第一篇：“哥德巴赫猜想”講義(第14講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第14講）“哥德巴赫猜想”證明（9）

主講王若仲

第13講我們講解了核心部分的定理3，這一講我們講核心部分的定理4。

定理4：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi′＜pj′，i′＜j′，i′、j′=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數相等。其中其中pi，pj，?，mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mjpj為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mrpr為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，msps為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mepe為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mupu為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mvpv為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mwpw為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。

證明：對于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因為mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，因為前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對應同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對應同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對應同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對應同余方程xs≡hs（modps）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關于模M=pipj?prps同余，因為（pepu?pvpw，pipj?prps）=1，由同余性質定理1可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關于模M′=pipj?prpspepu?pvpw同余，又因為偶數2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶數2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個解。在偶數2m范圍內，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解對應集合{ h′，（pipj?prps+h′），（2pipj?prps+h′），′]}，其中vpipj?prps?pt為不大于偶數2m的最大正整數。顯然集合{ h′，（pipj?prps +h′），（2 pipj?prps +h′），（3 pipj?prps +h′），?，[（v-2）pipj?prps+h′]，[（v-1）pipj?prps+h′]} 對應同余方程w≡h′（mod pipj?prps）。

我們設集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中的任一奇數均對應同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的一個解，則a為小于pipj?prpspepu?pvpw的正整數，因為同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關于模M′=pipj?prpspepu?pvpw 同余，由同余性質定理1可知，a=pepu?pvpwh′，我們再設同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw），那么在偶數2m范圍內，同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應的集合為{ h′，（pipj?prpspepu?pvpw +h′），（2 pipj?prpspepu?pvpw +h′），（3 pipj?prpspepu?pvpw +h′），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +h′]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw +h′]}，其中u pipj?prpspepu?pvpw為不大于偶數2m的最大正整數；顯然pepu?pvpwh′＜

pipj?prpspepu?pvpw，所以在偶數2m范圍內，同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應的集合為{ a，（pipj?prpspepu?pvpw +a），（2pipj?prpspepu?pvpw +a），（3pipj?prpspepu?pvpw +a），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +a]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]}，顯然（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+pepu?pvpwh′＜2m。所以a對應pipj?prpspepu?pvpwu，（pipj?prpspepu?pvpw+a）對應pipj?prpspepu?pvp（，（2pipj?wu-1）prpspepu?pvpw+a）對應p1p2p3?pt（u-2），（3p1p2p3?pt+a）對應p1p2p3?p（，?，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]對應pipj?prpspepu?pvpw。tu-3）

所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數相等。故定理4成立。

參考文獻

[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十九日?

第二篇：“哥德巴赫猜想”講義(第19講)

“哥德巴赫猜想”講義

（??

所以對于“偶數2m=奇數+奇數”來說，就只有下面幾種情形： ①偶數2m=奇合數+奇合數，②偶數2m=奇合數+奇素數，③偶數2m=奇素數+奇素數，④偶數2m=1+奇合數，⑤偶數2m=1+奇素數。

對于“偶數2m=奇數+奇數”的情形，我們下面一步一步具體分析：

（ⅰ）、對于偶數2m，當m為奇素數時，我們不妨令m=p，p為奇素數，那么2m=p+p，這種情形下，顯然偶數2m可表為“奇素數+奇素數”。

（ⅱ）、對于偶數2m，假如集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中至少有一個奇數為奇素數，我們不妨令（2m-pi）為奇素數，pi∈{p1，p2，p3，?，pt}，那么2m=（2m-pi）+pi，顯然偶數2m可表為“奇素數+奇素數”。

“哥德巴赫猜想?針對的是無窮的偶數，為了解決無窮的問題，一般情況下，我們設定一個非常大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N；并且假設偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt，為了解保奇素數p1，p2，p3，?，pt均要被篩除，我們還要假設集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中的奇數均為奇合數；因為偶數2m=（2m-p1）+ p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，?，2m=（2m-pt）+ pt。在說上面這樣的情形在無窮多的偶數中是必然存在的。說明白了就是對偶數2m對應的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數，要達到篩除的最大化，即達到篩除的極限。

