第一篇：幾何畫板在教學中的應用案例分析

初中數學課堂教學案例分析

碧雞中學

晏仲鶴

幾何畫板是一個通用的數學、物理教學環境，提供豐富而方便的創造功能使用戶可以隨心所欲地編寫出自己需要的教學課件。軟件提供充分的手段幫助用戶實現其教學思想，只需要熟悉軟件的簡單的使用技巧即可自行設計和編寫應用范例，范例所體現的并不是編者的計算機軟件技術水平，而是教學思想和教學水平。可以說幾何畫板是最出色的教學軟件之一。下面是我在教學《圓內接四邊形的性質》時使用幾何畫板的案例：

【教學片段】 1.概念學習

四個頂點都在圓上的的四邊形叫圓內接四邊形。2.探討性質

(1)打開幾何畫板，任意畫⊙O和⊙O的內接四邊形ABCD。

(2)度量可測量的所有值(圓的半徑和四邊形的邊，內角，對角線，周長，面積，這些值的度量幾何畫板軟件可以自動完成)，并觀察這些值之間的關系(大小、和差、倍分)。

(3)改變圓的半徑大小，這些量有無變化?由(2)觀察得出的某些關系有無變化?(4)移動四邊形的頂點，這些量有無變化?由(2)觀察得出的某些關系有無變化? ⑹用文字語言表述剛才實驗得出來的結論。4.性質的證明及鞏固練習

猜想結論：圓內接四邊形的對角互補。證明猜想： ……

【案例分析】

這一教學片段的某些細節還需要進一步改進完善，但如實反映了目前數學課堂教學時使用多媒體的一些情況，本課例在引導學生得出圓內接四邊形的性質時，通過使用幾何畫板，從而實現了改變圓的半徑，移動四邊形的頂點等，從而使初中平面幾何教學發生了重大的變化，那就是讓圖形出來說話，充分調動學生的直覺思維。這樣一來不僅極大地激發了學生學習的興趣，而且比過去的教學更能夠使學生深刻地理解幾何。計算機所特有的，對數學活動過程的展示，對數學細節問題的處理可以使學生體驗到用運動的觀點來研究圖形的思想。

如教材中有這樣一個平面幾何題“證明:順次連接四邊形四條邊的中點，所得的四邊形是平行四邊形。”對于這個問題，也可以用幾何畫板進行動態演示，用計算機來演示一個形狀不斷變化的四邊形，讓學生觀察它們四條邊中點的連線組成一個什么樣的特殊四邊形。在學生完成猜想和證明過程后，我們進而可提出如下問題:”要使順次連接四條邊的中點所得的四邊形是菱形，那么對原來的四邊形應有哪些新的要求?如果要使所得的四邊形是正方形，還需要有什么新的要求?”通過這些改造，常規題便具有了“開放題”的形式，例題的功能也可更充分地發揮。而通過幾何畫板的動態演示，也讓這個抽象的幾何問題變得更直觀，更易于理解和記憶。

第二篇：幾何畫板在數學教學中的應用

幾何畫板在數學教學中的應用

正安縣楊興中學：秦月

【摘要】在信息技術突飛猛進的今天，傳統的教學方式已不能適應現代教育教學的要求。尤其是在數學教學這樣一個比較抽象的學科教學中顯得尤為突出，那么如何利用現代信息技術為現在的數學教學服務呢！幾何畫板是當今數學教師運用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個方面作介紹幾何畫板在數學教學中的應用：幾何畫板在一次函數教學中的應用、在軸對稱圖形教學中的應用、在勾股定理教學中的應用、在求解實際問題中的簡單應用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】幾何畫板 函數 參數 動點

在傳統的數學教學中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進行教學。直到今天，尤其是在我們落后鄉村學校，由于各種各樣的原因，這種教學方式依然主宰當前的數學課堂，顯然這種方式已經不能適應當前的教育發展大趨勢，如何改變這種現況，那就得借助現代信息技術，找一個適合數學教學的平臺。縱觀現在常用的軟件，幾何畫板具有操作簡單、功能強大的特點，是廣大數學教師進行現代化數學教學理想工具。在現代的數學教學中已發揮著越來越重要的作用。

幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動態地保持給定的幾何關系，便于學生自行動手在變化的圖形中發現其不變的幾何規律，從而打破傳統純理論數學教學的局面，成為提倡數學實驗，培養學生創新能力的新新工具。把它和數學教學進行有機地整合，能為數學課堂教學營造一種動態的有規律的數學教學新環境。

