第一篇：公式法求根

教學內容

1．一元二次方程求根公式的推導過程；

2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程．

教學目標

理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元二次方程．

復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）?的求根公式的推導公式，并應用公式法解一元二次方程．

重難點關鍵

1．重點：求根公式的推導和公式法的應用．

2．難點與關鍵：一元二次方程求根公式法的推導．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）用配方法解下列方程

（1）6x2-7x+1=0

（2）4x2-3x=52

（老師點評）（1）移項，得：6x2-7x=-1

二次項系數化為1，得：x2-x=-

配方，得：x2-x+（）2=-+（）2

（x-）2= x-=±

x1= + = =1 x2=-+ ==

（2）略

總結用配方法解一元二次方程的步驟（學生總結，老師點評）．

（1）移項；

（2）化二次項系數為1；

（3）方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；

（4）原方程變形為（x+m）2=n的形式；

（5）如果右邊是非負數，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數，則一元二次方程無解．

二、探索新知

如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題．

問題：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，試推導它的兩個根x1=，x2=

分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a、b、c?也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去．

解：移項，得：ax2+bx=-c

二次項系數化為1，得x2+ x=-

配方，得：x2+ x+（）2=-+（）2

即（x+）2=

∵b2-4ac≥0且4a2>0

∴ ≥0

直接開平方，得：x+ =±

即x=

∴x1=，x2=

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b-4ac≥0時，?將a、b、c代入式子x=就得到方程的根．

（2）這個式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數根．

例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0

（2）5x+2=3x2

（3）（x-2）（3x-5）=0

（4）4x2-3x+1=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可．

解：（1）a=2，b=-4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0

x=

∴x1=，x2=

（2）將方程化為一般形式

3x2-5x-2=0

a=3，b=-5，c=-2

b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0

x=

x1=2，x2=-

（3）將方程化為一般形式

3x2-11x+9=0

a=3，b=-11，c=9

b2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0

∴x=

∴x1=，x2=

（3）a=4，b=-3，c=1

b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0

因為在實數范圍內，負數不能開平方，所以方程無實數根．

三、鞏固練習

教材P42 練習1．（1）、（3）、（5）

四、應用拓展

例2．某數學興趣小組對關于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列問題．

（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出．

你能解決這個問題嗎？

分析：能．（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+1=2，同時還要滿足（m+1）≠0．

（2）要使它為一元一次方程，必須滿足: ① 或②或③

解：（1）存在．根據題意，得：m2+1=2

m2=1 m=±1

當m=1時，m+1=1+1=2≠0

當m=-1時，m+1=-1+1=0（不合題意，舍去）

∴當m=1時，方程為2x2-1-x=0

a=2，b=-1，c=-1

b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9

x=

x1=，x2=-

因此，該方程是一元二次方程時，m=1，兩根x1=1，x2=-．

（2）存在．根據題意，得：①m2+1=1，m2=0，m=0

因為當m=0時，（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0

所以m=0滿足題意．

②當m2+1=0，m不存在．

③當m+1=0，即m=-1時，m-2=-3≠0

所以m=-1也滿足題意．

當m=0時，一元一次方程是x-2x-1=0，解得：x=-1

當m=-1時，一元一次方程是-3x-1=0

解得x=-

因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為x=-1；當m=-?1時，其一元一次方程的根為x=-．

五、歸納小結

本節課應掌握：

（1）求根公式的概念及其推導過程；

（2）公式法的概念；

（3）應用公式法解一元二次方程；

（4）初步了解一元二次方程根的情況．

六、布置作業

1．教材P45 復習鞏固4．

2．選用作業設計:

一、選擇題

1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到（）． A．x=

B．x=

C．x=

D．x=

2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（）． A．x1=，x2=

B．x1=6，x2= C．x1=2，x2=

D．x1=x2=-

3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0，則m2-n2的值是（）．

A．4

B．-2

C．4或-2

D．-4或2

二、填空題

1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________，條件是________．

2．當x=______時，代數式x2-8x+12的值是-4．

3．若關于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根為0，則m的值是_____．

三、綜合提高題

1．用公式法解關于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．

2．設x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，（1）試推導x1+x2=-，x1·x2= ；（2）?求代數式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．

