第一篇：初中數學教學研究

新課程理念與初中數學課程改革

第一章（重點）

一、《標準》的研究背景

1、《綱要》是制訂標準的基本依據

2、中國數學課程改革與發展研究是《標準》的理論與實踐基礎

二、《標準》的基本理念

1、數學課程要面向全體學生

2、數學的發展要在數學課程中得到反映

3、數學課程要關注學生的生活經驗和已有的知識體驗

4、數學課程的內容要包括“過程”

5、在合作交流與自主探索的氛圍中學習數學

6、教師的角色要向數學學習活動的組織者、引導者和合作者轉換

7、評價應關注學習過程，應有助于學生認識自我，建立自信

8、科學合理地使用現代信息技術

三、基本理念在《標準》中的地位和作用

基本理念是構成《標準》的支撐點，《標準》中每一項具體描述都是這些理念物化的結果。

第二章 一、五個國家的數學課程標準

1、改革迭起的美國數學課程標準

包括6條指導性原則和12條標準

2、以水平為標準的英國數學課程標準

3、十年一改的日本數學課程標準

4、現實的數學的荷蘭數學課程標準

5、國小影響大的新加坡數學課程標準

二、國際數學的六個特點

1、面向全體

2、注重問題解決

3、注重數學應用

4、注重數學交流

5、注重培養學生的態度、情感與自信心

6、重視信息技術的應用

三、國外初中數學教材的特點

1、與現實生活緊密聯系在一起

2、從學生的經驗出發，激發學生學習的興趣

3、以學生的活動為主線來貫穿內容

4、內容呈現方式多樣化

5、教材為學生提供了充分的探索空間

6、教材注重對知識及時進行梳理

第三章（重點）

第一節 建立和發展學生的符號感1

符號感主要表現的四個方面

1、能從具體情景中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表示

2、理解符號所代表的數量關系和變化規律

3、能進行符號間的轉換

4、能選擇適當的程序和方法解決用符號所表示的問題

第二節 數與代數的課程設計

一、代數式的課程設計特點

1、在具體情境中理解字母表示數的意義

2、在代數式、代數式求值、代數式運算的學習中發展符號感

二、方程與不等式的課程設計特點

1、體會方程（組）是刻畫現實世界的一個有效的數學模型

2、經歷探索方程（組）解的過程

3、掌握求解方程的基本方法，并能檢驗解的合理性

4、體會具體問題中的不等關系，利用不等式解決問題

三、函數的課程設計特點

1、函數思想的早期滲透

2、探索現實世界中變量之間的關系

3、對函數概念理解的逐步深入

4、在具體函數學習中強調函數模型的思想

5、結合數值、解析式、圖像探索具體函數的性質

6、利用函數的觀點認識方程和不等式

四、有理數、實數的課程設計特點

1、關注數與現實世界的聯系

2、關注對大數、無理數等的估計

3、關注對運算意義的理解以及對運算方法的選擇

4、利用計算器解決實際問題和探索規律

第三節 教學上的建議

數與代數課程教學的五點建議

1、注重實際問題數學化的過程，突出數、符號用來表示與交流的作用

2、鼓勵學生的充分探索和交流

3、注重培養學生的代數推算能力

4、重視對數與代數知識的理解和應用，避免繁雜的運算

5、注重發揮計算器、計算機等信息技術的作用

第四章（重點）

第一節 幾何課程的價值和目標

一、幾何課程的三項教育價值

1、更好地理解人類賴以生存的空間

2、發展無窮無盡的直覺源泉，形成創新意識

3、有利于數學思考、解決問題、情感態度的發展

二、幾何課程的目標

第二節 建立和發展學生的空間觀念

空間觀念的主要內容是

1、能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化，能根據條件作出立體模型或畫出圖形。

2、能描述實物或幾何圖形的運動和變化

3、能采用適當的方式描述物體間的位置關系

4、能運動圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考

第三節 空間與圖形課程的設計

一、圖形的認識的課程設計

1、在現實情景中抽象出圖形，經歷建立模型的過程

2、經歷探索圖形性質的過程，掌握一些基本圖形的基本性質

3、增加視圖與投影等有關空間的內容，更好地發展空間觀念

4、運用所學的圖形的性質解決實際問題

5、了解并欣賞一些有趣的圖形，感受圖形世界的豐富多彩

二、圖形與變換的課程設計

1、在豐富的現實情境中，探索變換（軸對稱、平移、旋轉）現象的共同特征，認識變換（軸對稱、平移、旋轉）的基本性質

2、探索圖形之間的變換關系及基本圖形的變換性質

3、靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計

4、欣賞并體驗變換在現實生活中的廣泛應用，體會其豐富的文化價值

5、認識圖形的相似及其在生活中的廣泛運用

三、圖形與坐標的課程設計

1、探索刻畫物體或圖形位置的方法，靈活運用不同的方式確定物體的位置

2、能建立適當的直角坐標系，描述物體的位置

3、在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化

四、圖形與證明的課程的設計

1、在探索圖形性質，與他人合作交流的活動過程中，發展合情推理，學習有關條理的思考與表達

2、體會證明的必要性

3、掌握證明的基本格式，養成說理有據的態度

4、體驗證明素材的豐富多彩

五、教學上的四點建議

1、以現實生活中的大量實例為背景，使學生體驗圖形與現實世界的密切聯系

2、注重使學生經歷觀察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等活動，積累數學活動經驗

3、全面發展學生的推理能力

4、發揮計算機等信息技術對空間與圖形及教學的作用

第五章（重點）

第一節 統計與概率的教育價值

統計與概率的教育價值

1、有助于學生適應現代社會的需要

2、有助于培養學生形成運用數據進行推斷的思考方式

3、有助于學生數學思考、解決問題、情感態度等多方面的發展

第二節 統計課程的設計

統計課程的設計

1、核心是發展學生的統計觀念（包括三個方面）

2、從事收集、整理、描述和分析數據的活動，并在此活動中學習統計的知識和方法（包括三個方面）

3、認識到統計在社會生活及科學領域中的應用，并能解決一些簡單的實際問題

第三節 概率課程的設計

概率課程的設計

1、體會概率的意義，了解頻率與概率的關系

2、學習獲得事件發生概率的方法

3、通過實例進一步豐富對概率的認識，發展學生的隨機觀念

第四節 教學上的建議

統計與概率教學的四點建議

1、突出統計與概率的實際意義和應用

2、突出學生在活動過程中的自主探索和合作交流

3、強調對所學知識和方法的理解和應用，避免單純的計算

4、強調計算器、計算機等信息技術的作用

第六章

第一節 實踐與綜合運用

一、實踐與綜合運用的內涵

1、加強數學與外部世界的聯系

2、加強數學內容之間的聯系

3、加強數學知識、方法、活動經驗、思維方式等的綜合應用

二、實踐與綜合運用的教育價值和總體目標

1、教育價值

2、總的要求

第二節 課題學習

一、課題學習的特征與目標

1、特征

2、目標：共4個方面

二、課題學習的教學和評價建議

1、提供給學生充分實踐、思考和交流的空間

2、提供適當的課題供學生選擇，并鼓勵學生獨立提出問題

3、注重課題學習后的教學反思

4、對課題的學習評價以質的評估為主

第二篇：初中數學“數學建模”的教學研究

初中數學“數學建模”的教學研究

張思明（北大附中，數學特級教師）鮑敬誼（北大附中數學學科主任，高級教師）

白永瀟（北京教育學院數學教師）

一、什么是數學建模？

1.1數學建模（Mathematical Modeling）是建立數學模型并用它解決問題這一過程的簡稱，有代表的定義如下：

（1）普通高中數學課程標準中認為，數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育的重要內容和基本內容。

（2）葉其孝在《數學建模教學活動與大學數學教育改革》一書中認為，數學建模(Mathematical Modeling)就是應用建立數學模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題的抽象、簡化，確定變量和參數，并應用某些“規律”建立起變量、參數間的確定的數學問題(也可稱為一個數學模型)，求解該數學問題，解釋、驗證所得到的解，從而確定能否用于解決實際問題的多次循環、不斷深化的過程。

兩種定義的區別在于課程標準對數學建模的定義沒有強調建立特定的解決問題的數學模型。數學建模的過程中當然會運用數學思想、方法和知識解決實際問題，但僅僅如此很難稱得上是“數學建模”。處理很多事情，比如法律和組織上的問題，常常會用到分類討論的思想、轉化的思想、類比的思想，而并沒有建立數學模型，這就不能說是進行了數學建模。這里所談（實際上，同大部分人認為的一樣）的數學建模，其過程是要建立具體的數學模型的。

什么是數學模型？根據徐利治先生在《數學方法論選講》一書中所談到，所謂“數學模型”（Mathematic Model）是一個含義很廣的概念，粗略的講，數學模型是指參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表達出來的一個數學結構。廣義的說，一切數學概念、數學理論體系、數學公式、數學方程以及由之構成的算法系統都可以稱為數學模型；狹義的解釋，只有那些反應特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構才叫數學模型。

本論文所談到的數學建模，其過程一定是建立了一定的數學結構。

另外，我們所談的數學建模主要側重于解決非數學領域內的問題。這類問題往往來自于日常生活、經濟、工程、醫學等其他領域，呈現“原胚”狀態，需要分析、假設、抽象等加工，才能找出其隱含的數學關系結構。

一般地，數學建模的過程可用下面的框圖表示：

1.2什么是中學數學建模？

這里的“中學數學建模”有兩重含義。

一是按數學意義上的理解、在中學中做的數學建模。主要指基于中學范圍內的數學知識所進行的建模活動，同其它數學建模一樣，它仍以現實世界的具體問題為解決對象，但要求運用的數學知識在中學生認知水平內，專業知識不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教學價值。

二是按課程意義理解，它是本文要展開討論的，一種要在中學中實施的特殊的課程形態。它是一種以“問題引領、操作實踐”為特征的活動型課程。學生要通過經歷建模特有的過程，真實地解決一個實際問題，由此積累學數學、用數學的經驗，提升對數學及其價值的認識。其設置目的是希望通過教師對數學建模有目標、有層次的教與學的設計和指導，影響學生的學習過程，改變傳統的學習方式，實現激發學生自主思考，促進學生合作交流，提高學生學習興趣，發展學生創新精神，培養學生應用意識和應用數學的能力，最終使學生提升適應現代社會要求的可持續發展的素養。

二、數學建模進入中學課堂的背景

（一）數學建模從大學到中學的歷程

1.大學開設數學建模課程以及大學生數學建模競賽的開展。

目前，數學建模在大部分高校已經成為數學專業的必修課，其它工科、金融、社會學科的選修課程。而且，與計算機技術相結合，大學開設了數學實驗課程。

美國的大學生數學建模競賽有MCM（Mathematical Contestin Modeling）和ICM（Interdisciplinar yContestin Modeling），我國的有全國大學生數學建模競賽(CUMCM)（China Undergraduate Mathematical Contestin Modeling)。

2．數學建模從大學進入中學。

1988年，第六屆ICME就把“問題解決、建模和應用”列入大會七個主要研究課題之一，認為“問題解決、建模和應用必須成為從中學到大學——所有學生的數學課程的一部分。”

美國科學院下屬的國家研究委員會在1989年發表的調查報告《關于未來數學教育的報告》中，把“數學建模進入中學”列為數學教育改革最急需的項目。

（二）國外中學數學建模相關課程的發展

很多國家在中學開設了類似“數學建模”的數學應用課程，將數學知識和現實生活中的問題融合起來進行學習，形成了各具特色的中學數學課程。

1．美國——兩種課程模式。

（1）以項目為中心的學習(Project-Based Learning)

強調長期的、跨學科的、以學生為中心的學習活動，并結合現實世界中的問題與實踐進行教學。

（2）以問題為中心的學習(Problem-Based Learning)

是一種關注經驗的學習，它圍繞現實生活中的一些結構不明確的問題展開調查，并尋求解決方法。

1991年美國出版了由Frank Swetz和JeffersonS.Hartaler編的《中學課程中的數學建模—課堂練習資料導引》。此書介紹了自1975年以來美國的中學數學教學是如何強調問題解決和數學建模的，簡要分析了問題解決和數學建模的關系，指出在中學發展數學建模活動的必要性和可能性。

2．英國——課程整合。其主要內容是： ①從現實生活題材中引入數學；

②加強數學和其他科目的聯系；

③打破傳統格局和學科限制、允許在數學課中研究與數學有關的其他問題。在課程標準下，將“運用和應用數學”單獨列為一項成績目標，貫穿于整個數學課程之中。“運用和應用數學”十分注意面對解決實際問題與日常生活中的問題，包括提出問題、設計任務、做出計劃、收集信息、選用數學、運用策略、獲得結論、檢驗和解釋結果等環節，而不是局限在書本上現成的“問題”。例如，為研究最好的儲蓄方式（或地點），就要去調查各家銀行不同存款形式、期限的利率等。

