第一篇：數學競賽教案講義(14)——極限與導數
第十四章 極限與導數
一、基礎知識 1．極限定義：（1）若數列{un}滿足，對任意給定的正數ε，總存在正數m，當n>m且n∈N時，恒有|un-A|<ε成立（A為常數），則稱A為數列un當n趨向于無窮大時的極限，記為x???limf(x),limf(x)，另外lim?f(x)=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右x???x?x0x?x0極限。類似地lim?f(x)表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。
2極限的四則運算：如果limf(x)=a, limg(x)=b，那么lim[f(x)±g(x)]=a±b，x?x0x?x0x?x0x?x0lim[f(x)?g(x)]=ab, limx?x0f(x)a?(b?0).g(x)bx?x0x?x03.連續：如果函數f(x)在x=x0處有定義，且limf(x)存在，并且limf(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區間[a,b]上的連續函數，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．導數：若函數f(x)在x0附近有定義，當自變量x在x0處取得一個增量Δx時（Δx充分小），因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若lim?y存在，則稱f(x)在x0
?x?0?xdydx，x0處可導，此極限值稱為f(x)在點x0處的導數（或變化率），記作f'(x0)或y'x?x0或即f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)。由定義知f(x)在點x0連續是f(x)在x0可導的必要條件。x?x0若f(x)在區間I上有定義，且在每一點可導，則稱它在此敬意上可導。導數的幾何意義是：f(x)在點x0處導數f'(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率。6．幾個常用函數的導數：（1）(c)'=0（c為常數）；（2）(xa)'?axa?1（a為任意常數）；（3）(sinx)'?cosx;(4)(cosx)'??sinx;(5)(ax)'?axlna;(6)(ex)'?ex;（7）(logax)'?11（8）(lnx)'?.logax；xx7．導數的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導，且u(x)≠0,則
（1）[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)；（3）
[（c為常數）；（4）[cu(x)]'?c?u'(x)1?u'(x)u(x)u(x)v'(x)?u'(x)v(x)[]'?]'?2；（5）。2u(x)u(x)u(x)u(x)8．復合函數求導法：設函數y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x處可導，f(u)在對應的點u(u=?(x))處可導，則復合函數y=f[?(x)]在點x處可導，且（f[?(x)])'=f'[?(x)]?'(x).9.導數與函數的性質：（1）若f(x)在區間I上可導，則f(x)在I上連續；（2）若對一切x∈(a,b)有f'(x)?0，則f(x)在(a,b)單調遞增；（3）若對一切x∈(a,b)有f'(x)?0，則f(x)在(a,b)單調遞減。
10．極值的必要條件：若函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則f'(x0)?0.11.極值的第一充分條件：設f(x)在x0處連續，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內可導，（1）若當x∈(x-δ,x0)時f'(x)?0，當x∈(x0,x0+δ)時f'(x)?0，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當x∈(x0-δ，x0)時f'(x)?0，當x∈(x0,x0+δ)時f'(x)?0，則f(x)在x0處取得極大值。
12．極值的第二充分條件：設f(x)在x0的某領域(x0-δ,x0+δ)內一階可導，在x=x0處二階可導，且f'(x0)?0,f''(x0)?0。（1）若f''(x0)?0，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若f''(x0)?0，則f(x)在x0處取得極大值。
13．羅爾中值定理：若函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使f'(?)?0.[證明] 若當x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對任意x∈(a,b)，f'(x)?0.若當x∈(a,b)時，f(x)≠f(a)，因為f(x)在[a,b]上連續，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a)，不妨設最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故f'(c)?0，綜上得證。
14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，則存在ξ∈(a,b)，使f'(?)?f(b)?f(a).b?af(b)?f(a)(x?a),則F(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，且
b?af(b)?f(a)F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使F'(?)=0，即f'(?)?.b?a[證明] 令F(x)=f(x)-15．曲線凸性的充分條件：設函數f(x)在開區間I內具有二階導數，（1）如果對任意x∈I,f''(x)?0,則曲線y=f(x)在I內是下凸的；（2）如果對任意x∈I,f''(x)?0,則y=f(x)在I內是上凸的。通常稱上凸函數為凸函數，下凸函數為凹函數。
+16．琴生不等式：設α1,α2,…,αn∈R，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).二、方法與例題 1．極限的求法。
an2n??1例1 求下列極限：（1）lim?2?2???2?；（2）lim（3）(a?0)；
n??nn??1?annn???1?11??；n(n?1?n).lim??????（4）lim222n??n??n?2n?n??n?1
例2 求下列極限：（1）lim(1+x)(1+x)(1+x)…(1+x)(|x|<1)；
n??
2222nx2?11??3（2）lim?（3）lim。??；
x?1x?11?x31?x3?x?1?x??
