第一篇：利用復(fù)數(shù)的幾何意義巧解復(fù)數(shù)題

利用復(fù)數(shù)的幾何意義巧解復(fù)數(shù)題

復(fù)數(shù)與幾何關(guān)系密切，復(fù)數(shù)的各種幾何意義是溝通數(shù)與形的一座橋梁。對(duì)于復(fù)數(shù)問題，在探索解題思路時(shí)，注意復(fù)數(shù)的圖形特征，適當(dāng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，充分發(fā)揮形象思維的優(yōu)勢(shì)，以數(shù)思形，數(shù)形滲透，兩者交融，常使問題變得簡(jiǎn)單明了，直觀形象，得以巧解。

利用形數(shù)思想巧解復(fù)數(shù)題的關(guān)鍵是，對(duì)涉及復(fù)數(shù)的模、輻角的主值、復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算，或者涉及復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、向量各種變換的問題，選取適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，對(duì)它們作相應(yīng)的幾何解釋，以此為線索探求思路，以求妙解。在下列各例中，我們正是找到了關(guān)鍵，結(jié)合圖形，巧妙分析，其解法治有一定的典型性、新穎性。

例

1、設(shè)z1?1?i，z1?2，且argz2 ?[

22求：z1?z2的最大值和最小值。,]，122??

2解：?z1?1?i,?z1??2i

???z2?1,?可設(shè)z2?2(cos??isin?)，??[,]12

2??222?[,?],z2?4 ?z2?4(cos2??isin2?)2??[,?] ?argz266

如圖1，由上式可知點(diǎn)z2是以原點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓劣弧CD上的動(dòng)點(diǎn)，而2222z12?z2?z2?2i，即是動(dòng)點(diǎn)z2到定點(diǎn)A（0，2）的距離。于是當(dāng)點(diǎn)z2處于點(diǎn)B（0，2

4）時(shí)，z1?z2

圖

122min222?AB=2，當(dāng)點(diǎn)z2處于C（0，-4）時(shí)，z1?z2max?AC=21

3?，求z?6?z?3i的最小值。

43?3?arg(z?3)?解：表示以-3為端點(diǎn)，且與X軸正方向的傾角為的一條射線，44例

2、已知復(fù)數(shù)z滿足arg(z?3)?

那么求z?6?z?3i的最小值就是求這條射線上的點(diǎn)-6與3i兩點(diǎn)之和的最小值。

由于-6與3i兩點(diǎn)的連線與射線有交點(diǎn)（如圖），所以-6與3i兩點(diǎn)間的距離即為所求。易得-6與3i間的距離是5，所以

z?6

?z

例

3、復(fù)數(shù)z滿足z?2?2i?

解：如圖，z?2?2i?

直觀地得到 2，求z與argz的取范圍。2表示以C(2,?i)為圓心，2為半徑的圓，從圖中可

zmin?OA??2；zmax?OB??

?z[?2,?2]過O點(diǎn)作⊙C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，則?COM??CON?arctg12，?COD?arctg 2

3??DOM?arctg

從

[0,arctg2121?arctg，??DON?arctg?arctg 3232直觀得出圖中可argz的取值范圍是2121?arctg]?[2??(arctg?arctg),2?)323

2例

4、復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為z，將點(diǎn)Z繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)?，再

3向左平移1個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，得到點(diǎn)Z1，此時(shí)點(diǎn)Z1與Z恰好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求復(fù)數(shù)z。解：依題意，變換后的復(fù)數(shù)（如下圖）z1?z(cos??isin)?(?1)?(?i)??z 33?

?z(cos??13?isin)?1?i?z?z(?i)?1?i?z332

216133

?(?)i ?z(?i)

?1?i由此得z??2222例

5、已知復(fù)數(shù)z滿足(z?1)(?1)?z，且

解：??1?z?1，(z?1)(?1)?z 2z?2z?1為純虛數(shù)，求復(fù)數(shù)z。z?

1?z?1?z?z??z 2

2?點(diǎn)z在A（-1，0）與O（0，0）的連線的垂直平分線上，又z?1是純虛數(shù)，所z?1

以復(fù)數(shù)z?1與z?1表示的向量CB與AB互相垂直，所以點(diǎn)z在單位圓O上，且?AOB?60?，由圖易知z??

13?i 22

例

6、設(shè)復(fù)數(shù)?、?對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上的點(diǎn)A、B，且?2?2???4?2?0，?3?i?1，O為原點(diǎn)，求?OAB的最大面積。

解：依題意知???0，原方程可變?yōu)椋??2?)??4?0，解得 ??

