第一篇：小五數學第6講組合(教師版)

第6講組合

組合定義：一般地，從n個不同元素中取出m個（m≤n）元素組成一組不計較組內各元素的次序，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.由組合的定義可以看出，兩個組合是否相同，只與這兩個組合中的元素有關，而與取到這些元素的先后順序無關.只有當兩個組合中的元素不完全相同時，它們才是不同的組合.從n個不同元素中取出m個元素（m≤n）的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取

m出m個不同元素的組合數.記作Cn.一般地，求從n個不同元素中取出m個元素排成一列的排列數Pnm可以分兩步求得：

m第一步：從n個不同元素中取出m個元素組成一組，共有Cn種方法；

第二步：將每一個組合中的m個元素進行全排列，共有Pnm種排法.故由乘法原理得到：P是組合數公式.mn?m一般地，組合數有下面的重要性質：Cn＝Cn（m≤n）n0規定Cn＝1，Cn＝1.mn＝

Cmn·

Pmn，因此

Pnmn?n?1??n?2?????n?m?1?這就C?m?m?m?1??m?2????3?2?1Pmmn

教學重點: 掌握組合應用題

教學難點：正確利用加法原理、乘法原理，計算出所要求的組合鐘數

負數

數學家、生物學家和物理學家坐在街頭咖啡屋里，看著人們從街對面的一間房子走進走出。他們先看到兩個人進去，時光流逝，他們又看到三個人出來。物理學家:“測量不夠準確?！鄙飳W家：“他們進行了繁殖?！睌祵W家:“如果現在再進去一個人，那房子就空了?！?/p>

1．某客輪航行于天津、青島、大連三個城市之間.那么，船票共有幾種價格（往返票價相同）？ 分析：這個問題實際上可以這樣分兩步完成：第一步是從三個城市中選兩個城市，是一個組

2合問題，由組合數公式，有取C3法.第二步是將取出的兩個城市進行排列，由全排列公式，222222有P22種排法，所以，由乘法原理得到P3?C3P2.故有：C3?P3?P2＝（3×2）÷2＝3種價格.答案：3種。2.計算： C6C6解析：組合計算 6?5?15 解：?2?6?5?4?3?15

4?3?2?1551983 計算：①C200；②C56；

解析：組合計算 解： ?56?55200?199?19800?=1540

224從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，作成一道兩個一位數的乘法題，問： ①有多少個不同的乘積？ ②有多少個不同的乘法算式？

分析①中，要考慮有多少個不同乘積.由于只要從5張卡片中取兩張，就可以得到一個乘積，所以，有多少個乘積只與所取的卡片有關，而與卡片取出的順序無關，所以這是一個組合問題.②中，要考慮有多少個不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數字有關，而且與取到兩張卡片的順序有關，所以這是一個排列問題.P52解：①由組合數公式，共有C?2?10個不同的乘積.P225②由排列數公式，共有P52＝ 5×4＝20種不同的乘法算式.5 在一個圓周上有10個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出多少不同的①直線段，②三角形，③四邊形？

分析由于10個點全在圓周上，所以這10個點沒有三點共線，故只要在10個點中取2個點，就可以畫出一條線段；在10個點中取3個點，就可以畫出一個三角形；在10個點中取4個點，就可以畫出一個四邊形，三個問題都是組合問題.解：由組合數公式.2P10①C?2?45

C22103P10②C?3?120

C33104 P10③C?4?210

C4410 如下圖，問：

①下左圖中，共有多少條線段？ ②下右圖中，共有多少個角？

分析①中，在線段AB上共有7個點（包括端點A、B）.注意到，只要在這七個點中選出兩

2個點，就有一條以這兩個點為端點的線段，所以，這是一個組合問題，而C7表示從7個點

2中取兩個不同點的所有取法，每種取法可以確定一條線段，所以共有C7條線段.②中，從O點出發的射線一共有11條，它們是OA，OP1，OP，OP，?，OP9，OB.注意到每兩條射線可以形成一個角，所以，只要看從11條射線中取兩條射線有多少種取法，就有

22多少個角.顯然，是組合問題，共有C11種不同的取法，所以，可組成C11個角.2

3P72解：①由組合數公式知，共有C?2?21條不同的線段；

P2272P11②由組合數公式知，共有C?2?55

P2211

1.計算：

31998①C15；②C2000；

A 答案：①455；②1998000；

2.從分別寫有1、2、3、4、5、6、7、8的八張卡片中任取兩張作成一道兩個一位數的加法題.問：

①有多少種不同的和？ ②有多少個不同的加法算式？ 答案：① 28；②56.3.某班畢業生中有10名同學相見了，他們互相都握了一次手，問這次聚會大家一共握了多少次手？ 答案： 45.4.在圓周上有12個點.①過每兩個點可以畫一條直線，一共可以畫出多少條直線？ ②過每三個點可以畫一個三角形，一共可以畫出多少個三角形？ 答案：① 66；②220.5.5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為多少種？ 答案：240種