一、在一次函數教學中的應用

在幾何畫板中，可以新建參數（即變量），然后在函數中進行引用并繪制函數圖像，通過改變參數的值來觀察函數圖像的變化，這在傳統教學中無法辦到。

如在講解一次函數y=kx+b的圖像一節中，如何向學生說明函數圖像與參數“K”、“b”的相互關系一直是傳統教學中的重點和難點，學生難以理解，教師也難以用語言文字表達清楚；在作圖時，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫出多個不同的函數圖像，再進行觀察比較。整個過程十分繁瑣，且費時費力。教師和學生的主要精力放在了重復的計算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結論上。整個過程顯得不夠直觀，重點不突出，學生理解起來也很難。然而在幾何畫板中，只需改變參數“K”、“b”的值，函數圖像便可一目了然。如圖：

通過不斷改變參數“k”、“b”的值，從而得到不同的函數圖像，引導學生觀察一次函數圖像變化的規律。

①當k>0時，函數值隨x的增大而增大；②當k<0時，函數值隨x的增大而減小；③當b>0時，函數圖像相對于b=0時向上移動；④當b<0時，函數圖像相對于b=0時向下移動；⑤當|k|越大時，函數圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當|k|越小時，函數圖像變化越慢，圖像越平滑；

經過我們改變一次函數的參數“K”、“b”的值，函數的圖像會隨之發生變化，這樣學生就很容易理解函數圖像變化的規律，從而使學生從更深層次理解一次函數的本質。

二、在軸對稱圖形教學中的應用

幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應出這些特點。

在講解軸對稱圖形的教學中，可充分利用幾何畫板中提供的圖形變換功能進行講解。首先，畫一個任意三角形△ABC，然后在適當的位置畫一條線段MN，并把雙擊它即可將其標識為鏡面，這時就可以作△ABC關于對稱軸MN的軸對稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關于MN軸對稱。任意拖動△ABC的頂點、邊、對稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發生變化，但兩個圖形始終關于對稱軸MN對稱。同時可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對折后完全重合。

三、在勾股定理教學中的應用

幾何畫板能動態地保持平面圖形中給定的幾何關系，利用這一特點便于在變化的圖形中發現恒定不變的幾何規律。如平行、垂直，中點，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學中如果能很好地發揮幾何畫板中的這些特性，就能為數學教學增輝添色。如在勾股定理的教學中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯系。要弄清楚它們之間的關系，借助于幾何畫板，則一目了然。

在幾何畫板里，先畫一個直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發現，AB和AC、BC的長度已經知道，觀察AB2與AC2+BC2的關系：

如果拖動頂點A（從a圖到b圖），我們通過改變直角三角形邊的長度，從中觀察邊的平方的關系，發現這樣一個定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時，傳統的教學方法只能教師在黑板上演算過程，而用幾何畫板更容易發現其中的不變的規律。

首先，在幾何畫板中構造一個正方形，然后將經過一個頂點作直線，再通過另一相鄰的頂點作這條直線的垂線，得到一個交點。用同樣的方法，可得出另外幾個關鍵點，再將這幾條垂線隱藏，連接對應的點，即可得到下面這個圖形。分別度量AB、AF、FB的長度，最后用不同的方法來計算這個正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個直角三角形和中間的那個小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個正方形的面積，注意觀察得到的結果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來觀察這三種計算方法得到的結果是否一致，如下圖：

四、在求解實際問題中的應用

利用幾何畫板不但可以給幾何問題以準確生動的表達，成為教師教學上的得力“助手”，還可為教師和學生提供幾何探索和發現的一個良好環境，動態是幾何畫板最主要的特點，也正是基于這一點，許多用一般方法不易解決的問題，用它解決起來就要容易得多，現在舉例說明。

如圖，已知二次函數y=ax2+bx+3的圖像經過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C。

（1）求頂點M及點C的坐標；

（2）若直線y=kx+d經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點P是這個二次函數的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問都比較容易解決，第（3）問就是關于動點的，比較抽象，然而運用幾何畫板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因為二次函數經過點A、B、N，且三個點的坐標都已知，可解得二次函數的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經知道C、M兩點的坐標，直線y=kx+d又經過C、M兩個點，可得直線的解析式為y=x+3。D點是直線與X軸的交點，可得D點的坐標為（-3，0），又因為A點的坐標為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點，其坐標都已知，且縱坐標都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點的坐標可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個平行四邊形。

