第一篇：高中數學教案點到直線的距離公式

高中數學教案

【課題】 點到直線的距離公式 【課題類型】新知課 【教學目的】

1.使學生了解點到直線的距離公式的推導過程 2.要求學生牢記并會靈活運用點到直線的距離公式 【重點】掌握并會靈活運用點到直線的距離公式 【難點】點到直線的距離公式的推導過程 【教學過程】 1.引出新課 ⑴提出問題

讓同學們思考，在平面直角坐標系中，如果已知某點P的坐標為（x0,y0），直線L的方程 Ax+By+C=0，那么怎樣由點的坐標和直線的方程直接求出點P到直線L的距離呢？ ⑵提問問題

找同學回答點到直線的距離是如何定義的

（點P到直線L的距離d是點P到直線L的垂線段的長度 ⑶做出圖形

讓同學觀察圖形，則圖中PQ即為所求點到直線的距離

引導學生思考，若求PQ，則要用到連點之間的距離公式，因此要求出點配合點Q的坐標，由于P點的坐標已知，因此之需求Q.若求Q,由于Q是直線L與直線PQ的交點，因此需要求出直線PQ的方程，又點P的坐標已知，PQ與直線L垂直，故PQ的斜率為B/A 通過以上分析，可計算出PQ的長度，即點P到直線L的距離

要求學生下去自己求解，但由于計算過程復雜，問是否有簡單的方法呢？ 2.講新課 I.分析過程

⑴在圖上作出過P點與x軸,y軸垂直的直線PS,PR與直線分別交與S,R 讓同學們觀察是不是有什么新的思路。⑵兩分鐘后，和同學們一起分析，PQ相當于直角三角線PRS斜邊上的高，即S=1/2|RS||PQ| 然而，直角三角形的面積S=1/2|PR||PS| 因此有

1/2|RS||PQ|=1/2|PR||PS| 即

|PQ|=|PR||PS|/PQ ⑶那么要求|PQ|，只需求解|PS|,|PR|,|PQ|，那么怎么求解這幾個量呢？ II.推倒過程

此時，可設P(x0,y0),則R(x1,y0),S(x0,y2)由

Ax1+By0+C=0 Ax0+By2+C=0

得

x1=(-By0-C)/A

y2=(-Ax0-C)/B 所以，|PR|=|x0-x1|=|(Ax0+By0+C)/A| |PS|=|y0-y2|=|(Ax0+By0+C)/C| |RS|=√PR*PR+PS*PS=√A*A+B*B/AB*| Ax0+By0+C| 代入面積公式，得

|PQ|=| Ax0+By0+C|/√A*A+B*B 3.講例題

求點P(X0.Y0)到直線2X+Y-10=0的距離 【留作業】 85頁2，3題

第二篇：《點到直線距離》說課稿

《點到直線距離》說課稿1

1.教材分析

1-1教學內容及包含的知識點

(1)本課內容是高中數學第二冊第七章第三節《兩條直線的位置關系》的最后一個內容

(2)包含知識點：點到直線的距離公式和兩平行線的距離公式

1-2教材所處地位、作用和前后聯系

本節課是兩條直線位置關系的最后一個內容，在此之前，有對兩線位置關系的定性刻畫：平行、垂直，以及對相交兩線的定量刻畫：夾角、交點。在此之后，有圓錐曲線方程，因而本節既是對前面兩線垂直、兩線交點的復習，又是為后面計算點線距離(在直線和圓錐曲線構成的組合圖形中)提供一套工具。

可見，本課有承前啟后的作用。

1-3教學大綱要求

掌握點到直線的距離公式

1-4高考大綱要求及在高考中的顯示形式

掌握點到直線的距離公式。在近年的高考中，通常以直線和圓錐曲線構成的組合圖形為背景，判斷直線和圓錐曲線的位置或構成三角形求高，涉及絕對值，直線垂直，最小值等。

1-5教學目標及確定依據

教學目標

(1)掌握點到直線的距離的概念、公式及公式的推導過程，能用公式來求點線距離和線線距離。

(2)培養學生探究性思維方法和由特殊到一般的研究能力。

(3)認識事物之間相互聯系、互相轉化的辯證法思想，培養學生轉化知識的能力。

(4)滲透人文精神，既注重學生的智慧獲得，又注重學生的情感發展。

確定依據：

中華人民共和國教育部制定的《全日制普通高級中學數學教學大綱》(xxxx年4月第一版)，《基礎教育課程改革綱要(試行)》，《高考考試說明》(xxxx年)

1-6教學重點、難點、關鍵

(1)重點：點到直線的距離公式

確定依據：由本節在教材中的地位確定

(2)難點：點到直線的距離公式的推導

確定依據：根據定義進行推導，思路自然，但運算繁瑣;用等積法推導，運算較簡單，但思路不自然，學生易被動，主體性得不到體現。

分析“嘗試性題組”解題思路可突破難點

(3)關鍵：實現兩個轉化。一是將點線距離轉化為定點到垂足的距離;二是利用等積法將其轉化為直角三角形中三頂點的距離。

2.教法

2-1發現法：本節課為了培養學生探究性思維目標，在教學過程中，使老師的主導性和學生的主體性有機結合，使學生能夠愉快地自覺學習，通過學生自己練習“嘗試性題組”，引導、啟發學生分析、發現、比較、論證等，從而形成完整的數學模型。

確定依據：

(1)美國教育學家波利亞的教與學三原則：主動學習原則，最佳動機原則，階段漸進性原則。

(2)事物之間相互聯系，相互轉化的辯證法思想。

2-2教具：多媒體和黑板等傳統教具

3.學法

3-1發現法：豐富學生的數學活動，學生經過練習、觀察、分析、探索等步驟，自己發現解決問題的方法，比較論證后得到一般性結論，形成完整的數學模型，再運用所得理論和方法去解決問題。

一句話：還課堂以生命力，還學生以活力。

3-2學情：

(1)知識能力狀況，本節為兩線位置關系的最后一個內容，在這之前學生已經系統的學習了直線方程的各種形式，有對兩線位置關系的定性認識和對兩線相交的定量認識，為本節推證公式涉及到直線方程、兩線垂直、兩線交點作好了知識儲備。同時學生對解析幾何的實質中，用坐標系溝通直線與方程的研究辦法，有了初步認識，數形結合的思想正逐漸趨于成熟。

(2)心理特點：又見“點到直線的距離”(初中已學習定義)，學生既熟悉又陌生，既困惑又好奇，探詢動機由此而生。

(3)生活經驗：數學源于生活，生活中的點線距隨處可見，怎樣將實際問題數學化，是每個追求成長、追求發展的學生所渴求的一種研究能力。豐富的課堂數學活動能夠讓他們真正參與，體驗過程，錘煉意志，培養能力。

3-3學具：直尺、三角板

3.教學程序

教學環節教學過程設計意圖

創設情景(三分鐘)喚醒舊知師：“距離產生美”。昨天我與**同學相隔遙遠，彼此毫無感覺，今天的零距離蕩漾著親切，卻少了想象的空間，看來把握恰當的距離才能感知美好。

(1)你有什么辦法能得到我(A點)和**同學(B點)之間的距離?

生：思考，回答。

(2)“形缺數時難入微”。(1)中的各種辦法中哪個較好?還有沒有更好的辦法。

生：比較，回答。

教學機智：針對學生的回答，老師進行引導。老師進行鋪墊、遞進，或深入、拓展。

師：由此看來，兩點間距離公式成為解決該問題的首選。讓我們一鼓作氣，繼續努力。提問一：還原學生的數學現實，誘發動機，樂于參與。

提問二：既可點燃數形結合的思想，又可喚醒兩點間距離公式。

根據認識發展理論，學生認知結構的發展是在其認識的過程中伴隨同化和順應的認知結構不斷再建構的過程，達到以舊悟新的目的。(1)(2)兩問的解決為后繼知識作好了鋪墊。

4.教學評價

學生完成反思性學習報告，書寫要求：

(1)整理知識結構

(2)總結所學到的基本知識，技能和數學思想方法

(3)總結在學習過程中的經驗，發明發現，學習障礙等，說明產生障礙的原因

(4)談談你對老師教法的建議和要求。

作用：

(1)通過反思使學生對所學知識系統化。反思的過程實際上是學生思維內化，知識深化和認知牢固化的一個心理活動過程。

(2)報告的寫作本身就是一種創造性活動。

(3)及時了解學生學習過程中的知識缺陷，思維障礙，有利于教師了解學生對自己的教法的滿意度和效果，以便作出及時調整，及時進行補償性教學。

5.板書設計

(略)

6.教學的反思總結

心理歷練，得意之處，困惑之處，知識的傳承發展，如何修正完善等。

《點到直線距離》說課稿2

一、關于教材分析

1、教材的地位和作用

“點到直線的距離”是在學生學習直線方程的基礎上，進一步研究兩直線位置關系的一節內容，我們知道兩條直線相交后，進一步的量化關系是角度，而兩條直線平行后，進一步的量化關系是距離，而平行線間的距離是通過點到直線距離來解決的。此外在研究直線與圓的位置關系、曲線上的點到直線的距離以及解析幾何中有關三角形面積的計算等問題時，都要涉及點到直線的距離。所以“點到直線的距離公式”是平面解析幾何的一個重要知識點。由于這一節是直線內容的結尾部分，學生已經具備直線的有關知識（如交點、垂直、向量、三角形等），因此，一方面公式的推導成為可能，另一方面公式的推導也是檢驗學生是否真正掌握所學知識點的一個很好的課題。通過公式推導的獲得，可以培養學生分析問題、解決問題的能力，以及自主探究和合作學習的能力。

2、教學目標分析

我確定教學目標的依據有以下三條：

（1）教學大綱、考試大綱的要求

（2）新教材的特點

（3）所教學生的實際情況

教學目標包括：知識、能力、德育等方面的內容。

“點到直線的距離公式”是平面解析幾何重要的基礎知識，也是教學大綱和考試大綱要求掌握的一個知識點。按照大綱“在傳授知識的同時，滲透數學思想方法，培養學生數學能力”的教學要求，結合新教材向量的引入，又根據所帶班級學生基礎和素質教好的情況，我把本節課的教學目標確定為：

（1）讓學生理解點到直線距離公式的推導思想，掌握點到直線距離公式及其應用，會用點到直線距離求兩平行線間的距離；

（2）通過推導公式方法的發現，培養學生觀察、思考、分析、歸納等數學能力；在推導過程中，滲透數形結合、轉化（或化歸）等數學思想以及特殊與一般的方法；

（3）通過本節學習，引導學生用聯系與轉化的觀點看問題，體驗在探索問題的過程中獲得的成功感。

3、教學重點：點到直線距離公式的推導和應用。

教學難點：發現點到直線距離公式的推導方法。

二、關于教學方法和教學用具的說明

1、教學方法的選擇

（1）指導思想：在“以生為本”理念的指導下，充分體現“教師為主導，學生為主體”。

（2）教學方法：問題解決法、討論法等。

本節課的任務主要是公式推導思路的獲得和公式的推導及應用。我選擇的是問題解決法、討論法等。通過一系列問題，創造思維情境，通過師生互動，讓學生體驗、探究、發現知識的形成和應用過程，以及思考問題的方法，促進思維發展；學生自主學習，分工合作，使學生真正成為教學的主體。

