第一篇：幾何畫板在教學中的應用

幾何畫板在教學中的應用

新都區龍安中學

駱春梅

幾年來我在數學學科的”整合”實踐中，應用”幾何畫板”的輔助教學實驗獲得了一些經驗，尤其在培養學生”創新思想”和”實踐能力”方面，取得了一些成效。下面我將作一些介紹。

1.在動態中表達幾何關系的圖版

“幾何畫板”是美國軟件“The Geometer’s Sketchpad”的漢化版，打開“幾何畫板”后我們看到的界面，就像一塊黑板。圖版的左側是一列工具圖標：移動、畫點、畫圓、畫線、和文字工具?？梢杂眠@些工具按照尺規作圖的法則畫出各種幾何圖形。

畫出的圖形與黑板上的圖形不同是動態的,在動態中保持設定的幾何關系不變。在畫板上任意取A、B、C三點，連接成三角形同時作出AB邊上的中點D。此時利用“移動”工具拉動A點就看到了一個變化著的三角形，在變化中D點保持為AB線段的中點。

同樣可以拉動B、C兩點或是移動三角形的邊（亦能運用一些技巧讓某幾個元素同時移動）。如果作出三角形ABC三條邊上的中線，就可以在這種動態變化中清楚觀察到“任意三角形三中線交于一點”的現象。過去討論這一條幾何定理是必須依靠邏輯證明的，現在利用“幾何畫板”可以根據觀察來確認這個事實。

還可以利用系統提供的其它功能(例如度量的功能,動態地觀察有關的數據)，來發現圖形中存在的規律和各種關系。就是可以用一種區別于傳統手段的，全新的、更加直觀的過程來學習幾何。

2.探索性學習的直觀環境

過去我們討論同一個圓內，對應一段弧的圓周角與圓心角的關系，必需要靠證明。現在可以：在圓O上任意作出C、D、E三點，得到圓周角CDE和圓心角COD；度量出它們的角度，就能看出是圓周角為圓心角的一半。然后在圓上移動E點，度量的值將隨著E點的移動而變化，總能看到圓周角是圓心角的一半的關系。我們還可以移動D點，將看到所有的度量值不變化。其實這也是一個定理：“同弧上的圓周角相等”。當D點移動到與C、O在同一直線上時，就是證明圓周角有關定理的特殊位置。這說明利用“幾何畫板”對圖形觀察的過程中，也是可能啟發我們得到進行邏輯證明的思路。圓O的大小和位置也是能夠變化的，從而保證了動態觀察和分析的普遍性。

上述過程可以是在教師的指導下，由學生獨立或分組進行觀察和分析，不必用教師講學生聽的傳統教學方式進行。這就實現了又充分發揮教師的主導作用、又使學生成為學習的主體，是一個探索性學習的直觀環境，是一種新型的教學模式。

其實“幾何畫板”提供的動態幾何環境，不僅一般地幫助學生直觀地去理解教師指定的圖形或問題。而是能為學生提供了一個培養創造能力的實踐園地。甚至可以讓他們對一些“異想天開”設想的幾何圖形系統，實施動態的觀察和分析研究。在圓O上任取一點E和圓外一點F作一線段，過線段中點G作垂線，若E點在圓上運動則垂線將跟隨著運動，我們想知道垂線的運動規律。在這個設定的條件下，是可以討論（推導）出某些結果的，但是對一般的學生（甚至對教師）來講實在是要求太高了，在傳統的學習環境下無論是觀察和推導都很困難。

現在就不一樣了，可以在“幾何畫板”上讓E點在圓上移動，同時跟蹤（使垂線現出軌跡）觀察垂線的運動看看出現什么，然后再作進一步的分析和思考。分別讓F點在圓外較遠處、較近處、F點在圓內，三種不同位置在圖上留下的垂線軌跡。看到這些直觀圖不難產生一些猜想：直線軌跡的包絡線是二次曲線族（橢圓、雙曲線、拋物線）？同學和教師可能有能力進一步的分析和討論，發現這組圖形中許多有趣的現象和規律。

學生還可以在平時解幾何問題時，根據給定的已知條件，用“幾何畫板”作出草圖然后去求解。由于在“幾何畫板”上作出的草圖不但準確而且是“動態的”，學生可能在它的動態變化中的某些特殊位置，找到求解的思路。

