第一篇：角平分線的教案

《角平分線的性質(一)》教學設計

蘭西縣蘭河鄉第一中學 王正秋

教材分析：

角平分線的概念是曾經教材中介紹過的內容,它的性質很重要,在幾何里證明線段或角相等時常常用到它,同時在作圖中也運用廣泛,有了角平分線的性質,學生可以直接應用定理,無需再證明兩個三角形全等了,簡化了知識的繁瑣性,為學生今后的學習開辟了新的途徑.同時,通過定理得初步應用,培養了學生多惡邏輯推理能力及創新能力.學情分析：

處于八年級上學期階段的初中學生，在心理及生理上都已經趨向于成熟,對知識的獲得能力已經有了多種途徑,其推理能力和創新能力已提高了很多，此時的學生對于學習充滿了期待同時也很有信心，因此學生在上課時會有很濃厚的學習興趣，但學生的能力水平參差不齊，并且不善于合作學習，由于部分學生的基礎很差,現在對于數學已經失去了興趣，而本節課的內容與生活是從實際生活引入的,所以利用這個條件，多給學困生一些機會，及時鼓勵他們參與到活動中來，使他們的學習興趣得到增強，使學生能力得到一定的提高。教學目標： 知識目標: 角平分線的畫法、角平分線的性質

（一）教學過程和方法: 會用尺規做一個已知角的平分線。情感目標: 在利用尺規作圖的過程中，培養學生動手能力與探索精神。教學重難點：

重點：利用尺規作已知角的平分線。角平分線的性質

（一）難點：角平分線的性質

（一）教學準備：

學生課前預習，準備折紙和剪刀，教師準備多媒體課件。

教學過程：

（一）組織教學

師生互相問好

（二）提出問題，創設情境

學生觀測課件，回答問題：圖中哪些線段的長可以表示點P到直線L的距離？（師生共同觀察課件中的圖形，學生思考并回答問題。）

如果老師手里只有直尺和圓規，你能幫忙設計一個作角的平分線的操作方案嗎？（引發學生的好奇心，激起學生學習新課的愿望。）

（三）合作交流，探究新知 探究1：

下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC．將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線．你能說明它的道理嗎？

1.播放多媒體課件，演示角平分儀器的操作過程。2.學生觀看課件并口述平分角的儀器原理。

3.通過上述的探究，能否總結出尺規作已知角平分線的一般方法。4.討論結果展示。

（學生自己動手做圖，然后與同伴交流。教師用幻燈片播放學生寫的解題步驟，然后進行交流。）

5.教師根據學生的敘述，進一步整理作已知角的平分線的步驟。已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分線． 作法：

（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．

（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB內部交于點C．

21（3）作射線OC，射線OC即為所求．

探究2：

1.已知角的平分線，能推出什么結論？

已知：∠AOB的角平分線是射線OC，且PD⊥OC，PE⊥OC； 求證：線段PD 與線段PE的關系。

（學生小組合組探究結果。）

2.得出結論：

在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． 幾何表示形式：

∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．

（四）習題鞏固

例題：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P． 求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．

（五）知識小結

談談今天你的收獲？

（六）布置作業 練習1、2、3題 板書設計

角平分線的性質

（一）1.角平分線的畫法：

2.角平分線的性質：在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.教學反思

《角平分線的性質(一)》教案

王正秋

蘭西縣蘭河鄉第一中學

2009年12月15日

第二篇：角平分線教案

教學目標

1、角的平分線的性質

2．會敘述角的平分線的性質及“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”． 3．能應用這兩個性質解決一些簡單的實際問題． 教學重點

角平分線的性質及其應用． 教學難點

靈活應用兩個性質解決問題．

教學過程(本文來自優秀教育資源網斐.斐.課.件.園)Ⅰ．創設情境，引入新課

拿出課前準備好的折紙與剪刀，剪一個角，把剪好的角對折，使角的兩邊疊合在一起，再把紙片展開，看到了什么？把對折的紙片再任意折一次，然后把紙片展開，又看到了什么？

分析：第一次對折后的折痕是這個角的平分線；再折一次，又會出現兩條折痕，而且這兩條折痕是等長的．這種方法可以做無數次，所以這種等長的折痕可以折出無數對． Ⅱ．導入新課

角平分線的性質即已知角的平分線，能推出什么樣的結論． 折出如圖所示的折痕PD、PE． 畫一畫：

按照折紙的順序畫出一個角的三條折痕，并度量所畫PD、PE是否等長？ 投影出下面兩個圖形，讓學生評一評，以達明確概念的目的．

結論：同學乙的畫法是正確的．同學甲畫的是過角平分線上一點畫角平分線的垂線，而不是過角平分線上一點作兩邊的垂線段，所以他的畫法不符合要求． 問題1：如何用文字語言敘述所畫圖形的性質嗎？ [生]角平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