B

98100341.計算：C100 ?2C100C12?2C5答案：4948； 230 2．有4名學生報名參加數學、物理、化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？ 答案：34

3.有4名學生參加爭奪數學、物理、化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？ 答案：4

4.1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？ 答案：共有72種。.5.有七名學生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？ 答案:3600

C 1.7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區公益活動。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數字作答）。

33解析：C7C4?140，3答案：140 2.將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有種（用數字作答）． 答案36 3．某校舉行排球單循環賽，有12個隊參加.問：共需要進行多少場比賽？ 答案：由組合數公式知，共需進行C12?66場比賽.4．某班要在42名同學中選出3名同學去參加夏令營，問共有多少種選法？如果在42人中選3人站成一排，有多少種站法？ 答案： 68880

25、由0，1，2，3，4，5這六個數字。（1）能組成多少個無重復數字的四位數？（2）能組成多少個無重復數字的四位偶數？

（3）能組成多少個無重復數字且被25個整除的四位數？（4）組成無重復數字的四位數中比4032大的數有多少個？ 答案：（1）300(2)156(3)21(4)112

1由數字0、1、2、3可以組成多少個沒有重復數字的偶數？ 答案：27個

2.國家舉行足球賽，共15個隊參加.比賽時，先分成兩個組，第一組8個隊，第二組7個隊.各組都進行單循環賽（即每個隊要同本組的其他各隊比賽一場）.然后再由各組的前兩名共4個隊進行單循環賽，決出冠亞軍.問：①共需比賽多少場？②如果實行主客場制（即A、B兩個隊比賽時，既要在A隊所在的城市比賽一場，也要在B隊所在的城市比賽一場），共需比賽多少場？ 答案：110場

3在一個半圓周上共有12個點，如右圖，以這些點為頂點，可以畫出多少個 ①三角形？ ②四邊形？

答案：①210個 ②420個 4.如下圖，問

①下左圖中，有多少個長方形（包括正方形）？ ②下右圖中，有多少個長方體（包括正方體）？

答案：①左圖中共有210個長方形.②右圖中共有900個長方體.5．甲、乙、丙、丁4人各有一個作業本混放在一起，4人每人隨便拿了一本，問： ①甲拿到自己作業本的拿法有多少種？ ②恰有一人拿到自己作業本的拿法有多少種？ ③至少有一人沒有拿到自己作業本的拿法有多少種？ ④誰也沒有拿到自己作業本的拿法有多少種？ 解：①6 ②8 ③23 ④9

33261．計算：C4；P?C88?C8 答案：224； 28.2.由數字0、1、2、3、4可以組成多少個 ①三位數？

②沒有重復數字的三位數？ ③沒有重復數字的三位偶數？ ④小于1000的自然數？

答案：①100；②48；③30；④124.3.將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？ 答案：4

4.從15名同學中選5人參加數學競賽，求分別滿足下列條件的選法各有多少種？ ①某兩人必須入選； ②某兩人中至少有一人入選； ③某三人中恰入選一人； ④某三人不能同時都入選.答案：① 286；②1716；③1485；④2937.5.如右圖，兩條相交直線上共有9個點，問：一共可以組成多少個不同的三角形？ 答案：60.6.計算下左圖中有多少個梯形？ 3

22答案：C6×C6＝225； 7.計算下右圖中有多少個長方體？

222答案C5×C6×C5＝1500.8.七個同學照相，分別求出在下列條件下有多少種站法？ ①七個人排成一排；

②七個人排成一排，某兩人必須有一人站在中間； ③七個人排成一排，某兩人必須站在兩頭； ④七個人排成一排，某兩人不能站在兩頭；

⑤七個人排成兩排，前排三人，后排四人，某兩人不在同一排.答案：①5040；②1440；③240；④ 2400；⑤ 2880.

第二篇：小五數學第6講組合(學生版)

第6講組合

組合定義：一般地，從n個不同元素中取出m個（m≤n）元素組成一組不計較組內各元素的次序，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.由組合的定義可以看出，兩個組合是否相同，只與這兩個組合中的元素有關，而與取到這些元素的先后順序無關.只有當兩個組合中的元素不完全相同時，它們才是不同的組合.從n個不同元素中取出m個元素（m≤n）的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取

m出m個不同元素的組合數.記作Cn.一般地，求從n個不同元素中取出m個元素排成一列的排列數Pnm可以分兩步求得：

m第一步：從n個不同元素中取出m個元素組成一組，共有Cn種方法；

第二步：將每一個組合中的m個元素進行全排列，共有Pnm種排法.故由乘法原理得到：P是組合數公式.mn?m一般地，組合數有下面的重要性質：Cn＝Cn（m≤n）n0規定Cn＝1，Cn＝1.mn＝

