第一篇：“哥德巴赫猜想”講義(第10講)
“哥德巴赫猜想”講義
（第10講）
“哥德巴赫猜想”證明（5）
主講王若仲
第9講我們講解到了引理9，這一講我們開始從孫子—高斯定理講起。不曾想2000多年前我國孫子發現的原理現在還能派上大用場。
孫子—高斯定理：如果正整數m1，m2，m3，?，mt兩兩互質，那么同余方程組x≡ai（modmi）（i=1,2,3,?，t）有無窮多解,且這些解關于模M=m1·m2·m3?mt同余，x≡（a1M1′M1+a2M2′M2+a3M3′M3+?+atMt′Mt）（mod M），其中Mi=M/mi，而Mi′是滿足Mi′Mi≡1（modmi）的正整數。
證明：因為（mi、mj）=1（i≠j），所以（Mi、mi）=1（i=1,2,3,?，t），從而Mix≡1（modmi）有唯一解，則x≡Mi′（modmi）。又因M=Mimi，Mi′是滿足Mi′Mi≡1（modmi）的正整數，設Mi′Miai=himiai+ai，我們令hi=m1·m2·m3?mi-1·mi+1?mt，令a=a1+a2+a3+?+at，則a1M1′M1+a2M2′M2+a3M3′M3+?+atMt′Mt≡a（modm1m2m3?mt），即x≡（a1M1′M1+a2M2′M2+a3M3′M3+?+atMt′Mt）（mod M）是同余式組x≡ai（modmi）（i=1,2,3,?，t）的一個解。再說因為正整數m1，m2，m3，?，mt兩兩互質，那么同余方程組x≡ai（modmi）（i=1,2,3,?，t）有無窮多解,且任一解均可化為m1·m2·m3?mtu+b的形式，其中u為正整數，b為整數，0?b＜m1·m2·m3?mt，而（m1·m2·m3?mtu+b）÷（m1·m2·m3?mt）的余數為b，故同余
方程組x≡a（（i=1,2,3,?，t）的任一解關于模M=m1·m2·m3?imodmi）mt同余。
若x1，x2均適合同余式組x≡ai（modmi）（i=1,2,3,?，t），則x1≡a（modm1m2m3?mt），x2≡a（modm1m2m3?mt），所以x1≡x（2modm1m2m3?mt），又因（mi、mj）=1（i≠j），所以x1≡x2（modm1m2m3?mt），即x1≡x2（modM），故同余式組x≡ai（modmi）（i=1,2,3,?，t）的解唯一，即就是余數唯一。
同余性質定理1：若a≡b（modm），（k，m）=1，k為正整數，則ka≡kb（modkm）。
證明：因為a≡b（modm），我們設a=mu+r，b=mu′+r，r＜m，又因為（k，m）=1，k為正整數，則ka=kmu+kr，kb=kmu′+kr，而kr＜km，故ka≡kb（modkm）。
同余性質定理2：若a≡b（modm），b≡c（modm），則a≡c（modm）。證明：因為a≡b（modm），我們設a=mu+r，b=mu′+r，r＜m，又因為b≡c（modm），又設c=mu"+r，顯然a≡c（modm）。
參考文獻
[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版
[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版
[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版
二〇一四年四月十七日
第二篇：“哥德巴赫猜想”講義(第19講)
“哥德巴赫猜想”講義
（??
