第一篇：《函數單調性》復習課教學反思

《函數單調性》復習課教學反思

函數單調性是高中數學最重要的知識點之一，學習起來并不容易，在教學時不能貪圖進度和難度，要給學生一定的時間去體會去理解。對于這節課：單調函數的概念是重點，函數單調性的判斷與證明是難點。教學時主要使用啟發式，好處是學生在教師的引導下可以很快基本掌握函數單調性這一知識點。

在高一時我的教學過程是：按照大綱要求，將概念引入、講解、重點分析、舉例鞏固、課后練習。這堂課無論是自己或者學生都反映良好，概念清晰，學生在完成課后作業的時候也準確率較高。但是，在期末復習的時候，問題還是暴露出來，學生對于單調性的概念由于時間關系已經模糊了，產生了類似于自變量大，函數值大，即可以得到函數是增函數的錯誤結論。已經忽略了自變量取值的任意性這一基本要求，概念不清；更有甚者，連“對于任意的x1

現在總復習了，如何完成教學任務已不足以滿足我的要求，我思考的是如何利用有限的課堂教學時間，使學生在準確理解“函數的單調性”的有關概念的基礎上，掌握數形結合的思想方法，加深對概念的認識，為進一步的轉化為程序性知識做鋪墊。前兩次的教學我采用的都是利用課本的引例，即利用二次函數和三次函數的圖象，讓學生直觀地看到“單調遞增”或“單調遞減”的現象，然后就單刀直入地提出了“函數的單調性”這個概念，解釋一下要點“任意”、“都有”、“定義域”、“區間”，就結束了，直接進入應用概念的階段。好處是節約時間，直接明了，條理清楚；缺點是學生對于概念的本質認識模糊，很容易隨著時間的流逝將其遺忘，特別是在處理一些概念性較強的證明題時尤為明顯。為了讓學生對概念理解的更透徹，后續學習更加順利，我在這一次的教授過程中做了適當的調整。引入部分還是采用了二次函數，還加入了一次函數和反比例函數。這兩個特例，前者是課本證明題例２；后者既是例３又承擔著概念辨析的重要職責。這樣的安排，一方面是考慮到學生實際情況（直觀現象容易為其所接受），一方面也是盡最大可能地利用課本承前啟后。學生在描述上述三個函數圖象的時候較為順利，此時我引導學生觀察一次函數的圖象，描述其的特征：從左往右圖象上升。然后順勢提出讓學生觀察其余兩個函數的圖象，是否有類似的現象。學生１：二次函數圖象上升；學生２：二次函數圖象下降；學生３：二次函數圖象下降后上升。學生１和學生２在學生３回答后感覺自己似乎錯了，但又說不請理由。此時，教師指出：在同一個觀察任務中必須按照一定的標準，觀察的順序應沿x軸的正方向即“從左向右”，即可得到正確答案。學生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。通過觀察，大家發現了上述三個函數存在從左往右看圖象上升或下降的現象，及時提出課題“函數的單調性”，并指出以上函數的單調性及增減函數的名詞。直觀上承認這一性質以后，我放棄了以前直奔主題的做法，結合學生常常接觸上下樓為情景。由學生仿照剛才的分析，解釋圖象的“單調”特征。繼而提出：圖象特征如何轉化為數學語言？經過思考，通過圖象直觀的影響，教師的啟發，學生歸納總結函數單調性的定義。到此，學生通過自身的探索終于接近目的地，自己給出了“增函數”的定義。我讓學生打開書本，與書上的定義進行比較，肯定他們的成果，并提示采用書本更為精確的用語。這個定義的給出，與以往我生硬地將課本定義直接給出大相徑庭，由學生容易接受的直觀圖象開始，先形成“單調性”是函數的一種現象、“增（減）函數”是什么樣的這樣的印象，由學生自主探索接近、得到定義，學生對此印象深刻，理解深入，而且激發了學生的自信心：原來自己也可以寫數學定義。興奮點啟動以后，后續的學習就順利多了，“減函數”，“單調區間”的定義很快給出。最后指出“函數的單調性”本質上反映了函數隨自變量的變化函數值相應地發生變化的性質。這個結論的提出，在一定的高度上對“函數的單調性”作出了最本質的概括，學生深受觸發。本節課留給學生較多的活動機會，可總結為四給：