Cmn·

Pmn，因此

Pnmn?n?1??n?2?????n?m?1?這就C?m?m?m?1??m?2????3?2?1Pmmn

教學重點: 掌握組合應用題

教學難點：正確利用加法原理、乘法原理，計算出所要求的組合鐘數

負數

數學家、生物學家和物理學家坐在街頭咖啡屋里，看著人們從街對面的一間房子走進走出。他們先看到兩個人進去，時光流逝，他們又看到三個人出來。物理學家:“測量不夠準確?！鄙飳W家：“他們進行了繁殖?！睌祵W家:“如果現在再進去一個人，那房子就空了?！?/p>

1．某客輪航行于天津、青島、大連三個城市之間.那么，船票共有幾種價格（往返票價相同）？

2.計算： C6C6

551983 計算：①C200；②C56；

4從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，作成一道兩個一位數的乘法題，問： ①有多少個不同的乘積？ ②有多少個不同的乘法算式？ 在一個圓周上有10個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出多少不同的①直線段，②三角形，③四邊形？ 如下圖，問：

①下左圖中，共有多少條線段？ ②下右圖中，共有多少個角？

1.計算：

31998①C15；②C2000；

A

2.從分別寫有1、2、3、4、5、6、7、8的八張卡片中任取兩張作成一道兩個一位數的加法題.問：

①有多少種不同的和？ ②有多少個不同的加法算式？

3.某班畢業生中有10名同學相見了，他們互相都握了一次手，問這次聚會大家一共握了多少次手？

4.在圓周上有12個點.①過每兩個點可以畫一條直線，一共可以畫出多少條直線？ ②過每三個點可以畫一個三角形，一共可以畫出多少個三角形？

5.5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為多少種？

B 98100341.計算：C100 ?2C100C12?2C

52．有4名學生報名參加數學、物理、化學競賽，每人限報一科，有多少種不同的報名方法？

3.有4名學生參加爭奪數學、物理、化學競賽冠軍，有多少種不同的結果？

4.1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？

5.有七名學生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少種？

C 1.7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區公益活動。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種（用數字作答）。

2.將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案有種（用數字作答）．

3．某校舉行排球單循環賽，有12個隊參加.問：共需要進行多少場比賽？

4．某班要在42名同學中選出3名同學去參加夏令營，問共有多少種選法？如果在42人中選3人站成一排，有多少種站法？

5、由0，1，2，3，4，5這六個數字。（1）能組成多少個無重復數字的四位數？（2）能組成多少個無重復數字的四位偶數？

（3）能組成多少個無重復數字且被25個整除的四位數？（4）組成無重復數字的四位數中比4032大的數有多少個？

1由數字0、1、2、3可以組成多少個沒有重復數字的偶數？

2.國家舉行足球賽，共15個隊參加.比賽時，先分成兩個組，第一組8個隊，第二組7個隊.各組都進行單循環賽（即每個隊要同本組的其他各隊比賽一場）.然后再由各組的前兩名共4個隊進行單循環賽，決出冠亞軍.問：①共需比賽多少場？②如果實行主客場制（即A、B兩個隊比賽時，既要在A隊所在的城市比賽一場，也要在B隊所在的城市比賽一場），共需比賽多少場？

3在一個半圓周上共有12個點，如右圖，以這些點為頂點，可以畫出多少個 ①三角形？ ②四邊形？

4.如下圖，問

①下左圖中，有多少個長方形（包括正方形）？ ②下右圖中，有多少個長方體（包括正方體）？

5．甲、乙、丙、丁4人各有一個作業本混放在一起，4人每人隨便拿了一本，問： ①甲拿到自己作業本的拿法有多少種？ ②恰有一人拿到自己作業本的拿法有多少種？ ③至少有一人沒有拿到自己作業本的拿法有多少種？ ④誰也沒有拿到自己作業本的拿法有多少種？

33261．計算：C4；P?C88?C8

2.由數字0、1、2、3、4可以組成多少個 ①三位數？

②沒有重復數字的三位數？ ③沒有重復數字的三位偶數？ ④小于1000的自然數？

3.將3封不同的信投入4個不同的郵筒，則有多少種不同投法？

4.從15名同學中選5人參加數學競賽，求分別滿足下列條件的選法各有多少種？ ①某兩人必須入選； ②某兩人中至少有一人入選； ③某三人中恰入選一人； ④某三人不能同時都入選.5.如右圖，兩條相交直線上共有9個點，問：一共可以組成多少個不同的三角形？

6.計算下左圖中有多少個梯形？

7.計算下右圖中有多少個長方體？

8.七個同學照相，分別求出在下列條件下有多少種站法？ ①七個人排成一排；

②七個人排成一排，某兩人必須有一人站在中間； ③七個人排成一排，某兩人必須站在兩頭； ④七個人排成一排，某兩人不能站在兩頭；

⑤七個人排成兩排，前排三人，后排四人，某兩人不在同一排.

