第一篇：“哥德巴赫猜想”講義(第3講)

“哥德巴赫猜想”講義

（???哥德巴赫猜想上的話，圓法的思想是：對于非零整數，沿著單位圓為路徑的環路積分

當且只當整數積分式： 的時候，上面的積分才等于1。因此，如果考慮

其中，那么這個積分式實際上等于：

上式中?

??因此，研究哥德巴赫猜想可以歸結為研究積分式以質數為變數的三角多項式

和

中

。哈代和利特爾伍德猜測，當變量接的值會“比較大”，而當的值會“比較小”。近于分母“比較小”的既約分數時，接近于分母“比較大”的既約分數時，也就是說，積分的主要部分其實是單位圓上分母“比較小”的那些既約分數附近的積分，其它的部分上積分則沒那么重要，可以忽略掉了。因此，可以將整個單位圓分成兩個部分：一部分是單位圓上分母“比較小”的那些既約分數附近包括的一些區間，哈代和利特爾伍德稱其為“優弧”（major arc與平面幾何中的“優弧”不同），其余的部分則稱為“劣弧”（minor arc）。將整個積分 優弧上的積分明 相比起

與劣弧上積分

可以忽略，而

之和，然后證，這就是圓法

分成的主要思想[4]。哈代和利特爾伍德在1923年的論文中證明了，如果存在正數，使得所有的狄利克雷L函數的全體零點都在半平面上，那么充分大的奇數一定滿足夠表示成三個素數的和。他們還給出了窮大的時候，也就是說能的漸進式：在趨于無

其中

?

??他們還證明了，在假設廣義黎曼猜想成立的情況下，如果用表示以內無法寫成兩個質數之和的偶數的個數，那么對任意的正數，都有

這說明了，不能寫成兩個質數之和的偶數占所有偶數的比例是可以忽略的。

維諾格拉多夫在使用圓法的基礎上，去掉了哈代和利特爾伍德的成果中對于黎曼猜想的依賴。也就是說，維諾格拉多夫證明了每個充分大的奇數都能表示為三個質數的和，以及幾乎每一個充分大的偶數都能表示成兩個素數之和。維諾格拉多夫的證明使用到了他獨創的方法來對以素數為變數的指數和

做出更細致的估計，也就是說更好地劃分優弧和劣弧并直接估計出劣弧上的積分可以忽略，而不用到廣義黎曼猜想。唯一的不足是維諾格拉多夫并沒有給出“足夠大”的下限。后來波羅斯特金在1956年給出了一個可計算的下限：也就是說大于，的整數都可以寫成三個素數的和。1946年，蘇聯數學家尤里·弗拉基米羅維奇·林尼克沿著哈代和利特爾伍德的道路前進，使用函數論的方法同樣證明了維諾格拉多夫的結果。然而，維諾格拉多夫的定理中的下限對于實際應用來說仍然太大了。寫出來有6846168位數字，要驗證之前的偶數都能寫成兩個素數的和，計算量仍然太大。1989年陳景潤與王元將這個下限減低到1043000.5，2001年廖明哲及王天澤進一步將下限降至e3100≈101346.3，但仍然與實際驗證過的范圍（4×1014）有很大距離。而如果假設廣義黎曼猜想正確的話，讓-馬克·德蘇耶等人在1998年證明了：每個大于等于7的奇數都可以寫成三個質數的和（即弱哥德巴赫猜想在廣義黎曼猜想正???確的假設下的完全證明）。1938年，華羅庚證明了弱哥德巴赫猜想的一個推廣：任意給定一個整數k，每個充分大的奇數都可以表示p1+p2+p3k的形式。當k=1的時候，就是弱哥德巴赫猜想。由于維諾格拉多夫估計

時使用的方法本質上是篩法，所以數學家也希望用類似圓法的分析方法取代它。1945年，林尼克發展出估計狄利克雷L函數零點密度的方法，并用其證明了劣弧上的積分可以忽略，從而用純粹的分析方法證明了弱哥德巴赫猜想。這個證明十分復雜，此后幾位數學家各自提出了更簡化的證明，1975年沃恩提出了首個不依賴估計L函數零點密度的方法，1977年潘承洞得到了僅利用L函數初等性質的簡易證明。2013年5月13日，法國國家科學研究院和巴黎高等師范學院的數論領域的研究員哈洛德·賀歐夫各特，在線發表了論文《論哥德巴赫定理的優弧》（Major arcs for Goldbach's theorem）宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想。賀歐夫各特生于1977年，秘魯籍，2003年獲得普林斯頓大學博士學位。2010年開始擔任法國國家科學研究院和巴黎高等師范學院的研究員。2012年5月，賀歐夫各特發表論文《論哥德巴赫問題的劣弧》（Minor arcs for Goldbach's problem）中給出了劣弧積分估計的一個更優上界。在這個更優估計的基礎上，賀歐夫各特在2013年的論文中將優弧估計的條件放寬，把維諾格拉多夫定理中的下限降低到了1029左右，賀歐夫各特和同事David Platt用計算機驗證在此之下的所有奇數都符合猜想，從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。

