第一篇：正方形的定義及性質(教學案)

第56課 正方形的定義及性質

一、學習目標：

1、熟練掌握正方形的定義及邊、角、對角線的性質。

2、知道正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯系和區別。

3、應用正方形的性質進行相關計算、證明。

二、課前檢測：

1、矩形的性質是什么？

2、菱形的性質是什么？

三、探究新知：

1、正方形的定義：如圖，改變矩形的邊，使之一組鄰邊相等，就得到了一個正 方形。

定義： 相等的 叫做正方形。條件有：（1）（2）改變菱形的角，使之一角的直角，就得到了一個正方形。定義：有一個角是 的 叫做正方形。條件有：（1）（2）

2、動手操作：制作一張正方形紙片，通過折疊并觀察，回答下列問題.①它是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？對稱軸之間有什么位置關系？有什么數 量關系？

②圖中有哪些相等的線段？③圖中有哪些相等的角？ ④圖中有哪些特殊形狀的三角形？是哪些？

3、正方形性質：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

所以，正方形具有 的性質，同時又具有 的性質． 總結：正方形邊的性質：。正方形角的性質：。正方形對角線的性質：。

4、幾何語言：（如圖）∵正方形ABCD（邊）∴（角）（對角線）。對應練習一：

（1）正方形的邊長為4cm，則周長為，面積為，對角線長 為 ．

（2）正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，AC=4 cm,則正方形的邊長為，周長為，面積為。

（3）在正方形ABCD中，AB=12 cm，對角線AC、BD相交于O，OA= ,AC=。

三、范例講解：

例1 ：已知：如圖，點E是正方形ABCD的邊CD上一點，點F是CB的延長線上 一點，且DE=BF．求證：EA⊥AF．

對應練習二：

1、已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，E、F分別為CD、CB延長線上的點，且DE＝BF．求證：∠AFE＝∠AEF．

2、如圖，E為正方形ABCD內一點，且△EBC是等邊三角形，求∠EAD與∠ECD 的度數．

四、課堂小結：本節課你學到了什么？

五、作業：A、如圖所示，.四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．（1）求證：AE=CG；（2）觀察圖形，猜想AE與CG之間的位置關系，并證明你的猜想． B、已知如圖，正方形ABCD中，E是CD邊上的一點，F為BC延長線上一點，CE=CF.(1)求證：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD的度數.C、正方形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，AO=4 cm,求正方形的邊長、周長、面積。

第二篇：對數函數的定義及性質

y?logxaN(a?0,a?0,N?0)

a?N(a?0且a?1)

定義域：（0.+∞）值域：實數集R 定點：函數圖像恒過定點（1，0）

單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數，并且上凸；

0

負數和0沒有對數.底真同對數正

底真異對數負

第三篇：探索軸對稱的性質教學案

探索軸對稱的性質教學案

課題：探索軸對稱的性質 課型：新授課 課程標準：

通過具體實例了解軸對稱概念，探索它的基本性質：成軸對稱的兩個圖形中，對應點的連線被對稱軸垂直平分。學習內容與學情分析：

本節立足于學生已有的初步的數學活動經歷，從扎紙實驗和觀察飛機圖片來認識有關軸對稱的基本性質，因此在教學中應充分利用這部分內容的特點，將觀察、操作等實踐活動以及在實踐活動的思考與交流貫穿于教學過程的始終，使學生體會所學內容與現實世界的廣泛聯系體驗軸對稱的數學內涵和文化價值。學習目標：

