第一篇：五年級數學奧數基礎課程教案(30講)

小學奧數基礎教程（五年級）

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第1講數字迷

（一）第2講 數字謎(二)第3講 定義新運算(一)第4講 定義新運算(二)第5講 數的整除性(一)第6講 數的整除性(二)第7講 奇偶性

（一）第8講 奇偶性

（二）第9講 奇偶性

（三）第10講 質數與合數 第11講 分解質因數

第12講 最大公約數與最小公倍數

（一）第13講最大公約數與最小公倍數

（二）第14講 余數問題

第15講 孫子問題與逐步約束法 第16講 巧算24 第17講 位置原則 第18講 最大最小

第19講 圖形的分割與拼接 第20講 多邊形的面積 第21講 用等量代換求面積 第22 用割補法求面積 第23講 列方程解應用題 第24講 行程問題

（一）第25講 行程問題

（二）第26講 行程問題

（三）第27講 邏輯問題

（一）第28講 邏輯問題

（二）第29講 抽屜原理(一)第30講 抽屜原理(二)

第1講 數字謎

（一）數字謎的內容在三年級和四年級都講過，同學們已經掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。

這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要講述數字謎的代數解法及小數的除法豎式問題。

例1 把+，-，×，÷四個運算符號，分別填入下面等式的○內，使等式成立（每個運算符號只準使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析與解：因為運算結果是整數，在四則運算中只有除法運算可能出現分數，所以應首先確定“÷”的位置。

當“÷”在第一個○內時，因為除數是13，要想得到整數，只有第二個括號內是13的倍數，此時只有下面一種填法，不合題意。

（5÷13-7）×（17+9）。

當“÷”在第二或第四個○內時，運算結果不可能是整數。

當“÷”在第三個○內時，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 將1～9這九個數字分別填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

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6-23

解：豎式中除數與8的積是三位數，而與商的百位和個位的積都是四位

數，所以x=112，被除數為989×112=110768。右上式為所求豎式。

代數解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數情況還要用傳統的方法。

例4 在□內填入適當數字，使下頁左上方的小數除法豎式成立。

分析與解：先將小數除法豎式化為我們較熟悉的整數除法豎式（見下頁右上方豎式）?？梢钥闯?，除數與商的后三位數的乘積是1000=2×5的倍數，即除數和商的后三位數一個是2=8的倍數，另一個是5=125的奇數倍，因為除數是兩位數，所以除數是8的倍數。又由豎式特點知a=9，從而除數應是96

333的兩位數的約數，可能的取值有96，48，32，24和16。因為，c=5，5與除數的乘積仍是兩位數，所以除數只能是16，進而推知b=6。因為商的后三位數是125的奇數倍，只能是125，375，625和875之一，經試驗只能取375。至此，已求出除數為16，商為6.375，故被除數為6.375×16=102。右式即為所求豎式。

求解此類小數除法豎式題，應先將其化為整數除法豎式，如果被除數的末尾出現n個0，則在除數和商中，一個含有因子2（不含因子5），另一個含有因子5（不含因子2），以此為突破口即可求解。

例5 一個五位數被一個一位數除得到下頁的豎式（1），這個五位數被另一個一位數除得到下頁的豎式（2），求這個五位數。n

n

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根據以上的規定，求10△6 的值。

3，x>=2，求x的值。

分析與解：按照定義的運算，<1，2，3，x>=2，x=6。

由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應避免使用課本上明確定義或已經約定俗成的符號，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止發生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=a×b-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。

分析與解：按新運算的定義，符號“⊙”表示求兩個數的平均數。

四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。

按通常的規則從左至右進行運算。

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7.對于任意的兩個數P，Q，規定 P☆Q=（P×Q）÷4。例如：2☆8=（2×8）÷4。已知x☆（8☆5）=10，求x的值。

8.定義： a△b=ab-3b，a 9.已知： 2 4 求（4

第4講 定義新運算

（二）例1 已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。

分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結果。但是，根據四則運算的法則，我們可以先把新運算“※”化簡，再求結果。

a※b=（a+b）-（a-b）

=a+b-a+b=2b。

所以，9※2=2×2=4。

由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。

例2 定義運算：a⊙b=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數，k為常數。比如：2⊙7=3×2+5×2×7+7k。

（1）已知5⊙2=73。問：8⊙5與5⊙8的值相等嗎？

（2）當k取什么值時，對于任何不同的數a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新運算“⊙”符合交換律？

分析與解：（1）首先應當確定新運算中的常數k。因為5⊙2=3×5+5×5×2+k×2

=65+2k，所以由已知 5⊙2=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）÷2=4。定義的新運算是：a⊙b=3a+5ab+4b。

8⊙5=3×8+5×8×5+4×5=244，5⊙8=3×5+5×5×8+4×8=247。

因為244≠247，所以8⊙5≠5⊙8。

（2）要使a⊙b=b⊙a，由新運算的定義，有

3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0，3×(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。

對于兩個任意數a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

當新運算是a⊙b=3a+5ab+3b時，具有交換律，即 a⊙b=b⊙a。

例3 對兩個自然數a和b，它們的最小公倍數與最大公約數的差，定義為a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。

比如，10和14的最小公倍數是70，最大公約數是2，那么10☆14=70-2=68。

（1）求12☆21的值；

（2）已知6☆x=27，求x的值。

分析與解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81；

（2）因為定義的新運算“☆”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數代入表達式求x，只能用推理的方法。3=2×3×4，3）的值。5=4×5×6×7×8，??

4）÷（3b=4a-b/a。計算：（4△3）△（2b）。

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因為6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6與x的最大公約數（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數[6，x]只能是28，29，30，33。這四個數中只有 30是 6的倍數，所以 6與x的最小公倍數和最大公約數分別是30和3。因為a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15。

例4 a表示順時針旋轉90°，b表示順時針旋轉180°，c表示逆時針旋轉90°，d表示不轉。定義運算“◎”表示“接著做”。求：a◎b；b◎c；c◎a。

分析與解： a◎b表示先順時針轉90°，再順時針轉180°，等于順時針轉270°，也等于逆時針轉90°，所以a◎b=c。

b◎c表示先順時針轉180°，再逆時針轉90°，等于順時針轉90°，所以b◎c=a。

c◎a表示先逆時針轉90°，再順時針轉90°，等于沒轉動，所以c◎a=d。

對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關于“◎”的運算表（見下表）。比如c◎b，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是c◎b的結果。因為運算◎符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結果。

例5 對任意的數a，b，定義：f（a）=2a+1，g（b）=b×b。

（1）求f（5）-g（3）的值；

（2）求f（g（2））+g（f（2））的值；

（3）已知f（x+1）=21，求x的值。

解：（1）f（5）-g（3）=（2×5+1）-（3×3）=2；

（2）f（g（2））+g（f（2））

=f（2×2）+g（2×2+1）

=f（4）+g（5）=（2×4+1）+（5×5）=34；

（3）f（x+1）=2×（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x=9。

練習4

2.定義兩種運算“※”和“△”如下：

a※b表示a，b兩數中較小的數的3倍，a△b表示a，b兩數中較大的數的2.5倍。

比如：4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。

計算：[(0.6※0.5)+(0.3△0.8)]÷[(1.2※0.7)-(0.64△0.2)]。

4.設m，n是任意的自然數，A是常數，定義運算m⊙n=（A×m-n）÷4，并且2⊙3=0.75。試確定常數A，并計算：（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。

5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內所作的旋轉運動：

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a表示順時針旋轉240°，b表示順時針旋轉120°，c表示不旋轉。

運算“∨”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。

6.對任意兩個不同的自然數a和b，較大的數除以較小的數，余數記為a

（1）計算：1998

（2）已知112000，（519）

19，5

（195）；

x=4，x小于20，求x的值。

b。比如7

3=1，5

29=4，4-10

因為能被11整除的五位數很多，而各數位上的數字之和等于43的五位數較少，所以應選擇①為突破口。有兩種情況：

（1）五位數由一個7和四個9組成；

（2）五位數由兩個8和三個9組成。

上面兩種情況中的五位數能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據被11整除的數的特征，如果奇數位數字之和是27，偶數位數字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數是： 97999，99979，98989。

例5 能不能將從1到10的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除？

分析與解：10個數排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。

假設題目的要求能實現。那么由題意，從前到后每兩個數一組共有5組，每組的兩數之和都能被3整除，推知1～10的和也應能被3整除。實際上，1～10的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設不成立，所以題目的要求不能實現。

練習5

1.已知4205和2813都是29的倍數，1392和7018是不是29的倍數？

2.如果兩個數的和是64，這兩個數的積可以整除4875，那么這兩個數的差是多少？

3.173□是個四位數。數學老師說：“我在這個□中先后填入3個數字，所得到的 3個四位數，依次可以被9，11，6整除?！眴枺簲祵W老師先后填入的3個數字之和是多少？

班有多少名學生？

6.能不能將從1到9的各數排成一行，使得任意相鄰的兩個數之和都能被3整除？

第6講 數的整除性

（二）我們先看一個特殊的數——1001。因為1001=7×11×13，所以凡是1001的整數倍的數都能被7，11和13整除。

能被7，11和13整除的數的特征：

如果數A的末三位數字所表示的數與末三位數以前的數字所表示的數之差（大數減小數）能被7或11或13整除，那么數A能被7或11或13整除。否則，數A就不能被7或11或13整除。

例2 判斷306371能否被7整除？能否被13整除？

解：因為371-306=65，65是13的倍數，不是7的倍數，所以306371能被13整除，不能被7整除。

例3 已知10□8971能被13整除，求□中的數。

解：10□8-971=1008-971+□0=37+□0。

上式的個位數是7，若是13的倍數，則必是13的9倍，由13×9-37=80，推知□中的數是8。

2位數進行改寫。根據十進制數的意義，有

因為100010001各數位上數字之和是3，能夠被3整除，所以這個12位數能被3整除。

根據能被7（或13）整除的數的特征，100010001與（100010-1=）100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

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同理，100009與（100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

因為91=7×13，所以100010001能被7和13整除，推知這個12位數能被7和13整除。

7.九位數8765□4321能被21整除，求中間□中的數。

8.在下列各數中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？

1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。

9.在下列各數中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？

55119，55537，62899，71258，186637，872231，5381717。

第7講 奇偶性

（一）整數按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數叫偶數，例如

0，2，4，6，8，10，12，14，16，?（2）不能被2整除的自然數叫奇數，例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，?

整數由小到大排列，奇、偶數是交替出現的。相鄰兩個整數大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數能被2整除，所以偶數可以表示為2n的形式，其中n為整數；因為奇數不能被2整除，所以奇數可以表示為2n+1的形式，其中n為整數。每一個整數不是奇數就是偶數，這個屬性叫做這個數的奇偶性。奇偶數有如下一些重要性質：

（1）兩個奇偶性相同的數的和（或差）一定是偶數；兩個奇偶性不同的數的和（或差）一定是奇數。反過來，兩個數的和（或差）是偶數，這兩個數奇偶性相同；兩個數的和（或差）是奇數，這兩個數肯定是一奇一偶。

（2）奇數個奇數的和（或差）是奇數；偶數個奇數的和（或差）是偶數。任意多個偶數的和（或差）是偶數。

（3）兩個奇數的乘積是奇數，一個奇數與一個偶數的乘積一定是偶數。

（4）若干個數相乘，如果其中有一個因數是偶數，那么積必是偶數；如果所有因數都是奇數，那么積就是奇數。反過來，如果若干個數的積是偶數，那么因數中至少有一個是偶數；如果若干個數的積是奇數，那么所有的因數都是奇數。

（5）在能整除的情況下，偶數除以奇數得偶數；偶數除以偶數可能得偶數，也可能得奇數。奇數肯定不能被偶數整除。

（6）偶數的平方能被4整除；奇數的平方除以4的余數是1。

因為（2n）=42=4×n，所以（2n）能被4整除；

因為（2n+1）=4n+4n+1=4×（n+n）+1，所以（2n+1）除以4余1。

（7）相鄰兩個自然數的乘積必是偶數，其和必是奇數。

（8）如果一個整數有奇數個約數（包括1和這個數本身），那么這個數一定是平方數；如果一個整數有偶數個約數，那么這個數一定不是平方數。

整數的奇偶性能解決許多與奇偶性有關的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數問題，便可利用整數的奇偶性加以解決。

例1下式的和是奇數還是偶數？

1+2+3+4+?+1997+1998。

分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據奇偶數的性質（2），和的奇偶性只與加數中奇數的個數有關，與加數中的偶數無關。1～1998中共有999個奇數，999是奇數，奇數個奇數之和是奇數。所以，本題要求的和是奇數。

例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。

分析與解：等號左端共有9個數參加加、減運算，其中有5個奇數，4個偶數。5個奇數的和或差仍是奇數，4個偶數的和或差仍是偶數，因為“奇數+偶數=奇數”，所以題目的要求做不到。2

2222n2

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數的和能不能等于99999？

分析與解：假設這兩個五位數的和等于99999，則有下式：

例1用0～9這十個數碼組成五個兩位數，每個數字只用一次，要求它們的和是奇數，那么這五個兩位數的和最大是多

要使組成的五個兩位數的和最大，應該把十個數碼中最大的五個分別放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而個位上放0，1，2，3，4。根據奇數的定義，這樣組成的五個兩位數中，有兩個是奇數，即個位是1和3的兩個兩位數。

要滿足這五個兩位數的和是奇數，根據奇、偶數相加減的運算規律，這五個數中應有奇數個奇數。現有兩個奇數，即個位數是1，3的兩位數。所以五個數的和是偶數，不合要求，必須調整。調整的方法是交換十位與個位上的數字。要使五個數有奇數個奇數，并且五個數的和盡可能最大，只要將個位和十位上的一個奇數與一個偶數交換，并且交換的兩個的數碼之差盡可能小，由此得到交換5與4的位置。滿足題設要求的五個兩位數的十位上的數碼是4，6，7，8，9，個位上的數碼是0，1，2，3，5，所求這五個數的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。

例2 7只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉其中的2只杯子。能否經過若干次翻轉，使得7只杯子全部杯口朝下？

分析與解：盲目的試驗，可能總也找不到要領。如果我們分析一下每次翻轉后杯口朝上的杯子數的奇偶性，就會發現問題所在。一開始杯口朝上的杯子有7只，是奇數；第一次翻轉后，杯口朝上的變為5只，仍是奇數；再繼續翻轉，因為只能翻轉兩只杯子，即只有兩只杯子改變了上、下方向，所以杯口朝上的杯子數仍是奇數。類似的分析可以得到，無論翻轉多少次，杯口朝上的杯子數永遠是奇數，不可能是偶數0。也就是說，不可能使7只杯子全部杯口朝下。

例3 有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻轉其中的（m-1）只杯子。經過若干次翻轉，能使杯口全部朝上嗎？

分析與解：當m是奇數時，（m-1）是偶數。由例2的分析知，如果每次翻轉偶數只杯子，那么無論經過多少次翻轉，杯口朝上（下）的杯子數的奇偶性不會改變。一開始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子數是奇數，每次翻轉（m-1）即偶數只杯子。無論翻轉多少次，杯口朝下的杯子數永遠是奇數，不可能全部朝上。

當m是偶數時，（m-1）是奇數。為了直觀，我們先從m= 4的情形入手觀察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻轉3只杯子，保持不動的杯子用*號標記。翻轉情況如下：

由上表看出，只要翻轉4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不動，就可達到要求。一般來說，對于一只杯子，要改變它的初始狀態，需要翻奇數次。對于m只杯子，當m是偶數時，因為（m-1）是奇數，所以每只杯子翻轉（m-1）次，就可使全部杯子改變狀態。要做到這一點，只需要翻轉m次，并且依次保持第1，2，?，m只杯子不動，這樣在m次翻轉中，每只杯子都有一次沒有翻轉，即都翻轉了（m-1）次。

綜上所述：m只杯子放在桌子上，每次翻轉（m-1）只。當m是奇數時，無論翻轉多少次，m只杯子不可能全部改變初始狀態；當m是偶數時，翻轉m次，可以使m只杯子全部改變初始狀態。

例4 一本論文集編入15篇文章，這些文章排版后的頁數分別是1，2，3，?，15頁。如果將這些文章按某種次序裝訂成冊，并統一編上頁碼，那么每篇文章的第一面是奇數頁碼的最多有幾篇？

分析與解：可以先研究排版一本書，各篇文章頁數是奇數或偶數時的規律。一篇有奇數頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相同的，即排版奇數頁的文章，第一面是奇數頁碼，最后一面也是奇數頁碼，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶數頁碼上。一篇有偶數頁的文章，它的第一面和最后一面所在的頁碼的奇偶性是相異的，即排版偶數頁的文章，第一面是奇（偶）數頁碼，最后一面應是偶（奇）數頁碼，而緊接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）數頁碼上。

以上說明本題的解答主要是根據奇偶特點來處理。

題目要求第一面排在奇數頁碼的文章盡量多。首先考慮有偶數頁的文章，只要這樣的第一篇文章的第一面排在奇數頁碼上（如第1頁），那么接著每一篇有偶數頁的文章都會是第一面排在奇數頁碼上，共有7篇這樣的文章。然后考慮有奇數頁的文章，第一篇的第一面排在奇數頁碼上，第二篇的第一面就會排在偶數頁碼上，第三篇的第一面排在奇數頁碼上，如此等等。在8篇奇數頁的文章中，有4篇的第一面排在奇數頁碼上。因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇數頁碼上。

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例5 有大、小兩個盒子，其中大盒內裝1001枚白棋子和1000枚同樣大小的黑棋子，小盒內裝有足夠多的黑棋子。阿花每次從大盒內隨意摸出兩枚棋子，若摸出的兩枚棋子同色，則從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內；若摸出的兩枚棋子異色，則把其中白棋子放回大盒內。問：從大盒內摸了1999次棋子后，大盒內還剩幾枚棋子？它們都是什么顏色？

分析與解：大盒內裝有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。

因為每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，還剩2001-1999=2（枚）棋子。

從大盒內每次摸2枚棋子有以下兩種情況：

（1）所摸到的兩枚棋子是同顏色的。此時從小盒內取一枚黑棋子放入大盒內。當所摸兩枚棋子同是黑色，這時大盒內少了一枚黑棋子；當所摸兩枚棋子同是白色，這時大盒內多了一枚黑棋子。

（2）所摸到的兩枚棋子是不同顏色的，即一黑一白。這時要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒內少了一枚黑棋子。

綜合（1）（2），每摸一次，大盒內的黑棋子總數不是少一枚就是多一枚，即改變了黑棋子數的奇偶性。原來大盒內有1000枚即偶數枚黑棋子，摸了1999次，即改變了1999次奇偶性后，還剩奇數枚黑棋子。因為大盒內只剩下2枚棋子，所以最后剩下的兩枚棋子是一黑一白。

例6 一串數排成一行：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，?

到這串數的第1000個數為止，共有多少個偶數？

分析與解：首先分析這串數的組成規律和奇偶數情況。

1+1=2，2+3=5，3+5=8，5+8=13，?

這串數的規律是，從第三項起，每一個數等于前兩個數的和。根據奇偶數的加法性質，可以得出這串數的奇偶性：

奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，??

容易看出，這串數是按“奇，奇，偶”每三個數為一組周期變化的。1000÷3=333??1，這串數的前1000個數有333組又1個數，每組的三個數中有1個偶數，并且是第3個數，所以這串數到第1000個數時，共有333個偶數。

練習8

1.在11，111，1111，11111，?這些數中，任何一個數都不會是某一個自然數的平方。這樣說對嗎？

2.一本書由17個故事組成，各個故事的篇幅分別是1，2，3，?，17頁。這17個故事有各種編排法，但無論怎樣編排，故事正文都從第1頁開始，以后每一個故事都從新一頁碼開始。如果要求安排在奇數頁碼開始的故事盡量少，那么最少有多少個故事是從奇數頁碼開始的？

3.桌子上放著6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。如果每次翻轉5只杯子，那么至少翻轉多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？

4.70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的3倍都恰好等于它兩邊的兩個數的和，這一行數的最左邊的幾個數是這樣的：0，1，3，8，21，?問：最右邊的一個數是奇數還是偶數？

5.學校組織運動會，小明領回自己的運動員號碼后，小玲問他：“今天發放的運動員號碼加起來是奇數還是偶數？”小明說：“除開我的號碼，把今天發的其它號碼加起來，再減去我的號碼，恰好是100。”今天發放的運動員號碼加起來，到底是奇數還是偶數？

6.在黑板上寫出三個整數，然后擦去一個換成所剩兩數之和，這樣繼續操作下去，最后得到88，66，99。問：原來寫的三個整數能否是1，3，5？

7.將888件禮品分給若干個小朋友。問：分到奇數件禮品的小朋友是奇數還是偶數？

第9講 奇偶性

（三）利用奇、偶數的性質，上兩講已經解決了許多有關奇偶性的問題。本講將繼續利用奇偶性研究一些表面上似乎與奇偶性無關的問題。

例1 在7×7的正方形的方格表中，以左上角與右下角所連對角線為軸對稱地放置棋子，要求每個方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，則在這條對角線上的格子里至少放有一枚棋子，這是為什么？

分析與解：題目說在指定的這條對角線上的格子里必定至少放有一枚棋子，假設這個說法不對，即對角線上沒放棋子。如下圖所示，因為題目要求擺放的棋子以MN為對稱軸，所以對于MN左下方的任意一格A，總有MN右上方的一格A＇，A與A＇關于MN對稱，所以A與A＇要么都放有棋子，要么都沒放棋子。由此推知方格表中放置棋子的總枚數應是偶數。而題設每行放3枚棋子，7行共放棋子 3×7=21（枚），21是奇數，與上面的推論矛盾。所以假設不成立，即在指定的對角線上的格子中必定至少有一枚棋子。

小學奧數基礎教程（五年級）

分析與解：馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規律呢？

為方便研究規律，如下圖所示，先在棋盤各交點處相間標上○和●，圖中共有22個○和23個●。因為馬走“日”字，每步只能從○跳到●，或由●跳到○，所以馬從某點跳到同色的點（指○或●），要跳偶數步；跳到不同色的點，要跳奇數步。現在馬在○點，要跳回這一點，應跳偶數步，可是棋盤上共有23+22=45（個）點，不可能做到不重復地走遍所有的點后回到出發點。

討論：如果馬的出發點不是在○點上而是在●點上，那么這只馬能不能不重復地走遍這半張棋盤上的每個點，最后回到出發點上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的。但是如果放棄“回到出發點”的要求，那么情況就不一樣了。從某點出發，跳遍半張棋盤上除起點以外的其它44點，要跳44步，44是偶數，所以起點和終點應是同色的點（指○或●）。因為44步跳過的點○與點●各22個，所以起點必是●，終點也是●。也就說是，當不要求回到出發點時，只要從●出發，就可以不重復地走遍半張棋盤上的所有點。

練習9

1.教室里有5排椅子，每排5張，每張椅子上坐一個學生。一周后，每個學生都必須和他相鄰（前、后、左、右）的某一同學交換座位。問：能不能換成？為什么？

2.房間里有5盞燈，全部關著。每次拉兩盞燈的開關，這樣做若干次后，有沒有可能使5盞燈全部是亮的？

3.左下圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個相同的長方形？

4.一個正方形果園里種有48棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成七行七列（見右上圖）。守園人從小屋出發經過每一棵樹，不重復也不遺漏（不許斜走），最后又回到小屋?？梢宰龅絾?？

5.紅光小學五年級一次乒乓球賽，共有男女學生17人報名參加。為節省時間不打循環賽，而采取以下方式：每人只打5場比賽，每兩人之間用抽簽的方法決定只打一場或不賽。然后根據每人得分決定出前5名。這種比賽方式是否可行？

6.如下圖所示，將1～12順次排成一圈。如果報出一個數a（在1～12之間），那么就從數a的位置順時針走a個數的位置。例如a=3，就從3的位置順時針走3個數的位置到達6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數的位置到達10的位置。問：a是多少時，可以走到7的位置？

第10講 質數與合數

自然數按照能被多少個不同的自然數整除可以分為三類：

第一類：只能被一個自然數整除的自然數，這類數只有一個，就是1。

第二類：只能被兩個不同的自然數整除的自然數。因為任何自然數都能被1和它本身整除，所以這類自然數的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類自然數叫質數（或素數）。例如，2，3，5，7，?

