第一篇：幾何畫板在《圓錐曲線》中的應用舉例

幾何畫板在《圓錐曲線》中的應用舉例

高二數學組

劉中維

在《圓錐曲線方程》這一章中，一些曲線的圖像、性質都比較抽象，學生難以理解和接受，如雙曲線的漸進線、圓錐曲線的離心率與開都的關系、一些數形結合的題目等，只憑學生的想象力是很難理解掌握有關圖像的性質和圖像之間的相互關系的，若我們只借助尺規作圖的方法畫圖，一般難以達到滿意的效果，還容易把圖像畫錯。但若我們能利用《幾何畫板》精確的畫圖功能、動畫功能加以演示，將能引起學生的學習興趣，幫助學生的理解，提高學生對平面圖形的想象思維能力，起到事半功倍的作用。下面舉幾個用幾何畫板解決圓錐曲線問題的例子。

一、在“幾何畫板”中作直線與圓錐曲線的交點

在“幾何畫板”中可以直接作出直線與直線的交點，直線與圓的交點以及圓與圓的交點．但不能直接作出直線與圓錐曲線的交點．本文介紹直線與圓錐曲線的交點制作、制作原理，該制作過程適合三種圓錐曲線．首先是三個工具的制作：

工具一

已知直線AP，A在圓錐曲線上，求作直線AP與圓錐曲線的另一個交點B．(以橢圓為例)作圖過程

在橢圓上任取4個點C、D、E、F，作DE與PA交于點L，作AF與CD交于點M，作LM與EF的交點N，作NC與直線PA的交點B，則點就是直線PA與橢圓的交點（如圖1）．

圖1 圖2

制作成工具（命名為工具一）就可以直接使用，先決條件是圓錐曲線、點A、點P，不需要其它的，適合橢圓、雙曲線、拋物線．

Q、R共線制作原理

任意圓錐曲線的內接六邊形的三組對邊的交點P、（以橢圓為例，如圖2）．（帕斯卡定理）

工具二

過圓錐曲線外一點作兩條切線．

圖4

圖5

圖6 作圖過程2.1 若P為橢圓外任意一點，以F1為圓心，2a為半徑作輔助圓，以P為圓心，A、BPF2為半徑作圓與輔助圓交于點Q、R，分別取

QF1QF2、RF2的中點，則PA、PB為所求的切線，與PA的交點、RF1與PB的交點為對應切點（如圖4）．

作圖過程2.2 若P為雙曲線外任意一點，以以P為圓心，A、BF12a為半徑作輔助圓，為圓心，PF2為半徑作圓與輔助圓交于點Q、R，分別取

QF1QF2、RF2的中點，PA、PB為所求的切線．

與PA的交點、RF1與PB的交點為對應切點（如圖5）．

作圖過程2.3 若P為拋物線外任意一點，以P為圓心，PF為半徑作圓與準線交于點Q、R，分別取QF、RF的中點A、B，PA、PB為所求的切線．過點Q作準線的垂線與PA的交點、過點R作準線的垂線與PB的交點為對應切點（如圖6）．

把過圓錐曲線外一點作兩條切線的過程制作成工具，需要說明的是要分成兩個工具：（1）對于橢圓雙曲線，工具先決條件是兩個焦點段、點P；（2）對于拋物線，工具的先決條件是焦點方便，統一稱之為工具二．

F1F1、F2、長度2a的線，準線，點P；為了敘述工具三

已知點P不在圓錐曲線上，求作點P的極線．(有關極點、極線問題在《高等幾何》中有詳細地說明，此處利用的是它們的性質)作圖過程

在圓錐曲線上任取兩點A、D，利用工具一作直線PA、PD與圓錐曲線的另一個交點B、C，連結AC、BD交于E，AD、BC交于F，就得到了點P的極線EF（如圖7）；如果點P在圓錐曲線內也按此法，因為圓錐曲線內接四邊形ABCD中，點P的極線是EF，點E的極線是PF，點F的極線是PE．制作成工具(命名為工具三)，先決條件是圓錐曲線、點P．

圖7

圖8

圖9 作圖問題

已知兩點P、Q不在圓錐曲線上，求作PQ與圓錐曲線的交點A、B．

（1）利用工具三作出點P的極線，（如圖

8、圖9兩種情況）；（2）同理利用工具三作出點Q的極線，兩條極線相交于點R；

圖10

圖11（3）利用工具二，過點R作圓錐曲線的兩條切線（如圖

10、圖11）；

（4）兩切線與直線PQ相交得到交點A、B即為所求交點． 以上過程亦可制作成工具．

制作原理

要想得到直線PQ與圓錐曲線相交的交點A、B，只要能預先作出以交點A、B為切點的兩條切線就可以了，設兩切線相交于點R，而過點R作圓錐曲線的切線問題已經由作圖問題二解決；這個點R其實是直線ABPQ的極點，根據極線和極點的“點U在點V的極線上移動時，點U的極線也繞點V而轉動”這一性質，我們知道點R也是由P、Q兩點的極線的交點來確定．