3.培養創造性能力的實踐園地

在使用“幾何畫板”給予學生探索性學習的環境以后，我們看到了培養他們創新精神和實踐能力的奇特效果。其實“幾何畫板”提供的動態幾何環境，不僅一般地幫助學生直觀地去理解教師指定的圖形或問題。而是能為學生提供了一個培養創造能力的實踐園地。甚至可以讓他們對一些“異想天開”設想的幾何圖形系統，實施動態的觀察和分析研究。

初中幾何課本中的一個習題，從圓O任意一條弦的中點E作兩根直線與圓交得四個點，連接兩條線段后得圖形像一只蝴蝶，兩線段與弦分別交于L、M兩點則有：LE=EM，即蝴蝶兩翼截得的線段相等，稱為“蝴蝶定理”。

有這樣一位同學，他不滿足于一般的證明完成這個練習。首先他使用“幾何畫板”的”度量”功能，通過移動E點觀察兩線段長度確實相等，“看到了”定理是成立的。他加了一個同心圓，兩圓與直線交得八個點，連接得一擴展的蝴蝶，其兩翼與弦交得四點。他猜想左側線段SE、TE與右側線段EU、EV也應該有某種等式關系。他猜想可能有SE + TE = EU + EV 或SE * TE = EU * EV 這樣的猜想并不稀奇，但在傳統的學習環境下這些猜想很難證實或否定，最后只能不了了之掩滅了創造的火花?，F在他利用“幾何畫板”度量了這些線段的長度，并進行了計算，計算的結果否定了他的兩個猜想。這位同學沒有停止探求，在他鍥而不舍的努力下終于找到了它們之間的等式關系。利用“幾何畫板”的度量和計算，找到了這個有趣的關系式并完成了證明，他命名其為“廣義蝴蝶定理”。此后他還對這個圖形進行了更多的擴展和深入的分析研究，這是一個多么令人興奮的成果啊！

中學生在學習的過程中的發現是否有價值并不重要,運用”智能教學工具平臺培養了他的創新精神和創造性思維的能力，是很有意義的。其實，在目前已經知道的學生或學生與教師共同運用“幾何畫板”安排探索性教、學的過程中，一些創新的命題和成果，也有很多是有價值的。

我們正繼續進行運用”幾何畫板”等”平臺”,推廣計算機輔助中學數學教學的實驗，希望能夠有所突破，找到有效的實現計算機輔助數學教學的途徑和模式。并總結在數學教學中培養學生創新精神和實踐能力的方法和經驗。

第二篇：淺談幾何畫板在教學中的應用

淺談《幾何畫板》在數學教學中的應用

常寧市職業中專 譚新芽

對于數學科學來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學生如果根本不具備數學想象力，要把數學學好那也是不可能的。正如前蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”因此，隨著計算機多媒體的出現和飛速發展，在網絡技術廣泛應用于各個領域的同時，也給學校教育帶來了一場深刻的變革──用計算機輔助教學，改善人們的認知環境──越來越受到重視。從國外引進的教育軟件《幾何畫板》以其學習入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內許多數學教師看好，并已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數學教學中有哪些應用呢？作為一名高中數學教師筆者就此談幾點體會：

一、《幾何畫板》在高中代數教學中的應用

函數”是中學數學中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分；同時，函數是以運動變化的觀點對現實世界數量關系的一種刻劃，這又決定了它是對學生進行素質教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數缺形少直觀，形缺數難入微。”函數的兩種表達方式──解析式和圖象──之間常常需要對照（如研究函數的單調性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數函數和對數函數圖象之間的關系等）。為了解決數形結合的問題，在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據函數的解析式快速作出函數的圖象，并且可以在同一個坐標系中作出多個函數的圖象，如在同一個直角坐標系中作出函數y?2x和y??12?的圖象，比較圖象的形狀和位置，歸納指數函數的性質；還可以作出含有若干參數的函數圖象，當參數變化時函數圖象也相應地變化，如在講函數y=Asin(ωx+φ)的圖象時，傳統教學只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數圖象之間的關系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數作圖（如圖1），當拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變三角函數的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學時既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質、定理和解法進行直觀分析──由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2（a、b∈R+）等；再比如，講解數列的極限的概念時，作出數列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學中的應用