2、教學用具的選用

在選用教學用具時，我考慮到，在本節課的公式推導和例題求解中思路較多，所以采用了計算機多媒體和實物投影儀作為輔助教具。它可以將數學問題形象、直觀顯示，便于學生思考，實物投影儀展示學生不同解題方案，提高課堂效率。

三、關于教學過程的設計

“數學是思維的體操”，一題多解可以培養和提高學生思維的靈活性，及分析問題和解決問題的能力。課程標準指出，教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識間的有機聯系，感受數學的整體性。課標又指出，鼓勵學生積極參與教學活動。為此，在具體教學過程中，把本節課分為以下：“創設情境提出問題——自主探索推導公式——變式訓練學會應用——學生小結教師點評——課外練習鞏固提高”五個環節來完成。下面對每個環節進行具體說明。

[創設情境提出問題]

1、這一環節要解決的主要問題是：

創設情境，引導學生分析實際問題，由實際問題轉化為數學問題，揭示本課任務。同時激發學生學習興趣，培養學生數學建模能力。

2、具體教學安排：

多媒體顯示實例，電信局線路問題，實際怎樣解決？能否轉化為解析幾何問題？學生很快想到建立坐標系。如何建立坐標系？建系不同，點和直線方程不同，用點的坐標和直線方程如何解決距離問題，由此引出本課課題“點到直線的距離”。

[自主探索推導公式]

1、這一環節要解決的主要問題是：

充分發揮學生的主體作用，引導學生發現點到直線距離公式的推導方法，并推導出公式。在公式的推導過程中，圍繞兩條線索：明線為知識的學習，暗線為特殊與一般的邏輯方法以及轉化、數形結合等數學思想的滲透。

2、具體教學安排：

2.1學生初探解決特例

首先提出問題：怎樣用解析幾何方法求解點到直線距離？由于字母的運算有難度，引導學生從直線的特殊情況入手，這樣問題比較容易解決。學生應該能想到，如果直線是坐標軸或平行坐標軸的時候問題比較容易解決，給予學生肯定的評價。學生自己完成推導過程，選兩名學生進行板演。

2.2師生互動獲取思路

特殊情況已經解決，引導學生考慮一般直線的情況。通過學生思考，教師收集得到思路一：過作于點，根據點斜式寫出直線方程，由與聯立方程組解得點坐標，然后利用兩點距離公式求得。

我及時評價這種方法思路自然，是一種解決辦法。為了拓展學生思維，我們根據已有的知識和經驗，還有什么辦法能解決？

為此我啟發學生，提出問題：

(1)求線段長度可以構造圖形嗎？

(2)什么圖形？如何構造？（學生經過討論，得到構造三角形，把線段放在直角三角形中。）但是如何構造又是一個難點。

(3)第三個頂點在什么位置？

(4)特殊情況與一般情況有聯系嗎？

學生通過觀察、討論會提出第三個頂點的不同位置：可能在直線與x軸的交點M或與y軸交點N；或根據特殊情況的證法提示，過P點作x、y軸的平行線與直線的交點R、S。或同時做x、y軸平行線。這樣就收集到思路二、三、四。三種思路已經有了，它們的共性是什么？學生能觀察出都在三角形中。我繼續引導：能不能不構造三角形？而是其它數學相關量？我們剛學習了向量知識，能否用向量知識解決問題呢？（由于在前面學習的向量知識中，向量的模可以表示兩點之間的距離，而證明兩直線垂直時也已經用到向量知識，法向量又是本節課后閱讀材料，本班學生基礎和素質較好，在學習直線方向向量時已經布置閱讀）。

提出問題：線段的長度就是對應向量的模，那么如何求得向量的模呢？根據實際情況提示一方面的方向完全由直線的方向而定（與法向量共線），另一方面的長度又與點P有關，它的長度又如何控制下來？所以有思路五，由師生一起分析，取法向量＝，而=，以下只要求得，就可以得到距離。

2.3分工合作自主完成

學生提出了不同的解決方案，究竟哪種好呢？如果讓每位學生都去用不同解法探求，在課堂上時間顯然是不允許的，但教學中又要培養學生的運算能力，如何解決這種矛盾呢？現代教育要求學生要有自主學習、合作學習能力，因此我叫學生對五種思路進行分組練習。

在學生求解過程中，我巡視，觀看學生解題，了解情況，根據課堂時間的實際情況，選取做好的學生的解題過程用實物投影儀顯示。這樣不僅能讓全體學生看到不同思路的具體解法，還能得出最佳解題方案，接著我展示最佳解題方案的規范步驟。目的讓學生有良好的規范的書面表達習慣，起到教師典范的作用。

2.4公式小結概括提升

公式推導出，學生有了成功的喜悅。我也給予了肯定。但是由于公式的結果是一般情況得出的，而對于，點在直線上是否成立，它們與，點在直線外有什么關系？這并沒有驗證。而我們要求學生考慮問題要全面，為此我提出提問：①上式是由條件下得出，對成立嗎？②點P在直線上成立嗎？③公式結構特點是什么？用公式時直線方程是什么形式？通過學生的討論，使學生了解公式適用的范圍：任意點、任意直線。同時體現整體認識和分類討論思想。

依據新課程的理念，教師要創造性地使用教材。在公式的推導過程中，我做了和教材不同的處理方法：（1）先特殊后一般的證法，（2）多角度構造三角形，（3）知識聯系，向量解決。目的是讓學生在考慮問題時有特殊到一般的意識，符合學生認知規律，使問題的解決循序漸進。向量是新教材內容，是一種很好的數學工具，和解析幾何結合應用是現在新教材知識的交匯點。而多角度考慮問題，發散學生思維。

[變式訓練學會應用]

1、這一環節解決的主要問題是：

通過練習，熟悉公式結構，記憶并簡單應用公式。通過例題的不同解法，進一步讓學生體會轉化（或化歸）的數學思想。

2、具體教學安排：

由學生完成下列練習：

（1）解決課堂提出的實際問題。（學生口答）

（2）求點P0(－1,2)到下列直線的距離：

①3x=2②5y=3③2x＋y=10④y=－4x+1

設計說明：練習1的設計解決了上課開始提出的實際問題。練習2的設計故意選特殊直線和非直線方程一般式，主要強調在公式應用時，直線方程是一般式，應用公式的準確性。

例題（3）求平行線2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距離。

我選取的是課本例題，課本只有一種具體點的解法。我通過本節課的學習，讓學生對知識從深度和廣度上進行挖掘。通過幾何畫板的演示，讓學生直觀看到思考問題的方法。除了選擇直線上的點，還可以選取原點，求它到兩條直線的距離，然后作和。或者選取直線外的點P，求它到兩條直線的距離，然后作差。由特殊點到任意點，由特殊直線到任意直線，從而延伸出兩平行線間的距離。目的是在整個過程中，讓學生注意體會解題方法中的靈活性以及轉化等數學思想方法。

[學生小結教師點評]

1、這一環節解決的主要問題和達到的目的是：

通過師生共同小結，鞏固所學知識，提煉用到的解決問題的方法，其中蘊涵的數學思想方法，培養學生歸納概括能力。

2、具體教學安排：

本節課小結主要由學生完成知識總結，通過學習知識所體驗到的數學思想方法，由學生總結和相互補充，教師適當點評，加以經驗總結。

[課外練習鞏固提高]

①課本習題7.3的第13題—16題；

②總結寫出點到直線距離公式的多種方法。

設計說明：作業1是課本習題，檢查學生所學知識掌握的程度。作業2是根據課堂分析，讓學生總結公式推導的方法。除了課堂上想到的方法還可以繼續思考，比如在用兩點距離公式整體代換等方法，發揮學生學習的自主性和思維的廣闊性。

四、關于教學評價的設計

新課程標準提出要加強過程性評價，因而在具體教學過程中，我對于學生的語言與行為的表現，及時給予肯定性的表揚和鼓勵；學生思維暴露出問題時及時評價，矯正思維方向，調整教學思路；為了獲得后反饋信息，布置作業，通過觀察學生完成作業情況，了解學生在知識技能和數學方法方面的收獲和不足，指導我今后教學。整個教學評價是在師生互動中完成的。

《點到直線距離》說課稿3

各位領導和老師，大家下午好！今天我說課的題目是高中數學蘇教版必修2第二章第一節內容《點到直線的距離》下面我想談談我對這節課的一些淺薄的認識。

解析幾何是17世紀數學發展的重大成果之一，其本質是用代數方法研究圖形的幾何性質，體現了數形結合的重要數學思想，其主要內容是計算和證明，而計算問題則主要是距離和角的計算。其中距離的計算主要包括點、線、面之間距離的計算，而點到直線的距離處在關鍵的位置上。

《點到直線的距離》這一節是研究平面元素的位置關系，由定性研究到定量研究的第二節課。它是解決點線、線線距離的基礎，也是研究直線與圓、圓與圓位置關系的重要工具，同時為后面學習圓錐曲線作準備。教材試圖讓學生經歷探索點到直線距離公式并論證這個公式的過程，深刻領會蘊涵于其中的數學思想和方法，如數形結合、算法、函數等；并讓學生享受作為學習主體進行探究、發現和創造的樂趣。

教材中以算法語言的形式給出了兩種推導點到直線的距離公式的方法，尤其是第二種方法是通過構造形解決數的問題，然后再把形代數化，這一正一逆，使數與形達到了完美的結合，其蘊含的重要思想，需要學生細細體會。

針對咱們師范學校學生的特點，結合本教材，本著低起點、高要求、循序漸進，充分調動學生學習積極性的原則，我制定了以下教學目標：

首先是掌握點到直線的距離公式，并能運用它解決一些簡單問題；其次通過運用面積法推導點到直線的距離公式的推導過程，使學生進一步了解數學結合思想在解決具體問題中的重要作用；第三讓學生經歷自主探究，合作交流的過程，充分感受點到直線的距離公式的推導過程；同時通過此過程，滲透算法、化歸等思想，培養學生勇于探索、勇于創新的精神。

我把點到直線的距離公式的推導思路以及其簡單的應用作為本節課的教學重點，而點到直線的距離公式的推導思路我認為同時也是本節課的教學難點。

根據教學內容和學生的學習狀況及其認知特點，本節課我準備采用類比探究式教學模式。即：從學生熟知的實際生活背景出發，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂教學方式，引導學生探索點到直線的距離的求法。讓學生在合作交流、共同探討的氛圍中，認識公式的推導過程及知識的運用，進一步提高學生幾何問題代數化的數學思維能力。

下面我想說一說我的教學過程設計。本節課我準備通過以下四個環節進行。分別是問題情境——合作探究——應用舉例——歸納總結。

也就是首先從一個具體的實際問題入手，引導學生將其轉化為解析幾何問題，建立坐標系，由此引出本節課題，同時激發學生學習興趣，培養學生簡單的數學建模能力。

接下來進入到第二個環節，即點到直線的距離公式的推導過程。這個環節我主要是通過三個具體的問題實現的。而這三個問題是由特殊到一般、從具體到抽象的過程，符合學生的認知規律。

第一個問題雖然簡單，但是是后面兩個問題的基礎，因此我準備平均3到4位同學一組放手讓學生討論解決這個問題的方法，在學生討論的過程中，適時的引導學生從不同的角度分析問題，進而尋求到不同的方法。那么結合學生現有的知識水平，我認為學生可能會想到的方法不外乎會有以下幾種：（1）兩點間的距離公式；（2）面積法；（3）向量法。