1、經歷探索軸對稱的性質的過程，在操作活動和觀察、分析過程中發展學生主動探究習慣和合作交流的習慣。

2、探索軸對稱的基本性質，理解對應點所連的線段被對稱軸垂直平分、對應線段相等、對應角相等的性質。評價設計：

通過扎紙實驗和觀察飛機圖片，檢測目標1、2的達成 學習過程：

一、扎紙實驗，歸納新知

如圖：將一張長方形的紙對折，然后用筆尖扎出“14”這個數字，將紙鋪平，觀察得到的圖形回答如下問題：

（1）上圖中，兩個“14”有什么關系？

關于直線L對稱

（2）在上面的扎字過程中，點E與點E’重合，點F與點F’重合，設折痕所在的直線為L，連接點E與點E’的線段與L有什么關系？點F與點F’呢？

它們都被直線L垂直平分

（3）線段AB與線段A’B’有什么關系？CD與C’D’呢？

它們的長度分別相等

（4）∠1與∠2有什么關系？∠3與∠4呢？說說你的理由。

它們的大小分別相等

教師點出在沿對稱軸對折后，互相重合的點叫對應點，互相重合的線段叫對應線段，互相重合的角叫對應角。由此得到結論： 兩個成軸對稱的圖形

（1）對應點所連的線段被對稱軸垂直平分（2）對應線段相等，對應角相等。

二、做一做

那么軸對稱圖形具有這樣的特征嗎？

觀察飛機圖片，回答如下問題：

（1）它是軸對稱圖形嗎？如果是，請找出它的對稱軸。

（2）連接點A與點A’的線段與對稱軸有什么關系？連接點B與點B’的線段呢？

（3）線段AD與線段A’D’有什么關系？線段BC與線段B’C’呢？為什么？

（4）∠1與∠2有什么關系？∠3與∠4呢？說說你的理由。由此得到軸對稱圖形也具有以上的性質。所以軸對稱的性質是：

（1）對應點所連的線段被對稱軸垂直平分（2）對應線段相等，對應角相等。

三、課堂練習

課本P14習題1.6的1、2題

四、課堂小結

今天我們探索并理解了軸對稱的性質：

1、對應點所連的線段被對稱軸垂直平分

2、對應線段相等、對應角相等

3、其實，軸對稱圖形在對稱軸兩邊的部分是能夠重合的，也就是全等的． 利用這一性質，我們可以在軸對稱圖形中找出對稱軸，也可以在已知一個軸對稱圖形的一半時，完成整個軸對稱圖形． 教后分析：

本節立足于學生已有的初步的數學活動經歷，從扎紙實驗和觀察飛機圖片來認識有關軸對稱的基本性質，因此在教學中充分利用了這部分內容的特點，將觀察、操作等實踐活動以及在實踐活動的思考與交流貫穿于教學過程的始終，使學生體會所學內容與現實世界的廣泛聯系體驗軸對稱的數學內涵和文化價值。整個活動中學生反應熱烈，討論氛圍濃厚，效果顯著。

第四篇：拋物線的定義、性質及標準方程

高三數學第一輪復習：拋物線的定義、性質及標準方程

【本講主要內容】

拋物線的定義及相關概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質

【知識掌握】 【知識點精析】 1.拋物線定義：平面內與一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點

叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e＝1時為拋物線，當01時為雙曲線。

2.拋物線的標準方程有四種形式，參數式方程的幾何性質（如下表）： 的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形

其中為拋物線上任一點。

3.對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化運算。的焦點的直線與拋物線交于，則有4.拋物線的焦點弦：設過拋物線，直線

與的斜率分別為，直線的傾斜角為。，，，說明：

1.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數法；若由已知條件可知曲線的動點的規律一般用軌跡法。

2.凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算。

3.解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質。【解題方法指導】

例1.已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，且與圓于，求此拋物線的方程。解析：設所求拋物線的方程為設交點則∴點在，∴

