第一篇：小五數學第15講：牛吃草(教師版)

第十五講

牛吃草問題

牛吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的。“一堆草可供10頭牛吃3天，供6頭牛吃幾天？”這題很簡單，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了。因為草每天走在生長，草的數量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。

解題思路培養：解答這類題的關鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確計算草地上原有的草及每天長出的草，問題就容易解決了。

掌握四個基本：公式解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰

假設定一頭牛一天吃草量為“1”

1）草的生長速度＝（對應的牛頭數×吃的較多天數－相應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數－吃的較少天數）；

2）原有草量＝牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；`

3）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

4）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。

1.牧場上有一片牧草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長，可供21頭牛吃幾周？

答案：12周

解析：27×6=16223×9=207207-162=4545/(9-6)=15每周生長數 162-15×6=72(原有量)72/(21-15)=12周

2.有一口水井，如果水位降低，水就不斷地勻速涌出，且到了一定的水位就不再上升。現在用水桶吊水，如果每分吊4桶，則15分鐘能吊干，如果每分鐘吊8桶，則7分吊干。現在需要5分鐘吊干，每分鐘應吊多少桶水？

答案：11桶

解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分鐘涌量)60-15×0、5=52、5（原有水量）

52、5+/(5×0.5)/5=11桶

3.有一片牧草，每天以均勻的速度生長，現在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，則24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

答案：49人

解析：17×30=51019×24=456510-456=5454/(30-24)=9每天生長量 510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人

4.有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現在這桶酒如果給6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天？

答案：4人

解析：6×4=244×5=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉數 24+4×4=40原有數

這桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天

5.一水庫存水量一定，河水均勻入庫。5臺抽水機連續20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續15天可抽干。若要6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？

答案：12臺

解析：5×20=1006×15=90100-90=1010/（20-15）=2每天入庫數 100-20×2=60原有庫存數60+2×6=7272/6=12臺

6.自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小紅要從扶梯上樓，已知小明每分鐘走20梯級，小紅每分鐘走14梯級，結果小明4分鐘到達樓上，小紅用5分鐘到達樓上，求扶梯共有多少級？

答案：120 解析：20×4=8014×5=7080-70=1010/（5-4）=10每分鐘減少數 80+4×10=120原有數70+5×10=120

A

1.牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15 頭牛吃10天。問：這片牧草可供25頭牛吃多少天？ 答案：5天

解析：假設1頭牛1天吃的草的數量是1份 草每天的生長量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份??原草量+20天的生長量 原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份??原草量+10天的生長量

100÷（25-5）=5天

2.牧場上長滿了青草，而且每天還在勻速生長，這片牧場上的草可供9頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，如果要供18頭牛吃，可吃幾天？

解析：假設1頭牛1天吃的草的數量是1份 草每天的生長量：（180-150）÷（20-10）=3份

9×20=180份??原草量+20天的生長量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×3=120份 15×10=150份??原草量+10天的生長量 120÷（18-3）=8天

3.由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊 草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？ 解析：假設1頭牛1天吃的草的數量是1份 草每天的減少量：（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份??原草量-5天的減少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份 15×6=90份??原草量-6天的減少量（150-10×10）÷10=5頭

4.由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均勻的速度減少，經測算，牧場上的草可供30頭牛吃8天，可供25頭牛吃9天，那么可供21頭牛吃幾天？

解析：假設1頭牛1天吃的草的數量是1份 草每天的減少量：（240-225）÷（9-8）=15份

30×8=240份??原草量-8天的減少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份 25×9=225份??原草量-9天的減少量 360÷（21+15）=10天

5.自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每

分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？

解析：男孩：20×5 =100（級）自動扶梯的級數-5分鐘減少的級數 女孩;15×6=90（級）自動扶梯的級數-6分鐘減少的級數 每分鐘減少的級數=(20×5-15×6)÷(6-5)=10(級)自動扶梯的級數=20×5+5×10=150（級）

B 6.兩個頑皮孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級階梯，女孩每秒可走2級階梯，結果從扶梯的一端到達另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問該扶梯共有多少級？

解析：3×100=300自動扶梯級數+100秒新增的級數 2×300=600自動扶梯級數+300秒新增的級數

每秒新增的級數：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（級）自動扶梯級數=3×100-100×1.5=150（級）

