第一篇：復數·復數的乘法及其幾何意義

復數·復數的乘法及其幾何意義·教案

教學目標

1．掌握用復數的三角形式進行乘法運算的法則及其推導過程． 2．掌握復數乘法的幾何意義．

3．讓學生領悟到“轉化”這一重要數學思想方法． 4．培養學生探索問題、分析問題、解決問題的能力． 教學重點與難點

重點：復數的三角形式是本節內容的出發點，復數的乘法運算． 難點：復數乘法運算的幾何意義，不易為學生掌握． 教學過程設計

師：前面我們學習了復數的代數形式的運算和復數的三角形式，請大家用5分鐘的時間，完成以下兩道題的演算．（利用投影儀出示）

1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；

想出算法后，請大家在筆記本上演算，允許同學之間交換意見．

（教師在教室里巡視，稍過幾分鐘，請一位已經做完的同學在黑板上寫出推導過程）學生板演：

z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）

=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 師：很好，你是怎樣想出來的？為什么這樣想？

生：我們已經學過復數的代數形式運算，因此把三角形式化為代數形式，按著代數形式的乘法運算法則就可以完成運算．根據數學求簡的原則，運用三角公式把結果化簡． 在已知的基礎上發展和探索未知的東西，解題時，把未知轉化成已知，這是重要的思想方法．我是根據這個思想才想出來的．

師：觀察這個問題的已知和結論，同學們能發現有什么規律嗎？

生：兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的復角等于各復數的輻角的和． 師：利用這個結論，請同學們計算：

這就是復數的三角形式乘法運算公式．

三角形式是由模和輻角兩個量確定的，進行乘法運算時要清楚模怎樣算？輻角怎樣算？ 使用復數的三角形式進行運算的條件是復數必須是三角形式的標準式，輻角不要求一定是主值．

同學們已經了解，復數通過幾何表示，把復數與復平面內的點或從原點出發的向量建立起一一對應后，復數不僅取得了實際的解釋，而且確實逐步展示了它的廣泛應用．我們已經研究了復數加、減法的幾何意義，并感覺到了它的用途，請大家討論一下，學習了復數的三角形式運算對復數乘法的幾何意義有什么啟發呢？

（同學分組討論，請小組代表發言．如果條件允許，在學生發言同時，用多媒體輔助教學，演示模伸縮情況，輻角終邊的旋轉）

生：復數的乘法對應的向量，就是由對應于被乘數所對應的向量按逆時針方向旋轉一個角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按順時針方向旋轉一個角|θ2|，再把其模變為原來的r2倍（r2＞1，應伸長；0＜r2＜1，應縮短；r2=1，模長不變），所得的向量就表示積z1·z2．這是復數乘法的幾何意義．

師：解此題復數是否一定化成三角形式？

生：復數與從原點出發的向量建立了一一對應關系，無論是代數形式還是三角形式都表示同一個復數和向量，運算結果是一個數，因此不一定化成三角形式，應根據需要來選擇．

師：說得好，請同學們寫一下解題過程．（找一名同學到黑板板演）

解：所求的復數就是-1+i乘以一個復數z0的積，這個復數z0的模是1，輻角的主值是120°．所求的復數是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）

師：為什么？

生丙：乘數sin30°+icos 30°不是復數三角形式的標準式，應化為cos 60°＋isin 60°，這樣才能應用復數乘法的幾何意義來解題．

師：同學們應注意到旋轉的角度是輻角來確定的，而輻角的大小又是由復數的三角形式的標準式來確定．

同學們開始討論解決：

生庚：復數運算的幾何意義是在復平面內實施的，因此要建立直角坐標系． 師：你分析得正確，如圖8－13，建立坐標系．取正方形的邊長為單位長1．

生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，這樣，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分別看作B1，B2，B3三個點對應復數的輻角主值，下面應考慮B1，B2，B3對應復數是什么？