上，（y1>0），代入

在得上

或

相交的公共弦長等∴或，∴或

。，經過的直線交拋物線于

兩點，點故所求拋物線方程為例2.設拋物線在拋物線的準線上，且的焦點為

∥軸，證明直線經過原點。

解析：證法一：由題意知拋物線的焦點

故可設過焦點的直線的方程為

由，消去得 設，則

∵∥軸，且在準線上

∴點坐標為

于是直線的方程為

要證明注意到經過原點，只需證明，即證

經過原點。

知上式成立，故直線證法二：同上得。又∵∥軸，且在準線上，∴點坐標為。于是過原點。

證法三：如圖，知三點共線，從而直線經

設軸與拋物線準線交于點則∥∥，連結，過交

作于點，則

是垂足

又根據拋物線的幾何性質，∴因此點是的中點，即

與原點

重合，∴直線

經過原點。

評述：本題考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數法，證法三為幾何法，充分運用了拋物線的幾何性質，數形結合，更為巧妙。

【考點突破】 【考點指要】

拋物線部分是每年高考必考內容，考點中要求掌握拋物線的定義、標準方程以及幾何性質，多出現在選擇題和填空題中，主要考查基礎知識、基礎技能、基本方法，分值大約是５分。考查通常分為四個層次：

層次一：考查拋物線定義的應用； 層次二：考查拋物線標準方程的求法； 層次三：考查拋物線的幾何性質的應用；

層次四：考查拋物線與平面向量等知識的綜合問題。

解決問題的基本方法和途徑：待定系數法、軌跡方程法、數形結合法、分類討論法、等價轉化法。

【典型例題分析】 例3.（2006江西）設，則點A.C.答案：Ｂ

解析：解法一：設點坐標為，則，解得或（舍），代入拋物線可得點的坐標為。

為坐標原點，的坐標為（）B.D.為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若解法二：由題意設，則，即，求得，∴點的坐標為。

評述：本題考查了拋物線的動點與向量運算問題。例4.（2006安徽）若拋物線為（）

A.－2 B.2 C.－4 Ｄ.4 答案：D 的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值解析：橢圓的右焦點為，所以拋物線的焦點為，則。

評述：本題考查拋物線與橢圓的標準方程中的基本量的關系。【達標測試】 一.選擇題： 1.拋物線的準線方程為，則實數的值是（）

A.B.C.D.軸上，又拋物線上的點，與焦點的距離2.設拋物線的頂點在原點，其焦點在為4，則等于（）

A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦點在直線A.C.B.D.或或

上的拋物線的標準方程為（）

4.圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程為（）

A.B.C.D.5.正方體上的動點，且點的軌跡是（）的棱長為１，點到直線的距離與點

在棱到點

上，且，點是平面的距離的平方差為１，則點

A.拋物線 B.雙曲線 C.直線 D.以上都不對 6.已知點是拋物線的距離為

上一點，設點，則

到此拋物線準線的距離為，到直線的最小值是（）

A.5 B.4 C.7.已知點D.是拋物線

上的動點，點

在軸上的射影是，點的坐標是，則的最小值是（）

A.B.4 C.D.5 的焦點的直線交拋物線于

兩點，為坐標原點，則的值8.過拋物線是（）

A.12 B.－12 C.3 D.－3 二.填空題： 9.已知圓10.已知物線的焦點分別是拋物線，則直線

和拋物線的準線相切，則的值是＿＿＿＿＿。的垂心恰好是此拋

上兩點，為坐標原點，若的方程為＿＿＿＿＿。

11.過點（0，1）的直線與＿＿＿。12.已知直線＿＿＿。三.解答題： 與拋物線

交于兩點，若的中點的橫坐標為，則

交于兩點，那么線段的中點坐標是＿＿13.已知拋物線頂點在原點，對稱軸為拋物線的方程。14.過點（4，1）作拋物線

軸，拋物線上一點到焦點的距離是5，求的弦點在，恰被所平分，求所在直線方程。

。15.設點F（1，0），M點在軸上，⑴當點⑵設在軸上運動時，求

軸上，且

點的軌跡是曲線的方程； 上的三點，且的坐標。

成等差數列，當的垂直平分線與軸交于E（3，0）時，求點【綜合測試】 一.選擇題：

1.（2005上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在 2.（2005江蘇）拋物線

上的一點

到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（）

A.B.C.D.0，若它的一條準線與拋物線3.（2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點，離心率為的準線重合，則該雙曲線與拋物線A.B.C.D.21 的交點與原點的距離是（）

