第一篇：數學史論文三角恒等變換論文

數學史論文三角恒等變換論文：數學史對數學教學的啟發意

義

摘 要：數學史對數學教育的積極作用，已經得到國內外的普遍認可，也提出了許多可操作的方法，可以根據不同的教學內容，做出適當的選擇。新課改的北師大版高中數學教材中三角恒等變換開始用解析幾何的方法推導出三角恒等式，教材安排的非常簡練、嚴密，但是為了更好地幫助學生理解和記憶，可以參考數學史上不同時期的數學家探索三角變換的過程，會對教學提供一些有益的啟發。

關鍵詞：數學史；數學教學；三角恒等變換

一、研究的背景

數學是一門高度抽象的學科，不僅數學的概念是抽象的和思辨的，而且數學的思想和方法也是抽象和思辨的（亞歷山大洛夫，1988），數學教學不僅要教會學生用數學工具解決問題，更要讓學生理解數學中所用到的思想和方法，這是數學的靈魂。

歷史上許多大數學家都很重視數學史知識對數學學習所起的積極作用，但真正開始系統地研究他們之間的關系卻是在1972年，在第二屆國際數學教育大會上，成立了數學史與數學教學關系國際研究小組（international study group on the relations between history and pedagogy of mathematics，簡稱hpm），該小組成立近30年來，對于如何

將數學史與數學教育作聯結，進而對數學教學的改善和數學課程的發展有所幫助，提供數學教師多種可以使用的資源提出了許多建議，受到國界數學教育界的關注。

我國的數學課程改革為我們的hpm研究提供了現實的背景和實踐的空間，事實上新課程標準有對數學史知識的要求“數學課程應適當反映數學發展的歷史、應用和趨勢，??應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀”，因此，數學史與數學教育的研究應該成為中學數學教師關注并引領實踐的重要內容。我國的李儼、錢寶琮、沈康身、汪曉勤、韓祥林幾位前輩在數學史的研究過程中著作頗豐，尤其是汪曉琴、韓祥林兩位教授在hpm研究方面取得了很多成果。對于怎樣在數學教育中融入數學史他們介紹了一種注入歷史的教學法——發生教學法（genetic approach to teaching and learning）。該方法需要：（1）數學教師了解所教主題的歷史；（2）確定該主題發展的關鍵步驟；（3）重新構建關鍵步驟，使之適用于課堂教學；（4）重構步驟按從易到難的系列問題給出，后面的問題建立在前面問題的基礎上。（如圖1）

二、數學史作用于數學教學的案例

如北師大版高中數學必修4第三章三角恒等變換中的內容，從教材內容來看，主要是兩角和與差的正弦、余弦和正切公式以及簡單的恒等變換。但是對很多學生來說，三角變

換成了大堆的公式，成了符號和文字的組合，學生對它的理解也是機械的記憶，不利于學生對三角變換的理解。

為了更好地促進學生學習本章的內容，我們可以參照古希臘天文學家托勒密為了制作弦表而提出的托勒密定理：圓內接四邊形的對角線乘積等于兩對邊乘積之和。（如圖2）

設abcd是直徑為1的圓o的內接四邊形，對角線bd為圓的直徑，∠abd=α，∠dbc=β，利用托勒密定理即可得和角公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（證明略），差角公式也可以用類似的證明，但是這個證明的幾何推理相對比較繁瑣，讓學生感覺好像是在學習習近平面幾何，有喧賓奪主的感覺，有人參照該證明方法和勾股定理的幾何證明給出了如下的幾何證明差角公式的方法。（如圖3）oa=1，∠aoc=α，∠bod=β，由該圖容易證明兩角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ非常簡明直觀的給出了和角公式的幾何意義，雖然這里的角都是銳角的形式，還沒有進行角的推廣，如直角、鈍角甚至任意角的情況的證明，但是有助于學生運用先前的平面幾何的知識迅速的掌握和角公式。而本章后面的公式都可以用類似的方法證明，這里不再贅述。

三、數學史支持數學教學的優勢

我們可以將數學史上的類似知識同教材中的內容相互結合，更好地促進教學，讓代數與具體的圖形連接起來，可

以讓代數證明不再是抽象的文字游戲，讓代數結論展現在直觀的幾何圖形之上，有助于提升學生的學習動機與抽象公式的具體化。而在數學史上還有大量類似的知識，對教師的數學教學和學生的數學學習提供有力的支持，其中所體現的思想方法對學生也有重要的啟發意義。另外，現代的信息技術也可為數學史融入數學教學提供了技術支持，如何在技術的支持下實現數學史融入數學教學效果的最優化，也是一個值得探索的問題。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準：實驗［m］．北京：人民教育出版社，2003．

［2］汪曉勤，韓祥林.中學數學中的數學史.科學出版社，2002.

