第一篇：基本計(jì)數(shù)原理-排列組合習(xí)題%%%

基本計(jì)數(shù)原理、排列與組合

常見的解題策略有以下幾種：

（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略

（2）合理分類和準(zhǔn)確分布的策略

（3）排列、組合混合問題先選后排的策略

（4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略（5）相鄰問題捆綁的策略

（6）不相鄰問題插空處理的策略（7）定序問題除法處理的策略

（8）分排問題直排處理的策略

（9）“小集團(tuán)”排列問題中先整體后局部的策略

（10）構(gòu)造模型的策略。典例精析：

題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理、分布乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

例1.（1）在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個(gè)

.（2）已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P（a,b）表示平面上的點(diǎn)（a,b?M）

問：（1）P表示平面上多少個(gè)不同的點(diǎn)？

（2）P表示平面上多少個(gè)第二象限的點(diǎn)？(3)P表示多少個(gè)不在直線y=x上的點(diǎn)？

題型二：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 例2.用0，1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字比2000大的四位偶數(shù)。

題型三：排列應(yīng)用題 例4.7個(gè)人排成一排，在下列情況下，各有多少種排法？

（1）甲排頭

（2）甲不排頭，也不排尾

.（3）甲、乙、丙三人必須在一起

（4）甲乙之間有且只有兩

人

.（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰

.（6）甲在乙的左邊（不一定相鄰）

.（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序

.（8）甲不排頭，乙不排當(dāng)中

.題型四：組合應(yīng)用問題

例：7名男生和5名女生選取5人，分別求符合下列條件的選法總數(shù)有多少種？

（1）A、B必須當(dāng)選

（2）A、B必不當(dāng)選（3）A、B不全當(dāng)選

（4）至少有兩名女生當(dāng)選

計(jì)數(shù)原理與排列組合練習(xí)題

1、一個(gè)乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5人，女隊(duì)員4人，從中選出男、女隊(duì)員各一名組成混

合雙打，共有______________種不同的選法。

2、從甲地到乙地有兩種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地共____種不同的走法。

3、為了對(duì)某農(nóng)作物新品種選擇最佳生產(chǎn)條件，在分別有3種不同土質(zhì)，2種不同施肥量，4種不同種植密度，3種不同播種時(shí)間的因素下進(jìn)行種植實(shí)驗(yàn)，則不同的實(shí)驗(yàn)

方案共有____種。

4、某電話局的電話號(hào)碼為，若后面的五位數(shù)字是由6或8組成的，則這樣的電話

號(hào)碼一共有________________個(gè)。5、4個(gè)小電燈并聯(lián)在電路中，每一個(gè)電燈均有亮與不亮兩種狀態(tài)，總共可表示

__________ 種不同的狀態(tài)，其中至少有一個(gè)亮的有__________種狀態(tài)。

6、（1）若1≤x≤4，1≤y≤5，則以有序整數(shù)對(duì)（x、y）為坐標(biāo)的點(diǎn)共有多少個(gè)？（2）①每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競(jìng)賽，則有不同的參賽方法有__________種 若x,y∈N且x+y≤6，則有序自然數(shù)對(duì)有多少個(gè)？

7、某國際科研合作項(xiàng)目成員由11個(gè)美國人，4個(gè)法國人和5個(gè)中國人組成，（1）從中選出1人擔(dān)任組長，有多少種不同選法？

（2）從中選出兩位不同國家的人為成果發(fā)布人，有多少種不同選法？

8、（1）3名同學(xué)報(bào)名參加4個(gè)不同學(xué)科的比賽，每名學(xué)生只能參賽一項(xiàng)，問有多少種不同的報(bào)名方案？

（2）若有4項(xiàng)冠軍在3個(gè)人中產(chǎn)生，每項(xiàng)冠軍只能有一人獲得，問有多少種不同的奪冠方案？

9、將3封信投入4個(gè)不同的信箱，共有________________種不同的投法；3名學(xué)生走進(jìn)有4個(gè)大門的教室，共有________________種不同的進(jìn)法；3個(gè)元素的集合到4個(gè)元素的集合的不同的映射有________________個(gè)。

10、在一次讀書活動(dòng)中，有5本不同的政治書，10本不同的科技書，20 本不同的小說書供學(xué)生選用，（1）某學(xué)生若要從這三類書中任選一本，則有多少種不同的選法？（2）若要從這三類書中各選一本，則有多少種不同的選法？

（3）若要從這三類書中選不屬于同一類的兩本，則有多少種不同的選法？

11、某市提供甲、乙、丙和丁四個(gè)企業(yè)供育才中學(xué)高三級(jí)3個(gè)班級(jí)進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，其中甲是市明星企業(yè)，必須有班級(jí)去進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)班級(jí)去哪個(gè)企業(yè)由班級(jí)自己在四個(gè)企業(yè)中任意選擇一個(gè)，則不同的安排社會(huì)實(shí)踐的方案共有___________種。

12、有紅、黃、藍(lán)三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號(hào)碼1，2，3，任取3面，它們的顏色與號(hào)碼均不相同的取法有___________種

13、有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競(jìng)賽，②每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則有不同的參賽方法有__________種

③每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽，每項(xiàng)競(jìng)賽只許有一位學(xué)生參加，則不同的參賽方法有_________種

14、四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)與棱的中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有 A．30種

B．33種

C．36種

D．39種

15、圓周上有8個(gè)等分點(diǎn)，以這8個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作直角三角形，共可作不同的直角三角形的個(gè)數(shù)是

A．56

B．2C．16

D．1217、設(shè)直線的方程是Ax?By?0，從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中每次取兩個(gè)不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同直線的條數(shù)是

