第一篇：讀"小學數學與數學思想方法"有感（本站推薦）

讀“小學數學與數學思想方法”有感

黃石小數

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數學思想方法不同于一般的概念和技能，后者一般通過短期的訓練便能掌握，而數學思想方法需要通過在教學中長期地滲透和影響才能夠形成。古語云“泰山不讓土壤，故能成其大；河海不擇細流，故能就其深。”教師應在每堂課的教學中適時、適當地體現思想方法的教學目標，使學生在潛移默化中日積月累，通過提高數學素養達到學好數學的目的。

內容簡介

本書作者王永春，作為人民教育出版社小學數學編輯室主任，長期從事小學數學教材的編寫工作，致力于課程、教材的研究，對小學業數學思想方法有深入的思考和探索。基于對提高教育質量、落實教育目標的強烈責任感，作者撰寫了系列文章，就有關數學思想方法在小學教學中的應用作了專門的論述。在此基礎上，形成了本書。

全書分上下篇，上篇是對數學思想方法的系統闡述，下篇是小學數學教材中數學思想方法案例解讀。

在上篇的案例選取中，基本出發點是盡量少出教材及練習冊中常用的例子，就是想給讀者多提供一些案例，以拓寬知識面、更加有利于了解和掌握思想方法、有利于中小學的銜接。有的案例是在小學知識基礎上的拓展和提高，有的是中學知識的簡化，可能在理解時會有一點難度。下篇的教材案例解讀，沒有按照思想方法分類，而是分冊編寫的，主要是為了方便教師查詢。

對學生來說，數學思想方法不同于一般的概念和技能，概念與技能通常可以通過短期訓練便能掌握，而數學思想方法則需要通過教師長期的滲透和影響才能夠形成。教師應在每堂課的教學中適時、適當地體現思想方法的教學目標，使學生在潛移默化中日積月累，通過提高數學素養達到學好數學的目的。

希望數學思想方法的教學能夠像春雨一樣，滋潤著學生的心田。

作者簡介

王永春，內蒙古莫旗人。1967年9月出生。華東師范大學數學系畢業，北京師范大學教育學碩士。人民教育出版社小學數學編輯室主任、編審。從1991年至今，一直從事小學數學課程教材的研究和編寫工作，參與策劃、編寫或主編（副主編）多套小學數學教科書、教師教學用書、教學案例等圖書。現任《義務教育教科書？數學》（人教版）副主編。參與多項課題研究，主持了國家社會科學基金“十一五”規劃課題《新課改后各類教材特點的比較研究》小學數學子課題。在《課程？教材？教法》、《小學數學教育》等雜志上發表了20多篇論文。

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1關于數學建模與數學模型的內涵

目前，數學模型還沒有一個統一的、準確的定義，一般學者認為：數學模型是為了某種目的，用字母、數字及其他數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。

由于小學數學沒有復雜的數量關系和數學結構，其基本內容是以四則運算為基礎的問題解決，從成人角度看數學模型過于簡單，但學生自主思考、建構與解決這些問題的過程并不簡單，許多問題解決過程都可以是學生再創造的過程。

小學生認識和理解數概念、運算、方程及各類問題解決等內容，都可以看作數學建模，即小學數學中的每個概念、每類運算都可以構成數學模型，可以從數學建模的角度學習這些內容。例如，“小強的媽媽要將2.5千克香油分裝在一些玻璃瓶里，每個玻璃瓶最多可盛0.4千克香油，需要準備幾個玻璃瓶？”“把2升橙汁分裝在容量為1/4升的小瓶里，可以裝幾瓶？”等等，盡管數據不同，所描述的事情不同，但都是除法的“包含除”模型：總量÷每份數=份數。又如，植樹問題（在長120米的道路一側植樹，每5米植一棵，需要植多少棵樹）和鋸木頭問題（一根長6米的木頭，要鋸為5段，每鋸一段需要5分鐘，鋸完這根木頭需要多長時間），問題情境不同，但都是“植樹模型”.雞兔同籠問題（雞和兔關在同一籠子里，從上面數有8個頭，從下面數有26只腳，問雞和兔各有幾只）和租船問題（全班一共有38人，共租了8條船，小船乘4人，大船乘6人，每條船都坐滿，大船、小船各租幾條），等等，這些問題的情境不同，數據可能也不同，但都包含了“部分+部分=總量”“每份數X份數=總數”這兩個結構，即加法模型和乘法模型。

