第一篇：初中數學幾何綜合測試題

初中幾何綜合測試題及答案

（時間120分 滿分100分）

一.填空題（本題共22分，每空2分）

1.一個三角形的兩條邊長分別為9和2，第三邊長為奇數，則第三邊長為.2.△ABC三邊長分別為3、4、5，與其相似的△A′B′C′的最大邊長是

10，則△A′B′C′的面積是

.4.弦AC，BD在圓內相交于E，且，∠BEC=130°，則∠ACD=.5.點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，若平行四邊行ABCD的面

積為8cm，則△AOB的面積為.6.直角三角形兩直角邊的長分別為5cm和12cm，則斜邊上的中線長為

.7.梯形上底長為2，中位線長為5，則梯形的下底長為

.9.如圖，分別延長四邊形ABCD兩組對邊交于E、F，若DF=2DA，10.在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，那么AD等于.二．選擇題（本題共44分，每小題4分）

1.一個角的余角和它的補角互為補角，則這個角是 [ ]

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.依次連結等腰梯形的各邊中點所得的四邊形是 [ ]

A.矩形B.正方形 C.菱形D.梯形

3.如圖，DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,△ABC被分成三部分的面積之比

為 [ ]

A.1∶2∶3B.1∶1∶1C.1∶4∶9D.1∶3∶

54.如果兩個圓的半徑分別為4cm和5cm,圓心距為1cm，那么這兩

個圓的位置關系是 [ ]

A.相交B.內切C.外切D.外離

5.已知扇形的圓心角為120°，半徑為3cm,那么扇形的面積為[ ]

6.已知Rt△ABC的斜邊為10，內切圓的半徑為2，則兩條直角邊的長為 [ ]

7.和距離為2cm的兩條平行線都相切的圓的圓心的軌跡是

[ ]

A.和兩條平行線都平行的一條直線。

B.在兩條平行線之間且與兩平行線都平行的一條直線。C.和兩平行線的距離都等于2cm的一條平行線。D.和這兩條平行線的距離都等于1cm的一條平行線。

8.過圓外一點作圓的割線PBC交圓于點B、C，作圓的切線PM，M為切點，若PB=2，BC=3，那么PM的長為 [ ]

9.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,則∠BCF的度數是 [ ]

A.160° B.150° C.70° D.50°

10.如圖OA=OB，點C在OA上，點D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于E，圖中全等三角形共有 [ ]

A.2對B.3對C.4對D.5對

11.既是軸對稱，又是中心對稱的圖形是 [ ]A.等腰三角形B.等腰梯形C.平行四邊形D.線段三.計算題（本題共14分，每小題7分）

第一次在B處望見該船在B的南偏西30°，半小時后，又望見該船

在B的南偏西60°，求該船的速度．

2.已知⊙O的半徑是2cm，PAB是⊙O的割線，PB=4cm,PA=3cm,PC

是⊙O的切線，C是切點，CD⊥PO，垂足為D，求CD的長．

四．證明題（本題共20分，每小題4分）

1.如圖，在△ABC中，BF⊥AC,CG⊥AD,F、G是垂足，D、E分

別是BC、FG的中點，求證：DE⊥FG

2.如圖已知在平行四邊形ABCD中，AF=CE，FG⊥AD于G，EH⊥BC于H，求證：GH與EF互相平分

3.如圖，AE∥BC,D是BC的中點，ED交AC于Q，ED的延長線交

AB的延長線于P，求證：PD·QE=PE·QD

4.如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，以AD為直徑的圓O交AB于點E，圓O的切線EF交BC于點F.求證：（1）∠DEF=∠B;（2）EF⊥BC

