第一篇：初中幾何動態教學初探[原創]

初中幾何動態教學初探

“九年義務教育全日制初級中學《數學教學大綱》（試用）”中提出，初中數學的教學目的之一：培養學生良好的個性品質和初步辨證唯物主義觀點。良好的個性品質是指：正確的學習目的，濃厚的學習興趣，頑強的學習毅力，實事求是的科學態度，獨立思考、勇于創新的精神和良好的學習習慣；而初中數學中的辨證唯物主義教育因素之一是：數學內容中，普遍存在的運動變化、相互聯系、相互轉化等觀點。本文想就初中幾何教學中如何通過幾何動態教學對學生進行辨證唯物主義思想教育，談談我的粗淺認識。

我們經常會聽到老師和學生有這樣的反映，幾何難教，幾何難學。“難”的原因之一就是圖形關系復雜，變化多樣。老師在幾何教學中演示的圖形都是靜態的，不能將圖形的任意位置展示給學生，在給出一個或有限的幾個圖形之后，就將一些重要的幾何規律簡單地介紹給了學生。而學生在作題時，由于圖形位置變化，或位置關系復雜，就變得茫然不知所措了，這時老師也開始變得急燥了，覺得概念已講得很清楚了，怎么還不會，幾何難教難學的矛盾就產生了。

如何解決這個矛盾呢？我想還是要從幾何的精髓問題入手。“幾何就是在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的幾何規律”。比如 圖1

1．不論三角形的位置、大小、形狀和方向如何變化，三角形的3條高線都交于一點（如圖1）； 圖2

2．不論四邊形如何變化，四邊形的四邊中點順序連接成的圖形永遠是平行四邊形（如圖2）等等，不勝枚舉。對于第一個問題，傳統教學中都是利用尺子作圖，各種情況只作一個圖形，很有限，不能說明問題；對于第二個問題，在以往的教學中絕大多數老師都是以例題形式給讓學生證明。我現在想辦法讓三角形或四邊形任意動起來，讓學生觀察：三角形的3條高線交于一點；四邊中點順序連接成的圖形永遠是平行四邊形。有了這樣一個感性認識，再深入研究就成為自覺自愿的了。學生從運動的幾何圖形中找出的幾何規律，印象會很深，而且幾何圖形有這樣的動態效果，很容易吸引這些初中學生，讓他們覺得幾何課有意思，從而愿意上幾何課。

我的這些想法是有理論根據的，因為運動的觀點是現代數學思想的一個重要方面，在中學幾何教學中應加強運動觀點的建立。現代教育理論認為：數學知識不是老師教會的，而是學生必須經過頭腦想象和理解椉唇ü箺才能真正學會的。老師傳遞給學生的只是知識信息，學生通過接收這些信息，聯系他們頭腦中舊有的知識結構，構造出他所能理解掌握的新知識，在幾何教學中，對于那些相對于學生來說復雜而又抽象的圖形，需要在老師的引導下，從不斷運動變化的圖形中，從不同的角度反復觀察、探索、發現，找出規律，“從而建立起學生自己的‘經驗體系’棗即猜想可能的結論，最后再在老師和書本的幫助下證明猜想的結論，從而建立起學生自己的‘邏輯思維體系’。即完成‘在變化的圖形中發現恒定不變的幾何規律’”。

對于一個幾何圖形來說，各種元素之間的位置關系實際上是處于變化的相互依存的狀態，動是絕對的，靜是相對的，這就產生了幾何變換。在初中平面幾何中，常見的幾何變換有：全等變換、相似變換和等積變換等。在實際教學中，要想辦法創造有變有不變的狀態，讓有利于解題的條件保持不變，而將不利于解題的條件變為有利的，這就是利用運動變化中不變的規律解題的主要思想。

如何實現讓幾何圖形動起來，讓學生在“動中找靜”，以往的幾何教學很難做到，因為在傳統的幾何教學中，用常規作圖工具（紙、筆、尺）手工繪制的圖形都是靜態的，雖然它能教給學生規范作圖，但這樣很容易掩蓋極其重要的幾何規律。有的老師可以制作很精制的投影抽拉片，使部分圖形動起來，卻很難體現圖形的任意性，以及圖形各部分之間的密切聯系。針對這個問題，我們可利用計算機輔助數學教學，利用一個軟件工具棗“幾何畫板”制作我們需要的幾何圖形，并使之任意運動和動畫，在圖形不停地變化過程中，讓學生觀察，發現不變的幾何規律，讓學生認識到幾何規律是實實在在的科學，不是憑空任意造出來的，要用科學的頭腦，去分析動態的幾何圖形，從而得到“靜態”的幾何規律。