依據前面的界定，我們認為在小學階段數學模型有三種存在形態：一是現實問題，用語言描述（不能稱之為模型，但也是一種抽象和概括）；二是直觀模型，用直觀、形象的符號表述，例如，表征數學問題結構的示意圖、線段圖等；三是抽象模型，用抽象的數學語言表示數學關系和結構，在小學階段一個數、字母、算式、方程等都可以看作一個數學抽象模型。

構建數學模型（簡稱數學建模）即指“從數學的角度，對所需研究的問題作一個模擬，舍去無關因素，保留其數學關系，以形成某種數學結構”.在小學階段，這種數學結構常用前面所說的直觀模型和抽象模型表示。小學階段的數學建模體現為：其一，能夠將現實問題（情境）用直觀模型表示（有時借助直觀圖直接求解），再用抽象式子表示；其二，在直觀模型和抽象模型基礎上求解問題的答案，并對答案進行檢驗與評價；其三，對每一幅直觀圖、每一個數、每一個含字母的代數式和方程，能夠講述不同現實情境的故事，進一步感悟結構相同但具體情境或問題不同的事件都能夠用相同的直觀圖或數、含字母的代數式、方程表示，必要時可能需要修改或調整模型，再應用模型解決新問題。

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2小學生數學建模的過程分析

數學建模是一個復雜并具有挑戰性的過程，建模的過程，實際上就是數學化的過程，是學生在數學學習中獲得某種帶有模型意義的數學結構的過程。一般而言，數學建模大致包括四個步驟：第一，理解問題的背景與結構；第二，對復雜的情境進行分析和簡化，收集必要的數據進行歸類整理；第三，找到規律并建立模型；第四，解答問題。這一建模過程如何在小學數學中落實呢？下面以經典的植樹問題為例加以分析。

植樹問題是小學階段體現數學建模思想的經典內容之一，植樹問題是一個簡單的“植樹模型”.從植樹問題到建構起“植樹模型”需要一個過程，在建構“植樹模型”時，應該有如下步驟：

1、通過“模擬”植樹，整體理解題意，如“兩端都要植”究竟是什么意思。

2、把現實世界中的“樹”和“間隔”抽象看成“點”和“段”.3、通過畫圖的方式建構“點段關系”:以“20米小路，每隔5米種一棵樹（兩端都要種）”為例，基本建構過程如下：

“點段”一一對應：畫一個“點”,再畫一個“段”,依此重復下去，直至達到要求的長度（線段長度的累加）。

4、應用“點段關系”解決實際問題：先把“求一共種多少棵樹”轉化為“求一共有多少條線段”,即總長度÷間距=段數。例如，對于本題，可以先根據間距求出“段數”,20÷5=4,此時的“4”表示4段，“棵數”等于“點數”.再根據實際情況解決問題：若兩端都種，則“點數=段數+1”;若一端種另一端不種，則“點數=段數”;若兩端都不種，則“點數=段數-1”.5、運用模型解決其他問題，感悟模型思想。這個模型也適用于設置車站、路燈、臺階等問題，樹、路燈、車站、臺階等可抽象看成“點”,各種間隔可抽象看成“段”,“點數”與“段數”之間的數量關系結構都一樣。

可以看到，“植樹模型”本質上是乘法模型和一一對應的“點段模型”相互結合后產生的新模型。在教學中我們往往會發現，大部分學生遇到這類題目會直接列式，即用“總長度÷間距=段數”解決。找到這個基本模型對學生來說并不難，但由于沒有直觀圖的支撐，很難通過想象發現“段數”與“點數”之間的對應關系，不能意識到求出的實際上不是“點數”而是“段數”.即便有部分學生知道公式能夠計算出結果，也不明了什么時候該“+1”,什么時候該“-1”,因而無法回到實際情境中真正解決問題，遇到其他現實問題更加無法找到對應關系。

出現上述情況，一方面是由于部分學生在課外已經知道或背誦了抽象數量關系（即公式），另一方面是由于小學生畫圖意識和能力不足，不愿意或不會通過畫圖表征問題情境。教師在課堂上需要正確面對學生已有的基礎，根據學生的不同情況，對于不知道公式的學生，可以從現實情境到直觀模型再到抽象模型，對于已經知道公式和答案的學生，可以從現實情境到抽象模型再回歸直觀模型進行解釋，重要的是建立這三者之間的關系，借助直觀模型真正理解抽象模型，綜合利用乘法模型和“點段模型”解決實際問題。