（3）這個問題比較抽象，因為點P是動點。我們現在借助幾何畫板對這種情況進行分析。因為A、B兩點是二次函數與X軸的交點，自然關于函數的對稱軸對稱，兩點到對稱軸上任意一點的距離相等。故以對稱軸上的點為圓心作圓，經過其中一個交點，必定經過另外一個點，因此考慮一個點就行了。

先在二次函數的對稱軸上任找一點P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動P點，看看這個圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒有交點；圖b中，P點離X軸較遠，所作圓與直線CD相交，有兩個交點。試想：圖a中的P點向上移動的到達圖b所在的位置過程中，中間肯定有一個點讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應該怎樣求P點的坐標呢！看右圖：

過P點作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實際上PK這時是圓P的半徑。即PK=PA時，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個點的坐標都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因為：AP2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點的坐標為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細心，把P點再上下拖動，會發現在X軸的下方還在一個點能使點圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點在X軸的下方，所以P點的坐標為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點P在對稱軸上有兩個點： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運用幾何畫板給我們在解決動點問題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發現的問題，在幾何畫板上只要輕輕拖動鼠標就很容易發現，從而有效的避免了漏解情況的發生。

幾何畫板在數學教學中應用遠遠不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費時的，但在幾何畫板中可用鼠標一點完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多實踐，不斷與數學教學相結合，相信就能使它在數學教學中發揮的作用。

【參考文獻】

[1] 田延斌.《《幾何畫板》教學實例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫板》在數學教學中的妙用》.

第三篇：幾何畫板在現代教學中的應用

幾何畫板在現代教學中的應用

幾何畫板5.06是幾何畫板的最新版本，備受數學老師青睞。眾多數學老師表示幾何畫板不僅能夠幫助他們制作出生動的幾何課件，更加有助于學生理解教學內容，并在長期的教學中提高學生的數學理解能力。本教程將向大家介紹幾何在現代教學中的應用。

幾何畫板在教學中的應用示例

一、幾何畫板在低年級的應用

低年級的學生很容易被幾何畫板生動的特性所吸引，從而可以非常迅速地掌握這些基礎技巧。幾何畫板可以幫助學生們在案例中快速地學習和培養數形轉換的能力，從而更深刻的了解分數計算、數據統計和代數學。

二、幾何畫板在代數學中的應用

有些數學問題，雖然可以通過代數演算得到答案，但是還是會覺得不夠直觀，給人知其然而不知其所以然的感覺。這時，我們可以借助幾何畫板，畫出數學圖形，從幾何的角度審視原題，幫助學生更直觀地理解原題中的數學本質。

三、幾何畫板在幾何學中的應用

利用幾何畫板可以畫出非常精確的圖形，必要時還可以將圖像“放大”，獲得更精細的圖像，幫助學生發現解答中的疏忽或錯誤，并引導學生進一步思考錯解 的原因。學生還可以通過直接操縱幾何圖形的構造、變換、測量和動畫進行深入的概念理解并提高學習信心，還可以有效地促進學生之間的學習交流及他們的推理和 證明的能力。

四、幾何畫板在高等數學中應用 幾何畫板不僅為數學實驗提供可操作的模型，而且為數學猜想提供驗證的工具。如學生們可以使用幾何畫板繪制以幾何圖形為代表的復雜圖形、為微積分等創 建動態模型。除了強大的函數繪圖功能，了解幾何畫板那高級教程的學生還可以使用自定義工具、基因座、自定義轉換、數字和幾何迭代等功能來構建或編輯數學模 型。

綜上所述，可見在現代教學中幾何畫板的應用還是比較廣泛，是全國初高中人教版教材指定軟件。幾何畫板5.06版本在之前的版本基礎上進行了大量的改進，可以為廣大用戶帶來更加高效便捷的使用體驗。

第四篇：淺談幾何畫板在教學中的應用

淺談《幾何畫板》在數學教學中的應用

常寧市職業中專 譚新芽

對于數學科學來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學生如果根本不具備數學想象力，要把數學學好那也是不可能的。正如前蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”因此，隨著計算機多媒體的出現和飛速發展，在網絡技術廣泛應用于各個領域的同時，也給學校教育帶來了一場深刻的變革──用計算機輔助教學，改善人們的認知環境──越來越受到重視。從國外引進的教育軟件《幾何畫板》以其學習入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內許多數學教師看好，并已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數學教學中有哪些應用呢？作為一名高中數學教師筆者就此談幾點體會：

