第一篇：數(shù)學(xué)競賽教案講義(10)——直線與圓的方程

第十章 直線與圓的方程

一、基礎(chǔ)知識

1．解析幾何的研究對象是曲線與方程。解析法的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的集合與一個(gè)方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如x2+y2=1是以原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。

.2 求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)寫出滿足條件的點(diǎn)的集合；(3)用坐標(biāo)表示條件，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應(yīng)點(diǎn)都在曲線上，且曲線上對應(yīng)點(diǎn)都滿足方程（實(shí)際應(yīng)用常省略這一步）。

3．直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與x軸正方向所成的小于1800的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于x軸的直線的傾斜角為00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點(diǎn)及斜率可求直線方程。

4．直線方程的幾種形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：

x?x1y?y1xy??1；（5）兩點(diǎn)式：；（6）法線式方程：?abx2?x1y2?y1xcosθ+ysinθ=p（其中θ為法線傾斜角，|p|為原點(diǎn)到直線的距離）；（7）參數(shù)式：??x?x0?tcos?（其中θ為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點(diǎn)P0（x0, y0）到動(dòng)點(diǎn)P（x, ???y?y0?tsin?y）的有向線段的數(shù)量（線段的長度前添加正負(fù)號，若P0P方向向上則取正，否則取負(fù)）。5．到角與夾角：若直線l1, l2的斜率分別為k1, k2，將l1繞它們的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫l(wèi)1到l2的角；l1與l2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為θ，夾角為α，則tanθ=

k2?k1k?k1,tanα=2.1?k1k21?k1k26．平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1, k2。且兩者不重合，則l1//l2的充要條件是k1=k2；l1?l2的充要條件是k1k2=-1。

227．兩點(diǎn)P1(x1, y1)與P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=(x1?x2)?(y1?y2)。

8．點(diǎn)P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0的距離公式：d?|Ax0?By0?C|A?B22。

9．直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1, l2

交點(diǎn)的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1與l2組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0(C?C1).10．二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線l方程為Ax+By+C=0.若B>0，則Ax+By+C>0表示的區(qū)域?yàn)閘上方的部分，Ax+By+C<0表示的區(qū)域?yàn)閘下方的部分。

11．解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以x和y表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優(yōu)解。12．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心是點(diǎn)(a, b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其參數(shù)方程為??x?a?rcos?（θ為參數(shù)）。

y?b?rsin???DE?,??，半徑為?22?13．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圓心為??1D2?E2?4F。若點(diǎn)P(x0, y0)為圓上一點(diǎn)，則過點(diǎn)P的切線方程為 2?x0?x??y0???x0x?y0y?D??E?2??2???y????F?0.① ?14．根軸：到兩圓的切線長相等的點(diǎn)的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個(gè)不同的圓：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3.則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不難證明這三條直線交于一點(diǎn)或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。

二、方法與例題

1．坐標(biāo)系的選取：建立坐標(biāo)系應(yīng)講究簡單、對稱，以便使方程容易化簡。

例1 在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，過A引中線BD的垂線與BC交于點(diǎn)E，求證：∠ADB=∠CDE。

例2 半徑等于某個(gè)正三角形高的圓在這個(gè)三角形的一條邊上滾動(dòng)。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為60。

2．到角公式的使用。

例3 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1，C2，正ΔPQR三頂點(diǎn)在此雙曲線上，求證：P，Q，R不可能在雙曲線的同一支上。

3．代數(shù)形式的幾何意義。例4 求函數(shù)f(x)?

4．最值問題。

例5 已知三條直線l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3:(m+1)x-y+m+1=0圍成ΔABC，求m為何值時(shí)，ΔABC的面積有最大值、最小值。

0x4?3x2?6x?13?x4?x2?1的最大值。

5．線性規(guī)劃。

?1?x?y?4,例6 設(shè)x, y滿足不等式組?

y?2?|2x?3|.?（1）求點(diǎn)(x, y)所在的平面區(qū)域；

（2）設(shè)a>-1，在（1）區(qū)域里，求函數(shù)f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。

6．參數(shù)方程的應(yīng)用。

例7 如圖10-5所示，過原點(diǎn)引直線交圓x2+(y-1)2=1于Q點(diǎn)，在該直線上取P點(diǎn)，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求P點(diǎn)的軌跡方程。

7．與圓有關(guān)的問題。

例8 點(diǎn)A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過C作l的垂線，M是這條垂線上的動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心，AB為半徑作圓，MT1與MT2是這個(gè)圓的切線，確定ΔAT1T2垂心 的軌跡。

例9 已知圓x2+y2=1和直線y=2x+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是α和β，見圖10-7，求證：sin(α+β)是定值。

例10 已知⊙O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是⊙O的弦，試確定|OD|的最大值、最小值。

例11 當(dāng)m變化且m≠0時(shí)，求證：圓(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1．已知兩點(diǎn)A(-3,4)和B(3,2)，過點(diǎn)P(2,-1)的直線與線段AB有公共點(diǎn)，則該直線的傾斜角的取值范圍是__________.2．已知θ∈[0,π]，則y?3?cos?的取值范圍是__________.2?sin?3．三條直線2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0圍成一個(gè)三角形，當(dāng)點(diǎn)P(x, y)在此三角形邊上或內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，2x+y的取值范圍是__________.4．若三條直線4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能圍成三角形，則m的范圍是__________.5．若λ∈R。直線(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0與點(diǎn)P(-2,2)的距離為d，比較大小：d__________42.6．一圓經(jīng)過A(4,2), B(-1,3)兩點(diǎn)，且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的 四個(gè)截距的和為14，則此圓的方程為__________.7．自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，則光線l所在的方程為__________.8．D2=4F且E≠0是圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切的__________條件.29．方程|x|-1=1?(y?1)表示的曲線是__________.10．已知點(diǎn)M到點(diǎn)A（1，0），B（a,2）及到y(tǒng)軸的距離都相等，若這樣的點(diǎn)M恰好有一個(gè)，則a可能值的個(gè)數(shù)為__________.11．已知函數(shù)S=x+y，變量x, y滿足條件y2-2x≤0和2x+y≤2，試求S的最大值和最小值。12．A，B是x軸正半軸上兩點(diǎn)，OA=a，OB=b(a