小學奧數基礎教程（五年級）

一些自然數整除。這類自然數叫合數。例如，4，6，8，9，15，?

上面的分類方法將自然數分為質數、合數和1，1既不是質數也不是合數。

例1 1～100這100個自然數中有哪些是質數？

分析與解：先把前100個自然數寫出來，得下表：

分析與解：這道題要判別的數很大，不能直接用例

1、例2的方法。我們在四年級學過a的個位數的變化規律，以及a除以某自然數的余數的變化規律。2的個位數隨著n的從小到大，按照2，4，8，6每4個一組循環出現，98÷4=24??2，所以2的個位數是4，（2+1）的個位數是5，能被5整除，說明（2+1）是合數。

（2+3）是奇數，不能被2整除； 2不能被3整除，所以（2+3）也不能被3整除；（2+1）能被5整除，（2+3）比（2+1）大2，所以（2+3）不能被5整除。再判斷（2+3）能否被7整除。首先看看2÷7的余數的變化規律：

9898

n98

989898

98n

n

n

因為98÷3的余數是2，從上表可知2除以7的余數是4，（2+3）除以7的余數是4+3=7，7能被7整除，即（2+3）能被7整除，所以（2+3）是合數。

例5 已知A是質數，（A+10）和（A+14）也是質數，求質數A。

分析與解：從最小的質數開始試算。

A=2時，A+10=12，12是合數不是質數，所以A≠2。

A=3時，A+10=13，是質數；A+14=17也是質數，所以A等于3是所求的質數。

A除了等于3外，還可以是別的質數嗎？因為質數有無窮多個，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。

A，（A+1），（A+2）除以3的余數各不相同，而（A+1）與（A+10）除以3的余數相同，（A+2）與（A+14）除以3的余數相同，所以A，（A+10），（A+14）除以3的余數各不相同。因為任何自然數除以3只有整除、余

1、余2三種情況，所以在A，（A+10），（A+14）中必有一個能被3整除。能被3整除的質數只有3，因為（A+10），（A+14）都大于3，所以A=3。也就是說，本題唯一的解是A=3。

練習10

1.現有1，3，5，7四個數字。

（1）用它們可以組成哪些兩位數的質數（數字可以重復使用）？（2）用它們可以組成哪些各位數字不相同的三位質數？ 2.a，b，c都是質數，a＞b＞c，且a×b+c=88，求a，b，c。

3.A是一個質數，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質數。試求出所有滿足要求的質數A。

989898

5.試說明：兩個以上的連續自然數之和必是合數。

6.判斷2+3是不是質數。

7.把一個一位數的質數a寫在另一個兩位數的質數b后邊，得到一個三位數，這個三位數是a的87倍，求a和b。

第11講 分解質因數

自然數中任何一個合數都可以表示成若干個質因數乘積的形式，如果不考慮因數的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數表示為質因數乘積的形式叫做分解質因數。

例如，60=2×3×5，1998=2×3×37。

例1 一個正方體的體積是13824厘米，它的表面積是多少？

分析與解：正方體的體積是“棱長×棱長×棱長”，現在已知正方體的體積是13824厘米，若能把13824寫成三個相同的數相乘，則可求出棱長。為此，我們先將13824分解質因數：

3236688

把這些因數分成三組，使每組因數之積相等，得13824=（2×3）×（2×3）×（2×3），于是，得到棱長是2×3=24（厘米）。所求表面積是24×24×6=3456（厘米）。3

2333

小學奧數基礎教程（五年級）

分法？

7.同學們去射箭，規定每射一箭得到的環數或者是“0”（脫靶）或者是不超過10的自然數。甲、乙兩同學各射5箭，每人得到的總環數之積剛好都是1764，但是甲的總環數比乙少4環。求甲、乙各自的總環數。

第12講 最大公約數與最小公倍數

（一）如果一個自然數a能被自然數b整除，那么稱a為b的倍數，b為a的約數。

如果一個自然數同時是若干個自然數的約數，那么稱這個自然數是這若干個自然數的公約數。在所有公約數中最大的一個公約數，稱為這若干個自然數的最大公約數。自然數a1，a2，?，an的最大公約數通常用符號（a1，a2，?，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

如果一個自然數同時是若干個自然數的倍數，那么稱這個自然數是這若干個自然數的公倍數。在所有公倍數中最小的一個公倍數，稱為這若干個自然數的最小公倍數。自然數a1，a2，?，an的最小公倍數通常用符號[a1，a2，?，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

常用的求最大公約數和最小公倍數的方法是分解質因數法和短除法。

例1 用60元錢可以買一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克?，F將這三種茶葉分別按整克數裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？

分析與解：因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數應相同，即分裝的袋數應是144，180，240的公約數。題目要求每袋的價格盡量低，所以分裝的袋數應盡量多，應是144，180，240的最大公約數。

所以（144，180，240）=2×2×3=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是60÷12=5（元）。

為節約篇幅，除必要時外，在求最大公約數和最小公倍數時，將不再寫出短除式。

例2 用自然數a去除498，450，414，得到相同的余數，a最大是多少？

分析與解：因為498，450，414除以a所得的余數相同，所以它們兩兩之差的公約數應能被a整除。

498-450=48，450-414=36，498-414=84。

所求數是（48，36，84）=12。

例3 現有三個自然數，它們的和是1111，這樣的三個自然數的公約數中，最大的可以是多少？

分析與解：只知道三個自然數的和，不知道三個自然數具體是幾，似乎無法求最大公約數。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個數的和是1111，它們的公約數一定是1111的約數。因為1111=101×11，它的約數只能是1，11，101和1111，由于三個自然數的和是1111，所以三個自然數都小于1111，1111不可能是三個自然數的公約數，而101是可能的，比如取三個數為101，101和909。所以所求數是101。

例4 在一個30×24的方格紙上畫一條對角線（見下頁上圖），這條對角線除兩個端點外，共經過多少個格點（橫線與豎線的交叉點）？

分析與解：（30，24）=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成6×6個相同的矩形，那么每個矩形是由（30÷6）×（24÷6）=5×4（個）

小方格組成。在6×6的簡化圖中，對角線也是它所經過的每一個矩形的對角線，所以經過5個格點（見左下圖）。在對角線所經過的每一個矩形的5×4個小方格中，對角線不經過任何格點（見右下圖）。

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分析與解：如果將兩個自然數都除以7，則原題變為：“兩個自然數的最大公約數是1，最小公倍數是30。這兩個自然數的和是11，求這兩個自然數?！?/p>

改變以后的兩個數的乘積是1×30=30，和是11。

30=1×30=2×15=3×10=5×6，由上式知，兩個因數的和是11的只有5×6，且5與6互質。因此改變后的兩個數是5和6，故原來的兩個自然數是

7×5=35和7×6=42。

例3 已知a與b，a與c的最大公約數分別是12和15，a，b，c的最小公倍數是120，求a，b，c。

分析與解：因為12，15都是a的約數，所以a應當是12與15的公倍數，即是[12，15]=60的倍數。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，說明c沒有質因數2，又因為[a，b，c]=120=2×3×5，所以c=15。

因為a是c的倍數，所以求a，b的問題可以簡化為：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b?！?/p>

當a=60時，b=（a，b）×[a，b]÷a

=12×120÷60=24；

當a=120時，b=（a，b）×[a，b]÷a

=12×120÷120=12。

所以a，b，c為60，24，15或120，12，15。

要將它們全部分別裝入小瓶中，每個小瓶裝入液體的重量相同。問：每瓶最多裝多少千克？

分析與解：如果三種溶液的重量都是整數，那么每瓶裝的重量就是三種溶液重量的最大公約數。現在的問題是三種溶液的重量不是整數。要解決這個問題，可以將重量分別乘以某個數，將分數化為整數，求出數值后，再除以這個數。為此，先求幾個分母的最小公倍數，[6，4，9]=36，三種溶液的重量都乘以36后，變為150，135和80，（150，135，80）=5。

上式說明，若三種溶液分別重150，135，80千克，則每瓶最多裝5千克?？蓪嶋H重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多裝

3在例4中，出現了與整數的最大公約數類似的分數問題。為此，我們將最大公約數的概念推廣到分數中。

如果若干個分數（含整數）都是某個分數的整數倍，那么稱這個分數是這若干個分數的公約數。在所有公約數中最大的一個公約數，稱為這若干個分數的最大公約數。

由例4的解答，得到求一組分數的最大公約數的方法：

（1）先將各個分數化為假分數；

（2）求出各個分數的分母的最小公倍數a；

（3）求出各個分數的分子的最大公約數b；

類似地，我們也可以將最小公倍數的概念推廣到分數中。

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公倍數中最小的一個公倍數，稱為這若干個分數的最小公倍數。

求一組分數的最小公倍數的方法：（1）先將各個分數化為假分數；

（2）求出各個分數的分子的最小公倍數a；（3）求出各個分數的分母的最大公約數b；

于同一處只有一次，求圓形綠地的周長。

第14講 余數問題

在整數的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當不能整除時，就產生余數，所以余數問題在小學數學中非常重要。

余數有如下一些重要性質（a，b，c均為自然數）：

（1）余數小于除數。

（2）被除數=除數×商+余數；

除數=（被除數-余數）÷商；

商=（被除數-余數）÷除數。

（3）如果a，b除以c的余數相同，那么a與b的差能被c整除。例如，17與11除以3的余數都是2，所以17-11能被3整除。

（4）a與b的和除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之和（或這個和除以c的余數）。例如，23，16除以5的余數分別是3和1，所以（23+16）除以5的余數等于3+1=4。注意：當余數之和大于除數時，所求余數等于余數之和再除以c的余數。例如，23，19除以5的余數分別是3和4，所以（23+19）除以5的余數等于（3+4）除以5的余數。

（5）a與b的乘積除以c的余數，等于a，b分別除以c的余數之積（或這個積除以c的余數）。例如，23，16除以5的余數分別是3和1，所以（23×16）除以5的余數等于3×1=3。注意：當余數之積大于除數時，所求余數等于余數之積再除以c的余數。例如，23，19除以5的余數分別是3和4，所以（23×19）除以5的余數等于（3×4）除以5的余數。

性質（4）（5）都可以推廣到多個自然數的情形。

例1 5122除以一個兩位數得到的余數是66，求這個兩位數。

分析與解：由性質（2）知，除數×商=被除數-余數。

5122-66=5056，5056應是除數的整數倍。將5056分解質因數，得到

5056=2×79。

由性質（1）知，除數應大于66，再由除數是兩位數，得到除數在67～99之間，符合題意的5056的約數只有79，所以這個兩位數是79。

例2 被除數、除數、商與余數之和是2143，已知商是33，余數是52，求被除數和除數。

解：因為被除數=除數×商+余數

=除數×33+52，被除數=2143-除數-商-余數

=2143-除數-33-52

=2058-除數，所以 除數×33+52=2058-除數，所以 除數=（2058-52）÷34=59，被除數=2058-59=1999。

答：被除數是1999，除數是59。

例3 甲、乙兩數的和是1088，甲數除以乙數商11余32，求甲、乙兩數。

解：因為 甲=乙×11+32，所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088，所以 乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

答：甲數是1000，乙數是88。

例4 有一個整數，用它去除70，110，160得到的三個余數之和是50。求這個數。6

小學奧數基礎教程（五年級）

數大于16。由三個余數之和是50知，除數不應大于70，所以除數在17～70之間。

在上面的數中，再找滿足“除以7余3”的數，可以找到31。同時滿足“除以5余1”、“除以7余3”的數，彼此之

在上面的數中，再找滿足“除以8余5”的數，可以找到101。因為101＜[5，7，8]=280，所以所求的最小自然數是101。

在例

1、例2中，各有三個約束條件，我們先解除兩個約束條件，求只滿足一個約束條件的數，然后再逐步加上第二個、第三個約束條件，最終求出了滿足全部三個約束條件的數。這種先放寬條件，再逐步增加條件的解題方法，叫做逐步約束法。

例3 在10000以內，除以3余2，除以7余3，除以11余4的數有幾個？

解：滿足“除以3余2”的數有5，8，11，14，17，20，23，?

再滿足“除以7余3”的數有17，38，59，80，101，?

再滿足“除以11余4”的數有59。

因為陽[3，7，11]=231，所以符合題意的數是以59為首項，公差是231的等差數列。（10000-59）÷231=43??8，所以在10000以內符合題意的數共有44個。

例4 求滿足除以6余3，除以8余5，除以9余6的最小自然數。

分析與解：如果給所求的自然數加3，所得數能同時被6，8，9整除，所以這個自然數是

[6，8，9]-3=72-3=69。

例5學校要安排66名新生住宿，小房間可以住4人，大房間可以住7人，需要多少間大、小房間，才能正好將66名新生安排下？

分析與解：設需要大房間x間，小房間y間，則有7x+4y=66。

這個方程有兩個未知數，我們沒有學過它的解法，但由4y和66都是偶數，推知7x也是偶數，從而x是偶數。

當x=2時，由7×2+4y=66解得y=13，所以x=2，y=13是一個解。

因為當x增大4，y減小7時，7x增大28，4y減小28，所以對于方程的一個解x=2，y=13，當x增大4，y減小7時，仍然是方程的解，即x=2+4=6，y=13-7=6也是一個解。

所以本題安排2個大房間、13個小房間或6個大房間、6個小房間都可以。

就是說，方程7x+4y=66有無數個解。由于這類方程的解的不確定性，所以稱這類方程為不定方程。

根據實際問題列出的不定方程，往往需要求整數解或自然數解，這時的解有時有無限個，有時有有限個，有時可能是唯一的，甚至無解。例如：

x-y=1有無限個解，因為只要x比y大1就是解；

3x+2y=5只有x=1，y=1一個解；

3x+2y=1沒有解。

例6 求不定方程5x+3y=68的所有整數解。

解：容易看出，當y=1時，x=（68-3×1）÷5=13，即x=13，y=1是一個解。

因為x=13，y=1是一個解，當x減小3，y增大5時，5x減少15，3y增大15，方程仍然成立，所以對于x=13，y=1，x每減小3，y每增大5，仍然是解。方程的所有整數解有5個：

由例

5、例6看出，只要找到不定方程的一個解，其余解可通過對這個解的加、減一定數值得到。限于我們學到的知識，尋找第一個解的方法更多的要依賴“拼湊”。

練習15

1.一個數除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小自然數。

2.有一堆蘋果，3個3個數余1個，5個5個數余2個，6個6個數余4個。這堆蘋果至少有多少個？

3.在小于1000的自然數中，除以4余3，除以5余2，除以7余4的最大的自然數是幾？

4.在5000以內，除以3余1，除以5余2，除以7余3的自然數有多少個？

5.有一個兩位數，除以2與除以3都余1，除以4與除以5都余3，求這個數。

6.用100元錢去買3元一個和7元一個的兩種商品，錢正好用完，共有幾種買法？

7.五年級一班的43名同學去劃船，大船可坐7人，小船可坐5人，需租大、小船各多少條？

小學奧數基礎教程（五年級）

第16講 巧算24

我們知道，符合“數學24”游戲規則的每個具體算式中，一定要出現四個數和三個運算符號。也就是說，一定要進行三次運算，出現三個運算結果。其中前兩次結果是運算過程中的中間結果，第三次即最后一次的運算結果必須是24。

當我們還是小學低年級的學生時，由于知識水平所限，解題總是圍繞運算結果是整數展開討論。當我們升入小學高年級，接觸到分數以后，我們的眼界變得開闊了，就可以打破整數這個框框，允許前兩次的運算結果出現分數，這樣，我們將會找到更多的、更好的思考辦法。

例9 1，5，5，5。

有效的思考辦法。

由上面的算式可以看出，我們以前接觸的僅僅是其中的2×12，3×8，4×6三個整數乘法基本算式?，F在我們學了分數以后，乘法基本算式就增加了許多：

在這些分數乘法基本算式中，固定的一個因數只能是5，7，9，10，至此，應用乘法玩“數學24”游戲的過程才是完整的。

下面，我們再來看看用分數除法來玩“數學24”游戲。

例10 3，3，8，8。

8÷（3-8÷3）=24。

小學奧數基礎教程（五年級）

同一個數字，由于它在所寫的數里的位置不同，所表示的數也不同。也就是說，每一個數字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如“5”，寫在個位上，就表示5個一；寫在十位上，就表示5個十；寫在百位上，就表示5個百；等等。這種把數字和數位結合起來表示數的原則，稱為寫數的位值原則。

我們通常使用的是十進制計數法，其特點是“滿十進一”。就是說，每10個某一單位就組成和它相鄰的較高的一個單位，即10個一，叫做“十”，10個十叫做“百”，10個百叫做“千”，等等。寫數時，從右端起，第一位是個位，第二位是十位，第三位是百位，第四位是千位，等等（見下圖）。

用阿拉伯數字和位值原則，可以表示出一切整數。例如，926表示9個百，2個十，6個一，即926=9×100+2×10+6。根據問題的需要，有時我們也用字母代替阿拉伯數字表示數，如：

其中a可以是1～9中的數碼，但不能是0，b和c是0～9中的數碼。

下面，我們利用位值原則解決一些整數問題。

個數之差必然能被9整除。例如，（97531-13579）必是9的倍數。

例2有一個兩位數，把數碼1加在它的前面可以得到一個三位數，加在它的后面也可以得到一個三位數，這兩個三位數相差666。求原來的兩位數。

分析與解：由位值原則知道，把數碼1加在一個兩位數前面，等于加了100；把數碼1加在一個兩位數后面，等于這個兩位數乘以10后再加1。

設這個兩位數為x。由題意得到

（10x+1）-（100+x）=666，10x+1-100-x=666，10x-x=666-1+100，9x=765，x=85。

原來的兩位數是85。

例3 a，b，c是1～9中的三個不同的數碼，用它們組成的六個沒有重復數字的三位數之和是（a+b+c）的多少倍？

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分析與解：用a，b，c組成的六個不同數字是

結論1如果兩個整數的和一定，那么這兩個整數的差越小，他們的乘積越大。特別地，當這兩個數相等時，他們的乘積最大。

例2比較下面兩個乘積的大小：

a=57128463×87596512，b=57128460×87596515。

分析與解：對于a，b兩個積，它們都是8位數乘以8位數，盡管兩組對應因數很相似，但并不完全相同。直接計算出這兩個8位數的乘積是很繁的。仔細觀察兩組對應因數的大小發現，因為57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它們的兩因數之和相等，即 57128463+87596512=57128460+87596515。

因為a的兩個因數之差小于b的兩個因數之差，根據結論1可得a＞b。

例3用長36米的竹籬笆圍成一個長方形菜園，圍成菜園的最大面積是多少？

分析與解：已知這個長方形的周長是36米，即四邊之和是定數。長方形的面積等于長乘以寬。因為 長+寬=36÷2=18（米），由結論知，圍成長方形的最大的面積是9×9=81（米）。

例3說明，周長一定的長方形中，正方形的面積最大。

例4兩個自然數的積是48，這兩個自然數是什么值時，它們的和最小？ 分析與解：48的約數從小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

所以，兩個自然數的乘積是48，共有以下5種情況：

48=1×48，1+48=49；

48=2×24，2+24=26；

48=3×16，3+16=19；

48=4×12，4+12=16；

48=6×8，6+8=14。

兩個因數之和最小的是6+8=14。

結論2兩個自然數的乘積一定時，兩個自然數的差越小，這兩個自然數的和也越小。

例5要砌一個面積為72米的長方形豬圈，長方形的邊長以米為單位都是自然數，這個豬圈的圍墻最少長多少米？

解：將72分解成兩個自然數的乘積，這兩個自然數的差最小的是9-8=1。由結論2，豬圈圍墻長9米、寬8米時，圍墻總長最少，為（8+9）×2=34（米）。

答：圍墻最少長34米。

例6把17分成幾個自然數的和，怎樣分才能使它們的乘積最大？

分析與解：假設分成的自然數中有1，a是分成的另一個自然數，因為1×a＜1+a，也就是說，將1+a作為分成的一個自然數要比分成1和a兩個自然數好，所以分成的自然數中不應該有1。

如果分成的自然數中有大于4的數，那么將這個數分成兩個最接近的整數，這兩個數的乘積大于原來的自然數。例如，5=2+3＜2×3，8=3+5＜3×5。也就是說，只要有大于4的數，這個數就可以再分，所以分成的自然數中不應該有大于4的數。

如果分成的自然數中有4，因為4=2+2=2×2，所以可以將4分成兩個2。

22小學奧數基礎教程（五年級）

由上面的分析得到，分成的自然數中只有2和3兩種。因為2+2+2=6，2×2×2=8，3+3=6，3×3=9，說明雖然三個2與兩個3的和都是6，但兩個3的乘積大于三個2的乘積，所以分成的自然數中最多有兩個2，其余都是3。由此得到，將17分為五個3與一個2時乘積最大，為3×3×3×3×3×2=486。

由例6的分析得到：

結論3把一個數拆分成若干個自然數之和，如果要使這若干個自然數的乘積最大，那么這些自然數應全是2或3，且2最多不超過兩個。

例7把49分拆成幾個自然數的和，這幾個自然數的連乘積最大是多少？

解：根據結論3，由49=3×15+2+2，所以最大的積是

練習18

1.試求和是91，乘積最大的兩個自然數。最大的積是多少？

之和的最小值是多少？

3.比較下面兩個乘積的大?。?/p>

123456789×987654321，123456788×987654322。

4.現計劃用圍墻圍起一塊面積為5544米的長方形地面，為節省材料，要求圍墻最短，那么這塊長方形地的圍墻有多少米長？

5.把19分成幾個自然數的和，怎樣分才能使它們的積最大？

6.1～8這八個數字各用一次，分別寫成兩個四位數，使這兩個數相乘的乘積最大。那么這兩個四位數各是多少？

7.在數***?9899100中劃去100個數字，剩下的數字組成一個新數，這個新數最大是多少？最小是多少？

第19講 圖形的分割與拼接

怎樣把一個圖形按照要求分割成若干部分？怎樣把一個圖形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一個圖形？這就是本講要解決的問題。