如果我們設集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，又設集合A1={ p1，3p1，5p1，7p1，9p1，?，（2m1-1）p1}，集合A1′={（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），?，[2m-（2m1-1）p1]}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，?，（2m2-1）p2}，集合A2′={（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），?，[2m-（2m2-1）p2]}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，?，（2m3-1）p3}，集合A3′={（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），?，[2m-（2m3-1）p3]}，?，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，?，（2mt-1）pt}，集合At′={（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），?，[2m-（2mt-1）pt]}；其中奇數（2m1-1）p1為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2m2-1）p2為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2m3-1）p3為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，?，奇數（2mt-1-1）pt-1為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2mt-1）pt為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數。

對于偶數2m以內的全體奇數，偶數2m對應的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，我們在集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中進行埃拉托斯特尼順篩和埃拉托斯特尼逆篩這兩種篩法配合篩：

〈1〉在集合A中篩除屬于集合A1中的奇數，又在集合A中篩除屬于集合A1′中的奇數，得到集合B1；因為我們設偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt。所以集合A和集合A1無公共元素。〈2〉在集合B1中篩除屬于集合A2中的奇數，又在集合B1中篩除屬于集合A2′中的奇數，得到集合B2；

〈3〉在集合B2中篩除屬于集合A3中的奇數，又在集合B2中篩除屬于集合A3′中的奇數，得到集合B3；

┇

〈t-1〉在集合Bt-2中篩除屬于集合At-1中的奇數，又在集合Bt-2

中篩除屬于集合At-1′中的奇數，得到集合Bt-1；

〈t〉在集合Bt-1中篩除屬于集合At中的奇數，又在集合Bt-1中篩除屬于集合At′中的奇數，最終得到集合Bt。

最后在集合Bt中再篩除奇數1和（2m-1）得到集合H，如果我們 能判定集合H中確實有奇數，那么集合H中的奇數必定為奇素數，同時還能判定偶數2m可表為兩個奇素數之和。因為集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數經過上面的配合篩后，如下情形中的奇數被全部篩除：

①偶數2m=奇合數+奇合數，②偶數2m=奇合數+奇素數，③偶數2m=1+奇合數，④偶數2m=1+奇素數。

說明最后在集合H中的奇數必定為奇素數，并且集合H中的奇數必定

只滿足“偶數2m=奇素數+奇素數”的情形。

參考文獻

[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版

二〇一四年四月二十日?

第三篇：“哥德巴赫猜想”講義(第12講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第12講）“哥德巴赫猜想”證明（7）

主講王若仲

第11講我們講解了核心部分的定理1，這一講我們講核心部分的定理2。

定理2：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數的總個數相等。其中pi，pj，?，pr，ps為兩兩互不相同的奇素數，且均小于√2m；mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mjpj為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mrpr為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，msps為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。

證明：對于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因為mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；

我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：（2m-pj）{，（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），?，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。

因為前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對應同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對應同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對應同余方程xr≡hr（modpr）；

集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對應同余方程xs≡hs（modps）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj

（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關于模M=pipj?prps同余，又因為偶數2m是同余方程xi≡h（imodpi）的解，偶數2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個解。那么同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解總可以轉化為同余方程y≡k（modpipj?prps）的解, k為小于pipj?prps的正整數，且k=2m-pipj?prpsu，pipj?prpsu為小于偶數2m的最大正整數。那么2m-（u-1）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+pipj?prps=pipj?prps+k，2m-（u-2）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+2pipj?prps=2pipj?prps+k，?，（2m-2pipj?prps）=2m-[u-（u-2）] pipj?prps=（u-2）pipj?prps+2m-pipj?prpsu=（u-2）pipj?prps+k，（2m-pipj?prps）=2m-[u-（u-1）] pipj?prps=（u-1）pipj?prps +2m-pipj?prpsu=（u-1）pipj?prps+k；那么集合{（2m-pipj?prps），（2m-2pipj?prps）,（2m-3pipj?prps），（2m-4pipj?prps），（2m-5pipj?prps），?，（2m-upipj?prps）}={ k，（pipj?prps+k），（2pipj?prps+ k），?，[（u-2）pipj?prps+k]，[（u-1）pipj?prps+k]}。

