 0，即a≥0時，則f(x)在??22

aa2a2a1a2?若0≤即－1≤a≤0，則應有f?－2＝＋1＝1－0恒成立，故－1≤a≤0.2242

45綜上，有－a.2

答案：C

評析：考查一元二次不等式與函數相結合，利用函數的性質解不等式問題．

6．已知函數f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，對任意實數x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若當x∈[－1,1]時，f(x)>0恒成立，則b的取值范圍是()

A．－1

B．b>2 D．不能確定 C．b<－1或b>2

a解析：由f(1－x)＝f(1＋x)，知f(x)的對稱軸為x＝1，故a＝2.2

又f(x)開口向下，所以當x∈[－1,1]時，f(x)為增函數，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)>0恒成立，即f(x)min＝b2－b－2>0恒成立，解得b<－1或b>2.答案：C

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

7．若關于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，則m＝________.解析：根據不等式與方程之間的關系知1為方程ax2－6x＋a2＝0的根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，當a＝2時，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；當a＝－3時，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案：2

8．(2009·青島市模擬)已知不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，則a2＋b2－2b的取值范圍是________．

解析：∵不等式ax2＋bx＋a<0(ab>0)的解集是空集，∴a>0，b>0，且Δ＝b2－4a2≤0，∴b2≤4a2.4b22544b－?2≥－.∴a＋b－2b≥b－2b＝445?5522

4∞?.∴a2＋b2－2b的取值范圍是??5?

4－? 答案：??5?

9．(精選考題·西城模擬)已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且不等式f(x)>0的解集為(1,2)，若f(x)的最大值小于1，則a的取值范圍是________．

解析：由題意知a<0，可設f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，又a<0，∴f(x)max＝8a2－(－3a)2－a2－a＝<1，∴－4

答案：(－4,0)

x－110．(2009·石家莊質檢一)若不等式m<0的解集為{x|x<3或x>4}，則m的值為x＋m

________．

x－1(1＋m)x＋m2－1解析：由＋m<0，得，即當1＋m<0時有(x＋m－1)(x＋m)>0，其x＋mx＋m

大根為1－m，小根為－m.??1－m＝4所以?，推得m＝－3，故填：－3.?－m＝3?

答案：－3

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

11．已知函數f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.17(1)若函數f(x)有最大值a的值； 8

(2)解不等式f(x)>1(a∈R)．

11＋4ax＋2－解：(1)a≥0時不合題意，f(x)＝a? ?2a4a

1＋4a217當a<0時，f(x)有最大值，且－＝ 4a8

1解得a＝－2或a＝－.8

(2)f(x)>1，即ax2＋x－a>1，(x－1)(ax＋a＋1)>0，①當a＝0時，解集為{x|x>1}；

1x＋1＋>0，②當a>0時，(x－1)?a?

1解集為{x|x>1或x<－1}； a

1③當a＝－(x－1)2<0，解集為?； 2

11x＋1＋<0，④當－a<0時，(x－1)?a?2

1解集為{x|1

11x＋1＋?<0，⑤當a<－時，(x－1)?a??2

1解集為{x|－1－x<1}． a

ax－112．解關于x的不等式：x－a

1解：當a＝0時，不等式化為－>0，解得x<0； x

1xa??ax－a若a≠0，則原不等式可化為11當0； aa

x－1當a＝1，解得x∈R且x≠1； x－1

11當a>1時，ax<或x>a； aa

1x－a若a<0，則不等式可化為x－a

11當a<－1時，a

當a＝－1時，不等式可化為x＋1<0，其解集為?； x＋1

11當－1，解得

1??綜上，當a<－1時，不等式解集為?x|a

當a＝－1時，不等式解集為?；

當－1

a

當a＝0時，不等式解集為{x|x<0}；

當0

a?；

當a＝1時，不等式解集為{x|x∈R且x≠1}； 當a>1時，不等式解集為???x|x<1?

a或x>a??.13．關于x的不等式組??2

?x－x－2>0，??2x2＋(2k＋5)x＋5k<0，取值范圍．

?

解：原不等式組等價于?x>2或x<－1，?????x＋52(x＋k)<0.x>2或x<－1，由題意知－k>5??