A．20

B．19

C．18

D．16

18、(1)3個(gè)不同的球，放入4個(gè)不同的盒內(nèi)．

(2)在(1)中每個(gè)盒內(nèi)至多放一個(gè)球．

(3)3個(gè)相同的球，放入4個(gè)不同的盒內(nèi)． 問各有多少種不同的放法？

19、從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有（）

A．108種

B.186種

C.216種

D.270種

20、在數(shù)字1,2，3與符號(hào)＋，－五個(gè)元素的所有全排列中，任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是（）

A．6

B.12

C.18

D.24

21、高三

（一）班學(xué)要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）

A．1800 B.3600 C.4320 D.5040

22、將5名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的３個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少１名，最多２名，則（2）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)？

不同的分配方案有（）

A）３０種

（B）９０種（C）１８０種

（D）２７０種

23、將4個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號(hào)，則不同的放球方法有（）

A．10種

B．20種

C．36種

D．52種

24、某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有__________種 25、5名志愿者分到3所學(xué)校支教，每個(gè)學(xué)校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）

（A）150種(B)180種

(C)200種(D)280種

26、用0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字：

(1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？

3）能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比1325大的四位數(shù)？（

第二篇：教案01-緒論計(jì)數(shù)原理排列組合.

教學(xué)對(duì)象 計(jì)劃學(xué)時(shí) 2

管理系505-13、14、15；經(jīng)濟(jì)系205-

1、2 授課時(shí)間

2006年2月28日；星期二；1—2節(jié)

一、概率緒論（用自制的教學(xué)軟件進(jìn)行隨機(jī)游戲演示）

教學(xué)內(nèi)容

二、計(jì)數(shù)原理——加法原理與乘法原理的復(fù)習(xí)

三、排列與組合

通過教學(xué)，使學(xué)生能夠：

1、了解概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展史，學(xué)習(xí)內(nèi)容

2、培養(yǎng)對(duì)概率的學(xué)習(xí)興趣

3、利用計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算完成某件事的方法數(shù)。

教學(xué)目的

知 識(shí)：

1、了解概率的發(fā)展簡(jiǎn)史與研究內(nèi)容；

2、掌握排列與排列數(shù)公式；

3、掌握組合與組合數(shù)公式；

4、排列與組合的應(yīng)用；

教學(xué)重點(diǎn) 排列與組合的概念

教學(xué)難點(diǎn) 解決實(shí)際問題時(shí)排列與組合的區(qū)別

教學(xué)資源 自編軟件（用于多媒體演示），多種顏色的玻璃球若干個(gè)（以備實(shí)驗(yàn)）

教學(xué)后記

培養(yǎng)方案或教學(xué)大綱

修改意見 對(duì)授課進(jìn)度計(jì)劃 修改意見 對(duì)本教案的修改意見

技能與態(tài)度

1、對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象有正確的認(rèn)識(shí)；

2、用科學(xué)態(tài)度對(duì)待隨機(jī)現(xiàn)象；

3、科學(xué)計(jì)算的認(rèn)真態(tài)度。

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案01<> 教學(xué)資源及學(xué)時(shí) 調(diào)整意見 其他 教研室主任：

系部主任：

緒論（15分鐘）

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，其特點(diǎn)是理論嚴(yán)謹(jǐn),應(yīng)用廣泛,發(fā)展迅速。目前,在全國的各種高等學(xué)校中，無論是本科院校還是高職高專，很多專業(yè)都開設(shè)了這門課程。它也是很多專業(yè)的本科生報(bào)考研究生的必考內(nèi)容之一，希望大家能認(rèn)真學(xué)好這門重要課程。

概率論是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的學(xué)科，它是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支。概率(或幾率)——是隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的量度，它起源于對(duì)賭博等博弈問題的研究

一、概率的起源

在歐洲文藝復(fù)興時(shí)代，15世紀(jì)末的法國和意大利盛行賭博，不僅賭法復(fù)雜，而且賭注量大，一些職業(yè)賭徒迫切需要計(jì)算取勝的機(jī)會(huì)。

比如：一位意大利貴族向天文學(xué)家伽利略請(qǐng)教的問題是：“擲3顆骰子，出現(xiàn)9點(diǎn)與出現(xiàn)10點(diǎn)均有6種組合，但經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)10點(diǎn)的機(jī)會(huì)要多些，是否符合數(shù)學(xué)規(guī)律？”，伽利略從組合數(shù)的角度對(duì)問題進(jìn)行了解釋，被認(rèn)為是概率研究的首次成果。

九點(diǎn)（126，135，144，225，234，333）十點(diǎn)（136，145，226，235，244，334）

法國的賭徒麥爾（梅耳）(Mere)向法國的數(shù)學(xué)家帕斯卡(Pascal)提出兩個(gè)問題——（1）將一顆骰子擲4次至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)的機(jī)會(huì)是否比將兩顆骰子擲4次至少出現(xiàn)一

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案01<> 對(duì)6點(diǎn)的機(jī)會(huì)大？（著名的梅耳猜想），帕斯卡與費(fèi)馬經(jīng)過通信討論，最終解決了這一問題；（2）“一個(gè)賭徒用一顆骰子要在八次投擲中擲出一個(gè)六點(diǎn)，他開始三次都未成功，如果放棄>

d?上面這兩種情況出現(xiàn)的可能性相同，所以，甲應(yīng)得的賭金為的賭金為d。

費(fèi)馬：結(jié)束賭局至多還要2局，結(jié)果為四種等可能情況： 情況： １

２

３

４ 勝者：甲甲

甲乙

乙甲

乙乙 141d2?3d，乙應(yīng)得24前3種情況，甲獲全部賭金，僅>

3414義的局限性很快便暴露了出來，甚至無法適用于一般的隨機(jī)現(xiàn)象。因此可以說，到20世紀(jì)初，概率論的一些基本概念，諸如概率等尚沒有確切的定義，概率論作為一個(gè)數(shù)學(xué)分支，缺乏嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。