第二篇：三角恒等變換與解三角形

一、選擇題

1．已知sin(α＋)＝，<α<，則cos

2α的值為()

A．－　　B．－

C．－

D．－

2．(2019·高考全國卷Ⅰ)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin

A－bsin

B＝4csin

C，cos

A＝－，則＝()

A．6

B．5

C．4

D．3

3．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝2a，bsin

B－asin

A＝asin

C，則sin

B為()

A．

B．

C．

D．

4．(一題多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，則BC邊上的高等于()

A．1

B．

C．

D．2

5.如圖，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2，則cos

A等于()

A．

B．

C．

D．

6．(多選)下列命題中，正確的是()

A．在△ABC中，若A>B，則sin

A>sin

B

B．在銳角三角形ABC中，不等式sin

A>cos

B恒成立

C．在△ABC中，若acos

A－bcos

B＝0，則△ABC必是等腰直角三角形

D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，則△ABC必是等邊三角形

二、填空題

7．(2019·濟南聯考改編)若tan(α＋2β)＝2，tan

β＝－3，則tan(α＋β)＝________，tan

α＝________．

8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的對邊，a＝4，b∈(4，6)，sin

2A＝sin

C，則c的取值范圍為________．

9．(一題多解)(2019·合肥市第一次質檢測)設△ABC的內角A，B，C的對邊a，b，c成等比數列，cos(A－C)－cos

B＝，延長BC至點D，若BD＝2，則△ACD面積的最大值為________．

三、解答題

10．(2019·廣東六校第一次聯考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2＋c2－b2＝abcos

A＋a2cos

B.(1)求角B；

(2)若b＝2，tan

C＝，求△ABC的面積．

11．(2019·武漢模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝2B，cos

B＝.(1)求sin

C的值；

(2)若角A的平分線AD的長為，求b的值．

12．(2019·高考天津卷)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b＋c＝2a，3csin

B＝4asin

C.(1)求cos

B的值；

(2)求sin的值．

能力提升專練

1．(2019·江西七校第一次聯考)△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a(sin

A－sin

B)＝(c－b)(sin

C＋sin

B)．

(1)求角C；

(2)若c＝，△ABC的面積為，求△ABC的周長．

2．(一題多解)(2019·福州模擬)如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝－.(1)求∠B的大小；

(2)若AM＝，求△AMC的面積．

3．(2019·昆明市質量檢測)△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2(c－acos

B)＝b.(1)求角A；

(2)若a＝2，求△ABC面積的取值范圍．

第三篇：簡單的三角恒等變換教案

簡單的三角恒等變換教案

（一）一．教學目標

1、通過二倍角的變形公式推導半角的正弦、余弦、正切公式，體會化歸、換元、方程、逆向使用公式等數學思想，提高學生的推理能力。

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會利用公式進行簡單的恒等變形，體會三角恒等變形在數學中的應用。

3、通過例題的解答，引導學生對變換對象目標進行對比、分析，促使學生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據問題的條件進行公式變形，以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識，從而加深理解變換思想，提高學生的推理能力．

二、教學重點與難點

教學重點：引導學生以已有的十一個公式為依據，以推導積化和差、和差化積、半角公式的推導作為基本訓練，學習三角變換的內容、思路和方法，在與代數變換相比較中，體會三角變換的特點，提高推理、運算能力．

教學難點：認識三角變換的特點，并能運用數學思想方法指導變換過程的設計，不斷提高從整體上把握變換過程的能力．

三、教學設想：

（一）復習：三角函數的和（差）公式，倍角公式

（二）新課講授：

1、由二倍角公式引導學生思考：?與?2有什么樣的關系？

學習和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進行變換的性工具，從而使三角變換的內容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運算能力提供了新的平臺．

例

1、試以cos?表示sin2?2,cos2?2,tan22?2．

解：我們可以通過二倍角cos??2cos因為cos??1?2sin因為cos??2cos22?22?1和cos??1?2sin2?1?cos?； 2?2來做此題．

?2，可以得到sin?2?2?1，可以得到cos2?2?1?cos?． 2又因為tan2?2?2?1?cos?． ?1?cos?cos22sin2?思考：代數式變換與三角變換有什么不同？

代數式變換往往著眼于式子結構形式的變換．對于三角變換，由于不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯系，這是三角式恒等變換的重要特點． 例2．已知sin??例

3、求證：（１）、sin?cos??5?，且?在第三象限，求tan的值。

2131sin??????sin???????； ??2（２）、sin??sin??2sin???2cos???2．

證明：（１）因為sin?????和sin?????是我們所學習過的知識，因此我們從等式右邊著手．

sin??????sin?cos??cos?sin?sin??????sin?cos??cos?sin?．

兩式相加得2sin?cos??sin??????sin?????； 即sin?cos??；

1?sin??????sin???????； 2?（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；設?????,?????，那么?????2,?????2．

