第一篇：初中數學競賽輔導資料 動態幾何的定值

初中數學競賽輔導資料 動態幾何的定值

甲內容提要

1.動態幾何是指用運動的觀點研究幾何圖形的位置、大小的相互關系.用動的觀點看幾何定理，常可把幾個定理歸為一類.例如：

① 梯形的中位線，當梯形的上底逐漸變小，直到長度為零時，則為三角形的中位線； ② 兩圓相交，兩個公共點關于連心線對稱，所以連心線垂直平分公共弦，當兩個交點

距離逐漸變小，直到兩點重合時，則兩圓相切，這時切點在連心線上；

③ 相交弦定理由于交點位置、個數的變化，而演變為割線定理，切割線定理，切線長

定理等等.2.動態幾何的軌跡、極值和定值.幾何圖形按一定條件運動，有的幾何量隨著運動的變

化而有規律變化，這就出現了軌跡和極值問題，而有的量卻始終保持不變，這就是定值問題.例如：

半徑等于RA的圓A與半徑為RB(RB>RA)的定圓B內切.那么：

動點A有規律地變化，形成了一條軌跡：以B為圓心，以RB－RA的長為半徑的圓.而A，B兩點的距離，卻始終保持不變：AB=RB－RA.若另有一個半徑為RC的圓 C與圓B外切，則A，C兩點的距離變化有一定的范圍：RB+RC－(RB－RA)≤AC≤RB+RC+(RB－RA).即RC+RA≤AC≤2RB+RC－RA.所以AC有最大值：2RB+RC－RA ； 且有最小值：RC+RA.3.解答動態幾何定值問題的方法，一般有兩種：

第一種是分兩步完成 ：

① 先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.② 再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.乙例題

例1.已知：△ABC中，AB＝AC，點P是BC上任一點，過點P作BC的垂線分別交AB，AC或延長線于E，F.求證：PE＋PF有定值.分析：（探求定值）用特位定值法.① 把點P放在BC中點上.這時過點P的垂線與AB，AC的交點都是點A，PE＋PF＝2PA，從而可確定定值是底上的高的2倍.因此原題可轉化： 求證：PA＋PB＝2AD（AD為底邊上的高）.證明：∵AD∥PF，PEBPPFCPCD＋PD＝；.ADBDADCDBD

PEPFBPCD＋PD2BD＋2∴ADADBDBDBD

PE＋PF2.即AD∴

∴PE＋PF＝2AD.② 把點P放在點B上.這時PE＝0，PF＝2AD（三角形中位線性質），結論與①相同.還可以由PF＝BC×tanC，把定值定為：BC×tanC.即求證PE＋PF＝BC×tanC.（證明略）

同一道題的定值，可以有不同的表達式，只要是用題中固有的幾何量表示均可.例2.已知：同心圓為O中，AB是大圓的直徑，點P在小圓上

2求證：PA＋PB有定值.分析：用特位定值法.設大圓，小圓半徑分別為R，r.① 點P放在直徑AB上.222222

得PA＋PB＝（R＋r）＋（.R－r）＝2（R＋r）.② 點P放在與直徑AB垂直的另一條直徑上

22222222

也可得PA＋PB＝ R＋r＋R＋r＝2（R＋r）.證明： 設∠POA＝α，根據余弦定理，得

PA＝R＋r－2RrCosα，PB＝R＋r－2RrCos(180－α).∵Cos(180－α)＝Cosα.∴PA＋PB＝2（R＋r）.本題一般知道定值是用兩個圓的半徑來表示的，所以可省去探求定值的步驟，直接列出PA，PB與R, r的關系式，關鍵是引入參數α.例3.已知：△ABC中，AB＝AC，點P在中位線MN上，BP，CP的延長線分別交AC，AB于E，F.求證：

?

?

11＋有定值，BFCE

分析： 本題沒有明顯的特殊位置，不過定值一般是用三角形邊長a, b, c來表示的, 為便于計算引入參數t, 用計算法證明.證明：設MP為t, 則NP=

∵MN∥BC，a－t.2

C

MPMFNPNE

??，.BCBFBCCE

11BF?ccta?ta?t1?即?；

???

1aBFaBFBFac2

∴

11111a?tCE?ba?tba?t

1? ????

1aCEaCECEab2

1a?t?a?t

113＋∴=?