3．日本——課題學習。

受美國“問題解決”等因素的影響，日本教育界提出了“課題學習”（Problem Situation Learning）。“課題學習”于1989年作為中學數學教學內容寫進了《中學數學學習指導要領》，自1993年4月開始在初中二、三年級中開始實施。

為了配置“課題學習”的實施，1993年日本出版了6套初中數學科書，共設置255個課題。大阪教育大學松宮哲夫先生提出了CRM(Composite Real Mathematics)型課題學習，特別重視課題的現實性，積極主張從現實世界中的問題情境出發進行課題學習。提出“湖水中的數學”、“高層建筑中的數學”、“田徑場中的數學”、“交通安全中的數學”、“鐵路運輸中的數學”等課題。

日本第15屆中央教育審議會在1996年提出了要在中小學設置綜合課程的建議，經過論證后修訂了中小學《學習指導綱要》，規定小學（從三年級開始）和初中從2002年開始，高中從2003年開始正式開設綜合學習課程。綜合活動課程不是課外活動，而是利用教學時間進行的正式課程。它沒用既定的教學目標和教科書。各校根據自己的興趣等選擇學習內容。

4．法國——多樣化途徑（初中）有指導的學生個人實踐活動（高中）。

1994年，法國開始進行中小學校的課程改革，增加了“多樣化途徑”課程，并于1995年-1996年首次在初二年級實施。

1999年，法國政府又規定，將這一實驗從初二推向初三，規定在初三年級增加“綜合實踐課程”，并且設為必修課。

2002年，法國幾乎所有的高中二年級都開始進行“有指導的學生個人實踐活動”。5．國際數學教育大會對數學建模的重視。

在近幾屆的國際數學教育大會（ICME）上，數學建模與應用都有固定的專題分組。1996年6月在西班牙召開的第八屆ICME大會上，不僅有歐美國家的數學建模的專題報告和經驗介紹，也有巴西這樣的發展中國家的代表介紹巴西國內10年來數學建模的發展情況。我國代表葉其孝教授在“數學建模與應用專業組”報告中，介紹了我國首創的中學數學知識應用競賽的情況。

（三）國內中學數學建模的發展

中學數學建模競賽的開展，展示了數學建模在培養學生方面的特殊作用，產生了巨大的影響，對數學建模課程進入中學起了積極的推動作用。從1991年以來，上海市舉辦了“金橋杯”中學生數學知識應用競賽；北京市在1994年第一屆“方正杯”中學生數學知識應用競賽，從1997年開始，由北京數學會等五家單位組織，把《高中數學知識應用競賽》作為正式的科普活動，定期開展。

北京市數學會從1994年起，組織了“中學數學教學改革和數學建模”討論班；經過研討形成一批教學素材，在北京師范大學的“數學學校”中進行了教學建模案例實踐。評價中，高考逐年加大了對數學應用能力的考察力度。教學中，“研究性學習”、“課題學習”、“數學建模”等教學方式陸續提出。

（四）課堂教學的嘗試和教學資源的發展歷程

?1993年，北大附中采用葉其孝引進的美國建模教材，組織部分同學在課外活動的時間開始開展數學建模活動。

?1997年，北大附中有了正式選修課，積累了一批案例資源作為教學之用，并為高中數學課程標準中數學建模內容的制訂，提供了經驗和案例。

?1997年，葉其孝主編的《中學數學建模》出版。

?2000年9月，張思明編著的《中學數學建模的實踐與探索》出版。?2002年12月，《北京高中數學知識應用競賽試題及解析》出版。?2003年，《中學生研究性學習案例---中學生數學建模論文選編》出版。

?2003年，數學建模被寫進有教育部制訂的《普通高中數學課程標準（實驗）》，成為高中數學正式的學習內容。

?2004年，張思明、白永瀟編著的《數學課題學習的實踐和探索》出版。?2006年，拍攝17集專題片《數學建模走進中學課堂》。

?2007－2009年，在全國部分地區的“數學新課程的網上培訓”課程中，數學建模成為培訓內容之一。

?2008年，北京“數學建模”雙課堂“實驗，依托網絡、真實課堂和虛擬課堂結合的中學數學建模課程，探索了中學數學建模教學的可操作模式。

三、《義務教育數學課程標準（修訂稿）》和高中數學課標中有關數學建模的內容 教育部新啟動的《義務教育階段數學課程標準》的修訂中，東北師大史寧中校長提議，將原來的“雙基”增加到“四基”，增加了“基本數學活動經驗和基本數學思想”。基本活動經驗是指學生親自或間接經歷了活動過程而獲得的經驗。另外，《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》在“數與代數”的內容中提出了“要初步形成模型思想”，對“綜合與實踐”部分內容加以明確并提供了具體課例。上述變化正是課標對培養學生數學應用能力的應措。相比數學建模，綜合與實踐部分是學習數學建模的最初階段，因此內容包含的更加基本、廣泛，下面我們將分別介紹全日制義務教育數學課程標準（修改稿）提出的“模型思想”，“綜合與實踐”的內容，以及內容在實驗稿基礎上的變化，最后在通過實例來說明綜合與實踐部分的學習內容。

（一）模型思想

2007年12初全日制義務教育數學課程標準（修改稿）提出在“數與代數”的教學中，應幫助學生建立數感和符號意識，發展運算能力和推理能力，初步形成模型思想。模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

（二）與實驗稿相比“綜合與實踐”部分的變化

目的和內涵進一步明確，統一了名稱，給出了明確的定義：“綜合與實踐”，是一類以問題為載體，學生主動參與的學習活動，是幫助學生積累數學活動經驗、培養學生應用意識與創新意識的重要途徑。針對問題情境，學生綜合所學的知識和生活經驗，獨立思考或與他人合作，經歷發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，感悟數學各部分內容之間、數學與生活實際之間、數學與其他學科之間的聯系，加深對所學數學內容的理解。

明確要求“綜合與實踐”應當保證每學期至少一次。三個學段“綜合與實踐”的要求和教學目標有了差異。

（三）“綜合與實踐”的常用教學形式和案例

按照教學內容不同，“綜合與實踐”可以分為兩種內容形式：體現數學知識內部聯系；體現數學與生活和其它學科聯系。

若按照活動開展的地點不同，可以分為課堂內、課堂內外結合、課堂外三種形式。（可見下表）

解決數學內部問題

解決數學外部問題（生活、的綜合與實踐活動 其他學科等）的綜合與實踐

活動

課堂內進行的綜合與實踐活動

例80--用幾何研究代數、例78--看圖說故事

課堂內外結合進行的綜合與實踐活動 課堂外進行的綜合與實踐活動

（四）《高中數學課程標準》中關于數學建模的定位

在《高中數學課程標準》的研制過程中，對是否增加數學建模的要求是有爭議的。一些專家認為，中學數學是打基礎的階段，核心是學好將來需要的基礎知識，應用不必強調，強調了也沒有用——在大躍進時期我們曾強調過“理論聯系實際”，文革中我們的教學內容里加入了類似“三機一泵”，地主如何算“變天帳”一類的內容，弱化了基礎理論的學習，效果是不好的。但一批數學家深刻注意到了數學的發展和變化，姜伯駒、李大潛、丁石孫、葉其孝等先生都分別撰文闡明在中學培養學生數學應用能力的重要性。我們多年開展中學數學建模競賽和中學數學建模教學的實踐也證明了，數學建模對培養中學生應用能力的良好作用。種種努力，使數學建模最終成為新高中數學標準中規定的高中數學內容的一部分。

新高中數學標準在基本理念的第5條即是發展學生的數學應用意識，認為高中數學課

例46--空間想象與分類計數。

例77--包裝盒中的數學 例79--利用樹葉的特征對樹木分類 例21--鈕扣分類

例75--直覺的誤導 例76--從年歷中想到的 程應提供基本內容的實際背景，反映數學的應用價值，開展“數學建模”的學習活動，設立體現數學某些重要應用的專題課程。高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。由此在數學內容中特別加入了：數學探究、數學建模。這些內容不單獨設置，滲透在每個模塊或專題中。標準要求高中階段至少各應安排一次較為完整的數學探究、數學建模活動。

這里標準中談到的數學建模，內容即是一般意義上的數學建模。數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程，已經成為不同層次數學教育重要和基本的內容。數學建模可以通過以下框圖體現：

數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。

課程標準提出的教學要求是：

1．在數學建模中，問題是關鍵。數學建模的問題應是多樣的，應來自于學生的日常生活、現實世界、其他學科等多方面。同時，解決問題所涉及的知識、思想、方法應與高中數學課程內容有聯系。

2．通過數學建模，學生將了解和經歷上述框圖所表示的解決實際問題的全過程，體驗數學與日常生活及其他學科的聯系，感受數學的實用價值，增強應用意識，提高實踐能力。

3．每一個學生可以根據自己的生活經驗發現并提出問題，對同樣的問題，可以發揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決的方法，從而獲得綜合運用知識和方法解決實際問題的經驗，發展創新意識。

4．學生在發現和解決問題的過程中，應學會通過查詢資料等手段獲取信息。5．學生在數學建模中應采取各種合作方式解決問題，養成與人交流的習慣，并獲得良好的情感體驗。

6．高中階段至少應為學生安排1次數學建模活動。還應將課內與課外有機地結合起來，把數學建模活動與綜合實踐活動有機地結合起來。

標準未對數學建模的課時和內容做具體安排。學校和教師可根據各自的實際情況，統籌安排數學建模活動的內容和時間。例如，可以結合統計、線性規劃、數列等內容安排數學建模活動。

四、如何在初中開展數學建模

（一）數學建模與數學應用題的區別

與傳統應用題相比，數學建模所解決的問題往往呈現一種“混沌”狀態，沒有明顯的數據和關系可用，所給的條件也不一定有用，得出的結論往往不唯一，建立的數學模型也要在實踐中反復修改驗證，由于具有這些特點，數學建模是學習“數學應用”的最佳方式之一，能讓學生更好地體驗數學是怎樣運用于實際的過程，形成他們的數學經驗。

我們之所以要在初中滲透數學建模，一個很重要的理念是，要培養學生的實踐能力，需要綜合的利用知識，如果僅僅滿足于在每一個具體的領域里，介紹具體領域的知識，可能就沒有給學生綜合使用知識的一個機會，另外，數學的發展非常關注應用，用數學去解決其他學科和領域的問題，用數學去解決我們日常生活的問題，這都是數學發展越來越重視的一件事情，怎么利用數學的知識，去解決生活中其它學科中的問題，我們需要有一個平臺，讓學生利用這個平臺，去做這件事情。其次是對學生創新能力的培養，而創新的基礎是需要有問題的，是需要解決問題，是需要在解決問題的過程中，提出自己的想法，而綜合與實踐活動，恰恰就為學生這方面的能力，提供了一個可操作的，可以實踐的一個平臺。

對比第三階段的綜合與實踐活動的要求，有哪些相對于前兩階段的提升？一個是能夠結合實際情況，經歷設定解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型，解決問題的過程，建立模型，并嘗試發現問題，提出問題，這是一個比較高一點的要求，在前兩個學段，主要是學生一起做老師提供的已經在課本上給好的問題，在這個初中要嘗試，看學生自己能不能提出一些有價值的問題。要把數學建模的目標，和學生增長數學學習的經驗，改進學生學習的方式聯系起來，那么還提出要會反思，參與活動的全過程，會把研究的過程和解決形成報告和小論文，并進行交流，進一步獲得社會活動的經驗，要求結果要形成一個有價值的數學結果，像個小論文。

（二）初中數學建模的四個環節

第一個環節是提出問題，第二個環節是探求解題的途徑，第三個環節是操作實踐，第四個是反思交流評價。也可以簡單地用“選題，開題，作題，解題”這樣的操作方式來表達。具體來做數學建模的教學設計的時候，一個是要有一個清晰的線索，這個線索就是過程設計，核心是個問題，在問題引領下，突出活動。一個是“做”，不是老師做，是學生做，所以要圍繞著做來設計，一個是“過程”，過程要讓學生更多地參與，在過程中有所發現，有所收獲，最后，要積累經驗。

（三）數學建模的評價

可以通過幾個不同的維度來評價。第一是過程，就是學生能不能完整地完成這個過程，老師給了問題以后，或者我們自己提出的問題也好，首先把問題說清楚，第二件事，要有思路，我們能不能把這個思路說清楚，就是我打算怎么做，先拿紙試，然后拿布裁，然后發現什么問題再怎么解決，在解決的過程中，會用到哪些數學，要先有一個設計。我們看學生是不是能在真正做之前，把這問題想一想清楚，然后就是做，最后就是做的結果的展示。萬一出了問題，還可以有改進的一些思考。另外就是能不能拓展。第二是看數學用得怎么樣，包括是不是正確，是不是科學，是不是好，能不能改進的問題；比如說還可以考慮，因為我們畢竟是做實踐的東西，是否考慮到精度，是不是考慮到節約，是不是考慮到優化。第三就是情感態度價值觀。學生做一件事情的關注度，投入度，興奮度如何，也許做的并不太好，但是他非常專注，他不會的地方會向別人請教，而請教的態度非常好，他還可以去翻書和查資料等等。