下面結合例子來說明如何對初中幾何進行動態教學。（主要設計思路）

例1．初中幾何教材P125 *7.12 和圓有關的比例線段，這一節的內容是相交弦定理，切割線定理及其推論（即圓冪定理）一.相交弦定理：

1．弦AB、CD相交于圓內一點P，幾何畫板測算PA、PB、PC、PD，并計算PA*PB, PA*PC, PA*PD, PB*PC, PB*PD, PC*PD, 圖形運動，讓學生觀察6個乘積，反復幾次，學生得出結論：只有PA*PB=PC*PD(如圖3)圖3：

教師給出相交弦定理:圓內的兩條相交弦, 被交點分成的兩條線段的長的積相等。

要引導學生證明（略）

2·將D點向B點運動,C、A、B固定，學生觀察，PD逐漸變短，當測算值PD＝0時，同時PB＝0，此時P、B、D三點重合。問學生結論是否成立。(如圖4)

圖4：

3．讓AB運動至過圓心時停住，AB為直徑，讓CD任意與AB垂直，此時觀察四個測算值，總有PC＝PD，讓學生修改結論PC2 ＝PA*PB。引導學生用語言敘述：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。(如圖5)圖5：

二．割線定理：

圖6：

將P點運動，在P點從圓內到圓外之間反復運動的過程中，讓學生觀察6個乘積，發現依然有PA*PB=PC*PD。引導學生敘述：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。（注：此處與教材講解順序不一樣，有待探討）。

通過觀察分析，比較圖形，引導學生歸納出相交弦定理與割線定理的相同點：0 ①定理中的條件都是兩條相交直線分別與圓相交

②定理中的結論都是兩條直線的交點到各弦兩端的距離之積相等。于是，可以把相交弦定理和割線定理統一如下形式：

兩條相交直線分別與圓相交，則兩直線的交點到各弦兩端的距離之積相等

3、切割線定理

1．將PA繞P點運動，讓學生觀察A、B重合時，有 ⑴PA＝PB ⑵PA*PB=PC*PD 由學生修改結論:PA2 =PC*PD（注：教材上是PT2 ＝PA*PB）(如圖7)圖7：

引導學生用語言敘述:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

2．將PD繞P點運動,C、D重合時觀察時：（1）PC＝PD=PA=PB PA*PB=PC*PD(如圖8)圖8： 由學生修改 PA2 =PC2 ∴PA=PC

正是前面學過的切線長定理 四．深入討論

進一步引導學生：點P到各弦兩端的距離之積相等，等于什么？有沒有一般規律？（這是課本P134習題T 7.4 B組4）

引導學生分析當點P固定，∵過P點的弦有無數條，選一條過圓心的弦，即直徑：1．當P點在圓內時，引導學生: ∵PA*PB=PC*PD 又PB=R-OP PA=R+OP ∴PA.PB=(R+OP)(R-OP)= R2 －OP2

當P為定點時, OP和R均為定值(如圖9)圖9：

當P點在圓外時, 學生獨立完成。

圖10：

3．歸納總結:

一直線與半徑為R的⊙0相交, 在直線上取一不在圓周上的點P, 則該點到弦兩端的距離之積是定值│R2-OP2│

告訴學生:你們和我一起討論并驗證的這個問題實際上是直線與圓這一節中一個重要定理。一方面不僅使學生數學思維得到發展，也使他們從中 獲得成功的喜悅；另一方面，可以使學生從不斷變化的幾何圖形中發現不變的幾何規律。