例1請將一個任意三角形分成四個面積相等的三角形。

分析與解：本題要求分成面積相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面積相等”這一性質來分割。

方法一：將某一邊等分成四份，連結各分點與頂點（見左下圖）。

方法二：畫出某一邊的中線，然后將中線二等分，連結分點與另兩個頂點（見右上圖）。

方法三：找出三條邊上的中點，然后如左下圖所示連結。

方法四：將三條邊上的中點兩兩連結（見右上圖）。

前三種方法可以看成先將三角形分割成面積相等的兩部分，然后分別將每部分再分割成面積相等的兩部分。本題還有更多的分割方法。

例2將右圖分割成五個大小相等的圖形。

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分析與解：因為圖中共有15個小正方形，所以分割成的圖形的面積應該等于15÷5=3（個）小正方形的面積。3個小正方形有和兩種形式，于是可得到很多種分割方法，下圖是其中的三種。

例3右圖是一個4×4的方格紙，請在保持每個小方格完整的情況下，將它分割成大小、形狀完全相同的兩部分。

分析與解：因為分割成完全相同的兩塊，所以每塊有8個小方格，并且這兩塊關于中心點對稱。下面是六種分割方法。

例4將下圖分割成兩塊，然后拼成一個正方形。

分析與解：圖形的面積等于16個小方格，如果以每個小方格的邊長為1，那么拼成的正方形的邊長應是4。因為題圖是缺角長方形，長為6寬為3，所以分割成兩塊后，右邊的一塊應向上平移1（原來寬為3，向上平移1使寬為4），向左平移2（原來長為6，向左平移2使長為4）?？紤]到缺角這一特點，可做下圖所示的分割和拼接。

例5有一塊長4.8米、寬3米的長方形地毯，現在把它鋪到長4米、寬3.6米的房間中。請將它剪成形狀相同、面積相等的兩塊，使其正好鋪滿房間。

分析與解：首先驗證地毯的面積與房間的面積是否相等，然后考慮如何

以可將原來的長分為4份，寬分為3份（見下頁左上圖），現在的長與寬如下頁右上圖。

容易得到下圖所示的分割與拼接的方法。

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分析：因為題目條件中黃球、藍球個數都是與紅球個數進行比較，所以

答：袋中共有74個球。

在例1中，求膠鞋有多少雙，我們設膠鞋有x雙；在例2中，求袋中共有多少個球，我們設紅球有x個，求出紅球個數后，再求共有多少個球。像例1那樣，直接設題目所求的未知數為x，即求什么設什么，這種方法叫直接設元法；像例2那樣，為解題方便，不直接設題目所求的未知數，而間接設題目中另外一個未知數為x，這種方法叫間接設元法。具體采用哪種方法，要看哪種方法簡便。在小學階段，大多數題目可以使用直接設元法。

例3某建筑公司有紅、灰兩種顏色的磚，紅磚量是灰磚量的2倍，計劃修建住宅若干座。若每座住宅使用紅磚80米，灰磚30米，那么，紅磚缺40米，灰磚剩40米。問：計劃修建住宅多少座？

分析與解一：用直接設元法。設計劃修建住宅x座，則紅磚有（80x-40）米，灰磚有（30x+40）米。根據紅磚量是灰磚量的2倍，列出方程

80x-40=（30x+40）×2，80x-40=60x+80，20x=120，x=6（座）。

分析與解二：用間接設元法。設有灰磚x米，則紅磚有2x米。根據修建住宅的座數，列出方程。

333

（x-40）×80=（2x+40）×30，80x-3200=60x+1200，20x=4400，x=220（米）。

由灰磚有220米，推知修建住宅（220-40）÷30=6（座）。

同理，也可設有紅磚x米。留給同學們做練習。

例4教室里有若干學生，走了10個女生后，男生是女生人數的2倍，又走了9個男生后，女生是男生人數的5倍。問：最初有多少個女生？

分析與解：設最初有x個女生，則男生最初有（x-10）×2個。根據走了10個女生、9個男生后，女生是男生人數的5倍，可列方程

x-10=[（x-10）×2-9]×5，x-10=（2x-29）×5，x-10=10x-145，9x=135，33

3小學奧數基礎教程（五年級）

x=15（個）。

例5一群學生進行籃球投籃測驗，每人投10次，按每人進球數統計的部分情況如下表：

7.一位牧羊人趕著一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他數了數羊的只數，發現剩下的羊中，公羊與母羊的只數比是9∶7；過了一會跑走的公羊又回到了羊群，卻又跑走了一只母羊，牧羊人又數了數羊的只數，發現公羊與母羊的只數比是7∶5。這群羊原來有多少只？ 第24講 行程問題

（一）路程、時間、速度是行程問題的三個基本量，它們之間的關系如下： 路程=時間×速度，時間=路程÷速度，速度=路程÷時間。

這一講就是通過例題加深對這三個基本數量關系的理解。

例1 一個車隊以4米/秒的速度緩緩通過一座長200米的大橋，共用115秒。已知每輛車長5米，兩車間隔10米。問：這個車隊共有多少輛車？

分析與解：求車隊有多少輛車，需要先求出車隊的長度，而車隊的長度等于車隊115秒行的路程減去大橋的長度。由“路程=時間×速度”可求出車隊115秒行的路程為4×115=460（米）。

故車隊長度為460-200=260（米）。再由植樹問題可得車隊共有車（260-5）÷（5+10）+1=18（輛）。

例2騎自行車從甲地到乙地，以10千米/時的速度行進，下午1點到；以15千米/時的速度行進，上午11點到。如果希望中午12點到，那么應以怎樣的速度行進？

分析與解：這道題沒有出發時間，沒有甲、乙兩地的距離，也就是說既沒有時間又沒有路程，似乎無法求速度。這就需要通過已知條件，求出時間和路程。

假設A，B兩人同時從甲地出發到乙地，A每小時行10千米，下午1點到；B每小時行15千米，上午11點到。B到乙地時，A距乙地還有10×2=20（千米），這20千米是B從甲地到乙地這段時間B比A多行的路程。因為B比A每小時多行15-10=5（千米），所以B從甲地到乙地所用的時間是

20÷（15-10）=4（時）。

由此知，A，B是上午7點出發的，甲、乙兩地的距離是

15×4=60（千米）。

要想中午12點到，即想（12-7=）5時行60千米，速度應為

60÷（12-7）=12（千米/時）。

例3 劃船比賽前討論了兩個比賽方案。第一個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行賽程的一半；第二個方案是在比賽中分別以2.5米/秒和3.5米/秒的速度各劃行比賽時間的一半。這兩個方案哪個好？

分析與解：路程一定時，速度越快，所用時間越短。在這兩個方案中，速度不是固定的，因此不好直接比較。在第二個方案中，因為兩種速度劃行的時間相同，所以以3.5米/秒的速度劃行的路程比以2.5米/秒的速度劃行的路程長。用單線表示以2.5米/秒的速度劃行的路程，用雙線表示以3.5米/秒的速度劃行的路程，可畫出下圖所示的兩個方案的比較圖。其中，甲段+乙段=丙段。

在甲、丙兩段中，兩個方案所用時間相同；在乙段，因為路程相同，且第二種方案比第一種方案速度快，所以第二種方案比第一種方案所用時間短。

綜上所述，在兩種方案中，第二種方案所用時間比第一種方案少，即第二種方案好。

例4 小明去爬山，上山時每小時行2.5千米，下山時每小時行4千米，往返共用3.9時。問：小明往返一趟共行了多少千米？

分析與解：因為上山和下山的路程相同，所以若能求出上山走1千米和下山走1千米一共需要的時間，則可以求出上山及下山的總路程。

因為上山、下山各走1千米共需

所以上山、下山的總路程為

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在行程問題中，還有一個平均速度的概念：平均速度=總路程÷總時間。

例如，例4中上山與下山的平均速度是

例5一只螞蟻沿等邊三角形的三條邊爬行，如果它在三條邊上每分鐘分別爬行50，20，40厘米，那么螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行多少厘米？

解：設等邊三角形的邊長為l厘米，則螞蟻爬行一周需要的時間為

螞蟻爬行一周平均每分鐘爬行

在行程問題中有一類“流水行船”問題，在利用路程、時間、速度三者之間的關系解答這類問題時，應注意各種速度的含義及相互關系：

順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度，靜水速度=（順流速度+逆流速度）÷2，水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2。

此處的靜水速度、順流速度、逆流速度分別指船在靜水中、船順流、船逆流的速度。

例6 兩個碼頭相距418千米，汽艇順流而下行完全程需11時，逆流而上行完全程需19時。求這條河的水流速度。

解：水流速度=（順流速度-逆流速度）÷2

=（418÷11-418÷19）÷2

=（38-22）÷2

=8（千米/時）

答：這條河的水流速度為8千米/時。練習24

1.小燕上學時騎車，回家時步行，路上共用50分鐘。若往返都步行，則全程需要70分鐘。求往返都騎車需要多少時間。

2.某人要到60千米外的農場去，開始他以5千米/時的速度步行，后來有輛速度為18千米/時的拖拉機把他送到了農場，總共用了5.5時。問：他步行了多遠？

3.已知鐵路橋長1000米，一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用120秒，整列火車完全在橋上的時間為80秒。求火車的速度和長度。

4.小紅上山時每走30分鐘休息10分鐘，下山時每走30分鐘休息5分鐘。已知小紅下山的速度是上山速度的1.5倍，如果上山用了3時50分，那么下山用了多少時間？

5.汽車以72千米/時的速度從甲地到乙地，到達后立即以48千米/時的速度返回甲地。求該車的平均速度。

6.兩地相距480千米，一艘輪船在其間航行，順流需16時，逆流需20時，求水流的速度。

7.一艘輪船在河流的兩個碼頭間航行，順流需要6時，逆流需要8時，水流速度為2.5千米/時，求輪船在靜水中的速度。

第25講 行程問題

（二）本講重點講相遇問題和追及問題。在這兩個問題中，路程、時間、速度的關系表現為： 相遇問題：

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例5如右圖所示，沿著某單位圍墻外面的小路形成一個邊長300米的正方形，甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方

分析與解：當甲、乙在同一條邊（包括端點）上時甲才能看到乙。甲追上乙一條邊，即追上300米需

300÷（90-70）=15（分），此時甲、乙的距離是一條邊長，而甲走了90×15÷300=4.5（條邊），位于某條邊的中點，乙位于另一條邊的中點，所以甲、乙不在同一條邊上，甲看不到乙。甲再走0.5條邊就可以看到乙了，即甲走5條邊后可以看到乙，共需

例6 獵狗追趕前方30米處的野兔。獵狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子動作快，獵狗跑3步的時間兔子能跑4步。獵狗至少跑出多遠才能追上野兔？

分析與解：這道題條件比較隱蔽，時間、速度都不明顯。為了弄清兔子與獵狗的速度的關系，我們將條件都變換到獵狗跑12步的情形（想想為什么這樣變換）：

（1）獵狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；

（2）獵狗跑12步的時間等于兔子跑16步的時間。

由此知，在獵狗跑12步的這段時間里，獵狗能跑12步，相當于兔子跑

也就是說，獵狗每跑21米，兔子跑16米，獵狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。練習25

1.A，B兩村相距2800米，小明從A村出發步行5分鐘后，小軍騎車從B村出發，又經過10分鐘兩人相遇。已知小軍騎車比小明步行每分鐘多行130米，小明每分鐘步行多少米？

2.甲、乙兩車同時從A，B兩地相向而行，它們相遇時距A，B兩地中心處8千米。已知甲車速度是乙車的1.2倍，求A，B兩地的距離。

3.小紅和小強同時從家里出發相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠？

4.一列快車和一列慢車相向而行，快車的車長是280米，慢長的車長是385米。坐在快車上的人看見慢車駛過的時間是11秒，坐在慢車上的人看見快車駛過的時間是多少秒？

5.甲、乙二人同時從A地到B地去。甲騎車每分鐘行250米，每行駛10分鐘后必休息20分鐘；乙不間歇地步行，每分鐘行100米，結果在甲即將休息的時刻兩人同時到達B地。問：A，B兩地相距多遠？

6.甲、乙兩人從周長為1600米的正方形水池相對的兩個頂點同時出發逆時針行走，兩人每分鐘分別行50米和46米。出發后多長時間兩人第一次在同一邊上行走？

7.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進3米，兔子一跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子跳4次。兔子跑出多遠將被獵狗追上？ 第26講 行程問題

（三）在行程問題中，經常會碰到相遇問題、追及問題、時間路程速度的關系問題等交織在一起的綜合問題，這類問題難度較大，往往需要畫圖幫助搞清各數量之間的關系，并把綜合問題分解成幾個單一問題，然后逐次求解。

例1 兩條公路成十字交叉，甲從十字路口南1800米處向北直行，乙從十字路口處向東直行。甲、乙同時出發12分鐘后，兩人與十字路口的距離相等；出發后75分鐘，兩人與十字路口的距離再次相等。此時他們距十字路口多少米？

分析與解：如左下圖所示，出發12分鐘后，甲由A點到達B點，乙由O點到達C點，且OB=OC。如果乙改為向南走，那么這個條件相當于“兩人相距1800米，12分鐘相遇”的相遇問題，所以每分鐘兩人一共行1800÷12=150（米）。

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如右上圖所示，出發75分鐘后，甲由A點到達E點，乙由O點到達F點，且OE=OF。如果乙改為向北走，那么這個條件相當于“兩人相距1800米，75分鐘后甲追上乙”的追及問題，所以每分鐘兩人行走的路程差是1800÷75=24（米）。

再由和差問題，可求出乙每分鐘行（150-24）÷2=63（米），出發后75分鐘距十字路口63×75=4725（米）。

例2 小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時、48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時相向出發，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距多遠？

分析與解：如下圖所示，面包車與小轎車在A點相遇，此時大客車到達B點，大客車與面包車行BA這段路程共需30分鐘。

由大客車與面包車的相遇問題知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；

小轎車比大客車多行BA（45千米）需要的時間，由追及問題得到45÷（60-42）=2.5（時）；

在這2.5時中，小轎車與面包車共行甲、乙兩地的一個單程，由相遇問題可求出甲、乙兩地相距（60+48）×2.5=270（千米）。

由例

1、例2看出，將較復雜的綜合問題分解為若干個單一問題，可以達到化難為易的目的。

例3 小明放學后，沿某路公共汽車路線以不變速度步行回家，該路公共汽車也以不變速度不停地運行。每隔9分鐘就有一輛公共汽車從后面超過他，每隔7分鐘就遇到迎面開來的一輛公共汽車。問：該路公共汽車每隔多少分鐘發一次車？

分析與解：這是一道數量關系非常隱蔽的難題，有很多種解法，但大多數解法復雜且不易理解。為了搞清各數量之間的關系，我們對題目條件做適當變形。

假設小明在路上向前行走了63分鐘后，立即回頭再走63分鐘，回到原地。這里取63，是由于[7，9]=63。這時在前63分鐘他迎面遇到63÷7=9（輛）車，后63分鐘有63÷9=7（輛）車追上他，那么在兩個63分鐘里他共遇到朝同一方向開來的16輛車，則發車的時間間隔為

例4 甲、乙兩人在長為30米的水池里沿直線來回游泳，甲的速度是1米/秒，乙的速度是0.6米/秒，他們同時分別從水池的兩端出發，來回共游了11分鐘，如果不計轉向的時間，那么在這段時間里，他們共相遇了多少次？

分析與解：甲游一個單程需30÷1=30（秒），乙游一個單程需30÷0.6=50（秒）。甲游5個單程，乙游3個單程，各自到了不同的兩端又重新開始，這個過程的時間是150秒，即2.5分鐘，其間，兩人相遇了5次（見下圖），實折線與虛折線的交點表示相遇點。

以2.5分鐘為一個周期，11分鐘包含4個周期零1分鐘，而在一個周期中的第1分鐘內，從圖中看出兩人相遇2次，故一共相遇了5×4+2=22（次）。

例4用畫圖的方法，直觀地看出了一個周期內相遇的次數，由此可見畫圖的重要性。

例5甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達山頂后就立即下山。他們兩人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山頂時乙距山頂還有400米，甲回到山腳時乙剛好下到半山腰。求從山腳到山頂的距離。

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問題就可能變得容易些。

如果兩人下山的速度與各自上山的速度相同，那么題中“甲回到山腳時

分析與解：題中給出的已知條件較復雜，我們用列表法求解。先設計出右圖的表格，表內用“√”表示肯定，用“×”表示否定。因為題目說“每人教兩門”，所以每一橫行都應有2個“√”；因為每門課只有一人教，所以每一豎列都只有1個“√”，其余均為“×”。

由（3）知，張聰不是體育、數學老師；由（5）知，王仁不是語文、音樂老師；由（2）（4）知，王仁不是體育老師，推知陳來是體育老師。至此，得到左下表

由（3）知，體育老師與數學老師不是一個人，即陳來不是數學老師，推知王仁是數學老師；由（1）知，數學老師王仁不是英語老師，推知王仁是美術老師。至此，得到右上表。

由（4）知，體育老師陳來與語文老師不是一個人，即陳來不是語文老師，推知張聰是語文老師；由（5）知，語文老師張聰不是音樂老師，推知陳來是音樂老師；最后得到張聰是英語老師，見下表。

所以，張聰教語文、英語，王仁教數學、美術，陳來教音樂、體育。

以上推理過程中，除充分利用已知條件外，還將前面已經推出的正確結果作為后面推理的已知條件，充分加以利用。另外，還充分利用了表格中每行只有兩個“√”，每列只有一個“√”，其余都是“×”這個隱含條件。

例1的推理方法是不斷排斥不可能的情況，選取符合條件的結論，這種方法叫做排他法。

例2 小明、小芳、小花各愛好游泳、羽毛球、乒乓球中的一項，并分別在一小、二小、三小中的一所小學上學?，F知道：

（1）小明不在一?。?/p>

（2）小芳不在二??；

（3）愛好乒乓球的不在三?。?/p>

（4）愛好游泳的在一??；

（5）愛好游泳的不是小芳。

問：三人上各愛好什么運動？各上哪所小學？

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出的關系用下面的表

1、表

2、表3表示：

3.三戶人家每家有一個孩子，分別是小平（女）、小紅（女）和小虎（男），孩子的爸爸是老王、老張和老陳，媽媽是劉英、李玲和方麗。

（1）老王和李玲的孩子都參加了少年女子體操隊；

（2）老張的女兒不是小紅；

（3）老陳和方麗不是一家人。

請你將三戶人家區分開。

4.甲、乙、丙三人，他們的籍貫分別是遼寧、廣西、山東，他們的職業分別是教師、工人、演員。已知：

（1）甲不是遼寧人，乙不是廣西人；

（2）遼寧人不是演員，廣西人是教師；

（3）乙不是工人。

求這三人各自的籍貫和職業。

5.甲說：“乙和丙都說謊。”乙說：“甲和丙都說謊?！北f：“甲和乙都說謊。”根據三人所說，你判斷一下，下面的結論哪一個正確：

（1）三人都說謊；

（2）三人都不說謊；

（3）三人中只有一人說謊；

（4）三人中只有一人不說謊。

6.五號樓住著四個女孩和兩個男孩，他們的年齡各不相同，最大的10歲，最小的4歲，最大的女孩比最小的男孩大4歲，最大的男孩比最小的女孩也大4歲，求最大的男孩的歲數。第28講 邏輯問題

（二）例1老師拿來五頂帽子，兩頂紅的三頂白的。他讓三個聰明的同學甲、乙、丙按甲、乙、丙的順序排成一路縱隊，并閉上眼睛，然后分別給他們各戴上一頂帽子，同時把余下的帽子藏起來。當他們睜開眼后，乙和丙都判斷不出自己所戴帽子的顏色，而站在最前面的甲卻根據此情況判斷出了自己所戴帽子的顏色。

甲戴的帽子是什么顏色？他是怎樣判斷的？

分析與解：這是一個典型的邏輯推理問題。甲站在最前面，雖然看不見任何一頂帽子，但他可以想到：如果我和乙戴的都是紅帽子，因為一共只有兩頂紅帽子，那么丙就會判斷出自己戴的是白帽子。丙判斷不出自己戴的帽子的顏色，說明我和乙戴的帽子是兩白或一白一紅。

甲接著想：乙也很聰明，當他看到丙判斷不出自己戴的帽子的顏色時，他也能判斷出我們兩人戴的帽子是兩白或一白一紅。此時，如果他看到我戴是紅帽子，那么他就會知道自己戴的是白帽子，只有我戴的是白帽子時，他才可能猜不出自己戴的帽子的顏色。所以，我戴的一定是白帽子。

例1中，甲的分析非常精采，嚴密而無懈可擊。

例2三個盒子各裝兩個球，分別是兩個黑球、兩個白球、一個黑球一個白球。封裝后，發現三個盒子的標簽全部貼錯。如果只允許打開一個盒子，拿出其中一個球看，那么能把標簽全部糾正過來嗎？

分析與解：因為“三個盒子的標簽全部貼錯”了，貼錯的情況見下圖（○表示白球，●表示黑球）:

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950-

2.五年級有四個班，每個班有兩名班長，每次召開年級班長會議時各班參加一名班長。參加第一次會議的是A，B，C，D，參加第二次會議的是E，B，F，D，參加第三次會議的是A，E，B，G。已知H三次會都沒參加，請問每個班各是哪兩位班長？

3.甲、乙、丙、丁四個學生坐在同一排的相鄰座位上，座號是1號至4號。一個專說謊話的人說：“乙坐在丙的旁邊，甲坐在乙和丙的中間，乙的座位不是3號。”問：坐在2號座位上的是誰？

4.李大娘問三位青年人的年齡。

小張說：“我22歲。比小吳小2歲。比小徐大1歲?！?/p>

小吳說：“我不是年齡最小的。小徐和我差3歲。小徐25歲?！?/p>

小徐說：“我比小張年齡小。小張23歲。小吳比小張大3歲?！?/p>

這三位青年人愛開玩笑，每人講的三句話中，都有一句是錯的。李大娘難辯真真假假，請你幫助李大娘弄清這三人的年齡。

5.A，B，C三支足球隊舉行循環比賽（每隊之間賽一場），下面是記有詳細比賽情況的表。但后來發現表中有四個數是錯誤的。請按規定重制一張正確的表格。（勝一場記2分，負一場記0分，平一場雙方各記1分。）

6.某次數學測驗，共有六道試題，均是是非題。正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。每題答對得2分，不答得1分，答錯得0分。甲、乙、丙、丁的答案及前三人的得分如下表，求丁得了多少分。

第29講 抽屜原理(一)