（一）給學生以看的機會；

（二）給學生以想的機會；

（三）給學生以說的機會；

（四）給學生以練的機會。這樣，既調動了學生的積極性，又培養學生的觀察,歸納,抽象的能力,同時滲透數形結合,從特殊到一般的數學思想。課后的教學反饋效果良好，當然也存在一些不足之處，我會在下一課時的教學中加以補充，力爭達到一個最好的教學效果。

第二篇：函數的單調性教學反思

教學反思

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據。對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．

1、新課標明確指出：函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型，不僅把函數看成是變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數，函數的思想將貫穿高中數學課程的始終《函數的單調性》的課標教學要求，從結合實際問題出發，讓學生感受運用函數概念建立模型的過程和方法，體會函數在數學和其他學科中的重要性，初步運用函數思想理解和處理現實生活和社會中的間斷問題。數學新課標還提到：要注重提高學生的數學思維能力，即“在學生學習數學運用數學解決問題時，應經歷直觀感知，觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程”。所以在本節課的教學設計中在分析學生的認知發展水平和已有的只是經驗的基礎上，讓學生通過觀察函數圖像的變化規律，然后歸納猜測，勇于實踐探究式的教學方法，取得了較好的教學成果。

2、函數的單調性是函數的一個重要性質

在理解函數單調性的定義時，值得注意下列三點：(1)單調性是與“區間”緊密相關的概念，一個函數在不同的區間上可以有不同的單調性.在討論函數的單調性時，特別要注意,若f(x)在區間D1，D2上分別是增函數，但f(x)不一定在區間D1∪D2上是增函數，例如：函數

f(x)=(x-1)/(x+1)在(－∞,－1)上是增函數，在(－1，+∞)上也是增函數，但在(－∞,－1)∪(－1,+∞)上不是增函數，f(1)

f(x1)x2)，這說明單調性使得自變量間的不等關系和函數值之間的不等關系可以“正逆互推”.

2.判斷函數的單調性或單調區間時，可以結合函數的圖象升降進行判定，對于一般函數需用增、減函數定義加以證明，用定義的證明函數的單調性學生還存在問題較多。

3.一次函數、二次函數、反比例函數及y=x+a/x(a>0)型的函數的單調性和單調區間要記熟，把它們作為性質，可應用到一般函數單調性的判斷上.

4.由于時間的限制，這節課對二次函數單調性的討論及應用進行的并不充分，下節課對于函數的單調性的定義的可逆性，已知二次函數在某個區間的增減性，求參數的取值等問題還需進一步探討。

第三篇：函數單調性教學與反思

函數單調性教學與反思

教學內容：

（一）引入課題

我國的人口出生率變化曲線（如下圖），請同學們觀察說出人口出生的大致變化情況。我們可以很方便地從圖象觀察出人口出生的變化情況，對今后的工作具有一定的指導意義。

下面我們開始研究函數在這方面的主要性質之一―――函數的單調性。

（二）形成概念

1、觀察引入

演示動畫（1）函數y=2x+1隨自變量x 變化的情況

（2）函數y=-2x+1隨自變量x 變化的情況

（設計意圖：由初中知識過度到今天要學的知識，對初中知識進行深化，激起學生新的認知沖突，從而調動學生積極性）

2、步步深化

演示動畫(3)函數y=x2隨自變量x 變化的情況，設置啟發式問題：

(1)在y軸的右側部分圖象具有什么特點？

(2)指出在y軸的右側部分自變量與函數值的變化規律？(3)如果在y軸右側部分取兩個點（x1，y1），（x2，y2），當x1

(4)如何用數學符號語言來描述這個規律？

教師補充：這時我們就說函數y=f(x)=x2在(0,+ ?)上是增函數.(5)反過來，如果y=f(x)在(0,+ ?)上是增函數，我們能不能得到自變量與函數值的變化規律呢？ 類似地分析圖象在y軸的左側部分。

（設計意圖：通過啟發式提問，實現學生從“圖形語言”?“文字語言”?“符號語言”多方面認識函數的單調性，實現“形”到“數”的轉換，另外，我認為學生對“任意性”較難理解，特設計了（3）、（4）問題，步步深入，從而突破難

點，突出重點。）

3、形成概念

注意：（1）變量屬于定義域

（2）注意自變量x1、x2取值的任意性

（3）都有f(x1)>f(x2)或f(x1)