7.有一片牧場，操每天都在勻速生長（每天的增長量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完草，如果放牧21頭牛，則8天吃完草，設每頭牛每天的吃草量相等，問：要使草永遠吃不完，最多只能放牧幾頭牛？ 解析：假設1頭1天吃1個單位 24*6=144 21*8=168 168-144=24 每天長的草可供24/2=12頭牛吃 最多只能放12頭牛

8.有一片草地，草每天生長的速度相同。這片草地可供5頭牛吃40天，或6供頭牛吃30天。如果4頭牛吃了30天后，又增加2頭牛一起吃，這片草地還可以再吃幾天？ 解析：假設1頭1天吃1個單位 5*40=200；6*30=180 200-180=20 每天長的草:20/(40-30)=2 原有草：200-2*40=120 4*30=120，30*2=60 60/4=15天

9.假設地球上新增長資源的增長速度是一定的，照此推算，地球上的資源可供110億人生活90年，或可供90億人生活210年，為了人類不斷繁衍，那么地球最多可以養活多少億人？ 解析：假設1億人頭1天吃1個單位 110*90=9900；90*210=18900 18900-9900=9000 9000/(210-90)=75 10.兩只蝸牛由于耐不住陽光照射，從井頂走向井底，白天往下走，一只蝸牛一個白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，兩只蝸牛下滑速度相同，結果一只蝸牛5晝夜到達井底，另一只卻恰好用了6晝夜。問井深是多少？

解析：20×5=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑數 100+5×10=15015×6+10×6=150

C

11.李村組織農民抗旱，從一個有地下泉的池塘擔水澆地。如果50人擔水，20小時可把池水擔完。如果70人擔水，10小時可把池水擔完?，F有130人擔水，幾小時可把池水擔完？

解析：50×20=100070×10=7001000-700=300300/(20-10)=30每小時增加1000-30×20=400原有

400/(130-30)=4小時 12.一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃幾周？

解析：這片草地上的草的數量每天都在變化，解題的關鍵應找到不變量——即原來的草的數量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應注意到是勻速生長，因而這片草地每天新長出的草的數量也是不變的。

假設1頭牛一周吃的草的數量為1份，那么27頭牛6周需要吃27×6=162（份），此時新草與原有的草均被吃完；23頭牛9周需吃23×9=207（份），此時新草與原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的數量與6周新長出的草的數量的總和；207份是原有的草的數量與9周新長出的草的數量的總和，因此每周新長出的草的份數為：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的數量為：162-15×6=72（份）。這片草地每周新長草15份相當于可安排15頭牛專吃新長出來的草，于是這片草地可供21 頭牛吃72÷（21-15）＝12（周）

13.一塊1000平方米的牧場能讓12頭牛吃16個星期，或讓18頭牛吃8個星期，那么一塊4000平方米的牧場6個星期能養活多少頭牛？

解析：12×16-18×8=192-144=4848/(16-8)=6每星期生長數 192-16×6==96原有數96+6×6=132132/6=2222×4=88頭

14.有一只船有一個漏洞，水用均勻的速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果用12個人淘水，3小時可以淘完。如果只有5個人淘水，要10小時才能淘完?，F在要想2小時淘完，需要多少人？

解析：12×3=365×10=5050-36=1414/(10-3)=2每小時增加數 36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人

15.有一個水井，水不斷由泉涌出，井滿則溢出。若用4臺抽水機，15小時可把井水抽干。若用8臺抽水機，7小時可把井水抽干?，F在要用幾臺抽水機，能5小時把井水抽干？

解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11臺

1.一片草地，每天都勻速長出青草。如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天吃完。那么可供19頭牛吃幾天？

答案：12天

解析：6天時共有草：24×6＝144 10天時共有草：20×10＝200 草每天生長的速度為：（200－144）÷（10－6）＝14 原有草量：144－6×14＝60 可供19頭牛： 60÷（19－14）＝12（天）

2.牧場有一片青草，每天生成速度相同?，F在這片牧場可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一頭牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

解析：思路，把羊轉化為牛

4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相當于“20頭牛吃12天”

現在是“10頭牛與60只羊一起吃這一片草”相當于“10＋60÷4＝25頭牛吃草” [16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y x=10

y=8 3.某牧場上長滿牧草，每天勻速生長,這片牧草供17頭牛吃30天,19頭牛吃24天,現有一群牛吃了6天,主人賣掉了4頭牛,余下的牛吃了兩天后剛好把草吃完,問這群牛原有幾頭? 解析：設原有Y頭，x還是“剪草的” [17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2 注意：剩下的2天已經賣掉了4頭牛，要分開計算（y-x-4）*（6+2），這樣列式就錯了 x=9 y=40 4.某市水庫水量的增長速度是一定的，可供全市12萬人使用20年，在遷入3萬人之后，只能供全市人民使用15年，市政府號召大家節約用水，希望將水庫的使用壽命延長至30年，那么居民平均需要節約用水量的比例是多少?()A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4 答案：A