將以上內容進行歸納，在數學建模評價中，我們不僅要關注結果，更要關注過程、關注學生的差異、學生個性的彰顯、學生在建模前后發生的變化。出可以從以下幾個角度入手觀察、評價：學生提出問題是否有新意，操作求解是否有創意，合作學習是否有效率，結果呈現是否有特色，反思拓展是否有眼光，自我感受是否有收獲，興趣動力是否有增強，數學素養是否有提高。

（四）初中數學建模的若干簡要案例

4.1初中數學建模學習案例1：——與自行車有關的問題（小組學習實踐）課題：了解自行車中的數學問題，應用學過的數學知識，解決以下問題。問題1：用自己或同學的一輛自行車為觀察對象，觀察并解決下列問題：（1）我觀察的這輛自行車是什么牌子的？

（2）它的直徑是cm，輪子轉動一周，在地面走過的距離是____________cm，精確到1cm。

（3）自行車中軸的大齒輪盤的齒數是_________齒，后軸的小齒輪（飛輪）的齒數是_____________，中軸的大齒輪被踏動一周時，后軸的小齒輪在鏈條傳動下，不計算慣性將轉動_____________周（保留2位小數）。

問題2：如果你有自行車，并騎車上學，你能借助于自行車，測量出從你的家到學校的路程嗎？請你設計一個測量方案，并盡可能地通過實際操作測量出從你的家到學校的路程。

問題3：如果你的（或你的朋友）自行車是可以變速的自行車（如山地車、多飛輪的自行車）、請你觀察一下在這輛自行車上有幾個（中軸上的）大輪盤，幾個飛輪，它們都各有多少齒？記錄這些數據。如果你騎車時每一秒腳蹬一圈，請你根據上面測量的數據計算出這輛自行車運行時最大的速度和最小的速度各是每小時多少公里？

選做問題4：你認為對問題3中的自行車的各個齒輪的齒數安排的合理嗎？你能發現或提出什么樣的問題？如果有可能請你做設計改進的話，你會做什么？

求解工作的表格省略。

4.2初中數學建模案例2：——線路設計問題（自學、探索、創新實踐）課題：為所在小區設計一個最佳的郵政投遞路線，一個合理的保安巡邏路線。實施建議：

1．按居住地成立4-6人的小組，對你們要研究的小區，進行觀察，收集必要的數據和信息，(如平面圖，樓的門洞的朝向，道路情況，小區的進出口位置等).發揮各自的特長，分工合作完成測量方案的設計、實測、作圖、計算、論證、比較、計算機文稿錄入、結果介紹等。

2．復習必要的知識，如一筆畫方法，最短郵路的畫法和算法等。

3．畫出小區的平面示意圖，(最好復印一下，以避免后面畫壞時重畫)，在圖上完成郵政投遞路線的設計，(使郵遞員走的路線最短)。

4．實踐環節：先不加思索按投遞要求隨意地走一遍，再按你設計的路線，實際走一遍，測算出路程看一看相差多少(記錄數據)? 創新實踐項目:為你們居住的小區設計一個合理的保安巡邏路線、或合理的送奶的路線。首先思考“合理”的含義。

4.3初中數學建模案例3：——穿衣鏡的最佳設計（個人的創意與設計）

課題：自己提出幾個有關穿衣鏡設計的問題，給出你們認為最合理、最佳、最有創意的設計方案或解決辦法。

實施建議：

1.成立工作小組，討論本小組的工作目標、分工。

2．有可能的話到家具店、超市、（別忘了帶尺子或相機）有關雜志或網站上收集一點相關資料，可以發現問題或提出你們更好的設計。

3．分工合作完成你們的設計，最好有一個圖、或一個小的模型，可以用紙板做。4．準備在全班交流，可以用實物、照片、模型、“ppt”，等形式表現你們的成果和創意，如果給你3分鐘講演、展示，怎樣讓班里同學為你們的成果叫好？

4.4數學建模的可供學生選擇上的假期作業

1.利用放寒假與父母逛商場的機會，認真注意收集春節商場“打折消費”、“誘導消費”的各種廣告信息，測算化1000元可以最多實際買到價值多少的商品。計算實際打折率。開動你的大腦，為消費者設計一種收益較多的購物方式；或者為商場設計一個更好的吸引消費者的、也使的商場收益較多的購物方式。

2.測量一個比較高的建筑物的高度，說明測量方案，測量過程和測量數據。看誰想出更好的方法？

3.自編3道方程和方程組的應用題，要求聯系實際，有真實的實際背景，請寫出題目、題解，看誰編的有趣。

4.到超市觀察各種不同包裝設計的同種商品，如同一個牌號的大、小牙膏，收集它們的價格信息，找一個表示它們的重量和價格的公式。5.到各大商場，超市觀察不同的商品的外包裝，提出一個與“節約”有關的問題，將問題數學化，并用學過的知識試著解決它。進而自己在提出一些新的問題，或將自己得到的結果推廣以適用于更大的范圍。

6.了解出租車的計價方式，（如起步每公里，每種車型多少錢；運行中每公里，每種車型多少錢；等候時每分鐘，每種車型多少錢？）給出一個根據距離、等候時間計算付多少錢的方法或公式。

7.調查郵局中不同重量、寄往本市、外地、港澳、國外的平信（包括航空）的郵資表，如果限定信封上只準貼至多3枚郵票，請你設計郵票應該有哪些面值？

8.自己找到的用學過和還沒有學過的數學知識解決的實際問題，（可以只提出問題，或僅僅提供一個解決問題的想法）。

學生實際的學習成果從略。

五、數學建模對教學和教師的影響

開展數學建模學習不僅是學習方式的改變，而且是育人模式的變化。

人才培養模式集中而具體的體現形式是教育教學模式。改革傳統的以“升學—應試”為目標的學校教育教學模式，創建以全體學生全面發展為目標的、體現素質教育方向和要求的新型教育教學模式，是當前學校實施素質教育的首要任務。而創建體現素質教育思想和要求的教育教學模式重要的著眼點就是要改變學生那種單純地被動接受教師知識傳輸的學習方式，幫助和指導學生在開展有意義接受學習的同時，形成一種對知識技能進行主動探求、并重視實際問題解決的主動積極的學習方式。這就是培養學生在教師指導下，從自身的學習生活和社會生活、自然界以及人類自身的發展中選取研究專題（專題、主題），以探究的方式主動地獲取知識、應用知識、解決問題的數學建模。這對于培養學生的創新精神和實踐能力、創造能力、終身學習的能力具有十分重要的意義。而數學建模活動的實際結果告訴我們，它不僅對好學生、而且對學習有一定困難的學生都能起到培養興趣、激發創造的目的。數學建模的成果還可以為學生建立一種更表現學生素質的評價體系。數學建模的過程可以為不同水平的學生都提供體驗成功的機會，真正把篩子變成泵。

實際上，數學建模的教學過程（或者更自然地說是師生一起學和做的過程）對教師的成長和專業發展，更新教育觀念，主動參與并推進素質教育，有著越來越重要的作用。

主要表現在下面的幾個方面：

首先，它可以幫助教師轉變教學觀，更有利于發揮教師的主導作用和學生的主體作用。教師的主導作用體現在創設好的問題環境，激發學生自主地探索解決問題的積極性和創造性上；學生的主體作用體現在問題的探索、發現、解決的深度和方式盡量由學生自主控制和完成。它體現了教學過程由以教為主到以學為主的重心的轉移。課堂的主活動不應都是教師的講授，而應是學生自主的自學、討論、調查、探索、解決問題。教師要自覺適時地改變他的教育角色，平等地參與學生的探索、學習活動。教師不應只是“講演者”、不應是“總是正確的指導者”，而應不時扮演下列角色：模特——他不僅演示正確的開始，也表現失誤的開端和“撥亂返正”的思維技能；參謀——提一些求解的建議，提供可參考的信息，但并不代替學生做出決斷；詢問者——故作不知，問原因、找漏洞，督促學生弄清楚、說明白，完成進度；仲裁者和鑒賞者——評判學生工作及成果的價值、意義、優劣，鼓勵學生的有創造性的想法和作法；在教學的組織中體現“學法”，把教和學融為一體。

其次，它可以幫助教師轉變學習觀。

過去在封閉式教育中，教師是知識的輸出者。由于教育被定位為在學校這個“圍墻”內，由知識的擁有者和惟一源泉——教師向知識的需求者——學生輸出知識的活動，教師和學生之間的關系就是教師“單向輸出”和學生“被動接受”的關系。在數學建模的實踐活動中，問題環境充分敞開，教師不可能也不再是學生獲取知識的惟一源泉，而且常常會無計可施，教師的指導作用更多地表現在“策略”的指導。教師把握教學目標時應立足于“做”而不是講，立足于學生對問題的分析，對解決問題過程的理解，而不以僅僅有正確的解答為滿足。要讓學生在問題、困難、挑戰、挫折、取勝的交替體驗中；在選擇、判斷、協作、交流的輪換操作中；經歷一個個學、用知識，進而發現問題，走向新的學、用知識的過程。從而培養能力、激發興趣、形成學生主動學習的良性循環。

第三，它還可以改變教師自己的成材觀、發展觀。

事實上，數學建模對教師也很陌生，對許多問題教師可能都不會，怎么教學生?在數學建模過程中表現出的問題形式與內容的多樣，問題解決方法的多樣性、新奇性和個性的展示，問題解決過程和結果層次的多樣性，無疑是對參與者創造力的一種激發、挑戰、考驗和有效的鍛煉。教師在陌生的問題前感到困難、失去相對于學生的優勢是自然的，常常出現的。這里有兩個認識需要改變，一是數學建模教學能力提高的主要途徑恰恰是自己多參與，多獨立的思考和實際去“做”；二是數學建模的教學過程中，教師的角色不應該總是“正確的指導者，總是正確的化身”，而應該平等地參與，適時扮演“同事、參謀、建議者、欣賞者”。教師要在自己的視野內努力尋找宜于學生使用的數學建模問題，做好每個問題解決過程的記錄，學生成功的經驗和自己在挫折中得到的教訓對于今后的數學建模的教學設計有重要的價值，也是教師由數學建模的生手到行家的有效途徑之一。

六、對在數學新課程中開展數學建模活動的小結 問題和內容的選擇：聯系學生和教材的實際。好入手、有趣味、可深入。

常態的環節和步驟：選題（問題引領），開題（交流預設的解決問題方案），做題（合作、探究、利用工具和資源），結題（交流分享、反思評價、積累資源）。

動靜結合的資源：你的學生、家長、同事、朋友和他們的實踐；相關刊物和網站。教與學的過程設計：強調------學生活動，做中學想、開放思維、小組功能、過程體驗、經驗積累。

關注和鼓勵：激發興趣、善用工具、提出問題、多途求解、情感交流、共享成果。著力促進：學習方式的轉變、學習過程的良性循環、課內知識的學習和應用、對數學的價值的感悟和理解。

評價：關注過程、關注變化。提出問題是否有新意，操作求解是否有創意，合作學習是否有效率，結果呈現是否有特色，反思拓展是否有眼光，自我感受是否有收獲，興趣動力是否有增強，數學素養是否有提高。

第三篇：數學教學研究

1.問題解決教學的研究現狀

1.1國外對問題解決教學設計的研究

對“問題”以及“問題解決”的關注可以追溯到古希臘。古希臘著名的哲學家蘇格拉底創下了利用對話法進行問題解決的先例。人們很早就懂得用分析法和綜合法來進行幾何問題的解決[2]，但對“問題解決”進行科學系統的研究是從心理行為主義流派開始的。他們的研究以二十世紀中期的“認知革命”為標志，將其劃分為前后兩大階段[3]。“認知革命”前的問題解決研究基本上都是用實驗方法進行的。如桑代克的迷籠試驗以及由此產生的“刺激——反應學習理論”。“認知革命”后的研究開始深入討論問題解決的心理機制。從20 世紀80年代開始，“問題解決”就成為國際數學教育的主流。其間，影響較大的是G..波利亞（Courage polya）。波利亞在八十年代首先倡導在數學教學領域采用“問題解決教學”，先后寫出了《怎樣解題》，《數學與猜想》，《數學的發現》等膾炙人口的名著。由此，“問題解決”走向了與學科教學相結合的道路。此外，在問題解決教學領域中貢獻較大的還有著名美國教育家約翰〃杜威（John Dewey）的“問題解決五步教學法”、美國教育心理學家布魯納的“發現學習法”、前蘇聯教育家馬赫穆托夫的“問題解決”教學法等等。當今世界上的不少教育大國也在其學校教育的綱領新文件中旗臶鮮明的打起了問題解決的大旗，并積極提倡教學要培養學生的問題解決能力。1980年，美國數學教師協會在《行動的議程》中提出：“問題解決應該成為學校教育的核心”；日本文部省頒布的“學習指導要領”，在1989年和1998年的修訂中都明確指出：從小學到中學都要重視培養學生的問題解決能力；英國在新一輪課程改革綱要中也指出：培養學生的六項技能之一就是問題解決能力；我國臺灣地區的課程改革中也明確提出要培養學生的獨立思考和解決問題的能力。顯然，問題解決在事實上已經成為為了一個世界性潮流。