我們在四年級已經學過抽屜原理，并能夠解答一些簡單的 抽屜原理問題。這兩講先復習一下抽屜原理的概念，然后結合一些較復雜的抽屜原理問題，討論如何構造抽屜。

抽屜原理1將多于n件物品任意放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于2件。

抽屜原理2將多于m×n件物品任意放到到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中的物品不少于（m+1）件。

理解抽屜原理要注意幾點：(1)抽屜原理是討論物品與抽屜的關系，要求物品數比抽屜數或抽屜數的倍數多，至于多多少，這倒無妨。

（2）“任意放”的意思是不限制把物品放進抽屜里的方法，不規定每個抽屜中都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個抽屜放物品的個數。

（3）抽屜原理只能用來解決存在性問題，“至少有一個”的意思就是存在，滿足要求的抽屜可能有多個，但這里只需保證存在一個達到要求的抽屜就夠了。

（4）將a件物品放入n個抽屜中，如果a÷n= m??b，其中b是自然數，那么由抽屜原理2就可得到，至少有一個抽屜中的物品數不少于（m+1）件。

例1 五年級有47名學生參加一次數學競賽，成績都是整數，滿分是100分。已知3名學生的成績在60分以下，其余學生的成績均在75～95分之間。問：至少有幾名學生的成績相同？

分析與解：關鍵是構造合適的抽屜。既然是問“至少有幾名學生的成績相同”，說明應以成績為抽屜，學生為物品。除3名成績在60分以下的學生外，其余成績均在75～95分之間，75～95共有21個不同分數，將這21個分數作為21個抽屜，把47-3=44（個）學生作為物品。

44÷21= 2??2，根據抽屜原理2，至少有1個抽屜至少有3件物品，即這47名學生中至少有3名學生的成績是相同的。

第二篇：三年級數學奧數基礎課程教案(30講全)

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第1講 加減法的巧算 第2講 橫式數字謎(一)第3講 豎式數字謎(一)第4講 豎式數字謎(二)第5講 找規律(一)第6講 找規律(二)第7講 加減法應用題 第8講 乘除法應用題 第9講平均數 第10講 植樹問題 第11講 巧數圖形 第12講 巧求周長 第13講 火柴棍游戲(一)第14講 火柴棍游戲(二)第15講 趣題巧解 第16講 數陣圖(一)第17講 數陣圖(二)第18講 能被2，5整除的數的特征

第19講 能被3整除的數的特征 第20講 乘、除法的運算律和性質

第21講 乘法中的巧算 第22講 橫式數字謎(二)第23講 豎式數字謎(三)第24講 和倍應用題 第25講 差倍應用題 第26講 和差應用題 第27講 巧用矩形面積公式 第28講 一筆畫(一)第29講 一筆畫(二)第30講 包含與排除

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第2講 橫式數字謎(一)在一個數學式子(橫式或豎式)中擦去部分數字，或用字母、文字來代替部分數字的不完整的算式或豎式，叫做數字謎題目。解數字謎題就是求出這些被擦去的數或用字母、文字代替的數的數值。

例如，求算式324+□=528中□所代表的數。

根據“加數=和-另一個加數”知，□=582-324＝258。

又如，求右豎式中字母A，B所代表的數字。顯然個位數相減時必須借位，所以，由12-B＝5知，B＝12-5＝7；由A-1＝3知，A＝3＋1＝4。

解數字謎問題既能增強數字運用能力，又能加深對運算的理解，還是培養和提高分析問題能力的有效方法。

這一講介紹簡單的算式(橫式)數字謎的解法。

解橫式數字謎，首先要熟知下面的運算規則：(1)一個加數+另一個加數=和；(2)被減數-減數=差；(3)被乘數×乘數=積；(4)被除數÷除數=商。

由它們推演還可以得到以下運算規則：

由(1)，得 和-一個加數=另一個加數；

其次，要熟悉數字運算和拆分。例如，8可用加法拆分為

8＝0＋8＝1＋7＝2＋6＝3＋5＝4＋4；

24可用乘法拆分為

24＝1×24=2×12＝3×8＝4×6(兩個數之積)

=1×2×12＝2×2×6=?(三個數之積)

=1×2×2×6＝2×2×2×3=?(四個數之積)例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么數？(1)□+5＝13-6；(2)28-○＝15＋7；(3)3×△=54；(4)☆÷3＝87；(5)56÷*＝7。

解：(1)由加法運算規則知，□=13-6-5＝2；(2)由減法運算規則知，○＝28-(15＋7)＝6；(3)由乘法運算規則知，△＝54÷3＝18；(4)由除法運算規則知，☆=87×3＝261；(5)由除法運算規則知，*＝56÷7＝8。

例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么數？(1)□+□+□=48；(2)○＋○＋6＝21-○；(3)5×△-18÷6＝12；(4)6×3-45÷☆＝13。

解：(1)□表示一個數，根據乘法的意義知，□+□+□=□×3，故□=48÷3＝16。

(2)先把左端(○＋○＋6)看成一個數，就有

(○＋○＋6)＋○＝21，○×3＝21-6，○＝15÷3＝5。

(3)把5×△，18÷6分別看成一個數，得到

5×△=12＋18÷6，5×△=15，△=15÷5＝3。

(4)把6×3，45÷☆分別看成一個數，得到

45÷☆＝6×3-13，45÷☆＝5，☆＝45÷5＝9。

例3(1)滿足58＜12×□＜71的整數□等于幾？

(2)180是由哪四個不同的且大于1的數字相乘得到的？試把這四個數按從小到大的次序填在下式的□里。

180=□×□×□×□。(3)若數□，△滿足

□×△=48和□÷△=3，則□，△各等于多少？ 分析與解：(1)因為

58÷12＝4??10，71÷12＝5??11，并且□為整數，所以，只有□=5才滿足原式。(2)拆分180為四個整數的乘積有很多種方法，如

180＝1×4×5×90＝1×2×3×30＝?

但拆分成四個“大于1”的數字的乘積，范圍就縮小了，如

180＝2×2×5×9＝2×3×5×6＝?

若再限制拆分成四個“不同的”數字的乘積，范圍又縮小了。按從小到大的次序排列只有下面一種：

180＝2×3×5×6。

所以填的四個數字依次為2，3，5，6。

(3)首先，由□÷△=3知，□＞△，因此，在把48拆分為兩數的乘積時，有

48＝48×1＝24×2＝16×3＝12×4＝8×6，其中，只有48＝12×4中，12÷4=3，因此

□=12，△=4。

這道題還可以這樣解：由□÷△=3知，□=△×3。把□×△=48中的□換成△×3，就有

(△×3)×△＝48，于是得到△×△=48÷3＝16。因為16＝4×4，所以△=4。再把□=△×3中的△換成4，就有

□=△×3=4×3=12。

這是一種“代換”的思想，它在今后的數學學習中應用十分廣泛。

下面，我們再結合例題講一類“填運算符號”問題。例4 在等號左端的兩個數中間添加上運算符號，使下列各式成立：(1)4 4 4 4＝24；(2)5 5 5 5 5=6。

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再由兩個加數的個位數之和未進位，因而兩個加數的十位數字之和就是14。

故這兩個加數的四個數字之和是9＋14=23。(2)由于和的最高兩位數是19，而任何兩個一位數相加的和都不超過18，因此，兩個加數的個位數相加后必進一位。(這是“突破口”，與(1)不同)

這樣，兩個加數的個位數字相加之和是15，十位數字相加之和是18。

所求的兩個加數的四個數字之和是15＋18＝33。

注意：(1)(2)兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。(1)是從和的個位著手分析，(2)是從和的最高兩位著手分析。

例3 在下面的豎式中，A，B，C，D，E各代表什么數？ 分析與解：解減法豎式數字謎，與解加法豎式數字謎的分析方法一樣，所不同的是“減法”。

首先，從個位減起(因已知差的個位是5)。4＜5，要使差的個位為5，必須退位，于是，由14-D＝5知，D=14-5＝9。(這是“突破口”)

再考察十位數字相減：由B-1-0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0＝9，從而B＝0。

百位減法中，顯然E=9。

千位減法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。

萬位減法中，由9-1-C＝0知，C＝8。

所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。例4 在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個不同的數字。請把這個文字式寫成符合題意的數字式。

分析與解：例3是從個位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。

由一個四位數減去一個三位數的差是三位數知，“炮”＝1。

被減數與減數的百位數相同，其相減又是退位相減，所以，“馬”＝9。至此，我們已得到下式：

由上式知，個位上的運算也是退位減法，由11-“車”=9得到“車”＝2。

因此，符合題意的數字式為：

例5 在右邊的豎式中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數字，它們各等于多少？

解：由(4×謎)的個位數是0知，“謎”＝0或5。

當“謎”＝0時，(3×式)的個位數是0，推知“式”＝0，與“謎”≠“式”矛盾。

當“謎”＝5時，個位向十位進2。

由(3×式+2)的個位數是0知，“式”＝6，且十位要向百位進2。

由(2×填+2)的個位數是0，且不能向千位進2知，“填”＝4。

最后推知，“巧”＝1。

所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“謎”＝5。

練習3

1.在下列各豎式的□中填上適當的數字，使豎式成立：

2.下列各豎式中，□里的數字被遮蓋住了，求各豎式中被蓋住的各數字的和：

3.在下列各豎式的□中填入合適的數字，使豎式成立： 4.下式中不同的漢字代表1～9中不同的數字，相同的漢字代表相同的數字。這個豎式的和是多少？

5.在下列各豎式的□中填入合適的數字，使豎式成立： 答案與提示練習3

1.(1)764＋265=1029；(2)981＋959=1940；(3)99＋ 903＝1002；(4)98＋97＋ 923＝1118。

2.(1)28；(2)75。

3.(1)23004-18501＝4503；(2)1056-989＝67；(3)24883-16789=8094；(4)9123-7684=1439。

4.987654321。

5.提示：先解上層數謎，再解下層數謎。

第4講 豎式數字謎(二)

本講只限于乘數、除數是一位數的乘、除法豎式數字謎問題。

掌握好乘、除法的基本運算規則(第2講的公式(3)(4)及推演出的變形式子)是解乘、除法豎式謎的基礎。根據題目結構形式，通過綜合觀察、分析，找出“突破口”是解題的關鍵。

例1 在左下乘法豎式的□中填入合適的數字，使豎式成立。

分析與解：由于積的個位數是5，所以在乘數和被乘數的個位數中，一個是5，另一個是奇數。因為乘積大于被乘數的7倍，所以乘數是大于7的奇數，即只能是9(這是問題的“突破口”)，被乘數的個位數是5。

因為7×9＜70＜8×9，所以，被乘數的百位數字只能是7。至此，求出被乘數是785，乘數是9(見右上式)。例2 在右邊乘法豎式的□里填入合適的數字，使豎式成立。

分析與解：由于乘積的數字不全，特別是不知道乘積的個位數，我們只能從最高位入手分析。

乘積的最高兩位數是2□，被乘數的最高位是3，由

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答案與提示 練習4

1.(1)7865×7＝55055；

(2)2379 × 8= 19032或 7379 × 8= 59032。

2.“我”＝5，“愛”=1，“數”=7，“學”=2。

3.“我”、“們”、“愛”、“祖”、“國”分別代表8，7，9，1，2。

4.(1)5607×7=801；(2)822÷3=274。

5.第5講 找規律(一)

這一講我們先介紹什么是“數列”，然后講如何發現和尋找“數列”的規律。

按一定次序排列的一列數就叫數列。例如，(1)1，2，3，4，5，6，?(2)1，2，4，8，16，32；(3)1，0，0，1，0，0，1，?(4)1，1，2，3，5，8，13。

一個數列中從左至右的第n個數，稱為這個數列的第n項。如，數列(1)的第3項是3，數列(2)的第3項是4。一般地，我們將數列的第n項記作an。

數列中的數可以是有限多個，如數列(2)(4)，也可以是無限多個，如數列(1)(3)。

許多數列中的數是按一定規律排列的，我們這一講就是講如何發現這些規律。

數列(1)是按照自然數從小到大的次序排列的，也叫做自然數數列，其規律是：后項=前項+1，或第n項an＝n。

數列(2)的規律是：后項=前項×2，或第n項

數列(3)的規律是：“1，0，0”周而復始地出現。

數列(4)的規律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即

a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，a6=3+5=8，a7=5+8=13。

常見的較簡單的數列規律有這樣幾類：

第一類是數列各項只與它的項數有關，或只與它的前一項有關。例如數列(1)(2)。

第二類是前后幾項為一組，以組為單元找關系才可找到規律。例如數列(3)(4)。

第三類是數列本身要與其他數列對比才能發現其規律。這類情形稍為復雜些，我們用后面的例

3、例4來作一些說明。

例1 找出下列各數列的規律，并按其規律在()內填上合適的數：

(1)4，7，10，13，()，?(2)84，72，60，()，()；(3)2，6，18，()，()，?(4)625，125，25，()，()；(5)1，4，9，16，()，?(6)2，6，12，20，()，()，?

解：通過對已知的幾個數的前后兩項的觀察、分析，可發現

(1)的規律是：前項+3=后項。所以應填16。(2)的規律是：前項-12=后項。所以應填48，36。(3)的規律是：前項×3=后項。所以應填54，162。(4)的規律是：前項÷5=后項。所以應填5，1。(5)的規律是：數列各項依次為

1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，所以應填5×5=25。(6)的規律是：數列各項依次為

2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，所以，應填 5×6=30，6×7=42。

說明：本例中各數列的每一項都只與它的項數有關，因此an可以用n來表示。各數列的第n項分別可以表示為

(1)an＝3n+1；(2)an＝96-12n；

(3)an-

15-n

2n＝2×3；(4)an＝5；(5)an＝n；(6)an＝n(n+1)。

這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數列(1)的第100項等于3×100+1=301。本例中，數列(2)(4)只有5項，當然沒有必要計算大于5的項數了。例2 找出下列各數列的規律，并按其規律在()內填上合適的數：

(1)1，2，2，3，3，4，()，()；(2)()，()，10，5，12，6，14，7；(3)3，7，10，17，27，()；(4)1，2，2，4，8，32，()。

解：通過對各數列已知的幾個數的觀察分析可得其規律。(1)把數列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發現其規律是：前一組每個數加1得到后一組數，所以應填4，5。

(2)把后面已知的六個數分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數的商都是2，且由5，6，7的次序知，應填8，4。

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第三個圖形中的“？”=5×3×8÷2=60；

第四個圖形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。(2)觀察前兩個圖形中的已知數，發現有

10=8+5-3，8=7+4-3，即三角形里面的數的和減去三角形外面的數就是中間小圓圈內的數。故

第三個圖形中的“？”=12+1-5=8；

第四個圖形中的“？”=7+1-5=3。例3 尋找規律填數：

解：(1)考察上、下兩數的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那個“？”=35-16=19，下面那個“？”=18+16=34。

(2)從左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，?知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，?知，9下面的“？”=14。例4 尋找規律在空格內填數：

解：(1)因為前兩圖中的三個數滿足：

256=4×64，72=6×12，所以，第三圖中空格應填12×15=180；第四圖中空格應填169÷13=13。第五圖中空格應填224÷7=32。(2)圖中下面一行的數都是上一行對應數的3倍，故43下面應填43×3=129；87上面應填87÷3=29。例5在下列表格中尋找規律，并求出“？”：

解：(1)觀察每行中兩邊的數與中間的數的關系，發現3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。

(2)觀察每列中三數的關系，發現1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？=4+5×2=14。例6 尋找規律填數：(1)(2)

解：(1)觀察其規律知(2)觀察其規律知：

觀察比較圖形、圖表、數列的變化，并能從圖形、數量間的關系中發現規律，這種能力對于同學們今后的學習將大有益處。練習6

尋找規律填數：

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0例4 一口枯井深230厘米，一只蝸牛要從井底爬到井口處。它每天白天向上爬110厘米，而夜晚卻要向下滑70厘米。這只蝸牛哪一個白天才能爬出井口？

分析與解：因蝸牛最后一個白天要向上爬110厘米，井深230厘米減去這110厘米后(等于120厘米)，就是蝸牛前幾天一共要向上爬的路程。

因為蝸牛白天向上爬110厘米，而夜晚又向下滑70厘米，所以它每天向上爬110-70=40(厘米)。

由于120÷40=3，所以，120厘米是蝸牛前3天一共爬的。故第4個白天蝸牛才能爬到井口。

若將例4中枯井深改為240厘米，其它數字不變，這只蝸牛在哪個白天才能爬出井口？(第5個白天)練習7

1.甲、乙、丙三人原各有桃子若干個。甲給乙2個，乙給丙3個，丙又給甲5個后，三人都有桃子9個。甲、乙、丙三人原來各有桃子多少個？

2.三座橋，第一座長287米，第二座比第一座長85米，第三座比第一座與第二座的總長短142米。第三座橋長多少米？

3.(1)幼兒園小班有巧克力糖40塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖24塊后，奶糖就比巧克力糖少了10塊。原有奶糖多少塊？

(2)幼兒園中班有巧克力糖48塊，還有一些奶糖。分給小朋友奶糖26塊后，奶糖就只比巧克力糖多18塊。原有奶糖多少塊？

4.一桶柴油連桶稱重120千克，用去一半柴油后，連桶稱還重65千克。這桶里有多少千克柴油？空桶重多少？ 5.一只蝸牛從一個枯水井底面向井口處爬，白天向上爬110厘米，而夜晚向下滑40厘米，第5天白天結束時，蝸牛到達井口處。這個枯水井有多深？

若第5天白天爬到井口處，這口井至少有多少厘米深？(厘米以下的長度不計)

6.在一條直線上，A點在B點的左邊20毫米處，C點在D點左邊50毫米處，D點在B點右邊40毫米處。寫出這四點從左到右的次序。

7.(1)五個不同的數的和為172，這些數中最小的數為32，最大的數可以是多少？

(2)六個不同的數的和為356，這些數中，最大的是68，最小的數可以是多少？ 答案與提示練習7

1.甲6個，乙10個，丙11個。

2.517米。

解：287＋(287＋ 85)-142= 517(米)。

3.(1)54塊；(2)92塊。解：(1)40-10＋ 24= 54(塊)；(2)48＋18＋26=92(塊)。

4.110千克，10千克。

解：柴油=(12－65)×2＝ 110(千克)，空桶=120-110=10(千克)。

5.390厘米；321厘米。

解：(110-40)× 4＋110=390(厘米)；

(110-40)× 3＋ 110＋1=321(厘米)。

6.A，C，B，D。

解：如右圖所示。

7.(1)38；(2)26。

解：(1)172-(32＋ 33＋ 34＋ 35)＝ 38；(2)356-(68＋ 67＋ 66＋ 65＋ 64)＝ 26 第8講 乘除法應用題

本講向同學們介紹如何利用乘、除法解答簡單應用題。用乘、除法解應用題，首先要明確下面幾個關系，然后根據應用題中的已知條件，利用這些數量關系求解。

被乘數×乘數=乘積，相同數×個數=總數，小數×倍數=大數，被除數÷除數=商，被除數÷商=除數，被除數÷除數=(不完全)商??余數。

例1學校開運動會，三年級有86人報名參加單項比賽，其他年級參加單項比賽的人數是三年級的4倍少5人。全校參加單項比賽的人數有多少人？

分析：先求出其他年級參賽人數，86×4-5＝339(人)，再加上三年級參賽人數，就可求出全校參賽人數。解：(86×4-5)＋86＝425(人)。

答：全校參賽425人。

本題中全校參賽人數也可以看成是三年級參賽人數的5倍少5人，所以可列式為

86×5-5＝425(人)。

例2有5只猴子，其中2只各摘了7個桃子，另外3只各摘了12個桃子。把所有摘下的桃子平均分給這5只猴子，每只猴子能分到多少個桃子？ 解：共摘桃子7×2＋12×3＝50(個)，平均每只猴可分50÷5＝10(個)。

綜合算式(7×2＋12×3)÷5＝10(個)。

答：每只猴子能分到10個桃。

例3小白兔上山采摘了許多蘑菇。它把這些蘑菇先平均分成4堆，3堆送給它的小朋友，自己留一堆。后來它又把留下的這一堆平均分成3堆，兩堆送給別的小白兔，一堆自己吃。自己吃的這一堆有5個。它共采摘了多少個蘑菇？

分析：我們從后向前分析。當分成3堆時，共有5×3＝15(個)，這是分成4堆時每一堆的個數。所以，分成4堆時，共有15×4＝60(個)。解：(5×3)×4＝15×4=60(個)。

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2例1一小組六個同學在某次數學考試中，分別為98分、87分、93分、86分、88分、94分。他們的平均成績是多少？

解：總成績=98＋87＋93＋86＋88＋94＝546(分)。

這個小組有6個同學，平均成績是

546÷6＝91(分)。

答：平均成績是91分。

例2把40千克蘋果和80千克梨裝在6個筐內(可以混裝)，使每個筐裝的重量一樣。每筐應裝多少千克？ 解：蘋果和梨的總重量為

40＋80＝120(千克)。

因要裝成6筐，所以，每筐平均應裝

120÷6＝20(千克)。

答：每筐應裝20千克。

例3小明家先后買了兩批小豬，養到今年10月。第一批的3頭每頭重66千克，第二批的5頭每頭重42千克。小明家養的豬平均多重？ 解：兩批豬的總重量為

66×3＋42×5＝408(千克)。

兩批豬的頭數為3＋5＝8(頭)，故平均每頭豬重

408÷8＝51(千克)。

答：平均每頭豬重51千克。

注意，在上例中不能這樣來求每頭豬的平均重量：

(66＋42)÷2＝54(千克)。

上式求出的是兩批豬的“平均重量的平均數”，而不是(3＋5＝)8頭豬的平均重量。這是剛接觸平均數的同學最容易犯的錯誤！

例4一個學生為了培養自己的數學解題能力，除了認真讀一些書外，還規定自己每周(一周為7天)平均每天做4道數學競賽訓練題。星期一至星期三每天做3道，星期四不做，星期五、六兩天共做了13道。那么，星期日要做幾道題才能達到自己規定的要求？

分析：要先求出每周規定做的題目總數，然后求出星期一至星期六已做的題目數。兩者相減就是星期日要完成的題目數。

每周要完成的題目總數是4×7=28(道)。星期一至星期六已做題目3×3＋13＝22(道)，所以，星期日要完成28-22＝6(道)。

解：4×7-(3×3＋13)＝6(道)。

答：星期日要做6道題。

例5三年級二班共有42名同學，全班平均身高為132厘米，其中女生有18人，平均身高為136厘米。問：男生平均身高是多少？ 解：全班身高的總數為

132×42＝5544(厘米)，女生身高總數為

136×18＝2448(厘米)，男生有42-18＝24(人)，身高總數為

5544-2448＝3096(厘米)，男生平均身高為

3096÷24＝129(厘米)。

綜合列式：

(132×42-136×18)÷(42-18)＝129(厘米)。

答：男生平均身高為129厘米。

例6小敏期末考試，數學92分，語文90分，英語成績比這三門的平均成績高4分。問：英語得了多少分？

分析：英語比平均成績高的這4分，是“補”給了數學和語文，所以三門功課的平均成績為

(92＋90＋4)÷2＝93(分)，由此可求出英語成績。解：(92＋92＋4)÷2＋4＝97(分)。

答：英語得了97分。練習9

1.一班有40個學生，二班有42個學生，三班有45個學生。開學后又轉學來了11個學生。怎樣分才能使每班學生人數相等？

2.小崗計劃4天做15道數學題，結果多做了9道。平均每天做了多少道？

3.一小組同學體檢量身高時發現其中2人的身高是123厘米，另外4人的身高均為132厘米。這個小組同學的平均身高是多少？

4.小梅做跳繩練習，第一次跳了67下，第二次跳了76下。她要想三次平均成績達到80下，第三次至少要跳多少下？

5.一農機站有960千克的柴油。用了6天，還剩240千克。照此用法，剩下的柴油還可用幾天？

6.小浩為培養自己的閱讀能力，自己規定這一個月(30天)要讀完共288頁的彩圖世界童話名著《伊索寓言》。頭9天平均每天讀了8頁，第二個9天平均每天讀了10頁，第三個9天平均每天讀了11頁。最后三天平均每天需要讀幾頁才能達到自己規定的要求？