解析：

[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30 x=3

y=9 15-9=6 即多出6萬人，這6萬人要用15萬人的6/15=2/5 5.有一個水池，池底有一個出水口，用3臺抽水機24小時可將水抽完，用9臺抽水機12小時可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長時間將水漏完？

解析：（3-X）*24=（9-X）*12 得X=-3(不要理會負數，按正3理解好了)帶入X到上式，（（3+3）*24）/X=48所以是48

1.旅客在車站候車室等車,并且排隊的乘客按一定速度增加,檢查速度也一定,當車站放一個檢票口,需用半小時把所有乘客解決完畢,當開放2個檢票口時,只要10分鐘就把所有乘客OK了 求增加人數的速度還有原來的人數

解析：設一個檢票口一分鐘一個人

1個檢票口30分鐘30個人

2個檢票口10分鐘20個人

(30-20)÷(30-10)=0.5個人

原有1×30-30×0.5=15人

或2×10-10×0.5=15人

2.有三塊草地，面積分別是5，15，24畝。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，問第三塊地可供多少頭牛吃80天？

解析：這是一道是比較復雜的牛吃草問題。

把每頭牛每天吃的草看作1份。

因為第一塊草地5畝面積原有草量＋5畝面積30天長的草＝10×30＝300份

所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長的草是300÷5＝60份

因為第二塊草地15畝面積原有草量＋15畝面積45天長的草＝28×45＝1260份

所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長的草是1260÷15＝84份

所以45－30＝15天，每畝面積長84－60＝24份

所以，每畝面積每天長24÷15＝1.6份

所以，每畝原有草量60－30×1.6＝12份

第三塊地面積是24畝，所以每天要長1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份

新生長的每天就要用38.4頭牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要夠吃80天，因此288÷80＝3.6頭牛

所以，一共需要38.4＋3.6＝42頭牛來吃。

兩種解法：

解法一：

設每頭牛每天的吃草量為1，則每畝30天的總草量為：10*30/5=60；每畝45天的總草量為：28*45/15=84那么每畝每天的新生長草量為(84-60)/(45-30)=1.6每畝原有草量為60-1.6*30=12，那么24畝原有草量為12*24=288，24畝80天新長草量為24*1.6*80=3072，24畝80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(頭)解法二：

10頭牛30天吃5畝可推出30頭牛30天吃15畝，根據28頭牛45天吃15畝，可以推出15畝每天新長草量(28×45-30×30)/(45-30)=24；15畝原有草量：1260-24×45=180；15畝80天所需牛180/80+24(頭)24畝需牛：(180/80+24)*(24/15)=42頭

3.一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解析：這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量

因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量 10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時內的進水量為

1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小時的進水量為

14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時）答：17人2小時可以淘完水。

4.牧場上有一片均勻生長的牧草，可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天。那么它可供21頭牛吃幾天？ 解析：將它想象成一個非常理想化的數學模型：假設27頭牛中有X頭是“剪草工”，這X頭牛只負責吃“每天新長出的草，并且把它們吃完”，這樣以來草場相當于不長草，永遠維持原來的草量，而剩下的(27－X)頭牛是真正的“顧客”，它們負責把草場原來的草吃完。（請慢慢理解，這是關鍵）

設每天新增加草量恰可供X頭牛吃一天,21?？沙訷天（后面所有X均為此意）可供27頭牛吃6天，列式:（27－X）·6 注：（27－X）頭牛6天把草場吃完 可供23頭牛吃9天，列式:（23－X）·9 注：（23－X）頭牛9天把草場吃完 可供21頭牛吃幾天？列式：（21－X）·Y 注：（21－X）頭牛Y天把草場吃完 因為草場草量已被“清潔工”修理過，總草量相同，所以，聯立上面1、2、3（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y（27－X）·6＝（23－X）·9 【1】（23－X）·9＝（21－X）·Y 【2】

解這個方程組，得 X＝15（頭）

Y＝12（天）

5.有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃．草地上的草一樣厚，而且長得一樣快．第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天．問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