按著老師規定的單位長，B1，B2，B3三點對應的復數分別為1＋i，2＋i，3＋i． 師：好，你先談到這里，如果單位長度有新的規定，例如邊長為2，則三點對應復數分別為2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影響復數的輻角主值的大小，不過計算要繁一些．同學們繼續討論．

生壬：2＋i，3＋i的輻角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，誤差較大．根據復數乘法的幾何意義，積的輻角等于兩個乘數輻角之和，可以先作乘法，看乘積是什么？假若其輻角主值也不是特殊角，但只取一次近似值． 師：你分析得很好，請你計算一下：

師：今天這節課，從知識上要掌握用復數的三角形式進行乘法運算的法則和乘法的幾何意義及其推導過程．從思考方法上要善于從未知與已知、數與形以及復數的各種形式互相轉換角度上考慮問題．現在布置作業：

第二篇：復數·復數的減法及其幾何意義

復數·復數的減法及其幾何意義·教案

教學目標

1．理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義．

2．滲透轉化，數形結合等數學思想和方法，提高分析、解決問題能力． 3．培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）． 教學重點和難點 重點：復數減法法則．

難點：對復數減法幾何意義理解和應用． 教學過程設計

（一）引入新課

師：上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義．

（板書課題：復數減法及其幾何意義）

（二）復數減法

師：首先規定，復數減法是加法逆運算，那么復數減法法則為（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板書）1．復數減法法則

（1）規定：復數減法是加法逆運算；

（2）法則：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推導這個法則呢？

生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（學生口述，教師板書）

（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 師：說一下這樣推導的想法和依據是什么？

生：把減法運算轉化為加法運算，利用乘法分配律和復數加法法則．

師：轉化的想法很好．但復數和乘法分配律在這里作為依據不合適，因為復數乘法還沒有學，邏輯上出現一些問題． 生：我覺得可以利用復數減法是加法逆運算的規定來推導．（學生口述，教師板書）

推導：設（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即復數x+yi為復數a+bi減去復數c+di的差．由規定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依據加法法則，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依據復數相等定義，得

故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 師：這樣推導每一步都有合理依據．

我們得到了復數減法法則，那么兩個復數的差是什么數？ 生：仍是復數．

師：兩個復數相減所得差的結果會不會是不同的復數？ 生：不會． 師：這說明什么？

生：兩個復數的差是唯一確定的復數．

師：復數的加（減）法與多項式加（減）法是類似的．就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

（三）復數減法幾何意義

師：我們有了做復數減法的依據——復數減法法則，那么復數減法的幾何意義是什么？（板書：2．復數減法幾何意義）生：用向量表示兩個做減法的復數．（學生口述，教師板書）設z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），對應向量分別

師：我們應該如何認識這個方程？（學生困惑，教師引導）

師：我們先看方程左式，右式分別表示什么？

生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數Z與復數1+i差的模． 師：有什么幾何意義嗎？

生：是動點Z與定點（1，1）間的距離．（學生活躍起來，紛紛舉手回答）

生：方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數z與復數-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離．這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線．（2）|z+i|+|z-i|=4；（學生議論后，舉手回答）

生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡．

師：這個動點軌跡是什么曲線呢？（學生稍有遲疑，有些同學小聲議論）生：是橢圓吧．

師：似乎回答的不夠肯定，不妨回憶一下橢圓的定義．

（學生在教師的提示下一起回答）生：在平面內，與兩個定點F1，F2距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓． 師：滿足這個方程的動點軌跡是不是橢圓呢？

生：是．因為點Z到兩個定點的距離和是常數4，并且大于兩點（0，-1），（0，1）間的距離2，所以滿足方程的動點軌跡是橢圓．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（學生議論后，舉手回答）

生：這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線． 師：說的再準確些． 生：是雙曲線右支．

師：很好．由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數方程．使有些曲線方程形式變得更為簡捷．且反映曲線的本質特征．

例4 設動點Z與復數z=x+yi對應，定點P與復數p=a+bi對應．求（1）復平面內圓的方程；（學生口述，教師板書）

解：復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．

師：利用復平面內兩點間距離公式，可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問題．

（五）小結

師：我們通過推導得到復數減法法則，并進一步得到了復數減法幾何意義，應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式，可以用復數研究解析幾何問題，不等式以及最值問題．