7.五個同學期末考試的數學成績平均94分，而其中有三個同學的平均成績為92分，另兩個同學的平均成績是多少？

8.小亮學游泳，第一次游了25米，第二次游的距離比兩次游的平均距離多8米。小亮第二次游了多少米？

9.籃球隊中四名隊員的平均身高是182厘米，另一名隊員的身高比這五隊員的平均身高矮8厘米，這名隊員的身高是多少？ 答案與提示 練習9

1.一、二、三班分別轉入6，4，1人。

提示：每班應有(40＋42＋45＋11)÷3＝46(人)。

2.6道。解：(15＋9)÷4=6(道)。

3.129厘米。

解：(123×2＋132×4)÷6=129(厘米)。

4.97下。解：80×3－(67＋76)＝97(下)。

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同理，十個鐵環連在一起的長度為

40×10-6×(10-1)=346(毫米)。

答：五個鐵環連在一起的長度為176毫米。十個鐵環連在一起的長度為346毫米。

例5父子倆一起攀登一個有300個臺階的山坡，父親每步上3個臺階，兒子每步上2個臺階。從起點處開始，父子倆走完這段路共踏了多少個臺階？(重復踏的臺階只算一個)。

解：因為兩端的臺階只有頂的臺階被踏過，根據已知條件，兒子踏過的臺階數為

300÷2＝150(個)，父親踏過的臺階數為300÷3＝100(個)。

由于2×3=6，所以父子倆每6個臺階要共同踏一個臺階，共重復踏了300÷6＝50(個)。所以父子倆共踏了臺階

150＋100-50＝200(個)。

答：父子倆共踏了200個臺階。

練習10

1.學校有一條長60米的走道，計劃在道路一旁栽樹。每隔3米栽一棵。

(1)如果兩端都各栽一棵樹，那么共需多少棵樹苗？

(2)如果兩端都不栽樹，那么共需多少棵樹苗？

(3)如果只有一端栽樹，那么共需多少棵樹苗？

2.一個長100米，寬20米的長方形游泳池，在離池邊3米的外圍圈(仍為長方形)上每隔2米種一棵樹。共種了多少棵樹？

3.一根90厘米長的鋼條，要鋸成9厘米長的小段，一共要鋸幾次？

4.測量人員測量一條路的長度。先立了一個標桿，然后每隔40米立一根標桿。當立桿10根時，第1根與第10根相距多少米？

5.學校舉行運動會。參加入場式的儀仗隊共180人，每6人一行，前后兩行間隔120厘米。這個儀仗隊共排了多長？

6.在一條長1200米的河堤邊等距離植樹(兩端都要植樹)。已挖好每隔6米植一棵樹的坑，后要改成每隔4米植一棵樹。還要挖多少個坑？需要填上多少個坑？

7.一個車隊以5米/秒的速度緩緩地通過一座210米長的大橋，共用100秒。已知每輛車長5米，兩車之間相隔10米，那么這個車隊共有多少輛車？

答案與提示練習10

1.(1)21棵；(2)19棵；(3)20棵。

2.132棵。

解：(100＋3×2)×2＋(20＋3×2)×2＝264(米)，264÷2＝132(棵)。

3.9次。

4.360米。

5.34米80厘米。

解：180÷6=30(行)，120×(30-1)=3480厘米)。

6.200個；100個。

解：原有坑1200÷6＋1=201(個)，現有坑1200÷4＋1=301(個)，其中重復而不需要新挖的坑有1200÷12＋

1=101(個)，需要新挖的坑有301－101=200(個)，需要填上的坑有201-101=100(個)。

7.20輛。

解：車隊長5×100-210=290(米)，共有車(290-5)÷(5＋10)＋1=20(輛)。

第11講 巧數圖形

數出某種圖形的個數是一類有趣的圖形問題。由于圖形千變萬化，錯綜復雜，所以要想準確地數出其中包含的某種圖形的個數，還真需要動點腦筋。要想有條理、不重復、不遺漏地數出所要圖形的個數，最常用的方法就是分類數。

例1數出下圖中共有多少條線段。

分析與解：我們可以按照線段的左端點的位置分為A，B，C三類。如下圖所示，以A為左端點的線段有3條，以B為左端點的線段有2條，以C為左端點的線段有1條。所以共有3＋2＋1＝6(條)。

我們也可以按照一條線段是由幾條小線段構成的來分類。如下圖所示，AB，BC，CD是最基本的小線段，由一條線段構成的線段有3條，由兩條小線段構成的線段有2條，由三條小線段構成的線段有1條。

所以，共有3＋2＋1＝6(條)。

由例1看出，數圖形的分類方法可以不同，關鍵是分類要科學，所分的類型要包含所有的情況，并且相互不重疊，這樣才能做到不重復、不遺漏。例2 下列各圖形中，三角形的個數各是多少？

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2.下列圖形中各有多少個三角形？

3.下列圖形中，各有多少個小于180°的角？

4.下列圖形中各有多少個三角形？

5.下列圖形中各有多少個長方形？

6.下列圖形中，包含“*”號的三角形或長方形各有多少？

7.下列圖形中，不含“*”號的三角形或長方形各有幾個？

答案與提示 練習11

1.(1)28；(2)210。2.(1)36；(2)8。

3.(1)10；(2)15。

4.(1)9個；(2)16個；(3)21個。

5.(1)60個；(2)66個。

6.(1)12個；(2)32個。

7.(1)21個；(2)62個。

提示：4～7題均采用按所含小塊的個數分類(見下

表)，表中空缺的為0。

第12講 巧求周長

我們知道：

這兩個計算公式看起來十分簡單，但用途卻十分廣泛。用它們可以解決許多直角多邊形(所有的角都是直角的多邊形)的周長問題。這是因為直角多邊形總可以分割

成若干個正方形或長方形。

例如，下面的圖形都可以分割成若干個正方形或長

方形，當然分割的方法不是唯一的。

由此，可以演變出許多只涉及正方形、長方形周長計算公式的題目。

例1一個苗圃園(如左下圖)，周邊和中間有一些路供人

行走(圖中線段表示“路”)，幾個小朋友在里面觀賞時發現：從A處出發，在速度一樣的情況下，只要是按“向右”、“向上”方向走，幾個人分頭走不同的路線，總會同時達到B處。你知道其中的道理嗎？

分析與解：如右上圖所示，將各個交點標上字母。由A處到B處，按“向右”、“向上”方向走，只有下面六條路線：

(1)A→C→D→E→B；(2)A→C→O→E→B；(3)A→C→O→F→B；(4)A→H→G→F→B；(5)A→H→O→E→B；(6)A→H→O→F→B。

因為A→C與H→O，G→F的路程一樣長，所以可以把它們都換成A→C；同理，將O→E，F→B都換成C→D；

將A→H，C→O都換成D→E；將H→G，O→F都換成E→B。這樣換過之后，就得到六條路線的長度都與第(1)條路線相同，而第(1)條路線的長“AD+DB”就是長方形的“長+

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6.如右圖所示，一個正方形被分成了三個相同的長方形。如果其中一個長方形的周長是16米，那么這個正方形的周長是多少米？

答案與提示練習12

1.50厘米。2.24厘米。

3.188米。解：(28＋16＋50)×2=188(米)。

4.76厘米。

解：7個長方形的周長之和，減去圖中重疊(虛線)部分，(5＋3)×2×7－3×2×6＝76(厘米)。

5.60厘米。提示：每個小方格的邊長為3厘米。

6.24米。

解：三個長方形的周長等于正方形的8個邊長，即等于正方形的兩個周長，故正方形的周長為16×3÷2＝24(米)。

第13講 火柴棍游戲(一)

火柴除了可作火種外，人們常用它來擺圖形、算式，做出許多有趣的游戲。它不受場地和時間的限制，只要有幾根火柴(或幾根長短一樣的細小木棍)就可以進行?；鸩裼螒蛟⒅R、技巧于游戲之中，啟迪你的智慧，開闊你的思路，豐富你的課余生活。

火柴游戲大體分為兩種：一種是擺圖形和變換圖形；一種是變換算式。

這一講我們先介紹變換圖形的游戲。1.擺圖形游戲

游戲1用8根火柴棍可以擺成一個正方形?，F添兩根，即用10根火柴能擺出與這個正方形同樣大小的圖形嗎？

分析與解：8根火柴擺一個正方形，每邊必是兩根火柴。它可以分成四個小正方形(如右圖)。因此，只要用10根火柴擺出有四個同樣大小的小正方形的圖形即可。下面的四個圖形都符合題意。

游戲2用8根火柴棍擺出八個大小一樣的三角形和兩個一樣大小的正方形。

分析與解：4根火柴可擺出一個正方形，另4根火柴又可擺出一個同樣大小的正方形。把這兩個正方形如右圖所示交叉放在一起，就形成八個相同的三角形。

2.移動火柴，變換圖形游戲

游戲3右圖是用10根火柴棍擺成的一座房子。請移動2根火柴，使房子改變方向。

解：如左下圖所示，除虛線表示的2根火柴外，其余火柴是左、右對稱的，所以改變房子的方向與這些火柴無關，應移動虛線表示的2根火柴(見右下圖)。

游戲4在左下圖中移動4根火柴棍，使圖形成為只有三個正方形的圖形。

解：因為只能移動4根火柴，所以圖中較長的邊(3根或4根火柴的邊)都不能動。把圖中最里面的4根火柴移補到右上圖的相關位置上即可。

游戲5在左下圖中移動4根火柴棍，使它變成3個

三角形，并且這3個三角形的面積之和與原來的六邊形面積相同。

解：原圖中有6個三角形，變化后剩下3個三角形，這3個三角形與原來的6個三角形的面積相同，必然有一個三角形的面積要增大。如右上圖所示，移動虛線表示的4根火柴。圖中下面的大三角形面積等于小三角形面積的4倍。

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0

其中“→”表示“可變為”。

做火柴棍算式游戲就是利用這些變化，改變算式，使之符合題目要求。

下面舉的幾個例子，只要仔細觀察答式，就可以明白是如何按規定變化的，因此就不再進行過細說明了。

游戲1下面火柴棍擺的算式都是錯的。請在各式中去掉或添加1根火柴棍，使各式成立：

解：(1)去掉1根，可變為

(2)添加1根，可變為

(3)去掉1根，可變為

游戲2在下列各式中只移動1根火柴棍，使錯誤的式子變成正確的算式：

解：(1)把221中的1移到等號右邊使1變成7。

(2)把17前面的“+”變成“-”，這1根移到等號右邊使71變成21。

(3)移動7中1根到4前面去。

游戲3下面的兩個算式都是錯誤的，各移動2根火柴，使它們都變成正確的算式：

解：(1)右邊移2根到左邊，變為正確算式。

(2)左邊的2根火柴移動后，變為正確算式。

游戲4 每式移動3根火柴棍，使各式都變為正確的算式：

為了鍛練同學們變換算式的靈活性，我們再做一個游戲。

游戲5 下面是一個不正確的不等式，請移動其中

1根火柴，使不等式成立。要求找到盡可能多的不同的移動方法。

分析與解：因為右邊的21無法通過移動一根火柴變小，所以只考慮左邊算式，或使被減數變大，或使減數變小，或改變“-”、“＞”等符號。

將“-”號變為“+”號，有

改變“＞”號，有

改變被減數與減數，有

練習14

1.在下面各式中去掉或添加1根火柴棍，使各式變成正確的算式：

2.在下面各式中，只移動1根火柴棍，使各式變為正確的算式：

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3.移動2根火柴棍，使下面的不等式反向：

4.在下列各式中移動2根火柴，使它們成立：

5.移動3根火柴棍，使下式成立：

6.在下面的等式中，移動3根火柴棍，使其成為一個新的等式：

7.下面是一個不正確的不等式，請移動其中1根火柴，使不等式成立。請找出盡量多的不同移法。

答案與提示練習14

1.(1)12-2＝10；(2)14＋1＝15。

2.(1)7＋7=7＋7；(2)12-2＋1=11；

(3)14-7＋4=11。

3.4＋1＜7。

4.(1)2＋3=5；(2)19＋10＋9=38。

5.19×7＝133。

6.86-63=23。

7.93-91＜32，93-31＜92，93＋31＞32，33＋31＜92，53＋31＜92。第15講 趣題巧解

為了考考同學們的智力和靈氣，先提幾個問題：

一張長方形的紙，用剪刀剪掉一個角，還剩幾個角？

把一根毛線對折兩次后剪一刀，毛線被剪成了幾段？

一樹枝上有10只鳥，用汽槍打中了一只，樹枝上還剩幾只鳥？

這類智力問題很有趣，但回答時要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正確地解答這類題目，一是要全面考慮各種情況，二是要充分運用學過的數學知識，再就是還需要些思考問題的靈氣和非常規的思考方法。例1一張長方形紙片有四個角，用剪刀沿直線剪掉一個角后，還剩幾個角？

分析：由于已知“剪掉一個角”，但沒有限制如何剪，所以必須對這個已知條件中的“剪法”有一個全面的考慮。否則，不加思索地順口答出“還剩3個角”，答案就不全面了。當我們仔細考慮“剪法”的各種可能性后，再根據角的定義，就會得到全面而正確的答案。

解：由于剪掉長方形紙片的一個角有下頁圖所示的三種不同剪法(圖中陰影部分為剪掉的角)，所以，可能還有5個角、4個角或3個角。

答：還剩5個角、4個角或3個角。

例2 37個同學要坐船過河，渡口處只有一只能載5人的小船(無船工)。他們要全部渡過河去，至少要使用這只小船渡河多少次？

分析：如果由37÷5=7??2，得出7+1=8次，那么就錯了。因為忽視了至少要有1個人將小船劃回來這個特定的要求。實際情況是：小船前面的每一個來回至多只能渡4個人過河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5個人過河。

解：因為除最后一次可以渡5個人外，前面若干個來回每個來回只能渡過4個人，每個來回是2次渡河，所以至少渡河

[(37-5)÷4]×2+1=17(次)。

答：至少要渡河17次。

例3(1)右圖是10枚硬幣，移動其中1枚硬幣，使每一行上都有6枚硬幣。

(2)用12根火柴拼出6個邊長為1根火柴的正方形。分析與解：(1)10枚硬幣擺兩行，一般來說每行有10÷2=5(枚)。圖中的兩行卻是一行5枚一行6枚，原因是中間有1枚在兩行的交叉點上，所以出現了5+6＞10。由于題中并沒有規定每個位置上只準放一枚，所以，只要使其中1枚硬幣在兩直行的交叉點上再“重復”一下，即在兩行的交叉點上重疊地放2枚硬幣(見右上圖)，就可達到目的。

小學奧數基礎教程（三年級）

6.球場休息時，保管員慌忙中把甲、乙、丙三個運動員先前交給他的水瓶都遞送錯了，結果甲喝的是丙的。乙、丙各喝的是誰的？

7.有一個臺稱，只能稱40千克以上的重量，甲、乙、丙三個小朋友的體重都在20～39千克之間，他們都想知道自己的體重。用這臺稱怎樣才能知道他們各自的體重？

8.(1)三個小朋友三分鐘削三支鉛筆，九個小朋友六分鐘削幾支鉛筆？

(2)三只貓三天吃三只老鼠，六只貓幾天吃18只老鼠？ 答案與提示 練習15

1.能構成0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12個角。

2.如右圖的立體圖形。

3.180下。

4.2，4，5環。

提示：［(1＋2＋4＋5＋7＋9)-6］÷2=11，只有2＋4＋5=11。

5.每人都是3個。

提示：初始及各圈結束后，每人的蘋果數如下圖：

6.乙喝的是甲的，丙喝的是乙的。

7.先甲、乙、丙合稱，設重量為a千克；再甲、乙合稱，設為b千克；再甲、丙合稱，設為C千克。由此求出：

丙=a-b，乙=a-c，甲=b＋c-a。8.(1)18支；(2)9天。第16講 數陣圖(一)

在神奇的數學王國中，有一類非常有趣的數學問題，它變化多端，引人入勝，奇妙無窮。它就是數陣，一座真正的數字迷宮，它對喜歡探究數字規律的人有著極大的吸引力，以至有些人留連其中，用畢生的精力來研究它的變化，就連大數學家歐拉對它都有著濃厚的興趣。

那么，到底什么是數陣呢？我們先觀察下面兩個圖：

左上圖中有3個大圓，每個圓周上都有四個數字，有意思的是，每個圓周上的四個數字之和都等于13。右上圖就更有意思了，1～9九個數字被排成三行三列，每行的三個數字之和與每列的三個數字之和，以及每條對角線上的三個數字之和都等于15，不信你就算算。

上面兩個圖就是數陣圖。準確地說，數陣圖是將一些數按照一定要求排列而成的某種圖形，有時簡稱數陣。要排出這樣巧妙的數陣圖，可不是一件容易的事情。我們還是先從幾個簡單的例子開始。

例1 把1～5這五個數分別填在左下圖中的方格中，使得橫行三數之和與豎列三數之和都等于9。

同學們可能會覺得這道題太容易了，七拼八湊就寫

出了右上圖的答案，可是卻搞不清其中的道理。下面我們就一起來分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出復雜巧妙的數陣問題。

分析與解：中間方格中的數很特殊，橫行的三個數有它，豎列的三個數也有它，我們把它叫做“重疊數”。也就是說，橫行的三個數之和加上豎列的三個數之和，只有重疊數被加了兩次，即重疊了一次，其余各數均被加了一次。因為橫行的三個數之和與豎列的三個數之和都等于9，所以

(1+2+3+4+5)+重疊數=9+9，重疊數=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重疊數求出來了，其余各數就好填了(見右上圖)。例2 把1～5這五個數填入下頁左上圖中的○里(已填入5)，使兩條直線上的三個數之和相等。

分析與解：與例1不同之處是已知“重疊數”為5，而不知道兩條直線上的三個數之和都等于什么數。所

以，必須先求出這個“和”。根據例1的分析知，兩條直線上的三個數相加，只有重疊數被加了兩遍，其余各數均被加了一遍，所以兩條直線上的三個數之和都等于

[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

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如果每條直線上的三個數之和等于10，那么又該如何填？

2.將1～9這九個數分別填入右上圖中的○里(其中9已填好)，使每條直線上的三個數之和都相等。

如果中心數是5，那么又該如何填？

3.將1～9這九個數分別填入右圖的小方格里，使橫行和豎列上五個數之和相等。(至少找出兩種本質上不同的填法)

4.將3～9這七個數分別填入左下圖的○里，使每條直線上的三個數之和等于20。

5.將1～11這十一個數分別填入右上圖的○里，使每條直線上的三個數之和相等，并且盡可能大。

6.將1～7這七個數分別填入下圖的○里，使得每條直線上三個數之和與每個圓圈上的三個數之和都相等。

答案與提示 練習16

5.提示：中心數是重疊數，并且重疊4次。所以每條直線上的三數之和等于

［(1＋2＋?＋11)＋重疊數×4］÷5

＝(66＋重疊數×4)÷5。

為使上式能整除，重疊數只能是1，6或11。顯然，重疊數越大，每條直線上的三數之和越大。所以重疊數是11，每條直線上的三數之和是22。填法見右圖。

6.解：所有的數都是重疊數，中心數重疊兩次，其它數重疊一次。所以三條邊及兩個圓周上的所有數之和

為

(1＋2＋?＋7)×2＋中心數＝56＋中心數。

因為每條邊及每個圓周上的三數之和都相等，所以這個和應該是5的倍數，再由中心數在1至7之間，所

以中心數是4。每條邊及每個圓周上的三數之和等于(56＋4)÷5＝12。

中心數確定后，其余的數一下還不好直接確定。我們可以試著先從輻射型3-3圖開始。中心數是4，每邊其余兩數之和是12-4=8，兩數之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是得到左下圖的填法。

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一般地，在m邊形中，每條邊上有n個數的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。

與“輻射型m-n圖只有一個重疊數，重疊次數是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個重疊數，重疊次數都是1次。

對于封閉型數陣圖，因為重疊數只重疊一次，所以

已知各數之和+重疊數之和

=每邊各數之和×邊數。

由這個關系式，就可以分析解決封閉型數陣圖的問題。

前面我們講了輻射型數陣圖和封閉型數陣圖，雖然大多數數陣問題要比它們復雜些，但只要緊緊抓住“重疊數”進行分析，就能解決很多數陣問題。

例5把1～7分別填入左下圖中的七個空塊里，使每個圓圈里的四個數之和都等于13。

分析與解：這道題的“重疊數”很多。有重疊2次的(中心數，記為a)；有重疊1次的(三個數，分別記為b，c，d)。根據題意應有

(1+2+?+7)+a+a+b+c+d=13×3，即 a+a+b+c+d=11。

因為1+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。

練習17

1.把1～8填入下頁左上圖的八個○里，使每個圓圈上的五個數之和都等于20。

2.把1～6這六個數填入右上圖的○里，使每個圓圈上的四個數之和都相等。

3.將1～8填入左下圖的八個○中，使得每條邊上的三個數之和都等于15。

4.將1～8填入右上圖的八個○中，使得每條直線上的四個數之和與每個圓周上的四個數之和都相等。

5.將1～7填入右圖的七個○，使得每條直線上的各數之和都相等。

6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七

個空塊中，使得每個圓內的四個數之和都等于34。

答案與提示練習17

每個圓周的四數之和=12每個圓周的四數之和=13

每個圓周的四數之和=14

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9的30是偶數，所以，數42□必為奇數。于是，□里只能填奇數1，3，5，7，9。

(3)1，3，5，7，9，11，13，15都是奇數，由1×3為奇數，推知1×3×5為奇數??推知

1×3×5×7×9×11×13×15

為奇數。因為14為偶數，所以

(1×3×5×7×9×11×13×15)×14為偶數，即

1×3×5×7×9×11×13×14×15為偶數。

由例2得出：

(1)在全部是加、減法的運算中，若參加運算的奇數的個數是偶數，則結果是偶數；若參加運算的奇數的個數是奇數，則結果是奇數。

(2)在連乘運算中，只要有一個因數是偶數，則整個乘積一定是偶數。

例3在黑板上先寫出三個自然數3，然后任意擦去其中的一個，換成所剩兩個數的和。照這樣進行100次后，黑板上留下的三個自然數的奇偶性如何？它們的乘積是奇數還是偶數？為什么？ 解：根據奇偶數的運算性質知：