所以對于“偶數2m=奇數+奇數”來說，就只有下面幾種情形： ①偶數2m=奇合數+奇合數，②偶數2m=奇合數+奇素數，③偶數2m=奇素數+奇素數，④偶數2m=1+奇合數，⑤偶數2m=1+奇素數。
對于“偶數2m=奇數+奇數”的情形，我們下面一步一步具體分析：
（ⅰ）、對于偶數2m，當m為奇素數時，我們不妨令m=p，p為奇素數，那么2m=p+p，這種情形下，顯然偶數2m可表為“奇素數+奇素數”。
（ⅱ）、對于偶數2m，假如集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中至少有一個奇數為奇素數，我們不妨令（2m-pi）為奇素數，pi∈{p1，p2，p3，?，pt}，那么2m=（2m-pi）+pi，顯然偶數2m可表為“奇素數+奇素數”。
“哥德巴赫猜想?針對的是無窮的偶數，為了解決無窮的問題，一般情況下，我們設定一個非常大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N；并且假設偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt，為了解保奇素數p1，p2，p3，?，pt均要被篩除，我們還要假設集合{（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），?，（2m-pt）}中的奇數均為奇合數；因為偶數2m=（2m-p1）+ p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，?，2m=（2m-pt）+ pt。在說上面這樣的情形在無窮多的偶數中是必然存在的。說明白了就是對偶數2m對應的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數，要達到篩除的最大化，即達到篩除的極限。
如果我們設集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，又設集合A1={ p1，3p1，5p1，7p1，9p1，?，（2m1-1）p1}，集合A1′={（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），?，[2m-（2m1-1）p1]}，集合A2={p2，3p2，5p2，7p2，9p2，?，（2m2-1）p2}，集合A2′={（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），?，[2m-（2m2-1）p2]}，集合A3={p3，3p3，5p3，7p3，9p3，?，（2m3-1）p3}，集合A3′={（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），?，[2m-（2m3-1）p3]}，?，集合At={pt，3pt，5pt，7pt，9pt，?，（2mt-1）pt}，集合At′={（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），?，[2m-（2mt-1）pt]}；其中奇數（2m1-1）p1為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2m2-1）p2為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2m3-1）p3為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，?，奇數（2mt-1-1）pt-1為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數，奇數（2mt-1）pt為該表達形式下不大于奇數（2m-1）的最大奇數。
對于偶數2m以內的全體奇數，偶數2m對應的集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}，我們在集合A={1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中進行埃拉托斯特尼順篩和埃拉托斯特尼逆篩這兩種篩法配合篩：
〈1〉在集合A中篩除屬于集合A1中的奇數，又在集合A中篩除屬于集合A1′中的奇數，得到集合B1；因為我們設偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt。所以集合A和集合A1無公共元素。〈2〉在集合B1中篩除屬于集合A2中的奇數，又在集合B1中篩除屬于集合A2′中的奇數，得到集合B2；
〈3〉在集合B2中篩除屬于集合A3中的奇數，又在集合B2中篩除屬于集合A3′中的奇數，得到集合B3；
┇
〈t-1〉在集合Bt-2中篩除屬于集合At-1中的奇數，又在集合Bt-2
中篩除屬于集合At-1′中的奇數，得到集合Bt-1；
〈t〉在集合Bt-1中篩除屬于集合At中的奇數，又在集合Bt-1中篩除屬于集合At′中的奇數，最終得到集合Bt。
最后在集合Bt中再篩除奇數1和（2m-1）得到集合H，如果我們 能判定集合H中確實有奇數，那么集合H中的奇數必定為奇素數，同時還能判定偶數2m可表為兩個奇素數之和。因為集合{1，3，5，7，9，?，（2m-3），（2m-1）}中的奇數經過上面的配合篩后，如下情形中的奇數被全部篩除：
①偶數2m=奇合數+奇合數，②偶數2m=奇合數+奇素數，③偶數2m=1+奇合數，④偶數2m=1+奇素數。
說明最后在集合H中的奇數必定為奇素數，并且集合H中的奇數必定
只滿足“偶數2m=奇素數+奇素數”的情形。
參考文獻
[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版
[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版
[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版
二〇一四年四月二十日?