1.2 國內對問題解決教學設計的研究

問題解決在國內的研究起步較晚。直到20世紀80年代以來，認知心理學在國內大量傳播時，才進行了一些關于問題解決的研究，其中研究工作比較深入的有清華大學的張建偉[4]，他對建構性學習，基于問題式學習和基于問題解決的知識建構等方面研究的比較系統。此外，還有北京師范大學的辛自強從事認知方面的研究，華東師范大學的梁平從事問題解決的教學設計方面的研究。他們都是從心理學角度來研究“問題解決”的。

在我國教育教學改革浪潮的推動下，特別是素質教育理念的引導下，我國教師安于現狀的局面被打破。“問題”導學、創設“問題”情景成為許多教師改革舊教學的一個共同法寶。“問題解決”教學在我國某些地區實施的歷程已經正在經歷如下三個發展階段：以“問題”導學為特征的“問題解決”教學的探索階段；以“問題連續體”的運用為特征的“問題解決”教學的規范階段；以自由創造為特征的“問題解決”教學的重構階段。由于“問題解決”教學在各個地區或學校的發展很不平衡，因此確切的說，這三個階段實際為“問題解決”教學的三個存在狀態或體現的三個水平[5]。

隨著對“問題解決”的認識的提高和觀念的轉變，人們對這一課題的研究由議論轉為探究，由現象轉為實質探索，由“分散”出擊轉為課題研究。從1992年開始我國每年舉辦一次全國大學生數學建模競賽，1993年北京市數學會開始舉辦“方正杯”中學生數學知識應用競賽；1993年在《數學通報》上嚴士健、張奠宙、蘇式東聯名發表文章《數學高考能否出點應用題》；1996年在全日制普通高級中學數學教學大綱中進一步強調“逐步運用數學知識來分析問題和解決實際問題的能力”。同時為了適應21世紀數學改革的需要，推動數學課程及教學的改革與發展；1996年7月啟動了“問題解決教學”的研究課題組，并且得到了原國家教委師范教育科研項目的贊助。對于“問題解決教學”的研究，人們正試圖從不

同的方面進行相關的研究[6]。

2.“問題解決”教學設計的理論依據

2.1問題與問題解決 2.1.1何謂問題

問題是多種多樣的，“問題”這個概念涵義很廣，具有一定的特性。

2.1.1.1對問題含義的不同理解

一個人在生活中每時每刻都會遇到各種各樣的問題。古今中外，不同的學者有不同的觀點：格式塔心理學家唐克爾（Karli Dunker）認為“當一個有機體有個目標，但又不知道如何達到目標時，就產生了問題”。目前西方心理學界比較流行的問題的定義是由美國心理學家紐威爾和西蒙提出的，即，問題是這樣一種情境，個體想做某件事，但不能馬上知道做這件事所需采取的一系列行動。”張大均主編的《教育心理學》中認為“問題是一種情境。一般來說，它不能直接用已有的知識解決” [8]。綜合以上這些定義，我們可以這樣認為：“問題”就是個體確定目標，又不能直接達到目標時所處的情景。

2.1.1.2教學中的問題

從教學的角度說，問題應該是能夠引起學生思考的，學生想弄清或力圖說明的東西。一

個教學問題至少應具備三個條件：

第一，它必須是學生尚不完全明確的或未知的，要讓他們在解決問題的過程中發現他們不能很快的或直接的解決，從而引起學生認知上的矛盾和疑惑。第二，它必須是學生想搞清楚或力圖認識的，要能夠引起學生的探究欲望，并親身卷入問題的研究之中，在解決問題時作出努力。

第三，選擇的問題應在學生的“最近發展區”內，與學生的認知水平相當，要能夠讓學生通過自己的努力，經過探索可以解決問題。

2.1.1.3問題解決教學中的數學問題

數學問題種類繁多，但用于“數學問題解決”教學的問題大致有以下三種：

（1）、可以建構數學模型的非常規的實際問題。將生活、生產等社會活動中發現的實際問題抽取出來，通過構建數學模型，化實際問題為數學問題，然后應用數學思想或方法來解決問題，這是人們認識是世界的重要途徑。培養適應知識經濟社會需要的高素質、創造型人才。就要進行數學建模的訓練。數學問題要能夠給學生提供嘗試建立數學模型的機會，讓

[9]

[7]學生根據觀察和實驗的結果，嘗試運用數學思想以及歸納、類比的方法得出猜想，然后再進行證明。培養學生數學建模的能力，是學好數學、用好數學的保障，也是基礎教育不可或缺的任務之一。

（2）、探究性問題。通過一定的探索、研究去深入了解和認識數學對象的性質，發現數學規律和真理的問題教探究性問題。這里，對于對象之間的數量關系、圖形性質及其變化規律，數學公式、法則、命題、定理等的探索和發現，雖然只是對前人工作的一種重復和再發現，但知識形成、發展過程的意義則被學習者重新建構。數學學習過程充滿著觀察、實驗、模擬、推斷等探索性和挑戰性活動。教師要改變以例題、示范、講解為主的教學方式，引導學生投入到探索與交流的學習活動之中。數學命題的發現就是一個探索的過程。例如，在學習了線面平行的判定之后，教師可以讓學生通過觀察正方體去探索面面平行的條件，然后通過歸納得到面面平行的判定定理。通過探究，不僅可以培養學生的數學思維能力，科學探索精神，而且可以使學生在數學學習活動中獲得成功的體驗，從而建立自信心，這對于培養學

生形成完整的獨立人格具有重要的作用。

（3）、開放性問題。在教學過程中，提供一些開放性（在問題的條件、結論、解題策略或應用等方面具有一定的開放程度）的問題，使學生在探索過程中進一步理解所學的知識。開放性問題旨在培養學生思維的靈活性、發散性，因而也有利于培養學生的創新精神、創新意識。例如，在⊿ABC中，三邊a、b、c成等差數列，由此可得到那些結果？這是一個結論開放的問題。由三邊a、b、c成等差數列，聯系三角形的有關定理、公式，如正弦定理、余弦定理、射影定理、面積公式以及其他三角、幾何定理公式，可得到許多結果，諸如

sinA+sinC=2sinB等等。

2.1.2什么是問題解決

認識論對于“問題解決”的研究成果，心理學關于“問題解決”的論述，多元智能理論下“問題解決”的研究以及建構主義有關的“問題解決”的觀點，都有助于我們對最基本的“問題解決”的理解，從而成為“問題解決”教學的借鑒理論和支撐依據。本文主要是研究建構主義理論下的“問題解決”教學，故在此主要介紹建構主義理論下的“問題解決”。對認識論、心理學和多元智能理論下“問題解決”只做簡要的論述。

2.1.2.1認識論下的問題解決

按照辯證唯物主義認識論的觀點，問題解決也是以馬列主義認識論的反映論和矛盾論作[10]為哲學基礎的。馬列主義認識論認為：人認識事物的過程不僅是從感性認識，也能依概念、范疇、原理、規律來對客觀現實做出理性反映，即創造性反應，而這種創造性反應的基礎就是矛盾，矛盾又表現為“問題性”，即以問題的形式呈現在人的腦海中。就是說，客觀對象的辯證矛盾經過人認識過程本身可以被感知為邏輯思維中的矛盾，即被感知為理論性問

題，解決邏輯矛盾就是解決問題的過程。

問題解決教學要解決怎樣的問題呢？按辯證唯物主義認識論的觀點，問題是從被認識的客體中產生的。問題法教學中解決的問題是在被認識的現象的性質當中隱藏著的。問題離不開“問題情境”。問題情境是以客觀矛盾的存在為基礎的，教師的工作是把客觀現實的問題情境與引起學生的問題的可能性統一起來進行考慮和選擇。

[11]

2.1.2.2心理學理論下的問題解決

問題解決是一種極為復雜的心理活動。在心理學界對問題解決的研究過程中，行為主義、格式塔學派、認知主義學派都曾經進行過實驗并給出自己的理論解釋。從早期的桑代克到紐維爾和西蒙，眾多的心理學家都為問題解決理論的完善做出了自己的貢獻。我們可以將他們歸納為基本的四類：聯結說基于聯結理論，重視過去的經驗和錯誤；完形說重視問題解決過程中的頓悟；信息加工模式則重視問題解決的策略；現代認知說基于人類問題解決的實際過程，重視“問題圖式”、“問題表”在解決問題中的作用。總之，他們關于問題解決理論方面的不同觀點及其豐富的研究實踐能給現在正在研究問題解決的人們以啟迪。大多數心理學家認為問題解決的一般心理過程分為以下五步：⑴發現問題；⑵了解問題的性質，這是表征問題的第一步，從了解問題的性質到決定如何尋求；⑶根據問題指明的條件，收集相關信息，尋求有關知識經驗的儲備；⑷解決問題的行動；⑸檢驗、評價。

2.1.2.3多元智能理論下的問題解決

多元智能理論簡稱MI理論

[12][2]，1893年由美國哈弗大學霍華德〃加德納教授在《智能的結構》一書中提出。其理論的核心是：人的智力結構是多方面的，在每個人的智力結構中，包含有——語言智能、數理邏輯智能、空間感知智能、音樂智能、肢體運動智能、人際交往智能、內省智能和自然觀察智能。加德納認為智能就是解決問題的能力，每個人都不同程度的擁有彼此相對的八種智能，而且每種智能有其獨立的認知發展過程和符號系統。對教學而言，問題解決教學的主體（學生）都是獨立的，每個人的智能構型不同，智能的強項不同，認知風格和認知興趣也各不相同，因此，他們理解、處理、利用信息和解決問題的方法、思路、策略也各有差異。所以，我們在教學過程中要允許學生根據自己的認知特點來認識事物，選擇適合自己的強項智能來解決問題。相應的我們采取的教學方法和手段也就應當根據教學內容和教學對象而體現靈活性和多樣性，根據不同的教學對象和教學內容采取不同的教與學的方式，即使相同的教學內容也可以通過不同的方式和手段來解決其中的問題。教師的職責就是提供多元的教學情境，使學生能夠選擇適合自己智能特點的有效方法解決問題，促進多元智能的開發和發展。問題解決教學把多種智能領域放在同等重要的位臵上，使人人可以用適合自己的方法去學習、解決問題，從而更好地運用并發展自己的各種智能。總之，多元智能理論使“問題解決”教學獲得有力的理論支持，多元智能理論也需要通

過“問題解決”教學實現其多元理念。

2.1.2.4建構主義理論下的問題解決

經過兩千多年來的發展，建構主義到如今已經不是一個簡單的或單純的議題，而是一個相當復雜且具有多種含義的哲學層次的理論。從整體上看，建構主義大體可以區分為兩大派別：激進的建構主義以及社會建構主義。建構主義強調知識的主觀性、動態性和社會建構性，并認為知識是由學生主動建構的，而非教師灌輸的結果，學生是知識意義上的主動建構者，在這個過程中，學生是學習的主體，教師則由教學活動唯一的主角轉變為學習活動的輔助者、學生的合作者、教學的設計者。對于學習結果的評價，建構主義強調評價者和被評價者“協商”進行的共同心理建構的過程，學生也應是評價的參與者、評價的主體，并采取多樣化的評價方式，但基本方式應是質性評價，評價應具有變通性、彈性化和多元化的特點。依據這些觀點，建構主義取向的“問題解決”提出了一些新的教學原則：⑴把所有的學習任務拋錨在較大的任務和問題中。也就是說，學習者清楚的感知和接受學習活動與較大復雜任務的關系。⑵支持學習者對問題和問題解決過程的自主權。學習者不僅應該確定所要學的問題，而且必須對問題解決過程擁有自主權。教師應該刺激學生的思維，激發他們自己去解決問題，而不是告訴他們問題的結果。⑶設計任務和學習環境。活動是建構主義學習環境的重要特征，我們要根據課程計劃和教學環境盡量設計真實的教學情境，同時，還要設計能激發學習者思維的學習環境。⑷提供機會并支持學習者對所學內容和學習過程提供反思，同時以質性評價為主，為學習者提供多樣化的評價方式。