二、和兩圓都相切的圓心的軌跡

（一）、制作結果

如圖：單擊“動畫”按鈕，D點在圓周上運動，從而圓（C，D）的大小和位置不斷發生改變，但始終和圓C1和圓C2相切，圓心C的軌跡是雙曲線。圓C1和圓C2的圓心和半徑都能改變，軌跡也會改變，甚至不是雙曲線，您想試試？

（二）、思路分析

如果按尺規作圖的思路，和已知兩圓相切要分為同時外切、內切、一內一外。幾何畫板號稱動態幾何，其構造的思路會復雜嗎？我們先來看其中一種情況：已知兩圓和圓C2上任一點D，求作一圓和兩已知圓都外切。看看下圖，是如何確定圓心C的？分析作圖步驟：

（三）、操作步驟

1、構造兩已知圓的半徑 畫一條水平直線AB，在直線上畫三點C、D、E；隱藏點A、B。→畫線段（D，C）(D，E),并把線段DC和線段DE的標簽分別改為R、r（想一想為什么在直線上畫點，而不直接畫線段）

兩點就是已知圓的圓心）

3、構造已知圓 畫圓（H，線段R）畫圓（I，線段r）

2、構造圓心 畫一條水平直線FG，隱藏點F、G→在直線上畫點H、I（這

4、構造輔助圓 畫直線（I，J），其中J為圓I上任一點J→畫圓（J，線段R）→畫圓J和直線IJ的交點為L。

5、構造所求圓 作線段（H，L）→作線段HL的中垂線→作直線IJ和中垂線的交點K→作圓（K，J）

6、作軌跡（K，J）

7、作J點的動畫

8、隱藏輔助線，修飾課件。

（四）、拓展研究

通過移動點C、E、H、I，改變兩已知圓的大小和位置，我們驚喜的發現，這種構造方法，竟是一箭三雕－同外切；同內切；一外一內，盡在其中

四、拓展研究

通過移動點C、E、H、I，改變兩已知圓的大小和位置，我們驚喜的發現，這種構造方法，竟是一箭三雕－同外切；同內切；一外一內，盡在其中。

第二篇：幾何畫板的應用舉例

幾何畫板的應用舉例

上傳: 劉榮鋒 更新時間：2012-12-2 13:16:10

【引用】幾何畫板的應用舉例

對于單位圓在三角函數教學中的應用，各位老師可謂仁者見仁，智者見智，在利用單位圓時，如果能讓三角函數線動起來，那就更加直觀易懂，學生更容易理解接受。這里我介紹利用《幾何畫板》展示單位圓的兩個應用，供大家參考。1．解三角函數不等式

利用單位圓中的三角函數線解解三角函數不等式，不少老師已經提到，這里不再贅述，只把我用《幾何畫板》作的一個小動畫傳上來供大家參考，做法也很簡單，就不在介紹。

2．作正弦函數圖象

利用三角函數線作正弦函數圖象也是教材中提出的方法，如果能讓三角函數線動起來，那將會更加直觀易懂。

作法：

第一步： 打開畫板，建立直角坐標系（菜單欄里的“圖表”→“定義坐標系”），在空白處右擊鼠 標，在彈出的對話框中點“隱藏網格”；

第二步：在空白處右擊鼠標，在彈出的對話框中點“繪制點”，繪制兩個點A（-2,0），B（-1,0），按順序選中A、B，在菜單欄里“構造”→“以圓心和圓周上的點繪圓”，構造一個單位圓。拖動單位點調整單位長度；

第三步：在單位圓上取一點D，按順序選中A、D，在菜單欄里“構造”→“射線”，構造一條射線，過點D構造x軸的垂線交x軸于E，隱藏垂線，再構造線段DE，并在菜單里“顯示”把線段DE改成藍色、粗線。

第四步：順序選中點B、E和圓，在“構造”里點“圓上的弧”，及時選菜單里“度量”→“弧長”，并及時點菜單里“變換”→“標記距離”。

第五步：選中原點，“變換”→“平移”，在在彈出的對話框中把下邊的“固定角度”改為0，則原點平移到F’；

第六步： 順次選中E、F’點，“變換”→“標記向量”，選中線段DE和點D，“變換”→“平移”，將線段DE平移到F’D’，；連結DD’，并把線段改為虛線；

第七步： 選中D’點，點菜單欄里“顯示”→“追蹤點”；

第八步： 選中點D，點“編輯”→“操作類按鈕”→“動畫”，確定。OK！點一下“運動點”，欣賞一下你的大作吧。

幾何畫板在“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學中的應用

上傳: 劉榮鋒 更新時間：2012-12-2 19:42:26

《幾何畫板》在“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學中的應用

摘要：“三角函數”是中學數學中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分；函數的兩種表達方式——解析式和圖象之間常常需要對照。為了解決數形結合的問題，在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果。