第三篇：“哥德巴赫猜想”講義(第12講)
“哥德巴赫猜想”講義
（第12講）“哥德巴赫猜想”證明（7）
主講王若仲
第11講我們講解了核心部分的定理1，這一講我們講核心部分的定理2。
定理2：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數的總個數相等。其中pi，pj，?，pr，ps為兩兩互不相同的奇素數，且均小于√2m；mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mjpj為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mrpr為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，msps為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。
證明：對于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因為mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]p1=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；
我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：（2m-pj）{，（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，（ps+hs），（2ps+hs），?，[（ms-2）ps+hs]，[（ms-1）ps+hs]}。
因為前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對應同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對應同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對應同余方程xr≡hr（modpr）；
集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對應同余方程xs≡hs（modps）。
由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj
（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關于模M=pipj?prps同余，又因為偶數2m是同余方程xi≡h（imodpi）的解，偶數2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個解。那么同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的解總可以轉化為同余方程y≡k（modpipj?prps）的解, k為小于pipj?prps的正整數，且k=2m-pipj?prpsu，pipj?prpsu為小于偶數2m的最大正整數。那么2m-（u-1）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+pipj?prps=pipj?prps+k，2m-（u-2）pipj?prps=2m-pipj?prpsu+2pipj?prps=2pipj?prps+k，?，（2m-2pipj?prps）=2m-[u-（u-2）] pipj?prps=（u-2）pipj?prps+2m-pipj?prpsu=（u-2）pipj?prps+k，（2m-pipj?prps）=2m-[u-（u-1）] pipj?prps=（u-1）pipj?prps +2m-pipj?prpsu=（u-1）pipj?prps+k；那么集合{（2m-pipj?prps），（2m-2pipj?prps）,（2m-3pipj?prps），（2m-4pipj?prps），（2m-5pipj?prps），?，（2m-upipj?prps）}={ k，（pipj?prps+k），（2pipj?prps+ k），?，[（u-2）pipj?prps+k]，[（u-1）pipj?prps+k]}。
又從前面可知，偶數2m是同余方程y≡k（modpipj?prps）的一個
解,則偶數2m=upipj?prps+k。所以k對應pipj?prpsu，（pipj?prps+k）對應pipj?prp（，（2pipj?prps+k）對應pipj?prp（，（3pipj?su-1）su-2）prps+k）對應pipj?prps（u-3），?，[（u-1）pipj?prps+k]對應pipj?prps。故集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}中正整數的總個數相等。故定理2成立。
?例
5：證明集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數的總個數與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數的總個數相等。
證明：因為集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}={21，42，63，84}。
又因為集合{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}={（100-21），（100-42），（100-63），（100-84）}。所以集合{3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，51，54，57，60，63，66，69，72，75，78，81，84，87，90，93，96，99}∩{7，14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98}中正整數的總個數與{（100-3），（100-6），（100-9），（100-12），（100-15），（100-18），（100-21），（100-24），（100-27），（100-30），（100-33），（100-36），（100-39），（100-42），（100-45），（100-48），（100-51），（100-54），（100-57），（100-60），（100-63），（100-66），（100-69），（100-72），（100-75），（100-78），（100-81），（100-84），（100-87），（100-90），（100-93），（100-96），（100-99）}∩{（100-7），（100-14），（100-21），（100-28），（100-35），（100-42），（100-49），（100-56），（100-63），（100-70），（100-77），（100-84），（100-91），（100-98）}中正整數的總個數均為4個。（證畢）
參考文獻
[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版
[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版
[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版
?
二〇一四年四月十八日?