解析：現在是三塊面積不同的草地．為了解決這個問題，需要將三塊草地的面積統一起來．（這是面積不同時得解題關鍵）求【5，6，8】得最小公倍數為120

1、因為5公頃草地可供11頭牛吃10天，120÷5＝24，所以120公頃草地可供11*24＝264(頭)牛吃10天．

2、因為6公頃草地可供12頭牛吃14天，120÷6＝20，所以120公頃草地可供12*20＝240(頭)牛吃14天． 3、120÷8＝15，問題變為：120公頃草地可供19*15＝285(頭)牛吃幾天？ 這樣一來，例2就轉化為例1，同理可得：

（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y（264－X）·10＝（240－X）·14

【1】（240－X）·14＝（285－X）·Y

【2】 解方程組：X=180（頭）

Y=8（天）典型例題“牛吃草”已介紹完畢。

6.有三塊草地，面積分別為5，6，和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

解析：前幾天我們接觸的是在同一塊草地上，同一個水池中，現在是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統一起來。即

[5，6，8]=120 這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，120÷5=24，變為120公頃草地可供11×24=264（頭）牛吃10天

第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，120÷6=20，變為120公頃草地可供12×20=240（頭）牛吃14天。

120÷8=15。問題變成：120公頃草地可供19×15=285（頭）牛吃幾天？ 因為草地面積相同，可忽略具體公頃數，原題可變為：

一塊草地勻速生長，可供264頭牛吃10天或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛齒及天？即 每天新長出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）草地原有草：（264—180）×10=840（份）

可供285頭牛吃的時間：840÷（285—180）=8（天）答：第三塊草地可供19頭牛吃8天。

7.一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天那么可供18頭牛吃幾天？

答案：15天．

解析：設1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原來的草量是（24-14）×6=60份?？晒?8頭牛吃60÷（18-14）=15 8.由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以固定的速度在減少，經計算，牧

場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？ 答案：8天

解析：設一頭牛一天吃的草量為一份。牧場每天減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃120÷(11+4)=8天。

第二篇：牛吃草教案

牛吃草教案

教學目的：讓學生了解什么是“牛吃草”問題以及其特點；

掌握“牛吃草”問題涉及的關鍵的量以及求解方法；

熟練運用“牛吃草”的方法，解決“牛吃草”的一些變形問題。主要知識點：

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

關鍵問題：確定兩個不變的量（1、原有總草量；

2、草的生長速度）?；竟剑?/p>

①生長量=（較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數）÷（長時間-短時間）；

②總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量 ③吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

④牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。例題引導：

目的：引導學生自己歸納總結出來牛吃草的特點：

引例1：有一堆干草：10頭牛吃15天，問如果是25頭牛，可以吃幾天？（6天）

計算很簡單，主要引導同學們知道把牛每天吃草量設為單位“1”。

在計算下兩種情況下，總草量是否一樣？（完全一樣為：150）引例2：一片青草地，牧草每天都在勻速生長，18頭牛吃16天，但是，27頭牛吃8天，讓學生算算原有草量是多少？

（老師給出算法：也是設一頭牛一天吃單位1的草量）

情況1:

18*16=288，情況2：

27*8=216（提問：為什么不一樣）

引導學生分析出來，草每天還要均勻生產，時間長，草就長的多，影響了牛吃的總草量，并分析出來牛吃的總草量由什么組成（可以與引例1想比較說明這點）。

即：牛吃的總草量=原有總草量+草的生長總量

草的總生長量=草的生長速度*天數 讓學生求：原有總草量和草的生長速度

方法：設1頭牛一天吃的草為1份，那么18頭牛16天吃的就是18*16=288份，是原有的草和16天新長出來的草；27頭牛8天吃的就是27*8=216份，是原有的草和8天新長出來的草。由于原有的草量不變，所以相差的288－216=72份草，是16－8=8天所長出來的，即每天長72÷8=9份（草的生長速度）。也就是說，每天要有9頭牛專吃新長出來的草，總草量才不變，所以牧場上原有的草有（18－9）×16=144份（原有總草量）。（以上解答，可以畫線段圖，可以剛好幫助學生理解分析）追加一問：現在，如果是21頭牛可以吃幾天？（學生自己解答）一定強調：生長出來的草可以供牛吃，不是全部的牛吃原因草量，所有草吃光為止！