1BFCEcac

3∵c 是定線段，∴是定值.c31

1＋即有定值.cBFCE

C例4.已知：在以AB為弦的弓形劣弧上取一點M(不包括A、B兩點)，以M為圓心作圓M

和AB相切，分別過A，B作⊙M的切線，兩條切線相交于點C.求證：∠ACB有定值.分析： ⊙M是△ABC的內切圓，∠AMB是以定線段AB為弦的定弧所含的圓周角，它是個定角.(由正弦定理Sin∠AMB=所求定值可用它來表示.證明：在△ABC中，∠MAB+∠MBA=180－∠AMB，∵M是△ABC的內心，∴∠CAB+∠CBA=2(180－∠AMB).∴∠ACB=180－（∠CAB+∠CBA）

=180－2(180－∠AMB)= 2∠AMB－180.由正弦定理

?

?

?

?

?

?

AB)，2R

ABAB

?2R，∴Sin∠AMB=.2RSin ?AMB

∵弧AB所在圓是個定圓，弦AB和半徑R都有定值，∴∠AMB有定值.∴∠ACB有定值2∠AMB－180.丙練習

1.用固有的元素表示下列各題中所求的定值(不寫探求過程和證明)： ①.等腰三角形底邊上的任一點到兩腰距離的和有定值是___________.②.等邊三角形內的任一點到三邊距離的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿.?

③.正n邊形內的任一點到各邊距離的和有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.④.延長凸五邊形A1A2A3A4A5的各邊，相交得五個角：∠B1，∠B2，∠B3，∠B4，∠B5它們的度數和是________，延長凸n邊形(n≥5)的各邊相交，得n個角，它們的度數和是___________.(2001年希望杯數學邀請賽初二試題)

⑤.兩個定圓相交于A，B，經過點B任意作一條直線交 一圓于C，交另一圓于D，則

AC

有定值是_____________..AD

⑥.在以AB為直徑的半圓內，任取一點P，AP，BP的延長線分別交半圓于C，D，則

AP×AC+BP×BD有定值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑦.AB是定圓O的任意的一條弦，點P是劣弧AB上的任一點(不含A和B)，PA，PB

分別交AB的中垂線于E，F.則OE×OF有定值是__________.2.已知：點P是⊙O直徑AB上的任一點，過點P的弦CD和AB相交所成的銳角45.求證：PC+PD有定值.3.已知：點O是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點P在BC的延長線上，PD⊥BA

交BA延長線于D，PE⊥AC交AC的延長線于E.求證：∠DOE是定角

4.已知：點P是線段AB外一點，PD⊥AB于D，且PD=AB，H是△PAB的垂心，C是AB的中點.求證：CH+DH是定值.5.已知：AB，CD是⊙O的兩條直徑，點P是⊙O上任一點(不含A，B，C，D)..求證：點P在AB，CD的射影之間的距離是個定值.6.經過∠XOY的平分線上的任一點A，作一直線與OX，OY分別交于P，Q則OP，OQ的倒數和是一個定值.7.△ABC中，AB=AC=2，BC邊有100個不同點P1，P2，……，P100，記mi=APi+Bpi×PiC(i=1,2,3,……,100).則m1+m2+……+m100=＿＿＿＿＿＿＿＿.(1990年全國初中數學聯賽題)

8..直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，AB＝26cm,CD=24cm,AD=8cm,有兩個動點P和Q，點P在CD上，由D向C以每秒1cm的速度移動，點Q在AB上由B向A以每秒3cm的速度移動.問時間t經過幾秒時，①BCPQ為平行四邊形？等腰梯形？②PQ與以AD為直徑的圓O相切？相離？相交？①腰上的高.②一邊上的高或3r3.③ nrn.④ 180度，(n－4)180度.⑤兩圓半徑比.⑥AB⑦⊙O的半徑的平方.2.定值是AB平方的一半，證Rt△COM≌Rt△OBD，OM=DN.3.定值是直角，以PA為直徑的圓經過A，O，E，P，D五點，PE=AD，∠AOD=∠POE.4.定值是AB的一半，證明 仿例3.5.定值是⊙O的半徑與兩直徑夾角的正弦的積，證明仿例4.6.定值是

?

2Cos?111

??(∠xoy=2α)，證明 作AR∥OQ交Dx于R，.OAOQOPAR

7.4×100.