（2）當(dāng)∠AMB取最大值時(shí)，求OM長；

（3）當(dāng)∠AMB取最大值時(shí)，求過A，B，M三點(diǎn)的圓的半徑。

四、高考水平訓(xùn)練題

1．已知ΔABC的頂點(diǎn)A(3,4)，重心G(1,1)，頂點(diǎn)B在第二象限，垂心在原點(diǎn)O，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為__________.2．把直線3x?y?2?3?0繞點(diǎn)（-1，2）旋轉(zhuǎn)30得到的直線方程為__________.3．M是直線l:

0xy??1上一動(dòng)點(diǎn)，過M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，則在線43段AB上滿足AP?2PB的點(diǎn)P的軌跡方程為__________.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4．以相交兩圓C1：x+y+4x+y+1=0及C2：x+y+2x+2y+1=0的公共弦為直徑的圓的方程為__________.5．已知M={(x,y)|y=2a2?x2,a>0},N={(x,y)|(x-1)+(y-3)=a,a>0}.M?N??，a

222

2的最大值與最小值的和是__________.6．圓x+y+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，OP?OQ，則m=__________.7．已知對于圓x+(y-1)=1上任意一點(diǎn)P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范圍是__________.8．當(dāng)a為不等于1的任何實(shí)數(shù)時(shí)，圓x-2ax+y+2(a-2)y+2=0均與直線l相切，則直線l的方程為__________.9．在ΔABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差數(shù)列，那么直線xsinA+ysinA=a與直線xsinB+ysinC=c的位置關(guān)系是__________.10．設(shè)A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐標(biāo)平面xOy上的點(diǎn)集，C=???2

22222????x1?x2y1?y2???,(x,y)?A,(x,y)?B?所圍成圖形的面積是__________.1122?2?????2?11．求圓C1：x2+y2+2x+6y+9=0與圓C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切線方程。12．設(shè)集合L={直線l與直線y=2x相交，且以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為斜率}。（1）點(diǎn)(-2,2)到L中的哪條直線的距離最小？

（2）設(shè)a∈R+，點(diǎn)P(-2, a)到L中的直線的距離的最小值設(shè)為dmin，求dmin的表達(dá)式。13．已知圓C：x2+y2-6x-8y=0和x軸交于原點(diǎn)O和定點(diǎn)A，點(diǎn)B是動(dòng)點(diǎn)，且∠OBA=900，OB交⊙C于M，AB交⊙C于N。求MN的中點(diǎn)P的軌跡。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1．在直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)。若a為無理數(shù)，過點(diǎn)(a,0)的所有直線中，每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)的直線有_______條。

2．等腰ΔABC的底邊BC在直線x+y=0上，頂點(diǎn)A(2,3)，如果它的一腰平行于直線x-4y+2=0，則另一腰AC所在的直線方程為__________.3．若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示條互相垂直的直線，則m=__________.4．直線x+7y-5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長之差的絕對值是__________.25．直線y=kx-1與曲線y=?1?(x?2)有交點(diǎn)，則k的取值范圍是__________.6．經(jīng)過點(diǎn)A(0,5)且與直線x-2y=0, 2x+y=0都相切的圓方程為__________.7．在直角坐標(biāo)平面上，同時(shí)滿足條件：y≤3x, y≥8．平面上的整點(diǎn)到直線y?

21x, x+y≤100的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是__________.354x?的距離中的最小值是__________.359．y=lg(10-mx)的定義域?yàn)镽，直線y=xsin(arctanm)+10的傾斜角為__________.10．已知f(x)=x-6x+5，滿足?2

?f(x)?f(y)?0,的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成圖形的面積為__________.f(x)?f(y)?0?11．已知在ΔABC邊上作勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，在t=0時(shí)分別從A，B，C出發(fā)，各以一定速度向B，C，A前進(jìn)，當(dāng)時(shí)刻t=1時(shí)，分別到達(dá)B，C，A。（1）證明：運(yùn)動(dòng)過程中ΔDEF的重心不變；

（2）當(dāng)ΔDEF面積取得最小值時(shí)，其值是ΔABC面積的多少倍？

12．已知矩形ABCD，點(diǎn)C(4,4)，點(diǎn)A在圓O：x+y=9(x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸。求矩形ABCD面積的最小值，以及取得最小值時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)。13．已知直線l: y=x+b和圓C：x+y+2y=0相交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線l上，且滿足|PA|?|PB|=2,當(dāng)b變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程。

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1．設(shè)點(diǎn)P(x,y)為曲線|5x+y|+|5x-y|=20上任意一點(diǎn)，求x-xy+y的最大值、最小值。2．給定矩形Ⅰ（長為b，寬為a），矩形Ⅱ（長為c、寬為d），其中a

4．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，試證：存在一個(gè)同心圓的集合，使得：（1）每個(gè)整點(diǎn)都在此集合的某一圓周上；（2）此集合的每個(gè)圓周上，有且只有一個(gè)整點(diǎn)。5．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無窮多條直線l1,l2,…，ln，…的直線族，它滿足條件：

222

（1）點(diǎn)（1,1）∈ln,n=1,2,3,…；（2）kn+1≥an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，n=1,2,3,…；（3）knkn+1≥0, n=1,2,3,….并證明你的結(jié)論。6．在坐標(biāo)平面內(nèi)，一圓交x軸正半徑于R，S，過原點(diǎn)的直線l1,l2都與此圓相交，l1交圓于A，B，l2交圓于D，C，直線AC，BD分別交x軸正半軸于P，Q，求證：