把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin思考：在例3證明中用到哪些數學思想？

???2cos???2．

例3證明中用到換元思想，（１）式是積化和差的形式，（２）式是和差化積的形式，在后面的練習當中還有六個關于積化和差、和差化積的公式．

三．練習：P142面1、2、3題。

四．小結：要對變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法加深認識，學會靈活運用．

五．作業：《習案》三十三。

第四篇：數學史論文

數學史論文 ——中世紀的中國數學

院系：數信學院

班級：數教一班 姓名：韓軍香

學號：20120503031 摘要：從公元476年西羅馬帝國滅亡到14世紀文藝復興長達1000多年的歐洲歷史稱為歐洲中世紀。與希臘數學相比，中世紀的東方數學表現出強烈的算法精神，特別是中國與印度數學，著重算法的概括。算法本來是古代河谷文明的傳統，但在中世紀卻有了質的提高，它很難再僅僅被看作是簡單的經驗法則，而是一種歸納思維能力的產物。從公元前后至公元14世紀，前后經歷了三次發展高潮，其中宋元時期達到了中國古典數學的頂峰。

關鍵字：中世紀、中國數學、算法

牙牙學語的時候，我們就開始接觸到數學。從簡單的加減乘除再到現在的高等數學。數學與我們的生活息息相關，貫穿了我們的整個學習過程。那數學又有怎樣一段歷史呢？下面是對中世紀的數學的簡單介紹：

一、《周髀算經》與《九章算術》

（一）、《周髀算經》：編纂于西漢末年，天文學著作。西漢末年﹝公元前一世紀﹞編纂的《周髀算經》，盡管是談論蓋天說宇宙論的天文學著作，但包含許多數學內容，在數學方面主要有兩項成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠的陳子測日法，為后來重差術（勾股測量法）的先驅。此外，還有較復雜的開方問題和分數運算等。

（二）、《九章算術》：中國傳統數學最重要的著作，全書246個問題，分成九章。它完整地敘述了當時已有的數學成就，在長達一千多年間，一直作為中國的數學教科書，并被公認為世界數學古典名著之一。《九章算術》標志以籌算為基礎的中國古代數學體系正式形成。《九章算術》是一部經幾代人整理、刪補和修訂而成的古代數學經典著作，約成書于東漢初年﹝公元前一世紀﹞。全書采用問題集的形式編寫，共收集了246個問題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內容包括分數四則和比例算法、各種面積和體積的計算、關于勾股測量的計算等。在代數方面，《方程》章中所引入的負數概念及正負數加減法法則，在世界數學史上都是最早的記載；書中關于線性方程組的解法和現在中學講授的方法基本相同。就《九章算術》的特點來說，它注重應用，注重理論聯系實際，形成了以籌算為中心的數學體系，對中國古算影響深遠。它的一些成就如十進制值制、今有術、盈不足術等還傳到印度和阿拉伯，并通過這些國家傳到歐洲，促進了世界數學的發展

二、劉徽與祖沖之

（一 劉徽公元263年撰《九章算術注》，系統地闡述了中國傳統數學的理論體系與數學原理，奠定了這位數學家在中國數學史上的不朽地位，成為中國傳統數學最具代表性的人物。

劉徽數學成就中最突出的是“割圓術”，他運用“割圓術”得出圓周率的近似值為3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，為解決球體積公式的問題而構造了“牟合方蓋”的幾何模型，為祖暅獲得正確結果開辟了道路；為建立多面體體積理論，運用極限方法成功地證明了陽馬術；他還撰著《海島算經》，發揚了古代勾股測量術----重差術。

（二）祖沖之（公元429年─公元500年）是我國杰出的數學家，科學家。南北朝時期人，漢族人，字文遠。祖沖之從小接受家傳的科學知識。青年時進入華林學省，從事學術活動。一生先后任過南徐州（今鎮江市）從事史、公府參軍、婁縣（今昆山市東北）令、謁者仆射、長水校尉等官職。其主要貢獻在數學、天文歷法和機械三方面。

著作《綴術》取得了圓周率的計算和球體體積的推導兩大數學成就。祖沖之算出圓周率在3．1415926與3．1415927之間，并以355/113（=3．1415929?）為密率，22/7（=3．1428?）為約率，他計算圓周率，取得當時世界最先進成就，900多年之后，其精度方被人超過。《綴術》的另一貢獻是祖氏原理 ：冪勢既同則積不容異，在西方文獻中稱為卡瓦列里原理，或不可分量原理。

祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現實意義，適應了當時生產實踐的需要。他親自研究過度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。隋唐時期以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數值。

（三）《算經十書》：隋唐時期是中國封建官僚制度建立時期，隨著科舉制度與國子監制度的確立，數學教育有了長足的發展。656年國子監設立算學館，設有算學博士和助教，由太史令李淳風等人編纂注釋《算經十書》﹝包括《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》、《張丘建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《五曹算經》、《五經算術》和《綴術》﹞，作為算學館學生用的課本。對保存古代數學經典起了重要的作用。它們是唐代以前的主要數學著作，代表了中國古代數學的光輝成就。傳本《周髀算經》，有趙爽注、甄鸞注等，當時被稱為“算經”。

三、宋元數學

宋元時期是中國數學發展的高峰，這一時期重新統一了的中國社會發生了一系列有利于數學發展的變化，以籌算為主要內容的中國傳統數學達到了鼎盛時期。還涌現了許多杰出的數學家和先進的數學計算技術，是數學全盛時期，其印刷出版、記載著中國傳統數學最高成就的宋元算書，是世界文化的重要遺產。

(一)賈憲三角與秦九韶“正負開方術”

1、賈憲（約公元11世紀）約1050年完成《黃帝九章算術細草》，發明了“增乘開方法”，創造了“開方作法本源圖”。楊輝《詳解九章算法》（1261）載有“開方作法本源”圖，注明“賈憲用此術”。這就是著名的“賈憲三角”，或稱“楊輝三角”。《詳解九章算法》同時錄有賈憲進行高次冪開方的“增乘開方法”。

他的一些獨到的數學思想和方法，主要有以下兩點。

（1）、抽象分析法：在研究《九章》過程中，賈憲使用了抽象分析法，尤其在解決勾股問題是更為突出，他首先提出了“勾股生變十三圖”。他完備了勾股弦及其和差的所有關系，說這些關系“有用而取，無用不取，立圖而驗之”，說明他已經拋開《九章》算題本身而對勾股問題進行抽象分析了。

（2）、程序化方法：主要是指探究問題的思維程序、過程和步驟.適用于同一理論體系下，同一類問題的解決。賈憲的“增乘開方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地體現了這一方法，2、秦九韶（約1202－1261年）1247年完成數學名著《數書九章》，推廣了增乘開方法，敘述了高次方程的數值解法，他列舉了二十多個來自實踐的高次方程的解法，最高為十次方程。其中兩項貢獻使得宋代算書在中世紀世界數學史上占有突出的地位。一是創立了“大衍求一術”（中國剩余定理），二是提出了“正負開方術”。“秦九韶算法”，一般地，一元n次多項式的求值需要經過[n（n+1）]/2次乘法和n次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和n次加法。在人工計算時，一次大大簡化了運算過程。特別是在現代，在使用計算機解決數學問題時，對于計算機程序算法而言秦九韶算法可以以更快的速度得到結果，減少了CPU運算時間。

（二）內插法與垛積術

1、郭守敬（1231－1316年）1280年完成了中國古代最精密的歷法《授時歷》，列出了三次差的內插公式。郭守敬還運用幾何方法求出相當于現在球面三角的兩個公式。郭守敬建造的河南登封觀星臺（1276）留存至今。

2、楊輝（公元13世紀）1261年完成《詳解九章算法》，其中主要的數學貢獻是“垛積術”，另一貢獻是所謂的“楊輝三角”，其實是記載了賈憲的工作。楊輝在《詳解九章算法》中用“垛積術”求出幾類高階等差級數之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運算法。他署名的數學書共五種二十一卷。他是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構成規律的數學家。

楊輝在《詳解九章算法》一書中還畫了一張表示二項式展開后的系數構成的三角圖形，稱做“開方做法本源”，現在簡稱為“楊輝三角”。

(三)天元術與四元術

1李冶（1192－1279年）1248年撰成代數名著《測圓海鏡》，該書是首部系統論述“天元術”的著作，是符號代數的嘗試，在數學史上具有里程碑意義。李冶在數學上的主要成就是總結并完善了天元術，使之成為中國獨特的半符號代數。這種半符號代數的產生，要比歐洲早三百年左右。他的《測圓海鏡》是天元術的代表作，而《益古演段》則是一本普及天元術的著作。

所謂天元術，就是一種用數學符號列方程的方法，“立天元一為某某”相當于今“設x為某某”是一致的。李冶則在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。他討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

2、公元1303年，元代朱世杰著《四元玉鑒》，它是中國宋元數學高峰的又一個標志，他把“天元術”推廣為“四元術”（四元高次聯立方程）,并提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱才提出同樣的解法。朱世杰還對各有限項級數求和問題進行了研究，在此基礎上得出了高次差的內插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利和公元1676一1678年間牛頓才提出內插法的一般公式。