三、概率論理論基礎(chǔ)的建立：

經(jīng)過二十多年的艱難研究，雅各·貝努利在1713年出版了概率論的>

一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入新課 復(fù)習(xí)內(nèi)容：（10分鐘）

實(shí)例說明

中學(xué)階段的計(jì)數(shù)原理是以后學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，統(tǒng)

理解用途

計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)。在日常工作和生活中，只要涉及到很多方案的選擇問

題，都可以應(yīng)用它們來解決。

加法原理：做一件事，完成它可以有幾類辦法，明確加法原理的講解

在> 飛機(jī)，也可以乘輪船。從甲地到丙地，共有多少種不同的走法？

教師歸納：（3分鐘）

在學(xué)生對(duì)問題的分進(jìn)行分類時(shí)，要求各類辦法彼此之間是相互排斥使學(xué)生在應(yīng)用兩析不很清的，不論哪一類辦法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成個(gè)基本原理時(shí)，楚時(shí)，教這件事．只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，思路進(jìn)一步清晰師及時(shí)地否則不可以．

和明確．從而深進(jìn)行歸納如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不入理解兩個(gè)基本和小結(jié) 可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而原理中分類、分各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，步的真正含義和下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事實(shí)質(zhì) 的方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理． 導(dǎo)入新課：（2分鐘）

計(jì)數(shù)原理能在很多情況下，求得完成某件事的方引出學(xué)習(xí)排列與法總數(shù)。但對(duì)有些問題來說，如果都用計(jì)數(shù)原理來求組合的目的 解，則顯得過于煩瑣，為了簡(jiǎn)化求解方法，我們還要學(xué)習(xí)排列與組合的概念及方法——這是今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

1．正確理解排列、組合的意義．

2．掌握寫出所有排列、所有組合的方法，加深對(duì)分類討論

二、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

方法的理解．

3．培養(yǎng)學(xué)生的概括能力和邏輯思維能力。

三、知識(shí)學(xué)習(xí)

1、排列（8分鐘）

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案01<>

例．北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同的飛機(jī)票？

生甲：首先確定起點(diǎn)站，如果北京是起點(diǎn)站，終點(diǎn)站是上?；驈V州，需要制2種飛機(jī)票，若起點(diǎn)站是上海，終點(diǎn)站是北京或廣州，又需制2種飛機(jī)票；若起點(diǎn)站是廣州，終點(diǎn)站是北京或上海，又需要2種飛機(jī)票，共需要2+2+2=6種飛機(jī)票．

師：生甲用加法原理解決了準(zhǔn)備多少種飛機(jī)票問題．能否用乘法原理來設(shè)計(jì)方案呢？

生乙：首先確定起點(diǎn)站，在三個(gè)站中，任選一個(gè)站為起點(diǎn)站，有3種方法．即北京、上海、廣泛任意一個(gè)城市為起點(diǎn)站，當(dāng)選定起點(diǎn)站后，再確定終點(diǎn)站，由于已經(jīng)選了起點(diǎn)站，終點(diǎn)站只能在其余兩個(gè)站去選．那么，根據(jù)乘法原理，在三個(gè)民航站中，每次取兩個(gè)，按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種．

定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定順序排成的一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．

找學(xué)生用加法原 理求解

逐步引導(dǎo)

逐步引導(dǎo)

找學(xué)生用乘法原 理求解

老師點(diǎn)評(píng)，得出結(jié)論：乙的方法更

理解并掌握排列簡(jiǎn)潔。由的概念

掌握計(jì)算公式

明確相同排列的含義

此引出排列概念

逐步推導(dǎo)

排列數(shù)計(jì)算公式（由乘法原理求得）

Amn=n(n-1)…(n-m+1)排列說明：取出的元素要“按照一定的順序排成一列”，只要交換位置，就是不同的排列．如飛機(jī)票、通信封數(shù)、減法

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案01<> 與除法運(yùn)算的結(jié)果都屬于這一類。

2、組合（10分鐘）

下面考慮另一類問題：取出的元素，不必管順序，只有取不同元素時(shí)，才是不同的情況，如飛機(jī)的票價(jià)，打電話的次數(shù)、加法與乘法的運(yùn)算結(jié)果都屬于這一類．

定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．

說明：如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當(dāng)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合。

一定要認(rèn)真體會(huì)排列與組合的區(qū)別在于與順序是否有關(guān)，在以后的各種實(shí)際應(yīng)用題中要區(qū)別清楚才能尋找正確解題途徑．

和排列一樣，還需要區(qū)分清楚“一個(gè)組合”和“組合種數(shù)”這兩個(gè)概念．一個(gè)組合不是一個(gè)數(shù)，而是具體的一件事

理解并掌握組合的概念

明確相同組合的含義

掌握計(jì)算公式

組合數(shù)公式（將排列數(shù)的計(jì)算分成兩步）：

mm由Amn= CnAm得

mAnn(n?1)?(n?m?1)C=m=

m!Ammn

四、技能學(xué)習(xí)（20分鐘）

排列與組合的應(yīng)用

1、有條件限制的排列問題

例1、5個(gè)不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列．（1）a，e必須排在首位或末位，有多少種排法？

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案01<>（2）a，e既不在首位也不在末位，有多少種排法？（3）a，e排在一起有多少種排法？（4）a，e不相鄰有多少種排法？

（5）a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？

掌握有關(guān)排列組合問題的基本解（教師出題后向?qū)W生提出要求；開動(dòng)腦筋，積極思維，法，提高分析問暢所欲言，鼓勵(lì)提出不同解法，包括錯(cuò)誤的解法）

教師小結(jié)：排列應(yīng)用題是實(shí)際問題的一種，解應(yīng)用問題的指導(dǎo)思想，弄清題意、聯(lián)系實(shí)際、合理設(shè)計(jì)．調(diào)動(dòng)相關(guān)的知識(shí)和方法是合理設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)．例1是排列的典型問題，解題方法可借鑒．排列問題思考起來比較抽象，“具體排”是一種把抽象轉(zhuǎn)化具體的好方法．