5.如圖，⊙O中弦AC，BD交于

F，過F點作EF∥AB，交DC延

長線于E，過E點作⊙O切線EG，G為切點，求證：EF=EG

初中幾何綜合測試題參考答案

一.填空（本題共22分，每空2分）1.9

2.2

4二.選擇題（本題共44分，每小題4分）

1.B2.C3.C4.B5.A6.C7.D8.C9.D10.C11.D 三.（本題共14分，每小題7分）

解1：如圖：∠ABM=30°，∠ABN=60° ∠A=90°，AB=

∴MN=20（千米），即輪船半小時航20千米，∵PC是⊙O的切線

又∵CD⊥OP

∴Rt△OCD∽Rt△OPC

證明題（本題共20分，每小題4分）證明： 連GD、FD

∵CG⊥AB,BF⊥AC,D是BC中點

∴GD=FD, △GDF是等腰三角形又∵E是GF的中點∴DE⊥GF

2.證明：

∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC

∴輪船的速度為40千米/時

.1.四

∠1=∠2又AF=CE

∠AGF=∠CHE=Rt∠Rt△AGF≌Rt△CHE

∴EH=FG,又FG⊥AD，EH⊥BC，AD∥BC∴FG∥EH

∴四邊形FHEG是平行四邊形，而GH，EF是該平行四邊形的對角線∴GH與EF互相平分

3.證明：

∵AE∥BC∴∠1=∠C, ∠2=∠3∴△AQE∽△CQD

又∵AE∥BC

又∵BD=CD∴

即PD·QE=PE·QD

4.證明：

(1)在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC∴∠A=∠B

∵EF是⊙O的切線∴∠DEF=∠A ∴∠DEF=∠B

(2)∵AD是⊙O的直徑

∴∠AED=90°，∠DEB=90° ∠DEF+∠BEF=90° ∵∠DEF=∠B

∴∠B+∠BEF=90° ∴∠EFB=90°

∴EF⊥BC5.證明：

即又

∵EF∥AB∴∠EFC=∠A∵∠D=∠A∴∠EFC=∠D又∠FEC=∠DEF∴△EFC∽△EDF

即EF=EC·ED又∵EG切⊙O于G∴EG=EC·ED∴EF=EG∴EF=EG

第二篇：初中數學幾何經典題：測試題訓練及答案

初中數學幾何經典題

1、三角形ABC中,AD為中線,P為AD上任意一點,過p的直線交AB于M.交ac于N,若AN=AM，求證PM/PN=AC/AB 證明：過P點作BC的平行線交AB,AC分別于M',N'點；再分別過M,M'兩點分別作AC的平行線分別交AD(或延長線）于P',A'兩點。

由M'N'平行BC得：AC/AN'=AB/AM',即AC/AB=AN'/AM'.且M'P=N'P 由三角形AN'P全等三角形A'M'P得：M'A'=AN'.所以，AC/AB=A'M'/AM' 由三角形AM'A'相似三角形AMP'得：AM/AM'=MP'/A'M',即A'M'/AM'=MP'/AM 所以：AC/AB=MP'/AM 由三角形MP'P相似三角形ANP得：MP'/AN=MP/PN 而AN=AM 所以：MP'/AM=MP/PN 所以：AC/AB=MP/PN

1題圖

2題圖

2、在三角形BCD中,BC=BD,延長BC至A,延長BD至E,使AC=BE,連接AD,AE,AD=AE,求BCD為等邊

證明：過點A作CD的平行線交BE的延長線于F點。則∠BDC=∠F=∠BCD=∠A，即∠A=∠F.又因為：四邊形AFDC是梯形 所以：AC=DF=FE+DE 而AC=BD+DE 所以：BD=FE 又因為：AD=AE,∠BDA=∠FEA 所以：三角形ABD和三角形AFE全等 所以：∠B=∠F 所以：∠B=∠BCD=∠BDC=60° 所以：三角形BCD是等邊三角形。

3、三角形ABC中若圓O在變化過程中都落在三角形ABC內(含相切), A為60度,AC為8,AB為10,X為未知數,是AE的長.圓O與AB,AC相切,圓O與AB的切點為E, X的范圍是？ 解：如圖，當元O與三角形ABC三條邊都相切時，x的值最大。此時： 過B作BD垂直AC,則可求得BD=5(√3),DC=3 根據勾股定理求得BC=2(√21)

設元O與邊AB,BC,CA的切點分別為E,F,G,且AE=x,BE=y,CF=z,則有方程組： x+y=10,x+z=8,y+z=2(√21), 解這個方程組得：x=9-(√21)因此：x的范圍是（0，9-√21 ]