（六）布置作業P193習題二十七：2，3，8，9． 課堂教學設計說明

1．復數加法法則是規定的，而復數減法法則需要推導．推導過程要求每一步都要有合理依據，滲透轉化思想，培養學生嚴謹思維品質．復數減法幾何意義是教學難點，主要由于學生對復數及其幾何表示還不很熟悉，在復數加法幾何意義學習基礎上，引導學生自己得到復數減法幾何意義，有利于學生對復數幾何意義以及復數減法幾何意義理解． 2．對復數減法幾何意義應分三個層次．

例1主要訓練學生對復數減法幾何意義應用，并通過此例題使學生對復數減法幾何意義有具體認識，進一步使學生理解向量與向量終點表示復數的區別與聯系，并體會兩個相等向量表示兩個復數差的各自方便之處．

例2是對復平面內兩點間距離公式的推導，這既是對復數減法幾何意義再次應用，同時也為對復數方程的認識打下基礎．

例3和例4是在例2公式基礎上將復數幾何意義應用推廣到用復數研究解析幾何某些曲線、不等式等問題，使學生進一步體會復數減法幾何意義的重要性．

第三篇：復數與幾何教案

復數與幾何·教案

教學目標

1．掌握復平面、向量等有關概念；弄清復數集C與復平面內所有的點組成的集合之間一一對應關系，以及復數與從原點出發的向量之間的一一對應關系；弄清復數模的幾何意義．

2．通過數形結合研究復數，提高學生的數形結合能力，突出比較與類比的研究方法．

3．感受到為真理執著追求的精神．進行辯證唯物主義教育． 教學重點與難點

重點：復數與點與向量的對應關系以及復數的模．

難點：自由向量與位置向量的區別，以及它們與復數的對應關系． 教學過程設計

師：我們已經學習了復數的概念．什么是復數？ 生：形如a＋bi的數叫復數．（學生有不同意見，小聲議論）師：誰有補充？

生：形如a＋bi（a，b∈R）的數叫復數．（教師給予肯定）

師：a，b∈R的條件很重要，實際上我們是用實數來定義的復數，雖然我們知道了復數的定義，但是復數對于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數，任何一個實數，都可以在數軸上找到一個點與它對應，那么復數到底在哪里呢？我們能不能像實數那樣來表示復數呢？

生：數軸上的點不能表示虛數，只能表示實數．

師：那么用什么可以表示復數呢？注意復數是由a，b兩個實數決定的，可以大膽設想一下，我們可以利用什么來表示復數？

生：可以用直角坐標系里的點來表示嗎？ 師：××提出了一個想法，用直角坐標系內的點來表示復數．這種想法行不行呢？

（在黑板上畫出直角坐標系，任取一點（a，b））師：能不能用點來表示復數呢？

生：可以．因為有一個復數a＋bi（a，b∈R），就有一個點（a，b），而有一個點（a，b），就有一個復數a＋bi．

師：他剛才所說的實際想說明一點復數集與坐標系中的點構成的集合是一一對應的．的確，由復數相等的概念，我們知道一個復數a＋bi由一個有序實數對（a，b）唯一確定，而有序實數對與直角坐標系中的點是一一對應的．因此我們完全可以建立復數集與點集之間的一一對應．看來，用點來表示復數是完全可以的．為了區別表示復數的點與其它的點，我們把這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面．那么在這個坐標系中x軸上的點與y軸上的點所表示的復數分別具有什么特點呢？