關鍵詞：幾何畫板 函數 圖象 三角

對于數學科學來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學生如果根本不具備數學想象力，要把數學學好那也是不可能的。正如前蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”因此，隨著計算機多媒體的出現和飛速發展，在網絡技術廣泛應用于各個領域的同時，也給學校教育帶來了一場深刻的變革——用計算機輔助教學，改善人們的認知環境——越來越受到重視。從國外引進的教育軟件《幾何畫板》以其學習入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內許多數學教師看好，并已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。《幾何畫板》給高中數學教學帶來了極多方便，作為一名高中數學教師就此談在“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學中的應用。

一、用《幾何畫板》動態、直觀地推演出最基本的正弦函數Y=sinx的圖像

要研究三角函數的性質，首先我們必須從他的圖像入手。然而為了解決數形結合的問題，在有關三角函數的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖沒有動態感；應用幾何畫板動態、直觀的顯示正弦函數Y=sinx的圖像怎么得來及變化情況．這樣學生通過動態變化的圖象自主的接受和理解，講的再好還不如親眼所見．

二、探索函數圖象y=Asin x與y=sin x圖象之間的關系。在同一坐標系里畫出y=1/2sinx、y=sinx、y=2sinx三個不同的函數圖象(如下圖),然而點A、B、C分別在y=1/2sinx、y=sinx、y=2sinx三個圖象上，用《幾何畫板》的“度量”度量出點A、B、C的縱坐標.拖動點P看A、B、C三點縱坐標的變化，除相交處外，它們始終保持1/2:1:2的關系。這里體現的《幾何畫板》作圖的精確性，使得更有說服力。這樣讓學生更能了解上面三個函數的聯系與不同。

再作出下圖，可以拖動點P改變A的值觀察Y=Asinx的圖像的變化情況。

用《幾何畫板》畫出精確，而且可以隨意變化演示給學生看的圖象，起到比傳統教學難以比擬的教學效果。

三、探索函數圖象y=sinωx與y=sin x圖象之間的關系

在同一坐標系里畫出y=sin

x、y=sinx、y=sin2x三個不同的函數圖象(如下圖)觀察它們的周期T變化,以及另外兩個函數圖象與y=sinx的圖象的聯系.再用《幾何畫板》畫出下面圖象，可以隨意輸入一個ω的值，將快速、自動、準確地畫出相應的函數圖象，讓學生觀察它們的周期T的變化，總結出Y=sinωx的性質。

四、探索函數圖象y=sin（x+φ）與y=sin x圖象之間的關系

適當的拖動點φ，讓學生觀察函數圖象的變化。觀察函數圖象變化，讓學生總結圖象變化規律：圖象上各點沿x軸平移（φ＞0）或向右平移φ＜0）φ個單位。

五、探索函數圖象y=Asin（ωx+φ）與y=sin x圖象之間的關系。

從函數y=sin x圖象到y=Asin（ωx+φ）的圖象有多種不同的變換順序，變換方法與上同。通過改變A、ω和φ的值，讓學生觀察函數圖象變化，引導學生總結出：①A改變的是圖象的振幅；②ω改變的是圖象的周期;③φ改變的是圖象的左右平移。

利用幾何畫板，可以比較便捷地繪制出各種函數圖象，又能根據自己的教學意圖，隨心所欲地修改解析式的參數，并且能讓圖象真正“動”起來通過實踐觀察，發現解析式各個參數的變化對函數圖象的影響及相互之間的聯系，給學生的學習創設一個體驗和理解數學的過程，使學生直觀感受到數形結合是探尋數學規律的絕佳方法。同時還可以用它來演示、驗證學生的發現和猜測，加深學生對數學概念和性質的理解，激起學生對數學知識和數學規律學習和探索的欲望，提高他們學習的主動性和積極性，使學生獲得積極的情感體驗，并使之上升為理性認識，達到了新課程下研究性學習的目的，最終提高了教與學的雙重效率。

幾何畫板的應用實例之二:研究二次函數

《幾何畫板》是一款優秀的教學軟件，具有動態直觀、數形結合、變化無窮的特點，為我們提供了一個理想的做數學的環境。充分運用好畫板的功能，可使學生從“聽”數學轉變到“做”數學，以研究者的方式，參與包括發現、探索在內的獲得知識的全過程，對開發學生的智力，提高思維能力很有幫助。本文以二次函數的兩種基本形式y=a(x-h)2+k和y=ax2+bx+c為例，探討《幾何畫板》在二次函數教學中的應用。