例

2、同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有（）．

（A）6種（B）9種（C）11種（D）23種

先讓學(xué)生獨(dú)立作，教師巡視，然后歸納不同的解法．

（二）有條件限制的組合問題

例

3、已知集合A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5個(gè)元素，且其中至少有兩個(gè)是偶數(shù)的子集的個(gè)數(shù)．

（三）排列組合混合問題

例

4、從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中，選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別承擔(dān)A，B，C，D，E這五項(xiàng)工作，一共有多少種分配方案．

題與解決問題的能力．

通過對(duì)典型錯(cuò)誤的剖析，使學(xué)生克服解題中的“重復(fù)”與“遺漏”等常見錯(cuò)誤．

培養(yǎng)思維的深刻錯(cuò)誤分析

五、態(tài)度養(yǎng)成

性與批判性品質(zhì)

六、實(shí)際解題訓(xùn)練（10分鐘）

通過實(shí)際訓(xùn)練，學(xué)生練習(xí)1．設(shè)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，每次取出4個(gè)球，取1個(gè)紅球記2分，取1個(gè)白球記1分，使得總分不大于5分的取球方法數(shù)為

2．由數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的偶數(shù)共有[

] A．60個(gè)

B．48個(gè)

C．36個(gè)

C．24個(gè)

使學(xué)生掌握解排老師巡列組合問題基本視，解答思想和基本方法 問題

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案01<>

七、課堂小結(jié)（2分鐘）

解排列組合應(yīng)用問題，首先要抓典型問題．如例1是排列常見的典型問題，例3是組合問題，例4是排列組合混合問題．通過典型問題掌握基本方法，這是解排列組合應(yīng)用問題首先要做到的．

排列組合應(yīng)用題與實(shí)際是緊密相連的，但思考起來又比較抽象．“具體排”是抽象轉(zhuǎn)化為具體的橋梁，是解題的重要思考方法之一．“具體排”可以幫助思考，可以找出重復(fù)、遺漏的原因．有同學(xué)總結(jié)解排列組合應(yīng)用題的方法是：“想透、排夠不重不漏，”是很有道理的．

解排列組合應(yīng)用題最重要的是，通過分析構(gòu)想設(shè)計(jì)合理的解題方案，在這里抽象與具體、直接法與間接法、全面分類與合理分步等思維方法和解題策略得到廣泛運(yùn)用．

概括總結(jié)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體

簡(jiǎn)要概括

系、明確排列組

本節(jié)內(nèi)容

合的解題目標(biāo)和對(duì)態(tài)度的要求。

八、布置作業(yè)

1．空間有五個(gè)點(diǎn)，其中任何四點(diǎn)不共面，以每四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，一共可作多少個(gè)四面體？（5個(gè)）

2．用0，2，3，5可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)且被5整除的三位數(shù)？（10個(gè)）

3．同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？（9種）

4．3個(gè)人坐在一排9個(gè)座位上，每人左、右兩邊都有空位子，這樣的排法有_____種．

5．將5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組、每組至少1人的分配方案有_____種．

6．預(yù)習(xí)>

培養(yǎng)做事認(rèn)真的態(tài)度和習(xí)慣

《概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教案01<>

第三篇：兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理教案

第一章計(jì)數(shù)原理

第1節(jié)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理 教材分析

本節(jié)課《分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理》是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（選修2-3)第一章第一節(jié)的內(nèi)容，是本章后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ),對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用,另外本節(jié)課涉及的分步、分類的思想是解決實(shí)際問題的最有效武器，是人們思考問題的最根本方法.學(xué)情分析

高二學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，能很容易的接受兩個(gè)原理的內(nèi)容，并應(yīng)用原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，這些形成了學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”．雖然學(xué)生已經(jīng)具備了一定的歸納、類比能力，但在數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力方面尚需進(jìn)一步培養(yǎng)．另外，學(xué)生的求知欲強(qiáng)，參與意識(shí)，自主探索意識(shí)明顯增強(qiáng)，對(duì)能夠引起認(rèn)知沖突，表現(xiàn)自身價(jià)值的學(xué)習(xí)素材特別感興趣。但在合作交流意識(shí)欠缺，有待加強(qiáng).目標(biāo)分析 ⑴知識(shí)與技能

①掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容

②能根據(jù)具體問題的特征選擇分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題． ⑵過程與方法

①通過具體問題情境總結(jié)出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，并通過實(shí)際事例學(xué)生感悟兩個(gè)原理的應(yīng)用并最終學(xué)會(huì)應(yīng)用

②通過“學(xué)生自主探究、合作探究，師生共究”更深刻的理解分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)原理，并應(yīng)用它們解決實(shí)際問題 ⑶情感、態(tài)度、價(jià)值觀

樹立學(xué)生積極合作的意識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣.教學(xué)重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的掌握

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)具體問題特征選擇分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題． 教法、學(xué)法分析 教法分析：

①啟發(fā)探究法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。

②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。學(xué)法分析：本節(jié)課要求學(xué)生自主探究，學(xué)會(huì)用類比的思想解決問題，樹立學(xué)生的合作交流意識(shí).教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境：對(duì)于分類計(jì)數(shù)原理設(shè)計(jì)如下情境（看多媒體）： 該情境是原教材上情境經(jīng)過加工設(shè)計(jì)的，比原教材情境更加貼近學(xué)生生活，能夠增強(qiáng)學(xué)生的有意注意，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性,從而進(jìn)入思維情境接著是對(duì)情境的處理：

在情境處理過程中要啟發(fā)學(xué)生由特殊情形歸納出一般原理,遵循由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，我處理情境的辦法是：