立體幾何是在學生已有的平面圖形知識的基礎上討論空間圖形的性質；它所用的研究方法是以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關系來研究圖形的性質。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象的能力及較強的平面與空間圖形的轉化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難。而應用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關系和度量關系惟妙惟肖，使學生x 2 從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當拖動點A時，點A所在的半平面也隨之轉動，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉動起來，使學生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關系由棱錐的性質得出棱臺的性質的同時，讓學生欣賞到數學的美，激發學生學習數學的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應地變動，直觀美麗的畫面在學生學得知識的同時，給人以美的感受，創建一個輕松、樂學的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學中的應用

平面解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據已知條件，選擇適當的坐標系，借助形和數的對應關系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉化為數來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質，把數的研究轉化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的曲線；能對動態的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應的看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手──如圖7，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師用鼠標拖動點B（即改變線

段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學生開始謹慎起來并認真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時）的情形。經過這個過程，學生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進行數學教學，通過具體的感性的信息呈現，能給學生留下更為深刻的印象，使學生不是把數學作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。這樣，既能激發學生的情感、培養學生的興趣，又能大大提高課堂效率。

第三篇：幾何畫板在初中幾何教學中的幾點應用

淺談幾何畫板在初中數學教學中的幾點應用

泰興市南沙初中 劉巖碧

摘 要：幾何畫板是現代信息技術與課程整合的一項杰出創作．應用幾何畫板可以提高幾何教學的直觀性和準確性，彌補了傳統教學方式在直觀感、立體感和動態感等方面的不足，讓學生更深刻體會到幾何“動”的一面．從而達到改進部分章節的教學方法和教學手段的目的，更好地提高課堂效率的作用．

關鍵字：幾何畫板；初中幾何；特色運用

新課改下的初中幾何的教學正在發生革命性的變化．過去的幾何教學一直過分強調演繹推理，卻忽視了幾何的“圖形”特征．新課改的最大亮點，便是恢復了幾何的“圖形”特征，削弱證明在初中幾何中那種“神圣不可動搖”的地位，使初中幾何重新煥發生機．借用學生的話說是：幾何“活”了，幾何也可以“動”了．課程的改革勢必引起教學方法的改革．可不是嗎？現在的初中幾何的講臺再也不是“粉筆加尺規”就可以上的了，教學理念的變化加上現代教育技術的普遍應用已經給教學手段，特別是幾何教學也帶來了新的變化和改進．

“信息技術與課程的整合”是我國面向21世紀基礎教育教學改革的新視點．借助多媒體的動畫效果，更有利于向學生展示幾何圖形的“動”的一面．計算機輔助教學進人課堂，可使抽象的概念具體化、形象化，尤其是計算機能進行動態的演示，彌補了傳統教學方式在直觀感、立體感和動態感等方面的不足，利用這個特點可處理其他教學手段難以處理的問題，并能引起學生的興趣，增強他們的直觀印象，為教師化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率和教學效果提供了一種現代化的教學手段．幾何畫板也正是在這樣的背景下被研發出來的．現在我們很欣喜地看到這項工具正在給我們的數學教學帶來更多的革命性的變化．

下面就本人所從事的初中數學的教學，談談幾何畫板在對教材中某些知識點處理上的獨到之處．

[案例一]：

《等腰三角形》是初中幾何的一個重點內容，這部分有很多定理．教材在處理方法上引入了較多的動手操作和直觀感知，通過折紙、觀察、歸納等方法很直觀地得出等腰三角形的有關性質和識別．但是由于學生在制作等腰三角形的模型時，存在一定的誤差，導致結論不是很準確．而且學生所制作的模型帶有一定的局限性，無法更好地解釋這種結論的一般性．應用幾何畫板就可以模擬這些折疊、翻轉的動畫效果，而且可以達到很準確的效果．然后還可以通過拖動等腰三角形的頂點任意改變它的形狀和大小，直觀地說明結論的正確性，從而也便于論證結論的一般性．

具體過程如下：

（1）等腰△ABC紙片中，AB=AC，（圖1-1）將AB與AC重合在一起折疊，（圖1-2）觀察→兩部分會完全重合→等腰三角形是軸對稱圖形，折痕AD是對稱軸，B與C重合，BD與CD重合→∠B=∠C，即等邊對等角．（圖1-3）通過引導學生對折痕AD的分析，也就能很容易得出“三線合一”的性質．用這種直接的方式得出結論，就可以避免煩瑣的推理過程，而且也讓學生更容易記住結論．