一、利用《幾何畫板》，構造函數圖像

由于解析式中字母系數的不同，函數的圖像也不盡相同。因此，要在畫板中構造出能夠調節字母系數變化的元素，在圖像的動態變化中，發現蘊含其中的普遍規律。首先，打開畫板，單擊“圖表”→“定義坐標系”建立一個平面直角坐標系，在畫板左側工具欄選擇點工具，在x軸的適當位置構造三個點A、B、C，再回到畫板工具欄，選中“選擇箭頭工具”，同時選中A、B、C三點和x軸，單擊“作圖”→“垂線”，再選中工具欄“直尺工具”中的線段工具，分別在這三條直線上構造到垂足的垂線段，選中這三條垂線（不選剛構造的垂線段），單擊“顯示”→“隱藏垂線”。把垂線段的另一個端點分別命名為D、E、F，再選中D、E、F三點，單擊“度量”→“縱坐標”，就在畫板內顯示出這三點的縱坐標，單擊工具欄“文本工具”，雙擊度量出的D點縱坐標，改名為a，D、E兩點的縱坐標改名為h、k。可以看到，改變一點的位置，相對應的縱坐標值隨之改變，這樣就構造出了字母系數和它的調節元素。然后，就該構造以a、h、k為字母系數的函數圖象了。在x軸上任作一點J，度量其橫坐標xj，單擊“度量”→“計算”調出“新建計算”，單擊度量出的“a”，導入計算框內，進一步計算出a(xj-h)2+k的值，按順序選中xj和a(xj-h)2+k的值，單擊“圖表”→“繪制(x,y)”即在坐標系內繪出一點，再同時選中點J,單擊“作圖”→“軌跡”就繪出了函數圖象，最后選中不想顯示的元素將其隱藏。同樣可以繪出y=ax2+bx+c的圖像。綜合利用“度量”“作圖”“繪制(x,y)”還可以作出拋物線的對稱軸、頂點及圖像與y軸的交點等。

二、利用構造出的函數圖象，研究拋物線的性質

在y=a(x-h)2+k的圖像中，拖動點D改變a的值，可以直觀地看到拋物線的開口大小也隨之改變，a的絕對值越大，拋物線開口越小，反之，則開口越大；當a>0時，開口向上，當a<0時，開口向下；改變h或k的值，圖像左右或上下移動。因此拋物線y=a(x-h)2+k可看做y=ax2經過上下和左右平移后得到的結果，進而理解平移后拋物線的解析式和平移數值的關系。

在y=ax2+bx+c的圖像中，改變a的值，不僅拋物線的開口大小和開口方向變化，而且對稱軸和頂點坐標都有變化，這和y=a(x-h)2+k圖像中a的變化僅改變拋物線的開口大小和開口方向不同；改變b的值，拋物線的開口大小和開口方向不變，與y軸的交點坐標也不變，對稱軸和頂點坐標均有變化；改變c的值拋物線只是上下移動；并且不論改變哪一個字母的值,圖像與y軸交點的縱坐標都和c的值相等。

這樣，通過對字母系數變化和與之關聯的圖像變化的形象認識，學生可以直觀地把握字母系數和圖像變化間的聯系，進而引導學生思考引起這種變化的內在原因，掌握二次函數圖像的變化規律。

總之，《幾何畫板》能準確、動態地表達數學問題，它所提供的多種方法可以幫助教師進行形象直觀的教學，也可以讓學生在教師做好的圖形上進行數學探討，能極大地增強學生的學習興趣。但由于構造圖形需準確把握圖形的性質及圖形中各元素間的內在聯系，故不適合學生進行獨立的構圖探索。

幾何畫板在教學中的應用之四:幾何畫板的應用實例-----橢圓的構造方法

評論：0 ? 瀏覽：269 ? ? RSS：0 文章類型：摘錄 發表于：2011/9/19 20:51:23 幾何畫板應用實例之一:橢圓的構造方法

在教學中本人發現利用幾何畫板可以有很多方法來構造橢圓的圖象，于是把幾種畫法整理如下：

橢圓的第一定義：平面內到兩個定點F1，F2的距離之和為定值2a（2a＞|F1F2|）的點的軌跡。橢圓的構造方法一：

（1）以O為圓心，2a為半徑作圓，在圓上任取一點P，在圓內任取一點A；（2）連接PO、PA，作PA的中垂線與PO交于點M，連接MA；

（3）將點M定義為“追蹤點”，選中點P，讓點P在圓上任意轉動可得到點M的軌跡為以O，A為焦點長軸長為2a的橢圓。

理由：圖中的MP=MA，所以OM+MA=OM+MP=OP=圓的半徑，符合橢圓的第一定義。橢圓的第二定義：設動點M(x, y)與定點F(c, 0)的距離和它到定直線 : x＝ 的距離的比是常數(a>c>0)，則點M的軌跡是橢圓。點F是橢圓的一個焦點，直線 是橢圓中對應于焦點F的準線。常數e＝(0