第一步在解決問題時(shí)首先讓學(xué)生嘗試分析,然后由學(xué)生代表分析解答，教師及時(shí)給出評(píng)價(jià)，并由老師給出解題過程，在這里由老師按分類計(jì)數(shù)原理給出解題過程，為學(xué)生順利總結(jié)概括出原理做好鋪墊.第二步對(duì)原問題加以引申：若當(dāng)天有4次航班，則有多少種不同方法？ 設(shè)計(jì)的意圖是讓學(xué)生更清楚的認(rèn)識(shí)到總方法數(shù)是各類方法數(shù)之和.第三步提出問題：你能否盡可能簡(jiǎn)練的總結(jié)出問題1中的計(jì)數(shù)規(guī)律？

接著由學(xué)生分組討論、總結(jié)問題1中計(jì)數(shù)規(guī)律，這樣由學(xué)生總結(jié)歸納，并通過討論準(zhǔn)確敘述出分類計(jì)數(shù)原理，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)意識(shí)，激發(fā)合作意識(shí)和競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，體驗(yàn)獲得成功的喜悅，也就完成了情感目標(biāo).第四步由教師板書分類計(jì)數(shù)原理(加法原理）并說明由于總方法數(shù)是各類方法數(shù)之和，樹立學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)生活中的講道理意識(shí).在分類計(jì)數(shù)原理中設(shè)計(jì)如下問題情境，問題2與問題1的背景一樣：都是乘車方法的計(jì)數(shù)問題.對(duì)于問題2的處理辦法是：第一步由學(xué)生自主嘗試分析解答，但該問題并沒有問題1般簡(jiǎn)單所以就有了第二步教師電腦屏幕顯示分析及解題過程，利用多媒體顯示動(dòng)畫，輔助分析，展示不同的走法,幫助學(xué)生更直觀的解決問題，然后由感性進(jìn)入理性，這也符合一般的認(rèn)知規(guī)律.第三步問題引申將問題引申為若從蘭州到天水新增一輛4號(hào)汽車，則有多少種乘車方法？ 設(shè)計(jì)的意圖是：通過引申讓學(xué)生更加清楚的認(rèn)識(shí)到總方法數(shù)是各步方法數(shù)相乘.第四步提出問題：你能否對(duì)照分類計(jì)數(shù)原理，歸納概括出問題2蘊(yùn)含的計(jì)數(shù)規(guī)律,并嘗試命名，這樣設(shè)計(jì)一可指導(dǎo)學(xué)生通過類比給出分步計(jì)數(shù)原理，滲透類比思想第二也可在自主探究中掌握本節(jié)重點(diǎn)，當(dāng)然重點(diǎn)的突破也為難點(diǎn)突破打下了知識(shí)基礎(chǔ) 第五部教師板書：分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理），由學(xué)生說明其稱為乘法原理的理由.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×?×mn種不同的方法.二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

在總結(jié)出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行如下三個(gè)問題的探究，初步突破難點(diǎn).探究1：對(duì)比兩計(jì)數(shù)原理，指出相同點(diǎn)與不同點(diǎn) 設(shè)計(jì)探究1的意圖是通過自主探究合作探究，加深兩個(gè)定理的理解并且在兩個(gè)定理內(nèi)容的比較中提高學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)的能力.探究方式：分組討論（合作交流，加深理解）

探究結(jié)果：共同點(diǎn)是：研究對(duì)象相同,它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法.不同點(diǎn)是：它們研究完成一件事情的方式不同,分類計(jì)數(shù)原理是“分類完成”,分步計(jì)數(shù)原理是“分步完成”由于學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平有限，在這里只要求認(rèn)識(shí)到分類計(jì)數(shù)原理是“分類完成”,分步計(jì)數(shù)原理是“分步完成”.探究2：何時(shí)用分類計(jì)數(shù)原理,何時(shí)用分步計(jì)數(shù)原理 探究方式：自主探究，代表發(fā)言，共同總結(jié).探究結(jié)果：若完成一件事情有n類方法，則用分類計(jì)數(shù)原理.若完成一件事情有n個(gè)步驟，則用分步計(jì)數(shù)原理.設(shè)計(jì)意圖：在探究1基礎(chǔ)上進(jìn)一步突破重難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.探究3：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題的思維步驟 探究方式：分組討論，合作探究，代表發(fā)言,共同總結(jié).探究結(jié)果：

1、明確要完成什么事

2、判斷分類還是分步

3、計(jì)算總方法數(shù)

（一）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理內(nèi)容

1、分類計(jì)數(shù)原理：

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法??在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1 +m2 +??+mn種不同的方法.2、分步計(jì)數(shù)原理：

完成一件事，需要分n個(gè)步驟，做第1步驟有m1種不同的方法，做第2步驟有m2種不同的方法??做第n步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2 ×??×mn種不同的方法.（二）例題分析

例1 某學(xué)校食堂備有5種素菜、3種葷菜、2種湯。現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐。問 可以配制出多少種不同的品種？ 分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配一個(gè)葷菜、配一個(gè)素菜、配一湯）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨(dú)立完成）

4、運(yùn)用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理？

5、進(jìn)行計(jì)算.解：屬于分步：第一步配一個(gè)葷菜有3種選擇 第二步配一個(gè)素菜有5種選擇 第三步配一個(gè)湯有2種選擇 共有N=3×5×2=30（種）

例2 有一個(gè)書架共有2層，上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有4本不同的語文書。（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架上任取一本數(shù)學(xué)書和一本語文書，有多少種不同的取法？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨(dú)立完成）

4、運(yùn)用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理？

5、進(jìn)行計(jì)算。

解：屬于分類：第一類從上層取一本書有5種選擇 第二類從下層取一本書有4種選擇 共有N=5+4=9（種）

（2）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨(dú)立完成）

4、運(yùn)用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理？

5、進(jìn)行計(jì)算.解：屬于分步：第一步從上層取一本書有5種選擇 第二步從下層取一本書有4種選擇 共有N=5×4=20（種）

例

3、有1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字.（1）可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)的三位數(shù)？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配百位數(shù)、配十位數(shù)、配個(gè)位數(shù)）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨(dú)立完成）