對于路燈問題、鋸木頭問題、樓層問題等相關問題，一旦學生通過畫圖找到了“點”和“段”之間的對應關系，就會發現：拋開具體情境，這些問題的本質和結構是相同的，這樣才真正有了模型的影子。

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3小學生數學建模的層次水平與教學滲透

在小學實踐中，我們提出，小學階段數學建模有以下幾個層次、水平（如表1）

表1 小學生數學建模的層次、水平

水平

學生表現

層次

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不理解題意，不能用任何方式表征題意或表征錯誤

1理解題意，能用直觀、形象的方式（如畫圖、列表等）正確表征題意，但不能發現規律

層次一：從現實問題到直觀模型、抽象算式

2理解題意，能用直觀、形象的方式（如畫圖、列表等）正確表征題意，發現規律并轉化為數量關系或符號表達式

層次一：從現實問題到直觀模型、抽象算式

3在水平2基礎上，利用直觀模型、數量關系式或符號表達式求得正確答案，檢驗與評價答案

層次二：針對直觀模型、抽象算式求得結果并檢驗

4列舉其他不同情境的問題（故事）并能運用相同數量關系解決更多的現實問題

層次三：運用該模型講述不同故事并解決其他問題

除植樹問題、雞兔同籠問題等經典內容以外，小學數學中的每個概念、每類運算都可以構成數學模型。在小學階段，植樹問題、雞兔同籠問題并不要求學生的建模水平達到最高級的層次三，但對于數學基本概念、運算意義等則要求達到層次三。在概念或運算教學和問題解決教學中，如何使學生向更高層次提升？怎樣在小學數學教學中有效滲透建模思想？下面以雞兔同籠問題為例簡要分析。

雞兔同籠問題的基礎模型是乘法模型和加法模型，是2個乘法模型和2個加法模型的綜合應用，具體表述如下：

每只雞的腳數×雞的只數=雞腳數

每只兔的腳數×兔的只數=兔腳數

兔頭+雞頭=動物數之和

兔腳+雞腳=動物腳數之和

但其根本是乘法模型，即將每份數不相同的量都轉化為每份數相同的量，也就是問題解決中常用的假設法（都假設為雞或都假設為兔，這樣每份腳數都相同）：總只數×假設的腳數=假設的腳總數，再尋找假設的腳總數與實際腳總數差的來源，從而求解出答案。

雞兔同籠問題出現在小學幾個版本的教材中，不同教材安排的年級不同。安排在年級較低的教材更側重畫圖法和嘗試法，讓學生經歷畫圖、列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會解決問題的一般策略；安排在較高年級的教材則更側重假設方法和方程法。雞兔同籠問題的算術解法多種多樣，例如，金雞獨立法、假設雞的兩只翅膀也變成兩只腳、假設雞全都飛起來（或坐地上）、兔全用雙腳站立等。盡管奇思妙想的解法很多，但其本質歸根結底都是假設法，而且都是先轉化為乘法模型，再利用加法模型解決問題。一旦掌握了模型的本質，就可以相應地解決類似的許多問題，如儲蓄罐里有1角和5角兩種不同的硬幣（共有多少枚硬幣，價值多少元）、買成人票和兒童票兩種票價的電影票（共買了幾張票，花了多少元）、購買兩種價錢不同的玩具（共買幾個玩具，花了多少錢）等。

教學雞兔同籠問題時，部分學生已經從課外渠道對于雞兔同籠的情境問題形成了思維定式，而且通過記憶或背誦抽象的數量關系，一看到“雞和兔子關在同一個籠子里”的情境就自動化地列式計算，貌似已經能夠用抽象的算式模型解決問題，實際上并不能深刻理解其意義，從而掩蓋了學生的真實水平。怎樣才能暴露學生的真實水平而不讓教師被學生“盲目、套用公式”的假象蒙弊呢？下面是北京第二實驗小學索桂超教師設計的教學片段：

師：同學們，喜歡玩魔術嗎？

生：（齊）喜歡！

師：索老師也特別喜歡玩魔術，今天我給大家變個魔術。有兩種牌，一種牌的點數是4,另一種牌的點數是9,告訴魔術師一共翻了多少張牌，牌面點數總和是多少，魔術師就能知道翻出來幾張4點和幾張9點的牌。

……

在魔術結束后，教師呈現問題：“有5點和2點的牌，一共抽了12張牌，牌面點數總和為45.5點和2點的牌各有幾張？”可通過畫圖、列表、假設等各種方法解決問題。學生的各種方法如下（具體方法的描述略）：