（設計意圖：體現從簡單到復雜、具體到抽象的認知過程。在課堂教學中教師引導學生探索獲得知識、技能的途徑和方法。通過探索，培養學生的觀察能力和運動變化的觀點，同時充分利用圖形的直觀性，滲透了數形結合的思想，學生在探索的過程中品嘗到了自己勞作后的甘甜，感受到耕耘后的豐收喜悅，更激起了學生的探索創新意識。）

（三）深化概念

例1 如圖6是定義在閉區間[-5，5]上的函數y=f(x)的圖象，根據圖象說出y=f(x)的單調區間，以及在每一單調區間上，函數y=f(x)是增函數還是減函數.(通過講解例1，讓學生學會通過觀察圖象寫出函數的單調區間。)例2 證明函數f(x)=3x+2在R上是增函數.證明：設x1,x2是R上的任意兩個實數，且x1

11x?x－=21,（注意變形程度）x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+ ?)，得x1x2>0, 又由x10 ,于是f(x1)－f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)∴f(x)= 1在(0,+ ?)上是減函數.x(此題是為了進一步加強證明的規范性，嚴謹性)（設計意圖：通過例題的教學，有助于學生內化所學的概念，建構新的知識體系，在例題教學中通過學生的交流，實現師生互動；通過教師針對性點評，有利于深刻理解概念。）

（四）即時訓練 課堂練習：

1、書P60 練習1（請同學口答）

2、判斷函數f(x)=在(-?,0)上是增函數還是減函數并證明你

1x的結論.（設計意圖：一個新知識的出現，要達到熟練運用的效果，僅僅了解是不夠的，一定量的“重復”是有效的，也是必要的，所謂“溫故而知新”、“熟才能生巧”。）反思：

函數單調性是函數的一個重要性質，并且學生是頭一次接觸函數的單調性，陌生感強。函數單調性，單調區間的概念掌握起來有一定困難，這樣會增加學生的負擔，不利于學生學習興趣的激發。學生已有的認知基礎是，初中學習過函數的概念，初步認識到函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念。進入高中以后，又進一步學習了函數的概念，認識到函數是兩個數集之間的一種對應。學生只學過一次函數、反比例函數、正比例函數、二次函數，所以對函數的單調性研究也只能限于這幾種函數。學生的現有認知結構中能根據函數的圖象觀察出“隨著自變量x的增大函數值y增大”等變化趨勢，所以在教學中要充分利用好函數圖象的直觀性、發揮好多媒體教學的優勢通過一組常見的具體函數例子，引導學生借助初中學過的一次函數、二次函數、反比例函數的圖象，從函數圖像分析入手，使學生對增、減函數有一個直觀的感知。從圖象直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性的第一次認識。

教學中，通過一次函數、二次函數等具體函數的圖象及數值變化特征的研究，得到“圖象是上升的”，相應地，即“隨著x的增大，y也增大”，初步提出單調增的說法。通過討論、交流，讓學生嘗試，就一般情況進行刻畫，提出“在某區間上，如果對于任則函數在該區間上具有“圖象是上升的”、“隨著x的增大，y也增大”的特征。進一步給出函數單調性的定義。然后通過辨析、練習等幫助學生理解這一概念。

用函數單調性的定義證明函數的單調性。應該注意證明的四個基本步驟：取值——作差變形——定號——判斷。把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢．在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的。使用函數單調性定義證明是本節課的一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助。另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊。

第四篇：函數的單調性教學反思

函數的單調性教學反思

函數的單調性是函數非常重要的性質，在初中學習函數時，對這個問題已經有了初步的探究，當時研究比較粗淺，沒有明確的定義。函數的單調性從圖像的角度看，簡單，清楚，直觀容易理解。因此，這節課的設計是從熟悉的簡單的具體的一次函數，二次函數入手，讓每個學生通過圖像體會圖像的變化情況，并用普通語言描述。通過動畫演示，讓學生觀察兩個點在運動的過程中橫、縱坐標之間的關系，并用抽象的數學符號語言來刻畫，即當x1f(x2)，給出增函數的定義，再通過類比給出減函數的定義，并對函數單調性作深入的討論。最后通過兩個例題的講解加強學生對概念的理解。例1讓學生學會通過函數圖像找出函數的單調區間，明白函數的單調性是在定義域的子區間上的性質，由例2歸納出用定義法證明函數單調性的一般步驟，從而突破難點。