又從前面可知，偶數2m是同余方程y≡k（modpipj?prps）的一個

解,則偶數2m=upipj?prps+k。所以k對應pipj?prpsu，（pipj?prps+k）對應pipj?prp（，（2pipj?prps+k）對應pipj?prp（，（3pipj?su-1）su-2）prps+k）對應pipj?prps（u-3），?，[（u-1）pipj?prps+k]對應pipj?prps。故集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數的總個數相等。故定理2成立。

?例

5：證明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數的總個數與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數的總個數相等。

證明：因為集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。

又因為集合{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數的總個數與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數的總個數均為4個。（證畢）

參考文獻

[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十八日?

第四篇：“哥德巴赫猜想”講義(第13講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第13講）“哥德巴赫猜想”證明（8）

主講王若仲

第12講我們講解了核心部分的定理2，這一講我們講核心部分的定理3。

定理3：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數的總個數與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數的總個數相等。其中m1p1為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，m2p2為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，m3p3為對應的集合情形下不大于偶數

2m的最大正整數，?，mtpt為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。

證明：對于集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}，我們令2m-mr+1pr+1=hr+1，因為mr+1pr+1為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hr+1＜pr+1，則2m-（mr+1-1）pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1，2m-（mr+1-2）pr+1=2m-m r+1p

r+1

+2pr+1=2pr+1+hr+1，?，（2m-2pr+1）= 2m-[m r+1-（m r+1-2）]pr+1=（mr+1-2）

pr+1+2m-m r+1pr+1=（m r+1-2）pr+1+hr+1，（2m-pr+1）=2m-[mr+1-（mr+1-1）]pr+1 =（mr+1-1）pr+1+2m-mr+1pr+1 =（mr+1-1）pr+1+hr+1；那么集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}={（pr+1-kr+1），（2pr+1-kr+1），（3pr+1-kr+1），?，[（mr+1-1）pr+1-kr+1]，（mr+1pr+1-kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），?，[（mr+1-2）pr+1+hr+1]，[（mr+1-1）pr+1+hr+1]}；我們令2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），?，[（mr+2-2）pr+2+hr+2]，[（mr+2-1）pr+2+hr+2]}；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），?，[（mr+3-2）pr+3+hr+3]，[（mr+3-1）pr+3+hr+3]}；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），?，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。

因為前面令2m-mr+1pr+1=hr+1，2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；

2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），?，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}對應同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}對應同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}對應同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}對應同余方程xt≡ht（modpt）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）有無窮多解,且這些解關于模M=pr+1pr+2p r+3?pt同余，因為（p1p2p3?pr，pr+1pr+2p r+3?pt）=1，由同余性質定理1可知，同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，又因為偶數2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶數2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶數2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，?，偶數2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶數2m也是同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的一個解；在偶數2m范圍內，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的所有解對應集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p

r+3

?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?

pt+h′]}，其中vpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數2m的最大正整數。顯然

集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?pt+h′]} 對應同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt）。

我們設集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中的任一奇數均對應同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的一個解，對于同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），e為小于p1p2p3?pt的正整數，因為同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，由同余性質定理1可知，e=p1p2p3?prh′，根據前面得到的同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt），我們再設同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），那么在偶數2m范圍內，同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應的集合為{ h′，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+h′]}，其中up1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數2m的最大正整數；顯然p1p2p3?prh′＜p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt，而

e=p1p2p3?prh′，所以在偶數2m范圍內，同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應的集合為{ e，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+ e），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+e]}，顯然（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+p1p2p3?prh′＜2m。所以e對應p1p2p3?ptu，（p1p2p3?pt+e）對應p1p2p3?p（，（2p1p2p3?pt+e）tu-1）對應p1p2p3?p（，（3p1p2p3?pt+e）對應p1p2p3?p（，?，[（u-1）tu-2）tu-3）p1p2p3?pt+e]對應p1p2p3?pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數的總個數與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數的總個數相等。故定理3成立。

參考文獻

[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十九日?