第四篇：“哥德巴赫猜想”講義(第14講)
“哥德巴赫猜想”講義
（第14講）“哥德巴赫猜想”證明（9）
主講王若仲
第13講我們講解了核心部分的定理3，這一講我們講核心部分的定理4。
定理4：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi′＜pj′，i′＜j′，i′、j′=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數相等。其中其中pi，pj，?，mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mjpj為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mrpr為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，msps為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mepe為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mupu為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，?，mvpv為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，mwpw為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。
證明：對于集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}，我們令2m-mipi=hi，因為mipi為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hi＜pi，則2m-（mi-1）pi=2m-mipi+pi=pi+hi，2m-（mi-2）pi=2m-mip i+2pi=2pi+hi，?，（2m-2pi）= 2m-[mi-（mi-2）]pi=（mi-2）pi+2m-mipi=（mi-2）pi+hi，（2m-pi）=2m-[mi-（mi-1）]p1 =（mi-1）pi+2m-mipi =（mi-1）pi+hi；那么集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}={hi，（pi+hi），（2pi+hi），?，[（mi-2）pi+hi]，[（mi-1）pi+hi]}；我們令2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。同理可得：{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}={hj，（pj+hj），（2pj+hj），?，[（mj-2）pj+hj]，[（mj-1）pj+hj]}，?，{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}={hr，（pr+hr），（2pr+hr），?，[（mr-2）pr+hr]，[（mr-1）pr+hr]}，{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}={hs，因為前面令2m-mipi=hi，2m-mjpj=hj；?；2m-mrpr=hr；2m-msps=hs。那么有2m≡hi（modpi），2m≡hj（modpj），?，2m≡hr（modpr），2m≡hs（modps）；所以集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}對應同余方程xi≡h（；集合{（2m-pj），imodpi）（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}對應同余方程xj≡hj（modpj）；?；集合{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}對應同余方程xr≡hr（modpr）；集合{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}對應同余方程xs≡hs（modps）。
由孫子—高斯定理可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）有無窮多解,且這些解關于模M=pipj?prps同余，因為（pepu?pvpw，pipj?prps）=1，由同余性質定理1可知，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關于模M′=pipj?prpspepu?pvpw同余，又因為偶數2m是同余方程xi≡hi（modpi）的解，偶數2m也是同余方程xj≡hj（modpj）的解，?，偶數2m也是同余方程xr≡hr（modpr）的解，偶數2m也是同余方程xs≡hs（modps）的解；那么偶數2m也是同余方程組xi≡h（，xj≡h（，?，imodpi）jmodpj）xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的一個解。在偶數2m范圍內，同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的所有解對應集合{ h′，（pipj?prps+h′），（2pipj?prps+h′），′]}，其中vpipj?prps?pt為不大于偶數2m的最大正整數。顯然集合{ h′，（pipj?prps +h′），（2 pipj?prps +h′），（3 pipj?prps +h′），?，[（v-2）pipj?prps+h′]，[（v-1）pipj?prps+h′]} 對應同余方程w≡h′（mod pipj?prps）。
我們設集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中的任一奇數均對應同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的一個解，則a為小于pipj?prpspepu?pvpw的正整數，因為同余方程組xi≡hi（modpi），xj≡hj（modpj），?，xr≡hr（modpr），xs≡hs（modps）的任一解與pepu?pvpw的乘積關于模M′=pipj?prpspepu?pvpw 同余，由同余性質定理1可知，a=pepu?pvpwh′，我們再設同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw），那么在偶數2m范圍內，同余方程z≡h′（mod pipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應的集合為{ h′，（pipj?prpspepu?pvpw +h′），（2 pipj?prpspepu?pvpw +h′），（3 pipj?prpspepu?pvpw +h′），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +h′]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw +h′]}，其中u pipj?prpspepu?pvpw為不大于偶數2m的最大正整數；顯然pepu?pvpwh′＜
pipj?prpspepu?pvpw，所以在偶數2m范圍內，同余方程y≡a（modpipj?prpspepu?pvpw）的所有解對應的集合為{ a，（pipj?prpspepu?pvpw +a），（2pipj?prpspepu?pvpw +a），（3pipj?prpspepu?pvpw +a），?，[（u-2）pipj?prpspepu?pvpw +a]，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]}，顯然（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+pepu?pvpwh′＜2m。所以a對應pipj?prpspepu?pvpwu，（pipj?prpspepu?pvpw+a）對應pipj?prpspepu?pvp（，（2pipj?wu-1）prpspepu?pvpw+a）對應p1p2p3?pt（u-2），（3p1p2p3?pt+a）對應p1p2p3?p（，?，[（u-1）pipj?prpspepu?pvpw+a]對應pipj?prpspepu?pvpw。tu-3）
所以集合{ pi，2pi,3pi，4pi，5pi，?，mipi }∩{ pj，2pj,3pj，4pj，5pj，?，mjpj }∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{ps，2ps,3ps，4ps，5ps，?，ms ps }∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數與集合{（2m-pi），（2m-2pi）,（2m-3pi），（2m-4pi），（2m-5pi），?，（2m-mipi）}∩{（2m-pj），（2m-2pj）,（2m-3pj），（2m-4pj），（2m-5pj），?，（2m-mjpj）}∩?∩{（2m-pr），（2m-2pr）,（2m-3pr），（2m-4pr），（2m-5pr），?，（2m-mrpr）}∩{（2m-ps），（2m-2ps）,（2m-3ps），（2m-4ps），（2m-5ps），?，（2m-msps）}∩{pe，2pe,3pe，4pe，5pe，?，mepe}∩{pu，2pu,3pu，4pu，5pu，?，mupu}∩?∩{pv，2pv,3pv，4pv，5pv，?，mvpv}∩{pw，2pw,3pw，4pw，5pw，?，mwpw}中正整數的總個數相等。故定理4成立。
參考文獻
[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版
[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版
[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版
?