第一次擦后，改寫得到的三個數是6，3，3，是“二奇一偶”；

第二次擦后，改寫得到的三個數是6，3，3或6，9，3或6，3，9，都是“二奇一偶”。

以后若擦去的是偶數，則改寫得到的數為二奇數之和，是偶數；若擦去的是奇數，則改寫得到的數為一奇一偶之和，是奇數?？傊?，黑板上仍保持“二奇一偶”。

所以，無論進行多少次擦去與改寫，黑板上的三個數始終為“二奇一偶”。它們的乘積

奇數×奇數×偶數=偶數。

故進行100次后，所得的三個自然數的奇偶性為二奇數、一偶數，它們的乘積一定是偶數。

2.能被5整除的數的特征

由0×5=0，2×5=10，4×5=20，6×5=30，8×5= 40，?可以推想任何一個偶數乘以5，所得乘積的個位數都是0。

由1×5=5，3×5=15，5×5=25，7×5=35，9×5= 45，?可以推想，任何一個奇數乘以5，所得乘積的個位數都是5。

因此，能被5整除的數的個位數一定是0或5。也就是說，凡是個位數是0或5的整數一定能被5整除；凡是個位數不是0或5的整數一定不能被5整除。例如，870，6275，1234567890等都能被5整除，264，3588等都不能被5整除。

例4由0，3，5寫成的沒有重復數字的三位數中，有哪些能被5整除？

解：因為個位數為0或5的數才能被5整除，所以由0，3，5寫成的沒有重復數字的三位數中，只有350，530，305三個數能被5整除。

例5下面的連乘積中，末尾有多少個0？

1×2×3×?×29×30。

解：因為2×5=10，所以在連乘積中，有一個因子2和一個因子5，末尾就有一個0。連乘積中末尾的0的個數，等于1～30中因子2的個數與因子5的個數中較少的一個。而在連乘積中，因子2的個數比因子5的個數多(如4含兩個因子2，8含三個因子2)，所以，連乘積末尾0的個數與連乘積中因子5的個數相同。連乘積中含因子5的數有5，10，15，20，25，30，這些數中共含有七個因子 5(其中25含有兩個因子5)。所以，1×2×3×?×29×30的積中，末尾有七個0。練習18

1.在20～200的整數中，有多少個偶數？有多少個奇數？偶數之和與奇數之和誰大？大多少？

2.不算出結果，直接判斷下列各式的結果是奇數還是偶數：

(1)1＋2＋3＋4＋5；

(2)1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；

(3)1＋2＋3＋?＋9＋10；

(4)1＋3＋5＋?＋21＋23；

(5)13-12＋11-10＋?＋3-2＋1。

3.由4，5，6三張數字卡片能組成多少個能被2整除的三位數？

4.兩個質數之和是13，這兩個質數之積是多少？ 5.下面的連乘積中，末尾有多少個0？ 20×21×22×?×49×50。

6.用0，1，2，3，4，5這六個數碼組成的沒有重復數字的兩位數中，能被5整除的有幾個？能被2整除的有幾個？能被10整除的有幾個？

答案與提示 練習18

1.解：偶數有(200-20)÷2＋1=91(個)，奇數有(200-20)÷2＝90(個)，偶數之和比奇數之和大1×90＋20=110。

2.(1)奇數；(2)偶數；(3)奇數；(4)偶數；(5)奇數。3.6個。

提示：卡片6可以看成9，能被2整除的有

564，654，594，954，456，546。

4.22。

解：13為奇數，它必是一奇一偶之和。因為質數中唯一的偶數是2，所以這兩個質數中的偶數是2，奇數是13-2＝11，乘積為2×11=22。

5.9個0。

6.有9個能被5整除；有13個能被2整除；有5個能被10整除。

第19講 能被3整除的數的特征

上一講我們講了能被2，5整除的數的特征，根據這些特征，很容易就能判別出一個數是否能被2或5整除。

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我們在第1講中介紹了加、減法的運算律和性質，利用它們可以簡化一些加、減法算式的計算。本講將介紹在巧算中常用的一些乘、除法的運算律和性質，其目的也是使一些乘、除法計算得到簡化。

1.乘法的運算律

乘法交換律：兩個數相乘，交換兩個數的位置，其積不變。即

a×b=b×a。

其中，a，b為任意數。

例如，35×120=120×35=4200。

乘法結合律：三個數相乘，可以先把前兩個數相乘后，再與后一個數相乘，或先把后兩個數相乘后，再與前一個數相乘，積不變。即

a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。

注意：

(1)這兩個運算律中數的個數可以推廣到更多個的情形。即多個數連乘中，可以任意交換其中各數的位置，積不變；多個數連乘中，可以任意先把幾個數結合起來相乘后，再與其它數相乘，積不變。

(2)這兩個運算律常一起并用。例如，并用的結果有

a×b×c=b×(a×c)等。例1計算下列各題：

(1)17×4×25；(2)125×19×8；(3)125×72；(4)25×125×16。

分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，運用乘法交換律和結合律，在計算中盡量先把25與

4、把125與8或4結合起來相乘后，再與其它數相乘，以簡化計算。解：

(2)125×19×8

=(125×8)×19

=1000×19

=19000；(3)125×72

=125×(8×9)

=(125×8)×9

=1000×9

=9000；(4)25×125×16或

=25×125×2×8

=(25×2)×(125×8)

=50×1000

=50000，25×125×16

=25×125×4×4

=(25×4)×(125×4)

=100×500

=50000。

乘法分配律：兩個數之和(或差)與一數相乘，可用此數先分別乘和(或差)中的各數，然后再把這兩個積相加(或減)。即

(a+b)×c=a×c+b×c，(a-b)×c=a×c-b×c。例2計算下列各題：

(1)125×(40+8)；(2)(100-4)×25；(3)2004×25；(4)125×792。解：

(1)125×(40+8)

=125×40+125×8

=5000+1000

=6000；(2)(100-4)×25

=100×25-4×25

=2500-100

=2400；(3)2004×25

=(2000+4)×25

=2000×25+4×25

=50000+100

=50100；(4)125×792

=125×(800-8)

=125×800-125×8

=(125×8)×100-1000

=1000×100-1000

=1000×(100-1)

=99000。

2.除法的運算律和性質

商不變性質：被除數和除數乘(或除)以同一個非零數，其商不變。即

a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)

=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)例3計算：

(1)425÷25；(2)3640÷70。解：(1)425÷25

=(425×4)÷(25×4)

=1700÷100

=17；(2)3640÷70

=(3640÷10)÷(70÷10)

=364÷7

=52。

(2)兩數之和(或差)除以一個數，可以用這兩個數分別除以那個數，然后再求兩個商的和(或差)。即

(a±b)÷c=a÷c±b÷c。

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5.(1)384×12÷8；

(2)2352÷(7×8)；

(3)1200×(4÷12)；

(4)1250÷(10÷8)；

(5)2250÷75÷3；

(6)636×35÷7；

(7)(126×56)÷(7×18)。答案與提示練習20

1.(1)1200；(2)13000；(3)7000；(4)100000。

2.(1)10500；(2)2300；(3)22500；(4)11000。

3.(1)55；(2)56。

4.(1)152；(2)47；(3)9；(4)53。

5.(1)576；(2)42；(3)400；(4)1000；(5)10；(6)3180；(7)56。

第21講 乘法中的巧算

上一講我們介紹了乘、除法的一些運算律和性質，它是乘、除法中巧算的理論根據，也給出了一些巧算的方法。本講在此基礎上再介紹一些乘法中的巧算方法。

1.乘11，101，1001的速算法

一個數乘以11，101，1001時，因為11，101，1001分別比10，100，1000大1，利用乘法分配律可得

a×11=a×(10＋1)=10a＋a，a×101=a×(101＋1)=100a＋a，a×1001=a×(1000＋1)=1000a＋a。

例如，38×101=38×100＋38=3838。

2.乘9，99，999的速算法

一個數乘以9，99，999時，因為9，99，999分別比10，100，1000小1，利用乘法分配律可得

a×9=a×(10-1)=10a-a，a×99=a×(100-1)=100a-a，a×999=a×(1000-1)=1000a-a。

例如，18×99=18×100-18=1782。

上面講的兩類速算法，實際就是乘法的湊整速算。湊整速算是當乘數接近整

十、整百、整千??的數時，將乘數表示成上述整

十、整百、整千??與一個較小的自然數的和或差的形式，然后利用乘法分配律進行速算的方法。例1 計算：(1)356×1001

＝356×(1000＋1)

＝356×1000＋356

＝356000＋356

＝356356；(2)38×102

＝38×(100＋2)

＝38×100＋38×2

＝ 3800＋76

＝3876；

(3)526×99

＝526×(100-1)

＝ 526×100-526

＝ 52600-526

＝52074；(4)1234×9998

＝ 1234×(10000-2)

＝1234×10000-1234×2

＝12340000-2468

＝12337532。

3.乘5，25，125的速算法

一個數乘以 5，25，125時，因為 5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，所以可以利用“乘一個數再除以同一個數，數值不變”及乘法結合律，得到

例如，76×25＝7600÷4＝1900。

上面的方法也是一種“湊整”，只不過不是用加減法“湊整”，而是利用乘法“湊整”。當一個乘數乘以一個較小的自然數就能得到整

十、整百、整千??的數時，將乘數先乘上這個較小的自然數，再除以這個較小的自然數，然后利用乘法結合律就可達到速算的目的。例2 計算：(1)186×5

=186×(5×2)÷2

=1860÷2

=930；(2)96×125

=96×(125×8)÷8

=96000÷8=12000。

有時題目不是上面講的“標準形式”，比如乘數不是25而是75，此時就需要靈活運用上面的方法及乘法運算律進行速算了。例3 計算：(1)84×75

=(21×4)×(25×3)

=(21×3)×(4×25)

=63×100=6300；(2)56×625

=(7×8)×(125×5)

=(7×5)×(8×125)

=35×1000=35000；(3)33×125

=32×125+1×125

=4000+125=4125；(4)39×75

=(32+1)×125 =(40-1)×75

=40×75-1×75

=3000-75=2925。

4.個位是5的兩個相同的兩位數相乘的速算法

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5分析與解：(1)首先，從個位數分析，可知被乘數的個位數只能為4。

其次，從首位數分析知，被乘數□5□的首位數只能為2。因為，被乘數的首位取1時，×23的積的首位小于5，而取大于2的數時，積的首位數大于5。

由254×23＝5842知，填法如下：

(2)將問題轉換成“在 9□□4=□0□×48中填數”的問題。

類似(1)的分析，被乘數□0□的首位只能填2，個位數只能填3或8。由

203×48＝9744和208×48＝9984

知，有如下兩種填法：

例4 在下列各題中，每一題的四個□中都填同一個數字，使式子成立：(1)□+□＞□×□；(2)□+□=□×□；(3)□+□＜□×□。

解：解這類題全靠對數的深刻認識和對四則運算的熟練掌握。

(2)只能填2或0：

(3)除0，1，2三數字外，其他數字3，4，?，9都可填。

例5 在下式的□中填入合適的數字，并要求等式中沒有重復的數字：

756=□×□□□。

分析與解：將乘法式子改寫成除法式子：

756÷□=□□□。

因為被除數與商都是三位數，所以除數不能大于被除數的百位數7。又因為題目要求沒有重復數字，所以除數只可能是2，3，4。逐一試除，得到

756÷2＝378，756÷3＝252，756÷4＝189。

只有756÷4＝189沒有重復數字，所以只有一種填法：

例6 將0，1，2，3，4，5，6七個數字分別填入下式的七個□里，使算式成立：

□□÷□=□×□=□□。

分析與解：為了方便，我們將原式分成兩個等式，并在□里填上字母，以示區別：

其中字母A，B，C，D，E，F，G分別代表0～6這七個數字。由①式看出，E不能是0，否則B也是0，不合題意。再由②式看出，F，G既不能是0，也不能是1。F，G只能是 2，3，4，5或6，考慮到E≠0，再除去有重復數字的情形，滿足②式的數字填法只有3×4＝12。此時，還剩下0，5，6三個數字未填。因為在①式中A，C都不能是0，所以B是0，由60÷5＝12，得到符合題意的唯一填法：

練習22

1.在下列各式的□中分別填入相同的兩位數：

(1)5×□=2□；

(2)6×□＝3□。

2.將3～9中的數填入下列各式，使算式成立，要求各式中無重復的數字：

(1)□÷□=□÷□；

(2)□÷□＞□÷□。

3.在下列各式的□中填入合適的數字：

(1)448÷□□=□；

(2)2822÷□□=□□；

(3)13×□□= 4□6。

4.在下列各式的□中填入合適的數：

(1)□÷32＝8??31；

(2)573÷32＝□??29；

(3)4837÷□＝74??27。

5.在下列各式的□中填入合適的數字，要求各等式中無重復的數字：

(1)342÷□□=□；

(2)□×□□□＝567。

6.將1～9這九個數字分別填入下式中的九個□里，使連等式成立：

□÷□=□÷□=□□□÷□□。答案與提示

練習22

4.(1)287；(2)17；()65。

小學奧數基礎教程（三年級）

分析與解：將部分□用字母表示如右上式。

第1步：在A6×B＝□□8中，積的個位是 8，所以B只可能是3或8。由□□8＜11□知，□□8是108或118，因為108和118都不是8的倍數，所以B≠8，B＝3。又因為只有108是3的倍數，108÷3＝36，所以A＝3。

第2步：由 A6×C＝36×C=□□知，C只能是1或2。當C=1時，36×31＝1116；當C＝2時，36×32＝1152。

所以，本題有如下兩種填法：

練習23

1.在下列各式的□中填入合適的數字：

2.下列各題中，不同的漢字代表不同的數字，相同的漢字代表相同的數字。求出這些數字代表的數。

3.在下列各式的□中填入合適的數字：

4.在下面的豎式中，被除數、除數、商、余數的和是709。

請填上各□中的數字。

答案與提練習23

提示：(1)先確定乘數是11。

(2)先確定乘數的十位數是7，再確定被乘數的十位

數是1，最后確定乘數的個位是3。

2.(1)慶=3，祝=9；

(2)學=2，習=5，好=6。

提示：(2)由右式①②③知，“好”＞“習”，故“習”

＜9。再由②知“學”=2，“習”=4或5。若“習”＝4，則由“24好×4”知①是三位數，不合題意，所以“習”=5。再由①②③知“好”=6。

4.提示：由題意和豎式知，被除數＋除數＝709－21－3＝685，再由豎式知，被除數＝除數×21＋3，所以，除數×21＋3＋除數＝685，除數×22＝685－3＝682，除數＝682÷22＝31。

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9分析與解：這道題仍是和倍應用題，因為有“和”、有“倍數”。但這里的“和”不是 160，而是160－20＋10＝150，“1倍”數卻是“小灰兔又自己采了10個后的蘑菇數”。線段圖如下：

根據和倍公式，小灰兔現有蘑菇(即“1倍”數)

(160-20＋10)÷(5＋1)＝25(個)，故小灰兔原有蘑菇25-10＝15(個)，大白兔原有蘑菇

160-15＝145(個)。

答：原來大白兔采蘑菇145個，小灰兔采15個。練習24

1.小敏與爸爸的年齡之和是64歲，爸爸的年齡是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年齡各是多少歲？

2.一肉店賣出豬肉和牛肉共560千克，賣出的豬肉是賣出的牛肉的4倍。豬、牛肉各賣了多少千克？

3.甲、乙兩桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么這時甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙兩桶原有汽油各多少千克？

4.甲、乙兩人共生產零件100個，其中甲有2個零件、乙有5個零件不合格。已知乙生產的合格零件是甲生產的合格零件的2倍。甲、乙各生產了多少個零件？

5.團結村原有水田290公頃，旱田170公頃。要把多少公頃旱田改為水田，才能使水田的公頃數比旱田的公頃數多2倍？

6.紅星小學圖書館內，科技書是故事書的3倍，連環畫書又是科技書的2倍。已知這三種書共有1600本，那么每種書各有多少本？ 答案與提示 練習24

1.16歲，48歲。

2.448千克，112千克。

3.甲桶48千克，乙桶36千克。解：乙桶原有84÷(3＋1)＋15=36(千克)，甲桶原有84-36=48(千克)。

4.甲33個，乙67個。

解：甲=(100-2-5)÷(2＋1)＋2=33(個)，乙=100-33=67(個)。

5.55公頃。

解：170-(290＋170)÷(2＋1＋1)=55(公頃)。

6.故事書160本，科技書480本，連環畫960本。解：以故事書為“1倍”數，則科技書為它的3倍，連環畫書為它的3×2=6(倍)。由和倍公式，得

故事書有1600÷(1＋3＋6)＝160(本)，科技書有160×3=480(本)，連環畫有160×6＝960(本)。

第25講 差倍應用題

與和倍應用題相似的是差倍應用題。它的“基本數學格式”是：

已知大、小二數之“差”，又知大數是小數的幾倍，求大、小二數各是多少。

上面的問題中，有“差”、有“倍數”，所以叫做差倍應用題。差倍問題中大、小二數的數量關系可以用下面的線段圖表示：

從線段圖知，“差”是小數(即“1倍”數)的(倍數-1)倍，所以，小數=差÷(倍數-1)。

上式稱為差倍公式。由此得到

大數=小數+差，或

大數=小數×倍數。

例如，大、小數之差是152，大數是小數的5倍，則

小數=152÷(5-1)=38，大數=38＋152=190或38×5＝190。

例1 王師傅一天生產的零件比他的徒弟一天生產的零件多128個，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產多少個零件？

分析：師徒二人一天生產的零件的“差”是128個。小數(即“1倍”數)是徒弟一天生產的零件數，“倍數”為3。由差倍公式可以求解。解：徒弟一天生產零件

128÷(3-1)=64(個)，師傅一天生產零件

128＋64＝192(個)或64×3＝192(個)。

答：徒弟、師傅一天分別生產零件64個和192個。例2 兩根電線的長相差30米，長的那根的長是短的那根的長的4倍。這兩根電線各長多少米？

解：“差”＝30，倍數=4，由差倍公式得短的電線長

30÷(4-1)＝10(米)，長的電線長

10＋30＝40(米)或10×4＝40(米)。

答：短的電線長10米，長的電線長40米。

解差倍應用題的關鍵是確定“1倍”數是誰，“差”是什么。上兩例中，“1倍”數及“差”都極明顯地直接給出。下面講兩個稍有變化，不直接給出“差”和“1倍”數的例子。

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14243成一個大長方形(見下圖)，然后利用大長方形與兩個小長方形的面積之差，求出圖形的面積。

(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×3-(2＋3)×4＝58(米2)；

或

(5＋3＋4)×(2＋3＋2)-2×(3＋4)-3×4＝58(米2)。

由例1看出，計算直角多邊形面積，主要是利用“分割”和“添補”的方法，將圖形演變為多個長方形的和或差，然后計算出圖形的面積。其中“分割”是最基本、最常用的方法。

例2 右圖為一個長50米、寬25米的標準游泳池。它的四周鋪設了寬2米的白瓷地磚(陰影部分)。求游泳池面積和地磚面積。

分析與解：游泳池面積=50×25＝1250(米

2)。

求地磚面積時，我們可以將陰影部分分成四個長方形(見下圖)，從而可得白瓷地磚的面積為

(2＋25＋2)×2×2＋50×2×2＝316(米2)；

或

(2＋50＋2)×2×2＋25×2×2＝316(米2)。

求地磚的面積，我們還可以通過“挖”的方法，即從大長方形內“挖掉”一個小長方形(見右圖)。從而可得白瓷地磚面積為

(50＋2＋2)×(25＋2＋2)-50×25

=316(米2)。

例3 下圖中有三個封閉圖形，每個封閉圖形均由邊長為1厘米的小正方形組成。試求各圖形的面積。

解：每個小方格的面積為1厘米2。

圖(1)可分成四個凸出塊和一個中間塊，這五塊的面積都是2×2＝4(厘米2)。圖(1)的面積為

4×5＝20(厘米2)。

圖(2)可以看成是從長7厘米、寬6厘米的長方形中，“挖掉”4個邊長為2厘米的正方形。它的面積等于

7×6-(2×2)×4=26(厘米

2)。

圖(3)像個寶鼎，豎行分割，從左至右分成五塊，每塊面積依次為2，5，3，5，2厘米2，總面積為

2＋5＋3＋5＋2＝17(厘米2)。

例3中分割成正方形、長方形的方法很多，因而具體計算面積的方法也很多。由于圖形內所含方格數不多，所以也可以通過數圖中小方格的數目來求得面積。例4 一個長方形的周長是22厘米。如果它的長和寬都是整數厘米，那么這個長方形的面積(單位：厘米

2)有多少種可能值？最大、最小各是多少？

解：因為長方形的周長是22厘米，所以它的長、寬之和是22÷2＝11(厘米)?？紤]到長、寬都是整數厘米，只有如下情形：

所以，這個長方形的面積有五種可能值：10，18，24，28，30厘米

2。最大是30厘米2，最小是10厘米2

。練習27

1.甲、乙兩塊地都是長方形，且一樣長。

(1)如果甲地面積是乙地面積的2倍，那么甲地的寬是乙地的寬的多少倍？

(2)如果甲地的寬是乙地的寬的3倍，那么甲地面

積是乙地面積的多少倍？

2.求下列各圖的面積。(單位：厘米)

3.把邊長為40米的正方形運動場擴為長60米、寬50米的長方形運動場。此運動場面積擴大了多少？周長

增加了多少？

4.一個正方形的面積是144米

2。如果它被分成六個相同的長方形(如左下圖)，那么，其中一個長方形的面

積和周長各是多少？

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5數之和是偶數(任意個偶數之和是偶數)，于是得到所有端點的總數是奇數，這與前面的結論矛盾。所以一個圖形的奇點數目一定是偶數。

(2)有K個奇點的圖形要K÷2筆才能畫成。

例如：下頁左上圖中的房子共有B，E，F，G，I，J六個奇點，所以不是一筆畫。如果我們將其中的兩個奇點間的連線去掉一條，那么這兩個奇點都變成了偶點，如果能去掉兩條這樣的連線，使圖中的六個奇點變成兩個，那么新圖形就是一筆畫了。將線段GF和BJ去掉，剩下I和E兩個奇點(見右下圖)，這個圖形是一筆畫，再添上線段GF和BJ，共需三筆，即(6 ÷2)筆畫成。

一個K(K＞1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個奇點，如果在任意兩個奇點之間添加一條連線，那么這兩個奇點同時變成了偶點。如左下圖中的B，C兩個奇點在右下圖中都變成了偶點。所以只要在K筆畫的2K個奇點間添加(K-1)筆就可以使奇點數目減少為2個，從而變成一筆畫。