2．連續性的討論。
例3 設f(x)在(-∞,+∞)內有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當x∈[0,1)時，2f(x)=x(1-x)，試討論f(x)在x=2處的連續性。
3．利用導數的幾何意義求曲線的切線方程。
4．導數的計算。
5x2?3x?xcos2x例5 求下列函數的導數：（1）y=sin(3x+1)；（2）y?；（3）y=e；（4）
xxy?ln(x?x2?1)；（5）y=(1-2x)(x>0且x?1)。2
5．用導數討論函數的單調性。
例6 設a>0，求函數f(x)=x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調區間。
6．利用導數證明不等式。例7 設x?(0,?2)，求證：sinx+tanx>2x.7.利用導數討論極值。
2例8 設f(x)=alnx+bx+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。
例9 設x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
三、基礎訓練題
2n?1?3n?11．lim=_________.n??2n?3n?n2?1???an?b2．已知lim???2，則a-b=_________.n???n?1??1?cos3．limn???3x?4x?12(n?1)?lim?_________.3n??n3x?2x2?232xn?1?(n?1)x?n?_________.4．lim2x?1(x?1)2?(?1)n5．計算lim?lim(x2?1?x2?1)?_________.n??x???n6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數，且f'(0)存在，則f'(0)?_________.7．函數f(x)在(-∞,+∞)上可導，且f'(2)?1，則limh?0f(2?h)?f(2?h)?_________.2h8．若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P坐標為_________.9．函數f(x)=x-2sinx的單調遞增區間是_________.1?x210．函數f(x)?ln的導數為_________.1?x211．若曲線y?0111在點處的切線的斜率為，求實數a.M(2,)2244(x?ax)12.求sin29的近似值。13．設0 sinaatana?,求證：??.sinbbtanb 2四、高考水平練習題 1?2?4???2n?11．計算lim=_________.n??1?3?32???3n?12?x3?x???_________.2．計算lim?2x????2x?12x?1???3．函數f(x)=2x-6x+7的單調遞增區間是_________.。32ex?e?x4．函數y?x的導數是_________.?xe?e5．函數f(x)在x0鄰域內可導，a,b為實常數，若f'(x0)?c，則?x?0limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?_________.?x6．函數f(x)=1x?e(sinx+cosx),xx?[0,]的值域為_________.227．過拋物線x=2py上一點(x0,y0)的切線方程為_________.8．當x>0時，比較大小：ln(x+1)_________x.5439.函數f(x)=x-5x+5x+1,x∈[-1,2]的最大值為_________，最小值為_________.-x-t10．曲線y=e(x?0)在點M(t,e)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_________.2211．若x>0，求證：(x-1)lnx?(x-1).12．函數y=f(x)在區間(0,+∞)內可導。導函數f'(x)是減函數，且f'(x)>0，x0∈(0,+2∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線方程，另設g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),f'(x0)表示m；（2）證明：當x∈(0,+∞)時，g(x)?f(x)；（3）若關于x的不等32式x+1?ax+b?x3在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實數，求b的取值范圍及a,b所滿足2的關系。 13.設各項為正的無窮數列{xn}滿足lnxn+ 五、聯賽一試水平訓練題 1．設Mn={（十進制）n位純小數0?a1a2?an|ai只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個數，Sn是Mn中所有元素的和，則lim21xn?1?1(n?N?),證明：xn?1(n∈N+).Sn?_________.n??Tn2．若(1-2)展開式的第3項為288，則lim?x9 1??11?2???n??_________.n??xxx??3．設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_________.4．曲線y?2?+121x與y?x3?2的交點處的切線夾角是_________.242ax5．已知a∈R，函數f(x)=xe的單調遞增區間為_________.x2在(a,3-a)上有最大值，則a的取值范圍是_________.21?xx27．當x∈(1,2]時，f(x)=則y=lg(a-a+3)的最小值為_________.?a(a?0)恒成立，2x?16．已知f(x)?8．已知-1f(x)=ln(e+a)(a>0)，若對任意 x x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f(x)|+ln[f'(x)]<0恒成立，則實數m取值范圍是_________.9.已知函數f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數f(x)的最大值；（2）設0 ?a??x?數，且a 22（3）若x1∈Ik=[k,(k+1)],x2∈Ik+1=[(k+1),(k+2)]，證明：gI(x1)?gIk222 2k?1(x2)?4.k(k?1) 六、聯賽二試水平訓練題 x2x21．證明下列不等式：（1）x??ln(x)?x?(x?0)； 22(1?x)（2）tanxx????,x??0,?。xsinx?2?ab?bc?cd?da2．當0 x 高考數學回歸課本教案 整理：盧立臻 第十四章 極限與導數 一、基礎知識 1．極限定義：（1）若數列{un}滿足，對任意給定的正數ε，總存在正數m，當n>m且n∈N時，恒有|un-A|<ε成立（A為常數），則稱A為數列un當n趨向于無窮大時的極限，記為x???limf(x),limf(x)，另外limf(x)=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右?x???x?x0f(x)表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。極限。類似地lim?x?x02．極限的四則運算：如果limf(x)=a, limg(x)=b，那么lim[f(x)±g(x)]=a±b，x?x0x?x0x?x0x?x0lim[f(x)?g(x)]=ab, limx?x0f(x)a?(b?0).g(x)bx?x0x?x03.連續：如果函數f(x)在x=x0處有定義，且limf(x)存在，并且limf(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區間[a,b]上的連續函數，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．導數：若函數f(x)在x0附近有定義，當自變量x在x0處取得一個增量Δx時（Δx充分小），因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若lim?y存在，則稱f(x)在?x?0?xx0處可導，此極限值稱為f(x)在點x0處的導數（或變化率），記作f'(x0)或y'x?x0或dydx，即f'(x0)?limx0x?x0f(x)?f(x0)。由定義知f(x)在點x0連續是f(x)在x0可導的必 x?x0要條件。若f(x)在區間I上有定義，且在每一點可導，則稱它在此敬意上可導。