3．某電廠規定：該廠家屬區的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時，?那么這戶居民這個月只交10元電費，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交10?元用電費外超過部分還要按每千瓦時元收費．

（1）若某戶2月份用電90千瓦時，超過規定A千瓦時，則超過部分電費為多少元？（?用A表示）（2）下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況

月份 4

答案:

一、1．D 2．D 3．C

二、1．x=，b2-4ac≥0

2．4 3．-3

三、1．x= =a±│b│

2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，∴x1=，x2=

∴x1+x2==-，x1·x2= · =

（2）∵x1，x2是ax2+bx+c=0的兩根，∴ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0

原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2

=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）

=0 3．（1）超過部分電費=（90-A）· =-A2+ A（2）依題意，得：（80-A）· =15，A1=30（舍去），A2=50

用電量（千瓦時）

交電費總金額（元）

根據上表數據，求電廠規定的A值為多少？

第二篇：一元二次方程求根公式推導的教案

一元二次方程的解法（求根公式法）

教學目標

（一）使學生掌握一元二次方程求根公式的推導過程；

（二）要求學生熟練掌握用公式法解一元二次方程；

（三）培養計算能力。滲透“一般與特殊”的觀點。

教學重點和難點

重點：一元二次方程的求根公式解法。難點：用配方法推導求根公式。

教學過程設計

（一）引入

1、復習配方法的步驟；

2、問題：一個一元二次方程如果不能用因式分解或者直接開平方法，那么一定就可以用先配方再開平方來求解。但是配方比較麻煩，而且總在重復相同的解題過程。那么能否推導一個一元二次方程的求根公式，從而可以直接代公式求解？

這就是本節課要解決的問題。

新課（在教師的引導下完成以下的推導）推導求根公式

2ax?bx?c?0

?a?0?

（1）

解：因為a?0，兩邊同時除以a,得

x2?bcx??0aa，把常數項移到方程的右邊，并在兩邊加上一次項系數一半的平方，得

b?b??b??c?x2?x?????????a?2a??2a??a? 22即

?b?b2?4ac??x?2a??4a2,?? 2因為a?0,4a2>0，得

bb2?4acx???,2a2a

2當b?4ac?0時，所以

?b?b2?4acx?,2a

?2?

?b?b2?4ac?b?b2?4acx1?,x2?,2a2a即

公式（2）叫做一元二次方程的求根公式。

2、運用求根公式求一元二次方程的根。注意兩點：

2（1）一元二次方程ax?bx?c?0

?a?0?的根的值是由系數a,b,c確定的，所以在代入求根公式前，務必認準所求題目中a,b,c所取值是多少（特別容易在正、負號上出錯).2（2）方程ax?bx?c?0

?a?0?不一定有實數解，為此，在代公式之前，先

222bb?4ac判斷一下的值很有必要，?4ac?0,方程有實數解。若b?4ac<0時，方程無實數解，就沒有必要代入求根公式了。

解題舉例

2例

1、解方程：2x?4x?3?0

解：（1）因為： a?2,b??4,c?3

22b?4ac?(?4)?4?2?

3所以

= ?8?0

即原方程無實數解

例2

解方程：x?x?1??7(x?1)?2(x?2).解：（1）先把方程化為一元二次方程的一般形式 x?6x?11?0.因為 a?1,b?6,c??1所以

22b?4ac?6?4?1???11??80, 代入求根公式

?b?b2?4ac?6?4

5即

x??，2a2

所以

x1??3?25, x2??3?25.225x?23x.2x?43x?22?03、x2?2x?3?0

1、練習：

1、2、三、小結

1、用公式解一元二次方程時要注意的條件；

22、b?4ac的值與一元二次方程的根之間的聯系：

22b?4ac?0ax?bx?c?0 ?a?0?有兩個不相等的實數根；

（1）時一元二次方程2

2（2）b?4ac?0時一元二次方程ax?bx?c?0 ?a?0?有兩個相等的實數根；

（3）b?4ac?0 時一元二次方程ax?bx?c?0 ?a?0?沒有實數根；

四、作業

1.用求根公式法解下列方程：

122x?3x??028

（1）、x?2x?2?0；（2）、222x?2ax?b??a;