二〇一四年四月十九日?
第五篇：“哥德巴赫猜想”講義(第13講)
“哥德巴赫猜想”講義
（第13講）“哥德巴赫猜想”證明（8）
主講王若仲
第12講我們講解了核心部分的定理2，這一講我們講核心部分的定理3。
定理3：對于任何一個比較大的偶數2m，設奇素數p1，p2，p3，?，pt均為不大于√2m的全體奇素數（pi＜ pj，i＜j，i、j=1，2，3，?，t），t∈N，且偶數2m均不含有奇素數因子p1，p2，p3，?，pt；那么集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數的總個數與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數的總個數相等。其中m1p1為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，m2p2為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，m3p3為對應的集合情形下不大于偶數
2m的最大正整數，?，mtpt為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數。
證明：對于集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}，我們令2m-mr+1pr+1=hr+1，因為mr+1pr+1為對應的集合情形下不大于偶數2m的最大正整數，顯然hr+1＜pr+1，則2m-（mr+1-1）pr+1=2m-mr+1pr+1+pr+1=pr+1+hr+1，2m-（mr+1-2）pr+1=2m-m r+1p
r+1
+2pr+1=2pr+1+hr+1，?，（2m-2pr+1）= 2m-[m r+1-（m r+1-2）]pr+1=（mr+1-2）
pr+1+2m-m r+1pr+1=（m r+1-2）pr+1+hr+1，（2m-pr+1）=2m-[mr+1-（mr+1-1）]pr+1 =（mr+1-1）pr+1+2m-mr+1pr+1 =（mr+1-1）pr+1+hr+1；那么集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}={（pr+1-kr+1），（2pr+1-kr+1），（3pr+1-kr+1），?，[（mr+1-1）pr+1-kr+1]，（mr+1pr+1-kr+1）}={ hr+1，（pr+1+hr+1），（2pr+1+hr+1），?，[（mr+1-2）pr+1+hr+1]，[（mr+1-1）pr+1+hr+1]}；我們令2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；2m-mtpt=ht；同理可得：集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}={ hr+2，（pr+2+hr+2），（2pr+2+hr+2），?，[（mr+2-2）pr+2+hr+2]，[（mr+2-1）pr+2+hr+2]}；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}={ hr+3，（pr+3+hr+3），（2pr+3+hr+3），?，[（mr+3-2）pr+3+hr+3]，[（mr+3-1）pr+3+hr+3]}；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}={ ht，（pt+ht），（2pt+ht），?，[（mt-2）pt+ht]，[（mt-1）pt+ht]}。
因為前面令2m-mr+1pr+1=hr+1，2m-mr+2p r+2=hr+2；2m-mr+3pr+3=hr+3；?；
2m-mtpt=ht。那么有2m≡hr+1（modpr+1），2m≡hr+2（modpr+2），2m≡hr+3（modpr+3），?，2m≡ht（modpt）；所以集合{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}對應同余方程xr+1≡hr+1（modpr+1）；集合{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}對應同余方程xr+2≡hr+2（modpr+2）；集合{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}對應同余方程xr+3≡hr+3（modpr+3）；?；集合{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}對應同余方程xt≡ht（modpt）。
由孫子—高斯定理可知，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）有無窮多解,且這些解關于模M=pr+1pr+2p r+3?pt同余，因為（p1p2p3?pr，pr+1pr+2p r+3?pt）=1，由同余性質定理1可知，同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，又因為偶數2m是同余方程x≡hr+1（modpr+1）的解，偶數2m也是同余方程x≡h r+2（modp r+2）的解，偶數2m也是同余方程x≡h r+3（modp r+3）的解，?，偶數2m也是同余方程x≡ht（modpt）的解；那么偶數2m也是同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的一個解；在偶數2m范圍內，同余方程組x≡h i（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的所有解對應集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p
r+3
?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?