????1?3i?2[cos(?)?isin(?)]此式的幾何意義是： ?3

3?2OB，且?AOB?60?，于是?B?90?。由??3?i?1知點(diǎn)A在⊙C上移動(dòng)，故要求?OAB的最大面積，只要求的最大值，而max?3?OC，1

133393 ???OAB的最大面積為OB?AB???2228

例

7、已知z1?3，z2?5，z1?z2?7，求u?z1的值。z

2解1：由題意可得u?1?z1?z2z73?，又?u?1?，故知復(fù)數(shù)u對(duì)應(yīng)的z25z2

5點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心、半徑長(zhǎng)為37的圓和以A（-1，0）為圓心、半徑長(zhǎng)為的圓的交點(diǎn)，5

5設(shè)u?x?yi，則u?1?(x?1)?yi

32?)?x2?y2?(5?x?10??33??7222??(x?1)?y?(5)?y??103?u?333?i 1010

解2：如下圖，OZ1?z1?3，OZ2?z2?5，OZ?z1?z2?7，故只需求

出?Z1OZ2，設(shè)?Z1OZ2??，?OZ2Z??，在?OZ2Z中，由余弦定理得

32?52?721?，???60? cos???????1202?3?5

2?

例

8、已知復(fù)數(shù)z?cos??isin?，u?cos??isin?，且z?u?

（1）求tg(???)值；

（2）求證z?u?zu?0

解（1）：?z?u?z?u?1，?點(diǎn)z、u、z+u都在單位圓上，設(shè)z?u?cos??isin?

根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義知：??????? 22z13

?[cos(?60?)?isin(?60?)]??iz5101043?i。55

?tg(???)?tg2??2tg?24? 271?tg?

(2)z2?u2?zu?(z?u)2?zu

?(cos??isin?)2?[cos(???)?isin(???)]

==cos2??isin2??(cos2??isin2?)?0

第二篇：復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的乘法及其幾何意義·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則及其推導(dǎo)過程． 2．掌握復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．

3．讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法． 4．培養(yǎng)學(xué)生探索問題、分析問題、解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的三角形式是本節(jié)內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算． 難點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義，不易為學(xué)生掌握． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

師：前面我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的三角形式，請(qǐng)大家用5分鐘的時(shí)間，完成以下兩道題的演算．（利用投影儀出示）

1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；

想出算法后，請(qǐng)大家在筆記本上演算，允許同學(xué)之間交換意見．

（教師在教室里巡視，稍過幾分鐘，請(qǐng)一位已經(jīng)做完的同學(xué)在黑板上寫出推導(dǎo)過程）學(xué)生板演：

z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）

=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 師：很好，你是怎樣想出來的？為什么這樣想？

生：我們已經(jīng)學(xué)過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算，因此把三角形式化為代數(shù)形式，按著代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則就可以完成運(yùn)算．根據(jù)數(shù)學(xué)求簡(jiǎn)的原則，運(yùn)用三角公式把結(jié)果化簡(jiǎn)． 在已知的基礎(chǔ)上發(fā)展和探索未知的東西，解題時(shí)，把未知轉(zhuǎn)化成已知，這是重要的思想方法．我是根據(jù)這個(gè)思想才想出來的．

師：觀察這個(gè)問題的已知和結(jié)論，同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)有什么規(guī)律嗎？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)模的積，積的復(fù)角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和． 師：利用這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算：

這就是復(fù)數(shù)的三角形式乘法運(yùn)算公式．

三角形式是由模和輻角兩個(gè)量確定的，進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)要清楚模怎樣算？輻角怎樣算？ 使用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行運(yùn)算的條件是復(fù)數(shù)必須是三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，輻角不要求一定是主值．

同學(xué)們已經(jīng)了解，復(fù)數(shù)通過幾何表示，把復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立起一一對(duì)應(yīng)后，復(fù)數(shù)不僅取得了實(shí)際的解釋，而且確實(shí)逐步展示了它的廣泛應(yīng)用．我們已經(jīng)研究了復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，并感覺到了它的用途，請(qǐng)大家討論一下，學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的三角形式運(yùn)算對(duì)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義有什么啟發(fā)呢？

（同學(xué)分組討論，請(qǐng)小組代表發(fā)言．如果條件允許，在學(xué)生發(fā)言同時(shí)，用多媒體輔助教學(xué)，演示模伸縮情況，輻角終邊的旋轉(zhuǎn)）

生：復(fù)數(shù)的乘法對(duì)應(yīng)的向量，就是由對(duì)應(yīng)于被乘數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角|θ2|，再把其模變?yōu)樵瓉淼膔2倍（r2＞1，應(yīng)伸長(zhǎng)；0＜r2＜1，應(yīng)縮短；r2=1，模長(zhǎng)不變），所得的向量就表示積z1·z2．這是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義．

師：解此題復(fù)數(shù)是否一定化成三角形式？

生：復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，無論是代數(shù)形式還是三角形式都表示同一個(gè)復(fù)數(shù)和向量，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，因此不一定化成三角形式，應(yīng)根據(jù)需要來選擇．