1111???.|OR||OS||OP||OQ|w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第二篇：直線與方程教案

平面解析幾何 第一講 直線方程 知識歸納：

一、直線的傾斜角與斜率

1、確定直線的幾何要素是：直線上兩不同的點(diǎn)或直線上一點(diǎn)和直線的方向兩個(gè)相對獨(dú)立的條件

注意：表示直線方向的有：直線的傾斜角（斜率）、直線的方向向量、直線的法向量

2、直線的傾斜角：當(dāng)直線l 與x 軸相交時(shí)，我們?nèi) 軸作為基準(zhǔn)，x 軸正向與直線l 向上方向之間所成的角α叫做直線l 的傾斜角。

注意：①從用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來看，直線的傾斜角是由x 軸繞交點(diǎn)按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角；

②規(guī)定：直線與x 軸平行或重合時(shí)，直線的傾斜角為00 ③直線傾斜角α的取值范圍是：00≤α<1800

④在同一直角坐標(biāo)系下，任何一條直線都有傾斜角且唯一，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。

3、直線的斜率：傾斜角不是900的直線，它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，即k =tan α(α≠900)。它從另一個(gè)方面反映了直線的傾斜程度。注意：一條直線必有一個(gè)確定的傾斜角，但不一定有斜率，當(dāng)α=00時(shí)，k =0；當(dāng)00<α<1800時(shí)，k >0；當(dāng)α=900時(shí)，k 不存在，當(dāng)900<α<1800時(shí)，k <0。即：斜率的取值范圍為k ∈R 例

1、給出下列命題：①若直線傾斜角為α，則直線斜率為tan α；②若直線傾斜角為tan α，則直線的傾斜角為α； ③直線的傾斜角越大，它的斜率越大；④直線的斜率越大，其傾斜角越大；⑤直線的傾斜角的正切值叫做直線的斜率。其中正確命題的序號為 例

2、已知直線的傾斜角為α，且sin α=4，求直線的斜率k 5

4、直線斜率的坐標(biāo)公式

經(jīng)過兩點(diǎn)P 的直線的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)x 1-x 2 注意：①斜率公式與兩點(diǎn)的順序無關(guān)，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x)12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特別地：當(dāng)y 1=y 2, x 1≠x 2時(shí)，k =0；此時(shí)直線平行于x 軸或與x 軸重合；當(dāng)y 1≠y 2, x 1=x 2時(shí)，k 不存在，此時(shí)

直線的傾斜角為900，直線與y 軸平行或重合。

例

3、已知點(diǎn)P(2,1),Q(m ,-3)，求直線P , Q 的斜率并判斷傾斜角的范圍。

例

4、（三點(diǎn)共線問題）已知A(-3,-5), B(1,3), C(5,11)三點(diǎn)，證明這三點(diǎn)在同一條直線上 例

5、（最值問題）已知實(shí)數(shù)x , y，滿足2x +y =8，當(dāng)2≤x ≤8時(shí)，求y 的最大值和最小值 x

5、直線的方向向量：已知P 是直線l 上的兩點(diǎn)，直線上的向量PP 及與它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)12稱為直線的方向向量。直線PP 與x 軸不垂直時(shí)，x 1≠x 2，此時(shí)，向量12的坐標(biāo)是

1也是直線PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 為直線PP 的斜率(x 2-x 1, y 2-y 1)，即（1，k）12x 2-x 1

6、直線的法向量：如果向量n 與直線l 垂直，則稱向量n 為直線l 的法向量。

二、直線的方程

1、定義：一般地，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過來，這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這是，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線。

2、直線方程的幾種形式（1）點(diǎn)斜式：

問題：若直線l 經(jīng)過點(diǎn)P，且斜率為k，求直線l 的方程。0(x 0, y 0)解析：設(shè)點(diǎn)P(x , y)是直線l 上不同于點(diǎn)P 的任意一點(diǎn)，根據(jù)經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，得k =y-y 0，可化為0 x-x 0、斜率為k 的直線l 的方程。y-y 0=k(x-x 0)，即為過點(diǎn)P 0 方程y-y 0=k(x-x 0)是由直線上一點(diǎn)及其斜率確定的，把這個(gè)方程叫做直線的點(diǎn)斜式的方程，簡稱點(diǎn)斜式。注意：①k =y-y 0與y-y 0=k(x-x 0)是不同的，前者表示直線上缺少一個(gè)點(diǎn)x ≠x 0，后者才是整條直線； x-x 0 ②當(dāng)直線l 的傾斜角為00時(shí)，tan 00=0，即k =0，這時(shí)直線l 的方程為y =y 0 ③當(dāng)直線的傾斜角為900時(shí)，直線l 斜率不存在，這時(shí)直線l 與y 軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 軸的直線。④經(jīng)過點(diǎn)P 的直線有無數(shù)條，可分為兩類情況： 0(x 0, y 0)ⅰ、斜率為k 的直線，方程為y-y 0=k(x-x 0)ⅱ、斜率不存在的直線，方程為x-x 0=0或?qū)憺閤 =x 0 例

6、根據(jù)條件寫出下列各題中的直線的方程

①經(jīng)過點(diǎn)P，傾斜角α=450，②經(jīng)過點(diǎn)P , 2)，斜率為2 ③經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，且與x 軸平行 1(-2,3)1(1④經(jīng)過點(diǎn)(-2,-3)，且與x 軸垂直（2）斜截式：

問題：已知直線l 的斜率是k，與y 軸的交點(diǎn)是P(0,b)，代入直線方程的點(diǎn)斜式，得直線l 的方程y-b =k(x-0)，也就是y =kx +b，我們稱b 是直線l 在y 軸上的截距。

這個(gè)方程是由直線l 的斜率k 和它在y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 軸的直線