導數的幾何意義是：f(x)在點x0處導數f'(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率。6．幾個常用函數的導數：（1）(c)'=0（c為常數）；（2）(xa)'?axa?1（a為任意常數）；（3）(sinx)'?cosx;(4)(cosx)'??sinx;(5)(ax)'?axlna;(6)(ex)'?ex;（7）(logax)'?11logax；（8）(lnx)'?.xx7．導數的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導，且u(x)≠0,則 （1）[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)；（3） I,f''(x)?0,則曲線y=f(x)在I內是下凸的；（2）如果對任意x∈I,f''(x)?0,則y=f(x)在I內是上凸的。通常稱上凸函數為凸函數，下凸函數為凹函數。 +16．琴生不等式：設α1,α2,…,αn∈R，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).二、方法與例題 1．極限的求法。 an2n??1例1 求下列極限：（1）lim?2?2???2?；（2）lim（3）(a?0)； n??1?ann??nnn???1?11??；n(n?1?n).lim??????（4）lim222n??n??n?2n?n??n?1[解]（1）lim?n(n?1)2n??1?12?1lim?=????lim?????； 222n??n??n2n??2nnn???22n?2an11（2）當a>1時，lim?lim??1.nnn??1?ann???1??1????1lim???1n??a?a???當0 2?limn??11?2n 1?1n1?.2例2 求下列極限：（1）lim(1+x)(1+x2)(1+x)…(1+x)(|x|<1)； n??1?x2?1?3（2）lim?（3）lim。??；x?11?x3x?11?x?3?x?1?x? 4．導數的計算。 5x2?3x?xcos2x例5 求下列函數的導數：（1）y=sin(3x+1)；（2）y?；（3）y=e；（4） xx（5）y=(1-2x)(x>0且x?y?ln(x?x2?1)； 1)。2[解]（1）y'?cos(3x?1)?(3x?1)'?3cos(3x+1).(5x2?3x?x)'?x?(5x2?3x?x)?(x)'(2)y'? 2x?1?2?10x?3??x?5x?3x?x??2x? ??x2?5?12x3.（3）y'?ecos2x?(cos2x)'?ecos2x?(?sin2x)?(2x)'??2ecos2x?sin2x.（4）y'?1x?x2?1?(x?x2?1)'???x? ???1?2?2x?x?1?x?1?1?1x?12.xxln(1?2x)（5）y'?[(1?2x)]'?[e]'?exln(1?2x)(xln(1?2x))' 2x???(1?2x)x?ln(1?2x)?.?1?2x??5．用導數討論函數的單調性。例6 設a>0，求函數f(x)=[解] f'(x)?x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調區間。 12x?122 (x?0)，因為x>0,a>0，所以f'(x)?0?x+(2a-4)x+a>0；x?af'(x)?0?x2+(2a-4)x+a+<0.（1）當a>1時，對所有x>0，有x+(2a-4)x+a>0，即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增； 22（2）當a=1時，對x≠1,有x+(2a-4)x+a>0，即f'(x)?0，所以f(x)在（0，1）內單調 2遞增，在（1，+∞）內遞增，又f(x)在x=1處連續，因此f(x)在(0,+∞)內遞增；（3）當 ?sin(1?y)xsinxsinxy2sinx?，令g(x)=, ?????2xxx?(1?y)?(1?y)xg'(x)?cosx(x?tanx)?(x?), 22x當x??0,????時，因為cosx>0,tanx>x，所以g'(x)?0； 2??當x?????,??時，因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以g'(x)?0； ?2?又因為g(x)在(0,π)上連續，所以g(x)在(0,π)上單調遞減。又因為0<(1-y)x sin(1?y)xsinx??0，(1?y)xxy2sinx又因為??0，所以當x∈(0,π),y∈(0,1)時，f(x,y)>0.2x(1?y)其次，當x=0時，f(x,y)=0；當x=π時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π?0.當y=1時，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當y=1時，f(x,y)=sinx?0.綜上，當且僅當x=0或y=0或x=π且y=1時，f(x,y)取最小值0。 三、基礎訓練題 2n?1?3n?11．lim=_________.n??2n?3n?n2?1??2．已知lim??an?b??2，則a-b=_________.n???n?1??1?cos3．limn???3x?4x?12(n?1)?lim?_________.3n??n3x?2x2?232xn?1?(n?1)x?n4．lim?_________.x?1(x?1)22?(?1)n?lim(x2?1?x2?1)?_________.5．計算limn??x???n6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數，且f'(0)存在，則f'(0)?_________.7．函數f(x)在(-∞,+∞)上可導，且f'(2)?1，則limh?0f(2?h)?f(2?h)?_________.2h8．若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P坐標為_________.9．函數f(x)=x-2sinx的單調遞增區間是_________.五、聯賽一試水平訓練題 1．設Mn={（十進制）n位純小數0?a1a2?an|ai只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個數，Sn是Mn中所有元素的和，則limSn?_________.n??Tn2．若(1-2)展開式的第3項為288，則lim?x9 1??11?2???n??_________.n??xxx??3．設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_________.4．曲線y?2?+121x與y?x3?2的交點處的切線夾角是_________.242ax5．已知a∈R，函數f(x)=xe的單調遞增區間為_________.x2在(a,3-a)上有最大值，則a的取值范圍是_________.21?xx 2?a(a?0)恒成立，7．當x∈(1,2]時，f(x)=則y=lg(a-a+3)的最小值為_________.2x?16．已知f(x)?8．已知f(x)=ln(e+a)(a>0)，若對任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f(x)|+ln[f'(x)]<0恒成立，則實數m取值范圍是_________.9.已知函數f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數f(x)的最大值；（2）設0 ?a??x?數，且a 2222（3）若x1∈Ik=[k,(k+1)],x2∈Ik+1=[(k+1),(k+2)]，證明： 22gI(x1)?gI(x2)?kk?14.k(k?1) 六、聯賽二試水平訓練題 x2x21．證明下列不等式：（1）x??ln(x)?x?(x?0)； 22(1?x)（2）tanxx????,x??0,?。xsinx?2?-9 第五章 數列 一、基礎知識 定義1 數列，按順序給出的一列數，例如1，2，3，…，n，….數列分有窮數列和無窮數列兩種，數列{an}的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數列的首項，an是關于n的具體表達式，稱為數列的通項。 定理1 若Sn表示{an}的前n項和，則S1=a1, 當n>1時，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定義2 等差數列，如果對任意的正整數n，都有an+1-an=d（常數），則{an}稱為等差數列，d叫做公差。