師：說得好，請(qǐng)同學(xué)們寫一下解題過程．（找一名同學(xué)到黑板板演）

解：所求的復(fù)數(shù)就是-1+i乘以一個(gè)復(fù)數(shù)z0的積，這個(gè)復(fù)數(shù)z0的模是1，輻角的主值是120°．所求的復(fù)數(shù)是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）

師：為什么？

生丙：乘數(shù)sin30°+icos 30°不是復(fù)數(shù)三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式，應(yīng)化為cos 60°＋isin 60°，這樣才能應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義來解題．

師：同學(xué)們應(yīng)注意到旋轉(zhuǎn)的角度是輻角來確定的，而輻角的大小又是由復(fù)數(shù)的三角形式的標(biāo)準(zhǔn)式來確定．

同學(xué)們開始討論解決：

生庚：復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義是在復(fù)平面內(nèi)實(shí)施的，因此要建立直角坐標(biāo)系． 師：你分析得正確，如圖8－13，建立坐標(biāo)系．取正方形的邊長(zhǎng)為單位長(zhǎng)1．

生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，這樣，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分別看作B1，B2，B3三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的輻角主值，下面應(yīng)考慮B1，B2，B3對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)是什么？

按著老師規(guī)定的單位長(zhǎng)，B1，B2，B3三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i，2＋i，3＋i． 師：好，你先談到這里，如果單位長(zhǎng)度有新的規(guī)定，例如邊長(zhǎng)為2，則三點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)分別為2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影響復(fù)數(shù)的輻角主值的大小，不過計(jì)算要繁一些．同學(xué)們繼續(xù)討論．

生壬：2＋i，3＋i的輻角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，誤差較大．根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，積的輻角等于兩個(gè)乘數(shù)輻角之和，可以先作乘法，看乘積是什么？假若其輻角主值也不是特殊角，但只取一次近似值． 師：你分析得很好，請(qǐng)你計(jì)算一下：

師：今天這節(jié)課，從知識(shí)上要掌握用復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行乘法運(yùn)算的法則和乘法的幾何意義及其推導(dǎo)過程．從思考方法上要善于從未知與已知、數(shù)與形以及復(fù)數(shù)的各種形式互相轉(zhuǎn)換角度上考慮問題．現(xiàn)在布置作業(yè)：

第三篇：復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義

復(fù)數(shù)·復(fù)數(shù)的減法及其幾何意義·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．理解并掌握復(fù)數(shù)減法法則和它的幾何意義．

2．滲透轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想和方法，提高分析、解決問題能力． 3．培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，深刻性，靈活性等）． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：復(fù)數(shù)減法法則．

難點(diǎn)：對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義理解和應(yīng)用． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）引入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復(fù)數(shù)減法及其幾何意義．

（板書課題：復(fù)數(shù)減法及其幾何意義）

（二）復(fù)數(shù)減法

師：首先規(guī)定，復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算，那么復(fù)數(shù)減法法則為（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板書）1．復(fù)數(shù)減法法則

（1）規(guī)定：復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算；

（2）法則：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推導(dǎo)這個(gè)法則呢？

生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（學(xué)生口述，教師板書）

（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 師：說一下這樣推導(dǎo)的想法和依據(jù)是什么？

生：把減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，利用乘法分配律和復(fù)數(shù)加法法則．

師：轉(zhuǎn)化的想法很好．但復(fù)數(shù)和乘法分配律在這里作為依據(jù)不合適，因?yàn)閺?fù)數(shù)乘法還沒有學(xué)，邏輯上出現(xiàn)一些問題． 生：我覺得可以利用復(fù)數(shù)減法是加法逆運(yùn)算的規(guī)定來推導(dǎo)．（學(xué)生口述，教師板書）

推導(dǎo)：設(shè)（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即復(fù)數(shù)x+yi為復(fù)數(shù)a+bi減去復(fù)數(shù)c+di的差．由規(guī)定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依據(jù)加法法則，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，得

故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 師：這樣推導(dǎo)每一步都有合理依據(jù)．

我們得到了復(fù)數(shù)減法法則，那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是什么數(shù)？ 生：仍是復(fù)數(shù)．

師：兩個(gè)復(fù)數(shù)相減所得差的結(jié)果會(huì)不會(huì)是不同的復(fù)數(shù)？ 生：不會(huì)． 師：這說明什么？

生：兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是唯一確定的復(fù)數(shù)．

師：復(fù)數(shù)的加（減）法與多項(xiàng)式加（減）法是類似的．就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加（減），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

（三）復(fù)數(shù)減法幾何意義

師：我們有了做復(fù)數(shù)減法的依據(jù)——復(fù)數(shù)減法法則，那么復(fù)數(shù)減法的幾何意義是什么？（板書：2．復(fù)數(shù)減法幾何意義）生：用向量表示兩個(gè)做減法的復(fù)數(shù)．（學(xué)生口述，教師板書）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），對(duì)應(yīng)向量分別