到現在為止，我們已經學會了如何判斷一筆畫和多筆畫，以及怎樣添加連線將多筆畫變成一筆畫。

練習28

1.下列圖形分別是幾筆畫？怎樣畫？

2.能否用剪刀從左下圖中一次連續剪下三個正方形和兩個三角形？

3.從A點出發，走遍右上圖中所有的線段，再回到A點，怎樣走才能使重復走的路程最短？

4.如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個島，有七座橋連接這兩個島及河岸。問：一個散步者能否一次不重復地走遍這七座橋？

答案與提示練習28

1.(1)(3)是一筆畫，(2)是兩筆畫。

2.能，因為是一筆畫。

3.見右圖，走法不唯一。

4.能。例如下圖的走法。

第29講 一筆畫(二)

利用一筆畫原理，我們可以解決許多有趣的實際問題。

例1 右圖是某展覽館的平面圖，一個參觀者能否不重復地穿過每一扇門？如果不能，請說明理由。如果能，應從哪開始走？

分析與解：我們將每個展室看成一個點，室外看成點E，將每扇門看成一條線段，兩個展室間有門相通表示兩個點間有線段相連，于是得到右圖。能否不重復地穿過每扇門的問題，變為右圖是否一筆畫問題。

右圖中只有A，D兩個奇點，是一筆畫，所以答案是肯定的，應該從A或D展室開始走。

例1的關鍵是如何把一個實際問題變為判斷是否一筆畫

問題，就像歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題時做的那樣。例2 一個郵遞員投遞信件要走的街道如下頁左上圖所示，圖中的數字表示各條街道的千米數，他從郵局出發，要走遍各街道，最后回到郵局。怎樣走才能使所走的行程最短？全程多少千米？

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分析與解：圖中共有8個奇點，必須在8個奇點間添加4條線，才能消除所有奇點，成為能從郵局出發最后返回郵局的一筆畫。在距離最近的兩個奇點間添加一條連線，如左上圖中虛線所示，共添加4條連線，這4條連線表示要重復走的路，顯然，這樣重復走的路程最短，全程30千米。走法參考右上圖(走法不唯一)。例3右圖中每個小正方形的邊長都是100米。小明沿線段從A點到B點，不許走重復路，他最多能走多少米？

分析與解：這道題大多數同學

都采用試畫的方法，實際上可以用一筆畫原理求解。首先，圖中有8個奇點，在8個奇點之間至少要去掉4條線段，才能使這8個奇點變成偶點；其次，從A點出發到B點，A，B兩點必須是奇點，現在A，B都是偶點，必須在與A，B連接的線段中各去掉1條線段，使A，B成為奇點。所以至少要去掉6條線段，也就是最多能走1800米，走法如下頁上圖?；?/p>

例2與例3的圖中各有8個奇點，都是通過減少奇點個數，將多筆畫變成一筆畫的問題，但它們采用的方法卻完全不同。因為例2中只要求走遍所有的線段，沒有要求不能重復，所以通過添加線段的方法(實際是重復走添加線段的這段路)，將奇點變為偶點，使多筆畫變成一筆畫。而在例3中，要求不能走重復的路，所以不能添加線段，只能通過減少線段的方法，將奇點變為偶點，使多筆畫變成一筆畫。區別就在于能否重復走！能“重復”就“添線”，不能“重復”就“減線”。

例4在六面體的頂點B和E處各有一只螞蟻(見右圖)，它們比賽看誰能爬過所有的棱線，最終到達終點D。已知它們的爬速相同，哪只螞蟻能獲勝？

分析與解：許多同學看不出這

是一筆畫問題，但利用一筆畫的知識，能非常巧妙地解答這道題。這道題只要求爬過所有的棱，沒要求不能重復?？墒莾芍晃浵伵浪傧嗤?，如果一只不重復地爬遍所有的棱，而另一只必須重復爬某些棱，那么前一只螞蟻爬的路程短，自然先到達D點，因而獲勝。問題變為從B到D與從E到D哪個是一筆畫問題。圖中只有E，D兩個奇點，所以從E到D可以一筆畫出，而從B到D卻不能，因此E點的螞蟻獲勝。

練習29

1.郵遞員要從郵局出發，走遍左下圖(單位：千米)

中所有街道，最后回到郵局，怎樣走路程最短？全程多少千米？

2.有一個郵局，負責21個村莊的投遞工作，右上圖中的點表示村莊，線段表示道路。郵遞員從郵局出發，怎樣才能不重復地經過每一個村莊，最后回到郵局？

3.一只木箱的長、寬、高分別為5，4，3厘米(見右圖)，有一只甲蟲從A點出發，沿棱爬行，每條棱不允許

重復，則甲蟲回到A點時，最多能爬行多少厘米？

答案與提示 練習29

1.50千米，走法見左下圖。

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2.見右上圖。

3.最多爬行34厘米。

提示：8個點都是奇點，故至少要少爬4條棱。少爬3厘米的棱和4厘米的棱各兩條是最合理的(見右圖)。

第30講 包含與排除

同學們對這個題目可能很陌生，為了搞清楚什么是“包含與排除”，大家先一起回答兩個問題：

(1)兩個面積都是4厘米

2的正方形擺在桌面上(見左下圖)，它們遮蓋住桌面的面積是8厘米2

嗎？

(2)一個正方形每條邊上有6個點(見右上圖)，四條邊上一共有24個點嗎？

聰明的同學馬上就會發現：

(1)兩個正方形的面積和是8厘米2，現在它們有一部分重疊了。因此蓋住桌面的面積應當從兩個正方形的面積和中減去重疊的這部分面積，所以蓋住桌面的面積應少于8厘米2。

(2)四個角上的點每個點都在兩條邊上，因此被重復計算了，在求四條邊上共有多少點時，應當減去重復計算的點，所以共有 6×4-4＝ 20(個)點。

這兩個問題，在計算時，都采用了“去掉”重復的數值(面積或個數)的方法。

一般地，若已知A，B，C三部分的數量(見右圖)，其中C為A，B的重復部分，則圖中的數量就等于

A＋ B-C。

因為A，B有互相包含(重復)的部分C，所以，在求A和B合在一起的數量時，就要在A＋B中減去A和B互相包含的部分C。這種方法稱為包含排除法。

實際上，我們前面已經遇到過包含與排除的問題。如，第10講“植樹問題”的例3和例4，只不過那時我們沒有明確提出“包含排除法”。

例1 把長38厘米和53厘米的兩根鐵條焊接成一根鐵條。已知焊接部分長4厘米，焊接后這根鐵條有多長？

解：因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后這根鐵條長

38＋ 53-4＝ 87(厘米)。

例2某小學三年級四班，參加語文興趣小組的有28人，參加數學興趣小組的有29人，有12人兩個小組都參加。這個班有多少人參加了語文或數學興趣小組？

分析與解：如上頁左下圖所示，A圓表示參加語文興趣小組的人，B圓表示參加數學興趣小組的人，A與B重合的部分(陰影部分)表示同時參加兩個小組的人。圖中A圓不含陰影的部分表示只參加語文興趣小組未參加數學興趣小組的人，有28-12＝16(人)；圖中B圓不含陰影的部分表示只參加數學興趣小組未參加語文興趣小組的人，有29-12＝17(人)(見上頁右下圖)。

由此得到參加語文或數學興趣小組的有

16＋ 12＋ 17＝ 45(人)。

根據包含排除法，直接可得

28＋ 29-12＝ 45(人)。

例3 某班共有46人，參加美術小組的有12人，參加音樂小組的有23人，有5人兩個小組都參加了。這個班既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的有多少人？

分析與解：與例2對比，本例已知全班總人數，如果能仿照例2求出參加了美術或音樂小組的人數，那么只需用全班總人數減去這個人數，就得到所求的人數。

根據包含排除法知，該班至少參加了一個小組的總人數為12＋ 23-5＝ 30(人)。所以，該班未參加美術或音樂小組的人數是46-30=16(人)。綜合列式為

46-(12＋ 23-5)＝ 16(人)。

例4 三年級科技活動組共有63人。在一次剪貼汽車模型和裝配飛機模型的定時科技活動比賽中，老師到時清點發現：剪貼好一輛汽車模型的同學有42人，裝配好一架飛機模型的同學有34人。每個同學都至少完成了一項活動。問：同時完成這兩項活動的同學有多少人？

分析與解：因42＋34＝76，76＞63，所以必有人同時完成了這兩項活動。由于每個同學都至少完成了一項活動，根據包含排除法知，42＋34-(完成了兩項活動的人數)=全組人數，即76-(完成了兩項活動的人數)＝63。

小學奧數基礎教程（三年級）

由減法運算法則知，完成兩項活動的人數為

76-63＝13(人)。

例5 在前100個自然數中，能被2或3整除的數有多少個？

分析與解：如右圖所示，A圓內是前100個自然數中所有能被2整除的數，B圓內是前100個自然數中所有能被3整除的數，C為前100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數。

100÷(3×5)＝6??10。

33＋20-6＝47。

6.33個。

解： 100÷2=50，100÷3=33??1，100÷6＝16??4。

100-(50＋33-16)＝33。

前100個自然數中能被2整除的數有100÷2=50

(個)。由 100÷3＝ 33?? 1知，前 100個自然數中能被 3整除的數有 33個。由 100÷(2×3)＝ 16??4知，前 100個自然數中既能被2整除也能被3整除的數有16個。

所以A中有50個數，B中有33個數，C中有16個數。因為A，B都包含C，根據包含排除法得到，能被2或3整除的數有

50＋ 33-16＝ 67(個)。練習30

1.三年級四班組織了一次象棋和軍棋的棋類比賽，參加象棋比賽的有35人，參加軍棋比賽的有24人，有16人兩項比賽都參加了。這個班參加棋類比賽的共有多少人？

2.某校一個歌舞表演隊里，能表演獨唱的有10人，能表演跳舞的有18人，兩種都能表演的有7人。這個表演隊共有多少人能登臺表演歌舞？

3.一班有45人，其中26人參加了數學競賽，22人參加了作文比賽，12人兩項比賽都參加了。一班有多少人兩項比賽都沒有參加？

4.甲、乙兩家合住在一套單元房里。甲家能夠使用的面積(包括廚房、廁所、走廊等，下同)有56米2，乙家能夠使用的面積有65米2，甲、乙兩家都能使用的面積有30米2。求這套單元的使用面積。

5.在自然數1～100中，能被3或5中任一個整除的數有多少個？

6.在自然數1～100中，不能被2，3中任一個整除的數有多少個？ 答案與提示 練習30

1.43人。解：35＋24-16=43(人)。

2.21人。解：10＋18-7=21(人)。

3.9人。解：45-(26＋22-12)=9(人)。

4.91米2。解：56＋65-30=91(米2)。

5.47個。

解： 100÷3=33??1，100÷5=20，9-

第三篇：五年級奧數教案上冊

速算技巧

（一）教學內容:速算技巧

（一）教學要求:(1)理解簡算方法,正確合理的進行簡便計算.(2)培養計算能力.教學重點: 理解簡算方法,靈活計算.教學難點: 能說出簡算方法.教學方法:講解法、練習法。教學過程：

（一）復習

加法交換律、結合律；減法的性質；乘法交換律、結合律、分配律；除法 的性質各是什么？

（二）新授

（1）教學例1 計算898+899+901+907+895+911+898+897+906+890 a、觀察數據特征討論可以怎么算？ b、分析這十個加數都接近900它們的和一定也接近900×10所以先把這些數當做900來加，“多加的要減去，少加的要補上”

898+899+901+907+895+911+898+897+906+890 =900×10-2-1+1+7-5+11-2-3+6-10 =9002 c、讓學生說出剛才我們是怎么算的？

（2）練習計算8888+253+249+248+250+248+246+251+255的值

（3）教學例2 計算1420×3.4+1.42×2300+14.2×430 a、觀察討論如何簡算？

b、分析：根據數字特征可想到運用乘法分配律及把一個因數

擴大（或縮小若干倍）另一個因數縮?。ɑ驍U大）相同的倍數，積的大小不變，這樣三個算式中有一個相同的因數。

1420×3.4+1.42×2300+14.2×430 =1420×3.4+1420×2.3+1420×4.3 =1420×（3.4+2.3+4.3）=14200 c、同座位運用積的變化規律說簡算方法。

（4）練習計算0.16×5.96+264×0.0596+72×0.596的值

（5）教學例3 計算63587-3963-2065+36413-4789-3183的值 a、學生嘗試練習；

b、講評，說出你怎么做的？

63587-3963-2065+36413-4789-3183 =（63587+36413）-（3963+2065+4789+3183）=86000（6）教學例4 計算（97932-97.932）÷（32644-32.644）的值 a、觀察數據特征討論可以怎么簡算？

b、分析本題中每個小括號中的被減數是減數的一千倍，并且兩個被減數、兩個減數之間都是三倍關系，因此可用乘法分配律，先把被除數改寫成97932-97.932=（32644-32.644）×3 再進行簡算

（97932-97.932）÷（32644-32.644）

=（32644×3-32.644×3）÷（32644-32.644）=[（32644-32.644）×3]÷（32644-32.644）=3 c、你還可以怎么做？

（7）比較四個例題，說出它們有什么異同？

（三）鞏固練習P4（1、2）、P7（1、3、8）

（四）本課小結

教學內容:速算技巧

（二）教學要求:(1)進一步理解簡算方法,正確合理的進行簡便計算.(2)培養計算能力.教學重點: 理解簡算方法,靈活計算.教學難點: 能說出簡算方法.教學方法:講解法、練習法、比較法。

教學過程：

（一）揭示課題：速算技巧

（二）（二）新授

（1）教學例1 計算80.8×125的值 a、學生嘗試練習

b、分析點撥：我們已學過乘法分配律，知道125×8=1000第一個乘數80.8可以拆成80與0.8的和，再運用乘法分配律簡算。

解法一：80.8×125=（80+0.8）×125=10000+100=10100 解法二：80.8×125=8×10.1×125=1000×10.1=10100 解法三：80.8×125=（80.8÷8）×（125×8）=10.1×1000=10100 c、三種解法有什么不同？你還有別的方法嗎？

（2）練習2468×25

（3）教學例2 計算125×239×25×64×5的值 a、學生嘗試練習

b、分析點撥：當你看到125、25、5時你會想題中要是有因數2、4、8就好了，再一看發現64=2×4×8 再運用乘法交換律、乘法結合律即可簡便 125×239×25×64×5 =125×239×25×（2×4×8）×5 =（125×8）×（25×4）×（5×2）×239 =239000000 c、除法計算中是否也可以用這個方法，如50000÷125=（50000×8）

÷（125×8）=400000÷1000=400（4）練習42000÷250 40.4×25 0.125×0.25×0.5×128（5）比較例

一、例二有何異同？

（三）鞏固練習P7（2、4、5、6、7）

（四）本課小結

這節課你學會了什么？

教學內容:消去問題

（一）教學要求:(1)學會解答消去問題。(2)培養解題能力.教學重點: 理解數量關系，掌握解題方法。教學難點: 能說出解題思路 教學方法:講解法、練習法。

教學過程：

（一）揭示課題：消去問題

（一）（二）新授

（1）教學例1: 小明和小紅去文具商店買回一些鉛筆和橡皮，同學們問兩樣東西單價，小明說，具體價錢我們忘記了，反正我買了三支鉛筆和一塊橡皮，共花去2.30元，小紅買了四支鉛筆和一塊橡皮，共花去2.80元。同學們，你能算出鉛筆和橡皮的價

錢各是多少元嗎？ a、審題，說題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：小明買的：3支鉛筆的價錢+1塊橡皮的價錢=2.30元

小紅買的：4支鉛筆的價錢+1塊橡皮的價錢=2.80元

比較兩條等式可看出2.80元比2.30元相差正好是1支鉛

筆的錢，因為兩次買的橡皮塊數是相同的，利用這一條件，把1塊橡皮的價錢消去。

每支鉛筆：（2.80-2.30）÷（4-3）=0.5元

每塊橡皮：2.30-0.5×3=0.8元 d、學生說出如何解答的？

（2）練習P16（1）

（3）教學例2 實驗小學食堂第一次運進大米6袋，面粉5袋，共重4.5千克，第二次又運進9袋大米 和7袋面粉，共重625千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克？

a、審題，說題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：6袋大米的重量+5袋面粉的重量=425千克 9袋大米的重量+7袋面粉的重量=625千克

6和9的最小公倍數是18，將6袋大米和5袋面粉共重425千克都擴大3倍，9袋大米和7袋面粉共重625千克都擴大兩倍，可得：

18袋大米的重量+15袋面粉的重量=1275千克

18袋大米的重量+14袋面粉的重量=1250千克

這樣可消去大米的重量.每袋面粉：（425×3-625×2)÷(5×3-7×2)=25千克

每袋大米：（425-25×2）÷6=50千克 d、同座位說出怎樣解答的？

（4）比較例

1、例2的異同。

（三）鞏固練習P18（1、2）

（四）本課小結

這節課你有什么收獲？

教學內容:消去問題

（二）教學要求:(1)進一步學會解答消去問題。(2)培養解題能力.教學重點: 理解數量關系，掌握解題方法。教學難點: 能說出解題思路 教學方法:講解法、練習法。

教學過程：

（一）揭示課題：消去問題

（二）（二）新授

（1）教學例1 早晨媽媽買了1千克青豆和2千克菠菜,共花去4.2元；

張阿姨買了同樣的2千克青和1千克菠菜，共花去4.8元。求青豆和菠菜的單價各是多少？

a、審題理解題意 b、討論如何解答

c、分析：媽媽：1千克青豆的元數+2千克菠菜的元數=4.2元

阿姨：2千克青豆的元數+1千克菠菜的元數=4.8元

我們發現兩個人各買的青豆的總重量和購買菠菜的總重量是相等的，兩個人共買了3千克青豆和3千克菠菜。則

3千克青豆的元數+3千克菠菜的元數=（4.2+4.8）元

1千克青豆的元數+1千克菠菜的元數=3元

在與第一組已知條件結合起來：

（1）3千克青豆的元數+3千克菠菜的元數：4.2+4.8=9元

（2）1千克青豆的元數+1千克菠菜的元數：9÷3=3元

（3）1千克菠菜的元數：4.2-3=1.2元

（4）1千克青豆的元數：3-1.2=1.8元

d、回顧例1的解法，有時消去問題中兩個未知量存在特殊關系，可以利用例1的方法。

（三）鞏固練習P20（1、2）先試做再說解題方法。P21（3、4、5）

（四）本課小結：

這節課你有什么收獲？

教學內容:流水行船問題

（一）教學要求:(1)理解流水行船問題的數量關系，學會正確解答。(2)培養解題能力.教學重點: 理解數量關系，掌握解題方法。教學難點: 能說出解題思路 教學方法:講解法、練習法。

教學過程：

（一）揭示課題:流水行船問題

（一）（二）新授

1、知識導航：順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

2、教學例1 一艘船在一條河中順水航行每小時行40千米，逆水

航行每小時行30千米。這艘船在靜水中的速度是每小時行多少千米？

a、理解題意； b、討論如何解答； c、分析點撥；

由順水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 得出：

兩式相加順水速度+逆水速度=船速+船速；

一個船速=（順水速度+逆水速度）÷2；

（40+30）÷2=35千米

3、教學例2 一艘船在一條河中順水航行每小時行40千米，逆水航

行每小時行30千米。這條河的水速是每小時多少千米？

a、題目已知什么求什么？ b、討論如何解答？ c、分析點撥：

由順水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 得出：兩式相

減順水速度-逆水速度=水速+水速

一個水速=（順水速度-逆水速度）÷2；

（40-30）÷2=5千米

4、比較例

1、例2有什么相同、不同之處；

（三）鞏固練習 P23（1、2）

（四）本課小結

這節課你學會了什么？

教學內容:流水行船問題

（二）教學要求:(1)進一步理解流水行船問題的數量關系，學會正確解答。(2)培養解題能力.教學重點: 理解數量關系，掌握解題方法。教學難點: 能說出解題思路 教學方法:講解法、練習法。

教學過程：

（一）揭示課題:流水行船問題

（二）（二）新授

1、教學例1 甲、乙兩港相距300米，一艘輪船從甲港順水航行到

乙港共行了6小時，而一只漂流瓶同時也從甲港同是漂流到乙港用力量25小時。求輪船的靜水速？

a、理解題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：漂流瓶為什么能從甲港漂流到乙港，還不是水流

帶動著瓶子往前流動嗎？題目的意思其實是輪船順水航行300千米用了6小時，漂流瓶與水速行300千米用25小時，根據第一組條件可求出船的順水速度，根據第二

組條件可求出水流速度。

輪船的順水速度：300÷6=50千米

水速：300÷25=12千米

輪船的靜水速度：50-12=38千米 d、同座位說出此題是如何解答的。

2、教學例2 甲、乙兩港的水路長360千米，一輪船順水航行這段路程用了15小時，逆水航行這段路程用了20小時，而另一支輪船在靜水中的速度是每小時航27千米，問另一艘輪船順水行這段

路程需多少小時？ a、理解題意；

b、討論如何解答？ c、分析點撥：既然兩條船都在同一河道上行駛，那么水速也

應該一樣，根據第一支船的順水速和逆水速可求出水速，這樣另一支船的順水速也就可以求出來了。

輪船的順水速：360÷15=24千米

輪船的逆水速：360÷20=18千米

水速：（24-18）÷2=3千米

另一條船的順水速：27+3=30千米

另一條船的航行的時間；360÷30=12小時

3、比較兩例題。得出：

一些漂流物從上游漂流下來的速度其實就是

水速，并且兩航行物行駛同一河道時，水速不變，根據各自的逆水速、靜水速、順

水速、借助水速可求出其他相應量。

（三）鞏固練習P25（1、2）

（四）本課小結

這節課你學會了什么？

教學內容:流水行船問題

（三）教學要求:(1)進一步理解流水行船問題的數量關系，學會正確解答。(2)培養解題能力.教學重點: 理解數量關系，掌握解題方法。教學難點: 能說出解題思路 教學方法:講解法、練習法。