生：x軸上的點的縱坐標為0，即復數的虛部為0，因此x軸上的點代表實數．

師：既然x軸上的點代表了所有實數，我們就把復平面中的x軸叫實軸．那么y軸上的點代表什么樣的復數呢？

生：由于y軸上的點的橫坐標都是零，因此y軸上的點表示的是純虛數． 師：同學們認為他說得對嗎？

（大多數同學認為他說得對，少數人有疑惑）

生：原點也在y軸上，但0不是純虛數，而是實數．所以y軸上的點除原點外表示的都是純虛數．

師：他說得很對．y軸上只有這個原點搗亂，不然就可以表示所有的純虛數．因此，我們把去掉原點后的y軸叫虛軸．這樣虛軸上所有的點都表示純虛數．那么，直角坐標平面與復平面有什么區別？

生：直角坐標平面中的x軸與y軸交于原點，而復平面中的實軸與虛軸沒有交點．

師：我們通過建立復平面，將復數集與復平面上的點建立了一一對應的關系，這樣復數對我們來說，也就不顯得那樣遙遠了．但對于復數的認可，在19世紀可沒那么簡單．第一次認真討論這種數的是文藝復興時期意大利有名的數學“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這種數的，當時復數被他稱作“詭辯量”，幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之數”取了一個名字——虛數．但是又過了140年，歐拉還是說這種數只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虛幻的縮寫）來表示它的單位．后來德國數學家高斯給出了復數的定義，但他們仍感到這種數有點虛無縹緲，盡管他也感到它的作用．1830年，高斯詳細論述了用直角坐標系的復平面上的點表示復數a＋bi，使復數有了立足之地，人們才最終承認了它．看來復數從發現到最終被人們承認，的確經過了一個漫長坎坷的過程，可最終使人們接受他的還是它的幾何表示，用點表示復數后，人們才覺得復數的存在．

（學生對數學史方面的知識很感興趣，因為他們感到數學的發展是那樣神秘，可以憑空造出數來，學生聽得聚精會神，當最后得知是用點來表示復數這一理論使復數得以被人承認后，甚至還有些成就感）

師：用點表示復數后，我們還要介紹一種表示復數的方法，連接坐標原點O與點Z，得到一個具有長度且有方向的線段，這種既有大小又有方向的線段叫有向線段，而有向線段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：既有大小又有方向的量叫向量． 師：能不能舉出一些向量的例子？

生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它們都是向量．

師：現在的問題是我們能不能用向量來表示復數？我們一般將起點為O，終點為Z的向量記作

．

生：當然可以．因為有一個向量就對應一個點，而有一個點就對應一個向量，而點與復數有一一對應的關系，因此可用向量表示復數．

（學生議論紛紛，看起來有不同意見）生：那我在復平面內任意畫一個有向線段（大家在思考）

師：這個問題提得很好．實際上，大家可以想一想，剛才××同學說一個向量對應一個點，一個點對應一個向量，對不對？怎么樣改一下就對了？ 生：應改為起點為原點的向量對應一個點，也就是起點為原點的向量與點構成一一對應．

師：既然這樣，我們就知道，起點為原點的向量與復數是一一對應的．那其它向量怎么辦？它們對應什么復數？能不能將他們移到原點來？，這個向量表示哪個復數呢？

生：只要它們的長度和方向與合的位置上．

相同，就可以平移到起點為原點，與 重師：實際上，我們把長度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其實，我們只要規定相等的向量對應同一個復數，我們就可以用向量來表示復數了．對那些起點不在原點的向量，我們只要怎么做就可以知道它所對應的復數了呢？ 生：只要將它們平移到起點與原點重合，這時向量終點所確定的復數就是那些起點不在原點的向量所表示的復數．