第二篇：0初中數學競賽輔導資料

初中數學競賽輔導資料

初中數學競賽輔導資料

初一上目錄數的整除

（一）2倍數約數3 質數合數4 零的特性5a的個位數

6數學符號7用字母表示數8抽屜原則

初一下目錄

9一元一次方程解的討論10二元一次方程的整數解11二元一次方程組解的討論12用交集解題13用枚舉法解題14經驗歸納法15乘法公式16整數的一種分類

初二上目錄奇數偶數18 式的整除19 因式分解20 恒等式證明21 比較大小22 分式23 遞推公式24 連續正整數25 十進制的記數法26 選擇題解法(一)27識圖28三角形邊角性質 初中數學競賽輔導資料

初二下目錄

29概念的定義30概念的分類 31勾股定理 32中位線33同一法34 反證法 35兩種對稱36三點共線37不等關系

38、垂直平行39線段、角相等40線段、角和差倍分41線段的比、積、冪 42形如1/a+1/b=1/c問題的證明43面積法44數的整除

（二）初三上目錄

45一元二次方程46完全平方式（數）47配方法48非負數49對稱式50 基本對稱式51待定系數52換元法53 條件等式54整數解55未知數多于方程的個數56列表法57逆推法58觀察法59“或者”“并且”60解三角形

初三下目錄

61函數的圖象62絕對值63動態幾何的定值64最大 最小值65圖象法66輔助圓67參數法證平幾68選擇題(二)69數的整除(三)70正整數簡單性質的復習

n

第三篇：初中數學競賽幾何練習題

初二數學競賽基本幾何題

1、如圖1，在△ABC中，AD⊥BC 于D，AB+BD=CD。證明∠B=2∠C。

AC

DB

2、如圖2，在△ABC中，AB=AC。D，E分別是BC，AC 上的點。問∠BAD與∠CDE滿足什么條件時，AD=AE。

ABDEC3、如圖3，六邊形ABCDEF 中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F，且AB+BC=11，FA-CD=3。求BC+DE 的值。

FAEDB

4.如圖4，在凸四邊形ABCD中，∠ABC=300，∠ADC=600，AD=DC。證明BD2 =AB2 +BC

2AC

DCB

5、如圖5，P是△ABC邊BC上一點，PC=2PB。已知∠ABC=450，∠APC=600。求∠ACB 的度數。

AB

PC

6、如圖6中，在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊向外作等邊三角形△ABD。問∠ACB為多少度時，點C與點D的距離最大？

CABD

7、如圖7，在等腰△ABC中，AB=AC，延長AB到D，延長CA到E，連DE，有AD=BC=CE=DE。證明：∠BAC=100°。

EABD第七題C

8、如圖8，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，AB=√2，AD=√6，AC=√26。求∠ABC的度數。

AC

B

D9、如圖9，在△ABC的外面作正方形ABEF和ACGH，AD⊥BC于D。延長DA 交FH于M。證明：FM=HM。

10、如圖10，P，Q，R分別是等邊△ABC三條邊的中點。M是BC上一點。以MP為一邊在BC同側作等邊△PMS。連SQ。證明 RM=SQ.ASPQB

RMC

11、如圖11，在四邊形ABCD 中，AB=a，AD=b，BC=CD.對角線AC平分∠BAD。問a與b符合什么條件時，有∠D+∠B=180°

DCAB

12、如圖12，在等腰△ABC中，AD是邊BC 上的中線，E是△ADB內任一點，連 AE，BE，CE。證明：∠AEB＞∠AEC。

AEB13、如圖，在凸四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，DC

∠BCD=120°證明：BC+CD=AC。

ABCD

14、如圖14，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，點M在AB上，點N在AC上。已知∠MDN=90°，BM2+CN2=DM2+DN2。證明：AD2= 1/4（AB2+AC2）

ANMBDC

15、如圖，在△ABC中，∠A=90°AD垂直BC交于D，∠BCA的平分線交AD于F，交AB于E，FG∥BC，交AB于G，AE=4，AB=14，求BG的長。

CDFA

16．如圖Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，作CE垂直BD交BD延長線于E，過A作AH⊥BC交BD于M，試猜想BM與CE的大小關系，并證明你的結論。

EGB

CEHDMAB

第四篇：初中幾何動態教學初探[原創]

初中幾何動態教學初探

“九年義務教育全日制初級中學《數學教學大綱》（試用）”中提出，初中數學的教學目的之一：培養學生良好的個性品質和初步辨證唯物主義觀點。良好的個性品質是指：正確的學習目的，濃厚的學習興趣，頑強的學習毅力，實事求是的科學態度，獨立思考、勇于創新的精神和良好的學習習慣；而初中數學中的辨證唯物主義教育因素之一是：數學內容中，普遍存在的運動變化、相互聯系、相互轉化等觀點。本文想就初中幾何教學中如何通過幾何動態教學對學生進行辨證唯物主義思想教育，談談我的粗淺認識。