方法一：憑借數感嘗試，然后調整；

方法二：列表嘗試，假設全是5點或2點的牌；

方法三：先計算平均數，再做調整；

方法四：分組計算，再作調整。

在這一引入環節中，教師將“雞兔同籠”的情境改編為有趣的撲克牌魔術，借用“雞兔同籠”問題的模型結構，隱藏“雞兔同籠”的問題類型，激發了學生學習和研究的興趣。

完成這一任務后，教師拋出“雞兔同籠”問題，學生自覺進行了遷移：

生：35個頭就相當于牌的數量35張，94只腳相當于94點。

生：兔子其實就是4點的牌，雞是2點的牌，因為兔子有4只腳，雞有2只腳。

找到了共同的數學結構，學生就能很容易地解決問題。

完成“雞兔同籠”問題后，為了讓學生向更高水平邁進，教師又拋出了新的問題：

師：如果不使用雞和兔這兩種動物，換為其他動物或物體，你還可以創編一個類似問題嗎？

生：狗和貓。

生：不可以，因為都是4只腳。

師：改一改。

生：鵝和狗。

生：摩托車和三輪車。

師：總而言之，我們只要保證什么不一樣就可以了？

生：只要保證“腳”數不同就可以了。

師：不瞞大家說，今天索老師和大家玩的數學魔術就是根據“雞兔同籠”問題改編而來的。其實你也可以像索老師一樣創編出一個數學小游戲，如果你感興趣的話，還可以搜索相關的資料，制作一個小板報，也可以寫一篇小論文或小發現。

從上述案例中我們可以看到，盡管建模對小學生來說有一定困難，但如果教師深刻理解模型的內涵、建模的過程及學生學習的路徑，就能夠很好地讓學生經歷這個過程，從而在小學階段有效地滲透模型思想。

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4小學階段滲透數學建模思想的價值及建議

如前所述，如果我們將數學建模的內涵適當放寬，降低數學建模的要求，則在小學數學中能夠滲透數學建模思想，實現數學建模所承載的教育價值呢？在滲透數學建模思想的教學過程中，需要關注哪些問題？這些都是教師設計有價值學習活動的重要前提和依據。

（一）小學階段滲透數學建模思想的價值。

1、在建模中提升數學表達。

數學表達是數學學習中的重要內容。“通過數學表達，可以幫助學生不斷建構對數學知識的理解，強化對數學技能的掌握，呈現數學觀察、實驗、猜想、運算、推理、驗證等思維過程及數學問題解決的思路和方案，是聚焦學生數學核心素養發展的有效實踐范式。”在建模的過程中，學生要學會用數學語言（包括圖示、圖表、符號等多種方式）簡潔表達出數量關系或規律，這種意識和能力為學生后繼的數學學習積累了重要經驗。

2、在建模中提高抽象思維水平。

模型是從現實情境中高度抽象和概括得到的，小學生在建模中之所以比較困難，很大程度上是因為小學生還處于具體、形象的直觀操作階段，其抽象思維的發展還不夠完善，所以應從現實情境中抽象出數學模型，再用來解決更多現實情境問題，例如，“植樹模型”不僅僅解決種樹問題，“雞兔同籠模型”不僅僅解決雞和兔子的問題，建模的過程能夠幫助學生超越具體情境，向抽象思維水平邁進。

3、在建模中培養應用意識。

《義務教育課標2011》指出：“應用意識有兩個方面的含義：一方面，有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題；另一方面，認識到現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方式予以解決。”通過數學建模，能夠促進學生了解數學與其他學科及日常生活的相互聯系，深刻領悟數學的應用價值，有助于培養學生的數學應用意識和應用數學的基本能力。

（二）小學階段滲透數學建模思想的幾點建議。

學生學習能力和思維水平的提升需要依賴教師設計的好活動，尤其是在小學階段，數學建模思想的滲透既要經歷過程，又不能過高要求，同時要兼顧不同層次和水平的學生需求，這就更加需要教師的精心設計。

1、關注學生建模中的難點，使其充分暴露，并作為重要教學資源。

學生在建模過程中的每一步都有可能遇到困難，如不會畫圖或畫出的圖不能準確表征題意、觀察不到規律或不會用抽象的數學語言表達、只能解決例題但不能類推到變式題目等。學生遇到的這些困難都是重要的教學資源，敏銳地發現并充分暴露學生的難點，引導學生在質疑、爭論、舉例、辯論、追問中逐步澄清，是突破學生學習困難的重要途徑和手段。