2??5?－2x<－k.又知解集內僅有一整數－2，所以－2<－k≤3，即－3≤k<2.的整數解的集合為{－2}，求實數k的

第三篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品31

第三十一講 不等關系與不等式

班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

1．若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()

A．a＋11b>baB．a11bb－a

bb

a＋1

a＋1D.2a＋b

a＋2bab

解析：由已知a>b>0及不等式的基本性質易得a＋1b>b＋1aA.答案：A

2．下列命題中，真命題有()

①若a>b>011

ab；

②若a>b，則c－2a

③若a>b，e>f，則f－ac

④若a>b，則11abA．1個B．2個C．3個D．4個

解析：①②為真命題，故選B.答案：B

3．(2011·濰坊市模擬)已知0

A．loga(xy)<0B．0

C．12

解析：由0logaa2＝2，故選D.答案：D

4．已知a>b，則下列不等式一定成立的是()

A．lga>lgb

11C.abB．a2>b2 D．2a>2b

解析：只有指數函數y＝2x在R上為增函數，所以D正確，而A、C顯然不是對于一切實數都成立的，B的等價條件是|a|>|b|，顯然也錯誤，故選D.答案：D

5．(2011·德州市模擬)若1

A．(－1,3)

C．(－3,3)B．(－3,6)D．(1,4)

解析：∵－4

cd6．(2009·菏澤市模擬)已知三個不等式：①ab>0；②bc－ad>0；③>0(其中a、b、c、ab

d均為實數)，用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結論組成一個命題，可組成的正確命題的個數是()

A．0

C．2B．1 D．3

1解析：若①②bc－ad)>0，ab

cd∴，故③成立； ab

cd若①③成立，則ab??ab>0，∴bc－ad>0，故②成立；

若②③成立，即bc－ad>0，bc－ad>0，ab

∴ab>0，故①成立．

故正確命題的個數為3，應選D.答案：D

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

117．以下四個不等式：①a<0

件是________．

11解析：在①中：a<0，b>0，則； ab

11在②中：b； ba

11在④中：0； ba

11在③中：當b＝－2，a＝1 ab

答案：①②④

8．設函數f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，則a＋2b>0是f(x)>0在[0,1]上恒成立的________條件．(充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)

??f(0)>0?b>0，解析：??? ?f(1)>0??a＋b>0.∴a＋2b>0.而僅有a＋2b>0，無法推出f(0)>0和f(1)>0同時成立．

答案：必要但不充分

9．若－1＜a＜b＜1，－2＜c＜3則(a－b)·c的取值范圍是________．

解析：∵－1＜a＜b＜1，∴－2＜a－b＜0

∴2＞－(a－b)＞0

當－2＜c＜0時，2＞－c＞0，∴4＞(－c)[－(a－b)]＞0，即4＞c·(a－b)＞0；

當c＝0時，(a－b)·c＝0

當0＜c＜3時，0＜c·[－(a－b)]＜6

∴－6＜(a－b)·c＜0

綜上得：當－2＜c＜3時，－6＜(a－b)·c＜4.答案：－6＜(a－b)·c＜4

10．(精選考題·青島質檢題)給出以下四個命題：

①a>b?an>bn(n∈N*)；

②a>|b|?an>bn(n∈N*)；

11③a； ab

11④a

解析：①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a>|b|，得a>0，∴an>bn成立；③aa，故<，④不成立． aba－ba

答案：②③

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

11．設m∈R，x∈R，比較x2－x＋1與－2m2－2mx的大小．

解：解法一：(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)．

關于x的二次三項式x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)的判別式為Δ＝(2m－1)2－4(2m2＋1)＝－4m2－4m－3.二次三項式－4m2－4m－3的判別式為Δ′＝(－4)2－4×(－4)×(－3)＝－32<0，∴Δ<0恒成立．

∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)>0，即x2－x＋1>－2m2－2mx.解法二：∵(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)

＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)

＝x2＋(2m－1)x＋?2m－1?22m－12＋2m2＋1－??2??2?

2m－123＝?x＋＋m2＋m＋ 42?

1?2?3?1?22m－12?2＝?x＋＋?m＋m＋??2??＋4?2? 2?

12112m－12?＝?x＋＋?m2＋2≥2>0，2?