若三個數a, b, c成等差數列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 等差數列的性質：1）通項公式an=a1+(n-1)d；2）前n項和公式：Sn=n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數；4）若n+m=p+q，22則an+am=ap+aq；5）對任意正整數p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個不為零，則{an}是等差數列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數列，若對任意的正整數n，都有 an?1?q，則{an}稱為等比數列，q叫做公比。ana1(1?qn)定理3 等比數列的性質：1）an=a1q；2）前n項和Sn，當q?1時，Sn=；當 1?qn-1q=1時，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數列，即b2=ac(b?0)，則b叫做a, c的等比中項；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。 定義4 極限，給定數列{an}和實數A，若對任意的?>0，存在M，對任意的n>M(n∈N),都有|an-A| a1（由極限的定義可得）。1?q定理3 第一數學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數n≥n0成立。 競賽常用定理 定理4 第二數學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)對一切n≤k的自然數n都成立時（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數n≥n0成立。 定理5 對于齊次二階線性遞歸數列xn=axn-1+bxn-2，設它的特征方程x2=ax+b的兩個根為α,β:(1)若α?β，則xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn- 1n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若α=β，則，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。 二、方法與例題 1．不完全歸納法。 這種方法是從特殊情況出發去總結更一般的規律，當然結論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數學歸納法證明。 例1 試給出以下幾個數列的通項（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 例2 已知數列{an}滿足a1= 例3 設0 2迭代法。 數列的通項an或前n項和Sn中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+ 11,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項an.21，求證：對任意n∈N+,有an>1.an或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。 例4 數列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求證：存在常數c，使得22nan?1?pan?1·an+qan?cq?0.2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an?1，求證：an都是整數，n∈N+.3．數列求和法。 數列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。例6 已知an= 例7 求和：Sn? 例8 已知數列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數列? 4．特征方程法。 例9 已知數列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.1(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n?2100111+…+.?n(n?1)(n?2)1?2?32?3?4?an?的前n項和，求證：Sn<2。n??2? 例10 已知數列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項an.5．構造等差或等比數列。 例11 正數列a0,a1,…,an,…滿足anan?2? 2xn?2例12 已知數列{xn}滿足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通項。 2xnan?1an?2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項。 三、基礎訓練題 1． 數列{xn}滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項和，當n≥2時，xn=_________.2.數列{xn}滿足x1= 2xn1，xn+1=,則{xn}的通項xn=_________.3xn?223.數列{xn}滿足x1=1，xn= 1xn?1+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項xn=_________.24.等差數列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項之和，則當Sn最大時，n=_________.5.等比數列{an}前n項之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.6.數列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則S100=_________.7.數列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.8.若 x3xnx1x2?????，并且x1+x2+…+ xn=8，則x1=_________.x1?1x2?3x3?5xn?2n?1Sna2n?，則limn=_________.n??b3n?1Tnn9.等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若 2007n2?n?110.若n!=n(n-1)…2·1, 則?(?1)=_________.n!n?1n11．若{an}是無窮等比數列，an為正整數，且滿足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求??1??的通項。a?n?n12．已知數列{an}是公差不為零的等差數列，數列{ab}是公比為q的等比數列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數列{bn}的前n項和Sn。 四、高考水平訓練題 ?1x??2??1．已知函數f(x)=?2x?1??x?1??則a2006=_____________.1???x??2??7?1?+ ??x?1?，若數列{an}滿足a1=，an+1=f(an)(n∈N)，3?2?(x?1)2．已知數列{an}滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項an=??1?(n?1)(n?2).3.若an=n2+?n, 且{an}是遞增數列，則實數?的取值范圍是__________.4.設正項等比數列{an}的首項a1=an=_____________.1, 前n項和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則23n1?5.已知limn?1，則a的取值范圍是______________.n??3?(a?1)n36．數列{an}滿足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________個a1值，使{an}成等差數列；存在________個a1值，使{an}成等比數列。