4、已知三角形ABE中 C、D分別為AB、BE上的點，且AD=AE，三角形BCD為等邊三角形，求證BC+DE=AC 證明:過D點作BE的垂線DF,交AB于F點，過A點作BE的垂線AH,H是垂足，再過F點作AH的垂線FG,G是垂足。則：四邊形DHGF是矩形，有FG=DH.而由△ADE是等腰三角形得知DH=HE, 所以：FG=(1/2)DE.又由于角B=60°，所以：∠BAH=30° 所以：FG=(1/2)AF 所以：AF=DE 而在直角△BDF中，由于∠B=∠BDC=60° 所以：∠CDF=∠CFD=30° 所以：CF=CD=BC 所以：BC+DE=CF+AF 即：BC+DE=AC

5、已知在三角形ABC中,AD是BC邊上的中線,E是AD上的一點,且BE=AC,延長BE交AC與F,求證AF=EF 證明：如圖，連接EC,取EC的中點G,AE的中點H，連接DG,HG 則：GH=DG 所以：角1=∠2，而∠1=∠4，∠2=∠3=∠5 所以；∠4=∠5 所以：AF=EF.6、在△ABC中，D是BC邊中點，O是AD上一點，BO,CO的延長線分別交AC,AB于E,F 求證：EF平行BC。

證明：分別過B,C兩點作AD的平行線分別交CF,BE的延長線于M,N兩點。則： 四邊形MBCN是平行四邊形。

由MB‖AO‖CN,得：OF/FM=OA/BM,OE/EN=OA/CN.（相似三角形對應邊成比例）而BM=CN 所以：OF/FM=OE/EN 所以：MN‖EF 而MN‖BC 所以：EF‖BC.7、已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B', AC=A'C'.AD，A'D'分別是△ABC和△A'B'C'的中線，且AD=A'D'.求證：△ABC≌△A'B'C' 證明：分別過B,B'點作BE‖AC,B'E'‖A'C'.交AD,A'D'的延長線于E,E'點。則：△ADC≌△EDB, △A'D'C'≌△E'D'B' 所以：AC=EB,A'C'=E'B'； AD=DE, A'D'=D'E'.所以：BE=B'E', AE=A'E' 所以：△ABE≌△A'B'E' 所以：角E=∠E'

角BAD=角B'A'D' 所以：角BAC=角B'A'C' 所以：△ABC≌△A'B'C'

8、四邊形ABCD為菱形，E,F為AB,BC的中點，EP⊥CD，∠BAD＝110o，求∠FPC的度數

解：

連接BD,交AC于O點，過A作CD的垂線，垂足為G,過O作BC的平行線交CD于H.因為：角DAB=110°，∠GAB=90° 所以：∠DAG=20°。

由∠AOD=∠AGD=90°知AOGD四點共元，所以∠DOG=∠DAG=20° 由OH‖BC‖AD知：∠HOC=∠DAC=(1/2)∠BAD=55° 所以：∠GOH=90°-20°-55°=15° 而：∠OHG=∠BCD=110° 所以：∠OGH=180°-15°-110°=55° 由于：不難證明∠FPC=∠OGH(過程略）所以：∠FPC=55°

9、已知：E是正方形ABCD內的一點，且∠DAE=∠ADE=15°，求證：△EBC是等邊三角形

證明：過E點作AB的平行線EP,交BC于P點，交AD于Q點，以D為角頂點，DA為角的一邊，向正方形ABCD內作∠ADF=30°，角的一邊交EP于F點。設DQ=√3，則：FQ=1, DF=2, AD=2√3，PC=PB=AQ=√3，由角平分線定理得：QE/EF=QD/DF, 即：QE/(1-QE)=(√3)/2 解得：QE=2(√3)-3 所以：PE=PQ-QE=2(√3)-[2(√3)-3]=3 在△EPC中由勾股定理得：EC=√（PE2+PC2）=2√3 而：BE=CE 所以:BC=BE=CE=2√3 即：△EBC是等邊三角形。