（1）取點F和直線L，（點F不在L上）。過點F作一條直線，在直線上取一點P；

（2）以F為圓心以FP為半徑作圓，度量FP的長度，取參數e=0.8(可改為其他小于1的正數)，計算FP/e；

（3）過P點作直線L的垂線，交L于M點，以M為圓心，以FP/e為半徑做圓，交垂線于N點，過N作L的平行線，交圓F于A，B兩點；（4）追蹤A，B兩點，讓P在直線PF上任意移動可得橢圓方程。

理由：不管P點在何位置，總可以保證A，B點到F點距離與他們到直線L的距離之比為0.8，所以構造方法二依據的是橢圓的第二定義。橢圓的構造方法三：

1．以坐標原點O為圓心，分別以a、b(a>b>0)為半徑畫兩個圓;2．在大圓上取一點A，連接OA與小圓交于點B；

3．過點A作AN垂直于Ox軸，垂足為N；作BM垂直于AN，垂足為M； 4．分別選中點M和點A，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，畫出橢圓。理由：|ON|＝acosφ, |NM|＝bsinφ, 根據橢圓的參數方程知，點M的軌跡是一個橢圓。

橢圓的構造方法四：

（1）任取一線段a，在Y軸上任取一點B，以B為圓心，以a為半徑作圓交X軸于A點，則AB為長度為a的線段；

（2）在線段AB上任取一點C（不為AB中點），追蹤C點，讓B點在Y軸上任意移動，C點軌跡即為半個橢圓，把線段AB關于Y軸反射一下，則可得另外半個橢圓。

理由：C點的橫坐標為BCcosθ，C點縱坐標為CAsinθ，由于BC≠CA，所以C點軌跡滿足橢圓參數方程。橢圓的構造方法五：（1）定義坐標系；

（2）以原點為圓心，任意長度為半徑作圓；（3）在圓上任取一點A，并度量其橫縱坐標xA，yA。（4）計算yA/3（分母可改為其他不等于1的正數）；

（5）繪制點B（xA，yA/3），并追蹤點B，讓點A在圓上任意移動，可得B點的軌跡為橢圓。

理由：可以由圓的方程中把y換成3y，使得圓上的每一點橫坐標不變，縱坐標變為原來的1/3，把圓“壓扁”從而得到橢圓；從方程的角度看，使得x2和y2的系數不一樣，從而得到橢圓的方程。

幾何畫板在教學中的應用之三:應用幾何畫板的小技巧

評論：0 ? 瀏覽：477 ? RSS：0 ? 文章類型：摘錄 發表于：2011/9/19 20:45:20

應用幾何畫板的小技巧

1、如何用幾何畫板給相交兩圓公共部分涂顏色

①.按照圖片中“第一步”，依次選中各個點或圓，然后點“構造→圓上的弧” ②.按照圖片中“第二步”，依次選中各個點或圓，然后點“構造→圓上的弧” ③.選中構造得到的兩段弧，點“構造→弧內部→弓形內部”

④.選中兩個弓形內部，點“顯示→顏色”，把他們的顏色調到相同的就行了 ⑤.如果這時他們中間有一條裂縫的話，那就連接兩個圓的交點，并把得到的線段的顏色調到與弓形內部顏色相同

⑥.如果這時線的顏色比內部顏色深的話，右鍵內部，點“屬性→透明度→100%” ⑦.OK啦。

2、如何導入外部圖片

制作課件時，往往需要導入《幾何畫板》以外的美麗圖片，來提高課件的質量。下面介紹兩種導入外部圖片的方法。①插入的方法

“編輯”菜單中“插入對象”命令 —>選中“BMP圖象”類型—> 自動啟動《畫圖》程序—>利用《畫圖》程序“編輯”菜單中的“粘貼自”命令，讀入所需圖片文件，最后利用“文件”菜單中的“退出并返回??”命令，回到《幾何畫板》編輯窗口。②粘貼的方法

把所需的圖片復制到Windows的“剪貼板”上，再利用《幾何畫板》中的“粘貼”命令直接導入一幅圖片到課件中。這種方法看來比較簡單，但制作課件中若用到多個圖片時，此方法的優勢就顯現不出來了。