2、重視直觀模型（畫圖），不要急于套用公式解決問題。

建模過程中，建立直觀模型（畫圖）是重要且關鍵的一步，教學中要防止急于套公式的做法。波利亞指出：“即使你的題目不是一道幾何題，你也可以嘗試畫一張圖。給你的非幾何題找到一個清晰的幾何表示，也許是邁向解答的重要一步。”小學生處于具體、形象的思維階段，畫的圖既可以是具體的實物圖，也可以是抽象的線段圖。隨著年齡的增長，建模過程中借助的直觀模型也可以慢慢由具體走向抽象。

3、不同學生建模的過程與能力水平不同，要正視差異。

學生在建模過程中表現出的不同能力水平是客觀存在的，教學過程中要正視這種差異，等待學生逐步提升，不能急于求成。作為《高中課2017》提出的數學核心素養之一，數學建模對學生中學階段繼續學習的價值是不言而喻的，在小學做些滲透、讓學生有些感悟和體驗、嘗試經歷這樣的過程、積累有價值的數學經驗、使學生能夠在中學甚至大學的學習中達到更高的建模水平，這是我們的期望。

第二篇：讀《小學數學與數學思想方法》有感

讀《小學數學與數學思想方法》有感

QDSYLY 每次看書我都會發現自身的問題，這次也不例外。我會對比著去發現自己哪些地方還沒有做到，然后再去發現我需要學習什么。

一．不足

1.盡管課堂上我會認真幫助同學們分析每一道題，一些時候會將習題變式，但只是就題做題。可是我卻忽略了向同學們傳授思想方法。也就是學生只“知其然不知其所以然”。從教兩年多來也算得上是一大敗筆。

2.大多數授課都是將概念直接傳授給學生，很少讓學生去主動探索，就像書上說的一樣“只注重現成結論的傳授，不講究生動過程的展示，終究會走進死胡同”。現在細想會感覺到，讓學生花費一節課去探索甚至比自己講兩節課效果都要好。

3.復習時，我還按著老式傳統方法，出題做題講題......反復循環。根本就沒做到在思想方法上的總結提升。二．改進之處

1.關于符號。在低年級的時候強調同學們的直觀感受，高年級時涉及到的知識就不能單純的通過特殊例子歸納總結讓他們識記了。應該通過習題讓他們自己發現問題、提出問題、歸納問題、總結問題。

2.通常在做卷子或者報紙時，最后都有一道能力提升題。其中有很多習題要求歸納總結、填空或者計算，而我們通常的做法是拿住題就講，卻恰恰忘了問題的源頭就是某些法則、公式或者定律。倘若我們能教給學生逆推出這樣的的習題是用什么樣的法則、公式或者定律而來的，那結果肯定事半功倍。三．總結

看完前兩章確實很慚愧，因為就自身而言都不能很好的將各種類型的思想方法掌握，更甭說將思想方法傳授給學生了。既然發現了問題那么接下來的時間我一定好好改正，將還沒有理解透徹的精髓反復研讀，爭取在掌握數學的思想方法這方面能夠有所提升。

第三篇：【讀小學數學與數學思想方法有感

讀《小學數學與數學思想方法》有感

貴州省鄉村名師小學數學曹光林工作室：余其強

我讀了小學數學與數學思想方法這本書，這本書主要講了四個方面的內容：一是講了抽象的數學思想，內容包括抽象思想、符號思想、分類思想、集合思想、變中不變思想、有限與無限思想。二是推理的數學思想，主要包括歸納推理、類比推理、演繹推理、轉化思想、數集合思想、幾何變換思想、極限思想、代換思想；三是與模型有關的數學思想，包括模型思想、方程思想、函數思想、優化思想、統計思想、隨機思想；四是其它的數學思想，其中有數學美思想、分析和綜合法、反證法、假設法、窮舉法、數學思想的綜合運用，這本書對我受益 很大，得到以下體會：

一數學思想在四基中占有重要的地位

數學思想、數學方法、數學思想方法近年來收到數學教育家界廣泛關注，數學思想是對數學知識的本質理性認識，數學抽象思想、推理思想、模型思想、這三個基本思想分別對數學學科的建立、發展和應用起到了重要的著用，這三個思想演變、派出、發展出很多其它的較低層的數學思想，如分類思想、歸納思想、方程思想、函數思想等。所以我們在教學時，必須專研教材，學習教學新課標，找出每一節教材的數學思想，這樣教師在教學時能找準重點和難點。能夠有的放矢。