7．已知an?n?401n?402(n ∈N+)，則在數列{an}的前50項中，最大項與最小項分別是____________.8．有4個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和中16，第二個數與第三個數的和是12，則這四個數分別為____________.9.設{an}是由正數組成的數列，對于所有自然數n, an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，則an=____________.10.在公比大于1的等比數列中，最多連續有__________項是在100與1000之間的整數.11．已知數列{an}中，an?0，求證：數列{an}成等差數列的充要條件是 11111??????（n≥2）①恒成立。a1a2a2a3a3a4anan?1a1an?112．已知數列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn= bn?1(n≥2), 當a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時，21?an?1an；（3）求數列limbn.n??an?1（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=13．是否存在常數a, b, c，使題設等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2= n(n?1) 2(an+bn+c)12對于一切自然數n都成立？證明你的結論。 五、聯賽一試水平訓練題 1．設等差數列的首項及公差均為非負整數，項數不少于3，且各項和為972，這樣的數列共有_________個。2．設數列{xn}滿足x1=1, xn= 4xn?1?2，則通項xn=__________.2xn?1?7253.設數列{an}滿足a1=3, an>0，且3an?an?1，則通項an=__________.4.已知數列a0, a1, a2, …, an, …滿足關系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，則?ai?0n1i=__________.5.等比數列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=__________.6.各項均為實數的等差數列的公差為4，其首項的平方與其余各項之和不超過100，這樣的數列至多有__________項.7.數列{an}滿足a1=2, a2=6, 且 an?2?an=2，則 an?1?1lima1?a2???ann2n???________.8.數列{an} 稱為等差比數列，當且僅當此數列滿足a0=0, {an+1-qan}構成公比為q的等比數列，q稱為此等差比數列的差比。那么，由100以內的自然數構成等差比數列而差比大于1時，項數最多有__________項.?an?9．設h∈N+，數列{an}定義為：a0=1, an+1=?2?a?h?n在大于0的整數n，使得an=1？ an為偶數an為奇數。問：對于怎樣的h，存10．設{ak}k≥1為一非負整數列，且對任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對任意正整數n，數列中存在n個連續項為0；（2）求出一個滿足以上條件，且其存在無限個非零項的數列。 11．求證：存在唯一的正整數數列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)= anan?23anan?2?1?1?1.六、聯賽二試水平訓練題 1．設an為下述自然數N的個數：N的各位數字之和為n且每位數字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數，這里n=1, 2,….2．設a1, a2,…, an表示整數1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質的排列數目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。試問f(2007)能否被3整除？ 3．設數列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且 ??an?1?7an?6bn?3, ???bn?1?8an?7bn?4,n?0,1,2,?.求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數。 4．無窮正實數數列{xn}具有以下性質：x0=1，xi+1 x1x2xn均成立； 22x0xnx12?????1<4對任一n均成立。（2）尋求這樣的一個數列使不等式 x1x2xn5．設x1,x2,…,xn是各項都不大于M的正整數序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問這樣的序列最多有多少項？ 2(1?2an?2)an1?16．設a1=a2=，且當n=3,4,5,…時，an=, 222an?1?4an?2an?1?an?23(ⅰ)求數列{an}的通項公式；(ⅱ)求證： 1?2是整數的平方。an7．整數列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對每個正整數n, un+1un-1=kuu，這里k是某個固定的正整數。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。 8．求證：存在無窮有界數列{xn}，使得對任何不同的m, k，有|xm-xk|≥ 1.m?k9.已知n個正整數a0,a1,…，an和實數q，其中0 高考資源網（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家 第五章 數列 一、基礎知識 定義1 數列，按順序給出的一列數，例如1，2，3，…，n，….數列分有窮數列和無窮數列兩種，數列{an}的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數列的首項，an是關于n的具體表達式，稱為數列的通項。 定理1 若Sn表示{an}的前n項和，則S1=a1, 當n>1時，an=Sn-Sn-1.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 定義2 等差數列，如果對任意的正整數n，都有an+1-an=d（常數），則{an}稱為等差數列，d叫做公差。若三個數a, b, c成等差數列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.定理2 等差數列的性質：1）通項公式an=a1+(n-1)d；2）前n項和公式：Sn=n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數；4）若n+m=p+q，22則an+am=ap+aq；5）對任意正整數p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一個不為零，則{an}是等差數列的充要條件是Sn=An2+Bn.定義3 等比數列，若對任意的正整數n，都有 an?1 ?q，則{an}稱為等比數列，q叫做公比。 ana1(1?qn)定理3 等比數列的性質：1）an=a1q；2）前n項和Sn，當q?1時，Sn=；當 1?qn-1q=1時，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比數列，即b2=ac(b?0)，則b叫做a, c的等比中項；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。 定義4 極限，給定數列{an}和實數A，若對任意的?>0，存在M，對任意的n>M(n∈N),都有|an-A| a1（由極限的定義可得）。1?q定理3 第一數學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數n≥n0成立。 競賽常用定理 歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 高考資源網（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家 定理4 第二數學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)對一切n≤k的自然數n都成立時（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數n≥n0成立。 