例2．①同底等高的一組三角形，底BC固定不動，頂點A在平行于底邊的直線上滑動，觀察重心的位置及重心軌跡（計算機動畫演示）圖：11 觀察發現：

⑴不論三角形如何變化，重心永遠在三角形內。

⑵同底等高的一組三角形的重心軌跡是一條直線（證明略）。

②同底等高的一組三角形，底BC固定不動，頂點A在平行于底邊的直線上滑動，觀察垂心的位置及垂心軌跡（計算機動畫演示）

觀察發現：

⑴銳角三角形的垂心在銳角三角形的內部；直角三角形 的垂心在直角三角形的直角頂點處；鈍角三角形的垂心在鈍角三角形的外部。

⑵ 同底等高的一組三角形垂心的軌跡是一條拋物線。（證明略）等等。

盡管在初中幾何中不涉及軌跡問題，我們也可以不提它，但它確是計算機演示實驗的結果，可以給學生看，引起學生的興趣。

以上是我對初中幾何進行動態教學的粗淺看法，得到多名老師的一致認可，同時我也給親戚朋友的孩子（初三學生）進行了課余輔導，效果不錯，這些學生在做習題時，大部分首先回憶的是計算機演示的圖形。然后是定理，并很快結合已知條件做出了習題。我想這就達到了目的，學生知道從變化的圖形中找出不變的規律為自己所用。在介紹知識的同時，滲透了辯證唯物主義思想。文中出現不妥之處，請專家和同行批評指正。

第二篇：動態幾何學習心得

動態幾何學習心得

幾何畫板不是一個一般的繪圖軟件，不僅制作出的圖形是動態的，而且注重數學表達的準確性。因此，應該從數學的角度看待這個軟件，在理解中學習它，這樣就比較容易理解有關操作的規定，掌握操作方法，合理地進行操作，盡快掌握它的功能。反過來，當需要構造某個圖形，進行某種操作時，就會自覺地滿足軟件對該項操作需要的前提條件。

首先用幾何畫板創設情景，靜態變動態，其次幾何畫板“數形結合”，抽象變形象，微觀變宏觀，能夠揭示知識之間的內在聯系，培養思維能力、開發智力的工具。

通過這個課程的學習使我受益匪淺，對幾何畫板有了一個全面直觀的認識。在以后的教育教學中，我要堅持不斷學習，提高自己的課件制作水平。幾何畫板是一個在數學領域里進行創造、探索和分析等方面有著廣泛應用的軟件系統。利用幾何畫板，您可以構造交互式的數學模型，可用于從事形與數的基礎研究，構造高級的、動態的復雜系統的插圖。不僅學習了幾何畫板的應用知識，而且認識了很多同行，并從他們那里學到了不少知識。通過這學期的學習，感覺《幾何畫板》是個很不錯的學習輔助軟件，相比較FLASH等的軟件，它的本身占用資源較少，操作簡單，學習起來也較容易，而且在平時的教學中，用他去制作一些課件，不需要浪費太多的時間，但僅僅這花幾天的學習要想將這個軟件運用自如還是不可能的，老師只能領導你去認識它，真正的對它熟悉還要在平時的教學中多多運用，自己去鉆研。同時，通過學習，還讓我體會到了，在運用課件輔助教學時，不僅僅是去制作課件，在制作過程中，要對這節課完全理解，從原理上明白這節課的實質內容，再細化到如何去制作，才能讓我簡單明了的理解這節課，是在制作過程中的關鍵點。通過這次幾何畫板的學習，感覺受益匪淺！

第三篇：初中幾何教學.

各位老師大家好, 離吃飯還有一段時間。我就我自己對初二幾何教學的理解在此和大家 交流一次。

幾何,特別是初二幾何,是初中生普遍認為難學的一部分內容。首先是初二幾何為什么難:

1、數學研究對象:初中數學是一個從小學的 “形象數學”到高中的“抽象數學”的過 度階段。

2、幾何邏輯推理:初中幾何對學生的要求不僅是計算,更多是要求學生能進行邏輯推 理,而這是小學段未曾涉足的。

3、語言表達形式:初中數學語言表達方式,是一個從“生活語言”到“數學語言”的 轉換過程。

而以上三方面轉變過程最明顯的是初二。對比初一與初三, 我們可以感受到教學內容及 教學方式上的區別明顯。很多老師都常會說這樣一句話“初三的學生就不舉手的啦!” 我覺 得這不僅僅是學生的問題。這個問題與教學內容、教學方式都有關系;初一的教學內容更多 是直接面對生活的、直觀的,到了初三其內容更多的是高于生活的、抽象的。初一學生對數 學課堂的興趣可以是來自對生活的興趣(溫度計、教堂 , 而初三學生則不是, 初三學生對數 學課堂的興趣, 他更多的是來自對數學自身的興趣。簡單的說就是 “因為我喜歡數學、所以 喜歡數學課”。