（2）在畫△ABC，使∠B=∠C，D為BC中點，連結AD，（圖1-4）沿AD為折痕對折，觀察→兩部分會完全重合→AB與AC會完全重合，△ABC是等腰三角形，即等角對等邊．（圖1-5）

（3）拖動等腰△ABC的頂點A，改變三角形的形狀，得到不同形狀的符合條件的三角形，然后重復上述的步驟（1）和步驟（2），也得到同樣的結論．讓學生掌握以上結論的一般性，（圖1-6，圖1-7）．

[案例二]：

講三角形內角和定理，以前都是用剪紙、拼接和度量的方法讓學生直觀感受，但由于實際操作起來都有誤差，很難達到理想的效果．現在利用“幾何畫板”隨意畫一個三角形（圖2-1），度量出它的三個內角并求和（圖2-2——圖2-5），然后拖動三角形的頂點任意改變三角形的形狀和大?。▓D2-6的鈍角三角形和圖2-7直角三角形），發現：無論怎么變，三個內角的和總是180度．這無疑大大地激起學生進一步探究“為什么”的欲望．

[案例三]：

在學習三角形的三條角平分線（三條中線、三條高或高的延長線、三邊的垂直平分線）相交于一點時，傳統教學方式都是讓學生作圖、觀察、得出結論，但每個學生在作圖中總會出現種種誤差，導致三條線沒有相交于一點，即使交于一點了，也會心存疑惑：是否是個別現象？使得學生很難領會數學內容的本質．但利用信息技術就不同了，我們可以在幾何畫板里只要畫出一個三角形（圖3-1），用菜單命令畫出相應的三條角平分線（圖3-2），就能觀察到三線交于一點的事實（圖3-3），然后任意拖動三角形的頂點，改變三角形的形狀和大小，發現三線交于一點的事實總是不會改變的（圖3-4）．特別是像高這樣有特征情況的線，還可以通過拖動得出交點的三個不同位置．（圖3-5，圖3-6，圖3-7）

[案例四]：

在學習《探索勾股定理》時，利用“幾何畫板”作一個動態變化的直角三角形，通過滾動的數值度量各邊長度的平方值，（圖4-1讓點A沿AC方向運動），并通過觀察，引導學生發現任何一個直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，（圖4-2，圖4-3，圖4-4）從而加深了對勾股定理的認識、理解和應用．

學無定法，教同樣也無定法．我們應該在平時的教學中不斷地鉆研教材，力求以最簡潔，最高效的方法進行有效地教學．新課改在對課程改革的同時也帶動了教學方法和教學手段的不斷創新．因此，我們應該抓住這樣的時機，除了關注課程和課堂教學改革的同時，也尋求一些更能提高課堂效率的教學手段的更新．將多媒體輔助教學的方法真正落到實處，不僅做到輔助教學，還要真正做到能促進教學．

第四篇：幾何畫板在數學教學中的應用

幾何畫板在數學教學中的應用

正安縣楊興中學：秦月

【摘要】在信息技術突飛猛進的今天，傳統的教學方式已不能適應現代教育教學的要求。尤其是在數學教學這樣一個比較抽象的學科教學中顯得尤為突出，那么如何利用現代信息技術為現在的數學教學服務呢！幾何畫板是當今數學教師運用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個方面作介紹幾何畫板在數學教學中的應用：幾何畫板在一次函數教學中的應用、在軸對稱圖形教學中的應用、在勾股定理教學中的應用、在求解實際問題中的簡單應用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】幾何畫板 函數 參數 動點

在傳統的數學教學中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進行教學。直到今天，尤其是在我們落后鄉村學校，由于各種各樣的原因，這種教學方式依然主宰當前的數學課堂，顯然這種方式已經不能適應當前的教育發展大趨勢，如何改變這種現況，那就得借助現代信息技術，找一個適合數學教學的平臺?？v觀現在常用的軟件，幾何畫板具有操作簡單、功能強大的特點，是廣大數學教師進行現代化數學教學理想工具。在現代的數學教學中已發揮著越來越重要的作用。

幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動態地保持給定的幾何關系，便于學生自行動手在變化的圖形中發現其不變的幾何規律，從而打破傳統純理論數學教學的局面，成為提倡數學實驗，培養學生創新能力的新新工具。把它和數學教學進行有機地整合，能為數學課堂教學營造一種動態的有規律的數學教學新環境。

一、在一次函數教學中的應用

在幾何畫板中，可以新建參數（即變量），然后在函數中進行引用并繪制函數圖像，通過改變參數的值來觀察函數圖像的變化，這在傳統教學中無法辦到。

如在講解一次函數y=kx+b的圖像一節中，如何向學生說明函數圖像與參數“K”、“b”的相互關系一直是傳統教學中的重點和難點，學生難以理解，教師也難以用語言文字表達清楚；在作圖時，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫出多個不同的函數圖像，再進行觀察比較。整個過程十分繁瑣，且費時費力。教師和學生的主要精力放在了重復的計算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結論上。整個過程顯得不夠直觀，重點不突出，學生理解起來也很難。然而在幾何畫板中，只需改變參數“K”、“b”的值，函數圖像便可一目了然。如圖：

通過不斷改變參數“k”、“b”的值，從而得到不同的函數圖像，引導學生觀察一次函數圖像變化的規律。

①當k>0時，函數值隨x的增大而增大；②當k<0時，函數值隨x的增大而減小；③當b>0時，函數圖像相對于b=0時向上移動；④當b<0時，函數圖像相對于b=0時向下移動；⑤當|k|越大時，函數圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當|k|越小時，函數圖像變化越慢，圖像越平滑；

經過我們改變一次函數的參數“K”、“b”的值，函數的圖像會隨之發生變化，這樣學生就很容易理解函數圖像變化的規律，從而使學生從更深層次理解一次函數的本質。

二、在軸對稱圖形教學中的應用

幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應出這些特點。

在講解軸對稱圖形的教學中，可充分利用幾何畫板中提供的圖形變換功能進行講解。首先，畫一個任意三角形△ABC，然后在適當的位置畫一條線段MN，并把雙擊它即可將其標識為鏡面，這時就可以作△ABC關于對稱軸MN的軸對稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關于MN軸對稱。任意拖動△ABC的頂點、邊、對稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發生變化，但兩個圖形始終關于對稱軸MN對稱。同時可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對折后完全重合。

三、在勾股定理教學中的應用

幾何畫板能動態地保持平面圖形中給定的幾何關系，利用這一特點便于在變化的圖形中發現恒定不變的幾何規律。如平行、垂直，中點，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學中如果能很好地發揮幾何畫板中的這些特性，就能為數學教學增輝添色。如在勾股定理的教學中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯系。要弄清楚它們之間的關系，借助于幾何畫板，則一目了然。

在幾何畫板里，先畫一個直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發現，AB和AC、BC的長度已經知道，觀察AB2與AC2+BC2的關系：

如果拖動頂點A（從a圖到b圖），我們通過改變直角三角形邊的長度，從中觀察邊的平方的關系，發現這樣一個定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時，傳統的教學方法只能教師在黑板上演算過程，而用幾何畫板更容易發現其中的不變的規律。

首先，在幾何畫板中構造一個正方形，然后將經過一個頂點作直線，再通過另一相鄰的頂點作這條直線的垂線，得到一個交點。用同樣的方法，可得出另外幾個關鍵點，再將這幾條垂線隱藏，連接對應的點，即可得到下面這個圖形。分別度量AB、AF、FB的長度，最后用不同的方法來計算這個正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個直角三角形和中間的那個小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個正方形的面積，注意觀察得到的結果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來觀察這三種計算方法得到的結果是否一致，如下圖：

四、在求解實際問題中的應用

利用幾何畫板不但可以給幾何問題以準確生動的表達，成為教師教學上的得力“助手”，還可為教師和學生提供幾何探索和發現的一個良好環境，動態是幾何畫板最主要的特點，也正是基于這一點，許多用一般方法不易解決的問題，用它解決起來就要容易得多，現在舉例說明。

如圖，已知二次函數y=ax2+bx+3的圖像經過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C。

（1）求頂點M及點C的坐標；

（2）若直線y=kx+d經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點P是這個二次函數的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問都比較容易解決，第（3）問就是關于動點的，比較抽象，然而運用幾何畫板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因為二次函數經過點A、B、N，且三個點的坐標都已知，可解得二次函數的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經知道C、M兩點的坐標，直線y=kx+d又經過C、M兩個點，可得直線的解析式為y=x+3。D點是直線與X軸的交點，可得D點的坐標為（-3，0），又因為A點的坐標為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點，其坐標都已知，且縱坐標都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點的坐標可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個平行四邊形。