第三篇：小五數學第15講：牛吃草(教師版)

第十五講

牛吃草問題

牛吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?0頭牛吃3天，供6頭牛吃幾天？”這題很簡單，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草地”，問題就不那么簡單了。因為草每天走在生長，草的數量在不斷變化。這類工作總量不固定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。

解題思路培養：解答這類題的關鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因為是勻速生長，所以每天新長出的草是不變的。正確計算草地上原有的草及每天長出的草，問題就容易解決了。

掌握四個基本：公式解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是︰

假設定一頭牛一天吃草量為“1”

1）草的生長速度＝（對應的牛頭數×吃的較多天數－相應的牛頭數×吃的較少天數）÷（吃的較多天數－吃的較少天數）；

2）原有草量＝牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；`

3）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

4）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。

1.牧場上有一片牧草，可供27頭牛吃6周，或者供23頭牛吃9周。如果牧草每周勻速生長，可供21頭牛吃幾周？

答案：12周

解析：27×6=16223×9=207207-162=4545/(9-6)=15每周生長數 162-15×6=72(原有量)72/(21-15)=12周

2.有一口水井，如果水位降低，水就不斷地勻速涌出，且到了一定的水位就不再上升?，F在用水桶吊水，如果每分吊4桶，則15分鐘能吊干，如果每分鐘吊8桶，則7分吊干?，F在需要5分鐘吊干，每分鐘應吊多少桶水？

答案：11桶

解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.5(每分鐘涌量)60-15×0、5=52、5（原有水量）

52、5+/(5×0.5)/5=11桶

3.有一片牧草，每天以均勻的速度生長，現在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，則24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

答案：49人

解析：17×30=51019×24=456510-456=5454/(30-24)=9每天生長量 510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人

4.有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現在這桶酒如果給6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天？

答案：4人

解析：6×4=244×5=2024-20=44/(5-4)=4每天漏掉數 24+4×4=40原有數

這桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天

5.一水庫存水量一定，河水均勻入庫。5臺抽水機連續20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續15天可抽干。若要6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？

答案：12臺

解析：5×20=1006×15=90100-90=1010/（20-15）=2每天入庫數 100-20×2=60原有庫存數60+2×6=7272/6=12臺

6.自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小紅要從扶梯上樓，已知小明每分鐘走20梯級，小紅每分鐘走14梯級，結果小明4分鐘到達樓上，小紅用5分鐘到達樓上，求扶梯共有多少級？

答案：120 解析：20×4=8014×5=7080-70=1010/（5-4）=10每分鐘減少數 80+4×10=120原有數70+5×10=120

A

1.牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15 頭牛吃10天。問：這片牧草可供25頭牛吃多少天？ 答案：5天

解析：假設1頭牛1天吃的草的數量是1份 草每天的生長量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份??原草量+20天的生長量 原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份??原草量+10天的生長量

100÷（25-5）=5天

2.牧場上長滿了青草，而且每天還在勻速生長，這片牧場上的草可供9頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，如果要供18頭牛吃，可吃幾天？

解析：假設1頭牛1天吃的草的數量是1份 草每天的生長量：（180-150）÷（20-10）=3份

9×20=180份??原草量+20天的生長量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×3=120份 15×10=150份??原草量+10天的生長量 120÷（18-3）=8天

3.由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊 草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？ 解析：假設1頭牛1天吃的草的數量是1份 草每天的減少量：（100-90）÷（6-5）=10份

20×5=100份??原草量-5天的減少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份 15×6=90份??原草量-6天的減少量（150-10×10）÷10=5頭

4.由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均勻的速度減少，經測算，牧場上的草可供30頭牛吃8天，可供25頭牛吃9天，那么可供21頭牛吃幾天？

解析：假設1頭牛1天吃的草的數量是1份 草每天的減少量：（240-225）÷（9-8）=15份

30×8=240份??原草量-8天的減少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份 25×9=225份??原草量-9天的減少量 360÷（21+15）=10天

5.自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每

分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？

解析：男孩：20×5 =100（級）自動扶梯的級數-5分鐘減少的級數 女孩;15×6=90（級）自動扶梯的級數-6分鐘減少的級數 每分鐘減少的級數=(20×5-15×6)÷(6-5)=10(級)自動扶梯的級數=20×5+5×10=150（級）

B 6.兩個頑皮孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級階梯，女孩每秒可走2級階梯，結果從扶梯的一端到達另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問該扶梯共有多少級？

解析：3×100=300自動扶梯級數+100秒新增的級數 2×300=600自動扶梯級數+300秒新增的級數

每秒新增的級數：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（級）自動扶梯級數=3×100-100×1.5=150（級）