師：我們應(yīng)該如何認(rèn)識(shí)這個(gè)方程？（學(xué)生困惑，教師引導(dǎo)）

師：我們先看方程左式，右式分別表示什么？

生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復(fù)數(shù)Z與復(fù)數(shù)1+i差的模． 師：有什么幾何意義嗎？

生：是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（1，1）間的距離．（學(xué)生活躍起來，紛紛舉手回答）

生：方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)-2-i差的模，也就是動(dòng)點(diǎn)Z與定點(diǎn)（-2，-1）間距離．這個(gè)方程表示的是到兩點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）距離相等的點(diǎn)的軌跡方程，這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)（+1，1），（-2，-1）為端點(diǎn)的線段的垂直平分線．（2）|z+i|+|z-i|=4；（學(xué)生議論后，舉手回答）

生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個(gè)定點(diǎn)（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動(dòng)點(diǎn)軌跡．

師：這個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么曲線呢？（學(xué)生稍有遲疑，有些同學(xué)小聲議論）生：是橢圓吧．

師：似乎回答的不夠肯定，不妨回憶一下橢圓的定義．

（學(xué)生在教師的提示下一起回答）生：在平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓． 師：滿足這個(gè)方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是不是橢圓呢？

生：是．因?yàn)辄c(diǎn)Z到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是常數(shù)4，并且大于兩點(diǎn)（0，-1），（0，1）間的距離2，所以滿足方程的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（學(xué)生議論后，舉手回答）

生：這個(gè)方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個(gè)定點(diǎn)（-2，0），（2，0）距離差等于1的點(diǎn)的軌跡，這個(gè)軌跡是雙曲線． 師：說的再準(zhǔn)確些． 生：是雙曲線右支．

師：很好．由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復(fù)數(shù)方程．使有些曲線方程形式變得更為簡(jiǎn)捷．且反映曲線的本質(zhì)特征．

例4 設(shè)動(dòng)點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)z=x+yi對(duì)應(yīng)，定點(diǎn)P與復(fù)數(shù)p=a+bi對(duì)應(yīng)．求（1）復(fù)平面內(nèi)圓的方程；（學(xué)生口述，教師板書）

解：復(fù)平面內(nèi)滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點(diǎn)的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．

師：利用復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問題．

（五）小結(jié)

師：我們通過推導(dǎo)得到復(fù)數(shù)減法法則，并進(jìn)一步得到了復(fù)數(shù)減法幾何意義，應(yīng)用復(fù)數(shù)減法幾何意義和復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，可以用復(fù)數(shù)研究解析幾何問題，不等式以及最值問題．

（六）布置作業(yè)P193習(xí)題二十七：2，3，8，9． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

1．復(fù)數(shù)加法法則是規(guī)定的，而復(fù)數(shù)減法法則需要推導(dǎo)．推導(dǎo)過程要求每一步都要有合理依據(jù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)思維品質(zhì)．復(fù)數(shù)減法幾何意義是教學(xué)難點(diǎn)，主要由于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)及其幾何表示還不很熟悉，在復(fù)數(shù)加法幾何意義學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自己得到復(fù)數(shù)減法幾何意義，有利于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)減法幾何意義理解． 2．對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義應(yīng)分三個(gè)層次．

例1主要訓(xùn)練學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義應(yīng)用，并通過此例題使學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義有具體認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步使學(xué)生理解向量與向量終點(diǎn)表示復(fù)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，并體會(huì)兩個(gè)相等向量表示兩個(gè)復(fù)數(shù)差的各自方便之處．

例2是對(duì)復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，這既是對(duì)復(fù)數(shù)減法幾何意義再次應(yīng)用，同時(shí)也為對(duì)復(fù)數(shù)方程的認(rèn)識(shí)打下基礎(chǔ)．

例3和例4是在例2公式基礎(chǔ)上將復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用推廣到用復(fù)數(shù)研究解析幾何某些曲線、不等式等問題，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)復(fù)數(shù)減法幾何意義的重要性．

第四篇：復(fù)數(shù)與幾何教案

復(fù)數(shù)與幾何·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握復(fù)平面、向量等有關(guān)概念；弄清復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；弄清復(fù)數(shù)模的幾何意義．

2．通過數(shù)形結(jié)合研究復(fù)數(shù)，提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，突出比較與類比的研究方法．

3．感受到為真理執(zhí)著追求的精神．進(jìn)行辯證唯物主義教育． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)與點(diǎn)與向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及復(fù)數(shù)的模．

難點(diǎn)：自由向量與位置向量的區(qū)別，以及它們與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念．什么是復(fù)數(shù)？ 生：形如a＋bi的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（學(xué)生有不同意見，小聲議論）師：誰有補(bǔ)充？

生：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)．（教師給予肯定）

師：a，b∈R的條件很重要，實(shí)際上我們是用實(shí)數(shù)來定義的復(fù)數(shù)，雖然我們知道了復(fù)數(shù)的定義，但是復(fù)數(shù)對(duì)于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實(shí)數(shù)，任何一個(gè)實(shí)數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到一個(gè)點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)，那么復(fù)數(shù)到底在哪里呢？我們能不能像實(shí)數(shù)那樣來表示復(fù)數(shù)呢？