10、在三角形ABC中,經過BC的中點M,有垂直相交于M的兩條直線,它們與AB,AC分別交于D、E，求證，BD+CE＞DE 證明：

如圖，延長EM到E',使E'M=ME,則：DE=DE', 由△BE'M≌△CEM得：CE=BE' 在△BE'D中，有BD+BE'>DE' 等量代換得：BD+CE>DE

11、AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點M在邊AC上，點N在邊BC上，沿直線MN把△MCN翻折，使點C落在AB上設其落點

（1）.如圖一，當是AB的中點時，求證：PA/PB=CM/CN（2）.如圖二當P不是AB中點時，結論PA/PB=CM/CN是否成立？若成立，請給出證明（1）、證明：因為P是AB中點，所以：AP/PB=1, 因為：P點是C點沿直線MN折疊的落點，所以：MN垂直平分PC, 所以：CM=MP, 由AP=BP得∠ACP=∠BCP=45° 所以：CM=MN 所以：CM/CN=1 所以：PA/PB=CM/CN

（2）、結論仍然成立。證明：

過P點分別作AC,BC的垂線PE,PD.E,D是垂足。過C作CF垂直AB,F是垂足。則： S△APC=(1/2)AC*PE=（1/2)AP*CF S△BPC=(1/2)BC*PD=(1/2)BP*CF 而AC=BC 所以：PE/PD=AP/BP

由∠MCN=∠MPN=90°知MCNP四點共元 所以：∠PME=∠PND 所以：RT△PEM∽RT△PDN 所以：PE/PD=PM/PN 而PM=MC,PN=NC 所以：PE/PD=MC/NC 所以：AP/BP=MC/NC

12、三角形ABC中，BC=5，M和I分別是三角形ABC的重心和內心，若MI平行于BC,則AB+AC的值是多少？ 解：

設內心到三邊的距離為r，BC邊上的高為AE=h, 如圖。因為MI‖BC,AM=2MD 所以：h=3r 而：S△ABC=(1/2)BC*h=(5/2)h=(15/2)r S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACE=(1/2))r(AB+AC+5)所以：(15/2)r=(1/2))r(AB+AC+5)

解得：AB+AC=10

13、已知圓O是三角形ABC的外接圓 CD是AB邊上的高，AE是圓O的直徑。求證：AC*BC=AE*CD 證明：

以E為圓心，以BC長為半徑畫弧交元O于F點。連接EF,FA.則：EF=BC,∠AFE=90° 所以：∠EAF=∠DAC（弦相等，弦所對的圓周角相等）所以：RT△ADC∽RT△EFA 所以：AC/AE=CD/EF 即AC*EF=AE*CD 而：EF=BC 所以：AC*BC=AE*CD

14、已知：D.E位△ABC內的兩點 求證：AB+AC>BD+DE+EC 證明：設直線DE交AB于F,交AC于G,則： 在△AFG中，有AF+AG>FD+DE+EG 在△BFD中，有BF+FD>BD 在△EGC中，有EG+GC>EC 所以：三個不等式兩邊相加得AF+AG+BF+FD+EG+GC>FD+DE+EG+BD+EC 即：AB+AC>DE+BD+EC

15、在三角形ABC中,BD,CE是邊AC,AB上的中點,BD與CE相交于點O,BO與OD的長度有什么關系?BC邊上的中線是否一定過點O？為什么？ 答：BO=2DO,BC邊上的中線過O點。

證明：連接AO,設M,N分別是BO,CO的中點，連接EM,DN,則： EM平行并等于AO的一半，DN平行并等于AO的一半 所以：EM平行并等于DN 所以：四邊形EMND是平行四邊形 所以：MO=OD 所以：BM=MO=OD 所以：BO=2DO

延長AO交BC于G,延長DN交BC于H,延長EM交BC于Q,則： 由AG‖EQ‖DH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC 所以；BG=GC 所以；BC邊上的中線過O點。