我們經常會聽到老師和學生有這樣的反映，幾何難教，幾何難學。“難”的原因之一就是圖形關系復雜，變化多樣。老師在幾何教學中演示的圖形都是靜態的，不能將圖形的任意位置展示給學生，在給出一個或有限的幾個圖形之后，就將一些重要的幾何規律簡單地介紹給了學生。而學生在作題時，由于圖形位置變化，或位置關系復雜，就變得茫然不知所措了，這時老師也開始變得急燥了，覺得概念已講得很清楚了，怎么還不會，幾何難教難學的矛盾就產生了。

如何解決這個矛盾呢？我想還是要從幾何的精髓問題入手。“幾何就是在不斷變化的幾何圖形中，研究不變的幾何規律”。比如 圖1

1．不論三角形的位置、大小、形狀和方向如何變化，三角形的3條高線都交于一點（如圖1）； 圖2

2．不論四邊形如何變化，四邊形的四邊中點順序連接成的圖形永遠是平行四邊形（如圖2）等等，不勝枚舉。對于第一個問題，傳統教學中都是利用尺子作圖，各種情況只作一個圖形，很有限，不能說明問題；對于第二個問題，在以往的教學中絕大多數老師都是以例題形式給讓學生證明。我現在想辦法讓三角形或四邊形任意動起來，讓學生觀察：三角形的3條高線交于一點；四邊中點順序連接成的圖形永遠是平行四邊形。有了這樣一個感性認識，再深入研究就成為自覺自愿的了。學生從運動的幾何圖形中找出的幾何規律，印象會很深，而且幾何圖形有這樣的動態效果，很容易吸引這些初中學生，讓他們覺得幾何課有意思，從而愿意上幾何課。

我的這些想法是有理論根據的，因為運動的觀點是現代數學思想的一個重要方面，在中學幾何教學中應加強運動觀點的建立。現代教育理論認為：數學知識不是老師教會的，而是學生必須經過頭腦想象和理解椉唇ü箺才能真正學會的。老師傳遞給學生的只是知識信息，學生通過接收這些信息，聯系他們頭腦中舊有的知識結構，構造出他所能理解掌握的新知識，在幾何教學中，對于那些相對于學生來說復雜而又抽象的圖形，需要在老師的引導下，從不斷運動變化的圖形中，從不同的角度反復觀察、探索、發現，找出規律，“從而建立起學生自己的‘經驗體系’棗即猜想可能的結論，最后再在老師和書本的幫助下證明猜想的結論，從而建立起學生自己的‘邏輯思維體系’。即完成‘在變化的圖形中發現恒定不變的幾何規律’”。

對于一個幾何圖形來說，各種元素之間的位置關系實際上是處于變化的相互依存的狀態，動是絕對的，靜是相對的，這就產生了幾何變換。在初中平面幾何中，常見的幾何變換有：全等變換、相似變換和等積變換等。在實際教學中，要想辦法創造有變有不變的狀態，讓有利于解題的條件保持不變，而將不利于解題的條件變為有利的，這就是利用運動變化中不變的規律解題的主要思想。

如何實現讓幾何圖形動起來，讓學生在“動中找靜”，以往的幾何教學很難做到，因為在傳統的幾何教學中，用常規作圖工具（紙、筆、尺）手工繪制的圖形都是靜態的，雖然它能教給學生規范作圖，但這樣很容易掩蓋極其重要的幾何規律。有的老師可以制作很精制的投影抽拉片，使部分圖形動起來，卻很難體現圖形的任意性，以及圖形各部分之間的密切聯系。針對這個問題，我們可利用計算機輔助數學教學，利用一個軟件工具棗“幾何畫板”制作我們需要的幾何圖形，并使之任意運動和動畫，在圖形不停地變化過程中，讓學生觀察，發現不變的幾何規律，讓學生認識到幾何規律是實實在在的科學，不是憑空任意造出來的，要用科學的頭腦，去分析動態的幾何圖形，從而得到“靜態”的幾何規律。

下面結合例子來說明如何對初中幾何進行動態教學。（主要設計思路）

例1．初中幾何教材P125 *7.12 和圓有關的比例線段，這一節的內容是相交弦定理，切割線定理及其推論（即圓冪定理）一.相交弦定理：

1．弦AB、CD相交于圓內一點P，幾何畫板測算PA、PB、PC、PD，并計算PA*PB, PA*PC, PA*PD, PB*PC, PB*PD, PC*PD, 圖形運動，讓學生觀察6個乘積，反復幾次，學生得出結論：只有PA*PB=PC*PD(如圖3)圖3：