（教師給予肯定）

師：在這個正六邊形中有多少對向量相等，它們分別對應著哪些復數？

師：這樣我們完成了今天我們要討論的第二個問題：復數與向量．我們弄清楚了向量可以來表示復數，相等的向量對應著同一個復數．一個復數所對應的向量唯一嗎？

生：一個復數實際上可以對應無數個長度相等、方向相同的向量，只是這些向量的位置不同．

師：現在我們知道復數可以用點和向量來表示，它們之間的對應關系可以用下圖來表示．

有了這種一一對應關系后，我們常把復數z=a＋bi說成點Z（a，b），或說成向量 ．

師：在用有向線段表示向量時，有向線段的長度我們定義為向量的模，即線段OZ的長度為向量 的模．那么

可以表示復數z=a＋bi，那么 的模可以表示復數的哪個量呢？在實數集中，一個數的絕對值的幾何意義就是數軸上的點到原點的距離．在復數集中呢？

生：向量 的模就是復數的絕對值．

師：他的意思說出來了，但在復數中，我們一般不叫絕對值，叫復數的模．因此 的模就叫復數的模，只有復數為實數時，我們叫絕對值．那么復數的模具有什么樣的幾何意義？

生：復數的模的幾何意義是表示復數的點到原點的距離．

（教師給予肯定，并指出復數模的幾何意義與實數的絕對值的幾何意義是統一的．）

師：復數的模用什么表示呢？

生：用實數集中絕對值的符號表示，z的模，記作|z|． 師：復數z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（學生板演）

師：我們知道復數一般不能比較大小，而復數的模是實數，可以比較大小．（將z1，z2所表示的點畫在復平面上，再將它們所表示的向量畫出來，強調這三者的轉化）

例2 設z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原點距離為4的點． 師：這樣的點構成一個什么圖形？ 生：是原點為圓心，半徑為4的圓． 師：是圓面還是只有邊界的圓？為什么？

生：應該是表示只有邊界的圓．因為與復數z對應的點Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即點Z到原點的距離為4．所以z表示的點Z構成一個半徑為4的圓． 生：（2）表示一個圓環．由于|z|的幾何意義是點Z到原點的距離，所以2≤|z|＜4表示到原點距離大于等于2，小于4的點所構成的圖形．

師：準確地說這個圖形應當是半徑為2與半徑為4的圓構成的圓環內容及內邊界．包不包括邊界，主要是由原不等式中的等與不等決定的．

例3 用復數表示下圖中的陰影部分．

生甲：|z|＜3且虛部＜-1．由于圖中所示的點在半徑為3的圓中，且縱坐標小于-1．

師：這種表示是否正確？（學生小聲議論）

生：是兩條直線．

師：夾在這兩條直線中間又滿足|z|＜3的點顯然不僅僅是陰影部

（學生到黑板畫出圖）

師：因此剛才乙同學的想法是好在不滿足于用一種方法表示，肯思考，但這個題無法用實部來表示．

（下面提問第2小題）生：|z|≥3，且實部≤-1．

生：不對．

師：看來用實部還是虛部表示，一定要全盤考慮，表示出來后，還要反過來檢查一下是否符合題設條件．

（教師小結）

師：這節課我們共同探尋了復數的幾何表示方法以及復數模的幾何意義．要特別重視數與點與向量之間的對應關系，在研究的過程中要特別注意與實數的聯系與區別．

補充作業

1．判斷下列命題的真假，并說明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示復數x+yi的點的軌跡．

4．設z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）實部＞0，虛部＞0且|z|＜4．

作業答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．

4．（1）以原點為圓心，半徑為3的圓；

（2）以原點為圓心，半徑為3的圓面，不包括邊界；

（3）以原點為圓心，半徑為3和5的圓構成的圓環內部，包括外邊界；（4）以原點為圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分，不包括邊界． 課堂教學設計說明

本節課是一節內容較為簡單的概念課，但所涉及的知識內容，非常重要，它是學習復數的重要一環．

本設計著重突出主體性教學的原則，盡量做到讓學生來發現復數的幾何表示法，由實數自然地過渡到復數．本節課還將復數的點的表示與向量的表示集中在一節課處理，筆者認為這樣有利于學生對復數幾何意義的整體把握． 在教學中還注意通過數學史的故事，激發學生的學習興趣，增強學生的自信心，并自然地將思想教育滲透到教學中．