③斜截式方程和一次函數(shù)的解析式相同，都是y =kx +b，但有區(qū)別：當(dāng)斜率不為0時(shí)，y =kx +b 是一次函數(shù)，當(dāng)k =0時(shí)，y =b 不是一次函數(shù)；一次函數(shù)y =kx +b（k =0）必是一條直線的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線y =+1的傾斜角的1，且在y 軸上的截距為-5的直線的方程。4（3）兩點(diǎn)式：

問題：已知直線l 經(jīng)過兩點(diǎn)P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，求直線l 的方程 解析：因?yàn)橹本€l 經(jīng)過兩點(diǎn)P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，)所以它的斜率k =y 2-y 1，代入點(diǎn)斜式，得 x 2-x 1 y-y 1= y 2-y 1(x-x 1)，當(dāng)y 2≠y 1時(shí)，方程可以寫成y-y 1=x-x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，所以叫做直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式。注意：①方程y-y =y 2-y 1(x-x)與方程y-y 1=x-x 1比較，后者比前者表示直線的范圍更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直線，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線；局限性：不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。②兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無關(guān)。例

8、已知點(diǎn)A(-5, 0)，B(3,-3)，求直線AB 的方程

例

9、一條光線從點(diǎn)A(3,2)出發(fā)，經(jīng)x 軸反射，通過點(diǎn)B(-1, 6)，求入射光線和反射光線所在直線的方程（4）截距式：

問題：已知直線l 與x 軸的交點(diǎn)為(a , 0)，與y 軸的交點(diǎn)為(0,b)，其中a ≠0, b ≠0，求直線l 的方程。解析：因?yàn)橹本€l 經(jīng)過A(a , 0)和B(0,b)兩點(diǎn)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩點(diǎn)式，得如果直線與x 軸的交點(diǎn)為(a , 0)，則稱a 為直線在x 軸上的截距。

以上直線方程是由直線在x 軸和y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的截距式方程，簡稱截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示與坐標(biāo)軸平行（重合）的直線，還不能表示過原點(diǎn)的直 a b y-0x-a，即為x +y =1 = b-00-a a b 線。

例

10、過兩點(diǎn)A(-1,1)，B(3,9)的直線在x 軸上的截距為（5）一般式方程：

以上幾種形式的直線方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x y 的二元一次方程表示； 而關(guān)于x y 的二元一次方程，它都表示一條直線。因此我們把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式。

注意：①直線的一般式方程能表示所有直線的方程，這是其他形式的方程所不具備的。②直線的一般式方程成立的條件是A,B 不同時(shí)為0。

③雖然直線的一般式有三個(gè)系數(shù)，但是只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求直線的方程，若A ≠0, 則方程可化為x +B y +C =0;若B ≠0，則方程可化為A x +y +C =0，即y =-A x-C;A A B B B B 若A =0，B ≠0時(shí)，方程化為y =-C , 它表示與x 軸平行或重合的直線； B 若A ≠0，B =0時(shí)，方程化為x =-C，它表示一條與y 軸平行或重合的直線； A 若ABC ≠0時(shí)，則方程可化為 x-A + 因此只需要兩個(gè)條件即可。y =1-B ④直線方程的其他形式都可以轉(zhuǎn)化為一般式，因此在解題時(shí)若沒有特殊說明，應(yīng)把最后結(jié)果互為直線的一般式 例

11、設(shè)直線l 的方程為(m-2m-3)x +(2m +m-1)y =2m-6，根據(jù)下列條件分別確定m 的值（1）l 在x 軸上的截距為-3（2）l 的斜率是-1（6）點(diǎn)向式：

問題：設(shè)直線l 經(jīng)過點(diǎn)P，v =(a , b)是它的一個(gè)方向向量，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析:設(shè)P(x , y)是直線l 上的任意一點(diǎn)，則向量P 與v 共線，根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一實(shí)數(shù)t，0P x =x 0+at ①，使P，即(x-x 0, y-y 0)=t(a , b)，所以?方程組①稱為直線的參數(shù)式方程。0P =tv ? ?y =y 0+bt 2 2 如果直線l 與坐標(biāo)軸不平行，則ab ≠0，于是可得 x-x 0y-y 0 =t , =t，消去參數(shù)t，得到直線l 的普通方程 a b x-x 0y-y 0 這個(gè)方程稱為直線l 的點(diǎn)向式方程，a , b 叫做直線l 的方向數(shù)。= a b 思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的方向向量？（7）點(diǎn)法式：

問題：設(shè)直線l 有法向量n =(A , B)，且經(jīng)過點(diǎn)P，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析：設(shè)P(x , y)是直線l 上的任意一點(diǎn)，則有P，即P 0P ⊥n 0P ?n =0 因?yàn)镻P 0=(x-x 0, y-y 0)，n =(A , B)，所以有A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 這個(gè)方向是由直線l 上一點(diǎn)P 及直線l 的法向量n 確定的，稱為直線l 的點(diǎn)法式。0(x 0, y 0)思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的法向量？

三、直線的位置關(guān)系（同一平面上的直線）

1、平行與垂直（1）兩條直線平行的判定

①當(dāng)兩條直線的斜率存在時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定

設(shè)兩條直線分別為，則l 1, l 2的傾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此時(shí)b 1≠b 2；反之也成立。所以有l(wèi) 1//l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2 ②當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時(shí)，二者的傾斜角均為900，若不重合，則它們也是平行直線 注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論： 設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1不為0）或l 1//l 2?A（可用直線的方向向量或法向量解釋）1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知點(diǎn)A(2,2)和直線l ：3x +4y-20=0，求過點(diǎn)A 和直線l平行的直線。（引出平行直線系方程）（2）兩條直線垂直的判定

①當(dāng)兩條直線的斜率存在且不為0時(shí)，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定 設(shè)兩條直線分別為，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 則得直線l 1的方向向量為：a =(1, k 1)l 2的方向向量為：b =(1, k 2)，所以有l(wèi) 1⊥l 2?a ⊥b ?a ?b =0?1?1+k 1?k 2=0 即l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1 注意： 或用兩條直線的傾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1)=-=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2?A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1，得到k 1?k 2=-1 tan α1