對于這些問題下面我說說的解決方案:

1、對于研究對象改變的問題: 新課時:應重視“節前語”的教學,創設學生感興趣的生活情景,通過實踐活動讓學生 經歷從實際問題抽象成數學模型, 感受抽象的數學是來自直觀的生活。通過這些活動讓學生 從喜歡生活逐步轉變成喜歡數學。

試題講解課:則努力將抽象問題形象化。當然必須讓同學們對問題先有一個抽象思考的 過程。即讓學生自己先抽象思考,然后再通過多媒體等教學手段使問題形象化。

例:如圖,等腰直角三角形中,∠ABC=90°, AB=BC=4, AC=P 從點 A 開始沿 AC 邊以每秒 2個單位的速度運動, 點 P 運動到點 C 即止。求幾秒后, ⊿ ABP 成為等腰三角形?(本身是個抽象的動態過程,通過多媒體手段,使問題變 得形象、直觀。但是考試的時候是沒有幾何畫板給學生觀。所以需學生自己先思考解得一番,再給學生看演示動畫。這樣才能提高興趣的同時也提高學生抽象的空間想象力。

A

2、對于學生幾何邏輯推理的培養: 一方面從初一開始就逐步開始滲透三種思維方式:(1正向思維。從已知條件出發,探究能得出什么樣結論。這個思想方法是最常用的, 貫穿著我們初中三年幾何問題的始末。

(2逆向思維。這個思維方式,也是我們常用的思維方式。但它卻未必是學生常用的思 維方式, 在三年的教學中只有初二下的中存在一個課時。但是逆向思維在解難題時卻是最為 有效。特別是題目給你的已知條件復雜多樣時, 能使學生快且更準的找到切入口。所以我在 接觸幾何之初就開始慢慢的滲透。

(3正逆結合。從已知條件中看根據已知能得出什么結論,再想想為了得出結論,需要 什么樣的條件,它們是否正好能對應的上。這一方法一般較少使用,主要用于解各種難題。

例如:已知:如圖 , △ ABC 中 , ∠ C=90°, AD 是∠ BAC 的平分線, DE ⊥ AB ,垂足為 E , F在 AC 上, BD=DF.求證:CF=EB.另一方面我注重學生對簡單幾何圖形結構的深入認知。這樣學生在解題時更容易形成思路, 并節約大量的思考時間。

例如:“等腰三角形三線合一”。進一步探究可以發現, 若三角形二線合一也必然是等腰三角 形。

(金華 2011 如圖,在平面直角坐標系中,點 A(10, 0 ,以 OA 為直徑在第一象限內作半圓 C ,點 B 是

該半圓周上一動點,連接 OB、AB ,并延長 AB 至 點 D ,使 DB=AB,過點 D 作 x 軸垂線,分別交 x 軸、直線 OB 于點 E、F ,點 E 為垂足,連接 CF.(1當∠ AOB=30°時,求弧 AB 的長度;(2當 DE=8時,求線段 EF 的長;(看見中點及垂直先想得等腰三角形的存在

再如:“等腰直角三角形與正方形的關系” ,有正方形必然有等腰直角三角形,反之有等 腰直角三角形,才可能夠成正方形。

(2011江西已知:拋物線 2(2 y a x b =-+(0 ab <的頂點 為 A ,與 x 軸的交點為 B , C(點 B 在點 C 的左側.(1直接寫出拋物線對稱軸方程;(2若拋物線經過原點,且△ ABC 為直角三角形, 求 a , b 的值;(3若 D 為拋物線對稱軸上一點,則以 A , B , C , D 為頂點 的四邊形能否為正方形?若能,請寫出 a , b 滿足的關系式;A C B D E