∴x2－x＋1>－2m2－2mx.12．已知a、b、c∈{正實數}，且a2＋b2＝c2，當n∈N且n>2時，比較cn與an＋bn的大小．

分析：考慮比較的是冪的形式，作差不可行，作商處理．

解：∵a、b、c∈{正實數}，∴an，bn，cn>0

an＋bn?an?bn而＝?c＋?c ca2?b2∵a2＋b2＝c2，∴??c＋?c＝1

ab∴0<<1,0<<1 cc

ana2?bn?b2∵n∈N，n>2，∴c

an＋bn?an?bna2＋b2

∴＝?c＋?c<1 cc∴an＋bn

評析：作商法比較大小，作商——變形——判斷商與1的關系．

13．有三個實數m、a、b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互換，所得的代數式的值比原式的值小，那么關系式a＜m＜b是否可能成立？請說明你的理由．

解：不妨設P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a)＋m2a.由題意知Q＜P，即Q－P＜0.∴b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.∴(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)

若a＜m＜b成立，則a＜b，這時不等式(*)的解為m＞b或m＜a，矛盾． 故a＜m＜b不可能成立．

第四篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品14

第十四講 導數的概念及其運算

班級________ 姓名________ 考號________ 日期

________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

1．下列結論不正確的是()

A．若y＝3，則y′＝0

B．若y＝11y′＝－xx1C．若yx，則y 2x

D．若y＝3x，則y′＝3

1?11－31解析：∵y′＝′＝(x－)′＝－x2，22x?x∴選B.答案：B

評析：簡單函數的求導，關鍵是將函數關系式合理地轉化為可以直接應用公式的基本函數的模式．

2．已知奇函數y＝f(x)在區間(－∞，0]上的解析式為f(x)＝x2＋x，則切點橫坐標為1的切線方程是()

A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0

C．3x－y－1＝0D．3x－y＋1＝0

解析：由題意得，x>0時，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x.又因為f(x)為奇函數，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x.又函數f(x)過(1,0)，k＝f′(1)＝－1.所以所求的切線方程為y－0＝－1×(x－1)，即x＋y－1＝0.答案：B

3．已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b切于點(1,3)，則b的值為()

A．3B．－3

C．5D．－5

解析：∵點(1,3)在直線y＝kx＋1上，∴k＝2.∴2＝f′(1)＝3×12＋a?a＝－1.∴f(x)＝x3－x＋b.∵點(1,3)在曲線上，∴b＝3.故選A.答案：A

評析：本題考查導數的幾何意義和曲線方程求法的綜合應用．

4．(精選考題·江西)若函數f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝()

A．－1B．－2

C．2D．0

解析：∵f′(x)＝4ax3＋2bx，∴f′(－x)＝－4ax3－2bx＝－f′(x)，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.答案：B

5．(精選考題·全國Ⅱ)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則

()

A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1

C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1

解析：求導得y′＝2x＋a，因此曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線l的方程是x－y

??0＋a＝1＋1＝0，所以切線l的斜率k＝1＝y′|x＝0，且點(0，b)在切線l上，于是有?，?0－b＋1＝0?

?a＝1?解得?.?b＝1?

答案：A

46．(精選考題·遼寧)已知點P在曲線y＝α為曲線在點P處的切線的傾斜角，e＋1

則α的取值范圍是()

πππ0，?B.?，A.??4??42π3π?3πD.?，π? C.??24??4?

4ex4ex4t解析：y′＝－.設t＝ex∈(0，＋∞)，則y′＝－＝－＝－(e＋1)e＋2e＋1t＋2t＋1

3π?41，π.∵t＋≥2，∴y′∈[－1,0)，α∈?4??1t?t＋＋2?t答案：D

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

7．曲線y＝x2－2x＋a與直線y＝3x＋1相切時，常數a的值是________．

5解析：y′＝2x－2，令y′＝3得x

217代入y＝3x＋1得y＝ 2

51729，代入y＝x2－2x＋a得a＝.將??224

29答案：4

8．已知函數f(x)的導函數為f′(x)，且滿足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，則f′(5)＝________.解析：對f(x)＝3x2＋2xf′(2)求導數，得f′(x)＝6x＋2f′(2)．

令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝6.答案：6

9．若曲線f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數a的取值范圍是________．

1解析：f′(x)＝3ax2 x

因為存在垂直于y軸的切線，則f′(x)＝0在x>0時有解，1即3ax20有解，x

1即3a＝－ x1∵－<0，x∴當3a<0，即a<0時，方程有解，所以a的取值范圍為(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

10．(精選考題·江蘇)函數y＝x2(x>0)的圖象在點(ak，a2k)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．