（3）、

第三篇：公式法教學設計

第二章

一元二次方程

３．公式法

杜寨初級中學 九年級

一、學生知識狀況分析 學生的知識技能基礎：學生通過前幾節課的學習，認識了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已經能夠熟練地將一元二次方程化成它們的一般形式；在上一節課的基礎上，大部分學生能夠利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分認知較慢、運算不扎實的同學不能夠熟練使用配方法解一元二次方程.學生活動經驗基礎：學生已經具備利用配方法解一元二次方程的經驗；學生通過《規律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函數的圖像》中一次函數增減性的總結等章節的學習，已經逐漸形成對于一些規律性的問題，用公式加以歸納總結的數學建模意識，并且已經具備本節課所需要的推理技能和邏輯思維能力.二、教學任務分析

公式法實際上是配方法的一般化和程式化，然后再利用總結出來的公式更加便利地求解一元二次方程。所以首先要夯實上節課的配方法，在此基礎上再進行一般規律性的探求——推導求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。其中，引導學生自主的探索，正確地導出一元二次方程的求根公式是本節課的重點、難點之一；正確、熟練地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高學生的綜合運算能力是本節課的另一個重點和難點。為此，本節課的教學目標是： ①在教師的指導下，學生能夠正確的導出一元二次方程的求根公式，并在探求過程中培養學生的數學建模意識和合情推理能力。

②能夠根據方程的系數，判斷出方程的根的情況，在此過程中，培養學生觀察和總結的能力.③通過正確、熟練的使用求根公式解一元二次方程，提高學生的綜合運算能力。④通過在探求公式過程中同學間的交流、使用公式過程中的小技巧的交流，進一步發展學生合作交流的意識和能力

三、教學過程分析

本課時分為以下五個教學環節：第一環節：回憶鞏固；第二環節：公式的推導；第三環節：看一看、練一練，鞏固新知；第四環節：收獲與感悟；第五環節：布置作業。

第一環節；回憶鞏固 活動內容：

①用配方法解下列方程：(1)2x2+3=7x(2)3x2+2x+1=0 全班同學在練習本上運算,可找兩位同學上黑板演算 ②由學生總結用配方法解方程的一般方法: 第一題： 2x2+3=7x 解：將方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0 兩邊都除以一次項系數:2 x2?7x?3?0 1 配方:加上再減去一次項系數一半的平方 x2?7x?(7)2?49?3?0

24162即:(x?7)2?25?0

416725(x?)2?416兩邊開平方取“±” 得：

x?75 ?44x?75 ??44 寫出方程的根 ∴ x1=3 , x2=1

2第二題： 3x+2x+1=0 解：兩邊都除以一次項系數:3 x2?2x?1?0

332 配方:加上再減去一次項系數一半的平方 x2?2x?(1)2?1?3?0

3392即:(x?1)2?25?0

318125

(x?)2??318∵?25?0

18∴原方程無解 活動目的：（1）進一步夯實用配方法解方程的一班步驟.在這里相對于書上的解題方法作了小小的改動：沒有把常數項移到方程右邊，而是在方程的左邊直接加上再減去一次項系數一半的平方，這樣做的目的是為了與以后二次函數一般式化頂點式保持一致。

（2）選擇了一個沒有解的方程，讓學生切實感受并不是所有的一元二次方程在實數范圍內都有解。

（3）教師還可以根據上節課作業情況，選學生出錯多的題目糾錯、練習.活動的實際效果：

通過對舊知識的回顧，學生再次經歷了配方法解方程的全過程，由于是舊知識，學生容易做出正確答案，并獲得成功的喜悅，調動了學生的學習熱情，喚醒學生的思維，為后面的探索奠定了良好的基礎。