②兩條直線中，一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零，則兩條直線垂直。由①②得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1或一條斜率不存在，同時(shí)另一條斜率等于零。

注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時(shí)，有如下結(jié)論： 設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知兩直線l 1：x +my +6=0，l 2：(m-2)x +3y +2m =0，當(dāng)m 為何值時(shí)，直線l 1與l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知長方形ABCD 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個(gè)頂點(diǎn)D 的坐標(biāo)

例

16、求證：不論m 為取什么實(shí)數(shù)，直線(2m 2-1)x +(m 2-1)y =m 2-5總通過某一定點(diǎn) =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2?A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求與直線3x +4y +1=0垂直且過點(diǎn)（1，2）的直線方程（引出垂直直線系方程）)例

17、已知直線ax-y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1)時(shí)，y >0恒成立，求a 的取值范圍； 16 時(shí)，恒有y >0，求x 的取值范圍

四、到角、夾角（1）到角公式

定義：兩條直線l 1和l 2相交構(gòu)成四個(gè)角，他們是兩對對頂角，為了區(qū)別這些角，我們把直線l 1繞交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l 2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l 1到l 2的角，如圖，直線l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：設(shè)已知直線方程分別是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1?k 2=0，即k 1?k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1?k 2≠0，設(shè)l

1、l 2的傾斜角分別為α1, α2，則tan α1=k 1, tan α2=k 2 由圖1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1)由圖2）的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1)1-0 于是tan θ=tan(α2-α1)= tan α2-tan α1k-k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2（2）夾角公式

定義：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以當(dāng)l 1與l 2相交但不垂直時(shí)，在θ和π-θ中有且只有一個(gè)角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為α，則tan α=當(dāng)直線l 1⊥l 2時(shí)，直線l 1與l 2的夾角為 k 2-k 1，即為夾角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直線l 1的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線l 2的方程是x +y-1=0，點(diǎn)(-2,0)在另一腰上，求這條腰所在直線l 3的方程

五、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：

1、設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 則l 1與l 2是否有交點(diǎn)，只需看方程組

?A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ? ?A 2x +B 2y +C 2=0 若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)； 若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行； 若方程組有無窮多解，則兩直線重合

例

19、求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x +y +2=0的交點(diǎn)且與直線3x +y-1=0平行的直線方程。經(jīng)過兩直線l 1:A 1x +B 1y +C 1=0與l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交點(diǎn)的直線系方程為其中λ是待定系數(shù)，在這個(gè)方程中，無論λ取什么實(shí)數(shù)，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直線l 2。

2、對稱問題

（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱，點(diǎn)A(a，b)關(guān)于P , y 0)的對稱點(diǎn)B（m，n），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b，即B（2x 0-a , 2y 0-b）。

（2）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱，點(diǎn)A(x 0, y 0)關(guān)于直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時(shí)為0）的對稱點(diǎn)

A '(x 1, y 1)，則有AA ’的中點(diǎn)在l 上且直線AA ’與已知直線l 垂直。

（3）直線關(guān)于直線的對稱，一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對稱解決，若已知直線l 1與對稱軸l 相交，則交點(diǎn)必在與l 1對稱的直線l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交點(diǎn)的已知點(diǎn)P 1關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)P 2，那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn)

P 2的直線就是l 2；若直線l 1與對稱軸l平行，則在l 1上任取兩不同點(diǎn)P

1、P 2，求其關(guān)于對稱軸l 的對稱

點(diǎn)P

1、P 2，過P

1、P 2的直線就是l 2。

例題20、已知直線l :x +y-1=0，試求①點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l 的對稱坐標(biāo)；②直線l 1:y =2x +3關(guān)于直線 ' ' ' ' l 的對稱的直線方程。例題21、求函數(shù)y =

六、兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線間的距離 +的最小值。

P（1）兩點(diǎn)間的距離：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)則

（2）點(diǎn)到直線的距離: l 已知點(diǎn)P，求點(diǎn)P 0(x 0, y 0)，直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時(shí)為0）0到直線的距離。解法一：如圖，作P 0Q ⊥l 于點(diǎn)Q，設(shè)Q(x 1, y 1)，若A,B ≠O, 則由k 1=-A B(, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1)，?Ax +By +C =0 ?

B ?B y-y =(x-x)從而直線P 的方程為，解方程組Q y-y =(x-x 0)得0000?A ?A ?B 2x 0-ABy 0-AC x =??1A 2+B 2 ?2 ?y =A y 0-ABx 0-BC 1??A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易驗(yàn)證當(dāng)A=0或B=0時(shí)，上式仍然成立。

l 解法二：如圖，設(shè)A ≠0,B ≠0，則直線l 與x 軸和y 軸都相交，過點(diǎn)P 0分別作x 軸和y 軸的平行線，交直線

于R 和S，則直線P 0R 的方程為y =y 0，R 的坐標(biāo)為（-By 0+C , y 0）； A x ,-直線P 0S 的方程為x =x 0，S 的坐標(biāo)為（-0 Ax 0+C），B 于是有P 0R =-Ax 0+By 0+C By 0+C-x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P-y 0= , RS =0S =-B B 0+By 0+C。

=d，由三角形面積公式可得d ?RS =P 設(shè)PQ 00R ?P 0S.于是得d = 因此，點(diǎn)P 0(x 0, y 0)到直線l :Ax +By +C = 0的距離d =上式仍成立。注意: P 0R ?P 0S RS = 容易驗(yàn)證，當(dāng)A=0或B=0時(shí)，①若給出的方程不是一般式，則應(yīng)先把方程化為一般式，再利用公式求距離； ②點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的最短距離；

③若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為0，但距離公式仍然成立，因?yàn)榇藭r(shí)Ax 0+By 0+C =0。（3）兩平行線間的距離。