也可能會有同學采用以下這兩種方法。由于這個問題比較簡單，因此我準備讓學生結合找到的方法解決這個問題并相互驗證方法的正確性，體驗成功的喜悅。

在問題一的基礎上，引導學生尋找問題二的解決辦法，這一過程，最重要的是將其化歸為第一個問題的解決辦法。即過點P向X軸和Y軸作垂線構造直角三角形，進而引導學生發現第一個問題的解決方法依然適用于問題二。

這樣有了以上兩個問題的解決作為鋪墊，第三個問題的解決就是順理成章的了。雖然在前面兩個問題的解決中并沒有要求學生說出詳細的思路，但是經過兩次針對性的訓練，學生心里應該有一個大概的思路，因此我準備分成以下三個層次進行：

第一個層次是讓學生說一說面積法推導點到直線的距離公式的思路；第二個層次則是師生共同用算法框圖的形式把思路寫出來；第三個層次則是在以上兩個層次的基礎上，師生合作推導點到直線的距離公式的詳細過程。

最終推導得出點到直線的距離公式。

為了能夠讓學生迅速的掌握點到直線的距離公式，我準備通過以下三個具體的例子及相關練習進行針對性的訓練。

第一個例子是公式的簡單應用問題，學生應該能夠很輕松的解決，同時在學生完成第一個例子的基礎上給出一個思考題，學生通過畫圖也應該能夠解決。

而第二個例子則是公式的逆向運用問題，需要提醒學生注意多解的情況。那么第三個例子有以下幾個目的：第一個目的是公式的簡單應用，第二個目的則是讓學生發現選擇不同的點平行四邊形的高不變，第三個目的則是為平行直線間的距離作鋪墊。

接下來是進行歸納小結，此時應該重點強調數形結合思想在本節課的充分體現。

最后是布置作業。

以上就是我的說課內容，謝謝大家！

《點到直線距離》說課稿4

一、關于教材分析

1、教材的地位和作用

“點到直線的距離”是在學生學習直線方程的基礎上，進一步研究兩直線位置關系的一節內容，我們知道兩條直線相交后，進一步的量化關系是角度，而兩條直線平行后，進一步的量化關系是距離，而平行線間的距離是通過點到直線距離來解決的.此外在研究直線與圓的位置關系、曲線上的點到直線的距離以及解析幾何中有關三角形面積的計算等問題時，都要涉及點到直線的距離.所以 “點到直線的距離公式”是平面解析幾何的一個重要知識點.由于這一節是直線內容的結尾部分，學生已經具備直線的有關知識(如交點、垂直、向量、三角形等)，因此，一方面公式的推導成為可能，另一方面公式的推導也是檢驗學生是否真正掌握所學知識點的一個很好的課題.通過公式推導的獲得，可以培養學生分析問題、解決問題的能力，以及自主探究和合作學習的能力.

2、教學目標分析

我確定教學目標的依據有以下三條：

(1)教學大綱、考試大綱的要求

(2)新教材的特點

(3)所教學生的實際情況

教學目標包括：知識、能力、德育等方面的內容.

“點到直線的距離公式”是平面解析幾何重要的基礎知識，也是教學大綱和考試大綱要求掌握的一個知識點.按照大綱 “在傳授知識的同時，滲透數學思想方法，培養學生數學能力”的教學要求，結合新教材向量的引入，又根據所帶班級學生基礎和素質教好的情況，我把本節課的教學目標確定為：

(1)讓學生理解點到直線距離公式的推導思想，掌握點到直線距離公式及其應用，會用點到直線距離求兩平行線間的距離;

(2)通過推導公式方法的發現，培養學生觀察、思考、分析、歸納等數學能力;在推導過程中，滲透數形結合、轉化(或化歸)等數學思想以及特殊與一般的方法;

(3)通過本節學習，引導學生用聯系與轉化的觀點看問題，體驗在探索問題的過程中獲得的成功感.

3、教學重點：點到直線距離公式的推導和應用.

教學難點：發現點到直線距離公式的推導方法.

二、關于教學方法和教學用具的說明

1、教學方法的選擇

(1)指導思想：在“以生為本”理念的指導下，充分體現“教師為主導，學生為主體”.

(2)教學方法：問題解決法、討論法等.

本節課的任務主要是公式推導思路的獲得和公式的推導及應用.我選擇的是問題解決法、討論法等.通過一系列問題，創造思維情境，通過師生互動，讓學生體驗、探究、發現知識的形成和應用過程，以及思考問題的方法，促進思維發展;學生自主學習，分工合作，使學生真正成為教學的主體.

2、教學用具的選用

在選用教學用具時，我考慮到，在本節課的公式推導和例題求解中思路較多，所以采用了計算機多媒體和實物投影儀作為輔助教具.它可以將數學問題形象、直觀顯示，便于學生思考，實物投影儀展示學生不同解題方案，提高課堂效率.

三、關于教學過程的設計

“數學是思維的體操”，一題多解可以培養和提高學生思維的靈活性，及分析問題和解決問題的能力.課程標準指出，教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識間的有機聯系，感受數學的整體性.課標又指出，鼓勵學生積極參與教學活動.為此，在具體教學過程中，把本節課分為以下：“創設情境 提出問題——自主探索 推導公式——變式訓練 學會應用——學生小結 教師點評——課外練習鞏固提高”五個環節來完成.下面對每個環節進行具體說明.

(一)[創設情境 提出問題]

1、這一環節要解決的主要問題是：

創設情境，引導學生分析實際問題，由實際問題轉化為數學問題，揭示本課任務.同時激發學生學習興趣，培養學生數學建模能力.

2、具體教學安排：

多媒體顯示實例，電信局線路問題，實際怎樣解決?能否轉化為解析幾何問題?學生很快想到建立坐標系.如何建立坐標系?建系不同，點和直線方程不同，用點的坐標和直線方程如何解決距離問題，由此引出本課課題“點到直線的距離”.

(二)[自主探索 推導公式]

1、這一環節要解決的主要問題是：

充分發揮學生的主體作用，引導學生發現點到直線距離公式的推導方法，并推導出公式.在公式的推導過程中，圍繞兩條線索：明線為知識的學習，暗線為特殊與一般的邏輯方法以及轉化、數形結合等數學思想的滲透.

2、具體教學安排：

2.1 學生初探 解決特例

首先提出問題：怎樣用解析幾何方法求解點到直線距離?由于字母的運算有難度，引導學生從直線的特殊情況入手，這樣問題比較容易解決.學生應該能想到，如果直線是坐標軸或平行坐標軸的時候問題比較容易解決，給予學生肯定的評價.學生自己完成推導過程，選兩名學生進行板演.

2.2 師生互動 獲取思路

特殊情況已經解決，引導學生考慮一般直線的情況.通過學生思考，教師收集得到思路一：過作于點，根據點斜式寫出直線方程，由與聯立方程組解得點坐標，然后利用兩點距離公式求得.我及時評價這種方法思路自然，是一種解決辦法.為了拓展學生思維，我們根據已有的知識和經驗，還有什么辦法能解決?

為此我啟發學生，提出問題：

(1)求線段長度可以構造圖形嗎?

(2)什么圖形?如何構造?(學生經過討論，得到構造三角形，把線段放在直角三角形中.)但是如何構造又是一個難點.

(3)第三個頂點在什么位置?

(4)特殊情況與一般情況有聯系嗎?

學生通過觀察、討論會提出第三個頂點的不同位置：可能在直線與x軸的交點M或與y軸交點N;或根據特殊情況的證法提示，過P點作x、y軸的平行線與直線的交點R、S.或同時做x、y軸平行線.這樣就收集到思路二、三、四.三種思路已經有了，它們的共性是什么?學生能觀察出都在三角形中.我繼續引導：能不能不構造三角形?而是其它數學相關量?我們剛學習了向量知識，能否用向量知識解決問題呢?(由于在前面學習的向量知識中，向量的模可以表示兩點之間的距離，而證明兩直線垂直時也已經用到向量知識，法向量又是本節課后閱讀材料，本班學生基礎和素質較好，在學習直線方向向量時已經布置閱讀).

提出問題：線段的長度就是對應向量的模，那么如何求得向量的模呢?根據實際情況提示一方面的方向完全由直線的方向而定(與法向量共線)，另一方面的長度又與點P有關，它的長度又如何控制下來?所以有思路五，由師生一起分析，取法向量=，而= ，以下只要求得，就可以得到距離.2.3 分工合作 自主完成學生提出了不同的解決方案，究竟哪種好呢?如果讓每位學生都去用不同解法探求，在課堂上時間顯然是不允許的，但教學中又要培養學生的運算能力，如何解決這種矛盾呢?現代教育要求學生要有自主學習、合作學習能力，因此我叫學生對五種思路進行分組練習.在學生求解過程中，我巡視，觀看學生解題，了解情況，根據課堂時間的實際情況，選取做好的學生的解題過程用實物投影儀顯示.這樣不僅能讓全體學生看到不同思路的具體解法，還能得出最佳解題方案，接著我展示最佳解題方案的規范步驟.目的讓學生有良好的規范的書面表達習慣，起到教師典范的作用.

2.4 公式小結 概括提升公式推導出，學生有了成功的喜悅.我也給予了肯定.但是由于公式的結果是一般情況得出的，而對于，點在直線上是否成立，它們與，點在直線外有什么關系?這并沒有驗證.而我們要求學生考慮問題要全面，為此我提出提問：

①上式是由條件下得出，對成立嗎?

②點P在直線上成立嗎?

③公式結構特點是什么?用公式時直線方程是什么形式?通過學生的討論，使學生了解公式適用的范圍：任意點、任意直線.同時體現整體認識和分類討論思想.

依據新課程的理念，教師要創造性地使用教材.在公式的推導過程中，我做了和教材不同的處理方法

1)先特殊后一般的證法，

(2)多角度構造三角形，

(3)知識聯系，向量解決.目的是讓學生在考慮問題時有特殊到一般的意識，符合學生認知規律，使問題的解決循序漸進.向量是新教材內容，是一種很好的數學工具，和解析幾何結合應用是現在新教材知識的交匯點.而多角度考慮問題，發散學生思維.

(三)[變式訓練 學會應用]

1、這一環節解決的主要問題是：

通過練習，熟悉公式結構，記憶并簡單應用公式.通過例題的`不同解法，進一步讓學生體會轉化(或化歸)的數學思想.

2、具體教學安排：

由學生完成下列練習：

(1)解決課堂提出的實際問題.(學生口答)

(2)求點P0(-1,2)到下列直線的距離 ：

①3x=2 ②5y=3 ③2x+y=10 ④y=-4x+1

設計說明：練習1的設計解決了上課開始提出的實際問題.練習2的設計故意選特殊直線和非直線方程一般式，主要強調在公式應用時，直線方程是一般式，應用公式的準確性.

例題(3)求平行線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離.

我選取的是課本例題，課本只有一種具體點的解法.我通過本節課的學習，讓學生對知識從深度和廣度上進行挖掘.通過幾何畫板的演示，讓學生直觀看到思考問題的方法.除了選擇直線上的點，還可以選取原點，求它到兩條直線的距離，然后作和.或者選取直線外的點P，求它到兩條直線的距離，然后作差.由特殊點到任意點，由特殊直線到任意直線，從而延伸出兩平行線間的距離.目的是在整個過程中，讓學生注意體會解題方法中的靈活性以及轉化等數學思想方法.

(四)[學生小結 教師點評]

1、這一環節解決的主要問題和達到的目的是：

通過師生共同小結，鞏固所學知識，提煉用到的解決問題的方法，其中蘊涵的數學思想方法，培養學生歸納概括能力.