7.有一片牧場，操每天都在勻速生長（每天的增長量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完草，如果放牧21頭牛，則8天吃完草，設每頭牛每天的吃草量相等，問：要使草永遠吃不完，最多只能放牧幾頭牛？ 解析：假設1頭1天吃1個單位 24*6=144 21*8=168 168-144=24 每天長的草可供24/2=12頭牛吃 最多只能放12頭牛

8.有一片草地，草每天生長的速度相同。這片草地可供5頭牛吃40天，或6供頭牛吃30天。如果4頭牛吃了30天后，又增加2頭牛一起吃，這片草地還可以再吃幾天？ 解析：假設1頭1天吃1個單位 5*40=200；6*30=180 200-180=20 每天長的草:20/(40-30)=2 原有草：200-2*40=120 4*30=120，30*2=60 60/4=15天

9.假設地球上新增長資源的增長速度是一定的，照此推算，地球上的資源可供110億人生活90年，或可供90億人生活210年，為了人類不斷繁衍，那么地球最多可以養活多少億人？ 解析：假設1億人頭1天吃1個單位 110*90=9900；90*210=18900 18900-9900=9000 9000/(210-90)=75 10.兩只蝸牛由于耐不住陽光照射，從井頂走向井底，白天往下走，一只蝸牛一個白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，兩只蝸牛下滑速度相同，結果一只蝸牛5晝夜到達井底，另一只卻恰好用了6晝夜。問井深是多少？

解析：20×5=10015*6=90100-90=1010/(6-5)=10黒夜下滑數 100+5×10=15015×6+10×6=150

C

11.李村組織農民抗旱，從一個有地下泉的池塘擔水澆地。如果50人擔水，20小時可把池水擔完。如果70人擔水，10小時可把池水擔完?，F有130人擔水，幾小時可把池水擔完？

解析：50×20=100070×10=7001000-700=300300/(20-10)=30每小時增加1000-30×20=400原有

400/(130-30)=4小時 12.一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么這片草地可供21頭牛吃幾周？

解析：這片草地上的草的數量每天都在變化，解題的關鍵應找到不變量——即原來的草的數量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應注意到是勻速生長，因而這片草地每天新長出的草的數量也是不變的。

假設1頭牛一周吃的草的數量為1份，那么27頭牛6周需要吃27×6=162（份），此時新草與原有的草均被吃完；23頭牛9周需吃23×9=207（份），此時新草與原有的草也均被吃完。而162份是原有的草的數量與6周新長出的草的數量的總和；207份是原有的草的數量與9周新長出的草的數量的總和，因此每周新長出的草的份數為：（207-162）÷（9-6）=15（份），所以，原有草的數量為：162-15×6=72（份）。這片草地每周新長草15份相當于可安排15頭牛專吃新長出來的草，于是這片草地可供21 頭牛吃72÷（21-15）＝12（周）

13.一塊1000平方米的牧場能讓12頭牛吃16個星期，或讓18頭牛吃8個星期，那么一塊4000平方米的牧場6個星期能養活多少頭牛？

解析：12×16-18×8=192-144=4848/(16-8)=6每星期生長數 192-16×6==96原有數96+6×6=132132/6=2222×4=88頭

14.有一只船有一個漏洞，水用均勻的速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果用12個人淘水，3小時可以淘完。如果只有5個人淘水，要10小時才能淘完?，F在要想2小時淘完，需要多少人？

解析：12×3=365×10=5050-36=1414/(10-3)=2每小時增加數 36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人

15.有一個水井，水不斷由泉涌出，井滿則溢出。若用4臺抽水機，15小時可把井水抽干。若用8臺抽水機，7小時可把井水抽干?，F在要用幾臺抽水機，能5小時把井水抽干？

解析：4×15=608×7=5660-56=44/(15-7)=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11臺

1.一片草地，每天都勻速長出青草。如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天吃完。那么可供19頭牛吃幾天？

答案：12天

解析：6天時共有草：24×6＝144 10天時共有草：20×10＝200 草每天生長的速度為：（200－144）÷（10－6）＝14 原有草量：144－6×14＝60 可供19頭牛： 60÷（19－14）＝12（天）

2.牧場有一片青草，每天生成速度相同。現在這片牧場可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天，如果一頭牛一天吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？

解析：思路，把羊轉化為牛

4羊＝1牛，“也可以供80只羊吃12天”相當于“20頭牛吃12天”