定義；兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長，即一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的距離。

兩條平行直線l 1:Ax +By +C 1=0與l 2:Ax +By +C 2= 0的距離公式d = 推導(dǎo)過程：設(shè)P 則P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距離

0(x 0, y 0)為直線l 1:Ax +By +C 1=0上任意一點(diǎn)，0為d =，又因?yàn)镻 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：應(yīng)用此公式時(shí)，要把兩直線化為一般式，且x、y 的系數(shù)分別相等。

例題

22、求經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2)與B(-,0)的直線上一點(diǎn)C（5，n）到直線x +y =1的距離。例題

23、求經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）且到原點(diǎn)的距離等于1 的直線方程。例題

24、已知三角形ABC 中，點(diǎn)A（1，1），B（m）（1

例題

25、求過點(diǎn)P（1，2）且與A（2，3），B(4,-5)兩點(diǎn)距離相等的直線方程。作業(yè)：

1、設(shè)θ∈(52 π 2 , π)，則直線x cos θ+y sin θ+1=0的傾斜角α為（）(B)θ(C)θ+(A)θ-π 2 π 2(D)π-θ

2、設(shè)P（x，y）是曲線C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一點(diǎn)，則 y 的取值范圍是()x A ．[-3, 3] B ．(-∞,-3]?*, +∞)C ．[-3, ] D ．(-∞,-]?*, +∞)3333

3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直線l 過點(diǎn)A(1，1)且與線段MN 相交，則直線l 的斜率k 的取值范圍是 3 或k ≤－4 4 3 B.－4≤k ≤ 4 33 C.≤k ≤4D.－≤k ≤4 44

4．過點(diǎn)P（6，－2）且在x 軸上的截距比在y 軸上的截距大1的直線的方程是 A ．2x +3y-6=0 C ．x-y +3=0 B ．2x +3y-6=0或3x +4y-12=0 D ．x +2y-2=0或2x +3y-6=0

5、若直線l 經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2, 則直線l 的條數(shù)為(A)1(B)2(C)3(D)4

6、如圖所示，直線l 1：ax －y ＋b=0與l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b)的圖象只可能是()

7、若三點(diǎn)A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一條直線上, 則有()(A)a=3,b=5(B)b=a+1(C)2a－b=3(D)a－2b=3

8、直線l 經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)(－1, －1), 則它的傾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直線l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0與直線l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，則方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2）2 =0,(λ1≠0)表示（）+λ22

A.過l 1與l 2交點(diǎn)的一切直線 B.過l 1與l 2的交點(diǎn)，但不包括l 1可包括l 2的一切直線 C.過l 1與l 2的交點(diǎn)，但包括l 1不包括l 2的一切直線 D.過l 1與l 2的交點(diǎn)，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直線 10.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直線()A.恒過定點(diǎn)(－2,3)B.恒過定點(diǎn)(2，3)C.恒過點(diǎn)(－2,3)和點(diǎn)(2，3)D.都是平行

11、過點(diǎn)(-1，)且與直線3x-y +1=0的夾角為 π 的直線方程是（）6 A、x-3y +4=0 B、x +1=0或x +3y-2=0 C、x+1=0或x-y +4=0 D、y =或x +3y-2=0

12、直線x cos α+3y +2=0的傾斜角的取值范圍是_________。

13、直線l 的方向向量為（-1，2），直線l 的傾斜角為

14、已知直線L 過P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），則直線L 的方程為。

15、已知點(diǎn)M(a , b)在直線3x +4y = 15上，則

16、△ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直線的方程;（2）BC 邊上中線AD 所在直線的方程;（3）BC 邊的垂直平分線DE 的方程.17、求到兩直線l 1： 3x +4y-5=0和 l 2：6x +8y-9=0距離相等的點(diǎn)P(x , y)滿足的方程

第三篇：直線與圓的方程的綜合應(yīng)用教案參考

直線與圓的方程的應(yīng)用

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能

（1）理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；（2）利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；（3）會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題．

2、過程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題； 第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

3、情態(tài)與價(jià)值觀

讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)與難點(diǎn)：直線與圓的方程的應(yīng)用．

三、教學(xué)過程

例

4、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01）

思考:(用坐標(biāo)法)

1.圓心和半徑能直接求出嗎？ 2.怎樣求出圓的方程？ 3.怎樣求出支柱A2P2的長度？

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)是（0，b）, 圓的半徑是r ,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2

解得，b=-10.5

r2=14.52 所以圓的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52

把點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x=-2 代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52

22因?yàn)閥>0,所以y=14.5-(-2)-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m.例

5、已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.解：以四邊形ABCD互相垂直的對角線作為x軸y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)過四邊形的外接圓圓心O’作AC、BD、AD邊的垂線，垂足為M、N、E，則M、N、E分別為AC、BD、AD邊的中點(diǎn)。由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式有：

x?x?a?c,y?y?b?d,x?a,y?dOMONEE 2222aca2bdd2122所以，|O'E|?(??)?(??)?b?c 2222222 又|BC|?b2?c2

所以：|O'E|?1|BC|22

用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題； 第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.練習(xí)：求直線l: 2x-y-2=0被圓C:(x-3)+y=9所截得的弦長.22解：聯(lián)立兩個(gè)方程得x1?2x?y?2?0(x?3)2?y2?9

四、課堂小結(jié)

? ? ? ? 7?297?29x2?55解得：,4?2294?229y1?y2?55229d?(x1?x2)2?(y1?y2)2?5理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)； 利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系； 熟悉直線與方程的關(guān)系，并應(yīng)用其解決相關(guān)問題 會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題．