講解，先去掉9頭牛吃新長出來的草，剩下的吃原有的草，可以吃144÷（21－9）=12天?？偨Y：

這類總量不斷變化的問題就是英國大數學家牛頓提出的“牛吃草”問題，也有人稱之為“牛頓問題”。（所以不是馬吃草）特點：①原草量②新草生長速度是不變的 解題思路說明：

（1）解牛吃草問題，一般是先求出每天新長出來的草量，它是通過對比兩種不同吃法而得出的；

（2）求出每天新長出來的草量之后，可以讓一些牛專吃新長出來的草，剩下的牛吃原有的草，可根據后一種吃法求出原有的草量；

（3）在所求的問題中，讓一些牛專吃新長出來的草，剩下的牛吃原有的草，易求出吃的天數?？梢越o出公式：

①生長量=（較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數）÷（長時間-短時間）；

②總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量 ③吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

④牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度（可以在出一問說明或者條件反過來說明）。

鞏固：牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？

例2：一艘木船發生了漏水事故，水勻速的涌入。3人淘40分鐘可以把水淘完，5人淘，20分鐘可以把水淘完。現在由6人把水淘完，需要多長時間？ 【分析與解答】

分析：從表面上看，本題中沒有牛吃草，但是因為總的水量不斷改變，我們把“水”看作“草”，涌入的水就相當于新長出來的草，船內原來已漏進的水就相當于原有的草，人淘水就相當于牛吃草，所以本題的實質也是牛吃草的問題，解法與例1相似。

設1人1分鐘淘的水量為1份，那么3人40分鐘淘的水是3×40=120份，5人20分鐘淘的水量是5×20=100份，這兩次所淘的水量中都包括原來已經漏進的水量和從開始淘到淘完這段時間內又涌入的水量，所以相差的120－100=20份水是40－20=20分鐘涌入的，所以每分鐘涌入的水量為20÷20=1份。顯然，1人專淘涌入的水，原有的水量不變。因此，原有的水量為（3－1）×40=80份。

現在，要求6人幾分鐘把水淘完，先讓1人專淘涌入的水，剩下的人淘原有的水，可以淘80÷（6－1）=16分鐘。例3：某電影院在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的觀眾人數一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。現在要使隊伍10分鐘消失，那么需要同時開幾個檢票口？ 【分析與解答】

分析：等待檢票的觀眾人數在變化，“觀眾”相當于“草”，“檢票口”相當于“?！?，所以本題實質上也是一道牛吃草的問題。總的草量相當于觀眾總人數，即開始檢票前已經在排隊的原有觀眾和檢票開始后新來的觀眾。

設1個檢票口1分鐘檢票的觀眾人數為1份，那么4個檢票口30分鐘通過的人數為4×30=120份，5個檢票口20分鐘通過的人數為5×20=100份，說明在30－20=10分鐘內新來的觀眾人數為120－100=20份，所以每分鐘新來觀眾為：（4×30－5×20）÷（30－20）=2份

顯然，讓2個檢票口檢新來的觀眾，等待的隊伍人數不變，其余的檢票口檢原有的觀眾，原有觀眾為：（4－2）×30=60份。

現在，要在10分鐘內檢完票，使觀眾不再排隊等候，應讓2個檢票口專檢新來的觀眾，以使原有人數不變，原有人數從其他檢票口10分鐘通過，所以共需要的檢票口為： 60÷10＋2=8個。例4：自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？

分析：與例3比較，“總的草量”變成了“扶梯的梯級總數”，“草”變成了“梯級”，“?！弊兂闪恕八俣取?，也可以看成牛吃草問題。

上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20×5= 100（級），女孩6分鐘走了15×6=90（級），女孩比男孩少走了100－90=10（級），多用了6－5=1（分），說明電梯1分鐘走10級。由男孩5分鐘到達樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）×5=150（級）。

解：自動扶梯每分鐘走

（20×5－15×6）÷（6—5）=10（級），自動扶梯共有（20+10）×5=150（級）。答：扶梯共有150級。

例

5、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？ 分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。

設1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草（20+10）×5=150（份）。

由 150÷10=15知，牧場原有草可供15頭牛吃 10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。練習與鞏固

1.一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供30頭牛吃5周，問可供42頭牛吃幾周？

2.有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機20時可以把水抽干；用15部同樣的抽水機，10時可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？

3.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。如果同時開放3個檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊伍恰好消失；如果同時開放4個檢票口，那么25分鐘隊伍恰好消失。如果同時開放8個檢票口，那么隊伍多少分鐘恰好消失？

4.兩位頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級梯級，女孩可走24級梯級，結果男孩走了2分鐘到達另一端，女孩走了3分鐘到達另一端。問：該扶梯共多少級？