本節課是學生在教師的指導下的逐步探索過程。在探索過程中，讓學生通過觀察、實驗歸納及抽象概括等體會從特殊到一般，從具體抽象、從簡單到復雜的研究方法，讓學生學會圖形語言、普通語言以及抽象上學符號語言之間相互轉換，并滲透數形結合的，分類討論等數學思想。

在整個課堂的教學中，我暴露了作為新老師的種種問題。（1）本節課教學旨體現了課堂教學從“灌輸式”到“引導發現式”的轉變，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率。然而在實際授課中，引導學生主動發現問題，主動解決問題的語言不夠精煉，并不能很好的引導學生的思維，而是變成了“滿堂貫”。

⑷ 本人認為在概念教學中多花一些時間是值得的，因為只有理解掌握了概念，才能更好地幫助學生落實“雙基”，更好地幫助學生認識數學，認識數學的思想和本質，進一步地發展學生的思維，提高學生的解題能力。在例題的講解中我注意培養學生回答問題的規范性。教師起到一個引導作用，教學有法，教無定法，相信只要我們大膽探索，勇于嘗試，課堂教學一定會更精彩！但是，在實際課堂中，在對概念的講解時并沒有強調到關鍵點，比如單調性中對“任意的”的理解，因此在對概念的講解上還需要加強。而在例題的講解過程中，也沒有引導學生對例題有一個整體的思考，引導學生學會讀題，從哪里入手解題等等問題，而是直接給出了此類題型的一般解法，而由于學生的基礎不扎實，因而對教師所給的解法不理解，導致在變式證明函數的單調性的時候，覺得無從下手。實際授課時，過度不自然，從創設情境到概念的講解，最后到例題，過度的顯得生硬不通暢。這些都需要加強。

⑸ 在實際中的不足：教師語速平平，可能會使學生容易走神，應做到抑揚頓挫，有感情，用教師的激情去感染學生；在講臺上小動作過于明顯，教姿教態有待進一步的提高，以積極飽滿的情緒感染學生，這樣學生才會有主動學習的動力。

第五篇：函數單調性

函數單調性概念教學的三個關鍵點 ──兼談《函數單調性》的教學設計

北京教育學院宣武分院 彭 林

函數單調性是學生進入高中后較早接觸到的一個完全形式化的抽象定義，對于仍然處于經驗型邏輯思維發展階段的高一學生來講，有較大的學習難度。一直以來，這節課也都是老師教學的難點。最近，在我區“青年教師評優課”上，聽了多名教師對這節課不同風格的課堂教學，通過對他們教學案例的研究和思考，筆者認為，在函數單調性概念的教學中，關鍵是把握住如下三個關鍵點。

關鍵點1。學生 學習函數單調性的認知基礎是什么？

在這個內容之前，已經教學過一次函數、二次函數、反比例函數等簡單函數，函數的變量定義和映射定義，以及函數的表示。對函數是一個刻畫某些運動變化數量關系的數學概念，也已經形成初步認識。接踵而來的任務是對函數應該繼續研究什么。在數學研究中，建立一個數學概念的意義就是揭示它的本質特征，即共同屬性或不變屬性。對各種函數模型而言，就是研究它們所描述的運動關系的變化規律，也就是這些運動關系在變化之中的共同屬性或不變屬性，即“變中不變”的性質。按照這種科學研究的思維方式，使得當前來討論函數的一些性質，就成為順理成章的、必要的和有意義的數學活動。至于在多種函數性質中，選擇這個時機來討論函數的單調性而不是其他性質，是因為函數的單調性是學生從已經學習的函數中比較容易發現的一個性質。

就中小學生與單調性相關的經歷而言，學生認識函數單調性可以分為四個階段： 第一階段，經驗感知階段（小學階段），知道一個量隨另一個量的變化而變化的具體情境，如“隨著年齡的增長，我的個子越來越高”，“我認識的字越多，我的知識就越多”等。

第二階段，形象描述階段（初中階段），能用抽象的語言描述一個量隨另一個量變化的趨勢，如“y隨著x的增大而減少”。

第三階段，抽象概括階段（高中必修1），能進行脫離具體和直觀對象的抽象化、符號化的概括，并通過具體函數，初步體會單調性在研究函數變化中的作用。

第四階段，認識提升階段（高中選修系列1、2），要求學生能初步認識導數與單調性的聯系。

基于上述認識，函數單調性教學的引入應該從學生的已有認知出發，建立在學生初中已學的一次函數、二次函數以及反比例函數的基礎上，即從學生熟悉的常見函數的圖象出發，直觀感知函數的單調性，完成對函數單調性定義的第一次認識.。