生：數(shù)軸上的點(diǎn)不能表示虛數(shù)，只能表示實(shí)數(shù)．

師：那么用什么可以表示復(fù)數(shù)呢？注意復(fù)數(shù)是由a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)決定的，可以大膽設(shè)想一下，我們可以利用什么來表示復(fù)數(shù)？

生：可以用直角坐標(biāo)系里的點(diǎn)來表示嗎？ 師：××提出了一個(gè)想法，用直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)．這種想法行不行呢？

（在黑板上畫出直角坐標(biāo)系，任取一點(diǎn)（a，b））師：能不能用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)呢？

生：可以．因?yàn)橛幸粋€(gè)復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R），就有一個(gè)點(diǎn)（a，b），而有一個(gè)點(diǎn)（a，b），就有一個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi．

師：他剛才所說的實(shí)際想說明一點(diǎn)復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)系中的點(diǎn)構(gòu)成的集合是一一對(duì)應(yīng)的．的確，由復(fù)數(shù)相等的概念，我們知道一個(gè)復(fù)數(shù)a＋bi由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）唯一確定，而有序?qū)崝?shù)對(duì)與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．因此我們完全可以建立復(fù)數(shù)集與點(diǎn)集之間的一一對(duì)應(yīng)．看來，用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)是完全可以的．為了區(qū)別表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)與其它的點(diǎn)，我們把這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．那么在這個(gè)坐標(biāo)系中x軸上的點(diǎn)與y軸上的點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)分別具有什么特點(diǎn)呢？

生：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，即復(fù)數(shù)的虛部為0，因此x軸上的點(diǎn)代表實(shí)數(shù)．

師：既然x軸上的點(diǎn)代表了所有實(shí)數(shù)，我們就把復(fù)平面中的x軸叫實(shí)軸．那么y軸上的點(diǎn)代表什么樣的復(fù)數(shù)呢？

生：由于y軸上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是零，因此y軸上的點(diǎn)表示的是純虛數(shù)． 師：同學(xué)們認(rèn)為他說得對(duì)嗎？

（大多數(shù)同學(xué)認(rèn)為他說得對(duì)，少數(shù)人有疑惑）

生：原點(diǎn)也在y軸上，但0不是純虛數(shù)，而是實(shí)數(shù)．所以y軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外表示的都是純虛數(shù)．

師：他說得很對(duì)．y軸上只有這個(gè)原點(diǎn)搗亂，不然就可以表示所有的純虛數(shù)．因此，我們把去掉原點(diǎn)后的y軸叫虛軸．這樣虛軸上所有的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．那么，直角坐標(biāo)平面與復(fù)平面有什么區(qū)別？

生：直角坐標(biāo)平面中的x軸與y軸交于原點(diǎn)，而復(fù)平面中的實(shí)軸與虛軸沒有交點(diǎn)．

師：我們通過建立復(fù)平面，將復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，這樣復(fù)數(shù)對(duì)我們來說，也就不顯得那樣遙遠(yuǎn)了．但對(duì)于復(fù)數(shù)的認(rèn)可，在19世紀(jì)可沒那么簡(jiǎn)單．第一次認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這種數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱作“詭辯量”，幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個(gè)名字——虛數(shù)．但是又過了140年，歐拉還是說這種數(shù)只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虛幻的縮寫）來表示它的單位．后來德國數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)有點(diǎn)虛無縹緲，盡管他也感到它的作用．1830年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系的復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)a＋bi，使復(fù)數(shù)有了立足之地，人們才最終承認(rèn)了它．看來復(fù)數(shù)從發(fā)現(xiàn)到最終被人們承認(rèn)，的確經(jīng)過了一個(gè)漫長(zhǎng)坎坷的過程，可最終使人們接受他的還是它的幾何表示，用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，人們才覺得復(fù)數(shù)的存在．

（學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史方面的知識(shí)很感興趣，因?yàn)樗麄兏械綌?shù)學(xué)的發(fā)展是那樣神秘，可以憑空造出數(shù)來，學(xué)生聽得聚精會(huì)神，當(dāng)最后得知是用點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)這一理論使復(fù)數(shù)得以被人承認(rèn)后，甚至還有些成就感）

師：用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)后，我們還要介紹一種表示復(fù)數(shù)的方法，連接坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)Z，得到一個(gè)具有長(zhǎng)度且有方向的線段，這種既有大小又有方向的線段叫有向線段，而有向線段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：既有大小又有方向的量叫向量． 師：能不能舉出一些向量的例子？

生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它們都是向量．

師：現(xiàn)在的問題是我們能不能用向量來表示復(fù)數(shù)？我們一般將起點(diǎn)為O，終點(diǎn)為Z的向量記作

．

生：當(dāng)然可以．因?yàn)橛幸粋€(gè)向量就對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，而有一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，而點(diǎn)與復(fù)數(shù)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可用向量表示復(fù)數(shù)．