問題2：能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這句話．請填下表： 已知事項：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E為垂足． 由已知事項推出的事項：PD=PE． 于是我們得角的平分線的性質：

在角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

[師]那么到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上呢？（出示投影）問題3：根據下表中的圖形和已知事項，猜想由已知事項可推出的事項，并用符號語言填寫下表： [生討論]已知事項符合直角三角形全等的條件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD． 由已知推出的事項：點P在∠AOB的平分線上．

由此我們又可以得到一個性質：到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．這兩個性質有什么聯系嗎？ 分析：這兩個性質已知條件和所推出的結論可以互換． 思考：

如圖所示，要在S區建一個集貿市場，使它到公路、鐵路距離相等，?離公路與鐵路交叉處500m，這個集貿市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？

1．集貿市場建于何處，和本節學的角平分線性質有關嗎？用哪一個性質可以解決這個問題？ 2．比例尺為1：20000是什么意思？ 結論：

1．應該是用第二個性質．?這個集貿市場應該建在公路與鐵路形成的角的平分線上，并且要求離角的頂點500米處．

2．在紙上畫圖時，我們經

[1] [2] 下一頁

常在厘米為單位，而題中距離又是以米為單位，?這就涉及一個單位換算問題了．1m=100cm，所以比例尺為1：20000，其實就是圖中1cm?表示實際距離200m的意思．作圖如下： 第一步：尺規作圖法作出∠AOB的平分線OP．

第二步：在射線OP上截取OC=2.5cm，確定C點，C點就是集貿市場所建地了．

總結：應用角平分線的性質，就可以省去證明三角形全等的步驟，?使問題簡單化．所以若遇到有關角平分線，又要證線段相等的問題，?我們可以直接利用性質解決問題． III例題與練習

例 如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P． 求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等．

分析：點P到AB、BC、CA的垂線段PD、PE、PF的長就是P點到三邊的距離，?也就是說要證：PD=PE=PF．而BM、CN分別是∠B、∠C的平分線，?根據角平分線性質和等式的傳遞性可以解決這個問題． 證明：過點P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足為D、E、F． 因為BM是△ABC的角平分線，點P在BM上． 所以PD=PE． 同理PE=PF． 所以PD=PE=PF．

即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等． 練習： 1．課本練習． 2．課本習題

強調：條件充足的時候應該直接利用角平分線的性質，無須再證三角形全等． IV．課時小結

今天，我們學習了關于角平分線的兩個性質：①角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．它們具有互逆性，隨著學習的深入，解決問題越來越簡便了．像與角平分線有關的求證線段相等、角相等問題，我們可以直接利用角平分線的性質，而不必再去證明三角形全等而得出線段相等． Ⅴ．課后作業

1、課本習題

第三篇：角平分線 教案1

角平分線

一、學生知識狀況分析

本節在學習了直角三角形全等的判定定理、線段的垂直平分線的性質和判定定理的基礎上，進一步學習角平分線的性質和判定定理及相關結論.學生已經經歷了構造一個命題的逆命題的過程，因此比較容易用類比的方法構造角平分線性質定理的逆命題。

二、教學任務分析

學生已探索過角平分線的性質，而此處在學生回憶的基礎上，嘗試著證明它，并構造其命題，進一步討論三角形三個內角平分線的性質．本節課的教學目標為：

1.會證明角平分線的性質定理及其逆定理．

2.進一步發展學生的推理證明意識和能力，培養學生將文字語言．轉化為符號語言、圖形語言的能力．

3.經歷探索，猜想，證明使學生掌握研究解決問題的方法。教學難點：

正確地表述角平分線性質定理的逆命題及其證明。

三、教學過程分析

本節課設計了五個教學環節：第一環節：設置情境 溫故知新；第二環節：探究新知；第三環節：鞏固練習；第四環節：隨堂練習；第五環節：課時小結；第六環節：課后作業 1：情境引入

我們曾用折紙的方法探索過角平分線上的點的性質，步驟如下： 從折紙過程中，我們可以得出CD=CE，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等． 你能證明它嗎? 2：探究新知

（1）引導學生證明性質定理

請同學們自己嘗試著證明上述結論，然后在全班進行交流．

已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E．

求證：PD=PE．

AD12EBPOC 1

證明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的對應邊相等)．

(教師在教學過程中對有困難的學生要給以指導)我們用公理和已學過的定理證明了我們折紙過程中得出的結論．我們把它叫做角平分線的性質定理。(用多媒體演示)角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．（2）你能寫出這個定理的逆命題嗎? 我們在前面學習線段的垂直平分線時，已經歷過構造其逆命題的過程，我們可以類比著構造角平分線性質定理的逆命題．