4、運(yùn)用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理？

5、進(jìn)行計(jì)算.略解：N=5×5×5=125（個(gè)）（2）（3）（4）師生共同完成

（三）鞏固練習(xí)

1、某人有4條不同顏色的領(lǐng)帶和6件不同款式的襯衣，問可以有多少種不同的搭配方法？

2、有一個(gè)班級(jí)共有46名學(xué)生，其中男生有21名.（1）現(xiàn)要選派一名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校的學(xué)代會(huì)，有多 少種不同的選派方法？

（2）若要選派男、女各一名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校的學(xué)代 會(huì)，有多少種不同的選派方法？

思考：有0、1、2、3、4、5六個(gè)數(shù)字.（1）可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)的三位數(shù)？

（四）課堂總結(jié)

1、什么時(shí)候用加法原理、什么時(shí)候用乘法原理呢？

分類時(shí)用加法原理，分步時(shí)用乘法原理．

2、分類與分步怎么區(qū)別呢？

分類時(shí)要求各類辦法能獨(dú)立完成；分步時(shí)要求各步不能獨(dú)立完成． 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)的理解： ①相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.（五）板書設(shè)計(jì)： 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理

1、分類計(jì)數(shù)原理： N=m1 +m2 +……+mn

2、分類計(jì)數(shù)原理： N=m1×m2 ×……×mn

例1． 例2． 小結(jié)：

（六）及時(shí)訓(xùn)練

1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

3.如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()

A.180

B.160

C.96

D.60

若變?yōu)閳D二,圖三呢? 5.五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

（七）作業(yè)布置

1、課本第8頁第1、2、3、4、5題；

2、課本第9頁第1、2、3、4、5、6、7、8、9題 教學(xué)反思：

分類加法計(jì)數(shù)原理比較好掌握，分類乘法計(jì)數(shù)原理不太好理解.有些題不知道是用加法原理還是用乘法原理.例題書上都有，看過書后，教師講課感覺不到新鮮.還有部分不會(huì)做題的學(xué)生通過看書也能得到答案，不能反映他們的真實(shí)水平.1、學(xué)生主體觀

課堂教學(xué)過程是在教學(xué)目標(biāo)的指引下，由師生共同動(dòng)態(tài)“生成”的．其中，學(xué)生的反饋是重要的，它決定了教學(xué)的進(jìn)程．聆聽學(xué)生是教師的必備技能，不要將學(xué)生作為“答案發(fā)生器”，不要沉浸在“我的學(xué)生都會(huì)做了”這種虛假的成功喜悅中，而應(yīng)該讓學(xué)生關(guān)注解決問題的過程、策略及思想方法，讓他們充分地展示思想，完整地、數(shù)學(xué)地表達(dá)自己的想法，甚至于應(yīng)該給予他們犯錯(cuò)的機(jī)會(huì)，也幫助他們提高分析錯(cuò)誤、更正錯(cuò)誤的能力．

學(xué)生在解題時(shí)，往往對(duì)答案很在意，也很在行．例如在問題“集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少個(gè)？”的解決中，學(xué)生極快地報(bào)出了答案“10”，但在敘述他的解題過程時(shí)，卻說不太清楚．一開始說出了5×4的做法，但很快又自我否定（因?yàn)榇鸢覆粚?duì)），當(dāng)然，他一定覺得用“數(shù)”數(shù)的方法可以解決，但難以表述．這種“兩難”處境需要教師的協(xié)助來化解，在教師的鼓勵(lì)下，他用“數(shù)”數(shù)的方法完成了問題，并對(duì)計(jì)數(shù)的對(duì)象——二元集進(jìn)行了分類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理重新闡述了做法，得到了師生的共同認(rèn)可．在這一過程中，不僅是這名學(xué)生，而是全體，都體驗(yàn)了不要“輕易言敗”的心理歷程，這也在一定程度上實(shí)現(xiàn)了新課程所倡導(dǎo)的“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”的目標(biāo)．

2、讓學(xué)生自我發(fā)展

如何讓學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)模式從課內(nèi)延伸到課外？如何讓學(xué)有余力的同學(xué)有更大的收獲？ 學(xué)生在課后常會(huì)問一些問題，多數(shù)是課上未聽懂或習(xí)題的方法未理解掌握，但也有一些同學(xué)就某一問題提出新看法、新解法，對(duì)他們而言，一個(gè)具備思辨價(jià)值的問題是更好的研究素材，例如在本課最后，提出了問題“已知集合M={1，2，3}，P={4，5，6}．①以M為定義域，P為值域的不同函數(shù)有幾個(gè)？②從M到P不同的映射有多少個(gè)？”——這個(gè)問題需要學(xué)生對(duì)函數(shù)、映射相關(guān)知識(shí)先做一個(gè)回顧，再利用所學(xué)的兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理加以解決．記得當(dāng)時(shí)一下課，有學(xué)生上來問我：“是不是9”？我沒有回答，而是讓他自主驗(yàn)證．第二天，他堅(jiān)定地說，“①的答案是6；②的答案是9”，我想，他不需要我對(duì)他的答案進(jìn)行認(rèn)可了，因?yàn)樗褜W(xué)會(huì)了自我認(rèn)可．這種自我認(rèn)可的能力，不也是數(shù)學(xué)課程需要達(dá)到的目標(biāo)么？

第四篇：計(jì)數(shù)原理教案

淮北市第十二中學(xué)2007~2008學(xué)

考

評(píng)

課

教

案

授課人：鄒強(qiáng)

2008年5月 §10.1 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

授課人：鄒強(qiáng)

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：①理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理；