（學(xué)生議論紛紛，看起來有不同意見）生：那我在復(fù)平面內(nèi)任意畫一個(gè)有向線段（大家在思考）

師：這個(gè)問題提得很好．實(shí)際上，大家可以想一想，剛才××同學(xué)說一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)向量，對(duì)不對(duì)？怎么樣改一下就對(duì)了？ 生：應(yīng)改為起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，也就是起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與點(diǎn)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)．

師：既然這樣，我們就知道，起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量與復(fù)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的．那其它向量怎么辦？它們對(duì)應(yīng)什么復(fù)數(shù)？能不能將他們移到原點(diǎn)來？，這個(gè)向量表示哪個(gè)復(fù)數(shù)呢？

生：只要它們的長(zhǎng)度和方向與合的位置上．

相同，就可以平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)，與 重師：實(shí)際上，我們把長(zhǎng)度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其實(shí)，我們只要規(guī)定相等的向量對(duì)應(yīng)同一個(gè)復(fù)數(shù)，我們就可以用向量來表示復(fù)數(shù)了．對(duì)那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量，我們只要怎么做就可以知道它所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)了呢？ 生：只要將它們平移到起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，這時(shí)向量終點(diǎn)所確定的復(fù)數(shù)就是那些起點(diǎn)不在原點(diǎn)的向量所表示的復(fù)數(shù)．

（教師給予肯定）

師：在這個(gè)正六邊形中有多少對(duì)向量相等，它們分別對(duì)應(yīng)著哪些復(fù)數(shù)？

師：這樣我們完成了今天我們要討論的第二個(gè)問題：復(fù)數(shù)與向量．我們弄清楚了向量可以來表示復(fù)數(shù)，相等的向量對(duì)應(yīng)著同一個(gè)復(fù)數(shù)．一個(gè)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量唯一嗎？

生：一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)際上可以對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)長(zhǎng)度相等、方向相同的向量，只是這些向量的位置不同．

師：現(xiàn)在我們知道復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)和向量來表示，它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用下圖來表示．

有了這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系后，我們常把復(fù)數(shù)z=a＋bi說成點(diǎn)Z（a，b），或說成向量 ．

師：在用有向線段表示向量時(shí)，有向線段的長(zhǎng)度我們定義為向量的模，即線段OZ的長(zhǎng)度為向量 的模．那么

可以表示復(fù)數(shù)z=a＋bi，那么 的模可以表示復(fù)數(shù)的哪個(gè)量呢？在實(shí)數(shù)集中，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．在復(fù)數(shù)集中呢？

生：向量 的模就是復(fù)數(shù)的絕對(duì)值．

師：他的意思說出來了，但在復(fù)數(shù)中，我們一般不叫絕對(duì)值，叫復(fù)數(shù)的模．因此 的模就叫復(fù)數(shù)的模，只有復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)時(shí)，我們叫絕對(duì)值．那么復(fù)數(shù)的模具有什么樣的幾何意義？

生：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．

（教師給予肯定，并指出復(fù)數(shù)模的幾何意義與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義是統(tǒng)一的．）

師：復(fù)數(shù)的模用什么表示呢？

生：用實(shí)數(shù)集中絕對(duì)值的符號(hào)表示，z的模，記作|z|． 師：復(fù)數(shù)z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（學(xué)生板演）

師：我們知道復(fù)數(shù)一般不能比較大小，而復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)，可以比較大小．（將z1，z2所表示的點(diǎn)畫在復(fù)平面上，再將它們所表示的向量畫出來，強(qiáng)調(diào)這三者的轉(zhuǎn)化）

例2 設(shè)z∈C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原點(diǎn)距離為4的點(diǎn)． 師：這樣的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)什么圖形？ 生：是原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓． 師：是圓面還是只有邊界的圓？為什么？

生：應(yīng)該是表示只有邊界的圓．因?yàn)榕c復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為4．所以z表示的點(diǎn)Z構(gòu)成一個(gè)半徑為4的圓． 生：（2）表示一個(gè)圓環(huán)．由于|z|的幾何意義是點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，所以2≤|z|＜4表示到原點(diǎn)距離大于等于2，小于4的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形．

師：準(zhǔn)確地說這個(gè)圖形應(yīng)當(dāng)是半徑為2與半徑為4的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)容及內(nèi)邊界．包不包括邊界，主要是由原不等式中的等與不等決定的．