定理5 對于齊次二階線性遞歸數列xn=axn-1+bxn-2，設它的特征方程x2=ax+b的兩個根為α,β:(1)若α?β，則xn=c1an-1+c2βxn=(c1n+c2)αn- 1n-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若α=β，則，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。 二、方法與例題 1．不完全歸納法。 這種方法是從特殊情況出發去總結更一般的規律，當然結論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數學歸納法證明。 例1 試給出以下幾個數列的通項（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 例2 已知數列{an}滿足a1= 例3 設0 2迭代法。 數列的通項an或前n項和Sn中的n通常是對任意n∈N成立，因此可將其中的n換成n+1或歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 1,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項an.21，求證：對任意n∈N+,有an>1.an高考資源網（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家 n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。 例4 數列{an}滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求證：存在常數c，使得2n2an?1?pan?1·an+qan?cq?0.例5 已知a1=0, an+1=5an+24an?1，求證：an都是整數，n∈N+.3．數列求和法。 數列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。例6 已知an= 例7 求和：Sn? 例8 已知數列{an}滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn為數列? 4．特征方程法。 例9 已知數列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 21(n=1, 2, …)，求S99=a1+a2+…+a99.4n?2100111?.+…+1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)?an?的前n項和，求證：Sn<2。n??2?高考資源網（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家 例10 已知數列{an}滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項an.5．構造等差或等比數列。 例11 正數列a0,a1,…,an,…滿足anan?2?an?1an?2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項。 2xn?2例12 已知數列{xn}滿足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通項。 2xn 三、基礎訓練題 1． 數列{xn}滿足x1=2, xn+1=Sn+(n+1)，其中Sn為{xn}前n項和，當n≥2時，xn=_________.2.數列{xn}滿足x1= 2xn1，xn+1=,則{xn}的通項xn=_________.23xn?21xn?1+2n-1(n≥2)，則{xn}的通項xn=_________.23.數列{xn}滿足x1=1，xn=4.等差數列{an}滿足3a8=5a13，且a1>0, Sn為前n項之和，則當Sn最大時，n=_________.5.等比數列{an}前n項之和記為Sn,若S10=10，S30=70，則S40=_________.6.數列{xn}滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, Sn=x1+x2+…+ xn，則S100=_________.7.數列{an}中，Sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10|=_________.歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 高考資源網（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家 8.若 x3xnx1x2，并且x1+x2+…+ xn=8，則x1=_________.?????x1?1x2?3x3?5xn?2n?1Sna2n，則limn=_________.?n??b3n?1Tnn9.等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若 2007n2?n?110.若n!=n(n-1)…2·1, 則?(?1)=_________.n!n?1n11．若{an}是無窮等比數列，an為正整數，且滿足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求??1??的通項。a?n?n12．已知數列{an}是公差不為零的等差數列，數列{ab}是公比為q的等比數列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數列{bn}的前n項和Sn。 四、高考水平訓練題 ?1x??2??1．已知函數f(x)=?2x?1??x?1??a2006=_____________.1???x??2??7?1??x?1，若數列{a}滿足a=，an+1=f(an)(n∈N+)，則??n 13?2?(x?1)2．已知數列{an}滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則{an}的通項an=??1?(n?1).(n?2)3.若an=n2+?n, 且{an}是遞增數列，則實數?的取值范圍是__________.4.設正項等比數列{an}的首項a1=an=_____________.1, 前n項和為Sn, 且210S30-（210+1）S20+S10=0，則23n15.已知limn?1，則a的取值范圍是______________.?nn??33?(a?1)6．數列{an}滿足an+1=3an+n(n ∈N+)，存在_________個a1值，使{an}成等差數列；存在________個a1值，使{an}成等比數列。 歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn 高考資源網（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家 7．已知an?n?401n?402(n ∈N+)，則在數列{an}的前50項中，最大項與最小項分別是____________.8．有4個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和中16，第二個數與第三個數的和是12，則這四個數分別為____________.9.設{an}是由正數組成的數列，對于所有自然數n, an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項，則an=____________.10.在公比大于1的等比數列中，最多連續有__________項是在100與1000之間的整數.11．已知數列{an}中，an?0，求證：數列{an}成等差數列的充要條件是 11111（n≥2）①恒成立。??????a1a2a2a3a3a4anan?1a1an?112．已知數列{an}和{bn}中有an=an-1bn, bn= bn?1(n≥2), 當a1=p, b1=q(p>0, q>0)且p+q=1時，21?an?1an；（3）求數列limbn.n??an?1（1）求證：an>0, bn>0且an+bn=1（n∈N）；（2）求證：an+1=13．