維諾格拉多夫的三素數定理發表于1937年。???素數之和，假如又能證明這三個素數中有一個非常小，譬如說???顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數值，此后四十多年間，人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個k應該很大。其中有個結果必須提到，即李紅澤、王天澤獨立地得到k=2000。目前最好的結果k=13是英國數學家希思-布朗(D.R.Heath-Brown)和德國數學家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個很大的突破。

參考文獻 [1]百度百科

二〇一四年四月十日

???

第二篇：“哥德巴赫猜想”講義(第12講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第12講）“哥德巴赫猜想”證明（7）

主講王若仲

第11講我們講解了核心部分的定理1，這一講我們講核心部分的定理2。

定理2：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數的總個數相等。其中pi，pj，?，pr，ps為兩兩互不相同的奇素數，且均小于√2m；mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mjpj為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mrpr為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，msps為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。

證明：對于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因為mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；

我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：（2m-pj）{，（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），?，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。

因為前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對應同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對應同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對應同余方程xr≡hr（modpr）；

集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對應同余方程xs≡hs（modps）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj

（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關于模M=pipj?prps同余，又因為偶數2m是同余方程xi≡h（imodpi）的解，偶數2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個解。那么同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解總可以轉化為同余方程y≡k（modpipj?prps）的解, k為小于pipj?prps的正整數，且k=2m-pipj?prpsu，pipj?prpsu為小于偶數2m的最大正整數。那么2m-（u-1）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+pipj?prps=pipj?prps+k，2m-（u-2）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+2pipj?prps=2pipj?prps+k，?，（2m-2pipj?prps）=2m-[u-（u-2）] pipj?prps=（u-2）pipj?prps+2m-pipj?prpsu=（u-2）pipj?prps+k，（2m-pipj?prps）=2m-[u-（u-1）] pipj?prps=（u-1）pipj?prps +2m-pipj?prpsu=（u-1）pipj?prps+k；那么集合{（2m-pipj?prps），（2m-2pipj?prps）,（2m-3pipj?prps），（2m-4pipj?prps），（2m-5pipj?prps），?，（2m-upipj?prps）}={ k，（pipj?prps+k），（2pipj?prps+ k），?，[（u-2）pipj?prps+k]，[（u-1）pipj?prps+k]}。

又從前面可知，偶數2m是同余方程y≡k（modpipj?prps）的一個

解,則偶數2m=upipj?prps+k。所以k對應pipj?prpsu，（pipj?prps+k）對應pipj?prp（，（2pipj?prps+k）對應pipj?prp（，（3pipj?su-1）su-2）prps+k）對應pipj?prps（u-3），?，[（u-1）pipj?prps+k]對應pipj?prps。故集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數的總個數相等。故定理2成立。

?例

5：證明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數的總個數與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數的總個數相等。

證明：因為集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。

又因為集合{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數的總個數與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數的總個數均為4個。（證畢）

參考文獻

[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十八日?

第三篇：“哥德巴赫猜想”講義(第14講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第14講）“哥德巴赫猜想”證明（9）

主講王若仲

第13講我們講解了核心部分的定理3，這一講我們講核心部分的定理4。

定理4：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi′＜pj′，i′＜j′，i′、j′=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數相等。其中其中pi，pj，?，mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mjpj為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mrpr為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，msps為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mepe為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mupu為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mvpv為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mwpw為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。

證明：對于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因為mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，因為前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對應同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對應同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對應同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對應同余方程xs≡hs（modps）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關于模M=pipj?prps同余，因為（pepu?pvpw，pipj?prps）=1，由同余性質定理1可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關于模M′=pipj?prpspepu?pvpw同余，又因為偶數2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶數2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個解。在偶數2m范圍內，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解對應集合{ h′，（pipj?prps+h′），（2pipj?prps+h′），′]}，其中vpipj?prps?pt為不大于偶數2m的最大正整數。顯然集合{ h′，（pipj?prps +h′），（2 pipj?prps +h′），（3 pipj?prps +h′），?，[（v-2）pipj?prps+h′]，[（v-1）pipj?prps+h′]} 對應同余方程w≡h′（mod pipj?prps）。