若不能,說明理由。

3、幾何語言表述難的問題

問題一:∵兩直線平行同位角相等 ∴ ∠ 1=∠ 2 問題二∶∵ ∠ 1=∠ 2

∴ BC=AC 問題三:有很多學生作輔助線時,一條線常常讓其滿足兩個或兩個以上的條件。

例如∶連結 AD 使 A D ⊥ BC。

問題四:∵ ∠ 1=∠ 2 ∴ BC=AC(等腰三角形的兩底角相等

在書寫證明題過程中, 學生有各種各樣的錯誤書寫和看不懂的證明過程大量存在。這些 問題的出現, 我想并不能簡單地說是我們的學生努力不夠, 沒有認真學習造成的, 它的形成 原因很多。很多時候是我們強調的不夠,解釋的不清晰造成。

我認為第一我們應重視定理的雙語教學∶文字語言、幾何語言。例如∶① 文字語言∶在同一個三角形中,等角對等邊

② 幾何語言∶∵在△ ABC 中,∠ A=∠ B ∴ AB=AC 當然幾何語言必須建立在圖形基礎上, 建議任何定理在教學時, 板書都能畫出符合文字 語言意思的圖形, 并將定理的文字語言轉化為幾何語言。我們在證明題書寫中, 用的是定理 的幾何語言而非文字語言;“ 問題一 ” 的寫法,主要原因就是不清楚這一點。

第二、讓學生知道各種定理的條件個數和結論個數有不同的對應關系∶ ①一對一 ∶ ∵ AB=AC ∴∠ B=∠ C ②一對多∶ ∵ △ ABC ≌△ DEF ∴ AB=DE,∠ A=∠ D, ?? ③多對一∶ ∵ AB=DE,BC=EF,AC=DF ∴ △ ABC ≌△ DEF ④多對多∶ ∵ AB=AC,BD=CD ∴ AD ⊥ BC, ∠ BAD=∠ CAD C O

當然多條結論時, 結論部分不用全部擺出。一般是此證明題后面需哪些條件, 則擺哪些, 不需要的不用擺出。

第三、通過對比教學,加深對部分判斷定理與性質定理這些互逆定理的認識。

∵ AB ∥ CD ∵ ∠ 1=∠ 2(∴ ∠ 1=∠ 2(∴ AB ∥ CD 第四、連結:線段已經唯一存在了不可再有其它條件,延長方向已經確定了,只能在長 度上可加以限定。

第五、注意課堂板書, 對于學生學習都是從模仿開始的!就像剛才金老師課堂中分類討 論的板書,就十分必要、也十分的到位。

第六、勤發現、勤糾正、勤強調。作業批改一定要細,盡量擠時間對學生一一面對面糾 錯。舍得花功夫在批改作業中;對學生作業中出現的各種各樣問題, 一定要及時糾正強調指 出。其實這些問題大多學生只要有一兩次的予以指出他們還是能很快的改進的。只要有幾天 的堅持,作業就會有明顯的改觀。

以上這些是我個人對初二幾何教學的一些看法, 不一定都正確, 但它都是我這幾年對教 學認知不斷深入后的認識,給大家分享,有不同看法或有更好的方法希望大家也不要吝嗇, 回頭通過 QQ 和我說說。

B C B C

第四篇：動態幾何測量教學案例兩則

動態幾何測量教學案例兩則

彭翕成

華中師范大學教育信息技術工程研究中心，武漢 430079

幾何學是數學最古老的分支之一，相傳起源于土地測量。近些年，測量之風在中學教學中相當盛行。有些老師采用原始工具，主要是三角板、量角器；有些老師則先進一些，采用動態幾何軟件。所謂動態幾何，是指在計算機屏幕上畫出各種各樣的動態幾何圖形，且幾何圖形在變化過程中保持幾何屬性不變；通過幾何圖形的動態變化，使人能更直觀地深刻理解圖形中的幾何規律，從而達到真正理解幾何原理的目的。到目前為止，全世界已經有幾十種動態幾何軟件，我國主要使用超級畫板和幾何畫板，一些圖形計算器也具備動態幾何功能。

筆者認為測量之風盛行原因有二。一方面是與這些年高調提倡的教學方式、教學理念接軌，依據是“老師讓學生測量，有益于學生的動手能力的培養，有益于學生協作精神的形成”；而另一方面是由于傳統測量非常簡單，基本上就是不教自會，即使是學習動態幾何的測量功能，也不過是幾分鐘的事情。學會之后，則是一本萬利，從初一的三角形內角和定理、中位線定理到高三的正、余弦定理，都是可以用測量來教學的案例。正因為如此，很多老師不單自己在教學演示的時候喜歡用測量，有條件的學校還極力鼓勵學生動手。