（3）這個問題比較抽象，因為點P是動點。我們現在借助幾何畫板對這種情況進行分析。因為A、B兩點是二次函數與X軸的交點，自然關于函數的對稱軸對稱，兩點到對稱軸上任意一點的距離相等。故以對稱軸上的點為圓心作圓，經過其中一個交點，必定經過另外一個點，因此考慮一個點就行了。

先在二次函數的對稱軸上任找一點P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動P點，看看這個圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒有交點；圖b中，P點離X軸較遠，所作圓與直線CD相交，有兩個交點。試想：圖a中的P點向上移動的到達圖b所在的位置過程中，中間肯定有一個點讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應該怎樣求P點的坐標呢！看右圖：

過P點作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實際上PK這時是圓P的半徑。即PK=PA時，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個點的坐標都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因為：AP2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點的坐標為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細心，把P點再上下拖動，會發現在X軸的下方還在一個點能使點圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點在X軸的下方，所以P點的坐標為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點P在對稱軸上有兩個點： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運用幾何畫板給我們在解決動點問題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發現的問題，在幾何畫板上只要輕輕拖動鼠標就很容易發現，從而有效的避免了漏解情況的發生。

幾何畫板在數學教學中應用遠遠不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費時的，但在幾何畫板中可用鼠標一點完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多實踐，不斷與數學教學相結合，相信就能使它在數學教學中發揮的作用。

【參考文獻】

[1] 田延斌.《《幾何畫板》教學實例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫板》在數學教學中的妙用》.

第五篇：嘗試幾何畫板在教學中的應用

嘗試《幾何畫板》在新課標教學中的運用

江西省萬載縣萬載中學

曾才明

新課標提倡教學內容與信息算技術相結合。我們可以借助現代教學手段進行教學實驗，數學的活動不再局限于演繹推理的形式體系中，現代教學手段的應用擴大了數學實踐的內容和范圍。如規律的探索，性質的預測以及模擬仿真的演示，都可通過計算機來實驗，計算機做數學實驗將成為數學靈感和數學發現的源泉。首先講講應用幾何畫板探討橢圓形成的三個實驗。

教科書上橢圓的構造原理，簡單明了實用，學生容易接受，其關鍵之處在于要把細繩的長理解為到兩點之間距離的和，當鉛筆緊靠細繩緩慢移動時，它留下了軌跡——橢圓，所以我們把平面與兩定點F1、F2的距離的和等于常數（|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。

根據其定義，我們開始就用幾何畫板做第一個實驗：

打開《幾何畫板》（1）：畫線段CE及構造線段CE上一點D

（2）：其次在平面上確定兩點F1，F2，滿足（|F1F2|＜|CE|（3）以F1為圓心，以CD長為半徑畫圓，以F2為圓心，以DE長為半徑畫圓，兩圓相交于點P、點Q。

（4）利用鼠標拖動點D在線段CD上輕輕地左右移動，兩圓的大小 隨著半徑的變化而變化，這時交點P、Q也在移動。我們應用幾體畫板的跟蹤功能對交點P、Q的運動軌跡進行跟蹤，隨著點D的在右移動，一個橢圓便清晰的顯現在屏幕上，一個封閉的優美曲線，在幾何畫板的幫助下，經過幾個簡短步驟便可畫出，究其原因，其實就是因為點P滿足到F1、F2的距離和（|PF1|+|PF2|）為常數CE.也即是根據橢圓的定義來構造的。還可以添加適當的顏色，調控學生的注意力。