我們設集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中的任一奇數均對應同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的一個解，則a為小于pipj?prpspepu?pvpw的正整數，因為同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關于模M′=pipj?prpspepu?pvpw 同余，由同余性質定理1可知，a=pepu?pvpwh′，我們再設同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw），那么在偶數2m范圍內，同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應的集合為{ h′，（pipj?prpspepu?pvpw +h′），（2 pipj?prpspepu?pvpw +h′），（3 pipj?prpspepu?pvpw +h′），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +h′]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw +h′]}，其中u pipj?prpspepu?pvpw為不大于偶數2m的最大正整數；顯然pepu?pvpwh′＜

pipj?prpspepu?pvpw，所以在偶數2m范圍內，同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應的集合為{ a，（pipj?prpspepu?pvpw +a），（2pipj?prpspepu?pvpw +a），（3pipj?prpspepu?pvpw +a），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +a]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]}，顯然（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+pepu?pvpwh′＜2m。所以a對應pipj?prpspepu?pvpwu，（pipj?prpspepu?pvpw+a）對應pipj?prpspepu?pvp（，（2pipj?wu-1）prpspepu?pvpw+a）對應p1p2p3?pt（u-2），（3p1p2p3?pt+a）對應p1p2p3?p（，?，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]對應pipj?prpspepu?pvpw。tu-3）

所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數相等。故定理4成立。

參考文獻

[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版

?

二〇一四年四月十九日?

第四篇：“哥德巴赫猜想”講義(第13講)

“哥德巴赫猜想”講義

（第13講）“哥德巴赫猜想”證明（8）

主講王若仲

第12講我們講解了核心部分的定理2，這一講我們講核心部分的定理3。

定理3：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數的總個數與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數的總個數相等。其中m1p1為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，m2p2為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，m3p3為對應的集合情形下不大于偶數

2m的最大正整數，?，mtpt為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。

證明：對于集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}，我們令2m-mr+1pr+1=hr+1，因為mr+1pr+1為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hr+1＜pr+1，則2m-（mr+1-1）pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1，2m-（mr+1-2）pr+1=2m-m r+1p

r+1

+2pr+1=2pr+1+hr+1，?，（2m-2pr+1）= 2m-[m r+1-（m r+1-2）]pr+1=（mr+1-2）

pr+1+2m-m r+1pr+1=（m r+1-2）pr+1+hr+1，（2m-pr+1）=2m-[mr+1-（mr+1-1）]pr+1 =（mr+1-1）pr+1+2m-mr+1pr+1 =（mr+1-1）pr+1+hr+1；那么集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}={（pr+1-kr+1），（2pr+1-kr+1），（3pr+1-kr+1），?，[（mr+1-1）pr+1-kr+1]，（mr+1pr+1-kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），?，[（mr+1-2）pr+1+hr+1]，[（mr+1-1）pr+1+hr+1]}；我們令2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），?，[（mr+2-2）pr+2+hr+2]，[（mr+2-1）pr+2+hr+2]}；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），?，[（mr+3-2）pr+3+hr+3]，[（mr+3-1）pr+3+hr+3]}；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），?，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。

因為前面令2m-mr+1pr+1=hr+1，2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；

2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），?，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}對應同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}對應同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}對應同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}對應同余方程xt≡ht（modpt）。

由孫子—高斯定理可知，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）有無窮多解,且這些解關于模M=pr+1pr+2p r+3?pt同余，因為（p1p2p3?pr，pr+1pr+2p r+3?pt）=1，由同余性質定理1可知，同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，又因為偶數2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶數2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶數2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，?，偶數2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶數2m也是同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的一個解；在偶數2m范圍內，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的所有解對應集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p

r+3

?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?

pt+h′]}，其中vpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數2m的最大正整數。顯然

集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?pt+h′]} 對應同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt）。

我們設集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中的任一奇數均對應同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的一個解，對于同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），e為小于p1p2p3?pt的正整數，因為同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，由同余性質定理1可知，e=p1p2p3?prh′，根據前面得到的同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt），我們再設同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），那么在偶數2m范圍內，同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應的集合為{ h′，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+h′]}，其中up1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數2m的最大正整數；顯然p1p2p3?prh′＜p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt，而

e=p1p2p3?prh′，所以在偶數2m范圍內，同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應的集合為{ e，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+ e），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+e]}，顯然（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+p1p2p3?prh′＜2m。所以e對應p1p2p3?ptu，（p1p2p3?pt+e）對應p1p2p3?p（，（2p1p2p3?pt+e）tu-1）對應p1p2p3?p（，（3p1p2p3?pt+e）對應p1p2p3?p（，?，[（u-1）tu-2）tu-3）p1p2p3?pt+e]對應p1p2p3?pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數的總個數與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數的總個數相等。故定理3成立。

參考文獻

[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版

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二〇一四年四月十九日?