注：若要使導入的圖片參與動畫運動，可以先選中一點，然后利用上述方法導入圖片。這樣導入的圖片就被固定在指定點的位置，該點運行軌跡就是此圖片的運動路徑。

3.如何輸入數學符號或數學公式 ①導入法

象導入外部圖片一樣，將Word或WPS中的數學公式或符號，導入到《幾何畫板》課件中。

②“編輯數學格式文本”法 其實《幾何畫板》中提供了輸入常用數學公式或符號命令，只是初學者不大會用。這里以一個具體的例子來說明這些命令的使用方法。

例如：標識5的算術平方根（根式）

按下[Num Lock]鍵不放開，再雙擊A點的標簽，彈出“編輯數學格式文本”對話框；在“數學格式”欄中輸入{V：5}，確定即可。

注：單獨使用的“文本”工具，創建的“注釋”類型文本，不能進行數學格式編輯。只有對象標簽或度量的文本才可以進行“數學格式編輯”。

4、如何查看別人是如何制作課件的？

看到某些精彩的課件時自然就會想知道別人是如何制作的，可是往往其中的關系錯綜復雜，看得一頭霧水。怎么辦呢？其實很簡單──

（1)幾何畫板打開一個文件時，在“文件打開”對話框右下角有一個“包括工作”選項，把它打上勾。

（2）打開文件后，選擇“顯示”菜單中的“ 顯示所有隱藏”命令，就可以把所有隱藏的對象顯示出來。

（3）連續按“Ctrl+Z”鍵，直到所有的對象都不見了。

（4）連續按“Ctrl+R”鍵，您便可以看別人的課件是如何一步步做的了

5、如何動態彈出一段文字？

有時候，我們希望執行某些操作之后，出現一段說明文字，加以說明。兩種方法可實現：方法一：將所要出現的文字事先用“隱藏/顯示”按鈕作好，不使用之前先隱藏起來，要使用的時候再雙擊顯示按鈕把它顯示出來；方法二：給出三個點A，B，C其中C點位于A、B之間（注意：A、B不要在水平位置），把要顯示的文字事先用WORD等編輯工具編輯好，例如，我們事先在WORD中設計好“幾何畫板：二十一世紀的動態幾何”這幾個字，將它復制，然后選中C點和B點，將它粘貼在這兩點上；設置兩個移動按鈕，C點到A點的移動按鈕和C點到B點的移動按鈕，雙擊C點到B點的移動按鈕，可以使文?quot;隱藏"起來，雙擊C點到A點的移動按鈕，可以使文字出現。（注：文字大小可通過改變A點和B點的位置而調整）

第三篇：幾何畫板在數學教學中的應用

幾何畫板在數學教學中的應用

正安縣楊興中學：秦月

【摘要】在信息技術突飛猛進的今天，傳統的教學方式已不能適應現代教育教學的要求。尤其是在數學教學這樣一個比較抽象的學科教學中顯得尤為突出，那么如何利用現代信息技術為現在的數學教學服務呢！幾何畫板是當今數學教師運用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個方面作介紹幾何畫板在數學教學中的應用：幾何畫板在一次函數教學中的應用、在軸對稱圖形教學中的應用、在勾股定理教學中的應用、在求解實際問題中的簡單應用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】幾何畫板 函數 參數 動點

在傳統的數學教學中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進行教學。直到今天，尤其是在我們落后鄉村學校，由于各種各樣的原因，這種教學方式依然主宰當前的數學課堂，顯然這種方式已經不能適應當前的教育發展大趨勢，如何改變這種現況，那就得借助現代信息技術，找一個適合數學教學的平臺。縱觀現在常用的軟件，幾何畫板具有操作簡單、功能強大的特點，是廣大數學教師進行現代化數學教學理想工具。在現代的數學教學中已發揮著越來越重要的作用。

幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動態地保持給定的幾何關系，便于學生自行動手在變化的圖形中發現其不變的幾何規律，從而打破傳統純理論數學教學的局面，成為提倡數學實驗，培養學生創新能力的新新工具。把它和數學教學進行有機地整合，能為數學課堂教學營造一種動態的有規律的數學教學新環境。

一、在一次函數教學中的應用

在幾何畫板中，可以新建參數（即變量），然后在函數中進行引用并繪制函數圖像，通過改變參數的值來觀察函數圖像的變化，這在傳統教學中無法辦到。

如在講解一次函數y=kx+b的圖像一節中，如何向學生說明函數圖像與參數“K”、“b”的相互關系一直是傳統教學中的重點和難點，學生難以理解，教師也難以用語言文字表達清楚；在作圖時，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫出多個不同的函數圖像，再進行觀察比較。整個過程十分繁瑣，且費時費力。教師和學生的主要精力放在了重復的計算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結論上。整個過程顯得不夠直觀，重點不突出，學生理解起來也很難。然而在幾何畫板中，只需改變參數“K”、“b”的值，函數圖像便可一目了然。如圖：

通過不斷改變參數“k”、“b”的值，從而得到不同的函數圖像，引導學生觀察一次函數圖像變化的規律。

①當k>0時，函數值隨x的增大而增大；②當k<0時，函數值隨x的增大而減小；③當b>0時，函數圖像相對于b=0時向上移動；④當b<0時，函數圖像相對于b=0時向下移動；⑤當|k|越大時，函數圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當|k|越小時，函數圖像變化越慢，圖像越平滑；