pt+h′]}，其中vpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數2m的最大正整數。顯然
集合{ h′，（pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2pr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3pr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（v-2）pr+1pr+2p r+3?pt，+h′]，[（v-1）pr+1pr+2p r+3?pt+h′]} 對應同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt）。
我們設集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中的任一奇數均對應同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的一個解，對于同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），e為小于p1p2p3?pt的正整數，因為同余方程組x≡hi（modpi）（i= r+1, r+2, r+3,?，t）的任一解與p1p2p3?pr的乘積關于模M′=p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt同余，由同余性質定理1可知，e=p1p2p3?prh′，根據前面得到的同余方程w≡h′（modpr+1pr+2p r+3?pt），我們再設同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt），那么在偶數2m范圍內，同余方程z≡h′（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應的集合為{ h′，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+h′]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+h′]}，其中up1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt為不大于偶數2m的最大正整數；顯然p1p2p3?prh′＜p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt，而
e=p1p2p3?prh′，所以在偶數2m范圍內，同余方程y≡e（modp1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt）的所有解對應的集合為{ e，（p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（2p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e），（3p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+ e），?，[（u-2）p1p2p3?prpr+1pr+2p r+3?pt+e]，[（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+e]}，顯然（u-1）p1p2p3?prpr+1pr+2pr+3?pt+p1p2p3?prh′＜2m。所以e對應p1p2p3?ptu，（p1p2p3?pt+e）對應p1p2p3?p（，（2p1p2p3?pt+e）tu-1）對應p1p2p3?p（，（3p1p2p3?pt+e）對應p1p2p3?p（，?，[（u-1）tu-2）tu-3）p1p2p3?pt+e]對應p1p2p3?pt。故集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pt，2pt,3pt，4pt，5pt，?，mtpt}中正整數的總個數與集合{p1，2p1,3p1，4p1，5p1，?，m1p1}∩{p2，2p2,3p2，4p2，5p2，?，m2p2}∩{p3，2p3,3p3，4p3，5p3，?，m3p3}∩?∩{pr，2pr,3pr，4pr，5pr，?，mrpr}∩{（2m-pr+1），（2m-2pr+1）,（2m-3pr+1），（2m-4pr+1），（2m-5pr+1），?，（2m-mr+1pr+1）}∩{（2m-pr+2），（2m-2pr+2）,（2m-3pr+2），（2m-4pr+2），（2m-5pr+2），?，（2m-mr+2pr+2）}∩{（2m-pr+3），（2m-2pr+3）,（2m-3pr+3），（2m-4pr+3），（2m-5pr+3），?，（2m-mr+3pr+3）}∩?∩{（2m-pt），（2m-2pt）,（2m-3pt），（2m-4pt），（2m-5pt），?，（2m-mtpt）}中正整數的總個數相等。故定理3成立。
參考文獻
[1]戎士奎，十章數論（貴州教育出版社）1994年9月第1版
[2]閔嗣鶴，嚴士健，初等數論（人民教育出版社）1983年2月第6版 [3]劉玉璉，付沛仁，數學分析（高等教育出版社）1984年3月第1版
[4]王文才，施桂芬，數學小辭典（科學技術文藝出版社）1983年2月第1版
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二〇一四年四月十九日?
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