第五篇：“哥德巴赫猜想”講義(第1講)

“哥德巴赫猜想”講義

（???????

數學名家。哥德巴赫首先去萊比錫，拜訪了大數學家萊布尼茨。萊布

尼茨（G.W.Leibniz，1646-1716）對于數學的最大貢獻是發明了微

積分。哥德巴赫的到來，使萊布尼茨感到很高興，對于這位朝氣蓬勃的晚輩，萊布尼茨少不了給予指點和教誨。萊布尼茨廣博的學識和高

屋建瓴的觀點，也使哥德巴赫終身受益。接著哥德巴赫又到倫敦訪問

棣莫弗。棣莫弗（De Moivre，1667-1754）是法國人，因躲避宗教迫

害移居英國。棣莫弗最擅長的研究領域是概率論，并對此做出了很大的貢獻。概率論是研究偶然性（或者隨機現象）的數學分支，它的起

源與擲骰子賭博的輸贏問題有關。哥德巴赫對于理論研究和實際問題

都很有興趣。后來哥德巴赫去了歐洲其它一些城市，分別見到伯努利

家族的幾位成員，其中丹尼爾 ? 伯努利和哥德巴赫關系密切。16世

紀末，伯努利家族的祖輩為躲避宗教迫害，從比利時的安特衛普輾轉

來到瑞士的巴塞爾，在那里繁衍生息。這個家族以經商為傳統，也有

個別人行醫，似乎都和數學沾不上邊。但在一個世紀之后，卻在三代

人中出現了八位數學家，其中幾位有相當大的成就。歐洲的旅行，使

哥德巴赫不斷開闊眼界，增長了學識，還在學術圈里交了不少朋友，收獲頗豐。

1724年哥德巴赫回到了故鄉哥尼斯堡，此時的哥德巴赫已經 34

歲。俄羅斯彼得大帝聽取萊布尼茨的建議，1724年1月頒布諭旨，決定成立圣彼得堡科學院，彼得大帝擬定了科學院章程，其中強調，科學院的理論研究應對與國家實際利益密切相關的問題做出貢獻，章

程中的重要一條是，邀請國外的一些知名學者到科學院工作，以帶動

???????