經過我們改變一次函數的參數“K”、“b”的值，函數的圖像會隨之發生變化，這樣學生就很容易理解函數圖像變化的規律，從而使學生從更深層次理解一次函數的本質。

二、在軸對稱圖形教學中的應用

幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應出這些特點。

在講解軸對稱圖形的教學中，可充分利用幾何畫板中提供的圖形變換功能進行講解。首先，畫一個任意三角形△ABC，然后在適當的位置畫一條線段MN，并把雙擊它即可將其標識為鏡面，這時就可以作△ABC關于對稱軸MN的軸對稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關于MN軸對稱。任意拖動△ABC的頂點、邊、對稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發生變化，但兩個圖形始終關于對稱軸MN對稱。同時可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對折后完全重合。

三、在勾股定理教學中的應用

幾何畫板能動態地保持平面圖形中給定的幾何關系，利用這一特點便于在變化的圖形中發現恒定不變的幾何規律。如平行、垂直，中點，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學中如果能很好地發揮幾何畫板中的這些特性，就能為數學教學增輝添色。如在勾股定理的教學中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯系。要弄清楚它們之間的關系，借助于幾何畫板，則一目了然。

在幾何畫板里，先畫一個直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發現，AB和AC、BC的長度已經知道，觀察AB2與AC2+BC2的關系：

如果拖動頂點A（從a圖到b圖），我們通過改變直角三角形邊的長度，從中觀察邊的平方的關系，發現這樣一個定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時，傳統的教學方法只能教師在黑板上演算過程，而用幾何畫板更容易發現其中的不變的規律。

首先，在幾何畫板中構造一個正方形，然后將經過一個頂點作直線，再通過另一相鄰的頂點作這條直線的垂線，得到一個交點。用同樣的方法，可得出另外幾個關鍵點，再將這幾條垂線隱藏，連接對應的點，即可得到下面這個圖形。分別度量AB、AF、FB的長度，最后用不同的方法來計算這個正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個直角三角形和中間的那個小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個正方形的面積，注意觀察得到的結果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來觀察這三種計算方法得到的結果是否一致，如下圖：

四、在求解實際問題中的應用

利用幾何畫板不但可以給幾何問題以準確生動的表達，成為教師教學上的得力“助手”，還可為教師和學生提供幾何探索和發現的一個良好環境，動態是幾何畫板最主要的特點，也正是基于這一點，許多用一般方法不易解決的問題，用它解決起來就要容易得多，現在舉例說明。

如圖，已知二次函數y=ax2+bx+3的圖像經過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C。

（1）求頂點M及點C的坐標；

（2）若直線y=kx+d經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點P是這個二次函數的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問都比較容易解決，第（3）問就是關于動點的，比較抽象，然而運用幾何畫板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因為二次函數經過點A、B、N，且三個點的坐標都已知，可解得二次函數的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經知道C、M兩點的坐標，直線y=kx+d又經過C、M兩個點，可得直線的解析式為y=x+3。D點是直線與X軸的交點，可得D點的坐標為（-3，0），又因為A點的坐標為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點，其坐標都已知，且縱坐標都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點的坐標可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個平行四邊形。

（3）這個問題比較抽象，因為點P是動點。我們現在借助幾何畫板對這種情況進行分析。因為A、B兩點是二次函數與X軸的交點，自然關于函數的對稱軸對稱，兩點到對稱軸上任意一點的距離相等。故以對稱軸上的點為圓心作圓，經過其中一個交點，必定經過另外一個點，因此考慮一個點就行了。

先在二次函數的對稱軸上任找一點P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動P點，看看這個圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒有交點；圖b中，P點離X軸較遠，所作圓與直線CD相交，有兩個交點。試想：圖a中的P點向上移動的到達圖b所在的位置過程中，中間肯定有一個點讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應該怎樣求P點的坐標呢！看右圖：

過P點作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實際上PK這時是圓P的半徑。即PK=PA時，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個點的坐標都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因為：AP2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點的坐標為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細心，把P點再上下拖動，會發現在X軸的下方還在一個點能使點圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點在X軸的下方，所以P點的坐標為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點P在對稱軸上有兩個點： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運用幾何畫板給我們在解決動點問題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發現的問題，在幾何畫板上只要輕輕拖動鼠標就很容易發現，從而有效的避免了漏解情況的發生。

幾何畫板在數學教學中應用遠遠不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費時的，但在幾何畫板中可用鼠標一點完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多實踐，不斷與數學教學相結合，相信就能使它在數學教學中發揮的作用。

【參考文獻】

[1] 田延斌.《《幾何畫板》教學實例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫板》在數學教學中的妙用》.