第二環節 公式的推導 活動內容：

提出問題：解一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)學生在演算紙上自主推導、并針對自己推導過程中預見的問題在小范圍內自由研討。最后由師生共同歸納、總結，得出求根公式.解：兩邊都除以一次項系數:a x2?bx?c?0

aa 2 問：為什么可以兩邊都除以一次項系數:a 答：因為a≠0 配方:加上再減去一次項系數一半的平方

bb2b2cx?x?()?2??0a2a4aa2即: b2b2?4ac

(x?)?a4a2 b2b2?4ac(x?)??0a4a2 問：現在可以兩邊開平方嗎？

答：不可以，因為不能保證 b?4ac?0

24a2 問：什么情況下 b?4ac?0 24a2 學生討論后回答：

答： ∵ a≠0 ∴ 4a2>0 要使b?4ac?0 24a2只要 b2-4ac≥0即可

∴當b2-4ac≥0時，兩邊開平方取“±” 得： x?b??b?4ac

2a4a2bb2?4ac x???a2a x??b?b?4ac

2a2a?b?b2?4ac x?2a問：如果b2-4ac<0時，會出現什么問題？ 答：方程無解 活動目的：

學生能否自主推導出來并不重要，重要的是由學生親身經歷公式的推導過程，只有經歷了這一過程，他們才能發現問題、汲取教訓、總結經驗，形成自己的認識.在集體交流的時候，才能有感而發?；顒拥膶嶋H效果：

學生的主要問題通常出現在這樣的幾個地方：（1）

中?b2?c運算的符號出現錯誤和通分出現錯誤 bb2b2cx?x?()?2??04a2aa2a4aa2（2）不能主動意識到只有當b2-4ac≥0時，兩邊才能開平方

（3）兩邊開平方，忽略取“±”。

大部分學生需要在教師的幫助下，才能完善公式的推導。第三環節：練一練，鞏固新知 活動內容：

１、判斷下列方程是否有解：（學生口答）

22(1)2x+3=7x（2）x-7x=18（3）3x2+2x+1=0（4）9x2+6x+1=0(5)16x2+8x=3(6)2x2-9x+8=0 學生迅速演算或口算出b2-4ac,從而判斷是否有根

問第（3）題的判斷，與第一環節中的第（2）題對比，那種方法更簡捷？ ２、上述方程如果有解，求出方程的解 學生口述，教師板書第（1）題 例：解方程 2x2+3=7x 先將方程化成一般形式 解： 2x2-7x+3=0 確定a,b,c的值 a=2, b=-7, c=3 判斷方程是否有根 ∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>0 ∴?b?b?4ac

2x?2a7?257?5??2?24寫出方程的根 即x1=3,x2=-1

2問：與第一環節中的第（1）題對比，哪種解法更簡捷？

（剩下的題目教師根據時間情況選擇使用，個別學生上黑板做題，其他同學在座位上練習）

３、課本隨堂練習2.一個直角三角形三邊的長為三個連續的偶數，求這個三角形的三條邊長。

活動目的：通過讓學生或口述交流或上黑板解方程，公示學生的思維過程，查缺補漏，了解學生的掌握情況和靈活運用所學知識的程度?；顒訉嶋H效果：教師引導學生分析，學生口答、板書，筆答，對比，評價，總結．大部分學生能夠正確、熟練的用公式法解方程。

出現的問題

1、對于（1）（2）（5）小題，有個別學生因為沒有化成一般形式，從而把a,b,c的符號弄錯了；、學生比較容易得出當a,c異號時，方程一定有解。第四環節：收獲與感悟 活動內容： 提出問題：

1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？

2、用公式法解方程應注意的問題是什么？

3、你在解方程的過程中有哪些小技巧？

讓學生在四人小組中進行回顧與反思后，進行組間交流發言?；顒幽康模汗膭顚W生回顧本節課知識方面有哪些收獲，解題技能方面有哪些提高，通過回顧進一步鞏固知識，將新知識納入到學生個人已有的知識體系中。

活動實際效果：學生通過回顧本節課的學習，感受到公式推導的全過程，發展了邏輯思維能力，提高了推理技能，在使用公式解方程的過程中，感受到有的一元二次方程的有根，而有的沒有根，通過解方程，進一步提高了學生的運算能力。第五環節：布置作業 用公式法解下列方程（教師可根據實際情況選用）2x2-4x-1=0 5x+2=3x2