在建構主義理論指導下的“問題解決”教學主要有以下幾種教學方式：

支架式教學：這種教學方式主要是在學生現有知識水平和學習目標之間建立一種幫助學生理解的支架，在這種支架的支持下幫助學生一步步把學習從一個水平提升到另一種水平，真正做到使教學走在發展的前面。支架式教學主要由以下幾個環節組成：搭腳手架，即圍繞學習主體建立概念框架；進入問題情景，讓學生獨立思考；進行小組協作學習；對學習效果

進行評價。

拋錨式教學：又稱實例教學或基于問題的教學，它是一種以真實實例為基礎，讓學生在真實環境中去感受、體驗教學方式。其主要目的是“使學生在一個完整、真實的問題背景中，產生學習的需要，并通過鑲嵌式教學以及學習共同體中成員間的互動、交流，憑借自己的主動學習、生成學習，親身體驗從提出問題到解決問題的全過程”。拋錨式教學由以下幾個環節組成：創設情景；確定一個與當前學習內容密切相關的問題作為學習內容，選出的問題就是“錨”，這一環節的作用就是“拋錨”；自主學習；協作學習；效果評價。認知靈活理論和隨機通達教學：認知靈活理論是建構主義的一個分支，它主張不僅要提供建構理解所需要的知識基礎，還提倡要給學生廣闊的建構空間。它把問題分為結構良好領域與結構不良領域問題，前者的解決過程和答案都是穩定的，而后者則沒有規則和穩定性，需要根據具體的問題情境，通過多種知識和技能的綜合運用而加以解決。根據這個觀點，斯皮羅等人按照學習達到的深度不同，把學習分為初級學習和高級學習。初級學習只要求學生知道主要的概念并在考試中加以應用即可。而高級學習則是要學生把握概念間的復雜關系，并能靈活的運用到具體情況中。隨機通達教學就是適合高級學習的教學。這一教學方式認為對同一內容的學習要在不同的時間進行，每次的情景都是經過改組的，且目的不同，分別著眼于問題的不同側面，有利于學習者針對具體情景建構有利于指引問題解決的圖式。它主要包括以下幾個環節：呈現基本情況——隨機進入教學——思維發展訓練——小組協作學習—

—學習效果評價。

總之，建構主義不僅主張以“問題解決”作為學習載體，而且強調在教學中讓學生親自實踐來解決問題，通過開放性問題來促進學生進行自由討論，學生通過親身實踐來解決問題，與教師共同反思和評價活動效果，共同享受問題解決成功帶來的喜悅。而問題解決教學也最能體現建構主義所強調的主動性、情景性、合作性、建構性四大特征。也正因為如此，建構主義教學改革的思路是：基于問題解決來建構知識，通過問題解決來學習。

2.2“問題解決”教學設計的理論基礎

[9]在西方，教學設計理論自二次世界大戰后開始受到重視

[13]

。“第一代教學設計理論”主要是以加涅為代表，自20世紀80年代開始成熟。1985年加涅《學生的條件和教學論》一書的論述中把問題解決作為智慧技能的最高層次，并提出了相應的教學設計理論與技術，同時研究者把研究熱點集中在問題解決的思維策略訓練和學科問題解決能力的培養上，關注不同類型的知識對問題解決的影響。發現策略性知識對問題解決起著關鍵作用，并由此提出了一系列提高問題解決效率的策略。到了20世紀90年代，隨著計算機、網絡技術在教學領域的應用和發展，“第二代教學理論”迅速崛起。在這樣的背景下教學設計專家更加關注問題教學設計的研究。由于問題可分為結構良好問題和結構不良問題，故問題解決教學設計模型也可分為兩類。這兩類教學設計模型的理論基礎及復雜程度有所不同，但他們是同一連續統一體上的兩點，并不互相矛盾，而是互相補充，分別適用于不同的教學內容。Jonassen(1997)的模型包括：以信息加工理論為理論基礎的結構良好問題的教學設計模型和以建構主義理論為基礎的結構不良問題的教學設計模型。Mayer(1994)認為，常規問題與解題者已解決的問題完全一樣或非常相似，即學生在學校中經常解決的常規問題及教科書中的練習題；而非常規問題就是創造性問題。依據現代化教學設計理論，問題解決的教學設計分為以下四個環節：⑴明確并陳述教學目標，提出要解決的問題：在教學過程中能提出有啟發性的問題，激發學生的求知欲和好奇心，使他們積極地尋找解決問題的方法是很重要的。一般來說，我們可以從以下幾個方面入手：從數學與社會生活的聯系中提出問題。在實際的社會生活中，處處充滿著問題，教師要認真觀察，從平常的事物現象中尋找可以利用的情景，引導學生發現問題；在課堂教學設計過程中設計問題。課堂教學的時間是有效的，要認真培養學生的能力，就要引導學生主動探索，使學生的課堂學習成為“帶著教材走進教室”到“帶著問題走出教室”的過程。⑵分析學習任務，了解問題的性質，分析自己已有的經驗，尋找尚缺少的條件：學生在數學學習中產生的問題很多，針對不同的數學問題要設計不同的情景給與解答。歸納起來，學生的問題一般有三個層次：是什么，為什么，怎么做。“是什么”是一般性的問題，通過查閱資料或實驗驗證就可以解決；“為什么”的問題往往包含數學知識的應用與探究；“怎么做”的問題通常包含上述兩個環節，再加上新信息或信息重組來解決。⑶選擇教學方法和教學媒體，收集相關信息。根據問題結構是否良好，選擇相對應的問題解決方式；對于結構良好的一般性問題，采用查閱資料或應用所學知識等通常方法即可。對于結構不良的開放性問題，就要選擇探究式的解決方式。教師要引導學生根據問題來查閱資料、研究資料，彼此交流討論，得到解決問題的方案并進行驗證。⑷運用多種評價方式，在教師的指導下評價學習結果。對于問題解決教學的評價要采用質性評價方式，學生能有始有終的完成學習過程更好。但是如果不能完成也不意味著學習的失敗。評價主要是看學生在問題解決的過程中學到了什么知識，發展了什么能力，而不是最終結果。

5.數學問題解決的教學設計

5.1數學問題解決教學設計的原則我們依據問題解決理論和教學設計理論的相關研究成果，并結合中學數學教學的實踐，提出了以下幾條數學問題解決的教學設計的原則：知識問題化原則、學生主題性原則、注重過程性原則、合作學習原則、遞進性原則、系統性原則。實際的教學是極為復雜的過程，我們這里提出的這些原則不可能包括所有的方面，只是為問

題解決教學設計提供一些借鑒和指導。

5．1.1知識問題化原則

問題解決教學是讓學生在進行問題解決的過程中獲得知識，發展能力培養創造性和提高素養。在問題解決過程中，學習是圍繞問題展開的，把要學習的知識以問題的形式提出來開始教學，又以問題的解決、知識的掌握和各種能力的發展作為目標，學習過程成為一個不斷發現問題、分析問題和解決問題的過程。因此對問題解決的教學來說，問題是整個學習進行的主線，問題貫穿整個學習活動的始終。那么，如何根據所要學習的知識，設計和選擇恰當的學習問題就變得至關重要。要恰當的設計問題要注意以下幾個方面：首先要遵循問題的真實性原則。來源于生活、生產和社會中的諸多現實問題能強烈地吸引學生的注意力和興趣，讓其在解決問題的過程中深深感受到知識的應用性，感受到解決“真實問題的成就感”讓學生喜歡學習，樂于學習；其次，要明確問題的類型。有研究表明，并不是所有的問題都能啟發學生促進學生思考。

要遵循可行性原則，即不能是為了追求問題解決的形式而尋找問題。在問題解決的教學中我們所設計和選擇的問題必須能引出與所學領域相關的概念、原理，要蘊含豐富的知識點和科學理念，而且問題能隨著問題解決的進行自然給學生提供反饋，讓學生能很好的對知識、推理和學習策略的有效性進行評價，并能提高學生的預測能力和判斷能力；最后，問題的難度要適中，教師要了解每個學生的知識起點，以學生現有的認知結構和思維水平為基點來設計問題，使問題符合學生的“最近發展區”，也就是說在學生新舊知識的結合點上產生的問題最能激發學生的認知沖突，最能激發學生的學習興趣。

5.1.2學生主體性原則

在新課程理念下的問題解決教學的過程中，教師是學習活動的設計者和指導者，學生才是學習活動的主體，即學生要在教師的引導和支持下，學生自己負責控制和管理過程，逐步

成為問題的發現者和解決者。

在這樣的學習過程中，學生的主體性主要體現在整個學習過程都圍繞著五個主要的目標進行：①建構靈活的知識基礎；②發展高級思維能力；③成為自主的學習者；④成為有效的合作者；⑤進行反思概括[15]。總之，在問題解決的教學過程中，學生必須自己擔負起學習的責任，主動去學習，憑借已有的知識基礎和個體經驗來解決學習中的問題，并在解決問題的過程中學習新知識，發展發現問題、分析問題和解決問題的能力和創新精神。教師在此過程中的責任是提供學習資料，引導學生逐步走過問題解決的每個環節，鼓勵學生自己講出自己的思維過程并對自己和他人的信息進行批判性評價，監控整個學習過程順利進行。這樣的學習過程才體現了學生的主體性原則，是以學生為主體的教學。

5.1.3注重過程性原則

在問題解決教學中，解決問題的程序、方法和問題的結論是同樣重要的。要注重學生對問題的認識和對方法的理解。學生在問題解決的教學過程中不僅要掌握傳統的“雙基”（基本知識和基本能力），還要在解決問題的過程中掌握分析問題和解決問題的方法，提高解決實際問題的能力和創新精神。而學生就是在提出問題、表征問題、分析問題、形成假設、檢驗假設、解決問題的過程中發展各種能力和創新精神的。實際上，學生沒能完滿解決的開放性問題比解決一個簡單的封閉性問題更能發展學生的能力和創新精神。這就要求我們在評價問題解決教學時要注重過程性評價，而且要以動態持續的、透明的、整合的、真實性評價方

式來實施。5.1.4合作學習原則 問題解決教學一個很重要的特征就是學生在教師的設計和指導下進行生生合作和師生合作學習，共同探究解決問題的方式。在生生合作學習中，教師要根據班級學生的不同特征合理搭配，科學的分成幾個小組，并為小組合作創設一個民主、和諧、寬松的學習氛圍，讓學習者積極主動的就所提出的問題與學習伙伴交流，共同探討問題、解決問題。學習者在探索和交流的過程中，不僅可以共享專業知識和思維過程，共同實現對問題的理解以至最終解決，還可以通過語言的表達，思想的溝通，智慧的整合等實現交流能力和學習能力的提高，最終成為有效的合作者和問題解決者。

5.1.5遞進性原則

遞進性原則即數學問題解決發展的循環遞進性原則。按照認識論的觀點，人類認識事物的過程是由易到難，由簡單到復雜，循序漸進的過程，學生的學習知識過程也是如此。在教學過程中，對于一些難度較大和范圍太大的問題，教師可以從問題類型和答案開放度等方面把這些問題設計成一組有層次、有梯度的問題，以降低問題的難度，使我們設計的問題適合學生的實際情況，而且教師在設計實際問題時，要注意各問題之間的銜接和過渡，從封閉型問題到開放型問題，每個層次的問題都要有所涉及。

5.1.6系統性原則

系統性原則即強調學生“雙基”的掌握、能力的發展和情感態度價值觀的培養在問題解決教學中的統一。在新課程理念下的問題解決教學中，這三個目標不是對立的，而是統一的，相互聯系的。學生在學習過程必須做到三者之間的統一發展。但是由于問題解決教學是以問題為綱的，所涉及的知識不可避免的會偏重問題的設計和解決，知識的系統性可能不夠強，教師在教學的過程中一定要加以彌補，盡量以系統的知識為基礎來設計問題，進行問題解決

教學。

5.2數學問題解決的教學設計案例

問題解決教學作為一種以培養學生分析和解決問題能力為目的的教學方式，以建構理論為支撐，在理論應用和實踐探索方面都有豐富的研究成果。按照新課程培養學生的收集和處理信息能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力、交流和合作的能力以及創新能力的要求，依據課程類型、不同層次教學設計的目標和教學過程所涉及到的問題的真實性水平，我們可以從以下四個方面來對問題解決式教學進行科學的設計。[9]