在探討點p的軌跡方程時我們不僅可以參考課本方法進行演練，在這引入又一方法相互對比，以便更好的掌握其定義。

法1: 以F1F2所在的直線為x軸它的中垂線為y軸建立平面直角坐標系 則F1(-C,0),F2(C,0)，由PF1＋PF2=2a得根據兩點間的距離公式代入方程得(x+c)兩邊乘以2+y2＋(x-c)2+y2＝2a(1)?x+c?2+y2?得2cx?222(2)?x-c?+y-?x+c?+y＝acx2+y2＝(1)+(2)得x+ca+??a兩邊平方得：?a2-c2?x2+a2y2=a2?a2-c2?x2y2令a2-c2=b2得＋ =122ab?x-c??+y2-? 法(2)同法(1)建立平面直角系 設p(x,y)由PF1+PF2=2a得方程?x+c?2+y2+移項得?x-c?2+y2=2aF1PMF22a－?x+c?2+y2＝兩邊平方化簡得x2a2?x-c?2+y2?a2-c2?x2+a2y2=a2?a2-c2?令a2-c2=b2得＋ y2b2=1 Animate M試驗2

橢圓的標準方程的探討過程，體現了數學的一種對稱美，兩種策略的對比.法(1)借助有理化因式進行轉化,它是一種基礎技能的應用。法(2)是常規解決無理方程的基本方法,兩次的平方培養了同學們一種刻苦求知的意志力,一種鍥而不舍的進取精神?；A理論掌握好了，在不同的情景下可以得到不同的發展，激發著我們探討數學這門學科的激情，這就是數學獨特的引人之處。

有興趣的同學還可以利用幾何畫板緩慢增加F1F2的距離，使它靠近兩半徑之和。這時兩圓的交點的運動軌跡會是怎樣的呢？試一試就有意外的發現！

橢圓還有其他方法進行構造嗎？答案是肯定的。

下面一起來看實驗2：

某定圓F1及其內部一點F2，半徑為2a，點M是圓上的一動點，連結MF2，且作MF2的中垂線交MF1于點P，當點M在圓上運動時，試探討點P的運動軌跡。

分析，利用幾何畫板設定動點M的速度，并且跟蹤點P的運動軌跡，不難發現動點M在圓上運動時，點P的運動軌跡是橢圓。試驗分析：由MF2的垂直平分線得PF1=PF2, PF1+PF2=PF1+PM=MF1=2a 滿足動點P到兩定點的距離和為常數,其軌跡 是橢圓。建立恰當的坐標系可列的方程 ?x+c?2+y2+ 化簡這無理方程得?x-c?2+y2=2a ?a2-c2?x2+a2y2=a2?a2-c2? 令a2-c2=b2得 x2a2＋ y2b2=1

以上兩個實驗，不同的方案得到相同的軌跡——橢圓。數學知識可能在將來會遺忘,但這種學習研究數學的方法是終生受益的。

試驗3：

在平在直角坐標系中，以原點為圓心，分別以a、b為半徑畫兩個圓（a＞b），過大圓上一動點M，作MD的垂直X軸，連接OM交小圓于點D，過用E作MD的垂線，垂足為P，當點M在大圓上運動時，試探討點P的運動軌跡。

YMEOPDX Animate M試驗3試驗現象：用鼠標輕輕地移動點M，并且跟蹤點P的運動軌跡，隨著點M的移動，便得到一個橢圓。試驗分析： 設OM與x正半軸夾角為 則x=a cos? y=b sin?, 消去參數：?得x2a2＋ ?, P(x,y)y2b2=

1試驗3中，我們利用幾何畫板特有的跟蹤功能，清晰地反映了 被動點P與主動點M的關系，受a、b不同的影響，點P的運動軌跡不再是圓了，而是一個標準的橢圓，課堂上我們可邊演示邊講解，從實踐中得出的理論是令人終忘的，只有理解了的知識才是屬于自己的。方程我們稱它為橢圓的參數方程，其中

以上三個實驗，我們借助幾何畫板這軟件，成功地演示了橢圓的形成過程，橢圓是一種非常重要的圓錐曲線，我們理解了它的產生過程，便能為下一步運用橢圓的性質解決問題提供了很好的理論依據。實踐證明，橢圓的定義是用來解決橢圓有關問題的一種有效的工具，有些疑難問題束手無策時，聯想到其定義便能柳暗花明，而前兩個實驗的結論便是我們橢圓的定義，而我們實驗的結論是從實踐中得出的，參與了就難以忘懷，我們堅信幾何畫板會給數學課堂帶來更多、更好的幫助。