(x-2)(3x-5)=0 2x2+7x=4 x2-22x+2=0 列方程解應用題

1、已知長方形城門的高比寬多6尺8寸,門的對角線長1丈,那么,門的高和寬各是多少? ２、一張桌子長4米,寬2米,臺布的面積是桌面面積的2倍,鋪在桌子上時,各邊下垂的長度相同,求臺布的長和寬

３、某商場銷售一批襯衫,平均每天可以售出20件,沒見盈利40元,為了擴大銷售,增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施,如果每件降價1元,商場每天可以多銷售2件,（１）若商場平均每天要盈利１２００元，每件襯衫要降價多少元？

（２）選作題（供學有余力的學生選作）每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？

四、教學反思

1、要創造性的使用教材

教材只是為教師提供最基本的教學素材，教師完全可以根據學生的實際情況進行適當調整。本節課教師就根據學生實際情況，調整了配方時的個別過程，使之與后續知識學習相一致，添加了例題和練習題。

2、要為學生的終身學習奠基

這節課不能夠僅僅讓學生背公式、套公式解方程，而應讓學生初步建立對一些規律性的問題加以歸納、總結的數學建模意識，親身體會公式推導的全過程，提高學生推理技能和邏輯思維能力；進一步發展學生合作交流的意識和能力．幫助學生形成積極主動的求知態度.5

第四篇：14.3.2 公式法 教案

14.3.2公式法（2）蘆集二中 吳冬梅

教學目標：

1.理解完全平方公式的特點．

2.能較熟悉地運用完全平方公式分解因式． 3.能靈活應用提公因式法、公式法分解因式．

學習重點：

會用完全平方公式分解因式．

學習難點：

靈活應用公式分解因式

教學活動：

問題你還能說出完全平方公式嗎？

你能把多項式a2?2ab?b2和a2?2ab?b2分解因式嗎？這兩個多項式有什么特點？

學生活動設計

觀察上述多項式，與乘法公式中的完全平方公式作比較，容易得到

a2?2ab?b2?(a?b)2．

教師活動設計

學生得到結果后，讓學生歸納a?2ab?b?(a?b)，即

兩個數的平方和加上（或減去）這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和（或差）的平方．

2222同時歸納完全平方式的定義：把形如a?2ab?b和a?2ab?b的式子叫作完全

222平方式．

例5 分解因式

222（1）16x?24x?9；（2）?x?4xy?y．

學生活動設計

學生在獨立思考的基礎上進行討論，在（1）中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2×4x×3，所以

16x2?24x?9是一個完全平方式，16x2?24x?9＝(4x＋3)2．

在（2）中，形式上不滿足完全平方式的特點，但是?x2?4xy?y2＝?(x2?4xy?y2)，變形后括號內的多項式是完全平方式，可以分解因式．

教師活動設計

在本問題的解決過程中，讓學生進一步體會完全平方式的特點，能夠靈活地用完全平方式分解因式．

例6 分解因式

（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）(a+b)2－12(a+b)+36．

分析：在（1）中有公因式3a，應先提出公因式，再進一步分解． 解：（1）3ax2+6axy+3ay2= 3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；

（2）(a+b)2－12(a+b)+36=(a+b)2－2·(a+b)·6+62=(a+b－6)2． 練習：1．下列多項式是不是完全平方式？為什么？（1）a2－4a+4；（2）1+4a2；（3）4b2+4b－1 ；（4）a2+ab+b2． 2．分解因式

（1）x2+12x+36；（2）－2xy－x2－y2；（3）a2+2a+1；（4）4x2－4x+1；（5）ax2+2a2x+a3；（6）－3x2+6xy－3y2．

問題把下列多項式分解因式，從中你能發現因式分解的一般步驟嗎？

3344（1）x?y；（2）ab?ab；

（3）3ax?6axy?3ay；（4）(x?p)?(x?q)；（5）(a?b)?12(a?b)?36． 學生活動設計：

觀察上述多項式的形式，發現：

（1）可以把x4.y4看作(x2)2.(y2)2，可以利用平方差公式，得到x?y＝(x?y)(x?y)而x?y還可以利用平方差公式進行分解得到x?y＝(x?y)(x?y)＝(x－y)(x＋y)(x?y)；（2）（3）中不能用公式，但是各項存在公因式，于是可以先提公因式，然后進行分解，得到