教師給出相交弦定理:圓內的兩條相交弦, 被交點分成的兩條線段的長的積相等。

要引導學生證明（略）

2·將D點向B點運動,C、A、B固定，學生觀察，PD逐漸變短，當測算值PD＝0時，同時PB＝0，此時P、B、D三點重合。問學生結論是否成立。(如圖4)

圖4：

3．讓AB運動至過圓心時停住，AB為直徑，讓CD任意與AB垂直，此時觀察四個測算值，總有PC＝PD，讓學生修改結論PC2 ＝PA*PB。引導學生用語言敘述：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。(如圖5)圖5：

二．割線定理：

圖6：

將P點運動，在P點從圓內到圓外之間反復運動的過程中，讓學生觀察6個乘積，發現依然有PA*PB=PC*PD。引導學生敘述：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。（注：此處與教材講解順序不一樣，有待探討）。

通過觀察分析，比較圖形，引導學生歸納出相交弦定理與割線定理的相同點：0 ①定理中的條件都是兩條相交直線分別與圓相交

②定理中的結論都是兩條直線的交點到各弦兩端的距離之積相等。于是，可以把相交弦定理和割線定理統一如下形式：

兩條相交直線分別與圓相交，則兩直線的交點到各弦兩端的距離之積相等

3、切割線定理

1．將PA繞P點運動，讓學生觀察A、B重合時，有 ⑴PA＝PB ⑵PA*PB=PC*PD 由學生修改結論:PA2 =PC*PD（注：教材上是PT2 ＝PA*PB）(如圖7)圖7：

引導學生用語言敘述:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

2．將PD繞P點運動,C、D重合時觀察時：（1）PC＝PD=PA=PB PA*PB=PC*PD(如圖8)圖8： 由學生修改 PA2 =PC2 ∴PA=PC

正是前面學過的切線長定理 四．深入討論

進一步引導學生：點P到各弦兩端的距離之積相等，等于什么？有沒有一般規律？（這是課本P134習題T 7.4 B組4）

引導學生分析當點P固定，∵過P點的弦有無數條，選一條過圓心的弦，即直徑：1．當P點在圓內時，引導學生: ∵PA*PB=PC*PD 又PB=R-OP PA=R+OP ∴PA.PB=(R+OP)(R-OP)= R2 －OP2

當P為定點時, OP和R均為定值(如圖9)圖9：

當P點在圓外時, 學生獨立完成。

圖10：

3．歸納總結:

一直線與半徑為R的⊙0相交, 在直線上取一不在圓周上的點P, 則該點到弦兩端的距離之積是定值│R2-OP2│

告訴學生:你們和我一起討論并驗證的這個問題實際上是直線與圓這一節中一個重要定理。一方面不僅使學生數學思維得到發展，也使他們從中 獲得成功的喜悅；另一方面，可以使學生從不斷變化的幾何圖形中發現不變的幾何規律。

例2．①同底等高的一組三角形，底BC固定不動，頂點A在平行于底邊的直線上滑動，觀察重心的位置及重心軌跡（計算機動畫演示）圖：11 觀察發現：

⑴不論三角形如何變化，重心永遠在三角形內。

⑵同底等高的一組三角形的重心軌跡是一條直線（證明略）。

②同底等高的一組三角形，底BC固定不動，頂點A在平行于底邊的直線上滑動，觀察垂心的位置及垂心軌跡（計算機動畫演示）

觀察發現：

⑴銳角三角形的垂心在銳角三角形的內部；直角三角形 的垂心在直角三角形的直角頂點處；鈍角三角形的垂心在鈍角三角形的外部。

⑵ 同底等高的一組三角形垂心的軌跡是一條拋物線。（證明略）等等。

盡管在初中幾何中不涉及軌跡問題，我們也可以不提它，但它確是計算機演示實驗的結果，可以給學生看，引起學生的興趣。

以上是我對初中幾何進行動態教學的粗淺看法，得到多名老師的一致認可，同時我也給親戚朋友的孩子（初三學生）進行了課余輔導，效果不錯，這些學生在做習題時，大部分首先回憶的是計算機演示的圖形。然后是定理，并很快結合已知條件做出了習題。我想這就達到了目的，學生知道從變化的圖形中找出不變的規律為自己所用。在介紹知識的同時，滲透了辯證唯物主義思想。文中出現不妥之處，請專家和同行批評指正。