“四元術”，也就是列出四元高次多項式方程，以及消元求解的方法。他的主要貢獻是創造了一套完整的消未知數方法，稱為四元消法。主要著作是《算學啟蒙》與《四元玉鑒》，《四元玉鑒》中還有兩項重要成就，即創立了一般的高階等差級數求和公式及等間距四次內插法公式，后者通常稱為招差術。

中國中世紀的數學家的學習探索精神值得我們借鑒和學習，但是，我們也要看到時間數學史的發展歷程，有其實近代數學史，中國已經被甩在后頭，這需要我們清醒的認識!“取其精華去其糟粕”這是千古名言，需要我們牢記。

參考文獻：

1、張維忠.數學, 文化與數學課程[ M].上海: 上海教育出版 社, 1999

2、斯科特，數學史 中國人民出版社

3、費泰生.算法及其特征[ J].數學通訊, 2004, 7

4、李文林，數學史教程 高等教育出版社 斯普林格出版社

5、張奠宙.算法[ J].科學, 2003, 55(2)

第五篇：數學史論文

數 學 史 論 文

:課程論文 班級：09數學2班

內容

古希臘數學發展史初探

【摘要】： “古希臘數學”只是一個習慣用語，它并不等同于希臘這個國家或地區所創造的數學，而是指包括希臘半島，整個愛琴海區域和北面的馬其頓褐色雷斯，意大利半島和小亞西亞，以及非洲北部等地。從時間上看，是始于BC600年左右，到641年為止，一共持續了1300年的數學的統稱。本文，我就這一時間段的數學發展，也就是古希臘數學發展進行初探。

【關鍵詞】：古希臘數學

發展史

學派

數學家

地中海的燦爛陽光——古希臘文明著稱于世。擁有特殊的地里環境的克里特島是希臘文明的發端，同時，政治和經濟的發展造就了希臘文化。希臘文化汲取了各種各樣的優秀東方文化。其中，希臘數學就是希臘文化中的一個主要分支。希臘數學匯集了巴比倫精湛的算術和埃及神奇的幾何學。我們將希臘數學的賣力發展史分為下列三大歷史時期;一． 第一時期： BC600—BC323 這一時期又可以希波戰爭為界限劃分為前后2個歷史時期。希波戰爭前的希臘數學就是以愛奧尼亞學派和畢達哥拉斯學派為主要代表的。希波戰爭之后，則以巧辯學派，埃利亞學派，原子論學派柏拉圖學派的成就為代表。尤其是從BC480年到BC336年，數學史上又

稱為雅典時期。雅典時期哲學和經濟的空前繁榮誕生了像亞里斯多德這樣的百科全書般的杰出人物。BC4世紀以后的希臘數學慢慢成為了獨立的學科。數學的歷史進入了一個新的階段——初等數學時期。在這一個時期里，初等幾何，算術，初等代數大體已經分化出來。同17世紀出現的解析幾何學，微積分學相比，這一時期的研究內容可以用“初等數學”來概括，因此叫做初等數學時期。

在這一大時期里，希臘各地涌現了許許多多的學派，他們共同作用于希臘數學的發展。在這些學派中最有影響力的主要有三大流派;

（一）愛奧尼亞學派——古希臘歷史上的第一個學派

愛奧尼亞學派是由彼賦盛名的“希臘科學之父”泰勒斯創立。泰勒斯是一個精明的商人，他流轉于各地經商，并從巴比倫河埃及等地帶回了數學知識，故而創立了愛奧尼亞學派。他在數學上的最著名的業績是測量金字塔的高度，而劃時代的貢獻是開始引入了命題證明的思想，因而被認為是希臘幾何的先驅。關于泰勒斯，希臘史詩并無明確的記載，但據可靠的材料我們可以推斷出下列五大命題的發現時歸功于泰勒斯：

（1）圓的直徑將圓平分。（2）等腰三角形兩底角相等。（3）兩條直線相交，對頂角相等。

（4）有兩角夾一邊分別相等的兩個三角形全等。（5）對半圓的圓周角是直角。

其中，第五個命題還被人們稱為“泰勒斯定理”。泰勒斯證明了或視

圖證明這些命題，使得數學從具體的，實驗的階段開始向抽象的，理論的階段過渡，這是數學史上的一個重大創舉。也就是說，泰勒斯對于數學科學的發展的貢獻并比僅是存在于他發現了這些定理，更重要的是泰勒斯為它們提供了某種的邏輯證明。從泰勒斯開始，人們已經不再只是利用直觀和實驗解答數學問題，而是將邏輯學中的演繹推理引入了數學，奠定了演繹數學的基礎，這使得他榮獲了“第一位數學家”和“論證幾何學鼻祖”的美譽，還被尊稱為“希臘七賢之首”。