4.（2005全國Ⅰ）已知雙曲線合，則該雙曲線的離心率為（）的一條準線與拋物線的準線重A.B.C.D.的準線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有5.（2004全國）設拋物線公共點，則直線的斜率的取值范圍是（）

A.B.C.D.6.（2006山東）動點取得最小值，則

是拋物線的最小值為（）

上的點，為原點，當時A.B.C.D.7.（2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內放一個小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積取值范圍是（）A.B.C.D.的準線為，直線

與該拋物線相交于的8.（2005北京）設拋物線點，則點及點

兩到準線的距離之和為（）

A.8 B.7 C.10 D.12 二.填空題： 9.（2004全國Ⅳ）設到

是曲線

上的一個動點，則點

到點的距離與點軸的距離之和的最小值是＿＿＿＿＿。

10.（2005北京）過拋物線為，則圓的焦點

且垂直于軸的弦為，以

為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是＿＿＿＿＿，圓的面積是＿＿＿＿＿。的一條弦，所在11.（2005遼寧）已知拋物線直線與軸交點坐標為（0，2），則＿＿＿＿＿。的焦點在直線

移到點

上，現將拋物線沿處，則平移后所12.（2004黃岡）已知拋物線向量進行平移，且使得拋物線的焦點沿直線得拋物線被軸截得的弦長

＿＿＿＿＿。三.解答題：

13.（2004山東）已知拋物線C：與拋物線交于⑴若以弦兩點。，求的值； 的軌跡方程。的焦點為，直線過定點

且為直徑的圓恒過原點⑵在⑴的條件下，若，求動點

14.（2005四川）如圖，點，是拋物線的焦點，點

為拋物線內一定點，點

為拋物線上一動的最小值為8。

⑴求拋物線方程； ⑵若為坐標原點，問是否存在點，若存在，求動點，使過點的動直線與拋物線交于

兩點，且的坐標；若不存在，請說明理由。

15.（2005河南）已知拋物線拋物線交于⑴求⑵求滿足 ； 的點的軌跡方程。，為頂點，使得

為焦點，動直線。

與兩點。若總存在一個實數

第五篇：1.3.3 菱形的性質(教學案)

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定（3）教學設計

教學目標

1、會歸納菱形的性質并進行證明；

2、能運用菱形的性質定理進行簡單的計算與證明；

3、在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步發展推理論證的能力。教學重、難點

重點：菱形的性質定理證明

難點：性質定理的運用 生活數學與理論數學的相互轉化 學習過程：

一、知識梳理

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形.與一般平行四邊形相比，菱形具有哪些性質？

定理：（菱形的邊）（菱形的角）

定理：（菱形的對角線）

二、定理證明：

AD已知：如圖，求證：（1）

O（2）

證明：

BC設計思路：通過學生自己寫已知、求證，進一步熟悉文字證明題的基本操作模式

三、典型例題

例3.如圖3個全等的菱形構成的活動衣帽架，頂點A、E、F、C、G、H是上、下兩排掛鉤，根據需要可以改變掛鉤之間 的距離(比如AC兩點可以自由上下活動)，若菱形的邊長為13厘米，要使兩排掛鉤之間 的距離為24厘米，并在點B、M處固定，則B、M之間的距離是多少？

A FEA

BD DMOB

HG解： CC設計思路：通過例題使學生增強對菱形對角線性質的認知，并通過教師的引導，將相關幾個知識點及用處和菱形聯系起來。A

四、合作交流

1.證明：菱形的面積是它兩條對角線長的積的一半.BDO解：已知：

求證： 證明：

C