俄羅斯科學的發展。據說萊布尼茨還寫信給中國清朝的康熙皇帝，建

議成立北京科學院，可惜未被采納。1725年哥德巴赫又到俄羅斯。

丹尼爾 ? 伯努利也于1725年來到了圣彼得堡科學院，哥德巴赫就有

了共同研究的伙伴，他們時常徜徉在涅瓦河畔，切磋討論數學問題。

1728年歐拉也到了圣彼得堡。此時的歐拉是一位20歲的青年，他是

約翰 ? 伯努利的學生，也是約翰的兒子丹尼爾的好朋友。在數學的歷史上，人們常常將歐拉與阿基米德、牛頓、高斯并列為最偉大的數

學家。由于丹尼爾的關系，哥德巴赫和歐拉很快就熟悉起來了，涅瓦

河畔散步又多了一個伙伴。哥德巴赫比歐拉年長17歲，哥德巴赫欣

賞歐拉的聰明和勤奮，歐拉欽佩哥德巴赫見多識廣，他們之間是一種

忘年之交。后來歐拉由于身體原因去了德國柏林，哥德巴赫與遠在德

國柏林的歐拉一直保持通信，討論各種數學問題。1742年6月7日

在莫斯科的哥德巴赫給柏林的歐拉一封信，同年 6月30日歐拉給哥

德巴赫回信。哥德巴赫在信中說：“對于那些雖未切實論證但很可能

是正確的命題，我不認為關注它們是一件沒有意義的事情。即使以后

萬一證明它們是錯誤的，也會對于發現新的真理有幫助。正如你已經

證明的那樣，費爾馬關于 Fm給出一列素數的想法是不正確的，但如

果能夠證明 Fm可以用唯一的方式表成兩個平方數之和的話，那也是

一個很了不起的結果”。當 m ≥ 1 時，Fm 是形如 4n+1 的正整數。

由上述費爾馬的一個命題，如果 Fm 是素數的話，那么 Fm 自然就可

以用唯一的方式表成兩個平方數之和。哥德巴赫的意思是，在無法保

證 Fm 是素數的情況下，看看能否證明弱一點的結果“ Fm 可以用唯一

???????的方式表成兩個平方數之和”。歐拉在回信中否定了哥德巴赫的想法。

哥德巴赫在信中又說：“類似地，我也斗膽提出一個猜想：任何由兩

個素數所組成的數都是任意多個數之和，這些數的多少隨我們的意愿

而定，直到所有的數都是 1 為止。例如：4=1+3=1+1+2=1+1+1+1，5=2+3=1+1+3=1+1+1+2=1+1+1+1+1，6=1+5=1+2+3=1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1，?。哥德巴赫又在頁邊的空白處補充道：“重新讀過上面的內容后，我發現，如果猜想對于n成立，而且n+1可以表成兩個素數

之和的話，那么，可以嚴格地證明猜想對于n+1也成立。證明是容易的。無論如何，看來每個大于2的數都是三個素數之和”。這里哥德

巴赫把1看成了素數。下面歐拉也采用這種看法，歐拉在回信中說：

關于每個可以分成兩個素數之和的數又可分拆為任意多個素數之和

這一論斷，可由你以前寫信告訴我的一個觀察（即每個偶數是兩個素

數之和）來說明和證實。如果所考慮的數n是偶數的話，那么它是兩

個素數之和。又因為n-2也是兩個素數之和，所以n是三個素數之和，同理它也是四個素數之和，如此等等。如果n是奇數的話，因為n-1

是兩個素數之和，所以n是三個素數之和，因此它可以分拆為任意多

個素數之和。無論如何，我認為“每個偶數是兩個素數之和”是一條

相當真實的定理，雖然我不能證明它。因為這是私人間的通信，所以

其中的說法相當隨意，在數學上是不嚴格的。后人在數學上將它們嚴

格化，并稱之為“哥德巴赫猜想”。

英國數學家華林(E.Waring,1736-1798),在1770年出版的《代

數沉思錄》一書中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想:

???????

1.每個大于2的偶數都是兩個素數之和;

2.每個奇數或者是一個素數,或者是三個素數之和。

標準的現代版本是這樣的:

1.每個不小于6的偶數都是兩個奇素數之和;

2.每個不小于9的奇數都是三個奇素數之和。

也可以將它們寫成下面的數學公式:

1.N=p1+p2 , 當N(N≥6)是偶數;

2.N=p1+p2+p3,當N(N≥9)是奇數;其中pi（i=1，1，3）均為奇素數。

哥德巴赫猜想的表達形式簡潔明了,體現了數學的優美感覺。從乘法來看,素數是構成自然數的基本元素,在哥德巴赫猜想中,將素數放到加法的環境里,實際上是刻畫了加法和乘法的某種關系,而這兩種運算在數學中是最基本和最常見的。

據說早在哥德巴赫之前,法國哲學家和數學家笛卡兒(R.Descartes,1596-1650)在他的手稿里就有“每個偶數是至多三個素數之和”這樣的敘述。雖然歐拉無法預料素數理論的發展,但他深知解決哥德巴赫猜想已經遠遠超出他的能力之外。

1900年,???????

從此哥德巴赫猜想不再是孤立的數學難題,而成了近代數學重要的一環。后來的發展證明,希爾伯特的眼光是非常正確的。

參考文獻

[1]賈朝華，從哥德巴赫說開去

?二〇一四年四月十日 ??????