第四篇：直線方程教案

Ⅰ.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們，我們前面幾節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線方程的各種形式，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解。這是這個(gè)方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個(gè)方程的直線。現(xiàn)在大家回憶一下，我們都學(xué)習(xí)了直線方程的哪些特殊的形式。我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等形式，對直線方程的表示形式有了一定的認(rèn)識.現(xiàn)在，我們來回顧一下它們的基本形式.點(diǎn)斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）適用于斜率存在的直線.斜截式的基本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線；

兩點(diǎn)式的基本形式：直線；

截距式的基本形式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）適用于斜率存在且不為0的?y2?y1x2?x1xy?＝1（a，b≠0）適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.ab在使用這些方程時(shí)要注意它們時(shí)要注意它們的限制條件。

那么大家觀察一下這些方程，都是x,y的幾次方程啊？［生］都是關(guān)于x，y的二元一次方程.那么我們原來在代數(shù)中學(xué)過二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板書）Ax＋By＋C＝0 我們現(xiàn)在來看一次這幾種學(xué)過的特殊形式，它們經(jīng)過一些變形，比如說去分母、移項(xiàng)、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個(gè)統(tǒng)一的形式呢？比如說y＝kx＋b，?xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學(xué)們課下自己去完成。那么在學(xué)習(xí)這些直線的特殊形式的時(shí)候，應(yīng)該說各有其特點(diǎn)，但是也有些不足。在使用的過程中有些局限性。比如說點(diǎn)斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點(diǎn)式適用于適用于斜率存在且不為0的直線，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.那么我們現(xiàn)在想一想有沒有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點(diǎn)，也就是這些方程最后化成一個(gè)統(tǒng)一的形式。能不能代表平面直角坐標(biāo)系中的直線。要解決這些問題呢，要分兩個(gè)方面進(jìn)行討論。

1.直線和二元一次方程的關(guān)系

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.一個(gè)方面：是不是平面上的任意直線，表示它的方程都可以寫成Ax＋By＋C＝0的形式，剛才大家做了一些練習(xí)，當(dāng)然這只是特殊形式，是不是所有的直線都可以寫成這種形式呢？直線按斜率來分類可以分幾類？斜率存在和斜率不存在。這兩類是不是都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式。當(dāng)傾斜角不等于90°是斜率存在，直線方程可以寫成y＝kx＋b的形式。可以轉(zhuǎn)化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=k B=-1 C=b。當(dāng)傾斜角等于90°斜率不存在，直線方程可以寫成x=x0的形式。可以轉(zhuǎn)化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我們就把它分為這兩種情況，當(dāng)斜率存在的時(shí)候我們一般把它設(shè)成一個(gè)簡單的斜截式，斜截式經(jīng)過變形就可以化成一般的形式。而對于斜率不存在的時(shí)候，它的方程形式就是x=x0直線方程也可以轉(zhuǎn)化成這樣的一個(gè)形式。那么由此可以下這樣一個(gè)結(jié)論：平面上的任意的一條直線，表示它的方程最后都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程的形式。剛才我們從這個(gè)角度考慮，就是直線都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程，現(xiàn)在我們反過來看，是不是任意的一個(gè)二元一次方程最終在直角坐標(biāo)系下都能夠表示直線。

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.因?yàn)閤，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時(shí)為0，在B≠0和B＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線方程x＝－

ACx?和表BBC.A也就是說Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為零）大家想想如果AB都等于零這個(gè)直線方程就沒了。現(xiàn)在我們考慮一下，這個(gè)方程能不能經(jīng)過一些適當(dāng)?shù)淖冃危兂晌覀兪煜さ男问剑_定它就是一個(gè)在平面直角坐標(biāo)系中就是一條直線呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y軸上的截距。二元一次方程通過變形在直角坐標(biāo)系下都表示一條直線。那么我們從兩個(gè)方面在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程都表示一條直線.根據(jù)上述結(jié)論，我們可以得到直線方程的一般式.我們就把代數(shù)中的二元一次方程定義為直線的一般式方程。

定義：我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程。我們在學(xué)習(xí)前面直線的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線的某些特點(diǎn)，比如說點(diǎn)斜式就可以看出它的斜率還有過一個(gè)定點(diǎn)，還有兩點(diǎn)式可以看出它過兩個(gè)定點(diǎn)。那么我們怎么通過直線的一般式方程觀察直線的一些特點(diǎn)呢？比如說A=0表示什么樣一條直線？y=-平行于x軸的直線，也有可能與x軸重合。如果要平行于y軸這個(gè)系數(shù)要滿足什么樣的條件？如果旦旦是c等于零，通過原點(diǎn)的直線。假如AB都不等于零它的斜率我們怎么看出來？這些直線的特點(diǎn)我們要能掌握住。我們對直線的一般式方程有了一定的了解。直線的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個(gè)互相的轉(zhuǎn)化，那么我們來看一個(gè)例子，通過一些轉(zhuǎn)化來解決實(shí)際問題。

［例1］已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(6，－４），斜率為－

4，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.3分析：本題中的直線方程的點(diǎn)斜式可直接代入點(diǎn)斜式得到，主要讓學(xué)生體會(huì)由點(diǎn)斜式向一般式的轉(zhuǎn)化，把握直線方程一般式的特點(diǎn).解：經(jīng)過點(diǎn)A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直線方程的點(diǎn)斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同學(xué)們在以后解題時(shí)，可能求直線方程的時(shí)候，求出不一定是一般式，可能是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等等，如題目沒有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)，含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列.