是否存在常數a, b, c，使題設等式 1·22+2·32+…+n·(n+1)2= n(n?1) 2(an+bn+c)12對于一切自然數n都成立？證明你的結論。 五、聯賽一試水平訓練題 1．設等差數列的首項及公差均為非負整數，項數不少于3，且各項和為972，這樣的數列共有_________個。2．設數列{xn}滿足x1=1, xn= 4xn?1?2，則通項xn=__________.2xn?1?7253.設數列{an}滿足a1=3, an>0，且3an?an?1，則通項an=__________.4.已知數列a0, a1, a2, …, an, …滿足關系式(3-an+1)·(6+an)=18，且a0=3，則1=__________.?i?0ai5.等比數列a+log23, a+log43, a+log83的公比為=__________.6.各項均為實數的等差數列的公差為4，其首項的平方與其余各項之和不超過100，這樣的歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。www.tmdps.cn n高考資源網（www.tmdps.cn），您身邊的高考專家 數列至多有__________項.7.數列{an}滿足a1=2, a2=6, 且 an?2?an=2，則 an?1?1limn??a1?a2???ann2?________.8.數列{an} 稱為等差比數列，當且僅當此數列滿足a0=0, {an+1-qan}構成公比為q的等比數列，q稱為此等差比數列的差比。那么，由100以內的自然數構成等差比數列而差比大于1時，項數最多有__________項.?an?9．設h∈N+，數列{an}定義為：a0=1, an+1=?2?a?h?n大于0的整數n，使得an=1？ an為偶數an為奇數。問：對于怎樣的h，存在10．設{ak}k≥1為一非負整數列，且對任意k≥1，滿足ak≥a2k+a2k+1，（1）求證：對任意正整數n，數列中存在n個連續項為0；（2）求出一個滿足以上條件，且其存在無限個非零項的數列。 11．求證：存在唯一的正整數數列a1,a2,…,使得 a1=1, a2>1, an+1(an+1-1)= anan?23anan?2?1?1?1.六、聯賽二試水平訓練題 1．設an為下述自然數N的個數：N的各位數字之和為n且每位數字只能取1，3或4，求證：a2n是完全平方數，這里n=1, 2,….2．設a1, a2,…, an表示整數1，2，…，n的任一排列，f(n)是這些排列中滿足如下性質的排列數目：①a1=1;②|ai-ai+1|≤2, i=1,2,…,n-1。試問f(2007)能否被3整除？ 3．設數列{an}和{bn}滿足a0=1,b0=0，且 ??an?1?7an?6bn?3, ???bn?1?8an?7bn?4,n?0,1,2,?.求證：an(n=0,1,2,…)是完全平方數。 4．無窮正實數數列{xn}具有以下性質：x0=1，xi+1 22x0xnx12（1）求證：對具有上述性質的任一數列，總能找到一個n≥1，使?????1≥3.999 x1x2xn均成立； 22x0xnx12（2）尋求這樣的一個數列使不等式?????1<4對任一n均成立。 x1x2xn5．設x1,x2,…,xn是各項都不大于M的正整數序列且滿足xk=|xk-1-xk-2|(k=3,4,…,n)①.試問這樣的序列最多有多少項？ 2(1?2an?2)an1?16．設a1=a2=，且當n=3,4,5,…時，an=, 2232an?1?4an?2an?1?an?2(ⅰ)求數列{an}的通項公式；(ⅱ)求證： 1?2是整數的平方。an7．整數列u0,u1,u2,u3,…滿足u0=1，且對每個正整數n, un+1un-1=kuu，這里k是某個固定的正整數。如果u2000=2000，求k的所有可能的值。 8．求證：存在無窮有界數列{xn}，使得對任何不同的m, k，有|xm-xk|≥ 1.m?k9.已知n個正整數a0,a1,…，an和實數q，其中0 第九章 不等式 一、基礎知識 不等式的基本性質： （1）a>b?a-b>0； （2）a>b, b>c?a>c；（3）a>b?a+c>b+c； （4）a>b, c>0?ac>bc； （5）a>b, c<0?ac （6）a>b>0, c>d>0?ac>bd;（7）a>b>0, n∈N+?an>bn; （8）a>b>0, n∈N+?na?nb;（9）a>0, |x| 2xy, x+y+z?33xyz.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 前五條是顯然的，以下從第六條開始給出證明。（6）因為a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd，所以ac>bd；重復利用性質（6），可得性質（7）； nn再證性質（8），用反證法，若na?nb，由性質（7）得(na)?(nb)，即a≤b，與a>b矛盾，所以假設不成立，所以na?nb；由絕對值的意義知（9）成立；-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再證（10）的左邊，因為|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）顯然成立；下證（12），因為x+y-2xy?(x?一不等式，令3y)2≥0，所以x+y≥2xy，當且僅當x=y時，等號成立，再證另x?a,3y?b,3z?c，因為x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= 1(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a3+b3+c3≥3abc，即x+y+z≥33xyz，等號當且僅當x=y=z2時成立。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、方法與例題 1．不等式證明的基本方法。 （1）比較法，在證明A>B或A 例1 設a, b, 22 2A（A，B>0）與1Bx，y，z，有 c∈R+，試證：對任意實數 ?a?babcb?cc?a??xy?yz?xz?x+y+z?2??.(a?b)(b?c)(c?a)?cab? 例2 若a 例3 已知a, b, c∈R+，求證：a+b+c-33abc≥a+b?2ab.（3）數學歸納法。 例5 對任意正整數n(≥3)，求證：nn+1>(n+1)n.（4）反證法。 例6 設實數a0, a1,?,an滿足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0，求證ak≤0(k=1, 2,?, n-1).（5）分類討論法。 x2?y2y2?z2z2?x2???0.例7 已知x, y, z∈R，求證： y?zz?xx?y+ （6）放縮法，即要證A>B，可證A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).例8 求證：1? 例9 已知a, b, c是△ABC的三條邊長，m>0，求證：111????n?n(n?2).232?1abc??.a?mb?mc?m （7）引入參變量法。 b3例10 已知x, y∈R, l, a, b為待定正數，求f(x, y)=2?2的最小值。 xy+ a3 例11 設x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求證：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.（8）局部不等式。 例12 已知x, y, z∈R+，且x2+y2+z2=1，求證： 例13 已知0≤a, b, c≤1，求證： （9）利用函數的思想。 例14 已知非負實數a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=值。 2．幾個常用的不等式。 33xyz?.??21?x21?y21?z2abc≤2。??bc?1ca?1ab?1111的最小??a?bb?cc?a（1）柯西不等式：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n，則(?a)(?b2ii?1i?1nn2i)?(?aibi)2.i?1n等號當且僅當存在λ∈R，使得對任意i=1, 2, , n, ai=λbi，ai2變式1：若ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n，則(?)?bi?1in(?ai)2(?bi)2i?1i?1nn.