例3 用復(fù)數(shù)表示下圖中的陰影部分．

生甲：|z|＜3且虛部＜-1．由于圖中所示的點(diǎn)在半徑為3的圓中，且縱坐標(biāo)小于-1．

師：這種表示是否正確？（學(xué)生小聲議論）

生：是兩條直線．

師：夾在這兩條直線中間又滿足|z|＜3的點(diǎn)顯然不僅僅是陰影部

（學(xué)生到黑板畫出圖）

師：因此剛才乙同學(xué)的想法是好在不滿足于用一種方法表示，肯思考，但這個(gè)題無法用實(shí)部來表示．

（下面提問第2小題）生：|z|≥3，且實(shí)部≤-1．

生：不對(duì)．

師：看來用實(shí)部還是虛部表示，一定要全盤考慮，表示出來后，還要反過來檢查一下是否符合題設(shè)條件．

（教師小結(jié)）

師：這節(jié)課我們共同探尋了復(fù)數(shù)的幾何表示方法以及復(fù)數(shù)模的幾何意義．要特別重視數(shù)與點(diǎn)與向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在研究的過程中要特別注意與實(shí)數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別．

補(bǔ)充作業(yè)

1．判斷下列命題的真假，并說明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示復(fù)數(shù)x+yi的點(diǎn)的軌跡．

4．設(shè)z∈C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）實(shí)部＞0，虛部＞0且|z|＜4．

作業(yè)答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．

4．（1）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓；

（2）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3的圓面，不包括邊界；

（3）以原點(diǎn)為圓心，半徑為3和5的圓構(gòu)成的圓環(huán)內(nèi)部，包括外邊界；（4）以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分，不包括邊界． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明

本節(jié)課是一節(jié)內(nèi)容較為簡(jiǎn)單的概念課，但所涉及的知識(shí)內(nèi)容，非常重要，它是學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的重要一環(huán)．

本設(shè)計(jì)著重突出主體性教學(xué)的原則，盡量做到讓學(xué)生來發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的幾何表示法，由實(shí)數(shù)自然地過渡到復(fù)數(shù)．本節(jié)課還將復(fù)數(shù)的點(diǎn)的表示與向量的表示集中在一節(jié)課處理，筆者認(rèn)為這樣有利于學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的整體把握． 在教學(xué)中還注意通過數(shù)學(xué)史的故事，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自信心，并自然地將思想教育滲透到教學(xué)中．

第五篇：2014年高考復(fù)數(shù)真題分類

2014年高考復(fù)數(shù)真題分類匯編

z－－1.[2014·安徽理] 設(shè)i是虛數(shù)單位，z表示復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)．若z＝1＋i，則＋i·z＝i

()

A．－2B．－2iC．2D．2i

z－C [解析] 因?yàn)閦＝1＋i，所以＋i·z＝(－i＋1)＋i＋1＝2.i

2i2.[2014·安徽文] 設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)i3()1＋i

A．－iB．iC．－1D．1

2i（1－i）2iD [解析] i3＋＝－i＋＝1.21＋i

3.[2014·福建理] 復(fù)數(shù)z＝(3－2i)i的共軛復(fù)數(shù)z等于()

A．－2－3iB．－2＋3i

C．2－3iD．2＋3i

C [解析] 由復(fù)數(shù)z＝(3－2i)i＝2＋3i，得復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)z＝2－3i.4.[2014·福建文] 復(fù)數(shù)(3＋2i)i等于()

A．－2－3iB．－2＋3i

C．2－3iD．2＋3i

B [解析](3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故選B.5.[2014·廣東卷] 已知復(fù)數(shù)z滿足(3＋4i)z＝25，則z＝()

A．－3＋4iB．－3－4i

C．3＋4iD．3－4i

D [解析] 本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，利用分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行求解．

因?yàn)?3＋4i)z＝25，25（3－4i）25所以z＝＝3－4i.3＋4i（3－4i）（3＋4i）

6.[2014·廣東文] 已知復(fù)數(shù)z滿足(3－4i)z＝25，則z＝()

A．－3－4iB．－3＋4i

C．3－4iD．3＋4i

25（3＋4i）25＝3＋4i.3－4i（3－4i）（3＋4i）

1－i2?7.[2014·湖北理、文] i為虛數(shù)單位，?＝()?1＋i?

A．－1B．1C．－iD．i

1－i2－2i?A [解析] ?＝2i1.故選A.?1＋i?

z＋i8.[2014·湖南理] ＝i(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z＝()z

1111i－i 2222

1111C．－＋iD．－－2222

z＋ii（－1－i）1－iiB [解析] 因?yàn)椋絠，則z＋i＝zi，所以z＝＝.z2i－1（i－1）（－1－i）D [解析] ∵(3－4i)z＝25，∴z＝

－－－9.[2014·江西理] z是z的共軛復(fù)數(shù)，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z＝()

A．1＋iB．－1－i

C．－1＋iD．1－i

－D [解析] 設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z＝a－bi，所以2a＝2，－2b＝2，得a＝1，b＝

－1，故z＝1－i.10.[2014·江西文] 若復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝()

A．1B．2C.3

2i（1－i）2iC [解析] 因?yàn)閦＝1＋i，所以|z|＝|1＋i|＝1＋1＝2.1＋i（1＋i）（1－i）

11.[2014·遼寧理、文] 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝()