第五篇：“哥德巴赫猜想”講義(第19講)

“哥德巴赫猜想”講義

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所以對于“偶數2m=奇數+奇數”來說，就只有下面幾種情形： ①偶數2m=奇合數+奇合數，②偶數2m=奇合數+奇素數，③偶數2m=奇素數+奇素數，④偶數2m=1+奇合數，⑤偶數2m=1+奇素數。

對于“偶數2m=奇數+奇數”的情形，我們下面一步一步具體分析：

（?。?、對于偶數2m，當m為奇素數時，我們不妨令m=p，p為奇素數，那么2m=p+p，這種情形下，顯然偶數2m可表為“奇素數+奇素數”。

（ⅱ）、對于偶數2m，假如集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中至少有一個奇數為奇素數，我們不妨令（2m-pi）為奇素數，pi∈{p1，p2，p3，?，pt}，那么2m=（2m-pi）+pi，顯然偶數2m可表為“奇素數+奇素數”。

“哥德巴赫猜想?針對的是無窮的偶數，為了解決無窮的問題，一般情況下，我們設定一個非常大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N；并且假設偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt，為了解保奇素數p1，p2，p3，?，pt均要被篩除，我們還要假設集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中的奇數均為奇合數；因為偶數2m=（2m-p1）+ p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，?，2m=（2m-pt）+ pt。在說上面這樣的情形在無窮多的偶數中是必然存在的。說明白了就是對偶數2m對應的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數，要達到篩除的最大化，即達到篩除的極限。

如果我們設集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，又設集合A1={ p1，3p1，5p1，7p1，9p1，?，（2m1-1）p1}，集合A1′={（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），?，[2m-（2m1-1）p1]}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，?，（2m2-1）p2}，集合A2′={（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），?，[2m-（2m2-1）p2]}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，?，（2m3-1）p3}，集合A3′={（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），?，[2m-（2m3-1）p3]}，?，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，?，（2mt-1）pt}，集合At′={（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），?，[2m-（2mt-1）pt]}；其中奇數（2m1-1）p1為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2m2-1）p2為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2m3-1）p3為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，?，奇數（2mt-1-1）pt-1為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2mt-1）pt為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數。

對于偶數2m以內的全體奇數，偶數2m對應的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，我們在集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中進行埃拉托斯特尼順篩和埃拉托斯特尼逆篩這兩種篩法配合篩：

〈1〉在集合A中篩除屬于集合A1中的奇數，又在集合A中篩除屬于集合A1′中的奇數，得到集合B1；因為我們設偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt。所以集合A和集合A1無公共元素。〈2〉在集合B1中篩除屬于集合A2中的奇數，又在集合B1中篩除屬于集合A2′中的奇數，得到集合B2；

〈3〉在集合B2中篩除屬于集合A3中的奇數，又在集合B2中篩除屬于集合A3′中的奇數，得到集合B3；

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〈t-1〉在集合Bt-2中篩除屬于集合At-1中的奇數，又在集合Bt-2

中篩除屬于集合At-1′中的奇數，得到集合Bt-1；

〈t〉在集合Bt-1中篩除屬于集合At中的奇數，又在集合Bt-1中篩除屬于集合At′中的奇數，最終得到集合Bt。

最后在集合Bt中再篩除奇數1和（2m-1）得到集合H，如果我們 能判定集合H中確實有奇數，那么集合H中的奇數必定為奇素數，同時還能判定偶數2m可表為兩個奇素數之和。因為集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數經過上面的配合篩后，如下情形中的奇數被全部篩除：

①偶數2m=奇合數+奇合數，②偶數2m=奇合數+奇素數，③偶數2m=1+奇合數，④偶數2m=1+奇素數。

說明最后在集合H中的奇數必定為奇素數，并且集合H中的奇數必定

只滿足“偶數2m=奇素數+奇素數”的情形。

參考文獻

[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版

[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版

[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版

二〇一四年四月二十日?