5.2.1基于真實問題情境的教學 5.2.1.1基于真實問題情境教學設計的方式

這些問題是要現實生活中的人或組織解決的實際問題。通過解決這類問題，學生可以獲得完善的分析問題和解決完問題的能力。重視創設一種接近生活原型的教學背景，讓學生產生問題，領受真實的任務，形成迫切的需要，并開展一系列的探究活動，在解決問題的過程中高水平的掌握知識，獲得知識和個性的發展。這就是基于真實問題情境的教學設計的主要

特征。在實際的數學課堂教學中，教師要善于確定一些數學學科領域中的日常問題，這些接近生活的復雜任務整合了許多知識和技能，有助于學生在真實的問題情境中應用所學知識，有助于學生明確所學知識的相關性和意義性，有助于提高學生分析和解決問題的能力。一般來說，基于真實問題情境的教學有以下的步驟設計：

第一步：提供一個與當前學習主體密切相關的真實事件或問題，作為學生學習的中心內

容。第二步：教師提供解決問題的有關方法（例如，在哪里搜集資料，篩選有用資料的原則，科學家探究問題的過程等等），而不是直接告訴學生應當如何解決問題。第三步：引導學生進行自主學習，利用自己查找的資料分析和解決問題，同時在解決問

題的過程中學會自我評價。

第四步：協作學習。通過同學間的交流、討論，使得學生對于問題及其解決方式的不同看法得以交流，從而完善、修正、加深自己對問題的理解。第五步：反思討論。問題解決后要引導學生學會對自己和同學的解決問題的過程加以比較，分析各自的不足，預測這次所學的知識和方法在以后什么樣的情況下會遇到。同時，通過學生的自我評價和同學間的相互評價，引導學生方式自己學習過程的有效性。

數學問題解決教學高效益途徑的探討

數學問題解決教學是中學數學教學的一個重要組成部分，它對于深化學生的認知過程，發展認知結構，培養學生分析問題解決問題的能力都有十分重要的作用。當前中學數學問題解決教學中普遍存在這樣一個現象，教師去找大量的習題讓學生練，企圖以此來加深印象從而掌握數學知識。教師疲于找題，無精力找規律，學生疲于解題，無精力求消化，高耗低能的題海戰術導致師生負擔加重，教學效益不佳。那么怎樣才能提高數學問題的教學效益呢？本人認為必須先研究學生在解決數學問題時存在的思維障礙，教師在問題解決教學中的認識誤區，然后對癥下藥。下面對此作初步探討。一 學生解決數學問題時思維障礙的主要表現 學生是學習過程的主體，學的規律決定了教的規律，所以在進行教學研究時，必須先研究學生在解決數學問題時存在的思維障礙。在學習數學過程中，我們經常聽到學生反映上課聽老師講課，聽得很“明白”，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手；有時，在課堂上待我們把某一問題分析完時，常常看到學生拍腦袋：“唉，我怎么會想不到這樣做呢？”事實上，有不少問題的解答，同學發生困難，并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決，而是其思維形式或結果與具體問題的解決存在著差異，也就是說，這時候，學生的數學思維存在著障礙。由于高中學生數學思維障礙產生的原因不盡相同，作為主體的學生的思維習慣、方法也都有所區別，不同的學生會出現不同的思維障礙，但這些思維障礙具有相似

性和重復性，可以概括為：

1、數學思維的膚淺性

由于學生在學習數學的過程中，對一些數學概念或數學原理的發生、發展過程沒有深刻的理解，僅僅停留在表面的概括上，無法把握事物的本質。因此學生在分析和解決數學問題時，往往只善于處理一些直觀的或熟悉的數學問題，而對那些不具體的，抽象的數學問題，往往不能抓住本質，不會變換思維方式，缺乏解決問題的途徑和方法。

1、重“量”輕“質”的誤區

認為學生分析、解決問題的能力與所練的題量是一種線性關系，所練的題量越大，能力就越強。因而在課內、課外帶領學生演算各種類型的習題，不重視對習題典型性、啟發性、針對性的分析。這種機械重復的、目的性不強的大劑量訓練，常常只能在學生認知結構中增加經驗的分量，而很難使學生的認知結構得到發展，所以對于提高能力是收效甚微的。另外由于大量做題而造成的學生負擔過重。影響他們對知識形成過程的了解，這就使得本末倒臵。可見，想通過多做題的方法去提高能力是一種低效的、得不償失的方法。

2、重“難”輕“基”的誤區

認為提高學生的能力，必須通過學習很深的內容，做很難的題才能奏效，所練的題越復雜，難題練得越多，能力就會提高得越多。而在新課教學中就給學生布臵一些很難、很復雜的習題，在各個復習階段更是大量收集偏題、難題給學生做，不重視基礎題的訓練價值，不重視基本方法的指導和基本觀點的形成。將過量的難題過早交給學生做，復雜的條件反而容易掩蓋對方法的掌握和能力的培養。陷入“欲速則不達”的境地，造成學習中“難而不化”，形高(難度大)而實低(能力低)的狀況。特別是大量高難度訓練，對學生學習興趣和學習動的削弱作用，更將給物理教學造成深遠的消極影響，所以這也是一種低效的、得不償失的方法。

3、重“結果”輕“過程”的誤區 認為讓學生知道正確的結果，就可以避免再出現類似的錯誤，讓學生知道一套套分析問題的方法、類型，就可以免去他們認識上的彎路，提供一條學習上的捷徑。因而對于學生的作業，常只簡單的標以“鉤”或“叉”，評講時往往只給出正確答案；對于學生的獨立思考，常常由教師總結出的一套套程序、方法、類型代替，只讓學生通過做題練習“模仿”、“記憶”。這些只看“結果”，不看“過程”的方式，使學生雖然記住了正確答案，但錯誤的根源還存

在，只要題目形式稍加變換，錯誤又會出現；使學生被動接收教師的經驗，只會在繁雜的題目中按“套套”思維，形成“題目即使難，只要學過就能模仿做；即使簡單，但只要沒

有見過，就不會分析”的怪現象。數學問題解決教學中的這三個誤區互為關聯：由于缺乏對認知過程的準確分析，忽視對題目訓練價值的分析，輕視對學生獨立思考的培養，因而講不到“點”、練不對“路”、思不到“位”；形成題練得越多、越難，學生的實際能力卻越弱，教學效益卻越差這一怪圈。

三 提高問題解決教學效益的途徑

低效高耗的“題海戰術”，苦了學生，也苦了教師。怎樣才能在問題解決教學中減輕師生負擔，提高教學效益呢？以下從三個方面作一探討。

1、全面培養學生的思維能力

教學的效率，根本上是由學生的效率決定的。從前面的研究我們已經知道，問題解決活動，常需要抽象思維、形象思維和直覺思維這幾種思維形式同時參與，然而我們的教學卻偏重于抽象思維能力的培養和訓練，導致問題教學枯燥、乏味、抽象、難懂，學生思維發展不均勻，極大地影響了學生問題解決的效率。因此，要提高解決問題的效率，必須全面培養思維能力。

（1）形象思維能力的培養形象思維是依靠形象材料的意識領會得到理解，以表象、直感和想象為其基本形式，以觀察與實驗、聯想與類比，以及猜想等形象方法為其基本方法的思維方式。形象思維是數學思維的先導。在獲取數學知識與解決數學問題的過程中，形象思維是形成表征的重要思維方式。它還滲透于思維過程，如果沒有形象思維的參與，邏輯思維就不可能很好地展開和深入，也不能使思維較好地求異和發散。因此，在數學教學中，培養學生的形象思維能力是思維訓練的基本任務之一。激發興趣，提供思維動力心理學告訴我們，興趣制約思維，在教學中若給學生感興趣或符合學生需要的材料，學生思維就易被激活；相反，若給學生不感興趣的東西，學生只能死記硬背，那就難以形成思維。因此，教師在教學時就要根據學生的心理特點，創設問題情境，利用多種方法和手段，讓學生心情愉快、趣味盎然的環境中學習，不斷調整其心態，激發并不斷強化其興趣，以提供思維動力。如：“225是幾位數？用對數計算。”該問題提出后，學生不怎么感興趣。若創設問題情境：“某人聽到一則謠言后一小時內傳給兩個人，這兩人在一個小時內每人又分別傳給另外兩人，如此下去，一晝夜能傳遍一千萬人口的大城市嗎？”這樣一發問，學生有了解決此問題的興趣和積極性，思維被積極調動起來，效果劇增。起先，誰都認為這是辦不到的事。經過認真計算，發現確能傳遍。結論出人意料，但又在情理之中，這樣發問最能引起學生躍躍欲試。建構觀念，發展表象思維表象是在知覺的基礎上所形成的感性形象，即人在思想中形成的保持事物的印象.例如，在金字塔、帳篷的形象基礎上概括出來的一般的錐體的感覺形象就是表象，更具體地說構成錐形的那些面、線在人腦中的表征，就是一種數學表象。數學表象思維的載體是客觀實物的原型或模型以及各種幾何圖式、代數圖式，包括數學符號、圖象、圖表與公式等形象性的外部材料。數學學習中的表象思維是普遍存在的，不僅存在于幾何學習中，而且也存在于代數、三角等內容學習中。如正方體、拋物線等語詞概念能喚起主體頭腦中一般的正方體、拋物線形象的浮現。說到復數，人的圖式表象是□＋□i（□表示數字），函數的圖式表象是f(□)。學生的表象思維的形成有一個逐步產生、發展的自我建構空間觀念的過程。通過對表象進行加工、調整、積累、補充、修改、提煉，最后真正建構起完整準確的表象。例如，“珠算式腦算法”就是數學表象思維方法運用的范例。這是一種利用珠算形象在腦中浮現進行腦算的方法。它是在熟練珠算的基礎上，先眼看算盤，但手指不撥珠而計算，再去掉算盤而輔以手指空撥動作進行計算，從而逐漸地把算珠形象移入腦中，形成算盤式腦算。這種算法的運算速度非常快，對于十幾個、幾十個二三位數的加減，三位數的乘、除，無論看算或聽算，只要報數者報數一結束，答數便能脫口而出，與電子計算機相比不相上下，顯示了強化表象在提高計算技能方面的重要作用。因此，教學中，教師可以以表象相近的正確部分為起點，引導學生對基本的圖形形成正確的表象，抓住圖形的形成特征與幾何結構、辨別不同的各種表象，同時也重視各種表達式和數學語句等蘊含的結構表象，推動學生深入建構和理解，建立起學生自己的一定的空間觀念。

加強變式，提高直感思維

直感是運用表象對具體形象的直接判斷和感知，是直覺形成的基礎之一。在教學中應加強變圖、變式，豐富外延表象和主體頭腦中的表象模式。這樣在面對數學問題時，利用圖形、圖式的表象，就不會屢屢受挫。例如，立體幾何中的“割”與“補”；垂直、平行等；代數中的0與1的變形，配方、拆項、構造等都離不開頭腦中已有表象逐步建構。再如，在學習線面垂直關系時，依以下變式圖形，可較好地建構起完善的直感思維。本文從中學生數學問題解決效率歸因研究的現狀出發,對數學問題解決效率的歸因進行了初步研究。研究發現,目前對于中學生數學問題解決效率的研究是數學問題解決研究的一個薄弱環節,特別是對數學問題解決效率的歸因研究更是一個空白點。本文對數學問題解決效率歸因的概念進行了界定,并且在已有的理論性研究、實證性研究的基礎上初步分析了中學生數學問題解決效率的歸因現狀、影響中學生數學問題解決效率歸因的因素以及如何引導中學生在數學問題解決中進行科學歸因來提高其數學問題解決的效率。具體來說,全文重點闡述了以下幾個方面:1.數學問題解決效率研究的現狀。目前的數學問題解決研究,更多地是針對數學問題解決的概念、教學、思維策略等方面,較忽視數學問題解決的過程、數學問題解決的成敗結果和效率高低對學生非認知因素的影響以及動機、情感等非認知因素對數學問題解決效率的影響。對于數學問題解決效率高、低的原因分析大多偏重問題的具體的知識性和方法性錯誤分析和矯正,較少關注數學問題解決效率的歸因研究。2.歸因理論。歸因理論是關于人們如何解釋自己或他人的行為以及這種解釋如何影響他們的動機、情緒和行為的心理學理論。該理論為揭示動機作用的內在規律提出了相對可操作的研究手段。通過一系列恰當的、有目的、有計劃、有針對性的歸因訓練,可使學生對影響其數學問題解決效率的因素有正確的認識,使之能夠正視數學問題解決學習中遇到的困難,并激發起戰勝困難,不斷超越自己的潛在能量。對于提高學生數學問題解決的效率具有重要的現實意義。3.歸因對數學問題解決效率的影響。歸因對數學問題解決效率的影響表現在兩個方面:在數學問題解決過程中對問題解決者行為的影響;在數學問題解決的結果出現后對問題解決者行為的影響。通過案例發現,歸因對數學問題解決者的影響是不容忽視的,不同的歸因風格在很大程度上能導致出現不同的結果。從而對數學問題解決的效率產生很大的影響。4.學生的歸因風格調查。通過調查了解中學生數學問題解決效率的歸因狀況,探索能有效改善中學生歸因狀況的歸因訓練模式,以幫助學生提高數學問題解決學習的自信心,改善其自我效能感,激發其學習積極性,養成良好的學習習慣,從而提高數學問題解決的效率。通過對中學生數學問題解決效率歸因現狀的調查與分