②會(huì)利用兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題；

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；

情感目標(biāo)：①了解學(xué)習(xí)本章的意義，激發(fā)學(xué)生的興趣

②引導(dǎo)學(xué)生形成 “自主學(xué)習(xí)”與“合作學(xué)習(xí)”等良好的學(xué)習(xí)方式..教學(xué)重點(diǎn)：

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用理解 教學(xué)難點(diǎn)：

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的理解 教學(xué)方法：

問題式、螺旋上升的教學(xué)方法 教學(xué)過程：

一．課題引入

中央電視臺(tái)體育頻道每周四次對(duì)“NBA”進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)直播，并對(duì)參與節(jié)目交流的觀眾進(jìn)行抽取幸運(yùn)觀眾活動(dòng)，獎(jiǎng)品是“NBA”明星真品球衣或明星戰(zhàn)靴，此節(jié)目深受廣大籃球迷的喜歡。已知在某次直播時(shí)，共收到手機(jī)號(hào)碼2萬個(gè)。其中聯(lián)通號(hào)碼有0.8萬個(gè)，移動(dòng)號(hào)碼有1萬個(gè)，小靈通號(hào)碼有0.2萬個(gè)?，F(xiàn)抽?。?/p>

（1）一名幸運(yùn)觀眾有多少種不同類型的抽法？

（2）從聯(lián)通號(hào)碼、移動(dòng)號(hào)碼和小靈通號(hào)碼中各抽取一名幸運(yùn)觀眾共有多少種不同的抽法？ 象這種計(jì)算所有情況的問題可稱為計(jì)數(shù)問題，用來解決這種問題的一般方法或計(jì)算規(guī)律叫做計(jì)數(shù)原理，今天我們就來探求它們。

二．新課講授

問題1.1:“兩會(huì)”決定,下一次會(huì)議一定要有農(nóng)民工代表參加.假如現(xiàn)在南方有農(nóng)民工代表30人,北方有農(nóng)民工代表20人,現(xiàn)在選舉一名農(nóng)民工代表共有多少種選法? 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m 種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法.那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法.問題1.2:在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學(xué),復(fù)旦大學(xué),南京大學(xué)三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：

清華大學(xué)

復(fù)旦大學(xué)

南京大學(xué)

數(shù)學(xué)

生物學(xué)

新聞學(xué)

化學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)

金融學(xué)

醫(yī)學(xué)

信息技術(shù)學(xué)

人力資源學(xué)

物理學(xué)

法學(xué)

工程學(xué)

那么，這名同學(xué)從這些強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)中任選一項(xiàng)共有多少種？ 探究一：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有 m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，在第n類方案中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分類計(jì)數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類辦法中有 m2 種不同的方法……在第n類辦法中有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn 種不同的方法.問題2.1:國務(wù)院總理溫家寶在十屆全國人大三次會(huì)議上作政府工作報(bào)告時(shí)表示，補(bǔ)助貧困學(xué)生生活費(fèi)。假設(shè)補(bǔ)助后西部某省的貧困生午飯可買兩盤菜（蔬菜類 + 肉類），學(xué)校食堂的菜單如下，蔬菜類

肉類

蘿卜

豬肉

白菜

牛肉

花菜 請(qǐng)問有多少種不同的選法? 完成一件事需要兩個(gè)不同步驟，在第1步中有 不同的方法.那么完成這件事共有Nm 種不同的方法，在第2步中有 n 種

?m?n種不同的方法.問題2.2：在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學(xué),復(fù)旦大學(xué),南京大學(xué)三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：

清華大學(xué)

復(fù)旦大學(xué)

南京大學(xué)

數(shù)學(xué)

生物學(xué)

新聞學(xué)

化學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)

金融學(xué)

醫(yī)學(xué)

信息技術(shù)學(xué)

人力資源學(xué)

物理學(xué)

法學(xué)

工程學(xué)

那么，這名同學(xué)從清華大學(xué)，復(fù)旦大學(xué)，南京大學(xué)這些強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)中各選一項(xiàng)共有多少種？

探究一：如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有 m

1種不同的方法，做第2步有 m種不同的方法，做第3步有

m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，……做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分步計(jì)數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有 m1 種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法……做第n步有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)

①相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點(diǎn):分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.分步時(shí)，每一步都可以看成分類；分類時(shí)，每一類也可能要有好幾步才能完成。例題選講

問題3.1 書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？ 學(xué)生練習(xí)： 填空：

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會(huì)用第1種方法完成，另有4人會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是

.（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同的路線有

條..（3）從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.（4）.甲、乙、丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3，5，2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選兩名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì)，共有

種不同的推選方法.總結(jié)歸納： 1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，并加區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，其中各種方法相對(duì)獨(dú)立，用其中任何一種方法都可 4 以完成這件事；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成后才算做完這件事.3．運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意點(diǎn)：

分類加法計(jì)數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法計(jì)數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟，這件事才算完成 作業(yè)布置：

.1．課本第９７頁的習(xí)題1０.1A第1，2，3題．

2．編一道運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解答的應(yīng)用題，并加以解答． 課外思考：

1.某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中1本，則該生的購書方案有_____種。課后反思：

第五篇：抽屜原理與排列組合（范文）

抽屜原理

把4只蘋果放到3個(gè)抽屜里去，共有3種放法，不論如何放，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。同樣，把5只蘋果放到4個(gè)抽屜里去，必有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。??更進(jìn)一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n＋1只蘋果放到n個(gè)抽屜里去，那么必定有一個(gè)抽屜里至少放進(jìn)兩個(gè)蘋果。這個(gè)結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。

利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關(guān)鍵是要應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應(yīng)當(dāng)把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。

【例1】一個(gè)小組共有13名同學(xué)，其中至少有2名同學(xué)同一個(gè)月過生日。為什么？

【分析】每年里共有12個(gè)月，任何一個(gè)人的生日，一定在其中的某一個(gè)月。如果把這12個(gè)月看成12個(gè)“抽屜”，把13名同學(xué)的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進(jìn)12個(gè)抽屜里，一定有一個(gè)抽屜里至少放2個(gè)蘋果，也就是說，至少有2名同學(xué)在同一個(gè)月過生日。