第四篇：復數復習

1．若復數(a2－4a＋3)＋(a－1)i是純虛數，則實數a的值是．

2．已知M＝{1,2，(a－1)＋(b－5)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，實數a與b的值分別是．

z2－2z3．已知復數z＝1－i． z－

14．已知結論：“在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點，G是三角形ABC

AG的重心，則＝2”．若把該結論推廣到空間，則有結論：“在棱長都相等的GD

四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內部一點O到四面體各面

AO的距離都相等”，則＝． OM

5．給出下面類比推理命題(其中Q為有理數集，R為實數集，C為復數集)：

①“若a，b∈R，則a－b＝0?a＝b”類比推出“若a，b∈C，則a－b＝0?a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，則復數a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”類比推出“若a，b，c，d∈Q，則a＋2＝c＋d2?a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，則a－b＞0”類比推出“若a，b∈C，則a－b＞0?a＞b”． 其中類比得到的結論正確的序號為．

6．已知復數z1＝4＋2i，z2＝k＋i，且z1·z2是實數，則實數k＝________．

7．＝6

8．復數z1＝

數a的值．

119．在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若＋a＋bb＋c

＝3，試問A、B、C是否成等差數列，若不成等差數列，請說明理由．若a＋b＋c32(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若z1＋z2是實數，求實a＋51－a2＋23，33＋＝84＋4815，…，若156＋b(a，b均為實數)，則猜測a＝________，b＝________． b

成等差數列，請給出證明．

解答：

1．a＝

3??a＝42．? ?b＝5?

z2－2z－222i3．＝＝2i z－1－ii－

14．①②

6，此時易知3

13點O即為正四面體內切球的球心，設其半徑為r，利用等積法有r3

41366666＝?r＝，故AO＝AM－MO＝－＝，故AO∶OM＝343123124

＝3.4125．【解析】 如圖設正四面體的棱長為1，則易知其高AM

6．k＝

27． 6 3

58．【解析】 z1＋z2＝32＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i a＋51－a

32??＝a＋51－a＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ??

＝a－13(a2＋2a－15)i.(a＋5)(a－1)

∵z1＋z2是實數，∴a2＋2a－15＝0.解得a＝－5或a＝3.∵分母a＋5≠0，∴a≠－5，故a＝3.9．【證明】 A、B、C成等差數列，下面用綜合法給出證明：

113∵＝ a＋bb＋ca＋b＋c

a＋b＋ca＋b＋c∴3，a＋bb＋c

ca∴＝1，a＋bb＋c

∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得

a2＋c2－b2ac1cos B＝，2ac2ac

2∵0°＜B＜180° ∴B＝60°.∴A＋C＝2B＝120°，∴A、B、C成等差數列．

第五篇：復數知識點

2011年高考總復習制作：孫老師2010-11-17

復數知 識 點

1.⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即i2??1.⑵復數及其相關概念：

① 復數—形如a + bi的數（其中a，b?R）；

② 實數—當b = 0時的復數a + bi，即a；

③ 虛數—當b?0時的復數a + bi；

④ 純虛數—當a = 0且b?0時的復數a + bi，即bi.⑤ 復數a + bi的實部與虛部—a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）⑥ 復數集C—全體復數的集合，一般用字母C表示.復數是實數的充要條件：

① z=a+bi∈R?b=0（a、b∈R）；②z∈R?z=z；③Z∈R?Z?Z2。

復數是純虛數的充要條件：

① z=a+bi是純虛數?a=0且b≠0（a、b∈R）；②z是純虛數或0?Z+z=0； ③z是純虛數? z2＜0。

⑶兩個復數相等的定義：

a?bi?c?di?a?c且b?d（其中，a，b，c，d，?R）特別地a?bi?0?a?b?0.2⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.注：①若z1,z2為復數，則1?若z1?z2?0，則z1??z2.（×）[z1,z2為復數，而不是實數]

2?若z1?z2，則z1?z2?0.（√）

②若a,b,c?C，則(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0是a?b?c的必要不充分條件.（當(a?b)2?i2，(b?c)2?1,(c?a)2?0時，上式成立）