讓學生分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函在學生畫圖的基礎上，引導學生觀察圖象，獲得信息：第一個圖象從左向右逐漸上升，y隨x的增大而增大；第二個圖象從左向右逐漸下降，y隨x的增大而減小.然后讓學生明確，對于自變量變化時，函數值具有這兩種變化規律的函數，我們分別稱為增函數和減函數.第三個函數圖象的上升與下降要分段說明，通過討論使學生明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的．

在此基礎上，教師引導學生用自己的語言描述增函數的定義： 如果函數在某個區間上的圖象從左向右逐漸上升，或者如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區間上為增函數．

關鍵點2。為什么要用數學的符號語言定義函數的單調性概念？

對于函數單調性概念的教學而言，有一個很重要的問題，即為什么要進一步形式化。學生在初中已經接觸過一次函數、反比例函數、二次函數，對函數的增減性已有初步的認識：隨x增大y增大是增函數，隨x增大y 減小是減函數。這個觀念對他們而言是易于接受的，很形象，他們會覺得這樣的定義很好，為什么還要費神去進行符號化呢？如果教師能通過教學設計，讓學生感受到進一步符號化、形式化的必要性，造成認知沖突，則學生研究的興趣就會大大提高，主動性也會更強。其實，數學概念就是一系列常識不斷精微化的結果，之所以要進一步形式化，完全是數學精確性、嚴密性的要求，因為只有達到這種符號化、形式化的程度，才可以進行準確的計算，進行推理論證。

所以，在教學中提出類似如下的問題是非常必要的：

右圖是函數函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數和減

對于這個問題，學生的困難是難以確定分界點的確切位置．通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究,使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性，從而將函數的單調性研究從研究函數圖象過渡到研究函數的解析式.關鍵點3：如何用形式化的語言定義函數的單調性？

從數學學科這個整體來看，數學的高度抽象性造成了數學的難懂、難教、難學，解決這一問題的基本途徑是順應學習者的認知規律：在需要和可能的情況下，盡量做到從直觀入手，從具體開始，逐步抽象，即數學的思考方式。恰當運用圖形語言、自然語言和符號化的形式語言，并進行三者之間必要的轉化，可以說，這是學習數學的基本思考方式。而函數單調性這一內容正是體現數學基本思考方式的一個良好載體，教學中應該充分關注到這一點。長此以往，便可使學生在學習知識的同時，學到比知識更重要的東西—學會如何思考？如何進行數學的思考？

一般說，對函數單調性的建構有兩個重要過程，一是建構函數單調性的意義，二是通過思維構造把這個意義用數學的形式化語言加以描述。對函數單調性的意義，學生通過對若干函數圖象的觀察并不難認識，因此，前一過程的建構學習相對比較容易進行。后一過程的進行則有相當的難度，其難就難在用數學的符合語言來描述函數單調性的定義時，如何才能最大限度地通過學生自己的思維活動來完成。這其中有兩個難點：

（1）“x增大”如何用符號表示；同樣，“f(x)增大”如何用符號表示。（2）“‘隨著’x增大，函數f(x)‘也’增大”，如何用符號表示。

用數學符號描述這兩種數學意義的最大要害之處，在于要用數學的符號來描述動態的數學對象。

在初中數學中，除了學習函數的初級概念，用y=f(x)表示函數y隨著自變量x的變化而變化時，接觸到一點動態數學對象的數學符號表示以外，絕大多數都是用數學符號表示靜態的數學對象。因此，從用靜態的數學符號描述靜態的數學對象，到用靜態的符號語言刻畫動態數學對象，在思維能力層次上存在重大差異，對剛剛由初中進入高中學習的學生而言，無疑是一個很大的挑戰！

因此，在教學中可以提出如下問題2： 如何從解析式的角度說明

在上為增函數？

這個問題是形成函數單調性概念的關鍵。在教學中，教師可以組織學生先分組探究，然后全班交流，相互補充，并及時對學生的發言進行反饋、評價，對普遍出現的問題組織學生討論，在辨析中達成共識.對于問題2，學生錯誤的回答主要有兩種：