現在是“10頭牛與60只羊一起吃這一片草”相當于“10＋60÷4＝25頭牛吃草” [16-x]*20=[20-x]*12=[25-x]*y x=10

y=8 3.某牧場上長滿牧草，每天勻速生長,這片牧草供17頭牛吃30天,19頭牛吃24天,現有一群牛吃了6天,主人賣掉了4頭牛,余下的牛吃了兩天后剛好把草吃完,問這群牛原有幾頭? 解析：設原有Y頭，x還是“剪草的” [17-x]*30=[19-x]*24=[y-x]*6+[y-4-x]*2 注意：剩下的2天已經賣掉了4頭牛，要分開計算（y-x-4）*（6+2），這樣列式就錯了 x=9 y=40 4.某市水庫水量的增長速度是一定的，可供全市12萬人使用20年，在遷入3萬人之后，只能供全市人民使用15年，市政府號召大家節約用水，希望將水庫的使用壽命延長至30年，那么居民平均需要節約用水量的比例是多少?()A.2/5 B.2/7 C.1/3 D.1/4 答案：A

解析：

[12-x]*20=[15-x]*15=[y-x]*30 x=3

y=9 15-9=6 即多出6萬人，這6萬人要用15萬人的6/15=2/5 5.有一個水池，池底有一個出水口，用3臺抽水機24小時可將水抽完，用9臺抽水機12小時可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長時間將水漏完？

解析：（3-X）*24=（9-X）*12 得X=-3(不要理會負數，按正3理解好了)帶入X到上式，（（3+3）*24）/X=48所以是48

1.旅客在車站候車室等車,并且排隊的乘客按一定速度增加,檢查速度也一定,當車站放一個檢票口,需用半小時把所有乘客解決完畢,當開放2個檢票口時,只要10分鐘就把所有乘客OK了 求增加人數的速度還有原來的人數

解析：設一個檢票口一分鐘一個人

1個檢票口30分鐘30個人

2個檢票口10分鐘20個人

(30-20)÷(30-10)=0.5個人

原有1×30-30×0.5=15人

或2×10-10×0.5=15人

2.有三塊草地，面積分別是5，15，24畝。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，問第三塊地可供多少頭牛吃80天？

解析：這是一道是比較復雜的牛吃草問題。

把每頭牛每天吃的草看作1份。

因為第一塊草地5畝面積原有草量＋5畝面積30天長的草＝10×30＝300份

所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長的草是300÷5＝60份

因為第二塊草地15畝面積原有草量＋15畝面積45天長的草＝28×45＝1260份

所以每畝面積原有草量和每畝面積45天長的草是1260÷15＝84份

所以45－30＝15天，每畝面積長84－60＝24份

所以，每畝面積每天長24÷15＝1.6份

所以，每畝原有草量60－30×1.6＝12份

第三塊地面積是24畝，所以每天要長1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份

新生長的每天就要用38.4頭牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要夠吃80天，因此288÷80＝3.6頭牛

所以，一共需要38.4＋3.6＝42頭牛來吃。

兩種解法：

解法一：

設每頭牛每天的吃草量為1，則每畝30天的總草量為：10*30/5=60；每畝45天的總草量為：28*45/15=84那么每畝每天的新生長草量為(84-60)/(45-30)=1.6每畝原有草量為60-1.6*30=12，那么24畝原有草量為12*24=288，24畝80天新長草量為24*1.6*80=3072，24畝80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(頭)解法二：

10頭牛30天吃5畝可推出30頭牛30天吃15畝，根據28頭牛45天吃15畝，可以推出15畝每天新長草量(28×45-30×30)/(45-30)=24；15畝原有草量：1260-24×45=180；15畝80天所需牛180/80+24(頭)24畝需牛：(180/80+24)*(24/15)=42頭

3.一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解析：這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量

因為，3小時內的總水量＝1×12×3＝原有水量＋3小時進水量 10小時內的總水量＝1×5×10＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時內的進水量為

1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小時的進水量為

14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小時進水量＝36－2×3＝30（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時）答：17人2小時可以淘完水。

4.牧場上有一片均勻生長的牧草，可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天。那么它可供21頭牛吃幾天？ 解析：將它想象成一個非常理想化的數學模型：假設27頭牛中有X頭是“剪草工”，這X頭牛只負責吃“每天新長出的草，并且把它們吃完”，這樣以來草場相當于不長草，永遠維持原來的草量，而剩下的(27－X)頭牛是真正的“顧客”，它們負責把草場原來的草吃完。（請慢慢理解，這是關鍵）

設每天新增加草量恰可供X頭牛吃一天,21?？沙訷天（后面所有X均為此意）可供27頭牛吃6天，列式:（27－X）·6 注：（27－X）頭牛6天把草場吃完 可供23頭牛吃9天，列式:（23－X）·9 注：（23－X）頭牛9天把草場吃完 可供21頭牛吃幾天？列式：（21－X）·Y 注：（21－X）頭牛Y天把草場吃完 因為草場草量已被“清潔工”修理過，總草量相同，所以，聯立上面1、2、3（27－X）·6＝（23－X）·9＝（21－X）·Y（27－X）·6＝（23－X）·9 【1】（23－X）·9＝（21－X）·Y 【2】