引導學生分析結論后完整地敘述出角平分線性質定理的逆命題： 在一個角的內部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的角平分線上． 它是真命題嗎? 你能證明它嗎? 沒有加“在角的內部”時，是假命題．

(由學生自己獨立思考完成，在全班討論交流，對困難學生可個別輔導)證明如下：

已知：在么AOB內部有一點P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E為垂足且PD=PE，求證：點P在么AOB的角平分線上． 證明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)． ∴∠1=∠2(全等三角形對應角相等)．

逆命題利用公理和我們已證過的定理證明了，那么我們就可以把這個逆命題叫做原定理的逆定理．我們就把它叫做角平分線的判定定理。

3.鞏固練習

綜合利用角平分線的性質和判定、直角三角形的相關性質解決問題。進一步發展學生的推論證明能力。在學生獨立完成推理過程的基礎上，教師要給出書寫示范

例題：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，點 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為 E，F，且 DE = DF，求 DE 的長.（4）課本例題學習

4：隨堂練習課本第29頁1、2題。5：課堂小結

這節課證明了角平分線的性質定理和判定定理，在有角的平分線（或證明是角的平分線）時，過角平分線上的點向兩邊作垂線段，利用角平分線的判定或性質則使問題迅速得到解決。6：課后作業

習題1.9第1，2，3，4題．

四、教學反思

教學時，采用‘‘實驗——猜想——驗證”的課堂教學方法，適時啟發誘導，讓學生展開討論，充分發揮學生的主體參與意識，激發學習興趣，調動學習的積極性，培養學生良好的思維方法與習慣．學生初學角平分線的性質定理和判定定理，容易將角平分線上的一點到這個角兩邊的距離誤認為過這點垂直于角平分線的垂線段．因此在教學中應首先讓學生通過畫三角形紙片的折痕來充分認識這一點．學生往往不能正確區分出角平分線的性質定理和判定定理，因此要通過分析定理的題設和結論幫學生正確認識．學生習慣用于找全等三角形的方法去解決問題，而不注重利用剛學過的定理來解決，這實際上是對定理的重復證明，這一點在教學時要注意。

第四篇：角平分線性質教案

教學設計

一、教學目標

（一）知識與技能目標

1.掌握作角的平分線和作直線垂線的方法 2.學握角平分線的性質

（二）情感態度目標

1.在探討做角平分線的方法及角平分線性質的過程中，培養學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗。2.培養學生團結合作精神。

教學重點： 掌握角平分線的尺規作圖，理解角的平分線的性質并能初步運用。教學難點： 1.對角平分線性質定理中點到角兩邊的距離的正確理解； 2.對于性質定理的運用。

教學工具： 多媒體 課件。直尺，圓規等

二、教學過程設計

（一）復習引入 1.角平分線的定義。2.點到直線的距離。

學生思考，回答問題。（設計意圖：復習已學知識，為下面研究創造條件。）

（二）設計活動，引出內容 【活動一】

問題 1 ：利用之前學過的知識，如何確定一個角的角平分線。

問題 2 ：不利用工具，將一張用紙片做的角分成兩個相等的角，你有什么辦法？（對折）學生活動：學生用量角器去量，讓一個學生上講臺用折紙的方法得到角平分線展示給大家。

（設計意圖：掌握作角的平分線的簡易方法）

假如我們要將紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？那么我們除了使用量角器外，我再給大家介紹另一種儀器——角平分儀（展示課件）如圖，是一個平分角的儀器，其中 AB=AD，BD=DC，將點 A 放在角的頂點，AB 和 AD 沿著角的兩邊放下，沿 AC 畫一條射線 AE，AE 就是這個角的平分線，你能說明它的道理嗎？

（總結學生思路——利用三角形全等）

（設計意圖：訓練書寫數學語言）

引導學生觀察這個角分儀，根據這個角分儀的制作原理，通過小組討論總結，歸納出作一個已知角角平分線的方法。（分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發現問題，給予啟發和指導，使講評更具有針對性）

通過小組討論的結果，讓同學在黑板上演示作圖過程及復述畫法，再利用多媒體演示，加深印象，并強調尺規的規范性。討論結果展示：

作已知角平分線的方法： 已知：∠ AOB ．

求作：∠ AOB 的平分線． 作法：

（1）以 O 為圓心，適當長為半徑作弧，分別交 OA、OB 于 M、N.（2）分別以 M、N 為圓心，大于 MN 的長為半徑作弧．兩弧在∠ AOB 內部交于點 C.（3）作射線 OC，射線 OC 即為所求.設置問題：