第四篇：幾何畫板在現代教學中的應用

幾何畫板在現代教學中的應用

幾何畫板5.06是幾何畫板的最新版本，備受數學老師青睞。眾多數學老師表示幾何畫板不僅能夠幫助他們制作出生動的幾何課件，更加有助于學生理解教學內容，并在長期的教學中提高學生的數學理解能力。本教程將向大家介紹幾何在現代教學中的應用。

幾何畫板在教學中的應用示例

一、幾何畫板在低年級的應用

低年級的學生很容易被幾何畫板生動的特性所吸引，從而可以非常迅速地掌握這些基礎技巧。幾何畫板可以幫助學生們在案例中快速地學習和培養數形轉換的能力，從而更深刻的了解分數計算、數據統計和代數學。

二、幾何畫板在代數學中的應用

有些數學問題，雖然可以通過代數演算得到答案，但是還是會覺得不夠直觀，給人知其然而不知其所以然的感覺。這時，我們可以借助幾何畫板，畫出數學圖形，從幾何的角度審視原題，幫助學生更直觀地理解原題中的數學本質。

三、幾何畫板在幾何學中的應用

利用幾何畫板可以畫出非常精確的圖形，必要時還可以將圖像“放大”，獲得更精細的圖像，幫助學生發現解答中的疏忽或錯誤，并引導學生進一步思考錯解 的原因。學生還可以通過直接操縱幾何圖形的構造、變換、測量和動畫進行深入的概念理解并提高學習信心，還可以有效地促進學生之間的學習交流及他們的推理和 證明的能力。

四、幾何畫板在高等數學中應用 幾何畫板不僅為數學實驗提供可操作的模型，而且為數學猜想提供驗證的工具。如學生們可以使用幾何畫板繪制以幾何圖形為代表的復雜圖形、為微積分等創 建動態模型。除了強大的函數繪圖功能，了解幾何畫板那高級教程的學生還可以使用自定義工具、基因座、自定義轉換、數字和幾何迭代等功能來構建或編輯數學模 型。

綜上所述，可見在現代教學中幾何畫板的應用還是比較廣泛，是全國初高中人教版教材指定軟件。幾何畫板5.06版本在之前的版本基礎上進行了大量的改進，可以為廣大用戶帶來更加高效便捷的使用體驗。

第五篇：淺談幾何畫板在教學中的應用

淺談《幾何畫板》在數學教學中的應用

常寧市職業中專 譚新芽

對于數學科學來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學生如果根本不具備數學想象力，要把數學學好那也是不可能的。正如前蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”因此，隨著計算機多媒體的出現和飛速發展，在網絡技術廣泛應用于各個領域的同時，也給學校教育帶來了一場深刻的變革──用計算機輔助教學，改善人們的認知環境──越來越受到重視。從國外引進的教育軟件《幾何畫板》以其學習入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內許多數學教師看好，并已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數學教學中有哪些應用呢？作為一名高中數學教師筆者就此談幾點體會：

一、《幾何畫板》在高中代數教學中的應用

函數”是中學數學中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分；同時，函數是以運動變化的觀點對現實世界數量關系的一種刻劃，這又決定了它是對學生進行素質教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數缺形少直觀，形缺數難入微。”函數的兩種表達方式──解析式和圖象──之間常常需要對照（如研究函數的單調性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數函數和對數函數圖象之間的關系等）。為了解決數形結合的問題，在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據函數的解析式快速作出函數的圖象，并且可以在同一個坐標系中作出多個函數的圖象，如在同一個直角坐標系中作出函數y?2x和y??12?的圖象，比較圖象的形狀和位置，歸納指數函數的性質；還可以作出含有若干參數的函數圖象，當參數變化時函數圖象也相應地變化，如在講函數y=Asin(ωx+φ)的圖象時，傳統教學只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數圖象之間的關系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數作圖（如圖1），當拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變三角函數的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學時既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質、定理和解法進行直觀分析──由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2（a、b∈R+）等；再比如，講解數列的極限的概念時，作出數列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學中的應用

立體幾何是在學生已有的平面圖形知識的基礎上討論空間圖形的性質；它所用的研究方法是以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關系來研究圖形的性質。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象的能力及較強的平面與空間圖形的轉化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難。而應用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關系和度量關系惟妙惟肖，使學生x 2 從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當拖動點A時，點A所在的半平面也隨之轉動，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉動起來，使學生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關系由棱錐的性質得出棱臺的性質的同時，讓學生欣賞到數學的美，激發學生學習數學的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應地變動，直觀美麗的畫面在學生學得知識的同時，給人以美的感受，創建一個輕松、樂學的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學中的應用

平面解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據已知條件，選擇適當的坐標系，借助形和數的對應關系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉化為數來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質，把數的研究轉化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的曲線；能對動態的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應的看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手──如圖7，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師用鼠標拖動點B（即改變線

段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學生開始謹慎起來并認真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時）的情形。經過這個過程，學生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進行數學教學，通過具體的感性的信息呈現，能給學生留下更為深刻的印象，使學生不是把數學作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。這樣，既能激發學生的情感、培養學生的興趣，又能大大提高課堂效率。