解這個方程組，得 X＝15（頭）

Y＝12（天）

5.有三塊草地，面積分別為5，6和8公頃．草地上的草一樣厚，而且長得一樣快．第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天．問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

解析：現在是三塊面積不同的草地．為了解決這個問題，需要將三塊草地的面積統一起來．（這是面積不同時得解題關鍵）求【5，6，8】得最小公倍數為120

1、因為5公頃草地可供11頭牛吃10天，120÷5＝24，所以120公頃草地可供11*24＝264(頭)牛吃10天．

2、因為6公頃草地可供12頭牛吃14天，120÷6＝20，所以120公頃草地可供12*20＝240(頭)牛吃14天． 3、120÷8＝15，問題變為：120公頃草地可供19*15＝285(頭)牛吃幾天？ 這樣一來，例2就轉化為例1，同理可得：

（264－X）·10＝（240－X）·14＝（285－X）·Y（264－X）·10＝（240－X）·14

【1】（240－X）·14＝（285－X）·Y

【2】 解方程組：X=180（頭）

Y=8（天）典型例題“牛吃草”已介紹完畢。

6.有三塊草地，面積分別為5，6，和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草薦地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

解析：前幾天我們接觸的是在同一塊草地上，同一個水池中，現在是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題，只需將三塊草地的面積統一起來。即

[5，6，8]=120 這樣，第一塊5公頃可供11頭牛吃10天，120÷5=24，變為120公頃草地可供11×24=264（頭）牛吃10天

第二塊6公頃可供12頭牛吃14天，120÷6=20，變為120公頃草地可供12×20=240（頭）牛吃14天。

120÷8=15。問題變成：120公頃草地可供19×15=285（頭）牛吃幾天？ 因為草地面積相同，可忽略具體公頃數，原題可變為：

一塊草地勻速生長，可供264頭牛吃10天或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛齒及天？即 每天新長出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份）草地原有草：（264—180）×10=840（份）

可供285頭牛吃的時間：840÷（285—180）=8（天）答：第三塊草地可供19頭牛吃8天。

7.一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天那么可供18頭牛吃幾天？

答案：15天．

解析：設1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原來的草量是（24-14）×6=60份。可供18頭牛吃60÷（18-14）=15 8.由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以固定的速度在減少，經計算，牧

場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？ 答案：8天

解析：設一頭牛一天吃的草量為一份。牧場每天減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃120÷(11+4)=8天。

第四篇：組合數學教案第9講..

教案

教研室:數學分析教研室 教師姓名:授課時間: 課程名稱 專業課選講 授課專業和班級 數學 0603授課內容 §3.4相對位置上有限制的排列問題 授課學時 2學時 教學目的 應用容斥原理解決實際問題

教學重點 總集 S 及各個子集 i A 的建立

教學難點 涉及的集合中的元素的個數的求法 教具和媒體使用 板書 教學方法 講授法、討論法

教 學 過 程 包括復習舊課、引入新課、重點難點講授、置、問題討論、歸納總結及課后輔導等內容 時間分配(90分鐘

一、復習舊課 ①重集的 r 組合 ②錯排問題

二、引入新課

三、重點難點講授

1、相對位置上有限制的排列問題

作業和習題布

2、有限制的排列問題與錯排問題的關系

3、應用

四、作業和習題布置

五、歸納總結

10分 5分 30分 20分 15分 5分 5分

板 書 設 計 §3.4相對位置上有限制的排列問題

1、相對位置上有限制的排列問題

2、有限制的排列問題與錯排問題的關系

3、應用 講授新 拓展內容 課后總結

教研室主任簽字 年 月 日 講 稿 授 課 內 容 備注

一、復習舊課

1、重集的-r 組合

2、錯排問題

二、引入新課

n 個小學生列隊散步,除第一個學生外,每個學生前面都有另一個

學生,由于學生們不喜歡每天排在自己前面的同學總是一個人,他們希 望每天都要改變一個排在自己前面的那個人,問有多少種方式改變他們 的位置。

三、重點難點講授

這個問題實質上是一個相對位置上有限的排列問題。將它抽象成一 般的數學問題:對于給定的正整數 n ,計算集合{1,2, ···, n }的且不 允許出現 12,23,34, ···, n n 1(-的全排列個數 n Q。

對于這個問題,有下列定理,其結論就是該問題的解。定理 1:對于 1≥n 有!2(21!1(11!-??? ?

??-+-???? ??--=n n n n n Q n!111 1(...1 ???? ?