愛奧尼亞學派的其他成員有安納西曼德，安納西尼斯，安納薩戈拉斯等人，學術思想綿延百年。以客觀的角度看來，以泰勒斯為首的愛奧尼亞學派并不出色，但他們在哲學特別是自然哲學方面的工作卻是無與倫比的。他們具有理性的思維觀念，并用這一觀念解釋數學問題的奧妙之所在。

（二）畢達哥拉斯學派——西方古代美學的開端

畢達哥拉斯與泰勒斯一樣也是撲朔迷離的傳說人物，二者都沒有著作留世，我們甚至不知道他們是否寫過著作。如今我們對于畢達哥拉斯的了解也只是通過一些其他的著作提及的相關信息。根據這些間接的資料，我們知道畢達哥拉斯于BC570年生于薩摩斯島，是古希臘哲學家，天文學家和音樂理論學家，他愛好游學。他游歷各地，最后定居于意大利半島南部的克羅多內（古：大希臘），還廣收門徒，秘密組織了一個集政治、學術、宗教三位于一體的組織——畢達哥拉斯學派。這個學派主要是研究“哲學”和“數學”。相傳，創造了“哲學”和“數學”這2個詞。

在幾何學方面，畢達哥拉斯學派主要有2大幾何學成就，一就是發現和證明了“勾股定理”，后來被歐幾里得編入了《幾何原本》之中。至今，西方人仍然把“勾股定理”叫做“畢達哥拉斯定理”。這個偉大的定理導致了無理數的發現。畢達哥拉斯學派的另外一項幾何成就就是正多面體作圖，他們稱正多面體為“宇宙形”。盡管人們將許多的集合成就歸功于畢達哥拉斯學派，但這個學派適中的及基本信條是“萬物皆數”。

畢達哥拉斯學派崇拜的數主要有整數和兩個整數形成的比，即有理數。他們對這些數做出過深入的研究，發現了完全和親和數，即將抽象的數作為萬物的本源，通過揭露數的奧秘來探索宇宙的永恒真理。該學派宣稱宇宙的萬物主宰者也就是上帝是用數來統御宇宙的，認為萬物含數。一個畢達哥拉斯學派的成員曾經說過：“人們所知道的一切事物都包含數，因此，沒有數即不可能來表達也不可能來理解任何事物。”而一切數中最神圣的是10，10在他們的眼中是最完美和最和諧的標志，這種“萬物皆數”的概念從另一個角度強調了數學作用于客觀世界，這也是數學化思想的最初表述形式。該學派的初步數學化思想促進了對自然數的分類研究，他們定義了很多的概念。

畢達哥拉斯學派還從數與形的關系出發，研究了二者的結合物——“行數”，且由此得出了一些數列的重要公式，這一系列的數列現在已經成為高階等差數列的范圍。

畢達哥拉斯學派數字神秘主義的外殼，包含著理性的內核。首先，它加強了數的概念中的理論傾向。其次，“萬物皆數”的信念，使畢

達哥拉斯成為相信自然現象可以通過數字來理解的先驅。他們認為宇宙萬物依賴于整數的信條，由于不可公度量的發現而收到了動搖。據柏拉圖記載，后來又發現了一些無理數。這些“怪物”深深地困惑著古希臘啦的數學家，希臘數學中出現的這一個邏輯難題被史稱為“第一次數學危機”。約1世紀之后，這一危機才由畢達哥拉斯學派成員啊切塔斯的學生歐多克斯提出的新比例理論二暫時得到了消除。畢達哥拉斯在政治中被殺害之后，該學派還存在了2世紀之久。阿爾·西塔斯則是這個學派的晚期的代表人物。他繼承和發展了畢達哥拉斯學說。

畢達哥拉斯學派有這么一個教規，就是一切的發明都歸功于學派的領袖，而且還對外保密，因此早期的學派成員幾乎沒有留下名字。直到BC480年，畢達哥拉斯遇害，組織被破壞，他們的研究才公諸于世。

（三）巧辯學派，埃利亞學派，原子論學派

巧辯學派是古代希臘的一個學派，開始以“智者學派”自稱，后來因為過于偏重于利用言辭雄辯，純粹是為了解釋二解釋，逐漸變得很虛偽。后變成了巧辯學派。

埃利亞學派是古希臘最早的唯心主義哲學派別之一，宣揚唯心主義和形而上學，以善辯而著稱。克塞諾芬尼是克塞諾芬尼的創始人。該學派成員巴門尼德提出的“存在”是對宇宙萬物共同本質的抽象概括，使哲學從而擺脫了用具體物質形態說明世界本原的原始樸素形式，是認識史的重要進步。“存在”概念成為以后哲學討論的中心概念。