1.在上面作法的第二步中，“大于 MN 的長”這個條件改成“小于或等于

MN 的長”不行嗎？

2.第二步中所作的兩弧交點一定在∠ AOB 的內部嗎？

（設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養數學嚴密性的良好學習習慣。）學生討論結果總結：

1.不行，若改成“小于或等于 MN 的長”，那么所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線。

2.若分別以 M、N 為圓心，大于 MN 的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠ AOB 的內部，也可能在∠ AOB 的外部，而我們要找的是∠ AOB 內部的交點，? 否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠ AOB 的平分線了。應用：平分平角∠ AOB(學生口述)由平分平角的步驟，得出結論： 作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。

【活動二】

拿出用紙片做的角 ∠ AOB，在這個角的角平分線上任意取一點 P，過點 P 分別向角的兩邊做垂線，量一量點 P 到將兩邊的垂線段的長有什么關系？再在這個角平分線上任取 3 個點，也分別向角的兩邊做垂線，看看這些點到角的兩邊的垂線段的長有什么關系？

學生動手操作，通過觀察，用尺子測量，得出結論： 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

這是從直觀上得出的結論，從理論上要證明這個結論。

（設計意圖：解決實際問題，拓展學生思維，引導角平分線的性質定理總結，規律化規范語言，深化記憶定理）

證一證： 引導學生證明角平分線的性質，分清題設、結論，將文字變成符號并加以證明。學生板眼，挑出問題，糾正問題，得出完整過程。

由此，得到角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。用符號語言表示為： ∵ OP平分∠ AOB PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 定理的作用：證明線段相等。練習：判斷正誤，并說明理由：

（1）如圖 1，P 在射線 OC 上，PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，則 PE=PF。（2）如圖 2，P 是∠ AOB 的平分線 OC 上的一點，E、F 分別在 OA、OB 上，則 PE=PF。

（3）如圖 3，在∠ AOB 的平分線 OC 上任取一點 P，若 P 到 OA 的距離為 3cm，則 P 到 OB 的距離邊為 3cm。

（三）知識回顧 1.角平分線的畫法

2.角平分線的性質：角平分線的點到角兩邊的距離相等

（四）板書設計

第五篇：角的平分線的性質教案

角的平分線的性質

教學目標

1． 掌握角的平分線的性質定理和它的逆定理的內容、證明及應用． 2． 理解原命題和逆命題的概念和關系，會找一個簡單命題的逆命題． 3． 滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。教學重點和難點

角平分線的性質定理和逆定理的應用是重點． 性質定理和判定定理的區別和靈活運用是難點． 教學過程設計

一、角平分錢的性質定理與判定定理的探求與證明 1，復習引入課題．

（1）提問關于直角三角形全等的判定定理．

（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角平分線OC．

2．畫圖探索角平分線的性質并證明之．

（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一 點P，并分別作出表示Ｐ點到∠AOB兩邊的距離的線段 PD，PE．

（2）這兩個距離的大小之間有什么關系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理．

（3）引導學生敘述角平分線的性質定理（定理1），分析定理的條件、結論，并根據相應圖形寫出表達式．

3．逆向思維探求角平分線的判定定理．

（1）讓學生將定理1的條件、結論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理．

（2）教師隨后強調定理1與定理2的區別：已知角平分線用性質為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2．

（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程． 4．理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合．（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）．

（2）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）．

由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合．

二、應用舉例、變式練習

練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D PE⊥OB于E．∴---------（角平分線的性質定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）

例1已知：如圖3－87（a），ABC的角平分線BD和CE交于F．

（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

（2）求證：AF平分∠BAC；

（3）求證：三角形中三條內角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

（4）怎樣找△ABC內到三邊距離相等的點？

（5）若將“兩內角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

說明：

（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的．

（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

（3）引導學生對題目的條件進行類比聯想（第（5）題），觀察結論如何變化，培養發散思維能力．

練習2已知△ABC，在△ABC內求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等．

練習3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC．求證：點 C在∠DAB的平分線上．

例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等． 練習4 課本第54頁的練習.說明：訓練學生將生活語言翻譯成數學語言的能力．

三、互逆命題，互逆定理的定義及應用 1．互逆命題、互逆定理的定義．

教師引導學生分析角平分線的性質，判定定理的題設、結論，使學生看到這兩個命題的題設和結論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子．教師強調“互逆命題”是兩個命題之間的關系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題．

2．會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題．

例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）直角三角形的兩銳角互余；

（3）對頂角相等；

（4）全等三角形的對應角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

（6）等腰三角形的兩個底角相等；

（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． 說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命題、互逆定理的有關結論．

例4 判斷下列命題是否正確：

（1）錯誤的命題沒有逆命題；

（2）每個命題都有逆命題；

（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

（5）每一個定理都一定有逆定理．

通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義．

四、師生共同小結

1．角平分線的性質定理與判定定理的條件內容分別是什么？

2．三角形的角平分線有什么性質？怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？ 3．怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

五、作業

課本第55頁第3，5，6，7，8，9題．

課堂教學設計說明

本教學設計需2課時完成．

角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養能力，發揮學生學習的主動性．