??---+--n n n 證明:設 S 是集合{1,2, ···, n!n S =令 1,..., 2, 1(-=n j p j 表示 S 中的排列具有形式 1(+j j 出現這一性 質。而 j A 1,..., 2, 1(-=n j 表示 S 中具有性質 j p 的排列組成的集合。于是

S 中不具有性質 121,..., ,-n p p p 的排列的集合為 121...-n。因而有 1 21...-=n n Q

講 稿 授 課 內 容 備注

由容斥原理有 1 21...-=n n Q ∑∑≠-=+-=j i j i n i i A A A S 1 1 1 211...1(...--≠≠-++-∑n n j i k j i A A A A A A 由于 j A 表示 S 中具有性質 j p 的排列所組成的集合。于是 1A 中的一 個排列可以看作是具有 1(-n 元素{12, ···, n }的一個排列,有

!1(1-=n A 同理!

1(-=n A j 1,..., 3, 2(-=n j 又由于 j i A A 表示 S 中同時具有性質 j i p p , 的排列所組成的集合。于是 21A A 中的一個排列可以看作是具有 2(-n 個元素{123, 4, 5, ···n }的一個排列,因此有

!2(2 1-=n A A 同理!2(31-=n A A!2(-=n A A j i 一般地,有!(...21k n A A A k i i i-= 將以上值代人 n Q 表達式可得!2(21!1(11!-??? ?

??-+-???? ??--=n n n n n Q n 講 稿 授 課 內 容

備注!111 1(...1???? ?

??---+--n n n 總結:相對位置上有限制的錯排也是錯排的問題,可以看作是錯排 問題的一種特殊情況。

定理 2:當 2≥n 時,有 1-+=n n n D D Q 例 有 n 名兒童坐在一旋轉木馬上,問有多少種方式改變他們的座

次,能使得:每個兒童有一個不同的兒童坐在他們的前面。

解:問題的實質是求集合 {}n ,..., 2, 1的圓排列中不出現 12, 23, ···, n n 1(-, 1n 的圓排列個數。

設 S 是集合 { }n ,..., 2, 1的所有圓排列組成的集合,則!1(-=n S 又設 i p 1,..., 2, 1(-=n i 表示 S 中圓排列具有 1(+i i 形式這一性質。n p 表示圓排列具有 1n 形式這一性質。令 ,..., 2, 1(n i A i =表示 S 中具有性 質 i p 的元素組成的集合,則 n...21就表示 S 中不具有性質 n p p p ,..., , 21的元素組成的集合。由容斥原理 ∑∑≠=+-=j

i j i n i i n A A A S 1 21...n n j i k j i A A A A A A...1(...21-++-∑≠≠由于 1A 是所有圓排列中出現 12的圓排列的集合, 故 1A 的一個圓排 列可以看成是具有 1-n 個元素的集合 { }n ,..., 3, 12的一個圓排列,因此有 講 稿 授 課 內 容 備注!2(1-=n A 同理!2(-=n A i n i ,..., 3, 2-類似, 21A A 中的一個圓排列可以看成是具有 2-n 個元素的集合

{}n ,..., 4, 123的一個圓排列,故有!3(21-=n A A 同理!3(-=n A A j i ,..., 2, 1,;(n j i j i =≠一般地,對于 11-≤≤n k ,有!1(...21--=k n A A A k i i i 1...21=n A A A 故所求方式數為...!2(1!1(...21+-??? ?

??--=n n n n 1 1(!01 1(1????

? ??-+???? ??--+-n n n n n n

四、作業和習題布置 課本中 1855-P。

五、歸納總結

本節介紹相對位置上有限制的排列問題和相對位置上有限制的排 列問題與錯排問題的關系,在應用時技巧性較強,需多加練習。

講 授 課 內 容 參考教材： 稿 備注

1、教材：孫世新 編 組合數學（第三版）電子科技大學出版社出版 1999

2、孫淑玲 編 組合數學引論 中國科學技術大學出版社

3、盧開澄 編 組合數學 清華大學出版社

4、楊振生 編 組合數學及其算法中國科學技術大學出版社

第五篇：系統安全第6講

今天任務：防火墻的認識及基本配置

一、上次任務的回顧

二、防火墻的認識（P66），聽我講，關鍵是理解；

三、安裝ISA服務器；P67~P74

四、配置ISA防火墻客戶端，最終實現客戶端能以web代理方式和Secure NAT 方式上網；P75~P79

說明：安裝ISA服務器需要2塊網卡，由于實驗室環境只有1塊網卡，故在虛擬機里要添加虛擬的網卡；具體方法如下；

附：安裝ISA服務器的準備工作，首先選擇一臺windows 2003 server 添加一塊網卡，模式為host-only，設定IP地址為私有地址，比如192.168.×.×/24系列，另一塊真實的為橋接模式，再開啟一臺虛擬機，把真實的網卡模式設定為host-only，設定IP地址為私有地址，比如192.168.×.×/24，和先前設定的同一網段，不需要添加另外的虛擬網卡。