①在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為函數． ,所以

在上為增②可以用0，1，2，3，4，5驗證： 在所以函數上是增函數。

對于這兩種錯誤，教師要引導學生進一步展開思考。例如，指出回答②試圖用自然數列來驗證結論，而且引入了不等式表示不等關系，但是，只是對有限幾個自然數驗證不行，只有當所有的比較結果都是一樣的：自變量大時，函數值也大，才可以證明它是增函數，那么怎么辦？如果有的學生提出：引入非負實數a，只要證明

就可以了，這就把驗證的范圍由有限擴大到了無限。教師應適時指出這種驗證也有局限性，然后再讓學生思考怎樣做才能實現“任意性”就有堅實的基礎了。也就是，從給定的區間內任意取兩個自變量,然后求差比較函數值的大小，從而得到正確的回答: 任意取在,有為增函數． ,即，所以這種回答既揭示了單調性的本質，也讓學生領悟到兩點：(1)兩自變量的取值具有任意性；(2)求差比較它們函數值的大小。至此，學生對函數單調性有了理性的認識.在前面研究的基礎上，引導學生歸納、抽象出函數單調性的定義，使學生經歷從特殊到一般，從具體到抽象的認知過程。

教學中，教師引導學生用嚴格的數學符號語言歸納、抽象增函數的定義，并讓學生類比得到減函數的定義.然后指導學生認真閱讀教材中有關單調性的概念,對定義中關鍵的地方進行強調.同時設計了一組判斷題：

判斷題：

①②若函數③若函數滿足f(2)

和(2,3)上均為增函數，則函數在(1,3)上為增函數．④因為函數減函數.在上都是減函數，所以在上是通過對判斷題的討論，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②有的函數在整個定義域內單調(如一次函數)，有的函數只在定義域內的某些區間單調(如二次函數)，有的函數根本沒有單調區間(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

從而加深學生對定義的理解

北京4中常規備課

【教學目標】

1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法．

2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力．

3．通過知識的探究過程培養學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程．

【教學重點】 函數單調性的概念、判斷及證明．

【教學難點】 歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習． 【教學手段】 計算機、投影儀． 【教學過程】

一、創設情境，引入課題 課前布置任務：

(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？

預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時刻的溫度；

(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規律，了解這些數據的變化規律，對我們的生活是很有幫助的．

問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等．

歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發興趣．

二、歸納探索，形成概念

對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義.1．借助圖象，直觀感知

問題1：

分別作出函數數值有什么變化規律？ 的圖象，并且觀察自變量變化時，函

預案：(1)函數

在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數

在整個定義域內 y隨x的增大而減?。?/p>

(2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。?/p>

(3)函數 在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．

引導學生進行分類描述(增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質．

問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數

在某個區間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們在該區間上為增函數；如果函數說函數在該區間上為減函數．

教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 【設計意圖】從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規律，理性認識

問題1：下圖是函數和減函數嗎？ 的圖象,能說出這個函數分別在哪個區間為增函數

學生的困難是難以確定分界點的確切位置．

通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究．

〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明

在為增函數？

22預案：(1)在給定區間內取兩個數，例如1和2，因為1<2,所以為增函數．

(2)仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以(3)任取，所以

在,因為

為增函數．

在為增函數．

在,即對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區間內任意取兩個自變量．

【設計意圖】把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念

問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎?

師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念 判斷題：

①．

②若函數

③若函數 在區間

和(2,3)上均為增函數，則函數

在區間(1,3)上為增函

．

④因為函數在區間上是減函數.上都是減函數，所以在

通過判斷題，強調三點：

①單調性是對定義域內某個區間而言的，離開了定義域和相應區間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)．

③函數在定義域內的兩個區間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數．

思考：如何說明一個函數在某個區間上不是單調函數? 【設計意圖】讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展

例 證明函數

在上是增函數．

1．分析解決問題

針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流．

證明：任取 ，設元

求差

變形，斷號

∴

∴

即

∴函數

2．歸納解題步驟

在上是增函數．

定論

引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．

練習：證明函數

問題：要證明函數

在區間

上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對

在上是增函數．

任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在

〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆．

四、歸納小結，提高認識

學生交流在本節課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結．

1．小結

(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論．(3)數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業

書面作業：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究：(1)證明：函數

在區間

上是增函數的充要條件是對任意的上是增函數．，且

有．

(2)研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖．

《函數的單調性》教學設計說明

一、教學內容的分析

函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節課的重點和難點．

二、教學目標的確定

根據本課教材的特點、教學大綱對本節課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養和良好思維習慣的養成．

三、教學過程的設計

為達到本節課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入．

（2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟．

（3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．