16、在△ABC中，AB,BE是△ABC的高，交于點H，邊BC,AC的垂直平分線FO,GO相交于點O 求證：OF=1/2AH,OG=1/2BH 證明：連接CO并延長交△ABC的外接圓于M點。則：OC是元的直徑。OF=(1/2)BM, ∠MBC=∠MAC=∠ADB=∠BEA=90° 所以：BM‖AD,AM‖BE 所以：四邊形MBHA是平行四邊形 所以：BM=AH 所以：OF=(1/2）AH.同理可證：OG=(1/2)BH.17、三角形中線分別為9 12 15 求三角形面積 解：過F點作AE的平行線，交DC于H點，則：FH=（1/2)AM=5, MH=3,（三角形中位線定理，三中線交點分中線性質）而：MF=4 所以：三角形FMH是直角三角形，即BM⊥DC.所以：S△BCD=(1/2)*9*8=36, 所以：S△ADC=S△BCD=36(同高等底的兩個三角形面積相等）所以：S△ABC=72

18、在△ABC中∠A=90°，AD⊥BC于D，M是AD的中點，延長BM交AC于E，過E作EF⊥BC于F。求證：EF2=AE*CE 證明：如圖，延長BA,FE交于N.因為：AD‖FN 所以：AM/NE=BM/BE,MD/EF=BM/BE 所以：AM/NE=MD/EF 而：AM=DM 所以：NE=EF

由于：角NAC=∠NFC=90° 所以：AFCN四點共圓 所以：AE*EC=EF*EN

所以：EF^2=AE*EC

19、已知E為平行四邊形ABCD的邊BC上的任一點，DE延長線交AB延長線與F，求證S△ABE=S△CEF。

證明:分別過C,E兩點作AB的垂線CH,EG,H,G是垂足。設BE=m,EC=n 由△BFE∽△CDE得：BF/CD=m/n.即BF/(BF+CD)=m/(m+n)也就是BF/AF=m/(m+n)(因為AB=CD，有AF=BF+CD)由RT△BEG∽RT△BCH得：HC/GE=(m+n)/m 所以：(BF/CD)*(HC/GE)=1 而：S△AFE=(1/2)AF*GE

S△BFC=(1/2)BF*CH 所以：S△BFC/S△AFE=BF*HC/AF*GE=1 所以：S△BFC=S△AFE 兩邊同時減去S△BFE得：S△ABE=S△CEF。

20、等腰直角三角形，角A為90°，D，E兩點為斜邊上的動點，角DAE=45°，當D合B重合或E和C重合時，線段DE的長度等于BD+EC 當不重合時，DE

以A點為頂點，AC為一邊向△ABC的外側作∠CAB'，使∠CAB'=∠DAB.截取AB'=AD.又因為：AC=AB.所以：△CAB'≌△BAD 所以：B'C=DB

因為:∠BAC=90°，∠DAE=45°。所以：∠BAD+∠CAE=45°。

所以：∠B'AE=∠B'AC+∠CAE=45°=∠EAD.又AD=AB',AE=AE 所以：△B'AE≌△DAE 所以:DE=EB' 在△ECB'中，有EB'

重合時，證明（略）

第三篇：初中數學幾何證明題

初中數學幾何證明題

分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。

對于證明題，有三種思考方式：

(1)正向思維。對于一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細講述了。

(2)逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對于初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那么結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可;要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。

(3)正逆結合。對于從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，初中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。

幾何證明題入門難，證明題難做，是許多初中生在學習中的共識，這里面有很多因素，有主觀的、也有客觀的，學習不得法，沒有適當的解題思路則是其中的一個重要原因。掌握證明題的一般思路、探討證題過程中的數學思維、總結證題的基本規律是求解幾何證明題的關鍵。在這里結合自己的教學經驗，談談自己的一些方法與大家一起分享。

一要審題。很多學生在把一個題目讀完后，還沒有弄清楚題目講的是什么意思，題目讓你求證的是什么都不知道，這非常不可齲我們應該逐個條件的讀，給的條件有什么用，在腦海中打個問號，再對應圖形來對號入座，結論從什么地方入手去尋找，也在圖中找到位置。

二要記。這里的記有兩層意思。第一層意思是要標記，在讀題的時候每個條件，你要在所給的圖形中標記出來。如給出對邊相等，就用邊相等的符號來表示。第二層意思是要牢記，題目給出的條件不僅要標記，還要記在腦海中，做到不看題，就可以把題目復述出來。