【例 2】任意4個(gè)自然數(shù)，其中至少有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？

【分析】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個(gè)自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個(gè)自然數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個(gè)“抽屜”。我們把4個(gè)數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個(gè)抽屜里至少有2個(gè)數(shù)。換句話說，4個(gè)自然數(shù)分成3類，至少有兩個(gè)是同一類。既然是同一類，那么這兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個(gè)自然數(shù)，至少有2個(gè)自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。

想一想，例2中4改為7，3改為6，結(jié)論成立嗎？

【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？

【分析】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是否定的。按5種顏色制作5個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補(bǔ)進(jìn)2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補(bǔ)進(jìn)2只，又可取得第3雙。所以，至少要取6＋2＋2=10只襪子，就一定會(huì)配成3雙。

【例4】一個(gè)布袋中有35個(gè)同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個(gè)，另外還有3個(gè)藍(lán)色球、2個(gè)綠色球，試問一次至少取出多少個(gè)球，才能保證取出的球中至少有4個(gè)是同一顏色的球？

【分析】從最“不利”的取出情況入手。

最不利的情況是首先取出的5個(gè)球中，有3個(gè)是藍(lán)色球、2個(gè)綠色球。

接下來，把白、黃、紅三色看作三個(gè)抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個(gè)，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個(gè)，即至少應(yīng)取出10個(gè)球，就可以保證取出的球至少有4個(gè)是同一抽屜（同一顏色）里的球。

故總共至少應(yīng)取出10＋5=15個(gè)球。

思考：把題中要求改為4個(gè)不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？(答案分別為31和33）

當(dāng)我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個(gè)”這樣的問題時(shí)，想到它——抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。

提示語

抽屜原理還可以反過來理解：假如把n＋1個(gè)蘋果放到n個(gè)抽屜里，放2個(gè)或2個(gè)以上蘋果的抽屜一個(gè)也沒有（與“必有一個(gè)抽屜放2個(gè)或2個(gè)以上的蘋果”相反），那么，每個(gè)抽屜最多只放1個(gè)蘋果，n個(gè)抽屜最多有n個(gè)蘋果，與“n+1個(gè)蘋果”的條件矛盾。

運(yùn)用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個(gè)“蘋果”進(jìn)行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個(gè)同學(xué)可按出生的月份不同分為12類，自然數(shù)可按被3除所得余數(shù)分為3類

排列組合問題

例1：某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？

分析：某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食。其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法。故可以由乘法原理解決：

解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有3×5=15種不同的方法。

例2：書架上有6本不同的外語書，4本不同語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少本不同的取法？

分析：要做的事情是從外語、語文書中各取一本。完成它要分兩步：即先取一本外語書（有6種取法），再取一本語文書（有4種取法）。所以，用乘法原理解決。

解：從架上各取一本共有6×4＝24種不同的取法。

例3：由數(shù)字0、1、2、3組成的三位數(shù)，問：

（1）、可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？

（2）、可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

分析：在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過程中，應(yīng)該一位一位地去確定。所以，每個(gè)問題都可以看成是分三個(gè)步驟來完成。

（1）：要求組成不相等的三位數(shù)。所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種不同的取法；個(gè)位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成3×4×4＝48個(gè)不相等的三位數(shù)。

（2）：要求組成的三位數(shù)中沒有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取0，有3種不同的取法；十位上，由于百位上已在1、2、3中取走一個(gè)，故只剩下0和其它兩個(gè)數(shù)字，故有3種取法；個(gè)位上，由于百位和十位已各取走一個(gè)數(shù)字，故只能在剩下的兩個(gè)數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有3×3×2＝18個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)。

例4：現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中至少取一張，至多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？

分析：要從三種面值的人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個(gè)錢數(shù)，需一步一步地來做。如先取一解的，再取貳角的，最后取壹元的。但注意到，取2張一角的人民幣和取1張貳角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同的。這就會(huì)產(chǎn)生重復(fù)，如何解決這一問題呢？我們可以把壹角的人民幣4張和貳角的人民幣2張統(tǒng)一起來考慮。即從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種。分析得知，共可以組成從壹角到捌角間的任何一種面值，共8種情況。整個(gè)問題就變成了從8張壹角的人民幣和3張壹元的人民幣中分別取錢。這樣，第一步，從8張壹角的人民幣中取，共9種取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，從3張壹元的人民幣中取共4種取法，即0、1、2、3.由乘法原理，共有9×4＝36種情形，但注意到，要求”至少取一張”而現(xiàn)在包含了一張都不取的這一種情形，應(yīng)減掉。所以有35種不同的情形。

例5：學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書。小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本。那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？

分析：在這個(gè)問題中，小明選一本書有三類方法。即要么選外語書，要么選科技書，要么選小說。所以，是就用加法原理的問題。

解：小明借一本書共有：150+200+100=450（種）不同的選法。

例6：一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同。

問：（1）、從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？（2）、從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？

分析：（1）、從兩個(gè)口袋中只需取一個(gè)小球，則這個(gè)小球要么從第一個(gè)口袋中取，要么從第二個(gè)口袋中取，共有兩大類方法。所以是加法原理的問題。（2）、要從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球，則可看成先從第一個(gè)口袋中取一個(gè)，再從第二個(gè)口袋中取一個(gè)，分兩步完成，是乘法原理的問題。

解（1）：3＋8＝11（種）

（2）：3×8＝24（種）

例7：有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6。將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？

分析：要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮。

第一類：兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)。由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放。放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有3×3＝9種不同的情形。

第二類：兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有9種不同的情形。

所以，最后再由加法原理即可求解。9＋9＝18（種）