5.由于天氣逐漸變冷，牧草上的草每天以均勻的速度在減少，經計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天，那么，可供11頭牛吃幾天？

第三篇：牛吃草教案

牛吃草問題

教學目的：讓學生了解什么是“牛吃草”問題以及其特點；

掌握“牛吃草”問題涉及的關鍵的量以及求解方法；

教學難點：推導解決牛吃草問題的方法和過程 基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

一、例題引導：

目的：引導學生自己歸納總結出來牛吃草的特點：

課前熱身：“一堆草可供10頭牛吃3天，這堆草可供6頭牛吃幾天？”

引導學生知道把牛每天吃草量設為單位“1”。

如果我們把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”。算法還一樣嗎？

提問：為什么不一樣？

引導學生分析出來，草每天還要均勻生產，時間長，草就長的多，影響了牛吃的總草量，并分析出來牛吃的總草量由什么組成。

揭示：這類總量不斷變化的問題就是英國大數學家牛頓提出的“牛吃草”問題，也有人稱之為“牛頓問題”。（播放課件）特點：原草量、新草生長速度是不變的

二、新授

講解例1 一牧場長滿青草，27頭牛6個星期可以吃完，或者23頭牛9個星期可以吃完。若是21頭牛，要幾個星期才可以吃完？（注：牧場的草每天都在勻速生長）解題思路說明：

（1）牛吃草問題，一般是先求出每天新長出來的草量，它是通過對比兩種不同吃法而得出的；

（2）求出每天新長出來的草量之后，可以讓一些牛專吃新長出來的草，剩下的牛吃原有的草，可根據后一種吃法求出原有的草量；

（3）在所求的問題中，讓一些牛專吃新長出來的草，剩下的牛吃原有的草，求出吃的天數。公式：

牛頭數＝原有草量÷吃的時間＋草的生長速度

練習：一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？（生獨立完成，展示講解）

講解例2：有一塊勻速生長的草場，可供12頭牛吃25天，或可供24頭牛吃10天．那么它可供幾頭牛吃20天？

這道題和上一題相比，有什么異同？

讓生算出新生草和原有草，引導學生得出吃的時間的算法。吃的時間＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

練習：一只船發現漏水時，已經進了一些水了，水是勻速進入船內，如果10人淘水的話，3小時可以淘完；如果是5人淘水的話，8小時可以完成。如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？

引導學生說一說這一題為什么可以看做牛吃草問題。我們把“水”看作“草”，涌入的水就相當于新長出來的草，船內原來已漏進的水就相當于原有的草，人淘水就相當于牛吃草，所以本題的實質也是牛吃草的問題。

三、總結與練習

總結牛吃草問題的特點，總結解題步驟。步驟：

①生長量=（較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數）÷（長時間-短時間）；

②總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量 ③吃的時間＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

④牛頭數＝原有草量÷吃的時間＋草的生長速度。練習鞏固2題，生獨立完成。

第四篇：牛吃草問題教案

牛吃草問題

牛吃草問題量的關系：

例1：一片草地長滿了勻速生長的牧草，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，問可供25頭牛吃多少天？ 1：先求每天新生長的草量： 2：再求這片草地原有的草量： 3：最后求可供25頭牛吃幾天： 【學以致用】

1、一片牧草，每天生長的速度相同，這片牧草可供10頭牛吃20天，或供15頭牛吃10天，問可供30頭牛吃多少天？

2、有一片牧場，已知牛27頭，6天把草吃盡，牛23頭，9天把草吃盡，如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？

3、一片牧場長滿草，每天勻速生長，這片牧場可供5頭牛吃8天，或供14頭牛吃2天，問可供10頭牛吃幾天？

4、有三塊草地長滿了草，每公頃草量都相同且每天勻速生長，第一塊草地有10公頃，可供220只羊吃10天，第二塊草地有12公頃，可供240只羊吃14天，第三塊草地16公頃，可供380只羊吃多少天？

例2：博物館開門前就有參觀的觀眾排隊等候，每分鐘來參觀的人數一樣多，打開4道門讓人們進館參觀，30分鐘就不再有排隊的現象，打開5道門時，20分鐘就不再有排隊的現象，如果同時打開7道門，需要幾分鐘不再有排隊的現象？ 1：先求每分鐘進來的觀眾量： 2：原來排隊的觀眾量：