2、具體教學安排：

本節課小結主要由學生完成知識總結，通過學習知識所體驗到的數學思想方法，由學生總結和相互補充，教師適當點評，加以經驗總結.

(五)[課外練習鞏固提高]

① 課本習題7.3的第13題—16題;

② 總結寫出點到直線距離公式的多種方法.

設計說明：作業1是課本習題，檢查學生所學知識掌握的程度.作業2是根據課堂分析，讓學生總結公式推導的方法.除了課堂上想到的方法還可以繼續思考，比如在用兩點距離公式整體代換等方法，發揮學生學習的自主性和思維的廣闊性.

四、關于教學評價的設計

新課程標準提出要加強過程性評價，因而在具體教學過程中，我對于學生的語言與行為的表現，及時給予肯定性的表揚和鼓勵;學生思維暴露出問題時及時評價，矯正思維方向，調整教學思路;為了獲得后反饋信息，布置作業，通過觀察學生完成作業情況，了解學生在知識技能和數學方法方面的收獲和不足，指導我今后教學.整個教學評價是在師生互動中完成的.

《點到直線距離》說課稿5

一、教材分析：

1、地位與作用：解析幾何第一章主要研究的是點線、線線的位置關系和度量關系，其中以點點距離、點線距離、線線位置關系為重點，點到直線的距離是其中最重要的環節之一，它是解決其它解析幾何問題的基礎。本節是在研究了兩條直線的位置關系的判定方法的基礎上，研究兩條平行線間距離的一個重要公式。推導此公式不僅完善了兩條直線的位置關系這一知識體系，而且也為將來用代數方法研究曲線的幾何性質奠定了基礎。而更為重要的是：通過認真設計這一節教學，能使學生在探索過程中深刻地領悟到蘊涵于公式推導中的重要的數學思想和方法，學會利用化歸思想和分類方法，由淺入深，由特殊到一般地研究數學問題，同時培養學生濃厚的數學興趣和良好的學習品質。

2、重點、難點及關鍵：重點是“公式的推導和應用”，難點是“公式的推導”，關鍵是“怎樣自然地想到利用坐標系中的x軸或y軸構造Rt△，從而推出公式”。對于這個問題，教材中的處理方法是：沒有說明原因直接作輔助線（呈現教材）。這樣做，無法展現為什么會想到要構造Rt△這一最需要學生探索的過程，不利于學生完整地理解公式的推導和掌握與之相應的豐富的數學思想方法。如果照本宣科，則不能擺脫在客觀上對學生進行灌注式教學。事實上，為了真正實現以學生為主體的教學，讓學生真正地參與進來，起關鍵作用的是設計出有利于學生參與教學的內容組織形式。因此，我沒有像教材中那樣直接作輔助線，而是對教學內容進行剪裁、重組和鋪墊，構建出在探索結論過程中側重于學生能力培養的一系列教學環節，采用將一般轉化到特殊的方法，引導學生通過對特殊的直觀圖形的觀察、研究，自己發現隱藏其中的Rt△，從而解出|PQ|。在此基礎上進一步將特殊問題還原到一般，學生便十分自然地想在坐標系中探尋含PQ的Rt△，找不到，自然想到構造，此時再過P點作x軸或y軸的平行線就顯得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本設計力求以啟迪思維為核心，設計出能啟發學生思維的“最近發展區”，從而突破難點的關鍵，推導出公式。

二、教學目標：

1、認知目標：

（1）點到直線距離公式的推導，并能用公式計算。

（2）領會滲透于公式推導中的數學思想（如化歸思想、數形結合、分類討論等數學思想），掌握用化歸思想來研究數學問題的方法。

2、能力目標：通過讓學生在實踐中探索、觀察、反思、總結，發現問題、解決問題，從而達到培養學生的觀察能力、歸納能力、思維能力、應用能力和創新能力的目的。

3、情感目標：培養學生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素資源，培養其良好的數學學習品質。

三、學生情況分析：

學生在此之前已經學習了點點距離、線線位置關系，初步掌握了“用代數的方法研究曲線的性質”這一研究解析幾何問題的重要方法，并且學習了三角函數的相關內容，這就為構造Rt△，利用三角形性質以及同角公式推導點到直線的距離公式做好了鋪墊。并且，高二的學生已經基本能夠從特殊的情況中發現規律，從而推廣為一般情況，關鍵是學生在這個方面的應用意識還比較淡漠，所以本節課只要做好這種引導工作，學生是比較容易理解的。這也是本節課要突出的“從特殊到一般”的課堂設計的原因，能夠使學生充分地參與進來，體會到成功的喜悅。

四、教學方法：

本節課的內容實際上并不是難度很大，關鍵是推導公式的方法的選擇，一旦找準推導方法、作出相應的輔助線，接下來的推導過程就是比較容易完成的。所以

1、遵循“數學學習的本質是主體（學生）在頭腦中建構和發展數學認知結構的過程，是主體的一種再創造行為”的理論，采取以“學生為主體，教師為主導的”啟發式、提問式教學方法。

2、根據“教師應尊重學生主體和主動的精神，開發學生的智能，形成其健全個性”的原則，力求營造民主的教學氛圍，使學生或顯性（答問、板演等）或隱性（聆聽，苦思等）地參與全教學過程，學生在教師設計的問題下，積極思考、動手演練、步步深入，讓學生自己導出公式。

3、采用投影、計算機等教學手段，增大教學的容量和直觀性，有效提高教學效率和教學質量。

4、以反饋調控為手段，力求反饋的全面性（優、中、差生）與時效性（及時、中肯）。

五、教學程序：

⑴課題引入：復習如何判斷兩條直線的位置關系？如果兩直線相交，又如何求出交點的坐標？這樣有意識地涉及兩直線垂直、兩直線的交點等知識，既幫助學生整理、復習已學知識的結構，也讓學生在復習過程中自己“發現”尚未解決的問題，使新授知識在原認知結構中找到生長點，自然地引出新問題，符合學生的認知規律，有利于學生形成合理、完善的認知結構。（3分鐘）

⑵課題解決：教學過程中，利用“從特殊到一般”的方法（由特殊直線到一般直線；由特殊點到一般的點），提出如下問題：

先研究點到特殊的直線（平行于x軸和y軸的直線）的距離；

然后對于一般的直線，先研究特殊的點（原點）到直線的距離（可以利用“等面積法”、“三角形相似的性質”或“解直角三角形”三種思路求解），再將其解題方法推廣到一般的點，就會自然想到構造Rt△進行求解了。

逐步逼近目標，在這過程中展示了數學知識產生的思維過程。調動學生自覺地、主動地參與進來，教師的主導作用，學生的主體作用都得以充分體現。在教學中只要抓住“構造一個可用的三角形”這個關鍵，就能突破難點，易于學生的理解和掌握。（27分鐘）

⑶例題練習：推導出公式之后，通過例題講解和學生動手練習，進一步鞏固公式的記憶和應用。（12分鐘）

⑷小結作業：師生互動，共同總結公式的推導過程以及公式的特征和應用，布置課后作業。（3分鐘）

六、教學設計評價：

《點到直線的距離公式》是解決理論和實際問題的一個重要工具，這不僅是其有廣泛的應用，而更重要的是公式推導過程中蘊含著重要的數學思想，教學中理應予以重視。因而，在設計這節課的教學方案時，要力求暴露公式推導中的思維過程，突出整體觀念對思維過程的指導作用。但在以往的教學過程中遇到的最大困難是：思路自然的則運算很繁，而運算較簡單的解法則思路又很不自然。這樣就造成了教學中通常采用“滿堂灌”、“注入式”，學生的思維得不到應有的訓練，學生的主體作用也不能充分體現出來。為避免這個問題，有必要很好地探討一下，“點到直線的距離公式”的教學如何更合理，怎樣把教學過程變成師生共同探索、發現公式的過程，怎樣使推導過程自然而簡練。

本節課是“兩條直線的位置關系”的最后一個內容，在復習引入時，有意識地涉及兩直線垂直、兩直線的交點等知識，既幫助學生整理、復習已學知識的結構，也讓學生在復習過程中自己“發現”尚未解決的問題，使新授知識在原認知結構中找到生長點，自然地引出新問題，符合學生的認知規律，有利于學生形成合理、完善的認知結構。教學過程中，逐步逼近目標，在這過程中展示了數學知識產生的思維過程。學生能夠自覺地、主動地參與進來，教師的主導作用、學生的主體作用都得以充分體現，經常這樣做，學生的數學思維能力必將逐步得到提高。在教學中只要抓住“構造一個可用的三角形”這個關鍵，就能突破難點，還可以采用其他的方法推導“點到直線的距離”公式，易于學生的理解和掌握。

這堂課，既是一堂新課，也是實驗課；既學習了新知識，也鍛煉了用從特殊到一般，再從一般到特殊的思維方法分析解決問題的能力，提高了學生使用現代化工具的動手能力；也讓學生感受到數學變化的美；也在學生個性情感中融入了創新的意識與膽量。

《點到直線距離》說課稿6

教學目標：

（1）至少掌握點到直線的距離公式的一種推導方法，能用公式來求點到直線距離。

（2）培養學生探究能力和由特殊到一般的研究問題的能力。

（3）認識事物（知識）之間相互聯系、互相轉化的辯證法思想，培養學生轉化的思想和綜合應用知識分析問題解決問題的能力。

（4）培養學生團隊合作精神，培養學生個性品質，培養學生勇于探究的科學精神。

教學重點：點到直線的距離公式推導及公式的應用

教學難點：點到直線的距離公式的推導

教學方法：啟發引導法、討論法

學習方法：任務驅動下的研究性學習

教學時間：45分鐘

教學過程：

1、教師提出問題，引發認知沖突（約5分鐘）

問題：假定在直角坐標系上，已知一個定點P（x0，y0）和一條定直線l：AxByC=0，那么如何求點P到直線l的距離d？請學生思考并回答。

學生1：先過點P作直線l的垂線，垂足為Q，則|PQ|就是點P到直線l的距離d；然后用點斜式寫出垂線方程，并與原直線方程聯立方程組，此方程組的解就是點Q的坐標；最后利用兩點間距離公式求出|PQ|。

接著，教師用投影出示下列5道題（嘗試性題組），請5位學生上黑板練習（第（4）題請一位運算能力強的同學，其余學生在下面自己練習，每做完一題立即講評）：

（1）求P（1，2）到直線l：x=3的距離d；（答案：d=2）

（2）求P（x0，y0）到直線l：ByC=0（B≠0）的距離d；（答案：）

（3）求P（x0，y0）到直線l：AxC=0（A≠0）的距離d；（答案：）

（4）求P（6，7）到直線l：3x—4y5=0的距離d；（答案：d=1）

（5）求P（x0，y0）到直線l：AxByC=0（AB≠0）的距離d。

第（1）容易、（2）和（3）題雖然含有字母參數，但由于直線的位置比較特殊，學生不難得出正確結論；第（4）題雖然運算量較大，但按照剛才學生1回答的方法與步驟，也能順利解出正確答案；第（5）題雖然思路清晰，但由于字母參數過多、運算量太大行不通。學生們陷入了困境。

2、教師啟發引導，學生走出困境（約8分鐘）

教師：根據以上5位學生的運算結果，你能得到什么啟示？

學生2：當直線的位置比較特殊（水平或豎直）時，點到直線的距離容易求得，而當直線是傾斜位置時則較難；含有多個字母時雖然想起來思路很自然，但具體操作起來因計算量很大而無法得出結果。