他們提出的存在與非存在、一與多、運動與靜止等范疇，對以后的辯證法研究有一定啟示。

原子論學派是古希臘BC5世紀至BC4世紀活躍于色雷斯地區的學派。創始人是勒西普斯。其基本觀點是認為萬物的本原是“原子”與虛空。原子是一種最小的、不可再分的、看不見的物質微粒，而虛空是原子運動的場所。這種看法已孕育著近代積分論的萌芽。原子論在邏輯上是不嚴密的，卻是古代數學家發現新結果的重要線索。原子論學派的思想影響到近現代，今天計算積分常用的微元法也是原子論的思想。

二． 第二時期：BC336-----BC30（亞歷山大里亞前期）

這個時期，亦稱為黃金時代，科學文化的中心也從雅典轉移到埃及的亞歷山大里亞。亞歷山大里亞城市東南海路交通的樞紐，又經過托勒密王狄加意的經營，慢慢地成為了新的希臘文化的中心，取代了希臘本土的主要要地位。BC146年，古希臘滅亡，希臘數學以羅馬為中心，達到了一個巔峰時期，史稱“希臘化的科學時代”。在這一時期，以歐幾里得.阿基米德和阿波羅尼奧斯的研究為主要代表。同時，他們也成為了希臘數學史上最有影響力的數學家。正是他們讓數學開始了相對獨立的發展。

（一）歐幾里得及其《原本》

歐幾里得是希臘論證幾何學的集大成者。關于他的生平，我們知之甚少。歐幾里得寫過不好的數學，天文，光學和音樂方面的著作，現存的有《原本》，《論剖分》，《現象》，《光學》和《鏡

面反射》。其中，最出名的莫過于《原本》。這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數學著作。《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果和精神于一書。既是數學巨著，也是哲學巨著，還是第一次完成了人類對空間的認識。除《圣經》之外，沒有任何其他著作，其研究、使用和傳播之廣泛，能夠與《幾何原本》相提并論。

《幾何原本》，共13卷，含有23條定義，5條公理，5條公設，在此基礎上，演繹了467個命題。《幾何原本》的特點和歷史地位：

（1）抽象化的內容。它主要體現在藥酒的對象都是抽象的概念和命題。撇開研究對象的具體內容來講，它僅僅保留了空間形式和數量關系，這些形式和關系是一種形式化的思想。同時，它獨立地創造出了思想成果，一邏輯為鏈條的形式化符號系統，數字的形式化方法決定了數學能對純粹的量進行獨立地，理想化地，系統性地進行研究。從抽象程度上看，《幾何原本》每一次抽象都是理性思維的結晶，體現了當時人類思維的最高級形態。（2）公理化的方法

《幾何原本》是實質公理學的典范。公理學研究的對象，性質和關系是由初始的概念來表示的。該書把亞里斯多德初步總結出來的公理化思想應用于數學，整理，總和發展了希臘古典時期的大量數學知識。它在數學史上是一座不朽的里

程碑。

（3）封閉式的演繹

它以一些原始概念和不證明的公設和公理為基礎，運用邏輯原則，演繹出幾何學中的所有定理。與此同時，《原本》的理論體系回避了社會中的任何實際性問題，所以說，它對于整個社會而言也是封閉的。

（二）阿基米德——數學之神

阿基米德是歷史上的偉大數學家和偉大力學學者，享有“力學之父”的美稱。他有這么一句名言眾所周知“給我一個支點，我將翹起整個地球”。作為數學家，他寫出了《論球和圓柱》、《圓的度量》、《拋物線求積》、《論螺線》、《論錐體和球體》、《沙的計算》數學著作。作為力學家，他著有《論圖形的平衡》、《論浮體》、《論杠桿》、《原理》等力學著作。阿基米德因創造性的成果受到了后人的高度贊揚，與牛頓，高斯并列為有史以來三個貢獻最大的數學家，他們和歐拉一起并稱為四個最偉大的數學家。除了偉大的牛頓和愛因斯坦，再沒有一個人可以像阿基米德那樣為人類的進步做出過這樣大的貢獻。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。他是“理論天才與實驗天才合于一人的理想化身”。