對于測量，近幾年批評的意見也不少，而且相當尖銳。李大潛院士指出：“老是量，就倒退到尼羅河時代去了，當初古希臘學者不是‘量’出來的”。張奠宙教授說得更加具體，他以正弦定理的教學為例，認為讓學生通過測量發現

abc、、之間的關系,sinAsinBsinC是一個敗筆，是一個忽略數學實質的設計。

三角板、量角器，我們使用已經上千年了，已經成為學習數學必備的工具，而動態幾何軟件是這些古老工具的延伸與發展。照道理來說，這些工具都應該是好的，但為什么老師們使用這些工具，還會被專家指責呢？筆者認為這是一個值得探討的問題。首先，我們來看兩個案例，看看從中能否給我們啟示。案例一：中位線定理的教學

一位老師在講授中位線定理這一內容時，準備利用超級畫板作兩次測量：一次是驗證三角形中位線定理，另一次是驗證順次連接四邊形的中點所圍成圖形為平行四邊形。這位老師發現，當他讓學生動手測量的時候，有一小部分學生懶散地坐著不動，遠沒有剛開始接觸超級畫板那樣積極。課后向幾位學生調查情況，學生們說，這兩道題，書上都有結論，我們早就看過了，再去測量不是有點傻么？對未知的東西充滿好奇，對已知的東西熟視無睹，這是絕大多數人存有的心態。這位老師經過反思，覺得不能怪學生；不過，這些學生僅僅滿足于記住書上的結論，而沒有進一步思考，這對于學習數學是很不利的。

于是在另外一個班上課時，他首先讓學生探究這么一個問題。五邊形ABCDE中，點F、G、H、I分別是AB、BC、CD、DE的中點，點J、K分別是FH、GI的中點，AE和JK有什么關系？學生們積極性很高，馬上打開超級畫板進行測量，很快發現AE?4JK（圖1）。老師問：還發現什么？學生沒有其他的發現。能不能證明發現的結論呢？學生們沒有一點頭緒。老師提示說，當遇到難題解決不了的時候，我們是不是退一步，先解決容易的題目；大家還記得如何求多邊形的內角和么？學生說，記得，將多邊形分割成三角形來解決。于是，這位老師就順勢引導學生去研究三角形中位線定理和順次連接四邊形的中點所圍成圖形為平行四邊形這兩個問題。等到快下課時，老師又將學生引回到五邊形中點的問題。但學生還是反應不過來，因為他們都老想著如何將五邊形分割成三角形。這是思維定式造成的。老師給出提示，也不一定要分割成三角形啊，我們今天不是還學了四邊形么？這一提示，不少學生就作出這道題了，輔助線如圖2所示（點L是AD的中點）；而且還有學生高興地發現AE和JK還存在平行關系。

圖1 圖2 案例二：勾股定理的教學

勾股定理的數學表示形式是a?b?c，從數的“方”（平方）聯想形的“方”（正方），不難想到要以Rt?ABC的各邊作正方形ABDE，CBFG和ACHI（圖3），于是有不少老師讓學生利用超級畫板測量面積，驗證SABDE?SCBFG?SACHI。但有一個老師在這個環節遇到了問題。學生作好圖3后，老師讓學生測量面積，自主探究。大多數學生都得出了老師想要的那個答案。但有一個學生說，他發現的有所不同，他發現了S?ABC?S?BDF?S?CGH?S?AIE（注：超級畫板測量面積與幾何畫板不同，只需依次選擇多邊形頂點即可，并不一定要作出該多邊形）。

這位老師感到很吃驚，這是備課時沒有想到的。仔細一看，這不正是三角形面積公式

222S?ABC?111absinC?bcsinA?casinB么，只不過用了一次互補的兩個角正弦相等222而已。但學生還沒學過正弦，該怎么解釋呢？

圖3 圖4

一想，其實也不難，S?ABC?S?HCG是顯然的。而證S?ABC與S?BDF相等也只需以AB和BD為底邊，作出對應的高線CJ和FL即可，而這兩條邊的相等又可轉化為求證?CJB??FLB（圖4）。由于?JBC??LBF（與同角互余的兩角相等），根據HL定理，易證?CJB??FLB。同樣地，可以證明S?ABC?S?AIE。如果作出更多的垂線段，就會得到一個類似于趙爽弦圖的圖形（圖5），由此我們可以得到另一種證明。