教師：那么，練習（5）有沒有運算量小一點的推導方法呢？我們能不能根據剛才的第（2）、（3）的啟示，借助水平、豎直情形和平面幾何知識來解決傾斜即一般情況呢？請同學們思考。

學生3：能！如圖1，過點P作x、y軸的垂線分別交直線l于S、R，則由三角形面積公式可得

|PQ|=（|PR|·|PS|）/|RS|

教師：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？

學生3：設R（x1，y0），則由Ax1By0C=0，

得x1=—（By0C）／A，

∴|PR|=|x0—x1|=|Ax0By0C|／|A|；

同理：|PS|=|Ax0By0C|／|B|。

教師：|RS|怎么求？

學生3：|RS|==（/|AB|）·|Ax0By0C|。

教師：|PQ|結果是什么？

學生3：|PQ|=。

教師：公式的這種推導方法是否需要作補充說明？

學生4：當A=0或B=0時，ΔPRS不存在，故應說明公式當A=0或B=0時是否適用？

由（2）、（3）檢驗可知公式依然成立，即公式對任意直線都適用。

3、教師提出問題，學生分組討論（約10分鐘）

教師：推導點到直線的距離公式的方法不少。前面我們學了函數、三角函數、向量、不等式等數學知識，你能用所學過的知識從不同角度、采用不同方法來推導這個公式嗎？請同學們先獨立思考，然后在小組上進行討論交流，由組長負責記錄。10分鐘后每組推選一名代表對本組找到的最好的一種推導方法通過實物投影進行“成果”交流。

學生們積極探討；教師來回巡視，回答各研究小組的詢問......

4、學生交流“成果”，教師點評小結（約16分鐘）

經過約十分鐘的研討，各小組都找到了新的推導方法。于是教師請4名代表依次上講臺（讓準備成熟的先講），借助實物投影介紹本組的“成果”。由于時間關系，每組只要求講一種方法，用時不超過4分鐘，且各組的方法不能重復。

學生5：我們用的是“設而不求，整體代換”的數學思想。請看投影屏幕：

設Q的坐標為（x1，y1），則直線PQ的斜率k1=，又直線l的斜率k=—，于是由PQ⊥l得，k1k=—1即B（x1—x0）—A（y1—y0）=0①

又因為Ax1By1C=0，即Ax1By1=—C

兩邊同減Ax0By0得A（x1—x0）B（y1—y0）=—（Ax0By0C）②

于是①2②2得，（A2B2）[（x1—x0）2（y1—y0）2]=（Ax0By0C）2，

即（A2B2）d2=（Ax0By0C）2

所以d=。

教師：“設而不求，整體代換”，真是奧妙無窮，這是解析幾何減少運算量的有效途徑，同時也體現了數學的內在美，妙不可言。

學生6：我們小組向大家介紹一種獨特的方法——向量法，請看投影屏幕：

如圖2，設T（x1，y1）為直線l上的任意一點，則Ax1By1C=0，=（x1—x0，y1—y0）

∵PQ⊥直線l，

∴平行于直線l的法向量=（A，B）

另設與的夾角為θ，則·=cosθ

即|A（x1—x0）B（y1—y0）|=|||cosθ|

即|Ax0By0C|=·d

∴d=。

教師：向量是數量與圖形的有機結合，解析幾何是用代數的方法解決幾何問題，兩者都體現了數形結合的思想，第三小組的推導方法證明了這一點，也再次說明了向量具有很強的實用性與工具性，用向量法解解析幾何題確實行之有效。

學生7：：我們小組向大家介紹向量的另一種方法，妙用向量數量積的性質．請看投影屏幕：

如圖3，設垂足是點H（m，n），

直線l的法向量共線，

這是相當簡單的方法了。

教師：巧妙利用向量數量積的性質來求距離，簡直是“巧奪天工”，與其他方法相比，這種方法有絕對優勢，我們必須重視對向量工具性的研究和應用。

學生8：剛才三個小組的證明方法確實精彩，我們也發現了一種巧妙的方法，把它稱為“柯西不等式法”，請看投影屏幕：

我們知道，P點到直線l的距離，實質上是點P與直線l上任意一點T的距離的最小值，于是我們設T（x1，y1）為直線l上的任一點（如圖2），則Ax1By1C=0，

而d=|PT|min，于是|PT|=

=×，

利用柯西不等式，便有|PT|≥=，

所以d=，此時，即PT垂直于直線l。

教師：這一證法果然十分巧妙，包含的數學思想十分豐富。由點到直線的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“轉化”中問題得到圓滿解決。同時也體現了不等式的工具作用。

5、公式應用（學生練習，約3分鐘）

（1）求P（6，7）到直線l：3x—4y5=0的距離d。

（直接代公式得答案：d=1，檢驗嘗試性題組第（4）的答案）

（2）求P（—1，1）到直線l：的距離d。

（先化直線方程為一般式再代公式得答案：）

6、教師小結并布置作業（約1分鐘）

這節課我們學習了點到直線的距離公式，在公式的推導中學到了許多重要的數學思想和方法，感受到了數學的奧妙，也感受到了成功的喜悅。其實這個公式的推導方法不下十種，由于課堂上時間緊，許多同學有創造性的推導方法不能進行展示、交流，請同學們撰寫一篇題為《點到直線距離公式的多種推導方法》的數學小論文，作為本節課的作業，允許三到四人合作完成。

設計說明：

數學公式的教學應包含兩個部分：公式的推導和公式的運用。由于受應試教育的影響，前者往往被“輕描淡寫”，而后者卻搞得“轟轟烈烈”，這顯然與“重結論，但更重過程”的現代教育理念相違背。其實數學公式的推導都蘊含著豐富的數學思想和數學方法，誰忽視了這個“產生過程”，誰就忽視了數學的“精髓”，誰就忽視了學生探究性思維品質的培養。

這節課把研究性學習引入公式的教學，讓學生真正成為課堂的主人。在推導公式的過程中，學生通過克服困難的經歷，以及獲得成功的體驗，鍛煉了意志，增強了信心。其實所有公式的教學、定理的教學都應向這個方向努力。

數學教學，從根本上講就是提高學生的數學素質，提高學生的數學素質的有效途徑有二：其一，使學生善于總結，使零亂的知識系統化、綜合化；其二，使學生善于聯想，培養發散性思維。本節課使學會從不同的角度思考問題，加強知識間的聯系，正是鍛練、提高學生運用知識分析問題和解決問題的能力，從而提高數學素質。

通過公式求點到直線的距離并不困難，但這個公式的推導方法不下十種，且各種推導都蘊含著重要的數學思想、方法，由于課堂上時間緊，許多同學的有創造性的推導方法不能進行展示、交流，故課外請同學們撰寫一篇題為《點到直線距離公式的多種推導方法》的數學小論文作為本節課的作業。考慮到同學的個體差異，故允許三到四人合作完成。同時通過學生小論文的完成情況對這節課的教學效果作出評價。

本課設計有一定的彈性，實際教學中，學生想到的推導方法不一定是上述幾種，我將針對每一種方法的特點進行適當的點評。進行交流的學生不一定是四人，若時間不夠，公式應用留到下節課，本節課只完成公式推導。

《點到直線距離》說課稿7

尊敬的領導、老師：

大家好，我今天說課的內容是，九年義務教育小學數學蘇教版四年級上冊第四單元第三節的內容。接下來，我將從以下幾個方面進行我的說課。

【說教材】：

本課是小學數學空間與圖形中的學習內容，它是在學生認識了兩條直線的垂直關系的基礎上安排的。教材在例題中呈現了從一點向已知直線所畫的一條垂直線段和幾條不垂直的線段，讓學生通過度量，發現在這幾條線段中垂直的線段最短，這是垂直線段的性質。接著揭示了點到直線距離的概念：從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長度，叫做這點到這條直線的距離。“想想做做”安排了4道題，第一題讓學生測量點到直線的距離；第二題讓學生在兩條平行線之間畫幾條與平行線垂直的線段，并測量這些線段的長度，發現這些線段同樣長；第3、4兩題是點到直線的距離和垂直線段的性質在日常生活中的具體運用。

【說教學目標】：

1、知識與能力目標：讓學生經歷垂直線段的性質的探索過程，知道從直線外一點到已知直線所畫的線段中垂直線段最短，知道點到直線的距離。會測量點到直線的距離，會利用垂直線段的性質解釋一些生活現象。

2、過程與方法目標：讓學生在學習過程中進一步發展觀察能力、實踐能力，體會數與形的聯系，發展空間觀念。

3、情感與態度目標：讓學生進一步體會數學和現實生活的聯系，進一步培養數學應用意識和學習數學的積極情感。

【教學重點】：

引導學生發現垂直線段的性質，理解點到直線的距離的概念。

【教學難點】：

認識點到直線的距離，并能解決一些實際的問題。

【說教法和學法】：

新課標要求我們在實際課堂教學中應“激發學生獨立思考和創新的意識，讓學生感受理解知識產生和發展的過程”。本節課借助多媒體，讓學生結合具體生活情境充分感知垂直線段最短，形成點到直線距離的概念。通過讓學生在畫一畫、量一量的操作活動中加深學生對點到直線距離概念及垂直線段性質的認識。在操作活動中，不僅培養學生學會與人交流合作的能力，還調動了學生學習數學的積極參與程度。

【說教學過程】：

遵循學生學習數學的心理規律，從學生已有的生活經驗和知識體驗出發，我從三個環節來詮釋整個教學過程。

第一環節：復習舊知

通過提問和作圖幫助學生梳理了本單元已學的知識，并為下面的教學做好鋪墊。

第二環節：創設情境，學習新知

1、通過預設的接力賽跑活動激發學生學習積極性。

2、提出比賽規則，出示比賽場景圖，讓學生初步發現垂直線段最短。

3、讓學生自己測量5條線段的長度，并發現其中的垂直線段最短，認識垂直線段的性質。

4、教師指出點到直線的距離概念，指名學生說說什么叫“點到直線的距離”幫助學生更好理解概念。

第三環節：鞏固新知，深化認識

1、第一題讓學生說說什么叫“點到直線的距離”，再測量點到直線的距離，加深學生對概念的理解并發展學生的動手操作能力。

2、第二題讓學生在兩條平行線之間畫幾條與平行線垂直的線段，并測量這些線段的長度，發現這些線段同樣長；

3、第3、4兩題是點到直線的距離和垂直線段的性質在日常生活中的具體運用。加深學生對數學知識的理解，使學生體會學習數學的價值培養其數學應用意識。

第四環節：全課總結。

首先讓學生自己說說，通過今天的學習，你們學會了什么？學生自己小結，對所學過的知識進行整理，既能了解學生的掌握情況，又能培養學生的概括能力。教師及時給予評價，讓學生體驗成功，增強學習的信心。