2解析：∵y′＝2x，∴過點(ak，ak)處的切線方程為y－a2k＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸

11的交點為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即數列{ak}是等比數列，首項a1＝16，其公比q＝，∴a322

＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.答案：21

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

11．已知曲線y＝x3＋x－2在點P0處的切線l1平行于直線4x－y－1＝0，且點P0在第三象限．

(1)求P0的坐標；

(2)若直線l⊥l1，且l也過切點P0，求直線l的方程．

解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解之得x＝±1.當x＝1時，y＝0；當x＝－1時，y＝－4.又∵點P0在第三象限，∴切點P0的坐標為(－1，－4)．

(2)∵直線l⊥l1，l1的斜率為4，1∴直線l的斜率為－4

∵l過切點P0，點P0的坐標為(－1，－4)，1∴直線l的方程為y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.4

12．已知函數f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；

(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標；

1(3)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＋3垂直，求切點坐標與切線的方程． 4

分析：首先要判斷已知點是否在曲線上，再根據切線的斜率即導數值列方程解決問題． 解：(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴點(2，－6)在曲線上．

∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在點(2，－6)處的切線的斜率為

k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)．

即y＝13x－32.(2)解法一：設切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f′(x0)＝3x20＋1，∴直線l的方程為：

3y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16.又∵直線l過點(0,0)，2∴0＝(3x0＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理得x30＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，∴k＝3(－2)2＋1＝13，∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．

解法二：設直線l的方程為y＝kx，切點為(x0，y0)，y0－0x30＋x0－16則k＝.x0x0－0

又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，3x＋x－16∴＝3x20＋1，解得x0＝－2，x0

∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3(－2)2＋1＝13.∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為(－2，－26)．

x(3)∵切線與直線y＝－3垂直，4

∴斜率k＝4，∴設切點為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x20＋1＝4，???x0＝1?x0＝－1∴x0＝±1，∴?或?.??y＝－14y＝－18?0?0

即切點坐標為(1，－14)或(－1，－18)．

切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.評析：解題過程中，很容易把所給的點當作曲線上的點，錯誤原因是沒有把點代入方程進行檢驗．

113．設函數f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y＝3.x＋b

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：函數y＝f(x)的圖象是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

(3)證明：曲線y＝f(x)上任一點的切線與直線x＝1和直線y＝x所圍的三角形的面積為定值，并求出此定值．

解：(1)f′(x)＝a－1(x＋b)?

于是?1a－?(2＋b)＝0，12a＝3，2＋b ??a＝1，解得???b＝－1 ?a4或?8b＝－?39

1∵a，b∈Z，∴f(x)＝x＋.x－1

1(2)證明：已知函數y1＝x，y2＝都是奇函數，x

1∴函數g(x)＝x＋也是奇函數，其圖象是以原點為中心的中心對稱圖形．而f(x)＝x＋x

11(x－1)1，x－1(x－1)

可知f(x)的圖象是由g(x)的圖象沿x軸正方向向右平移1個單位，再沿y軸正方向向上平移1個單位得到的．故函數f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱圖形．

1(3)證明：在曲線上任取一點?x0，x0x－1，??0

1由f′(x0)＝1－(x0－1)1x20－x0＋1?y－1－(x－1)(x－x0)． ??x0－10

令x＝1，得y＝x＋1 x0－1

?x0＋1?.∴切線與直線x＝1交點為?1，??x0－1?

令y＝x，得x＝2x0－1，∴切線與直線y＝x交點為(2x0－1,2x0－1)．

直線x＝1與y＝x交點為(1,1)．

從而所圍的三角形的面積為

1?x0＋1?12－1|2x－1－1|＝x－1·|2x－2|＝2.?·2?20?0?x0－1?0

∴所圍的三角形的面積為定值2.