如圖6，就是分別過點A和D作BC的平行線，分別過點B和E作AC的平行線，四條直線交于M、J、K和L。易證?ABC與正方形AEDB中的四個三角形都全等，從而BJ?BC?BF，從而S?ABC?S?DBJ?S?BDF。同理可證S?ABC?S?AEL?S?BDF。

特別有意思的是，即使?ABC不是直角三角形，所得4個三角形面積相等的結論也是成立的。證明的過程也一樣，因為上述兩種證明都沒有用到?ACB?90這一條件。學生們

?聽完老師的分析，覺得不可思議，馬上又重新作圖進行驗證。

圖5 圖6 對于案例一，筆者認為雖然是同一個老師講同一個內容，而且都是使用超級畫板的測量功能，其中的變化僅僅是加了一個例題而已，但后一次課的效果明顯要好很多。前一節課的測量，好像有點“為測量而測量”的味道；而后一節課的測量，是真正的探究式測量，因為學生即使提前預習，也較難作出該題，此時的測量落到了實處。需要指出的是，所增加的例題非常有內涵，包括了該節課的兩個重要的結論。例題的選取，則不是靠信息技術了，而是靠老師的專業水平；也許不少老師也做過此題，但可能并沒有留意。

對于案例二，筆者感慨很深。我們的老師花費大量的時間精心備課，設計好一個又一個的環節，但有時候難免也會遇到設計之外的情況。特別是現代社會的信息來源多元化，中學生不再像過去那樣，單純地從老師那里吸取知識，而是通過各種渠道來獲取信息，譬如說網絡，圖書館等，超級畫板一類的軟件也能夠提供給學生信息。從某種角度來說，信息技術并沒有給老師帶來輕松，而是帶來壓力，對老師的要求更高了。但老師的付出是有回報的，本節課從勾股定理引出趙爽弦圖是如此地自然，沒有人為的做作，甚至三角形面積公式、正弦定理也呼之欲出。筆者甚至想：正弦定理的教學，能否就由此而來呢？

本文的兩個案例是筆者近年舉行超級畫板講座時與一線教師閑談所得。一位中學老師很有感慨：俗話說“人強不如家伙強”，但使用了信息技術，教學效果也并不見得就一定好。筆者非常認同這一點：技術是先進了，但最后決定成敗的關鍵因素還是在于教師的數學素質和教學設計。

第五篇：動態幾何教案(完)

龍文教育浦東分校張楊路校區學生個性化教案 教育是一項良心工程

課題：動態幾何

學生：

教師：吳大旺

時間：

學生評價

◇特別滿意

◇滿意

◇一般

◇不滿意

【回顧與思考】

?動點問題?

類別?動線問題?動形問題?

【例題經典】

會“靜”中求動

例

1（2004年吉林省）如圖，已知拋物線y=x2-ax+a+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D（0，8），直線DC平行于x軸，交拋物線于另一點C．運點P以每秒2?個單位長度的速度從點C出發，沿C→D運動．同時，點Q以每秒1個單位長度的速度從點A出發，沿A→B運動．連結PQ，CB設點P的運動時間為t秒．

（1）求a的值；

（2）當t為何值時，PQ平行于y軸；

（3）當四邊形PQBC的面積等于14時，求t的值．

【分析】由PQ∥y軸和DC∥x軸這一靜態，得OQ=PD，求t的值．

會由“特殊”推出“一般”

例

2（2005年南京市）如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm，?形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm．半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，?在運動過程中，點D，E始終在直線BC上，設運動時間為t（s），當t=0s時，半圓O在△ABC?的左側，OC=8cm．

（1）當t為何值時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓O與直徑DE?圍成的區域與△ABC三邊圍成的區域有重疊部分，求重疊部分的面積．

【會用“類比的思想”探究圖形的變化】

例

3（2006年臨沂市）如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，設P、Q分別為BD、?BC上的動點，在點P自點D沿DB方向作勻速移動的同時，點Q自點B沿BC方向向點C?作勻速移動，移動的速度都為1cm/s，設P、Q移動的時間為t（0