三要引申。難度大一點的題目往往把一些條件隱藏起來，所以我們要會引申，那么這里的引申就需要平時的積累，平時在課堂上學的基本知識點掌握牢固，平時訓練的一些特殊圖形要熟記，在審題與記的時候要想到由這些條件你還可以得到哪些結論(就像電腦一下，你一點擊開始立刻彈出對應的菜單)，然后在圖形旁邊標注，雖然有些條件在證明時可能用不上，但是這樣長期的積累，便于以后難題的學習。

四要分析綜合法。分析綜合法也就是要逆向推理，從題目要你證明的結論出發往回推理。看看結論是要證明角相等，還是邊相等，等等，如證明角相等的方法有(1.對頂角相等2.平行線里同位角相等、內錯角相等3.余角、補角定理4.角平分線定義5.等腰三角形6.全等三角形的對應角等等方法。然后結合題意選出其中的一種方法，然后再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件，把題目轉換成證明其他的結論，通常缺少的條件會在第三步引申出的條件和題目中出現，這時再把這些條件綜合在一起，很條理的寫出證明過程。

五要歸納總結。很多同學把一個題做出來，長長的松了一口氣，接下來去做其他的，這個也是不可取的，應該花上幾分鐘的時間，回過頭來找找所用的定理、公理、定義，重新審視這個題，總結這個題的解題思路，往后出現同樣類型的題該怎樣入手。

第四篇：初中數學幾何模型

初中數學幾何模型大全+經典題型（含答案）

全等變換

平移：平行等線段（平行四邊形）

對稱：角平分線或垂直或半角

旋轉：相鄰等線段繞公共頂點旋轉

對稱全等模型

說明：以角平分線為軸在角兩邊進行截長補短或者作邊的垂線，形成對稱全等。兩邊進行邊或者角的等量代換，產生聯系。垂直也可以做為軸進行對稱全等。

對稱半角模型

說明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°直角三角形的對稱（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。

旋轉全等模型

半角：有一個角含1/2角及相鄰線段

自旋轉：有一對相鄰等線段，需要構造旋轉全等

共旋轉：有兩對相鄰等線段，直接尋找旋轉全等

中點旋轉：倍長中點相關線段轉換成旋轉全等問題

旋轉半角模型

說明：旋轉半角的特征是相鄰等線段所成角含一個二分之一角，通過旋轉將另外兩個和為二分之一的角拼接在一起，成對稱全等。

自旋轉模型

構造方法：

遇60度旋60度，造等邊三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋頂點，造旋轉全等

遇中點旋180度，造中心對稱

共旋轉模型

說明：旋轉中所成的全等三角形，第三邊所成的角是一個經常考察的內容。通過“8”字模型可以證明。

模型變形

說明：模型變形主要是兩個正多邊形或者等腰三角形的夾角的變化，另外是等腰直角三角形與正方形的混用。

當遇到復雜圖形找不到旋轉全等時，先找兩個正多邊形或者等腰三角形的公共頂點，圍繞公共頂點找到兩組相鄰等線段，分組組成三角形證全等。

中點旋轉：

說明：兩個正方形、兩個等腰直角三角形或者一個正方形一個等腰直角三角形及兩個圖形頂點連線的中點，證明另外兩個頂點與中點所成圖形為等腰直角三角形。證明方法是倍長所要證等腰直角三角形的一直角邊，轉化成要證明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋轉頂點，通過證明旋轉全等三角形證明倍長后的大三角形為等腰直角三角形從而得證。

幾何最值模型

對稱最值(兩點間線段最短)

對稱最值(點到直線垂線段最短)

說明：通過對稱進行等量代換，轉換成兩點間距離及點到直線距離。

旋轉最值(共線有最值)