3：同時打開7道門，需要幾分鐘： 【學以致用】

1、一水池有一根進水管，有若干根抽水管，進水管不斷進水，若用24根抽水管抽水，6小時可以把池中的水抽干，若用21根抽水管抽水，8小時可將池中的水抽干，那么用16根抽水管多少小時可將水池中的水抽干？

2、某火車站的檢票口，在檢票開始前已有一些人排隊，檢票開始后每分鐘有10人前來排隊檢票，一個檢票口每分能讓25人檢票進站，如果只有一個檢票口，檢票開始8分后就沒有人排隊，如果有兩個檢票口，那么檢票后多少分就沒有人排隊？

3、畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場，從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多，如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊，如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊，那么第一個觀眾到達的時間是幾點？

例3：一個水塘原有水量一定，有流水每天均勻的流入池塘內，用5臺抽水機20天可以抽干，用6臺同樣的抽水機15天可以抽干，若要6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？

1：水塘每天流入的水量： 2：水塘原有水量：

3：需要多少臺同樣的抽水機： 【學以致用】

1、一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光，那么想用4天時間把這塊草地的草吃光，需要多少只羊？

2、有一只船有一個漏洞，水以均勻的速度進入船內，發現漏洞時船內已經進了一些水，如果用12個人淘水，3小時可以淘完，如果只有5個人淘水，要10小時才能淘完，現在想2小時淘完，需要多少人？

3、飼料廠除原有的一批飼料外，每天都生產相同數量的飼料供應周圍的養雞場，現在用5輛汽車拉廠里的飼料10天可以拉完，如果再增加7輛汽車，3天可以拉完，現在要求在2天內拉完所有的飼料，需要多少輛汽車？

4、某海港貨場不斷有外洋輪船卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運走，如果用9輛汽車，12小時可以清場，如果用8輛汽車，16小時可以清場，該場開始只用3輛汽車，10小時后增加了若干輛，再過4小時就已清場，那么后來增加的汽車是多少輛？

第五篇：3牛吃草問題

一、例題精講

例1． 有一個牧場，牧場上的牧草每天都在勻速生長，這片牧場可供15頭牛吃20天，或可供20頭牛吃10天。那么，這片牧場每天新生的草量可供幾頭牛吃一天？

例2． 牧場上長滿了牧草，可供24頭牛吃6周，或可供23頭牛吃9周。如果牧草每周均勻地生長。問原有草量可供幾頭牛吃1周？

例3． 一塊草地，每天生長的速度相同，現在這片牧草可供16頭牛吃20天，或供80只羊吃12天，如果一頭牛一天吃的草量等于4只羊一天吃的草量，那么10頭牛和60只羊一起吃，可以吃多少天？

例4． 一片牧場，草每天生長的速度相同，現在，這片牧草可供20頭牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果一頭牛每天吃草量等于4只羊每天吃草量，那么，12頭牛與88只羊一起可以吃多少天？

例5． 由于天氣漸冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少，經計算，現有牧場上的草可供20頭牛吃5天，也供16頭牛吃6天，那么，11頭?？沙詭滋?？

例6． 由于天氣漸冷，牧場上的草每天以固定的速度減少。已知某牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供12頭牛吃7天，那么可供6頭牛吃幾天？

例7． 假設旅客在檢票進站前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數一樣多。若同時開4個檢票口，從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，需30分鐘；同時開5個檢票口，需20分鐘，如果同時打開7個檢票口，那么需要多少分鐘隊伍就消失？

例8． 某火車站的檢票口在開始檢票前已有945名旅客排隊等待檢票。此時，每分鐘還有固定的若干人前來進口處準備進站。如果開放4個檢票口，15分鐘可放完旅客；如果開放8個檢票口，7分鐘可以放完旅客。照此放人的速度，現要想在5分鐘內放完所有旅客，需要開放幾個檢票口？

例9． 甲、乙、丙三個倉庫各存放著數量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輪輸送機和12個工人，5小時可將甲倉庫里的面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輪輸送機和28個工人，3小時可將倉庫內面粉搬完；丙倉庫現有2臺皮帶輪輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內面粉搬完，同時還要多少個工人？（每個工人每小時工效相同，每臺皮帶輪輸送機每小時工效相同，另外皮帶輪輸送機與工人一起往外搬運面粉）。

例10． 倉庫里有一批存貨，以后不斷有車運貨進倉，且每天運進的貨一樣多，用同樣的貨車運貨出倉。如果每天用4輛車，則9天恰好運完；如果每天用5輛貨車，則6天恰好運完。倉庫里原有的貨若用一輛貨車運，則需要多少天運完？