接下來我們開始利用幾何畫板根據橢圓的方程探橢圓的簡單幾何性質。

在解析幾何里，常常利用曲線方程來研究曲線的幾何性質，通過對曲線方程的討論，得到曲線的形狀、大小和位置，下面我們利用橢圓的標準方程，借助《幾何畫板》來研究橢圓的幾何性質。

yyPP1B1OF2F1xOP

21，范圍：根據標準方程可得y=±bsqrt(1-((x^2)/(a^2)))，分別繪制這兩個函數的圖象，得到一個完整的橢圓。在坐標系中，分別繪制（-a，0），（a，0），（0，b），（0，-b）四點，構成一個矩形方框，結果橢圓在這個矩形內，由此可知橢圓位于直線X=±a，y=±b所圍成的矩形內。對稱性：在繪制函數y=±bsqrt(1-((x^2)/(a^2)))時，可發現上、下兩條對稱的曲線，很明顯，橢圓是關于X軸對稱的，在橢圓上任取一點P，利用鏡面反射，作關于Y軸的對稱點P1正好也在橢圓上，說明橢圓關于Y軸所對稱，再作P關于原點的對稱點P2，可得其對稱點P2以也在橢圓上，這兩點關于原點成中心對稱，由于P點的任意性，得知橢圓既是軸對稱圖形(對稱軸是X軸、Y軸)，又是中心對稱圖形，原點是對稱中心。

用幾何畫板探討橢圓對稱性和范圍，簡潔明了，學生可以動手做實驗親身體會便可以牢固掌握。離心率：我們知道，橢圓的焦距與長軸長的比e=(c/a)，稱它為橢圓的離心率，在實驗2中，橢圓的離心率其實就是(F[1]F[2]/F[1]M)的比值，因為F1F2=2C，如果把圓內這定點F2的位置移動，使得F1F2的大小發生變化，這是點P的軌跡——橢圓的圓扁程度也跟著發生變化，為什么離心率的變化會影響著橢圓的圓扁呢？

帶著這個疑問，我們一起來分析實驗2。因為當F2移動靠近F1時，e就減小，而橢圓卻越來越圓，在畫板中可以清晰看到這個變化過程，若F2與F1重合時，我們可猜測所得圖形就圓，也即離心率越小，橢圓就越圓，這結論從理論上我們也可以分析得到，因為e=(c/a)=sqrt(1-((b^2)/(a^2)))中，若a不變，b變大，1-((b^2)/(a^2))就變小，這時離心率變小，所以離心率越小，橢圓就越圓。

實驗2中，還可以進一步探討離心率的范圍，因為點F2在圓內可知F1F2＜R=F1M，所以e一定小于1，即0＜e＜1 4 探討過橢圓焦點三角形的面積問題？在橢圓上任取一點P，邊結PF1、PF2得△PF1F2。點P在什么位置時，三角形的面積

B1PPB1F2F1F2F1 Animate P面積 最大？

PF2F1 = 3.27 厘米2 Animate P面積 PF2F1 = 3.90 厘米2

設定點P的動畫，并在測量欄，測量三角形PF1F2的面積，點擊動畫按鈕時，△的面積在不斷地變化，當點P繞橢圓運動一周時可發現它在兩處的面積最大，即短軸的頂點。

理論依據：△PF1F2的面積以是F1F2為底邊，點P的縱坐標的絕對值為高的積，而邊F1F2不變，當高|y[p]|最大時面積最大，所以點P在短軸的兩端點時其面積最大。

拓展：利用幾何畫板進一步演示橢圓內與定點有關的問題，不僅形象直觀，而且很容易發現其特殊位置，幫助我們找到解決問題的方法、思路。

幾年以來，我利用幾何畫板對高中數學進行了很多種嘗試，在課堂上直接演示一些曲線的形成過程，比如后面的雙曲線、拋物線的形成過程，親眼所見、親手操作，得到的圓錐曲線，對于理解其定義，應用它的性質解題，可以起稱潛移默化的作用，從實踐中，得出來的數學知識，其精彩過程有時是終生難忘的，不僅在解析幾何中，幾何畫板有著很多的應用，還有比如函數、三角函數、立體幾何等知識有著很廣的應用。任意的函數，只要輸入其解析式，便能得到其圖像，很方便研究它的性質例如單調性、周期性，最值，交點的個數等等問題。在立體幾何方面，可以利用圖像的旋轉，對折把抽象的角，距離等問題利用添色功能把它門淺顯化?，F在幾何畫板正在普及，大眾化。相信越來越多的教師學他，應用他。使更多的學生終生受益。

2009.9