二 數學方法是數學解決問題的方法和手段

我們首先要理解數學思想和數學方法既有區別又有聯系。數學思想是數學方法的進一步提煉和概括，數學思想的抽象概括程度要高一些，而數學方法的操作性更強一些。人們實現數學思想往往要依靠一定的數學方法，而人們選擇數學方法又要以一定的數學思想為依據。數學的方法也是有層次的，基本的方法有演繹推理法、合情推理法、變量替換方法、等價變形的方法、分類討論的方法等等，下一層的方法有分析法、綜合法、窮舉法、反證法、列表法、圖像法等等。數學方法是數學的靈魂，要想學好數學，就要深入到數學靈魂之處。作為我們教師要根據每一節課的數學思想和學生年級，選擇靈活的教育手段，這樣能達到較好的教育效果。

三教師要不斷提高專業素養和教學水平

2001年的義務教育階段的數學課程改革已經非常重視數學方法，并在總體目標中明確提出：學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必須的重要數學知識以及基本的數學思想和必要的應用技能，這一總目標貫穿于小學初中，這充分說明了思想方法的重要性。2011年總目標中進一步提出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展 所必需的數學知識，基本技能、基本思想、基本活動經驗。”這一表述打破了我國教育的傳統局面。數學教育目標的變化折射出數學觀和數學教育觀的變化。當今社會是高度科技化、信息化的市場經濟社會，數學在科技、經濟等領域被廣泛應用，因此數學作為廣泛應用的技術也日益得到重視，數學作為廣泛培養人的思維能力的學科，數學的能力無論是技術力還是思維力，都不僅僅是數學知識和技能作用，因此學生獲得良好的數學，教育標志是三維目標的整體實現，是培養學生逐步用數學眼光看待世界分析問題和解決問題。所以作為義務教育階段的數學教師會面臨更大的挑戰，一方面是關于數學思想方法的專業知識方面的欠缺；另一方面是課堂教學中應該具備的數學思想方法的意識、經驗、策略等的不足。我們只有鉆研數學課程標準、教材、充分了解學生、選擇恰當的教學方法，不斷提高教師素養和教學水平，才能實現我們的教育目標。

四、要注重學生獲取數學思想方法的途徑

三維目標中倡導學生獲取數學思想的方法有小組合作交流、動手實踐、自主探究的三種學習方式，我們義務教育階段的教師要根據學生實際、教材內容，在學生已有的知識經驗的基礎上，教會學生的學習方法，才能達到應有的教學效果。總之，社會是向前發展的，教師只有終生不斷學習，才能使我們教育思想和方法不落后，適應社會發展的需要，為社會培養出合格的人才。

第四篇：讀王永春的《小學數學與數學思想方法》有感

提煉小學數學思想方法，感悟數學靈魂

鄲城縣第二實驗小學

王 彬

數學思想是數學的靈魂。盡管我們的學生，將來參加工作不可能都從事數學專業，但數學思想這個靈魂，將引導每名學生的工作和學習，乃至影響其一生。數學教學蘊含了數學思想這個靈魂，數學課堂就能體現數學蘊含的美，學生的數學學習就充滿活力，學生的數學頭腦就能真正的建構，我們的教學就更上一層樓。有人將數學思想方法教學稱之為“授之以漁”，也有人將數學思想方法稱為“點金術”。其實交給學生數學思想方法的效果何止“授之以漁”和“點金術”，更有意義的效應是能使學生具有發明點金術的大腦。在教學中更科學的滲透和運用數學思想方法，用數學思想方法蘊含的美來感染、啟迪學生的數學思維，將我們的學生培養成能用數學思想看世界，用數學的思想創造未來的新一代。

數學思想方法的教學也應該像春雨一樣，不斷的滋潤著學生的心田。學生通過學習經驗和思想方法的日積月累，能夠實現數學素養的真正提高。作為一名數學教師，如果自己都沒有搞懂什么是數學思想，沒有讀透數學教材中的數學思想，不可能編織出精彩的教學設計，數學教學更難以體現數學的靈魂。我知道了小學階段數學知識總蘊含的數學思想，讓學生感受數學思想，能夠使學生萌生數學思想，從而靈活地思考。其中，推理是抽象的計算，計算是具體的推理。在日常的教學中清楚知道哪些地方蘊含了數學思想方法，教學思路就清晰了，也就有了明確的方向，不再迷茫每一課時具體數學思想是什么，為我的教學提供了明確的指導和幫助。數學思想不同于一般的概念和技能，它需要通過教學中長期的滲透和影響才能夠形成。對于小學階段的學生來說，心中有思想方法的老師自然能夠使學生學習數學從開始就獲得良好的數學教育，也更好地實現“四基”目標，培養學生用數學的眼光看待世界，并學會分析和解決問題。