《點到直線距離》說課稿8

尊敬的各位評委、老師：

您們好！

今天我說課的內容是人教版高二第二冊（上）第七章第三節第4課時：“點到直線的距離”．

下面根據我寫的教案，把我對本節課的教材分析、教學方法和教學用具、教學過程以及教學評價等方面的認識做一個說明．敬請各位專家多提寶貴意見．

一、關于教材分析

1、教材的地位和作用

“點到直線的距離”是在學生學習直線方程的基礎上，進一步研究兩直線位置關系的一節內容，我們知道兩條直線相交后，進一步的量化關系是角度，而兩條直線平行后，進一步的量化關系是距離，而平行線間的距離是通過點到直線距離來解決的．此外在研究直線與圓的位置關系、曲線上的點到直線的距離以及解析幾何中有關三角形面積的計算等問題時，都要涉及點到直線的距離．所以“點到直線的距離公式”是平面解析幾何的一個重要知識點．由于這一節是直線內容的結尾部分，學生已經具備直線的有關知識（如交點、垂直、向量、三角形等），因此，一方面公式的推導成為可能，另一方面公式的推導也是檢驗學生是否真正掌握所學知識點的一個很好的課題．通過公式推導的獲得，可以培養學生分析問題、解決問題的能力，以及自主探究和合作學習的能力．

2教學目標分析

我確定教學目標的依據有以下三條：

（1）教學大綱、考試大綱的要求

（2）新教材的特點

（3）所教學生的實際情況

教學目標包括：知識、能力、德育等方面的內容．

“點到直線的距離公式”是平面解析幾何重要的基礎知識，也是教學大綱和考試大綱要求掌握的一個知識點．按照大綱“在傳授知識的同時，滲透數學思想方法，培養學生數學能力”的教學要求，結合新教材向量的引入，又根據所帶班級學生基礎和素質教好的情況，我把本節課的教學目標確定為：

（1）讓學生理解點到直線距離公式的推導思想，掌握點到直線距離公式及其應用，會用點到直線距離求兩平行線間的距離；

（2）通過推導公式方法的發現，培養學生觀察、思考、分析、歸納等數學能力；在推導過程中，滲透數形結合、轉化（或化歸）等數學思想以及特殊與一般的方法；

（3）通過本節學習，引導學生用聯系與轉化的觀點看問題，體驗在探索問題的過程中獲得的成功感．

3、教學重點：點到直線距離公式的推導和應用．

教學難點：發現點到直線距離公式的推導方法．

二、關于教學方法和教學用具的說明

1、教學方法的選擇

（1）指導思想：在“以生為本”理念的指導下，充分體現“教師為主導，學生為主體”．

（2）教學方法：問題解決法、討論法等．

本節課的任務主要是公式推導思路的獲得和公式的推導及應用．我選擇的是問題解決法、討論法等．通過一系列問題，創造思維情境，通過師生互動，讓學生體驗、探究、發現知識的形成和應用過程，以及思考問題的方法，促進思維發展；學生自主學習，分工合作，使學生真正成為教學的主體．

2、教學用具的選用

在選用教學用具時，我考慮到，在本節課的公式推導和例題求解中思路較多，所以采用了計算機多媒體和實物投影儀作為輔助教具．它可以將數學問題形象、直觀顯示，便于學生思考，實物投影儀展示學生不同解題方案，提高課堂效率．

三、關于教學過程的設計

“數學是思維的體操”，一題多解可以培養和提高學生思維的靈活性，及分析問題和解決問題的能力．課程標準指出，教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識間的有機聯系，感受數學的整體性．課標又指出，鼓勵學生積極參與教學活動．為此，在具體教學過程中，把本節課分為以下：“創設情境提出問題——自主探索推導公式——變式訓練學會應用——學生小結教師點評——課外練習鞏固提高”五個環節來完成．下面對每個環節進行具體說明．

（一）[創設情境提出問題]

1、這一環節要解決的主要問題是：

創設情境，引導學生分析實際問題，由實際問題轉化為數學問題，揭示本課任務．同時激發學生學習興趣，培養學生數學建模能力．

2、具體教學安排：

多媒體顯示實例，電信局線路問題，實際怎樣解決？能否轉化為解析幾何問題？

學生很快想到建立坐標系．如何建立坐標系？建系不同，點和直線方程不同，用點的坐標和直線方程如何解決距離問題，由此引出本課課題“點到直線的距離”．

（二）[自主探索推導公式]

1、這一環節要解決的主要問題是：

充分發揮學生的主體作用，引導學生發現點到直線距離公式的推導方法，并推導出公式．在公式的推導過程中，圍繞兩條線索：明線為知識的學習，暗線為特殊與一般的邏輯方法以及轉化、數形結合等數學思想的滲透．

2、具體教學安排：

2．1學生初探解決特例

首先提出問題：怎樣用解析幾何方法求解點到直線距離？由于字母的運算有難度，引導學生從直線的特殊情況入手，這樣問題比較容易解決．學生應該能想到，如果直線是坐標軸或平行坐標軸的時候問題比較容易解決，給予學生肯定的評價．學生自己完成推導過程，選兩名學生進行板演．

2．2師生互動獲取思路

特殊情況已經解決，引導學生考慮一般直線的情況．通過學生思考，教師收集得到思路一：過P作PQ ⊥ l于Q點，根據點斜式寫出直線PQ方程，由PQ與l聯立方程組解得Q點坐標，然后利用兩點距離公式求得．

我及時評價這種方法思路自然，是一種解決辦法．為了拓展學生思維，我們根據已有的知識和經驗，還有什么辦法能解決？為此我啟發學生，提出問題：

(1)求線段長度可以構造圖形嗎？

(2)什么圖形？如何構造？（學生經過討論，得到構造三角形，把線段放在直角三角形中．）但是如何構造又是一個難點．

(3)第三個頂點在什么位置？

(4)特殊情況與一般情況有聯系嗎？

學生通過觀察、討論會提出第三個頂點的不同位置：可能在直線l與x軸的交點M或與y軸交點N；或根據特殊情況的證法提示，過P點作x、y軸的平行線與直線l的交點R、S．或同時做x、y軸平行線．這樣就收集到思路二、三、四．

三種思路已經有了，它們的共性是什么？學生能觀察出都在三角形中．我繼續引導：能不能不構造三角形？而是其它數學相關量？我們剛學習了向量知識，能否用向量知識解決問題呢？（由于在前面學習的向量知識中，向量的模可以表示兩點之間的距離，而證明兩直線垂直時也已經用到向量知識，法向量又是本節課后閱讀材料，本班學生基礎和素質較好，在學習直線方向向量時已經布置閱讀）．

提出問題：線段的長度就是對應向量的模，那么如何求得向量PQ的模呢？根據實際情況提示一方面PQ的方向完全由直線的方向而定（與法向量共線），另一方面PQ的長度又與點P有關，它的長度又如何控制下來？所以有思路五，由師生一起分析，取λλ(A, B )法向量n＝，而PQ = n，以下只要求得，就可以得到距離．

2．3分工合作自主完成

學生提出了不同的解決方案，究竟哪種好呢？如果讓每位學生都去用不同解法探求，在課堂上時間顯然是不允許的，但教學中又要培養學生的運算能力，如何解決這種矛盾呢？現代教育要求學生要有自主學習、合作學習能力，因此我叫學生對五種思路進行分組練習．

在學生求解過程中，我巡視，觀看學生解題，了解情況，根據課堂時間的實際情況，選取做好的學生的解題過程用實物投影儀顯示．這樣不僅能讓全體學生看到不同思路的具體解法，還能得出最佳解題方案，接著我展示最佳解題方案的規范步驟．目的讓學生有良好的規范的書面表達習慣，起到教師典范的作用．

2．4公式小結概括提升

公式推導出，學生有了成功的喜悅．我也給予了肯定．但是由于公式的結果是一般情況得出的，而對于當A = 0，或B = 0時，點在直線上是否成立，它們與當AB ≠ 0時，點在直線外有什么關系？這并沒有驗證．而我們要求學生考慮問題要全面，為此我提出提問：①上式是由條件下當AB ≠ 0時得出，對當A = 0，或B = 0時成立嗎？②點P在直線l上成立嗎？③公式結構特點是什么？用公式時直線方程是什么形式？通過學生的討論，使學生了解公式適用的范圍：任意點、任意直線．同時體現整體認識和分類討論思想．

依據新課程的理念，教師要創造性地使用教材．在公式的推導過程中，我做了和教材不同的處理方法：（1）先特殊后一般的證法，（2）多角度構造三角形，（3）知識聯系，向量解決．目的是讓學生在考慮問題時有特殊到一般的意識，符合學生認知規律，使問題的解決循序漸進．向量是新教材內容，是一種很好的數學工具，和解析幾何結合應用是現在新教材知識的交匯點．而多角度考慮問題，發散學生思維．

（三）[變式訓練學會應用]

1、這一環節解決的主要問題是：

通過練習，熟悉公式結構，記憶并簡單應用公式．通過例題的不同解法，進一步讓學生體會轉化（或化歸）的數學思想．

2、具體教學安排：

由學生完成下列練習：

（1）解決課堂提出的實際問題．（學生口答）

（2）求點P0(－1,2)到下列直線的距離：

①3x=2 ②5y=3 ③2x＋y=10 ④y=－4x+1

設計說明：練習1的設計解決了上課開始提出的實際問題．練習2的設計故意選特殊直線和非直線方程一般式，主要強調在公式應用時，直線方程是一般式，應用公式的準確性．

例題（3）求平行線2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距離．

我選取的是課本例題，課本只有一種具體點的解法．我通過本節課的學習，讓學生對知識從深度和廣度上進行挖掘．通過幾何畫板的演示，讓學生直觀看到思考問題的方法．除了選擇直線上的點，還可以選取原點，求它到兩條直線的距離，然后作和．或者選取直線外的點P，求它到兩條直線的距離，然后作差．由特殊點到任意點，由特殊直線到任意直線，從而延伸出兩平行線間的距離．目的是在整個過程中，讓學生注意體會解題方法中的靈活性以及轉化等數學思想方法．

（四）[學生小結教師點評]

1、這一環節解決的主要問題和達到的目的是：

通過師生共同小結，鞏固所學知識，提煉用到的解決問題的方法，其中蘊涵的數學思想方法，培養學生歸納概括能力．

2、具體教學安排：

本節課小結主要由學生完成知識總結，通過學習知識所體驗到的數學思想方法，由學生總結和相互補充，教師適當點評，加以經驗總結．

（五）[課外練習鞏固提高]

1課本習題7.3的第13題—16題；

2 總結寫出點到直線距離公式的多種方法．

設計說明：作業1是課本習題，檢查學生所學知識掌握的程度．作業2是根據課堂分析，讓學生總結公式推導的方法．除了課堂上想到的方法還可以繼續思考，比如在用兩點距離公式整體代換等方法，發揮學生學習的自主性和思維的廣闊性．

四、關于教學評價的設計

新課程標準提出要加強過程性評價，因而在具體教學過程中，我對于學生的語言與行為的表現，及時給予肯定性的表揚和鼓勵；學生思維暴露出問題時及時評價，矯正思維方向，調整教學思路；為了獲得后反饋信息，布置作業，通過觀察學生完成作業情況，了解學生在知識技能和數學方法方面的收獲和不足，指導我今后教學．整個教學評價是在師生互動中完成的．

以上是我對這節課的設計，懇請各位專家和老師批評、指正．

謝謝！

《點到直線距離》說課稿9

一．教材分析：

1．本節教材在本章中的地位和作用：

本章內容作為高中數學中僅有的兩章解析幾何知識的第一章，是屬于解析幾何學的基礎知識，不但是進一步學習圓錐曲線以及其他曲線方程的基礎，也是學習導數，微分、積分等的基礎，在解決許多實際問題中有著廣泛的應用，而本節教材是本章教材三大部分的第一部分中的重要內容，是本章環環緊扣的知識鏈中必不可少的一環。