***422222

（2）a3b?ab3?ab(a2?b2)?ab(a?b)(a?b)；

（3）3ax2?6axy?3ay2?3a(x2?2xy?y2)?3a(x?y)2；（4）中若把(x＋p)和(x＋q)看作一個整體，可以利用平方差公式分解．（5）把(a＋b)看作一個整體，恰好是完全平方式． 教師活動設計

讓學生討論如何進行分解因式，體會分解因式的一般步驟，歸納：

（1）先提公因式（有的話）；（2）利用公式（可以的話）；

（3）分解因式時要分解到不能分解為止． 問題證明：連續兩個奇數的平方差可以被8整除． 學生分析：

設連續兩個奇數是x、x＋2，則有

x2－(x+2)2=(x－x－2)(x+x+2)=－2(2x+2)=－4(x+1)，因為x是奇數，所以x＋1是偶數，所以－4(x+1)能被8整除． 歸納小結、布置作業

第五篇：《14.3.2 公式法》教案

《14.3.2 公式法》教案

一、教學目標：

用完全平方公式分解因式

二、教學重點：

用完全平方公式分解因式．

三、教學難點：

靈活應用公式分解因式．

四、教學過程：

Ⅰ．提出問題，創設情境

問題1：根據學習用平方差公式分解因式的經驗和方法，?分析和推測什么叫做運用完全平方公式分解因式？能夠用完全平方公式分解因式的多項式具有什么特點？

問題2：把下列各式分解因式．

（1）a+2ab+b222（2）a－2ab+b2 [生]將整式乘法的平方差公式反過來寫即是分解因式的平方差公式．同樣道理，把整式乘法的完全平方公式反過來寫即分解因式的完全平方公式． [師]能不能用語言敘述呢？

[生]能．兩個數的平方和，加上（或減去）這兩數的積的2倍，?等于這兩個數的和（或差）的平方．問題2其實就是完全平方公式的符號表示．即：a+2ab+b=（a+b），a－2ab+b（a－b）．

[師]今天我們就來研究用完全平方公式分解因式． Ⅱ．導入新課

下列各式是不是完全平方式？

（1）a－4a+4（2）x+4x+4y（3）4a+2ab+（5）x－6x－9（6）a+a+0.25 結果：

（1）a－4a+4=a－2×2·a+2=（a－2）（3）4a+2ab+222

222 2

1222

b（4）a－ab+b412111222 b=（2a）+2×2a·b+（b）=（2a+b）42222

2（6）a+a+0.25=a+2·a·0.5+0.5=（a+0.5）（2）、（4）、（5）都不是．

方法總結：分解因式的完全平方公式，左邊是一個二次三項式，其中有兩個數的平方和還有這兩個數的積的2倍或這兩個數的積的2倍的相反數，符合這些特征，就可以化成右邊的兩數和（或差）的平方．從而達到因式分解的目的． 例題解析

[例1]分解因式：

（1）16x+24x+9（2）－x+4xy－4y [例2]分解因式：

（1）3ax+6axy+3ay（2）（a+b）－12（a+b）+36 [例1]（1）分析：在（1）中，16x=（4x），9=3，24x=2·4x·3，所以16x+14x+9是一個完全平方式，即

解：（1）16x+24x+9 =（4x）+2·4x·3+3 =（4x+3）．

（2）分析：在（2）中兩個平方項前有負號，所以應考慮添括號法則將負號提出，然后再考慮完全平方公式，因為4y=（2y），4xy=2·x·2y．

所以：

2222

解：－x+4xy－4y=－（x－4xy+4y）=－[x－2·x·2y+（2y）] =－（x－2y）．

練一練：把下列多項式分解因式：（1）6a－a－9；（2）－8ab－16a－b；（3）2a－a－a；

（4）4x+20（x－x）+25（1－x）Ⅲ．課時小結

引導學生回顧本大節內容，梳理知識，培養學生的總結歸納能力，最后給出分解因式的知識框架圖，使學生對這部分知識有一個清晰的了解.22

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