一、《幾何畫板》在高中代數教學中的應用

函數”是中學數學中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分；同時，函數是以運動變化的觀點對現實世界數量關系的一種刻劃，這又決定了它是對學生進行素質教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數缺形少直觀，形缺數難入微。”函數的兩種表達方式──解析式和圖象──之間常常需要對照（如研究函數的單調性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數函數和對數函數圖象之間的關系等）。為了解決數形結合的問題，在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據函數的解析式快速作出函數的圖象，并且可以在同一個坐標系中作出多個函數的圖象，如在同一個直角坐標系中作出函數y?2x和y??12?的圖象，比較圖象的形狀和位置，歸納指數函數的性質；還可以作出含有若干參數的函數圖象，當參數變化時函數圖象也相應地變化，如在講函數y=Asin(ωx+φ)的圖象時，傳統教學只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數圖象之間的關系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數作圖（如圖1），當拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變三角函數的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學時既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質、定理和解法進行直觀分析──由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2（a、b∈R+）等；再比如，講解數列的極限的概念時，作出數列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學中的應用

立體幾何是在學生已有的平面圖形知識的基礎上討論空間圖形的性質；它所用的研究方法是以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關系來研究圖形的性質。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象的能力及較強的平面與空間圖形的轉化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難。而應用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關系和度量關系惟妙惟肖，使學生x 2 從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當拖動點A時，點A所在的半平面也隨之轉動，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉動起來，使學生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關系由棱錐的性質得出棱臺的性質的同時，讓學生欣賞到數學的美，激發學生學習數學的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應地變動，直觀美麗的畫面在學生學得知識的同時，給人以美的感受，創建一個輕松、樂學的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學中的應用

平面解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據已知條件，選擇適當的坐標系，借助形和數的對應關系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉化為數來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質，把數的研究轉化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的曲線；能對動態的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應的看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手──如圖7，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師用鼠標拖動點B（即改變線

段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學生開始謹慎起來并認真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時）的情形。經過這個過程，學生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進行數學教學，通過具體的感性的信息呈現，能給學生留下更為深刻的印象，使學生不是把數學作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。這樣，既能激發學生的情感、培養學生的興趣，又能大大提高課堂效率。

第五篇：幾何畫板在教學中的應用

幾何畫板在教學中的應用

新都區龍安中學

駱春梅

幾年來我在數學學科的”整合”實踐中，應用”幾何畫板”的輔助教學實驗獲得了一些經驗，尤其在培養學生”創新思想”和”實踐能力”方面，取得了一些成效。下面我將作一些介紹。

1.在動態中表達幾何關系的圖版

“幾何畫板”是美國軟件“The Geometer’s Sketchpad”的漢化版，打開“幾何畫板”后我們看到的界面，就像一塊黑板。圖版的左側是一列工具圖標：移動、畫點、畫圓、畫線、和文字工具。可以用這些工具按照尺規作圖的法則畫出各種幾何圖形。

畫出的圖形與黑板上的圖形不同是動態的,在動態中保持設定的幾何關系不變。在畫板上任意取A、B、C三點，連接成三角形同時作出AB邊上的中點D。此時利用“移動”工具拉動A點就看到了一個變化著的三角形，在變化中D點保持為AB線段的中點。

同樣可以拉動B、C兩點或是移動三角形的邊（亦能運用一些技巧讓某幾個元素同時移動）。如果作出三角形ABC三條邊上的中線，就可以在這種動態變化中清楚觀察到“任意三角形三中線交于一點”的現象。過去討論這一條幾何定理是必須依靠邏輯證明的，現在利用“幾何畫板”可以根據觀察來確認這個事實。

還可以利用系統提供的其它功能(例如度量的功能,動態地觀察有關的數據)，來發現圖形中存在的規律和各種關系。就是可以用一種區別于傳統手段的，全新的、更加直觀的過程來學習幾何。

2.探索性學習的直觀環境

過去我們討論同一個圓內，對應一段弧的圓周角與圓心角的關系，必需要靠證明。現在可以：在圓O上任意作出C、D、E三點，得到圓周角CDE和圓心角COD；度量出它們的角度，就能看出是圓周角為圓心角的一半。然后在圓上移動E點，度量的值將隨著E點的移動而變化，總能看到圓周角是圓心角的一半的關系。我們還可以移動D點，將看到所有的度量值不變化。其實這也是一個定理：“同弧上的圓周角相等”。當D點移動到與C、O在同一直線上時，就是證明圓周角有關定理的特殊位置。這說明利用“幾何畫板”對圖形觀察的過程中，也是可能啟發我們得到進行邏輯證明的思路。圓O的大小和位置也是能夠變化的，從而保證了動態觀察和分析的普遍性。