2、復數加、減、乘、除法的運算法則：

設z1?a?bi,z2?c?di(a,b,c,d?R)，則z1?z2?(a?c)?(b?d)i；

z1?z2?(ac?bd)?(ad?bc)i；z1ac?bdbc?ad?2?2i。22z2c?dc?d

加法的幾何意義：設OZ1，OZ2各與復數z1，z2對應，以OZ1，OZ2為邊的平行四邊形的對角線OZ就與z1+z2對應。

減法的幾何意義：設OZ1，OZ2各與復數z1，z2對應，則圖中向量Z1Z2所對應的復數就是z2-z1。｜z1-z2｜的幾何意義是分別與Z1，Z2對應的兩點間的距離。

3.⑴復平面內的兩點間距離公式：d?z1?z2.其中z1，z2是復平面內的兩點z1和z2所對應的復數，d表示z1和z2間的距離.由上可得：復平面內以z0為圓心，r為半徑的圓的復數方程：z?z0?r（r?0）.⑵曲線方程的復數形式： ①z?z0?r表示以z0為圓心，r為半徑的圓的方程.②z?z1?z?z2表示線段z1z2的垂直平分線的方程.③z?z1?z?z2?2a（a?0且2a?z1z2Z1，Z2為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若2a?z1z2，此方程表示線段Z1，Z2）.④z?z1?z?z2?2a（0?2a?z1z2表示以Z1，Z2為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若2a?z1z2，此方程表示兩條射線）.⑶絕對值不等式：

設z1，z2是不等于零的復數，則 ①z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，且??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.②z1?z2?z1?z2?z1?z2.左邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0），右邊取等號的條件是z2??z1（??R，??0）.注：A1A2?A2A3?A3A4???An?1An?A1An.4.共軛復數：兩個復數實部相等，虛部互為相反數。即z=a+bi，則z=a-bi，（a、b∈R），實數的共軛復數是其本身

性質22z?z、z1?z2?z1?z2、z?z?2a，z?z?2bi（z?a + bi）、z?z?|z|?|z|

??nnz1?z2?z1?z2、z1?z2?z1?z2、?z1??z1（z2?0）、z?(z)???z2?z

2注：兩個共軛復數之差是純虛數.（×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]

nz??z??z?...z(n?N?)②對任何z，z1,z2?C及m,n?N?有 5.⑴①復數的乘方：z???

n

mnm?nmnm?nnnn③z?z?z,(z)?z,(z1?z2)?z1?z2

注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如i??1,i?1若由i?2421142(i)?12?1就會得到?1?1的錯誤結論.②在實數集成立的|x|?x2.當x為虛數時，|x|?x2，所以復數集內解方程不

能采用兩邊平方法.⑵常用的結論：

i??1,i24n?1?i,i4n?2??1,i4n?3??i,i4n?1i?i

i，2nn?1?in?2?in?32?0,(n?Z)(1?i)??2i,1?i1?i?i,??i 1?i1?i若?是1的立方虛數根，即????

21nn則?3 ? 1 , ??? ?2, ?1 ? ?n ? 2(.??,?? ,1?? 0?? ?? 0n?Z)?

6.⑴復數z是實數及純虛數的充要條件： 12

①z?R?z?z.②若z?0，z是純虛數?z?z?0.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數.特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：|z|?|z|.7.復數集中解一元二次方程：

2在復數集內解關于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)時，應注意下述問題：

①當a,b,c?R時，若?＞0，則有二不等實數根x1,2?

?b??|i

2a?b??b；若?=0，則有二相等實數根x1,2??；2a2a若?＜0，則有二相等復數根x1,2?（x1,2為共軛復數）.②當a,b,c不全為實數時，不能用?方程根的情況.③不論a,b,c為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.【典型例題】