A．2＋3iB．2－3iC．3＋2iD．3－2i

5A [解析] 由(z－2i)(2－i)＝5，得z－2i＝，故z＝2＋3i.2－i

10i12.[2014·全國理] 設(shè)z，則z的共軛復(fù)數(shù)為()3＋i

A．－1＋3iB．－1－3i

C．1＋3iD．1－3i

10i（3－i）10（1＋3i）10iD [解析] z＝＝1＋3i，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，其103＋i（3＋i）（3－i）

共軛復(fù)數(shù)是1－3i.（1＋i）3

13.[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ理]()（1－i）A．1＋iB．1－i

C．－1＋iD．－1－i

（1＋i）3（1＋i）2（1＋i）2i（1＋i）D [解析] ＝＝1－i.（1－i）（1－i）－2i

114.[2014·全國新課標(biāo)卷Ⅰ文] 設(shè)z＝＋i，則|z|＝()1＋i

B.C.D．2 222

1－i1112i＝i＝＋i，則|z|＝.22221＋i

15.[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ理] 設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z1＝2＋

i，則z1z2＝()

A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i

A [解析] 由題知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.1＋3i16.[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ] ＝()1－iB [解析] z＝

A．1＋2iB．－1＋2i

C．1－2iD．－1－2i

1＋3i（1＋3i）（1＋i）1＋4i＋3i2

B [解析] ＝＝－1＋2i.21－i（1－i）（1＋i）

17.[2014·山東理] 已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a－i與2＋bi互為共軛復(fù)數(shù)，則(a＋bi)2＝()

A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i

D [解析] 因?yàn)閍－i與2＋bi互為共軛復(fù)數(shù)，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故選D.18.[2014·山東文] 已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2＝()

A．3－4iB．3＋4i

C．4－3iD．4＋3i

A [解析] 因?yàn)閍＋i＝2－bi，所以a＝2，b＝－1，所以(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.19.[2014·陜西理] 原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是()

A．真，假，真B．假，假，真

C．真，真，假D．假，假，假

8.B [解析] 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝a－bi，且a，b∈R，則|z1|＝|z2|＝a＋b，故原命題為真，所以其否命題為假，逆否命題為真．當(dāng)z1＝2＋i，z2＝－2＋i時(shí)，滿足|z1|＝|z2|，此時(shí)z1，z2不是共軛復(fù)數(shù)，故原命題的逆命題為假．

－20.[2014·陜文卷] 已知復(fù)數(shù)z＝2－i，則z·z的值為()

A．5B.5C．33

－－A [解析] ∵z＝2－i，∴z＝2＋i，∴z·z＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.7＋i21.[2014·天津理、文] i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)＝()3＋4i

A．1－iB．－1＋i

17311725iD．－＋252577

A [解析] 7＋i（7＋i）（3－4i）25－25i＝1－i.3＋4i（3＋4i）（3－4i）3＋422.[2014·浙江理] 已知i是虛數(shù)單位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

22???a－b＝0，?a＝1，222A [解析] 由a，b∈R，(a＋bi)＝a－b＋2abi＝2i, 得?所以?或??2ab＝2，b＝1??

??a＝－1，?故選A.?b＝－1.?

23.[2014·重慶理] 復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(1－2i)的點(diǎn)位于()

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

A [解析] i(1－2i)＝2＋i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2，1)，位于第一象限．

24.[2014·重慶文] 實(shí)部為－2，虛部為1的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

B [解析] 由條件知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－2，1)，位于第二象限．

?1＋i＝________． 25.[2014·北京理] 復(fù)數(shù)??1－i?

（1＋i）?1＋i＝?＝?2i＝－1.－1 [解析] ???1－i??（1－i）（1＋i）??226.[2014·北京文] 若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，則x＝________．

[解析] ∵(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，∴x＝2.3＋i27.[2014·湖南文] 復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的實(shí)部等于________． i3＋i3＋i－3 [解析] 因?yàn)椋剑剑?－i，所以實(shí)部為－3.i－1

28.[2014·江蘇卷] 已知復(fù)數(shù)z＝(5－2i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實(shí)部為________．[解析] 根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算公式知，z＝(5－2i)2＝52－2×5×2i＋(2i)2＝21－20i，故實(shí)部為21，虛部為－20.2－2i29.[2014·四川理] 復(fù)數(shù)________． 1＋i

2－2i2（1－i）2

－2i [解析] 2i.1＋i（1＋i）（1－i）

2－2i30.[2014·四川文] 復(fù)數(shù)________． 1＋i

2－2i2（1－i）2

－2i [解析] 2i.1＋i（1＋i）（1－i）

31.[2014·浙江卷] 已知i是虛數(shù)單位，計(jì)算1－i________．（1＋i）22222

1－i1－i（1－i）ii＋11111－ [解析] ＝i.222i22（1＋i）－2－2