例11． 有一片牧草，草每天勻速地生長，這片牧草可供100頭牛吃3周，可供50頭牛吃8周。那么可供多少頭牛吃兩周？

例12． 一個牧場，草每天勻速地生長，每頭牛每天吃草量相同，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛只需24天就可將草吃完，現有一群牛，吃了6天后，賣掉4頭牛，余下的再吃2天就可將草吃完，問沒有賣掉4頭牛之前，這一群牛共有多少頭？

例13． 一片牧草可供9頭牛吃12天，也可供8頭牛吃16天，開始只有4頭牛吃，從第7天起又增加了若干頭牛來吃草，再吃6天吃完了所有的草，問從第7天起增加了多少頭牛？（草每天勻速增長，每頭牛每天吃草量相等）

例14． 一片牧草，草每天生長速度相同，如果讓馬和牛去吃草，45天將草吃完；如果讓馬和羊去吃，60天將草吃完；如果讓牛和羊去吃，90天將草吃完。已知牛、羊每天吃草量之和等于馬每天吃草量，現在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可將這片牧草吃盡？

例15． 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假設草每天的生長速度不變，現有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，這樣又吃了2天，便將草吃完。問原有羊多少只？

例16． 11頭牛10天可以吃完5公畝牧場上的全部牧草，12頭牛14天可以吃完6公畝牧場上的全部牧草，問19頭牛幾天可以吃完8公畝牧場上全部牧草？（每公畝牧場上每天生長草量相等）。

例17． 某火車站的檢票口，在檢票開始前已經有一些人排隊，檢票開始后，每分鐘15人前來排隊檢票，一個檢票口每分鐘能讓30個人檢票進站，如果只有一個檢票口，檢票開始6分鐘就沒有人排隊，如果兩個檢票口，那么檢票開始后幾分鐘就沒有人排隊？

例18． 畫展9點鐘開門，但早就有人排隊入場，從第1個觀眾來時起，每分鐘來的觀眾人數一樣多，如果開3個入場口，則9分鐘后，就不再有人排隊；如果開5個入場口，則5分鐘后，就不再有人排隊。那么第1個觀眾達到時間是幾點幾分呢？

例19． 某火車站的檢票口，在檢票前已有一些人排隊，檢票開始后每分鐘有10人前來排隊檢票。一個檢票口每分鐘能讓25人檢票進站，如果只有一個檢票口，檢票開始8分鐘后就沒有人排隊；如果兩個檢票口，那么檢票開始后多少分鐘就沒有人排隊？

例20． 某足球賽檢票前幾分鐘就有觀眾開始排隊，每分鐘來的觀眾人數一樣多，從開始檢票到等候入場的隊伍消失，若同時開4個入場口需50分鐘，若同時開6個入場口則需30分鐘。如果要使隊伍25分鐘消失，那么需要同時開幾個入場口？

例21． 由于打字員的辭職，一個公司剩下一批需要打字的材料，而且每天還要新增加固定數量需要打字的材料，假設材料以頁計數，每個打字員的打字速度是相同的，固定的（單位可以是頁∕天），若公司聘用5名打字員，24天就恰好打完所有材料；若公司聘用9名打字員，12天就恰好打完所有材料，現在公司聘用了若干打字員，工作8天之后由于業務減少，每天新增的需要打字的材料少了一半，結果這些打字員用40天才恰好完成打字工作。問公司聘用了多少打字員？

例22． 一個水池裝有一根進水管和若干根同樣的出水管（進水管和出水管不同），先打開進水管等水池有了一些水后，再打開出水管，如果打開一個出水管，12分鐘后水池空；如果同時打開2個出水管，4分鐘后水池空。那么，出水管比進水管晚開幾分鐘？（每根進水管和出水管每分鐘進水量相同）

例23． 商場自動扶梯勻速由上往下移動，兩個頑皮的孩子在移動的扶梯上走動，男孩每秒鐘向上走2級；女孩2秒鐘向上走3級，結果男孩用100秒到達樓上，女孩用200秒到達樓上。問該樓層扶梯共有多少級？

例24． 哥哥沿著向上移動的自動扶梯從頂向下走到底，共走了100級，相同時間內，妹妹沿著自動扶梯從底向上走到頂，共走了50級，若哥哥單位時間內走的級數是妹妹的2倍，那么當自動扶梯靜止時，自動扶梯能看到的有多少級？