第五篇：2012高考總復習《走向清華北大》精品36

第三十六講 直接證明與間接證明

班級________ 姓名________ 考號________ 日期________ 得分________

一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

1．命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的證明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”過程應用了()

A．分析法

B．綜合法

C．綜合法、分析法綜合使用

D．間接證明法

解析：因為證明過程是“從左往右”，即由條件?結論．

故選B.答案：B

xn·(x2n＋3)2．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝n＝1,2，?)，試證：“數列{xn}對任意的正整3xn＋1

數n，都滿足xn>xn＋1，”當此題用反證法否定結論時應為()

A．對任意的正整數n，有xn＝xn＋1

B．存在正整數n，使xn≤xn＋1

C．存在正整數n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1

D．存在正整數n，使(xn－xn－1)(xn－xn＋1)≥0

解析：根據全稱命題的否定，是特稱命題，即“數列{xn}對任意的正整數n，都滿足xn>xn＋1”的否定為“存在正整數n，使xn≤xn＋1”，故選B.答案：B

3．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()

A．2ab－1－a2b2≤0

a4＋b4B．a＋b－1－≤0 222

(a＋b)2－1－a2b2≤0 2

D．(a2－1)(b2－1)≥0

解析：因為a2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0，故選D.答案：D

4．已知a、b是非零實數，且a>b，則下列不等式中成立的是()

ba

C．|a＋b|>|a－b|B．a2>b2 11abab

b－ab解析：??a(a－b)>0.aa

∵a>b，∴a－b>0.而a可能大于0，也可能小于0，因此a(a－b)>0不一定成立，即A不一定成立；

a2>b2?(a－b)(a＋b)>0，∵a－b>0，只有當a＋b>0時，a2>b2才成立，故B不一定成立；

|a＋b|>|a－b|?(a＋b)2>(a－b)2?ab>0，而ab<0也有可能，故C不一定成立；

11a－b?>0?(a－b)·a2b2>0.ababab∵a，b非零，a>b，∴上式一定成立，因此只有D正確．故選D.答案：D

1?x?a＋b，B＝fab)，5．(2009·杭州市模擬)已知函數f(x)＝?，a，b∈(0，＋∞)，A＝f?2??22abC＝f?a＋b，則A、B、C的大小關系為()??

A．A≤B≤C

C．B≤C≤AB．A≤C≤B D．C≤B≤A

a＋b1?x2ab解析：因為當a，b∈(0，＋∞)時，ab≥f(x)＝??2?，在R上為減2a＋b

函數，所以A≤B≤C，故選A.答案：A

16．設0

A．a

C．cB．b D．不能確定

解析：易得1＋x>2x2x.∵(1＋x)(1－x)＝1－x2<1，又00.1∴1＋x<.1－x

答案：C

二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

7．否定“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”其正確的反設應是________． 解析：本題為全稱命題，其否定為特稱命題．

答案：存在一個三角形，它的外角至多有一個鈍角

8．已知a，b是不相等的正數，xab，ya＋b，則x，y的大小關系是________． 2(a＋b)(a＋b)2

2解析：y＝a＋b)＝a＋b＝＝x.2222

答案：x

199．已知a，b，μ∈(0，＋∞)且1，則使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范圍是________． ab

19b9ab9a＝＋10≥16(＝解析：因為a＋b＝(a＋b)?即b＝3a時取等號)，?ababab

a＋b≥μ恒成立?μ≤(a＋b)min，所以μ≤16.又μ∈(0，＋∞)，故0<μ≤16.答案：(0,16]

10．(原創題)如果a＋b>b＋a，則a、b應滿足的條件是________． 解析：∵aa＋bb>ab＋a?(a－b)2(a＋b)>0?a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b

三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

11．已知a，b，c是不等正數，且abc＝1.111a＋b＋c＋＋.abc

證明：∵a，b，c是不等正數，且abc＝1，111111＋1bccaab111＝ab222abc∴a＋b＋c＝1bc1＋ca12．已知：a>0，b>0，a＋b＝1.求證： 1a＋21b＋2.2

b＋≤2.2

(ab≤4，22證明：要證 a＋211只要證：a＋b＋＋22

∵由已知知a＋b＝1，故只要證：(a＋)(b＋≤1，22

11只要證：(a＋)(b＋≤1，22

1只要證：ab 4

1∵a>0，b>0,1＝a＋b≥ab，∴ab≤，4

故原不等式成立．

13．(精選考題·浦東模擬)△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，a，b，c分別為三

內角A，B，C的對邊．求證：113＝a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c113ca解：要證明＝，只需證明3，只需證明a＋bb＋ca＋b＋ca＋bb＋ca＋bb＋c

＝1，只需證明c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)·(b＋c)，只需證明c2＋a2＝ac＋b2.∵△ABC的三個內角A，B，C成等差數列，∴B＝60°，則余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，∴c2＋a2＝ac＋b2成立．故原命題成立，得證．