第五篇：直線與圓的方程的應(yīng)用說課教案

人教版數(shù)學(xué)必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

直線與圓的方程的應(yīng)用（說課教案）

蘄春一中 邵海建

各位專家、老師：

下午好！

我今天說課的內(nèi)容是人教版數(shù)學(xué)必修2§4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用，我講這節(jié)課的方式主要是從這幾個(gè)方面考慮。

教材分析

直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實(shí)踐及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。本小節(jié)設(shè)置了兩道例題，分別說明直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用，以及用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想及其解題的過程。為此我確定了這節(jié)的重難點(diǎn)是： ? 教學(xué)的重點(diǎn):利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的方程的應(yīng)用;? 教學(xué)的難點(diǎn):如何構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,利用平面直角坐標(biāo)系與用其它的方法的解決直線與圓的方程的應(yīng)用問題的優(yōu)點(diǎn)。

教學(xué)目標(biāo)

? 知識目標(biāo)：利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的方程的應(yīng)用； ? 能力目標(biāo)：會(huì)用“數(shù)學(xué)結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題，讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力；

? 情感目標(biāo)：通過建立平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的方程的應(yīng)用讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的強(qiáng)大與數(shù)學(xué)的優(yōu)美。

教法分析

新課程強(qiáng)調(diào)教師要調(diào)整自己的角色，改變傳統(tǒng)的教育方式，要體現(xiàn)出以人為本，以學(xué)生為中心，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人而不是知識的奴隸。基入這個(gè)我舉出一些生動(dòng)有趣的問題讓學(xué)生去探討得到用坐標(biāo)法解決問題的步驟，體會(huì)成功的快樂。

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)認(rèn)為，揭示知識的形成過程，對學(xué)生學(xué)習(xí)新知識是十分必要的。同時(shí)通過展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，給學(xué)生思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供了最大的空間，可以使學(xué)生在整個(gè)教學(xué)過程中始終處于積極的思維狀態(tài)，進(jìn)而培養(yǎng)他們獨(dú)立思考和大膽求索的精神，這樣才能全面落實(shí)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

學(xué)情分析 人教版數(shù)學(xué)必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

學(xué)生在學(xué)這節(jié)知識前已經(jīng)了解了在直角坐標(biāo)系下直線的方程與圓的方程，以及直線與圓的位置關(guān)系等知識，但還沒有形成用代數(shù)的方法去解決幾何證明問題及實(shí)際應(yīng)用題。為此我將本節(jié)課的內(nèi)容分為以下幾個(gè)部分：舊知復(fù)習(xí)，新課引入，知識探究，舉一反三，實(shí)戰(zhàn)演練，課后練習(xí)。

教學(xué)過程

一．復(fù)習(xí)舊知:

? 大家知道確定一個(gè)圓需要哪些要素嗎? ? 前面我們用什么方法研究直線與圓的有關(guān)問題？

設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生回顧已學(xué)過的知識，從而達(dá)到溫故而知新。并能很好的認(rèn)識到知識的形成過程。

二．新知引入

某城市中的高空觀覽車的高度是100m,在離觀覽車約150m 處有一建筑物

某人在離建筑物100m的地方剛好可以看到觀覽車，你根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何求 該建筑物的高度？人的身高可以忽略不計(jì)。

設(shè)計(jì)意圖是通過一個(gè)實(shí)際的例子讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，想通過數(shù)學(xué)去解決問題從而對本節(jié)知識產(chǎn)生興趣。

三．新知探究

? 問題一.如何將這個(gè)實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言來描述? ? 問題二.這個(gè)問題同學(xué)們有什么方法解決呢？ ? 問題三.能不能用圓的方程來做呢? 設(shè)計(jì)意圖是著名教育家玻利亞說過解決問題是對過去的回憶，讓目標(biāo)調(diào)動(dòng)你的記憶力。這也是本節(jié)課的難點(diǎn)，我讓學(xué)生合作，小組討論等形式得到答案。從而體會(huì)到探究的樂趣，也得到了解決問題新的方法。并看到坐標(biāo)法的好處及數(shù)學(xué)的優(yōu)美。時(shí)間要15分鐘。

四.舉一反三

題一.圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱A2P2的長（精確到0.01）題二.已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.五.課堂演練

1.某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m.現(xiàn)有一船,寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過?

設(shè)計(jì)意圖是通過反復(fù)訓(xùn)練讓學(xué)生對坐標(biāo)法接受并能很好運(yùn)用。人教版數(shù)學(xué)必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

六．課后小結(jié)

1.用坐標(biāo)法可以解決很多實(shí)際問題,對于幾何的研究實(shí)現(xiàn)了騰飛;2.用坐標(biāo)法解決直線與圓的方程的應(yīng)用的三個(gè)步驟: 第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)與方程表示問題中的幾何元素,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步：通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題;第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果”翻譯”成實(shí)際表達(dá)的含義.設(shè)計(jì)意圖是課堂小結(jié)是對這節(jié)課內(nèi)容的一個(gè)總結(jié)與回顧，同時(shí)也能鍛煉學(xué)生對知識的歸納并能從歸納中得出新的結(jié)論。

七.課后訓(xùn)練

1.看課本P124體會(huì)坐標(biāo)法的價(jià)值;2.課本P133A組第8題與B組第一題,第二題

設(shè)計(jì)意圖是這個(gè)課后訓(xùn)練的設(shè)置含有兩個(gè)部分，一部分為閱讀材料，讓學(xué)生通過閱讀了解坐標(biāo)法的發(fā)展并體會(huì)坐標(biāo) 法的好處；另一部分則是進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生掌握坐標(biāo)法這個(gè)方法。

課后反思

根據(jù)建構(gòu)主義理論及新課程標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，同是學(xué)生在掌握知識更注重知識的形成過程。本節(jié)課是在我的引導(dǎo)下，對已學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié)，以形成更系統(tǒng)、更完整的體系 ；對已學(xué)知識進(jìn)一步加深理解，強(qiáng)化記憶，是一個(gè)再認(rèn)識，再學(xué)習(xí)的過程，對已掌握的技能、規(guī)律、方法進(jìn)行深化和進(jìn)一步熟悉，提高學(xué)生分析、理解問題的能力。而在課后和部分學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)學(xué)生對本節(jié)知識的運(yùn)用很熟練，但有一些細(xì)節(jié)地方還待加強(qiáng)，比如如何合理構(gòu)建直角坐標(biāo)系，運(yùn)算的熟練性。