2m2?3m?2例

1、當m為何實數時，復數z＝+（m2+3m－10）i； 2m?2

5（1）是實數；（2）是虛數；（3）是純虛數．

解：此題主要考查復數的有關概念及方程（組）的解法．

?m2?3m?10?0（1）z為實數，則虛部m+3m－10=0，即?，2?m?25?0

2解得m=2，∴ m=2時，z為實數。

?m2?3m?10?0（2）z為虛數，則虛部m+3m－10≠0，即?，2?m?25?02

解得m≠2且m≠±5.當m≠2且m≠±5時，z為虛數．

?2m2?3m?2?0?（3）?m2?3m?10?0，?2?m?25?0

11解得m=－, ∴當m=－時，z為純虛數． 22

詮釋：本題應抓住復數分別為實數、虛數、純虛數時必須具備的相應條件，還應特別注意分母不為零這一

要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的實數m＝.解：此題主要考查復數能比較大小的條件及方程組和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虛數不能比較大小，?m2?10?|m|?10??2?,解得?m?0或m?3,?m?3.∴?m?3m?0

?2?m?3或m?1m?4m?3?0???

當m＝3時，原不等式成立．

注：本題應抓住復數能比較大小時必須都為實數這一條件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2x?y?ilog2x?8?(1?log2y)i，求z．

解：本題主要考查復數相等的充要條件及指數方程，對數方程的解法．

?2x?y?8?0?x?y?3∵ 2?ilog2x?8?(1?log2y)i，∴?，∴?，logx?1?logyxy?2??2

2?x?2?x?1解得?或?, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． y?1y?2??x?y

注：本題應抓住復數相等的充要條件這一關鍵點，正確、熟練地解方程（指數，對數方程）。

例

3、若復數z滿足z=1?ti（t∈R），求z的對應點Z的軌跡方程． 1?ti

解：此題主要考查復數的四則運算，點的軌跡方程的求法等．

1?ti(1?ti)21?t22t設z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==??i，221?ti(1?ti)(1?ti)1?t1?t

?1?t

2x??2?1?t∴ ?，消去參數 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

?y?2t

?1?t2?

∴ 所求z的軌跡方程為x2＋y2＝1（x≠－1）．

詮釋：解此題應抓住復數相等的充要條件，從而得到參數方程，消去參數，或者利用模的定義和性質，求出|z|即可．

【模擬試題】

一、選擇題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

1、設條件甲：x=0，條件乙：x＋yi（x，y∈R）是純虛數，則（）

A、甲是乙的充分非必要條件B、甲是乙的必要非充分條件

C、甲是乙的充分必要條件D、甲是乙的既不充分，又不必要條件

2、已知關于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有實根，則實數m應取的值是（）

111B、m≤－C、m= 4412A、m≥－ D、m=－1 1

2(?1?)

3、?2?i

(1?i)6?1?2i等于（）

A、0B、1C、－1D、i4、設f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，則z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一實根的條件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠226、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一個根，則實數m，n的值為（A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

7、已知下列命題：

（1）在復平面中，x軸是實軸，y軸是虛軸；

（2）任何兩個復數不能比較大小；

（3）任何數的偶次冪都是非負數；

（4）若 t＋si=3－4i，則 t=

3、s=－4．

其中真命題為．

8、若復數z滿足z+12||=－1＋2i，則z.9、設z∈C，|z|=1，則|z++i|的最大值為.三、解答題（本大題共4題，共50分）

10、設z

z?1是純虛數，求復數z對應的點的軌跡方程．

11、已知復數z滿足|z|＝5，且（3+ 4i）z是純虛數，求z．）

試題答案

1、B7、（1）

8、－

2、C3、A4、B5、C6、B 8+2i39、310、解：此題主要考查復數的有關概念及性質，四則運算和點的軌跡方程的求法．

zzzz??0, 是純虛數，∴()??0，即z?1?1z?1z?1z?

12z??z?∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），?0，∴(?1)(z?1)∵

設z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴（x＋1221）＋y＝（y≠0）即為復數z對應的點的軌跡方程． 2

4詮釋：解此題應抓住虛數的定義和共軛復數的性質，利用運算法則進行求解。

11、解：此題主要考查復數的有關概念，復數的運算，模的定義及計算．

設 z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是純虛數，?x?4?x??4?3x?4y?0或?∴ ?，聯立三個關系式解得?，y?3y??34x?3y?0???

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．