上述過程可以是在教師的指導下，由學生獨立或分組進行觀察和分析，不必用教師講學生聽的傳統教學方式進行。這就實現了又充分發揮教師的主導作用、又使學生成為學習的主體，是一個探索性學習的直觀環境，是一種新型的教學模式。

其實“幾何畫板”提供的動態幾何環境，不僅一般地幫助學生直觀地去理解教師指定的圖形或問題。而是能為學生提供了一個培養創造能力的實踐園地。甚至可以讓他們對一些“異想天開”設想的幾何圖形系統，實施動態的觀察和分析研究。在圓O上任取一點E和圓外一點F作一線段，過線段中點G作垂線，若E點在圓上運動則垂線將跟隨著運動，我們想知道垂線的運動規律。在這個設定的條件下，是可以討論（推導）出某些結果的，但是對一般的學生（甚至對教師）來講實在是要求太高了，在傳統的學習環境下無論是觀察和推導都很困難。

現在就不一樣了，可以在“幾何畫板”上讓E點在圓上移動，同時跟蹤（使垂線現出軌跡）觀察垂線的運動看看出現什么，然后再作進一步的分析和思考。分別讓F點在圓外較遠處、較近處、F點在圓內，三種不同位置在圖上留下的垂線軌跡。看到這些直觀圖不難產生一些猜想：直線軌跡的包絡線是二次曲線族（橢圓、雙曲線、拋物線）？同學和教師可能有能力進一步的分析和討論，發現這組圖形中許多有趣的現象和規律。

學生還可以在平時解幾何問題時，根據給定的已知條件，用“幾何畫板”作出草圖然后去求解。由于在“幾何畫板”上作出的草圖不但準確而且是“動態的”，學生可能在它的動態變化中的某些特殊位置，找到求解的思路。

3.培養創造性能力的實踐園地

在使用“幾何畫板”給予學生探索性學習的環境以后，我們看到了培養他們創新精神和實踐能力的奇特效果。其實“幾何畫板”提供的動態幾何環境，不僅一般地幫助學生直觀地去理解教師指定的圖形或問題。而是能為學生提供了一個培養創造能力的實踐園地。甚至可以讓他們對一些“異想天開”設想的幾何圖形系統，實施動態的觀察和分析研究。

初中幾何課本中的一個習題，從圓O任意一條弦的中點E作兩根直線與圓交得四個點，連接兩條線段后得圖形像一只蝴蝶，兩線段與弦分別交于L、M兩點則有：LE=EM，即蝴蝶兩翼截得的線段相等，稱為“蝴蝶定理”。

有這樣一位同學，他不滿足于一般的證明完成這個練習。首先他使用“幾何畫板”的”度量”功能，通過移動E點觀察兩線段長度確實相等，“看到了”定理是成立的。他加了一個同心圓，兩圓與直線交得八個點，連接得一擴展的蝴蝶，其兩翼與弦交得四點。他猜想左側線段SE、TE與右側線段EU、EV也應該有某種等式關系。他猜想可能有SE + TE = EU + EV 或SE * TE = EU * EV 這樣的猜想并不稀奇，但在傳統的學習環境下這些猜想很難證實或否定，最后只能不了了之掩滅了創造的火花。現在他利用“幾何畫板”度量了這些線段的長度，并進行了計算，計算的結果否定了他的兩個猜想。這位同學沒有停止探求，在他鍥而不舍的努力下終于找到了它們之間的等式關系。利用“幾何畫板”的度量和計算，找到了這個有趣的關系式并完成了證明，他命名其為“廣義蝴蝶定理”。此后他還對這個圖形進行了更多的擴展和深入的分析研究，這是一個多么令人興奮的成果啊！

中學生在學習的過程中的發現是否有價值并不重要,運用”智能教學工具平臺培養了他的創新精神和創造性思維的能力，是很有意義的。其實，在目前已經知道的學生或學生與教師共同運用“幾何畫板”安排探索性教、學的過程中，一些創新的命題和成果，也有很多是有價值的。

我們正繼續進行運用”幾何畫板”等”平臺”,推廣計算機輔助中學數學教學的實驗，希望能夠有所突破，找到有效的實現計算機輔助數學教學的途徑和模式。并總結在數學教學中培養學生創新精神和實踐能力的方法和經驗。