這節課“點到直線的距離”是本節教材“兩直線的位置關系”的最后一個內容，在解決實際生活問題中以及代數、解析幾何、立體幾何中都有著重要而廣泛的應用。例如：求最小值問題，對一些新知識新概念的定義，建立方程的問題等等，立竿見影，運用點到直線的距離公式都可以簡便迅速地解決問題，還可使學生形成完整的直線這部分知識的結構體系。

2、本節內容的具體安排及編寫思路：

出于簡潔性的考慮，教材編寫單刀直入地直接提出核心問題，并給予解決的方法。我編寫本節教案時，通過創設問題情境引入課題，降低難度，教給學生從特殊到一般的研究問題的方法和策略，激發學生去解決問題，探究問題，得出結論。在這個過程中，老師作適當的點撥、引導，讓學生逐步逼近目標，充分展示數學知識產生的思維過程，讓學生均能自覺主動地參與進來。教師的主導作用，學生的主體地位都得以充分體現，然后讓學生自己歸納、總結得出結論，享受成功的喜悅和快樂。對教材上的例10、例11，由于是直接應用點到直線的距離公式，較易，故我讓學生直接去閱讀、去理解，熟悉點到直線的距離公式。但對例11的稍許變化，卻抓住不放，通過例11的解法的啟示，激發學生進一步去應用點到直線的距離公式去探究二平行直線間的距離公式，利用有限的時間和學生剛成功的那一股學習的慣性，對教材進行拓廣，讓學生對歸納總結出的公式有更加深刻、透徹的理解和掌握，達到靈活應用的目的。

3．教學目標：

1）、使學生掌握點到直線的距離公式及結構特點，并能熟練準確的應用這一公式，達到理解掌握知識的目的。

2）、學會尋找點到直線距離公式的思維過程及推導方法，培養學生發現問題、探究問題的能力。

3）、教學中體現數形結合、轉化的數學思想，分類討論的數學思想，培養學生在研究討論問題時的數學技能和實際動手能力以及思維的嚴密性。

4）、教學中鼓勵同學相互討論，取長補短，培養學生的合作意識和團隊精神。

4．重點、難點：

理解和掌握點到直線的距離公式，熟練的應用公式求點到直線的距離是本節學習的重點，難點是點到直線距離公式的推導。

二．學情分析：

我所在的學校——四川省渠縣中學，雖然是一個國家級重點中學，但同時又由于渠縣是一個農業大縣，一個國家級貧困縣，80%以上的學生來自偏遠的鄉村及山區，教育理念和教育水平都較落后，學生在小學、初中階段基本上都是在死記硬背、囫圇吞棗中渡過的，很少在數學上享受過真正意義上的研究問題、探索發現問題的樂趣，都習慣于跟著老師的思路走，不善于自己開動腦筋去研究問題、探索問題。鑒于此，我們在教學中正逐步采用探索式教學，引導學生自己理解、掌握知識，逐步培養和提高學生發現問題、探索問題的能力，以及合作意識和合作精神的目的。

三．主要教學構想：

通過創設問題情景自然引入課題，降低教材難度。主要由學生去探究，去發現，去討論，去歸納總結得到公式，再輔以適當的例題、習題幫助學生熟悉公式，學會運用。特別是引導學生對例11的進一步探究，既拓廣了教材，又進一步加深了同學們對從特殊到一般的研究方法的理解。從而達到探究——討論——歸納總結——完善結論——牢固掌握——靈活運用的目的。

四．教學過程：

1．創設問題情境：

實例：某供電局計劃年底解決本地區最后一個村莊的用電問題，經過測量，若按部門內部設計的坐標圖（即以供電局為直角坐標原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，長度單位為千米），得知這個村莊的坐標是（15，20），離它最近的只有一條直線線路通過，其方程為：3x–4y–10=0,問要完成任務，至少需要多長的電線？（如圖4—1所示）

〈字幕出示題及圖，讓學生閱讀、理解、思考，約2分鐘〉

引入課題：

[師講]同學們，通過剛才的讀題和理解已經知道，這實際上是一個求點到直線的距離的問題，也即我們這節課所要研究討論的問題。

2．解決問題情境：

[師繼續講]下面，請同學們應用已學過的知識，自己想一個辦法來解決此問題，甚至不一定要求結果，只要得出一個思路即可。

〈讓同學思考、討論約5分鐘，然后讓學生自己舉手回答，老師點評，約10分鐘〉

學生可能的回答：

[答一]拉一根繩子量一下即可。

[師問]可以，但哪里去找那么長的繩子？還有其它辦法嗎？

可能會有學生眾補充：測距儀！測距儀！

[師肯定]好辦法！將來肯定是做工程師的材料！請坐下。

[師繼續]但如果由于條件的限制，我們手里僅有紙、筆及三角板（或直尺），能不能發揮我們的數學特長，用所學數學知識來解決呢？

可以肯定，被開方式是一個二次項系數為正的二次函數，x0又不受限制，應該有最小值，從而︱PQ︱有最小值，此最小值即為所求。

[師肯定]好思路！既利用了直線方程設出了直線上的一點，又利用兩點間的距離公式得到了一個二次項系數為正的二次函數，且不管根號的影響，大著膽子求二次函數的最小值，求出的最小值開平方即得結果。但要考慮兩個問題：①求出的二次函數的最小值有無為負數的可能？②此種方法的運算量是否偏大？同學們可利用課后時間試著推演一下。

[答三]要求點P到直線上的點的最短距離，即求點P到直線的距離，由點到直線距離的概念，直接過點P作PQ垂直于直線于Q點，則線段PQ的長即為所求。（如圖4—2所示）

Q的坐標，再由兩點間的距離公式可得出：︱PQ︱=9

[師肯定]好思路！直接運用了剛學過的直線的方程，二直線的交點，二直線垂直的條件，兩點間的距離公式等知識，用到了解析幾何的基本方法。在有數據做具體運算時不失為一種好方法，但仍有一定的運算量。不信，同學們下來后又可驗算一番。

[答四]可能預習過教材的同學

過P作PQ垂直于直線于Q點，則PQ即為所求，再過點P分別作軸、軸的平行線分別交直線于M，N點（如圖4—3所示）

[師肯定]方法相當不錯！既有數形結合的思想，構造的思想，又妙用了解析幾何中坐標的概念，直線上的點的概念及兩點間的距離公式等知識。但為什么如此做呢？（老師分析、歸納）：該做法充分運用了點P的坐標的意義，通過體現點P的坐標，發現過P作軸、軸的平行線時與直線有二交點，這二交點與點P自然而然地構成了一個直角三角形，又由于這二交點在直線上，從而可得二交點的坐標，再由兩點間的距離公式可進一步得到直角三角形的三條邊長，至此，由直角三角形面積公式得到點P到直線的距離|PQ|也就是水到渠成的事情了。但仍顯得有一定的運算量。

（如果學生還有其它解法，老師可在黑板上隨機應變地板書。）

（如果學生一個方法均未想到，老師可作如下引導：字幕逐條顯示，圖形中的線段依順序逐一顯示

①什么是點P到直線的距離？

過P作直線的垂線，垂足為Q，則|PQ|即是點P到直線的距離。（如圖4—4所示）

②點P的坐標的意義如何？

過P分別作軸、軸的垂線，垂足分別為K、I，則有向線段KP、IP的數量即為點P的坐標。

③體現一下點P的坐標如何？

發現，過P作軸的垂線時，與直線有一交點N，且N點的橫坐標與點P的橫坐標一致，而N點在直線上，從而由直線的方程可得N點的縱坐標，進而得線段PN的長。

受此啟發，過P作軸的垂線PI時，由于與直線無交點，故作PI的反向延長線與直線交于點M，從而點M的縱坐標與點P的縱坐標一致，且橫坐標通過直線的方程也易求得，線段PM的長也就求得了。

④眼前一亮，直角三角形MPN已渾然天成，且MN的長也可由兩點間距離公式求得，從而由直角三角形面積公式可求得|PQ|的長。

3．點到直線距離公式的推導：〈15分鐘〉

[師講]通過前面[答二]、[答三]、[答四]，我們都遇到了同一個攔路虎，即運算量較大的問題，而我們今后將會遇到大量的類似問題，如果都如此運算，未免太浪費寶貴的時間。此時此刻，我們多么需要有一個簡便的運算點到直線的距離的公式來解救我們！

下面，就讓我們去探究這個公式吧，用我們今天的辛苦去換取我們明天的簡捷吧！（暗示公式的存在，激發同學們探究的興趣，增強同學們探究成功的信心。）

[出示問題]在平面直角坐標系中，如果已知某點P的的坐標為（）,直線的方程是Ax+By+C=0,（如圖所示），怎樣由點的坐標和直線的方程去直接求點P到直線的距離？

[師講]下面，仍然請同學們自己想辦法解決此問題。（可以讓前面一排的同學轉過去與后面的同學每四個人一組進行討論解決。老師到同學們中間去巡視，了解同學們的思路，及時的加以點撥，同時也對同學們的探究方法和探究能力做到心中有數。）

[老師估計]由于有前面的[答二]、[答三]、[答四]或老師的引導作鋪墊，（這個鋪墊非常重要！故前面占用了較多的時間也不可惜！）故大多數同學可能會按[答四]的方法做：老師可以作預見性的字幕板書，在大多數同學完成后再出示。如有同學按[答三]的思路做，老師提示，運算量太大，一般不采用。

過點P作軸的平行線，交于點R（）；作軸的平行線，交于點S（）。（如圖4—5所示）

此時，可能同學們會大舒一口氣，但老師緊接著進一步提出：“諸位，考慮到A,B為零的情況沒有？請進一步考慮一下A,B為零的情況如何？”

抓住同學們思維不慎密之處，體現嚴密的邏輯思維，體現分類討論的思想同學們的思維可能又重新活躍起來，進行分類討論。

第三篇：向量與點到直線的距離公式的證明

向量與點到直線的距離公式的證明

安金龍

（蘇州工業園區

這樣處理，既避開了分類討論，又體現了平面向量的工具性。當然，解析幾何作為一個內涵豐富的數學分支，它和其它數學知識也會有密切的聯系，下面筆者列舉另外幾種推導方法： 2用習題結論巧推點到直線距離公式

老教材代數課本（人教版，下冊.必修）第15頁習題十五第6題：

已知：

ad?,求證：（bc

?（a)

2b?2)c?(d當cad?,b即c?，a)bd

ab

?時，有（a2?b2（）c2?d2)?（ac?bd)2.cd

上式實為柯西不等式的最簡形式，很容易證明.故略去。下面給出點到直線的距離公式的最簡推導。

已知點P(x0,y0)和直線l:Ax?By?C?0,則點到直線的距離即為點P到直線l上任意點所連結的線段中的最短線段.設M

?x,y?為直線l上任意一點，點P到直線l的距離為d，則：

(Ax?Ax0)2(By?By0)2

PM?PM??22

AB2

(By?By0)222222(Ax?Ax0)?(A?B)PM?(A?B)[?] 22

AB

?(Ax?Ax0?By?By0)2＝(?Ax0?By0?

C)2

AB

??d?PMmin?，當且僅當時等號成立。

x?x0y?y03用直線的參數方程推導點到直線距離公式

證明：當A?B?0時易驗證公式成立，下證A?B?0時的情形：

（1）B>0時,過點P作直線L的垂線，垂足為H，則直線PH的標準參數方程為：

?

x?x?t0??(t為參數）?