說明：找到與所要求最值相關成三角形的兩個定長線段，定長線段的和為最大值，定長線段的差為最小值。

剪拼模型

三角形→四邊形

四邊形→四邊形

說明：剪拼主要是通過中點的180度旋轉及平移改變圖形的形狀。

矩形→正方形

說明：通過射影定理找到正方形的邊長，通過平移與旋轉完成形狀改變

正方形+等腰直角三角形→正方形

面積等分

旋轉相似模型

說明：兩個等腰直角三角形成旋轉全等，兩個有一個角是300角的直角三角形成旋轉相似。

推廣：兩個任意相似三角形旋轉成一定角度，成旋轉相似。第三邊所成夾角符合旋轉“8”字的規律。

相似模型

說明：注意邊和角的對應，相等線段或者相等比值在證明相似中起到通過等量代換來構造相似三角形的作用。

說明：（1）三垂直到一線三等角的演變，三等角以30度、45度、60度形式出現的居多。

（2）內外角平分線定理到射影定理的演變，注意之間的相同與不同之處。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推廣到圓冪定理）之間的比值可以轉換成乘積，通過等線段、等比值、等乘積進行代換，進行證明得到需要的結論。

說明：相似證明中最常用的輔助線是做平行，根據題目的條件或者結論的比值來做相應的平行線。

初中數學經典幾何題（附答案）

經典難題（一）

1、已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求證：CD＝GF．（初二）

A

F

G

C

E

B

O

D2、已知：如圖，P是正方形ABCD內點，∠PAD＝∠PDA＝150．

A

P

C

D

B

求證：△PBC是正三角形．（初二）

3、如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點．

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．（初二）

D2

C2

B2

A2

D1

C1

B1

C

B

D

A

A1

A

N

F

E

C

D

M

B4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

經典難題（二）

1、已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線的交點），O為外心，且OM⊥BC于M．

（1）求證：AH＝2OM；

·

A

D

H

E

M

C

B

O

（2）若∠BAC＝600，求證：AH＝AO．（初二）

·

G

A

O

D

B

E

C

Q

P

N

M2、設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．（初二）

3、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：

設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q．

·

O

Q

P

B

D

E

C

N

M

·

A

求證：AP＝AQ．（初二）

4、如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側作正方形ACDE和正方形CBFG，點P是EF的中點．

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

求證：點P到邊AB的距離等于AB的一半．（初二）

經典難題（三）

1、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F．

A

F

D

E

C

B

求證：CE＝CF．（初二）

2、如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線EC交DA延長線于F．

求證：AE＝AF．（初二）

E

D

A

C

B

F3、設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

D

F

E

P

C

B

A

求證：PA＝PF．（初二）

O

D

B

F

A

E

C

P4、如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線PO相交于B、D．求證：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

經典難題（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形內一點，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

A

P

C

B

求：∠APB的度數．（初二）

2、設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且∠PBA＝∠PDA．

求證：∠PAB＝∠PCB．（初二）

P

A

D

C

B3、設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

C

B

D

A4、平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB上的一點，AE與CF相交于P，且

AE＝CF．求證：∠DPA＝∠DPC．（初二）

F

P

D

E

C

B

A

經典難題（五）

1、設P是邊長為1的正△ABC內任一點，L＝PA＋PB＋PC，求證：≤L＜2．

2、已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA＋PB＋PC的最小值．

A

C

B

P

D

A

P

C

B

A

C

B

P

D3、P為正方形ABCD內的一點，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的邊長．

E

D

C

B

A4、如圖，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分別是AB、AC上的點，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度數．

經典難題（一）

1.如下圖做GH⊥AB,連接EO。由于GOFE四點共圓，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得證。

2.如下圖做△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊△，從而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，從而得出△PBC是正三角形

3.如下圖連接BC1和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A2E并延長相交于Q點，連接EB2并延長交C2Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，由A2E=A1B1=B1C1=

FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,從而可得∠A2B2

C2=900，同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。

4.如下圖連接AC并取其中點Q，連接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，從而得出∠DEN＝∠F。

經典難題（二）

1.(1)延長AD到F連BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,從而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)連接OB，OC,既得∠BOC=1200，從而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得證。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC=∠AGE。

又因為PFOA與QGOA四點共圓，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，從而可得AP=AQ。

4.過E,C,F點分別作AB所在直線的高EG，CI，FH。可得PQ=。

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。

從而可得PQ=

=，從而得證。

經典難題（三）

1.順時針旋轉△ADE，到△ABG，連接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

從而可得B，G，D在一條直線上，可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC為等邊三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，從而可得∠A

EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可證：CE=CF。

2.連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，從而可知道∠F=150，從而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC為正方形。

令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。

經典難題（四）

1.順時針旋轉△ABP

600，連接PQ，則△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

2.作過P點平行于AD的直線，并選一點E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圓（一邊所對兩角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得證。

3.在BD取一點E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

=，即AD?BC=BE?AC，①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

=，即AB?CD=DE?AC，②

由①+②可得:

AB?CD+AD?BC=AC(BE+DE)=

AC·BD，得證。

4.過D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：

=，由AE=FC。

可得DQ=DG，可得∠DPA＝∠DPC（角平分線逆定理）。

第五篇：初中數學幾何怎么樣學

初中數學幾何怎么樣學？

怎樣學好初中數學

怎樣學好數學，是剛步入初中的同學面臨的共同問題。大家在小學學習數學時，往往偏重于模仿，依賴性較強，獨立思考和自學的能力不夠，很少去探究知識間的聯系和應用。到了中學，這種學習方法必須改變。那么如何學好數學呢？下面從“四多”談一談我的建議。

一、多看

主要是指認真閱讀數學課本。許多同學沒有養成這個習慣，把課本當成練習冊；也有一部分同學不知怎么閱讀，這是他們學不好數學的主要原因之一。一般地，閱讀可以分以下三個層次：

1.課前預習閱讀。預習課文時，要準備一張紙、一支筆，將課本中的關鍵詞語、產生的疑問和需要思考的問題隨手記下，對定義、公理、公式、法則等，可以在紙上進行簡單的復述。重點知識可在課本上批、劃、圈、點。這樣做，不但有助于理解課文，還能幫助我們在課堂上集中精力聽講，有重點地聽講。

2.課堂閱讀。預習時，我們只對所要學的教材內容有了一個大概的了解，不一定都已深透理解和消化吸收，因此有必要對預習時所做的標記和批注，結合老師的講授，進一步閱讀課文，從而掌握重點、關鍵，解決預習中的疑難問題。

3.課后復習閱讀。課后復習是課堂學習的延伸，既可解決在預習和課堂中仍然沒有解決的問題，又能使知識系統化，加深和鞏固對課堂學習內容的理解和記憶。一節課后，必須先閱讀課本，然后再做作業；一個單元后，應全面閱讀課本，對本單元的內容前后聯系起來，進行綜合概括，寫出知識小結，進行查缺補漏。

二、多想

主要是指養成思考的習慣，學會思考的方法。獨立思考是學習數學必須具備的能力，同學們在學習時，要邊聽(課)邊想，邊看(書)邊想，邊做(題)邊想，通過自己積極思考，深刻理解數學知識，歸納總結數學規律，靈活解決數學問題，這樣才能把老師講的、課本上寫的變成自己的知識。

三、多做

主要是指做習題，學數學一定要做習題，并且應該適當地多做些。做習題的目的首先是熟練和鞏固學習的知識；其次是初步啟發靈活應用知識和培養獨立思考的能力；第三是融會貫通，把不同內容的數學知識溝通起來。在做習題時，要認真審題，認真思考，應該用什么方法做？能否有簡便解法？做到邊做邊思考邊總結，通過練習加深對知識的理解。

四、多問

是指在學習過程中要善于發現和提出疑問，這是衡量一個學生學習是否有進步的重要標志之一。有經驗的老師認為：能夠發現和提出疑問的學生才更有希望獲得學習的成功；反之，那種一問三不知，自己又提不出任何問題的學生，是無法學好數學的。那么，怎樣才能發現和提出問題呢？第一，要深入觀察，逐步培養自己敏銳的觀察能力；第二，要肯動腦筋，不愿意動腦筋，不去思考，當然發現不了什么問題，也提不出疑問。發現問題后，經過自己的獨立思考，問題仍得不到解決時，應當虛心向別人請教，向老師、同學、家長，向一切在這個問題上比自己強的人請教。不要有虛榮心，不要怕別人看不起。只有善于提出問題、虛心學習的人，才有可能成為真正的學習上的強者。

學習方法是靈活多樣、因人而異的，能不斷改進自己的學習方法，是你學習能力不斷提高的表現。