2（1）寫出△PBQ的面積S（cm）與時間t（s）之間的函數表達式，當t為何值時，S?有最大值？最大值是多少？

（2）當t為何值時，△PBQ為等腰三角形？

（3）△PBQ能否成為等邊三角形？若能，求t的值；若不能，說明理由．

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【考點精練】 1．（2005年西寧市）如圖1，將正方形ABCD中的△ABP繞點B順時針旋轉能與△CBP重合，若BP=4，則點P所走過的路徑長為_________．

(1)

(2)

(3)2．（2005年福州市）如圖2，EF過矩形ABCD對角線的交點O，且分別交AB、CD于E、F，那么陰影部分的面積是矩形ABCD面積的（）

A．111B．

C．

D． 543103．（2005年北京市）如圖3，在ABCD中，∠DAB=60°，BC=3，點P從起點O出發，?沿DC、CB向終點B勻速運動．設點P所走過的路程為x，點P經過的線段與線段AD、AP所圍成圖形的面積為y，y隨x的變化而變化．在下列圖像中，能正確反映y與x的函數關系的是（）

?

4．（2006年臨沂市）如圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊緣順時針滾動，小正方形的邊長是大正六邊形邊長的一半，當小正六邊形由圖①位置滾動到圖②位置時，線段OA繞點O順時針轉過的角度為_______度．

5．如圖直角坐標系中，已知點A（2，4），B（5，0），動點P從B點出發，沿BO向終點O?運動，動點Q從A點出發向點B運動，兩點同時出發，速度均為每秒1個單位，設從出發起運動了xs．

（1）點Q坐標為______（用含x的式子表示）

（2）當x為何值時，△APQ為一個以AP為腰的等腰三角形？

（3）設PQ的中點為G，請你探求點G隨點P、Q運動所形成的圖形并說明理由．

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6．（2006年杭州市）在三角形ABC中，∠B=60°，BA=24cm，BC=16cm．現有動點P從點A出發，沿射線AB向點B方向運動；動點Q從點C出發，沿射線CB也向點B方向運動，?如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發，求：

（1）幾秒鐘以后，△PBQ的面積是△ABC的面積的一半？

（2）在第（1）問的前提下，P、Q兩點之間的距離是多少？

7．（2006年濟南市）已知半徑為R的⊙O′經過半徑為r的⊙O的圓心，⊙O與⊙O?′交于E、F兩點．

（1）如圖甲，連結⊙O′交于⊙O于點C，并延長交⊙O′于點D，過點C作⊙O?的切線交⊙O′于A、B兩點，求OA．OB的值；

（2）若點C為⊙O上一動點，．．

①當點C運動到⊙O′內時，如圖乙，過點C作⊙O′的切線交⊙O于A、B兩點，則OA·OB的值與（1）中的結論相比較有無變化？請說明理由．

②當點C運動到⊙O′外時，過點C作⊙O的切線，若能交⊙O′于A、B兩點，如圖丙，則OA·OB的值與（1）中的結論相比較有無變化？請說明理由．

8．（2005年黃岡市）如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形．點P、Q同時從原點出發，?分別作勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC，CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動．

（1）求出直線OC的解析式及經過O、A、C三點的拋物線的解析式．

（2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與△AOC全等，請直接寫出點D的坐標．

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（3）設從出發起，運動了t秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，?并寫出此時t的取值范圍．

（4）設從出發起，運動了t秒，當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t?的值；如不可能，請說明理由．

9．（2005年呼和浩特市）如圖（1），AB是⊙O直徑，直線L交⊙O于C1，C2，AD⊥L，垂足為D．

（1）求證：AC1·AC2=AB·AD；

（2）若將直線L向上平移（如圖（2）），交⊙O于C1，C2，使弦C1C2與直徑AB相交（交點不與A，B重合），其他條件不變，請你猜想，AC1，AC2，AB，AD之間的關系，并說明理由．

（3）若將直線L平移到與⊙O相切時，切點為C，其他條件不變，請你在圖（3）上畫出變化后的圖形，標好相應字母并猜想AC，AB，AD的關系是什么？（只寫出關系，不加以說明）．

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