教學過程：

（一）揭示課題:流水行船問題

（三）（二）新授

1、教學例1 甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千米和每小時36千米，兩船從某河相距336千米的兩港同時出發，相向而行，幾小時相遇？

a、理解題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：總路程÷速度和=相遇時間，而

速度和=甲船順水速+乙船逆水速

=（甲船速+水速）+（乙船速-水速）=甲船速度+水速+乙船速度-水速 =甲船速度+乙船速度

兩船速度和：24+36=60千米

相遇時間：336÷60=5.6小時 d、同座位交流解題方法。

2、教學例2 甲、乙兩船在靜水中速度分別為每小時24千米和每小時36千米，兩船從某河流相距336千 米的兩港同時出發同向而行，甲船在前，乙船在后，幾小時后乙船追上甲船？

a、理解題意； b、討論如何解答？ c、分析點撥：如果兩船順水行駛，則

兩船速度差=乙船順水速-甲船順水速

=（乙船速度+水速）-（甲船速+水速）=乙船速-甲船速

如果兩船逆水行駛，則

兩船的速度差=乙船逆水速-甲船逆水速 =乙船速-甲船速 336÷（36-24）=28小時 d、同座位交流解題方法。

3、比較例

1、例2 兩船在水中的相遇問題和陸地上相遇問題

一樣，追擊問題也一樣。

三、鞏固練習P27（1）

課外作業P28（1、2、3、4、5）

四、本課小結

這節課你有什么收獲？

教學內容:列方程解應用題

（一）教學要求:(1)學會列方程解答應用題,找準數量關系式。(2)培養解題能力。

教學重點: 找數量關系，正確解答應用題。教學難點: 能說出解題思路 教學方法:講解法、練習法。

教學過程：

（一）揭示課題: 列方程解應用題

（一）（二）新授

1、教學例1 媽媽和張阿姨一起上街買了一些雪梨。小明問：“媽

媽你買了這么多，是多少個呀？” 媽媽笑瞇瞇的說：“我和張阿姨一共買了100個，并且我比張阿姨多買了8個。你能算算看媽媽和張阿姨各買了多少個雪梨嗎？”同學們，你能幫小明一起來算一算嗎？

a、理解題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：題中所給的已知條件都是說明兩個人所買雪梨

個數的關系，碰到這種情況，我們以一組已知條件來解，另一組已知條件做為等量關系式來列方程。

設：張阿姨買X個雪梨，媽媽買X+8個雪梨 X+（X+8）=100 X=46 100-46=54（個）

d、此題還可以怎么解？同座位交流解題方法。e、比較兩種解法；

2、小結 從例題可知：題中兩個已知條件都反應兩個未知量之間的關系，我們可以以其中的一個已知條件來解設，另一個已知條件做為等量關系列出方程，從而求出兩個未知量。

（三）、鞏固練習P30（1、2）

（四）、本課小結

教學內容:列方程解應用題

（二）教學要求:(1)能比較熟練的找出題中數量關系，列方程解答應用題。(2)培養解題能力。

教學重點: 找數量關系，正確解答應用題。教學難點: 能說出解題思路 教學方法:講解法、練習法。

教學過程：

（一）揭示課題: 列方程解應用題

（二）（二）新授

1、教學例1 實驗小學少年數學愛好者俱樂部五年級有三個班，一班人數是三班人數的1.02倍，二班比三班少4人，三個班共有147人。請問三個班各有學生多少人？

a、理解題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：題中雖然有三個未知量，但都是和三班人數相

比的，因此，只要以一個未知數來表示三班的人數，其他兩個班的人數可用含字母的式子表示出來。

設：三班有X人，一班1.02X人，二班X-4人 1.02X+（X-4）+X=147 X=50 一班：1.02×50=51人

二班：50-4=46人

2、教學例2 有三個數的平均數是9.4，其中第一個數是9.1，第二個數比第三個數大0.3。求第三個數。

a、理解題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：三個數平均數是4，其中隱含了三個數的和9.4×3=28.2 即第一個數+第二個數+第三個數=9.4×3 設第三個數是X，第二個數是（X+0.3），則方

程為: 9.1+X+（X+0.3）=9.4×3 X=9.4

3、比較例

1、例2有何異同？

（三）、鞏固練習P32（1）

（四）、本課小結

列方程解應用題關鍵找什么？

教學內容:列方程解應用題

（三）教學要求:(1)(1)能比較熟練的找出題中數量關系，列方程解答應用題。(2)培養解題能力。

教學重點: 找數量關系，正確解答應用題。教學難點: 能說出解題思路 教學方法:講解法、練習法。

教學過程：

（一）揭示課題: 列方程解應用題

（三）（二）新授

1、教學例1 商店里現有排球和足球共98個，如果排球和足球都

賣掉9個，那么，排球個數是足球 的4倍，求原來的排球數和足球數。

a、理解題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：從已知條件得出兩道等量關系式，即 原來排球的個數+原來足球的個數=98；

現在排球數+現在足球數=4 不妨以第一等量關系式來解設，第二關系式列方程

設原來有排球X個原來有足球98-X個

（X-9）÷（98-X-9）=4 X=73 原來足球數：98-73=25個 d、此題還可以怎么解答

2、教學例2 玲玲和洋洋是雙胞胎，爺爺今年的歲數比他們兩的歲數和還要大52歲。在過10年，爺爺的歲數將是她們兩歲數和的2倍。問玲玲和洋洋今年幾歲？爺爺今年多大年齡？

a、理解題意； b、討論如何解答？

c、分析點撥：此題也存在兩個等量關系式

今年爺爺的年齡-（今年玲玲的年齡+今年洋洋的年齡）=52歲 10年后爺爺的年齡÷（10年后玲玲的年齡+10年后洋洋的年齡）=2倍

設玲玲今年X歲，則洋洋也是X歲，爺爺今年52+X+X歲

（52+X+X+10）÷（X+X+10+10）=2 X=11 爺爺今年的年齡：11+11+52=72歲

d、若設10年后玲玲和洋洋年齡各是X歲，此題還可以怎么解答？

3、比較例

1、例2

（三）、鞏固練習P34（1）

課外作業P35（1、2、3、4、5）

（四）、本課小結

第四篇：五年級奧數

五年級奧數

碩博培訓學校五年級華數班期中考試測試卷

一、填空：（每空4分，共42分）

1、公式整理，將下表中所空缺的公式填寫完整。

2、兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商（）。

3、兩個數的最小公倍數與最大公約數的乘積等于這兩個數的（）。

4、兩個數的公約數一定是這兩個數的最大公約數的（）。

二、判斷、（每空3分，共6分）

1、在體積固定的所有長方體中，只有各棱長相等的長方體，其各棱長之各為最小，其表面積也最小。（）

2、把正方體或長方體鋸開成多個長方體時，表面積會變小。（）

三、應用題：（1、2、3、7題每題7分，其它每題8分，共2分）

1、下圖中，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米求陰影部分的面積。

2、在正方形ABD中，三角形ABE的面積是8平方厘米，它是三角形DE面積的五分之四，求正方形ABD的面積。

3、將直徑AB為3的半圓繞A逆時針旋轉60度，此時AB到達A的位置，求在旋轉過程中增加了的面積。（圓周率取3）

4、在一個棱長為4米的正方體上放一個棱長為2米的正方體，在棱長為2米的正方體上再放上一個棱長為1米的小正方體，求這個立體圖形的表面積。、有一些棱長為1厘米的小正方體，共04塊，要拼成一個大長方體，問長方體的表面積最小是多少平方厘米？

6、把一個正方體形狀的木塊，棱長為1米，沿著水平方向將它鋸成3片，每片又按任意盡寸鋸成4條，得到一些大大小小的長方體，問，這些長方體表面積的和是多少平方米？ 7、96與某數的最大公約數是6，最小公倍數是76，求這個數。

第五篇：小學數學奧數教案

小學奧數基礎教程（四年級）

小學奧數

第1講 歸一問題與歸總問題 第2講 年齡問題

第3講 雞兔同籠問題與假設法 第1講 歸一問題與歸總問題

在解答某些應用題時，常常需要先找出“單一量”，然后以這個“單一量”為標準，根據其它條件求出結果。用這種解題思路解答的應用題，稱為歸一問題。所謂“單一量”是指單位時間的工作量、物品的單價、單位面積的產量、單位時間所走的路程等。

例1 一種鋼軌，4根共重1900千克，現在有95000千克鋼，可以制造這種鋼軌多少根？（損耗忽略不計）

分析：以一根鋼軌的重量為單一量。

（1）一根鋼軌重多少千克？

1900÷4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根鋼軌？

95000÷475＝200（根）。

解：95000÷（1900÷4）＝200（根）。

答：可以制造200根鋼軌。

例2 王家養了5頭奶牛，7天產牛奶630千克，照這樣計算，8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？

分析：以1頭奶牛1天產的牛奶為單一量。

（1）1頭奶牛1天產奶多少千克？

630÷5÷7＝18（千克）。

（2）8頭奶牛15天可產牛奶多少千克？

小學奧數基礎教程（四年級）

18×8×15＝2160（千克）。

解：（630÷5÷7）×8×15=2160（千克）。

答：可產牛奶2160千克。

例3 三臺同樣的磨面機2.5時可以磨面粉2400千克，8臺這樣的磨面機磨25600千克面粉需要多少時間？

分析與解：以1臺磨面機1時磨的面粉為單一量。

（1）1臺磨面機1時磨面粉多少千克？

2400÷3÷2.5=320（千克）。

（2）8臺磨面機磨25600千克面粉需要多少小時？

25600÷320÷8=10（時）。

綜合列式為

25600÷（2400÷3÷2.5）÷8=10（時）。

例4 4輛大卡車運沙土，7趟共運走沙土336噸。現在有沙土420噸，要求5趟運完。問：需要增加同樣的卡車多少輛？ 分析與解：以1輛卡車1趟運的沙土為單一量。

（1）1輛卡車1趟運沙土多少噸？

336÷4÷7=12（噸）。

（2）5趟運走420噸沙土需卡車多少輛？

420÷12÷5＝7（輛）。

（3）需要增加多少輛卡車？

7-4＝3（輛）。

綜合列式為

420÷（336÷4÷7）÷5-4＝3（輛）。

小學奧數基礎教程（四年級）

與歸一問題類似的是歸總問題，歸一問題是找出“單一量”，而歸總問題是找出“總量”，再根據其它條件求出結果。所謂“總量”是指總路程、總產量、工作總量、物品的總價等。

例5 一項工程，8個人工作15時可以完成，如果12個人工作，那么多少小時可以完成？

分析：（1）工程總量相當于1個人工作多少小時？

15×8＝120（時）。

（2）12個人完成這項工程需要多少小時？

120÷12＝10（時）。解：15×8÷12＝10（時）。

答：12人需10時完成。

例6 一輛汽車從甲地開往乙地，每小時行60千米，5時到達。若要4時到達，則每小時需要多行多少千米？

分析：從甲地到乙地的路程是一定的，以路程為總量。

（1）從甲地到乙地的路程是多少千米？

60×5=300（千米）。

（2）4時到達，每小時需要行多少千米？

300÷4＝75（千米）。

（3）每小時多行多少千米？

75－60＝15（千米）。

解：（60×5）÷4——60＝15（千米）。

答：每小時需要多行15千米。

例7 修一條公路，原計劃60人工作，80天完成。現在工作20天后，又增加了30人，這樣剩下的部分再用多少天可以完成？

小學奧數基礎教程（四年級）

分析：（1）修這條公路共需要多少個勞動日（總量）？

60×80＝4800（勞動日）。

（2）60人工作20天后，還剩下多少勞動日？

4800-60×20=3600（勞動日）。

（3）剩下的工程增加30人后還需多少天完成？

3600÷（60＋30）=40（天）。

解：（60×80-60×20）÷（60＋30）＝40（天）。

答：再用40天可以完成。

練習11

1．2臺拖拉機4時耕地20公頃，照這樣速度，5臺拖拉機6時可耕地多少公頃？

2．4臺織布機5時可以織布2600米，24臺織布機幾小時才能織布24960米？

3．一種幻燈機，5秒鐘可以放映80張片子。問：48秒鐘可以放映多少張片子？

4．3臺抽水機8時灌溉水田48公頃，照這樣的速度，5臺同樣的抽水機6時可以灌溉水田多小公頃？

5．平整一塊土地，原計劃8人平整，每天工作7.5時，6天可以完成任務。由于急需播種，要求5天完成，并且增加1人。問：每天要工作幾小時？

6．食堂管理員去農貿市場買雞蛋，原計劃按每千克3.00元買35千克。結果雞蛋價格下調了，他用這筆錢多買了2.5千克雞蛋。問：雞蛋價格下調后是每千克多少元？

小學奧數基礎教程（四年級）

7．鍋爐房按照每天4.5噸的用量儲備了120天的供暖煤。供暖40天后，由于進行了技術改造，每天能節約0.9噸煤。問：這些煤共可以供暖多少天？

第2講 年齡問題

年齡問題是一類以“年齡為內容”的數學應用題。

年齡問題的主要特點是：二人年齡的差保持不變，它不隨歲月的流逝而改變；二人的年齡隨著歲月的變化，將增或減同一個自然數；二人年齡的倍數關系隨著年齡的增長而發生變化，年齡增大，倍數變小。

根據題目的條件，我們常將年齡問題化為“差倍問題”、“和差問題”、“和倍問題”進行求解。

例1 兒子今年10歲，5年前母親的年齡是他的6倍，母親今年多少歲？ 分析與解：兒子今年10歲，5年前的年齡為5歲，那么5年前母親的年齡為5×6＝30（歲），因此母親今年是

30＋5=35（歲）。

例2 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？ 分析與解：今年爸爸與兒子的年齡差為“48——20”歲，因為二人的年齡差不隨時間的變化而改變，所以當爸爸的年齡為兒子的5倍時，兩人的年齡差還是這個數，這樣就可以用“差倍問題”的解法。當爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時，兒子的年齡是

（48——20）÷（5——1）＝7（歲）。

由20－7＝13（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍。

小學奧數基礎教程（四年級）例3 兄弟二人的年齡相差5歲，兄3年后的年齡為弟4年前的3倍。問：兄、弟二人今年各多少歲？

分析與解：根據題意，作示意圖如下：

由上圖可以看出，兄3年后的年齡比弟4年前的年齡大5＋3＋4＝12（歲），由“差倍問題”解得，弟4年前的年齡為（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（歲）。由此得到

弟今年6＋4＝10（歲），兄今年10＋5＝15（歲）。

例4 今年兄弟二人年齡之和為55歲，哥哥某一年的歲數與弟弟今年的歲數相同，那一年哥哥的歲數恰好是弟弟歲數的2倍，請問哥哥今年多少歲？ 分析與解：在哥哥的歲數是弟弟的歲數2倍的那一年，若把弟弟歲數看成一份，那么哥哥的歲數比弟弟多一份，哥哥與弟弟的年齡差是1份。又因為那一年哥哥歲數與今年弟弟歲數相等，所以今年弟弟歲數為2份，今年哥哥歲數為2＋1=3（份）（見下頁圖）。

由“和倍問題”解得，哥哥今年的歲數為

55÷(3+2)×3=33(歲)。

例5 哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等，哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲，請問二人今年各多少歲？

小學奧數基礎教程（四年級）分析與解：由“哥哥5年前的年齡與妹妹4年后的年齡相等”可知兄妹二人的年齡差為“4＋5”歲。由“哥哥2年后的年齡與妹妹8年后的年齡和為97歲”，可知兄妹二人今年的年齡和為“97——2——8”歲。由“和差問題”解得，兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（歲），妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（歲）。

例6 1994年父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的4倍。2000年，父親的年齡是哥哥和弟弟年齡之和的2倍。問：父親出生在哪一年？

分析與解：如果用1段線表示兄弟二人1994年的年齡和，則父親1994年的年齡要用4段線來表示（見下頁圖）。

父親在2000年的年齡應是4段線再加6歲，而兄弟二人在2000年的年齡之和是1段線再加2×6＝12（歲），它是父親年齡的一半，也就是2段線再加3歲。由

1段＋12歲=2段＋3歲，推知1段是9歲。所以父親1994年的年齡是9×4＝36（歲），他出生于

1994——36＝1958（年）。

例7今年父親的年齡為兒子的年齡的4倍，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍。問：父子今年各多少歲？

解法一：假設父親的年齡一直是兒子年齡的4倍，那么每過一年兒子增加一歲，父親就要增加4歲。這樣，20年后兒子增加20歲，父親就要增加80歲，比兒子多增加了80－20＝60（歲）。

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事實上，20年后父親的年齡為兒子的年齡的2倍，根據剛才的假設，多增加的60歲，正好相當于20年后兒子年齡的（4——2＝）2倍，因此，今年兒子的年齡為

（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（歲），父親今年的年齡為10×4＝40（歲）。

解法二：如果用1段線表示兒子今年的年齡，那么父親今年的年齡要用4段線來表示（見下圖）。

20年后，父親的年齡應是4段線再加上20歲，而兒子的年齡應是1段線再加上20歲，是父親年齡的一半，也就是2段線再加上10歲。由

1段＋20=2段＋10，求得1段是10歲，即兒子今年10歲，從而父親今年40歲。例8 今年爺爺78歲，長孫27歲，次孫23歲，三孫16歲。問：幾年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡之和？

分析：今年三個孫子的年齡和為27＋23＋16=66（歲），爺爺比三個孫子的年齡和多78——66＝12（歲）。每過一年，爺爺增加一歲，而三個孫子的年齡和卻要增加1＋1＋1＝3（歲），比爺爺多增加3－1＝2（歲）。因而只需求出12里面有幾個2即可。

解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。

答：6年后爺爺的年齡等于三個孫子年齡的和。

練習12

1．父親比兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子年齡的3倍，那么今年兒子幾歲？

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2．王梅比舅舅小19歲，舅舅的年齡比王梅年齡的3倍多1歲。問：他們二人各幾歲？

3．小明今年9歲，父親39歲，再過多少年父親的年齡正好是小明年齡的2倍？

4．父親年齡是女兒的4倍，三年前父女年齡之和是49歲。問：父女兩人現在各多少歲？

5．一家三口人，三人年齡之和是74歲，媽媽比爸爸小2歲，媽媽的年齡是兒子年齡的4倍。問：三人各是多少歲？

6．今年老師46歲，學生16歲，幾年后老師年齡的2倍與學生年齡的5倍相等？

7．已知祖孫三人，祖父和父親年齡的差與父親和孫子年齡的差相同，祖父和孫子年齡之和為82歲，明年祖父的年齡恰好等于孫子年齡的5倍。問：祖孫三人各多少歲？

8．小樂問劉老師今年有多少歲，劉老師說：“當我像你這么大時，你才3歲；當你像我這么大時，我已經42歲了?！蹦隳芩愠鰟⒗蠋熡卸嗌贇q嗎？

第3講 雞兔同籠問題與假設法

雞兔同籠問題是按照題目的內容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學算術應用題，都可以轉化為雞兔同籠問題來加以計算。

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例1 小梅數她家的雞與兔，數頭有16個，數腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？

分析：假設16只都是雞，那么就應該有2×16＝32（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況多了44-32＝12（只）腳，出現這種情況的原因是把兔當作雞了。如果我們以同樣數量的兔去換同樣數量的雞，那么每換一只，頭的數目不變，腳數增加了2只。因此只要算出12里面有幾個2，就可以求出兔的只數。

解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有雞16-6＝10（只）。

答：有6只兔，10只雞。

當然，我們也可以假設16只都是兔子，那么就應該有4×16＝64（只）腳，但實際上有44只腳，比假設的情況少了64－44＝20（只）腳，這是因為把雞當作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數目不變，腳數減少了4-2＝2（只）。因此只要算出20里面有幾個2，就可以求出雞的只數。

有雞（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16——10＝6（只）。

由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設法，可以先假設都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。

例2 100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？

分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設法來解。

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假設100人全是大和尚，那么共需饃300個，比實際多300－140＝160（個）。現在以小和尚去換大和尚，每換一個總人數不變，而饃就要減少3——1＝2（個），因為160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

100－80＝20（人）。

同樣，也可以假設100人都是小和尚，同學們不妨自己試試。

在下面的例題中，我們只給出一種假設方法。

例3 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？

分析與解：我們設想有一只“怪雞”有1個頭11只腳，一種“怪兔”有1個頭19只腳，它們共有16個頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉換成雞兔同籠問題了。

假設買了16套彩色文化用品，則共需19×16＝304（元），比實際多304——280＝24（元），現在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用19——11＝8（元），所以

買普通文化用品 24÷8=3（套），買彩色文化用品 16－3＝13（套）。

例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？

分析：假設100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實際上只多20只，這說明假設的雞腳比兔腳多的數比實際上多200——20=180（只）。

現在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數中就會減少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，雞100——30＝70（只）。

解：有兔（2×100——20）÷（2＋4）＝30（只），小學奧數基礎教程（四年級）

有雞100——30=70（只）。

答：有雞70只，兔30只。

例5 現有大、小油瓶共50個，每個大瓶可裝油4千克，每個小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個？

分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（個），大瓶有50-30＝20（個）。

答：有大瓶20個，小瓶30個。

例6 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？

分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。

利用假設法，假設只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因為每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144（噸）。根據條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9＝16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4×36÷（45-36）×45＝720（噸）。

答：這批鋼材有720噸。

例7 樂樂百貨商店委托搬運站運送500只花瓶，雙方商定每只運費0.24元，但如果發生損壞，那么每打破一只不僅不給運費，而且還要賠償1.26元，結果搬運站共得運費115.5元。問：搬運過程中共打破了幾只花瓶？

分析：假設500只花瓶在搬運過程中一只也沒有打破，那么應得運費0.24×500=120（元）。實際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。

小學奧數基礎教程（四年級）搬運站每打破一只花瓶要損失0.24＋1.26＝1.5（元）。因此共打破花瓶4.5÷1.5＝3（只）。

解：（0.24×500－115.5）÷（0.24＋1.26）＝3（只）。

答：共打破3只花瓶。

例8 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？

分析與解：利用假設法，假設小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數減少了

12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小樂每分鐘跳

（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小樂一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小樂共多跳

780——270×2＝240（下）。練習13

1．雞、兔共有頭100個，腳350只，雞、兔各有多少只？

2．學校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個學生進行活動。問：象棋與跳棋各有多少副？

3．班級購買活頁簿與日記本合計32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？

4．龜、鶴共有100個頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？

5．小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？

小學奧數基礎教程（四年級）

6．一個工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個雨天？

7．振興小學六年級舉行數學競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題？

8．有一批水果，用大筐80只可裝運完，用小筐120只也可裝運完。已知每只大筐比每只小筐多裝運20千克，那么這批水果有多少千克？

9．蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀?，F有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只？ 10．雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只？

高冠軍，所以由（1）知乙不是數學博士。將上面的結論依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小畫家和歌唱家，乙是短跑健將和跳高冠軍，丙是數學博士和大作家。

例4張明、席輝和李剛在北京、上海和天津工作，他們的職業是工人、農民和教師，已知：（1）張明不在北京工作，席輝不在上海工作；

（2）在北京工作的不是教師；

（3）在上海工作的是工人；

（4）席輝不是農民。

問：這三人各住哪里？各是什么職業？

小學奧數基礎教程（四年級）分析與解：與前面的例題相比，這道題的關系要復雜一些，要求我們通過推理，弄清人物、工作地點、職業三者之間的關系。三者的關系需要兩兩構造三個表，即人物與地點，人物與職業，地點與職業三個表。

我們先將題目條件中所給出的關系用下面的表來表示，由條件（1）得到表1，由條件（4）得到表2，由條件（2）（3）得到表3。

因為各表中，每行每列只能有一個“√”，所以表（3）可填全為表（4）。

因為席輝不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席輝不是工人，他又不是農民，所以席輝是教師。再由表4知，教師住在天津，即席輝住在天津。至此，表1可填全為表5。

對照表5和表4，得到：張明住在上海是工人，席輝住在天津是教師，李剛住在北京是農民。