小學數學教學中，每一個知識點的背后，或者說每一種解題方法、策略教學的背后，都有著相關的數學思想與之聯系。那究竟在數學教學中應該如何體現呢？這是一線教師十分想了解和知道的問題。我們的教學，不能看成是單課獨立教學目標的教學，甚至是單一知識點的教學，應該站在教材的編排體系上去理解：為什么要教學這個內容；這個內容，前期已經教學哪些知識；關于這個內容，在后續的學習中還有學習什么。理解好了這幾個內容，在課時教學中，就可以明確讓學生掌握什么知識內容，重點培養哪種能力，重點讓學生掌握哪些知識和技能，積累哪些相關的數學活動經驗，滲透哪些數學思想。這樣我們就能從教材編排的大框架里去理解數學思想教學的地位，就能讓我們的教學成為能夠具體實現數學思想的教學，就能幫助學生“高屋建瓴”地理解相關知識。數學思想的教學不僅僅蘊含在新授課的教學中，也蘊含在相關的習題教學和復習教學中，在習題教學中，幫助學生對某一種解題方法與技巧的提煉、抽象，就是相關的數學思想；在單元復習、學期復習教學中，對某一類知識的分類教學、方法總結、技巧歸納，這也是數學思想教學。無論新知教學，還是習題講解、試卷分析，或是復習歸納，數學思想的“身影”無處不在。可見，讓學生對每一個知識的“前世今生”有清楚的了解，引導學生將知識進行系統梳理，讓前后知識形成聯系，在每一堂數學課解決問題的過程中進行相關數學思想的滲透，這些都是數學思想教學的具體實施。如果教師能長久地堅持，“潤物無聲”地滲透，就能讓學生對數學思想的掌握有長足的發展。我們知道，某一道習題，隨著時間的推移，會慢慢淡忘！但學生解題中的數學思維、思考方法、數學思想，思考問題的周密性、嚴謹性不會隨著時間的推移而“褪色”！

日本數學家米山國藏說過：“作為知識的數學出校門不到兩年都忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數學精神、數學思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使人終身受益。”是的，只要我們調查一下周圍的親朋好友，就知道如今沒幾個人會記得自己學過的數學知識，但是在生活中會用到推理思想、優化思想、建模思想等。我們教師就要注意提煉教材中的數學思想方法，在教學中逐步滲透數學思想方法，使學生逐步體驗數學思想方法，逐步理解數學思想方法，逐步學會應用數學思想方法，我們的數學將更上一層樓。

第五篇：數學思想方法與應用

沈括運糧故事淺析

田小寬

（數學與統計學學院 數學與應用數學 2010212449）

【摘要】：沈括在其著作《夢溪筆談》中，涉及了軍隊運糧的有關問題。他把每人背的糧食，每天的食量作為已知定值，將士兵作戰時不缺糧食的天數和需要的運量人數作為未知數，通過這樣一個關系來說明軍隊作戰乃是國之大事

【關鍵詞】：運糧 運籌 軍事

【引言】凡師行，因糧于敵，最為急務。運糧不但多費，而勢難行遠。予嘗計之，人負米六斗，卒自攜五日干糧，人餉一卒，一去可十八日；米六斗，人食日二升，二人食之，十八日盡；若計復回，只可進九日。二人餉一卒，一去可二十六日；（米一石二斗，三人食日六升，八日則一夫所負已盡，給六日糧遣回，后十八日，二人食日四或并糧）。叵計復回，止可進十三日。（前八日日食六升，后五日并回程，日食四升并糧）三人餉一卒，一去可三十一日，米一石八斗，前六日半四人食日八升，減一夫，給四日糧；十七日三人食日六升，又減一夫，給九日糧；后十八日，二人食日四升并糧。計復回止可進十六日，（前六日半日食八升，中七日日食六升，后十一日并回程日食四升并糧）。三人餉一卒，極矣。若興師十萬，輜重三之一，止得駐戰之卒七萬人，已用三十萬人運糧，此外難復加矣。（放回運夫須有援卒，緣運行死亡疾病，人數稍減，且以所減之食，備援卒所費）。運糧之法，人負六斗，此以總數率之也。