問題解決一直是國際數學教育研究的一個熱點。隨著現代認知心理學對問題解決的研究與具體學科的結合日益緊密，運用認知心理學來研究數學領域的高級認知活動，已成為數學教育研究的發展趨勢之一。對于頻繁出現在近年數學高考中的一類新題型——高觀點題，由于其在形式、內容上具有一定銜接高等數學與中學數學的特征，已受到國內研究者的普遍關注。本文結合已有的研究成果，在對高觀點題進行分類的基礎上，編擬符號高觀點、知識內容高觀點、理解水平高觀點三類相關試題，分別在三所層次不同的學校的高三年段開展實驗。一方面通過數據收集，從量化角度直觀反映高中生解決這三類問題的困難程度，另一方面通過訪談，運用專家——新手的比較研究方法，從問題表征、問題解決兩大環節來分析學生的困難原因。并根據研究所得結果，提出相應的教學意見。本文共分為四部分：第一部分概述問題解決與認知心理學研究的背景，以及高觀點下中學數學問題解決研究的現狀。第二部分在對高觀點題進行分類的基礎上，介紹本研究的相關理論支持。第三部分開展實驗研究，并對結果進行深入分析。第四部分對實驗結果進行總結，并給出相應的教學意見。同時提出

本研究的不足及有待進一步研究的問題。

2006年秋季開始，福建省正式進入新一輪中學數學教育改革階段，即實施高中新課程標準。新課程與以往的高中數學課程相比，在內容編排方面有了較大的變更，新增了大量與高等數學密切聯系的知識內容。相對應，在數學高考命題方面，一類具有銜接高等數學與中學數學作用的新題型——高觀點題，越來越受到命題者的青睞，頻繁地出現在近些年的數學高考題中，因而得到了國內學者們尤其是一線教師的普遍關注。但研究成果多局限于題型歸納和如何解題方面，對學生心理方面的探討似乎不多。本人試圖借用認知心理學的工具來分析學生解決這類高觀點題的思維過程，從而探索其困難成因。本論文共分為四部分： 第一部分緒論，包括以下三個方面內容：

1、課題背景 高等數學與中學數學的銜接問題在高中數學新課改與高考命題兩大領域上已逐漸凸顯其重要性。中學生在解決一類涉及高等數學和中學數學銜接的問題上，認知狀態如何，困難在哪，都成為教育工作者關心的問題。

2、研究綜述 此部分對問題解決與認知心理學，以及高觀點下的中學數學研究的起源、發展、現狀進行了大致的概述。

3、問題的提出與本文的主要工作在研究綜述的基礎上，提出本文的主要工作——借用認知心理學的工具來分析學生解決一類涉及高觀點的中學數學問題的思維過程，從而探索其困難成因。第二部分是理論研究，包括以下四個方面的內容：

1、“高觀點下中學數學”的內涵在提出初等數學、經典高等數學、現代數學以及中學數學的劃分的基礎上，給出“高觀點下中學數學”的界定。筆者認為“高觀點下的中學數學研究”應包括教和學兩方面。教的方面主要指的是高等數學與中學數學知識形態之間聯系的研究，學的方面主要指的是學生在學習這類涉及“高觀點”的中學數學問題的認知發展及學習心理方面的研究。

2、高觀點題的界定及分類所謂高觀點題是指一些與高等數學相聯系的數學問題，這種聯系大致包括形式上、知識內容、數學思想方法及理解水平方面的。并就上述四個維度對近年來出現的一些高觀點題目分為：符號高觀點、知識內容高觀點、解決方法高觀點、理解水平高觀點四類題型。

3、高觀點題的問題特性分析從接受性、障礙性、探究性三個維度進行詳細地闡述高觀點題的問題特性。

4、相關理論支持高觀點下中學數學問題解決的研究涉及教育學和心理學的相關理論。包括“初等化”、認知學習及皮亞杰．(J.Piaget)的兒童智力發展三個理論。初等化理論為如何根據中學數學課程的內容與實際情況編制這類問題提供了方向；認知學習理論是分析學生在解決這類問題時思維發生過程的主要依據；皮亞杰的兒童智力發展理論則是為選取的這類問題的難易程度符合中學生的認知水平提供參考依據。這三個理論為研究的可能性、可行性、合理性奠定了理論基礎。三者相互聯系、相互作用，辯證統一于研究的實踐中，為研究提供了必要的指導思想。第三部分是高觀點下中學數學解題心理實驗，包括以下三個方面：

1、研究目的 隨著認知心理學的發展，其研究與數學教學的關系日益緊密，認知心理學家對數學中的解決問題的過程有著濃厚的興趣，他們希望從心理學的角度來回答有關學習、思維、智力等問題。同時數學教育學家也越來越對認知心理學產生興趣，希望借此工具探究隱藏在學生解題行為背后的思維是如何開展的。對此，國內外關于數學問題解決的研究已取得了累累碩果。近年頻繁出現在高考中的一類新題型——高觀點題，也已受到國內學者們尤其是一線教師的普遍關注。但研究成果多局限于題型歸納和如何解題方面，對學生心理方面的探討似乎還未見到。本人試圖借用認知心理學的工具來分析學生解決這類高觀點題的思維過程，從而探索其困難成因。希望得到的研究成果能給數學教學實踐一點啟發。

2、實驗設計說明： 認知心理學常采用專家一新手的比較研究來幫助我們確認構成某一特定領域專業的認知成分及操作狀態。對于本實驗，在解決這類高觀點題的過程中，學生到底是如何進行思考的，僅從量化的結果上分析，我們尚不清楚。如果直接觀察非成功生的解題，并不能精確指出他們的障礙所在，因此運用專家一新手的比較研究來比較成功生與非成功生認知過程的差異，有助于我們更準確的把握學生思維上的困難。在對高觀點題進行分類的基礎上，編擬符號高觀點、知識內容高觀點、理解水平高觀點三類相關試題，分別在三所層次不同的學校——福州三中、福州十一中、福州金橋中學的高三年段開展實驗。一方面通過數據收集，從量化角度直觀反映高中生解決這三類問題的困難程度，另一方面通過訪談，運用專家——新手的比較研究方法，從問題表征、問題解決兩大環節來分析學生的困難原因。

3、實驗方法 本實驗采用質化研究和量化研究相結合的方法。重點是質化研究。這是一種以收集和解釋描述性資料為主的教育科研方法，是與量化研究相對的研究范式。是以研究者本人作為研究工具，通過觀察、訪談和文件分析對研究現象進行深入的整體性探究，從原始資料中形成結論和理論，通過與研究對象互動，對其行為和意義建構獲得解釋性理解的一種研究活動。

4、實驗量化研究結果福州三中、福州十一中、福州金橋三所學校的被試學生解決三組題型的困難程度逐級遞增，從直觀上反映題目具有一定的區分度。同時研究發現，三所學校的被試學生對符號題組的把握都存在較大的困難，其測試難度系數均低于0.5，而對于后兩組題型，一類校學生解決的較好，二、三類學校的學生難度系數均在0.5左右徘徊。從整體上考慮，三所學校的學生解決這三組題型，均存在一定程度的困難。

5、實驗質化研究結果(1)關于符號高觀點題組的研究發現： 成功生： ①在問題轉化方面，對于僅具有描述性特征的符號形式，能正確地進行轉化。而對于本身蘊含某些運算規律的較為復雜的符號形式，雖轉化時間較長，但基本都能正確描述其含義。②大部分的成功生在內部整合上能明確已知與未知條件間的聯系，在外部整合方面也能很好地與原有知識進行聯系，使新信息順利嵌入原有認知結構。由于以抽象符號形式為主的新信息與同化它的原有觀念間的可辨別程度較低，使得部分成功生在外部整合時，沒能成功激活相應的認知結構，但經提示，均表示理解。非成功生： ①在問題轉化方面，對于僅具有描述特征的符號形式的題目，非成功生能正確地對符號形式進行描述。而對于較為復雜的，如蘊含某些運算規則的符號題型，非成功生轉化時間長，存在較大障礙。主要反映在難以區分本質信息與無關信息。②內部整合方面表現出在對符號形式的運算方面，理解上存在障礙，反映出對數學符號概念“對象性”特征上的把握存在困難。外部整合方面，難以建立與原有知識的聯系，在建立新的認知結構與舊的認知結構之間的連線即模式的遷移上存在困難，反映其認知結構原有觀念的不穩定性。(3)關于理解水平高觀點題組的研究發現成功生： ①在問題轉化上表現出對函數方程所確定的函數性質有正確完整的認識。②在問題整合方面，明確概念具有的整體特征，并能借助構造特例來探究整體隱含的其它性質。③在解題計劃上，目標明確，能借助特例進行猜想整體特征，并能采用適當有效的解題策略建立解題步驟。非成功生： ①在問題轉化上表現出對函數方程所確定的函數性質的理解停留在單純的形式記憶上，存在機械學習的現狀。②在問題整合方面，對函數方程所代表的一類函數的“整體性”特征認識不到位，缺乏通過特例研究整體的能力。③難以從現有提供的條件信息推演出隱含性質，反映出“組合學習”能力的薄弱。④原有認知結構中相關觀念具有不清晰性⑤原有認知結構中缺乏相應的策略經驗。⑥原有認知網絡結構中缺乏穩定靈活的“產生式”。第四部分對實驗結果進行總結，給出相應的教學意見，并提出本實驗的不足及有待進一步研究的問題。

第四篇：初中數學分層教學研究計劃和總結

《初中數學分層教學研究》課題研究計劃

隨著基礎教育課程改革的浪潮滾滾而來，新課程體系在課程功能、結構、內容、實施、評價和管理等方面都較原來的課程有了重大創新和突破。以“科研興教、科研興校”為宗旨。堅持以人為本，進一步轉變觀念，使我校的教育科研工作真正能促進教師專業成長和學生能力的發展，能為新課改的深入實施服務。

一、工作重點

1.認真組織課題組成員學習理論，本階段主要學習《數學課程標準》、《常州市中學數學學科教學建議》和與本課題研究有關的論文，以及一些最新的課堂教學實踐案例。緊密結合研究課探討理論與實踐的得失，促進理論的內化和吸收；從理論出發，積極在實際中運用驗證。

2.把握新課程改革的動向，不斷完善和補充本課題的研究內容，為學生素質的全面發展服務。新課程改革，賦予了我們課題研究新的內涵，我們不僅要從“研究內容”上來關注學生的發展，更要從學生的學習方式上來培養各個層次學生的創新意識和實踐能力。本學期，以如何把該課題研究與目前的教科研一體化進行有機地整合為重點，力爭使該課題研究更加完善和豐富。

3.保質保量的開好課題研究課。研究課是驗證課題理論假設，探索理論在實踐中如何具體操作的重要方式，是課題的生命所在。課堂教學是主渠道、主陣地，是教學科研工作的重中之重，扎實而有效地開展課堂教學，不僅為教師們才能的施展提供了一個自我挑戰的舞臺，更是培養、提高學生綜合素質的學習實踐基地。在充分學習理論的基礎上，經過集體備課，由課題組教師開好研究課。課后要及時進行評議、研討，以獲得有益的經驗和理論上的進步。

4.把本課題研究內容與學校的課程改革緊密結合起來，讓老師們在對教材充分理解的基礎上，結合本課題研究的重點——數學分層教學的實施細則。

5.積極邀請外校專家來校指導以及和其他兄弟學校進行課堂交流。

6.進行過程化管理。認真做好各種活動的記錄，及時收好各種研究資料。期初定好工作計劃，期末寫好階段性總結和研究論文。

二、具體工作安排 9月份

1.制定好課題研究計劃。

2.圍繞本學期的研究重點，組織課題組成員進行一次交流并完善研究計劃。3.利用教研組這一活動基地開設好研究課。10月份

1．進一步學習數學新課程標準，使課題組的每一位教師都明確本課題研究的目的、意義、要求和研究方向。

2．組織課題組成員寫好階段性研究報告，整理好各種資料，迎接中期評估。11月份

1.對環境和氛圍的創設展開專題探討，交流經驗和困惑。2．深入課堂對“初中數學分層教學”進行行動研究。12月份

1．集中討論數學課堂中環境和氛圍創設的成功與困惑之處，結合課題研究要求進一步修改。2．撰寫有關研究總結和論文，提出下一步研究的計劃。3．記錄研究過程，寫好階段性研究報告。