?y?y?t0

??

將直線PH的參數方程代入直線L的方程得：

A（?x0?t+B（?y0?t??x，解之得點H

對應的參數t

?C?0

?PH?d?PH?

（2）當B時，直線PH的標準參數方程為：

?

x?x?t?0??(t為參數）

?

?y?y?t0

??

可得?PH

?

?d?PH?

4構造引理推導點到直線距離公式

引理：如圖1，直角三角形MPN中，?MPN?90，MP?a,NP?b,則點P到直線MN的距離d滿足

?

a 圖

1N

??.222

dab

證明：由直角三角形的面積公式得：

?MP?NP??MN?d，22

11111即ab?，所以2?2?2.d，即?

dab2dab

下面就用引理證明點P?x0,y0?到直線l：Ax?By?C?0的距d?

證明：當0時易證公式成立.當A?B?0時，如圖2所示,過點

P?x0,y0?分別作平行于x軸,y軸的兩條直線,分別交直線l：Ax?By?C?0

By?CAx?C于點M(-,y0)、N(x0,-)，則AB

B0?yC

M?P0?,AAx?C

NP?y0?0.?MP?NP,?在RT?MPN中，B

點P到直線MN的距離d滿足：

1111

1??＝?22

222dMPNP(x0?0)(y

0?0)BA2?B2,所以d? ＝2(Ax0?By0?C)

參考文獻：

[1] 全日制普通高級中學教科書（人教版）（試驗修訂本.必修）第二冊（上）第55～56頁.[2] 王國平.中學生數學.用習題結論巧推點線距離公式2001年1月上 [3] 張乃貴、段萍中學生數學.點到直線的距離公式的又一證明.2001年1月上

[4] 陳志新.點到直線距離公式的又一證法.中學生數學.2001年6月上

離為

：

第四篇：點到直線的距離教案

作者： 來源： 發布時間：2009-3-7 16:45:40 發布人：

《點到直線的距離》教案

《點到直線的距離》教案

首都師范大學附屬桂林實驗中學高中數學組 葉景龍

課題:點到直線的距離

教材:人教版高二（上）第七章第三節第4課時 教材分析： 地位與作用

本節對“點到直線的距離”的認識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到解析幾何的定量計算，其學習的平臺是學生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關系等相關知識．對“點到直線的距離”的研究，為以后直線與圓的位置關系和圓錐曲線的進一步學習奠定了基礎，具有承前啟后的重要作用． 教學目標：

1、至少掌握點到直線的距離公式的一種推導方法，能用公式來求點到直線距離;

2、通過自學教材上利用直角三角形的面積公式的證明過程，培養學生的數學閱讀能力；

3、讓學生了解和感受探索問題的方法，以及用聯系的觀點看問題．在探索問題的過程中體驗成功的喜悅．

教學重點:點到直線距離公式及其應用． 教學難點: 點到直線的距離公式的推導 學情分析與學法指導:

高二年級學生已掌握了三角函數、平面向量等有關知識，具備了一定的利用代數方法研究幾何問題的能力．根據我校學生生源結構,既有一等的陽光生,也有七等的后進生,思維差異比較大,要兩邊兼顧,本課采用由淺入深啟發式講解法、類比發現式教學法.教學時間：45分鐘 教學過程：

一、創設情境,提出問題(3分鐘)

設想:如圖臨桂縣汽車站因業務需要,欲建一條到圖中鐵路

經過測量，若按照部門內部設計好的坐標圖（即以金源太陽城為原點），得知汽車站的坐標為P（2，1），而鐵路所在的直線方程為 ．則綠色通道的最短距離是多少? 這個實際問題要解決，要轉化成什么樣的數學問題？ 學生得出就是求點到直線的距離．教師提出這堂課我們就來學習點到直線的距離，并板書寫課題：點到直線的距離．

二、解決問題 1．問題再現(8分鐘)

多媒體顯示

設計意圖:讓學生感受數學來源于生活,感受數學無處不在,激發學生學習的興趣,為引入正題做準備 初中知識回顧!

請5位學生上黑板練習（第（4）題請一位運算能力強的同學，其余學生在下面自己練習，每做完一題立即講評）,教師巡堂檢查.教師評價：此方法思路自然，但是運算繁瑣．并多媒體展示求解過程． 的綠色通道,請在圖中標出“通道”位置,使“通道”最短。實際的例子

多媒體顯示：假定在直角坐標系上，已知一個定點P（x0,y0）和一條定直線l： Ax+By+C=0，那么如何求點P到直線l的距離d？(請學生思考并回答)

學生1：先過點P作直線l的垂線，垂足為Q，則|PQ|就是點P到直線l的距離d；然后用點斜式寫出垂線方程，并與原直線方程聯立方程組，此方程組的解就是點Q的坐標；最后利用兩點間距離公式求出|PQ|。

接著，教師用投影出示下列5道題(嘗試性題組)，(1)求P（2 ,1）到直線l：x=3的距離d;（答案：d=1）(2)求P（x0,y0）到直線l：By+C=0（B≠0）的距離d；（答案：）

(3)求P（x0,y0）到直線l：Ax+C=0（A≠0）的距離d；（答案：）

(4)求P（2 ,1）到直線l： 的距離d；（答案：）

(5)求P（x0,y0）到直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距離d。第（1）容易、（2）和（3）題雖然含有字母參數，但由于直線的位置比較特殊，學生不難得出正確結論；第（4）題雖然運算量較大，但按照剛才學生1回答的方法與步驟，也能順利解出正確答案；第（5）題雖然思路清晰，但由于字母參數過多、運算量太大行不通。學生們陷入了困境。

2．啟發引導，學生走出困境(2分鐘)

教師：根據以上5位學生的運算結果，你能得到什么啟示？ 學生2：當直線的位置比較特殊（水平或豎直）時，點到直線的距離容易求得，而當直線是傾斜位置時則較難；含有多個字母時雖然想起來思路很自然，但具體操作起來因計算量很大而無法得出結果。

教師：那么，練習（5）有沒有運算量小一點的推導方法呢？我們能不能根據剛才的第（2）、（3）的啟示，借助水平、豎直情形和平面幾何知識來解決傾斜即一般情況呢？ 教師：能否用其它方法，不求點Q的坐標，求線段PQ的長度?

學生：放在三角形---特殊三角形---直角三角形中． 教師：如何構造三角形？第三個頂點選在什么位置？ 學生：可過P點做x,y軸的平行線與直線 的交點R、S.請同學們思考怎樣求點到直線的距離。

3．點到直線的距離公式的推導過程(17分鐘)學生思考回答下列想法：

方法1:利用直角三角形的面積公式(學生自學)

如圖1，過點P作x、y軸的垂線分別交直線l于S、R，則由三角形面積公式可得

方法2:利用余弦值推導

指導學生自學教材的證明過程，培養學生的數學閱讀能力和獲取信息的能力．

解析幾何與三角函數結合 如下圖,過P作PM⊥x軸交l于M，構造直角△PQM,怎樣用|PM|表示|PQ|？，點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式為：

方法3:利用向量推導

已知直線 的法向量，則，如何選取法向量？直線的方向向量，則法向量為，或，或其它．由師生一起分析得出取 ＝ ． 教師板演：，由于點Q在直線上,所以滿足直線方程 ,解得

4．點到直線的距離公式的應用(13分鐘)用公式解決課題引入時提出的問題.例1 求點 到下列直線的距離： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 分析：⑴

可能會有學生在代人公式計算時，忘掉絕對值符號．教師要給予糾正，強調距離是一個非負數． ⑵

教材上的解法是結合圖形直接得到點到直線的距離，也可能會有學生是直接代人公式計算，教師指出對于 或 的特殊情況，一般結合圖形直接得到結論． ⑶

部分學生可能會對代入公式后計算得0這一結果感到困惑，教師要引導學生思考此時點與直線的位置關系，指出當點落在直線上時公式仍然成立． ⑷

在補充的問題⑷中所給出的直線方程不是一般式，所以在代人公式計算前，學生必須將直線方程化為一般式，以便確定

教師評析：向量是一種很好的數學工具，和解析幾何結合應用是高中數學知識的交匯點．而且這種方法在今后解析幾何與向量結合的題目中，用坐標聯系轉化是常用方法．

與開題呼應！

公式的鞏固,強調運用公式時的注意事項.系數，從而達到強調公式運用前提的目的．

教師：使用點到直線的距離公式的前提條件是把直線的方程化成一般式方程，如果給出的直線方程不是一般式方程，應先將方程化成一般式，以便確定系數 的值，這一點對于直線方程中含參數的問題尤為重要．

例2 ⑴已知點 到直線 的距離為，求 的值；⑵已知點 到直線 的距離為，求 的值． 教師：如何求實數 的值？ 解：⑴

⑵

教師：這兩問直線方程中參數 的幾何意義是什么？ 學生：⑴中 表示直線的斜率； ⑵中 表示直線在 軸上的截距． 教師：兩個小問的幾何意義是什么？

學生：⑴點 到兩條直線的距離相等，所以點 在兩條直線所成角的角平分線上；⑵所得的兩條直線互相平行且距離為2．（教師利用幾何畫板進行數學實驗）

三、課時小結(2分鐘)本課主要學習了以下內容：

⑴ 點到直線的距離公式的推導中不同的思路：利用直角三角形的面積公式、利用余弦值、利用平面向量； ⑵ 點到直線的距離公式：點 到直線（其中）的距離 說明：對于 的特殊情況時公式仍然適用． ⑶ 應用點到直線的距離公式的前提條件．

四、課后作業

1、課本習題7.3的第13題----16題；

2、總結寫出點到直線距離公式的多種方法．

能力提升,求參數 的值及幾何意義.教師引導學生歸納總結本節課所學習的主要內容．

板書設計

課題：點到直線的距離

推導點到直線的距離方法:

方法1: 利用直角三角形的面積公式推導

方法2: 利用余弦值推導 方法3:利用向量推導 點到直線的距離:

教學反思

本節課花了大量的時間在思考多種方法推導點到直線的距離公式,在課堂上展示了四種方法,讓學生至少掌握一種推導方法,主要注重培養了學生的思維,所以練習的量少了點,對于公式運用的鞏固還有待加強.公式的應用: 例1

例2

課堂小結

課后作業

第五篇：高中數學_談“點到直線距離公式”的向量推導方法

談“點到直線距離公式”的向量推導方法

貴州省黃平縣舊州中學 楊勝萬

在人教大綱版高二數學上冊中,關于點到直線距離公式的推導方法,教材介紹了兩種推導方法,并詳細給出了利用直角三角形的面積公式推導得出點到直線的距離公式的具體過程。其實關于點到直線的距離公式的推導方法，除上述方法之外，還有其它很多方法，在這些方法中，向量法（利用平面向量的有關知識來推導的方法）是一種行之有效的推導方法。其推導思路簡單明了、運算量也較小。下面筆者給出向量法推導點到直線的距離的具體過程，以供同行參考：

已知直線：

和點，為點

到直線的距離。現不妨設且，則直線的斜率為，其方向向量為，從而易知其法向量，又設點為直線上的任一點（如圖所示），于是有：

由平面向量的有關知識，可得：

顯然，當或

時，上述公式仍成立。

上述推導方法利用了向量的數量積知識來進行推導出了點到直線的距離公式，這是一種比較重要有數學思想方法。我們還可將這種思想方法進一步推廣到在立體幾何中，如何利用空間向量解決求點到平面的距離問題。