一、軍隊運糧問題與運籌學聯系

軍隊運糧需要注意許多的變量，并且在事先確定了一些量之后，可以確定另外的比較重要的量最合適的數值，比如：當每人背的糧食和食量、前往作戰地所需的天數、作戰人數等確定之后可以得到數學模型下的理想的作戰的最長天數與運糧人數之間的一個關系式，即之間的一些線性關系，進而在作戰之前可以把運糧的大致工作安排妥當，所以說兵馬未動糧草先行。可見其是運籌學所研究的問題之一。

二、結合沈括著作《夢溪筆談》中運糧篇

先設定以下的量：士兵人數已知，x個農夫餉一卒，其他量如同上文沈括運糧問題內。

在沈括《夢溪筆談》運糧篇中，知道當兩人餉一卒時，不計往返則是二十六天，三人餉一卒時不計往返可行三十一日，則此時足夠到達作戰地點，當四人餉一卒時，不計往返可行三十四日，也能到達地點，并且此時若最后一批農夫不回，可支撐士兵作戰四天。具體計算如下：

1.一人餉一卒：設可堅持x天則有：2x+2(x-5)=60，x取整得18天

2．二人餉一卒：設第一個農夫在a天后回，則有：6a+2(a-2)=60，則a=8，加上最后一農夫所背糧食可支撐18天，則18+8=26 3.三人餉一卒：設第一個在b天后回，第二個在第一個回了c天后回，則有：8b+2(b-2)=60，則b取整為6天。又有：6c+2(b+c-2)=60，則c取整得7天，加上最后一人可支撐的18天，則有：6+7+18=31天

4.四人餉一卒：設第一個農夫在a天后回，第二個農夫在第一個回b天后回，第三個在第二個回c天后回，則：10a+2(a-2)=60,a取整得5,8b+2(b+5-2)=60,b取整得6天，2(c+5+6-2)+6c=60,c取整得5天，加上最后的18天，則5+6+5+18=34 用相同的方法以此類推，我們可以求得五人、六人以及更多人餉一卒的行軍的時間。到此時，我們乍一眼觀察，上面的運籌學模型沒有問題，可以把農夫人數無限制的演算下去，但是結合各個未知量的實際意義，我們知道a是一個不能小于2的量，因為由(a-2)的實際意義知a-2>0。而當又當x=14時，a=2，所以上面的運籌學模型只適用于農夫人數不大于14人時。若要繼續計算下去從十五人餉一卒開始，每增加一人多走一天，而當x>29時，此時農夫的增加和第一個農夫支撐天數a的對應關系又變。對于上述證明如下：

2(x+1)a+2(a-2)=60

a=32/(x+2)經過檢驗，當x=14時，a=2；當x=30時，a=1,這時，我們發現，實際情況是當x=29時，a=1！所以得證。

另外，當農夫人數增多時，四舍五入的方法也不在適用，在上面的計算時我們得到的一些數字采用了四舍五入，其中四人餉一卒時，b=5.6，若要當做6天計算，我們可以看到要多吃3.2升，那么農夫要空腹三四天才能返回，但此時顯然與上面方程矛盾，因此四舍五入應有限度。

有上述分析可知，解決這個運糧問題沒有一個固定的運籌學模型，或者說這個數學模型應是分段的，而且每一段都是遵循線性規劃模型的。

而且從上面分析，我們也應在四人餉一卒時應減去一天，即堅持33天。同樣在三人餉一卒時不能取整的天數也都舍掉零頭，這樣的意義是農夫空腹返回的時間少于2天。

綜上若要行軍一月則至少需三人餉一卒，十萬士兵就需要三十萬農夫運糧，但古時作戰士兵人數大多是在三十萬以上的，著名的赤壁之戰曹操號稱百萬大軍，則需要三百萬農夫。

由此可見古時兩國交戰是一件多么應該慎重的事，難怪真正懂得兵法人都說：兵者，國之大事，死生之地，存亡之道，不可不察也。甚至兵法圣典《孫子兵法》把它列在第一篇里的開頭。由此也可見運籌學對于軍事的重要貢獻。【參考文獻】

[1].刁在筠 劉桂真 宿潔 馬建華

《運籌學》（2007年1月第三版）

高等教育出版社 第82頁

[2].張俊杰 大眾文藝出版社 北京 2009年7月第一版 第10頁 《孫子兵法與三十六計》