等號成立條件為ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。 變式2：設ai, bi同號且不為0(i=1, 2, ?, n)，則 ai??bi?1in(?ai)2n?abii?1i?1n.i等號成立當且僅當b1=b2=?=bn.（2）平均值不等式：設a1, a2,?,an∈R+，記Hn= n111????a1a2an, Gn=na1a2?an, a?a2???an,Qn?An=1n22a12?a2???an，則Hn≤Gn≤An≤Qn.即調和平均≤幾何平均≤ n算術平均≤平方平均。 其中等號成立的條件均為a1=a2=?=an.【證明】 由柯西不等式得An≤Qn，再由Gn≤An可得Hn≤Gn，以下僅證Gn≤An.1）當n=2時，顯然成立； 2）設n=k時有Gk≤Ak，當n=k+1時，記1?ka1a2?akak?1=Gk+1.k?1因為a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥kka1a2?ak?kkak?1?Gk?1 k?12k≥2k2ka1a2?ak?1Gk?1?2k2kGk?1?2kGk+1，所以a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1，即Ak+1≥Gk+1.所以由數學歸納法，結論成立。 （3）排序不等式：若兩組實數a1≤a2≤?≤an且b1≤b2≤?≤bn，則對于b1, b2, ?, bn的任意排列bi,bi,?,bi，有a1bn+a2bn-1+?+anb1≤a1bi?a2bi???anbi≤a1b1+a2b2+?+anbn.12n12n【證明】 引理：記 A0=0，Ak= ?ai?1ki(1?k?n)，則 ?abii?1ni? ?(si?1ni?si?1)bi=?si(bi?bi?1)?snbn（阿貝爾求和法）。 i?1n?1證法一：因為b1≤b2≤?≤bn，所以bi?bi???bi≥b1+b2+?+bk.12k記sk=bi?bi???bi-(b1+b2+?+bk)，則sk≥0(k=1, 2, ?, n)。 12k所以a1bi?a2bi???anbi12k-(a1b1+a2b2+?+anbn)= ?aj?1nj(bi?bj)? j?sj?1nj(aj?aj?1)+snan≤0.最后一個不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右側不等式成立，同理可證左側不等式。 證法二：（調整法）考察a1bi?a2bi???anbi，若bi?bn，則存在。 12kj若bi?bn(j≤n-1)，則將bi與bi互換。 jnj因為 banbn?ajbi?(anbi?ajbn)?(an?aj)bn?(aj?an)bi?(an?aj)(bn?bi)≥0，nnnn所 調整后，和是不減的，接下來若bin?1?bn?1，則繼續同樣的調整。至多經n-1次調整就可將亂序和調整為順序和，而且每次調整后和是不減的，這說明右邊不等式成立，同理可得左邊不等式。 222anana12a2?1??????a1+a2+?+an.例15 已知a1, a2,?,an∈R，求證； a2a3ana1+ 注：本講的每種方法、定理都有極廣泛的應用，希望讀者在解題中再加以總結。 三、基礎訓練題 a2b2?1．已知0 11；②≤a3+b3<1；8411112③2?2?；④a??b??2；⑤a22abab8．已知0 b?1lga?blga.2?2(1?cos?)?43，則?=____________.99．已知x?x1?x2???xn，p=(x1-x)2+(x2-x)2+?+(xn-x)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+? n+(xn-a)2, 若a?x，則比較大小：p___________q.10．已知a>0, b>0且a?b, m=aabb, n=abba, 則比較大小：m_________n.113n????.22n22n?1112．已知0 四、高考水平訓練題 1．已知A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x∈R)，設m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2，則下列結論成立的有]__________.（1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.2．已知a, b, c, d∈R，M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，則比較大小：M________N.3．若a?b,a,b?R+，且a?3，b?________.4．已知△ABC的三邊長a, b, c滿足b+c≤2a, a+c≤2b，則 a?3a?b，將3,a,b,從小到大排列為a?12b的取值范圍是________.a5．若實數x, y滿足|x|+|y|≤1，則z=x2-xy+y2的最大值與最小值的和為________.6．設函數f(x)=2?x?3x?12(x∈[-4,2])，則f(x)的值域是________.7．對x1>x2>0, 1>a>0，記y1?x1x2________y1y2.8．已知函數y?x1axaxx?2,y2?1?2，比較大小：1?a1?a1?a1?aa?sinx?4?的值域是??,???，則實數a的值為________.1?cosx?3?9．設a≤b 五、聯賽一試水平訓練題 1．已知a1, a2, b1, b2, c1, c∈R，a1c1-b1=a2c2?b2>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2，比較大小：P_______Q.2已知x2+y2-xy=1，則|x+y-3|+|x+y+2|=__________.3．二次函數f(x)=x2+ax+b，記M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|}，則M的最小值為__________.4．設實數a, b, c, d滿足a≤b≤c≤d或者a≥b≥c≥d，比較大小： 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).5．已知xi∈R, i=1, 2, ?,n且+ 22xy?2yz的最大值。222x?y?z1?1，則x1x2?xn的最小值為__________（這里?1?xi?1inn>1）.6．已知x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72的最小值為__________.7．已知0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n)，記a2n+1=a1, a2n+2=a2，則__________.8．已知0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1，則 ?(ak?12nk?ak?1ak?2)的最大值為 xyz的最大值為__________.??yz?1zx?1xy?19．已知3≤x≤5，求證：2x?1?2x?3?15?3x?219.2a?b?c310?abc?.327=1。又0<λ1≤λ2≤?≤λn，求證：10．對于不全相等的正整數a, b, c，求證： n11．已知ai>0(i=1, 2, ?, n)，且 ?ai?1i?nai(??iai)????i?1?i?1in?(?1??n)2?≤.?4?1?n? 六、聯賽二試水平訓練題 1．設正實數x, y, z滿足x+y+z=1，求證： xyxy?yz?yzyz?xz?xzxz?xy?2.22．設整數x1, x2, ?,xn與y1, y2, ?, yn滿足1 4??1??4．給定正數λ和正整數n(n≥2)，求最小的正數M（λ），使得對于所有非負數x1, x2,?,xn，有M(λ)(?xk?1nk)??x???xk.nnkk?1k?1nn?111?9???.5．已知x, y, z∈R，求證：(xy+yz+zx)?222?(y?z)(z?x)?4?(x?y)+6．已知非負實數a, b, c滿足a+b+c=1，求證：2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c)，并求出等號成立的條件。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第二篇：高考數學回歸課本教案：極限與導數
第三篇：數學競賽教案講義——數列
第四篇：數學競賽教案講義——數列
第五篇：數學競賽教案講義(9)——不等式
點擊咨詢 