由于課題組老師對課題研究的具體可操作性還處于不斷探索中，“初中數學分層教學研究”課題研究方案已經進入實質性研究階段，我們邊學習邊借鑒、邊消化邊實踐，同時也非常希望能得到其他課題組和兄弟學校的大力支持和幫助。我們相信：只要不斷學習，努力實踐，扎實工作，教科研工作一定會取得豐碩的成果

初中數學分層教學研究課題研究總結

一．課題名稱《初中數學分層教學研究》 二．課題的提出

新課程標準指出，數學要面向全體學生，實現人人學有價值的數學，人人都能獲得必要的數學，不同的人在數學上得到不同的發展。而現行的教學方式為傳統的“平行分班”，由于學生的認知水平有很大的差異性，而且一個班級里人數較多，如果按中等學生的水平授課，長期下來必然形成一部分學生吃不飽，一部分學生吃不了，學優生學習沒動力，冒不了尖，學困生最基本的也掌握不了，給其它學科的學習帶來困難，不能實現每個學生在原有基礎上得到最大限度的發展。因此我組決定探索一種新的教學方法——分層教學法，以激發學生的學習積極性，充分發揮個人的創造能力，激發創新思維。

這些現象是造成我校“學困生”、“厭學生”漸多的主要原因，嚴重地影響了教學質量。因此，在新形勢下開展本課題的研究，將有效地轉化上述“兩生”，整體提高我校的教學質量，具有重大的理論意義和實踐意義。三．課題研究的理論依據。

1.以“鄧小平理論”、“三個代表”重要思想和科學發展觀為指針。

2.美國教育學家布魯姆在掌握學習的理論中指出：“許多學生學習中未能取得優異成績，主要不是學生智慧能力欠缺，而是由于未能得到適當的教學條件與合適的幫助造成的。”

3.原蘇聯心理學家科魯捷茨基的研究實驗表明，兒童的數學學習能力存在差異。數學分層教學的涵義就是把同一班級（年級）的學生，按照學習基礎，能力的差異分成若干個層次，設定不同的教學目標、教學內容和評價標準來實施教學，以最大限度調動學生的學習積極性，使每個學生在各自的基礎上得到最大限度的發展。

4.以中共中央、國務院《關于深化教育改革、全面推進素質教育的決定》、國務院《關于基礎教育與發展的決定》、教育部《數學課程標準》、《常州市中學數學學科教學建議》等文件為依據。四．課題研究的內容

通過課題的研究,探索如何在現行班級體制下實施分層教學——分層教學的模式，并通過實施分層教學提高全體參加實驗同學對數學的學習興趣和成績。通過課題的研究，加強教師自身的學習，使他們樹立正確的學生觀和教育觀，加強組內的合作交流意識，使教師教學的實踐水平和理論水平有較大提高，力爭做科研型教師。

本課題的研究主要采用實驗研究的方法，通過學科教學實驗來檢驗。1．以本校作為課題實驗研究基地，同時選擇其中三個年級、部分班級作為參照班級進行對比研究，并定期進行檢驗。

實施實驗前，分別對實驗班級和參照班各個層次同學的情況進行多方位了解和調查摸底。3.實施過程中，積極學習先進教學理論，借鑒他人的成功經驗，檢驗方案的實施落實情況。其中采用調查法、對比法、專題講座、專家檢驗等手段，由相關備課組組織進行調研。針對實驗過程中的實驗問題進行研討、分析，加強對變量的研究，不斷改進操作方法，提高實驗質量。

五．課題研究的方法

本課題是應用研究課題，其進程為：研究——實踐——改進——提高，良性循環，不斷完善。研究方法主要是：①文獻研究法②教學實驗法③分析比較法④經驗總結法。六．課題研究的預期成果。1.總體目標：

通過本課題的研究，應該有效地解決我校“學困生”、“厭學生”，教學質量不夠理想，數學教學方面的突出問題，構建出適合我校的較高效的教學模式，是學生在分層教學的數學課堂學習過程中，養成愿學、樂學、會學、善學的習慣，從而全面提高我校的數學教學質量。2.分期目標及其表達形式

本課題力求取得科學性、應用性、可操作性較強的研究成果。

①初期成果（準備階段）：課題調查論證、課題研究申請書、申報立項、研究總體方案、課堂教學實施方案。

中期成果（研究與實驗階段）：調查報告、實驗報告、案例研究報告、教改心得體會文章、教學論文、階段總結。

③最終成果（總結與驗收階段）：實驗課教學模式展示、教學成績展示、教學論文、結題報告。

七、課題研究的基本步驟。

我們開始的《初中數學分層教學研究》的課題研究。具體來說，我們構建的教學模式的操作程序為以下三個步驟： 第一階段：準備階段

這一階段，集體討論設計實驗方案，成立課題研究組，確立實驗班和對比班，調查測試獲得數據，制訂課題研究的總體計劃。通過計算機多媒體網絡、投影儀等展示一個個案例，介紹某些背景或創設與學習內容（目標）相適應的符合學生年齡特點和認知心理的情景，激發學生的學習興趣，喚起他們的求知欲望，使學生在輕松、愉快的氛圍中投入學習。在這個階段，教師要對學生搜集的信息進行指點，讓學生學會摘錄、保存從各種渠道獲得的信息、資料，并對各種資料進行分類，發現自己感興趣的問題，進行小組交流，共同確定他們所要研究的專題。組織相關人員在廣泛學習有關自主教育的理論書籍和兄弟學校的實踐經驗后，先后到揚州、常州等地的學校參觀學習，并詳細研讀了上海晉元中學的《選擇教育》的實踐經驗總結，印發學習資料，撰寫、修改研究方案。請來專家為課題進行全校性的專題報告，并對全體課題組成員進行相關培訓。第二階段：實驗階段

對實驗班實施研究，通過各種手段對課題實施情況及時反饋，通過論文等形式對課題實施情況進行階段性總結。這一環節要求學生圍繞研究問題，利用各種渠道提供的信息與資源，根據自己的實際和知識的特點進行獨立的思考、探索。圍繞研究的問題分析、處理信息。在這一環節中，學生通過協商和辯論，對當前的問題擺出各自的看法、論據、及有關材料，并對別人的觀點作出分析和評論，從而完善自己的研究成果。這個環節要達到兩個目標：(1)通過協作小組的集體研究活動，激發嚴謹地研究問題的態度，感受到與他人合作的愉快，培養學生協作的精神。

(2)小組協作完善研究成果。（形成研究報告或小論文）第三階段：總結推廣階段

這一環節是改進、調整、完善課題的研究，不斷檢驗實驗班的效果，同時組織教學調研，掌握詳細資料，最后在專家的指導下，對課題研究進行最后總結，完成綜合實驗報告。指學生在自主探索的基礎上，與他人開展討論、交流。通過不同觀點的交鋒來補充、修正、加深學生對當前問題的理解。在這一環節中，學生通過協商和辯論，對當前的問題擺出各自的看法、論據、及有關材料，并對別人的觀點作出分析和評論，從而完善自己的研究成果。組織教學調研，及時了解教與學的情況。嚴格按活動計劃行事，在課題組內部，每月固定活動二次，每次活動時，都至少有一位教師開設公開課。聽課者對課堂教學模式中的一些做法進行交流、總結、評議、提出改進意見。每次活動都有明確的議題并由專人記錄，對課題實施情況進行間斷性總結。另外課題組成員經常對外開設研究課和觀摩課，請教育戰線的同仁們提供寶貴的可供借鑒的經驗。我們課題組在研究性學習模式的探討、設計方面達成共識以后，就以此模式為指導，進行典型課例的實驗研究，探討數學課教學與學習的規律。

收集整理前面兩個階段的研究資料和實踐案例，對照課題研究方案，進行反思、總結。收集老師們發表的論文論述、整理學校頒發的相關文件、撰寫研究報告、請專家指導等，申請結題。

第五篇：有關初中數學幾何證明題的教學研究

有關初中數學幾何證明題的教學研究

【摘 要】幾何是初中數學的重難點，教師應該注重幾何證明題教學，讓學生掌握基本的解題技巧。初中數學幾何證明題需要有明確的思路、簡明的步驟、完整的過程，才可以得到完整的分數。而目前初中生在解題上還是存在很大的問題，所以初中數學幾何證明題的有效教學成了我們需要關注的課題。

【關鍵詞】初中數學；幾何證明；研究

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】1671-8437（2018）10-0020-01

初中數學教學中幾何證明題是老師和學生都頭疼的一門課程，學生在做題時找不到解題思路，面對復雜一點的幾何問題就不會動筆，有的學生解題過程思路不清晰、概念混淆，有一些濫竽充數的嫌疑，這樣也得不到滿分。對于教師來講，初中數學幾何證明題教學是非常重要的，它對于拓展學生思維、提高學生的數學成績有很大的幫助，由于幾何概念比較抽象，故大部分學生對幾何證明題的學習還是很吃力，達不到教學要求。如何突出幾何證明題的特征、幾何概念具體化，提高教學水平，本文中我結合一些自身的教學經驗對初中數學幾何證明題教學提出一些建議。優化初中數學幾何證明題教學的策略

1.1 以教材內容為核心

人教版初中數學幾何教材中有一些重難點，比如說軸對稱、勾股定理、相似三角形等，這些知識點在課本上都有經典的例題和詳細的解題過程，例題難度并不大，在幾何證明題教學中，教師可以讓學生自己去觀察解題思路和技巧，這些例題的學習可以為學生打下很好的基礎。教師在講解《勾股定理》這一章知識時，可以先簡單地介紹勾股定理的背景，然后根據書上的勾股定理六種證明中的一種證明方法進行證明，然后依據書上的例題出一道相似的題目。

在RT三角形中，C=90°

（1）a=6，b=8，求c

（2）a=40，b=41，求c

如果?W生沒有在課堂中及時掌握這些知識，可以依據書上的例題對該題進行證明，也是對勾股定理概念的再次學習。教材是教學的重要內容，也是教學開展的方向。初中數學教材中每一章中的每一個重難點都會有相應的例題，這些例題包含了整個初中數學的知識點。學生在接觸初中幾何數學知識感到很茫然時，教師應該多指導學生去思考教材中的例題，當學生能夠完全掌握這些例題時就可以解決普通的幾何證明題。但是在實際教學中，幾何教師沒有重視教材中的例題，在講解完幾何知識之后就指導學生進行課后練習，忽視了教材中例題的重要性，降低了課堂的效率。所以課堂中應該經常講解例題，例題是學習幾何證明題的法寶，可以有效幫助學生提高解幾何證明題的能力。

1.2 注意細節，解題規范

初中數學幾何證明題的解題要求是思路清晰、過程完整，同時還對格式有一定的要求。只有內容正確、格式正確的前提下，證明才會正確。而實際教學中，教師為了趕教學進度，在一些幾何證明上忽視了格式的規范，這對學生的解題產生一定的影響。有的教師認為幾何證明的講解中思路最為重要，一些細小的問題上沒有引起注意，尤其是課堂的板書上，教師缺乏自身對數學嚴謹的態度，在書寫和過程中都存在一定的問題。如果教師以這種形式教學，無法提高學生的幾何證明能力。所以教師在教學中應該以嚴謹、負責的態度去對待數學，做到規范每一個步驟，在短時間的教學時間中還是要認真做好示范，只有嚴格要求自身，才能嚴格要求學生。

1.3 加強訓練，提高解題能力

初中數學幾何證明題教學不僅要結合理論知識，還要加強訓練。在訓練中學生的數學思維、解題能力才得到提高。比如說在學習圓與三角形結合的證明題中，教師可以在黑板上列舉一道幾何證明題：

在三角形ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，∠ACB的平分線交AB于點D，以D為圓心的O與AC相切于點D。

（1）求證：圓心O與BC相切

（2）當AC=2時，求圓心O的半徑

以此題為例，首先要畫出輔助線，運用勾股定理、相切定理來證明此問題，同時又幫助學生復習之前學過的圓的知識。通過一段時間的強化訓練，學生很快就會提高解題能力和速度，對于一般的題型有基本的解題思路，根據題型的判斷，畫出輔助線，這樣就可以提高解題效率。

初中數學幾何證明題教學作為一門激發學生思維、規范數學解題的課程，它在初中數學教學中有不可忽視的作用。作為教師應該充分利用好數學教材，以課本中的幾何證明例題為模型構建更多適合學生練習的題目，同時在教學過程中要嚴格規范自身，盡量將每一個知識點都講解到位，解題過程中每一個步驟都能做到規范，最后根據學生對知識的掌握程度，指導學生訓練，增加學生在幾何證明題上的訓練量，在解題的過程中做到自覺規范，提高解題速度和質量，鞏固課堂中所學習的知識點，這樣才真正提高學生的數學水平。