阿基米德還制作過天文儀器，發明了螺旋水漿。他的獨創與論證相結合，計算技巧與邏輯分析相結合，注意理論聯系實際的學風獨步千年，留芳百世。

對于阿基米德來說，機械和物理的研究發明還只是次要的，他比較有興趣而且還投注許多時間的是純理論上的研究，尤其是在數學和天文方面。在數學方面，他利用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線、橢圓面積，使得后世的數學家可以依據這樣的“逼近法”加以發展成近代的“微積分”。在推演這些公式的過程中，他進一步發展了歐多克斯發明的“窮竭法”，就是用內接和外切的直邊圖形不斷地逼近曲邊形以用來解決曲面面積問題,即我們今天所說的逐步近似求極限的方法，因而被公認為微積分計算的鼻祖。他用圓內接多邊形與外切多邊形邊數增多、面積逐漸接近的方法，比較精確的求出了圓周率。他甚至還研究出螺旋形曲線的性質，現今的“阿基米德螺線”曲線，就是為紀念他而命名。另外他在《恒河沙數》一書中，他創造了一套記大數的方法，簡化了記數的方式，避免了冗長的希臘數字。

（三）阿波羅尼奧斯與《圓錐曲線輪》

阿波羅尼奧斯約BC262年生于佩爾格,在BC190年卒，是一位數學家。它的主要貢獻是在前人工作的基礎上發展了圓錐曲線理論。他注意圖形的幾何性質，把前輩們的所得到的圓錐曲線知識，予以嚴格的系統化，可以收是代表了希臘幾何的最高水平，直到17世紀，希臘幾何學并無實質性的進步。下面我就來說所《圓錐曲線論》的意義。《圓錐曲線輪》是一部經典巨著，此書集前人之大成，且提出很多新的性質。書中首先證明三種圓

錐曲線都可以由同一個圓錐體截取而得，并給出拋物線、橢圓、雙曲線、正焦弦等名稱，取代了過去的一些叫法。此書可以是把圓錐曲線的性質網羅殆盡，其他人毫無插足之地。三． 第三時期：BC30-----AD641 這個時期，亞歷山大里亞被阿拉伯人占領。從此，希臘數學開始走向了滅亡之路了，史稱亞歷山大里亞后期。雖然這一時期，希臘數學慢慢隱沒，但是也涌現了一批的杰出數學家。這一時期以海倫，帕波斯，丟番圖，海帕西婭等人為主要代表。

（一）海倫——測量大師

海倫海倫生于埃及，是古希臘數學家、力學家、機械學家和測量家。海倫以解決幾何測量問題而聞名。著名的“海倫公式”就是由他證明得出的。他多才多藝，善于博采眾長。在論證中大膽使用某些經驗性的近似公式，注重數學的實際應用。他的主要著作右《量度論》一書。他的成就還有：正3到正12邊形面積計算法；長方臺體積公式；求立方根的近似公式等。

（二）丟番圖及其丟番圖問題

丟番圖是代數學的創始人之一。他認為代數方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題，對算術理論有深入研究，他完全脫離了幾何形式擺脫了幾何的羈絆，在希臘數學中獨樹一幟，被后世人叫做“代數學之父”。以下就是著名的丟番圖問題，它就是丟番圖的墓志銘:

“過路人！這里安葬著丟番圖，下面的題目可以告訴你他的壽命多長。他生命的一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無憂無慮的少年，再過去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的一半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年，也走完了人生的旅程。請問，丟番圖活了多大的年紀？”這段碑文散發著文學的芳香，是歷史留給我們唯一的有關他的訊息。它相當于方程：設：丟番圖X歲。

x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4

x=25/28x+9

3/28x=9

x=84

現在人們所說的丟番圖方程是指對于整系數的不定方程，求其整數解。

（三）海帕西婭——最早的女數學家

海帕西亞大約于AD 3 7 0 年生于埃及的亞歷山大里亞。她10歲就知道利用相似三角形對應邊成比例的原理去測量金字塔的高度了。海帕西婭是一位科學家，精通數學、醫學、哲學．教會感到她的雄辯才能和崇高的聲望足以威脅到他們的存在，于是把她視為眼中釘．AD415年3月的一天，在教長西里耳的主謀下，一群暴徒突然把她從馬車上拉到教堂里殘酷地殺死．這是歷史上一樁駭人聽聞的宗教迫害科學家的滔天罪行．人稱海帕西婭是世界上

第一位女數學家。而她的慘死實為一千古悲劇，也是她的死標志著希臘數學的消亡。

總之，亞歷山大時期達到開拓了希臘數學領域，正是由于這個時期的成就，希臘數學才能成為一個比較完整的體系載入史冊。而整個希臘數學的消亡是由羅馬人的入侵所導致的，羅馬統治是歐洲數學將進入了一個漫長的黑暗時期。AD641年，亞歷山大里亞被阿拉伯人占領，圖書館再次被焚，希臘數學悠久而又燦爛的歷史到此終結了。這是一個遺憾，一個歷史的遺憾，一個數學歷史的遺憾啊。【參考文獻】：

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