第五篇：八年級數學競賽輔導資料一

八年級數學競賽輔導資料一

一、新課標下的數學試題研究：

數學試題中的牛吃草問題

近年來，出現了以競賽數學為背景的牛吃草問題，許多考生因缺乏必要的學習與訓練，而無從下手。為此，本文以具體案例分析為切點，詮釋牛吃草問題的解題策略。

所謂牛吃草問題，源于世界著名科學家牛頓所著的《普通算術》一書中的一道題目：

一個牧場，12頭牛4周吃草10/3格爾，21頭牛9周吃草10格爾，問24格爾牧草，多少頭牛18周吃完？（注：格爾——牧場的面積單位）

例1某玩具工廠有四個車間，某周是質量檢查周，現每個車間都原有a（a﹥0）個成品，且每個車間每天都生產b（b﹥0）個成品，質檢科派出若干名檢驗員星期

一、星期二檢驗其中兩個車間原有的和這兩天生產的所有的成品，然后，星期三至星期五檢驗另兩個車間原有的和本周生產的所有成品，假定每個檢驗員每天檢驗的成品數相同。

⑴這若干名檢驗員1天檢驗多少個成品？（用含a、b的代數式表示）⑵試求出用b表示a的關系式；

⑶若1名質檢員1天能檢驗4b/5個成品，則質檢科至少要派出多少名檢驗員？

練習某企業有九個生產車間，現在每個車間原有的成品一樣多，每個車間每天生產的成品也一樣多，有A、B兩組檢驗員，其中A組有8名檢驗員，他們先用兩天將第一、第二兩個車間的所有成品（指原有的和后來生產的）檢驗完畢后，再去檢驗第三、第四兩個車間的所有成品，又用去了三天時間；同時，用這五天時間，B組檢驗員邊檢驗完余下的五個車間的所有成品，如果每個檢驗員的檢驗速度一樣快，每個車間原有的成品為a件，每個車間每天生產b件成品。

⑴試用a、b表示B組檢驗員檢驗的成品總數；⑵求出B組檢驗員人數。（答案依次為5a+25b件，12人）

二、新課標下的中考數學試題研究

例2在車站開始檢票時，有a（a﹥0）名旅客在候車室排隊等候檢票進站。檢票開始后，仍有旅客繼續前來排隊檢票進站。設旅客按固定的速度增加，檢票口檢票的速度也是固定的。若開放一個檢票口，則需30分鐘才可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；若開放兩個檢票口，則只需10分鐘便可將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢；如果要在5分鐘內將排隊等候檢票的旅客全部檢票完畢，以使后來到站的旅客能隨到隨檢，至少要同時開放幾個檢票口？

例3某地防汛部門為做好當年的防汛工作，根據本地往年汛期特點和當年氣象信息分析，利用當地一水庫的水量調節功能，制訂當年的防汛計劃：

從6月10日零時起，開啟水庫1號入水閘蓄水，每天經過1號水閘流入水庫的水量為6萬立方米；從6月15日零時起，打開水庫的泄水閘泄水，每天從水庫流出的水量為4萬立方米；從6月20日零時起再開啟水庫2號入水閘，每天經過2號入水閘流入水庫的水量為3萬立方米；到6月30日零時起，入水閘和泄水閘全部關閉。根據測量，6月10日零時，該水庫的蓄水量為96萬立方米。⑴ 設開啟2號入水閘后的第x天的零時，水庫的蓄水量為y萬立方米，寫出y（萬立方米）與x（天）之間的函數關系式（只要求寫出解析式）；⑵ 如果該水庫的最大蓄水量為200萬立方米，該地防汛部門的當年汛期（到6月30日零時）的防汛計劃能否保證水庫的安全（水庫的蓄水量不超過的最大蓄水量）？請說明理由。

[問題]

由于打字員的辭職，一個公司積壓了一批需要打印的材料，而且每天還要新增加固定數量需要打印的材料。假設材料以頁計數，每個打字員的打字速度是相

同的，固定的（單位可以是頁/天）。如果公司聘任5名打字員，24天就恰好打完所有材料；如公司聘任9名打字員，12天就恰好打完所有材料。現在公司聘任了若干名打字員，工作8天之后，由于業務減少，每天新增加的需打印的材料少了一半，結果這些打字員共用40天才恰好完成打字工作。試問公司聘任了多少名打字員？