第一篇：《斐波那契數列》教學反思

根據上午說課后其他老師的建議，我做了修改：

（一）引入部分簡化，斐波那契數列的學習同樣也運用了化難為易的思想，在劉**老師的授課《斐波那契數列》中多次提到難易的轉化，我們的學生也認真地進行了這節《斐波那契數列》的學習，給我們的學生試課可以這樣引入：

孩子們，我們在學習《斐波那契數列》時是怎么發現小兔子數量的規律呢？對，化難為易，我們可以用化難為易的方法解決很多問題，那老師請你們來試試連線游戲，在平面上有100個點，這些點能連成多少條線段？

學生回答不上來時，教師指導：100個點連線有點多有點難，老子說：“天下難事做于易。”我們就從最簡單的兩個點開始研究，用數學的思考方法解決點連線的問題。

這樣的引入斐波那契數列就不只是欣賞，而是數學思考方法的延續。

可是，不知道其他學校的教師能否重視教材65頁的閱讀資料《斐波那契數列》，所以還是沒底。

（二）探究過程的連線過程又做了一遍，原來用了四張幻燈片而且一直一閃而過，感覺有點雜有點多，我修改用一個表格一張幻燈片呈現，這樣就不覺得繁雜。這點怪我有點懶了，用別人現成的，所以今天又用了半個下午修改了一遍。

第二篇：斐波那契數列演講稿

Speech 斐波那契數列在歐美可謂是盡人皆知，于是在電影這種通俗藝術中也時常出現，比如在風靡一時的《達芬奇密碼》里它就作為一個重要的符號和情節線索出現，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數列就像黃金分割一樣流行。可是雖說叫得上名，多數人也就背過前幾個數，并沒有深入理解研究。

另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發現它們花瓣數目具有斐波那契數：3、5、8、13、21、……

斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數0，然后依序點數葉子（假定沒有折損），直到到達與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比。對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數0.618033989……的倒數，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產生。

斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉和21條逆時針旋轉的螺旋的薊的頭部

斐波那契數有時也稱松果數，因為連續的斐波那契數會出現在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會看到。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。

菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數的植物。對于菠蘿，我們可以去數一下它表面上六角形鱗片所形成的螺旋線數。

（斐波那契數列在自然界中的出現是如此地頻繁，這些植物懂得斐波那契數列嗎？）人們深信這不是偶然的。應該并非如此，它們只是按照自然的規律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。

其實生活中很多事情也就是這樣的，一切都有其規律性，冥冥中一切自有安排！是啊！《觸摸未來》中的很多情節似乎離我們現實生活很近很近，因為這就是真實，就是真理，這部美劇正在代表這個時代的人們去探索和更新我們的知識。世界有著無數的關聯，自有它的定數，自有它的規律！只要我們尊重規律，我們就可以避免受傷！

2012年在古代瑪雅歷上是這個紀元的最后一年，世界上有1/7的人都認為是世界末日，其實我想，人類為了自己的目的一直在不斷傷害著我們的地球母親，著或許是古老文化對我們的一種警告如果我們現在學會懂得去尊重地球的規律，我們還可以繼續看見未來升起的陽光！

第三篇：斐波那契數列通項公式的證明

斐波那契數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……它的通項公式為：an?1[(1?5)n?(1?)n]

????1解得???證明：令an??an?1??(an?1??an?2)(n?3)則有?????????1??

??

?

1?21??

??或??

?????

?

1?21??

故有

(1)

an?

1?1?51?1?1?1?an?1?(an?1?an?2)或(2)an?an?1?(an?1?an?2)222222

an?an?1

1?an?11?1?51?5，因為n?3故數列{an?}是以aa?a1為首項，n?12?2221??an?

2(Ⅰ)由（1）得

以

1?1?1?5n?21?5

為公比的等比數列，所以，an?an?1?(a2?a1)?()由a1?a2?1得2222

1?an?12

an?

1?1?n?1anan?11 ?()兩邊同除以(1?5)n得：???221?n1?1?5n?11?5

()()2222

即

an(1?n)2?

?

1?an?1

1?1?n?1

()2

??

anan?11?5移項得1?51?5(n?3)則由

??

221?n1?1?n?1

()()22

1?anan?11?55所以{an得，}是以2??[?]k????

51?51?n?15551?n1?1?5n

()()()1?

2221?a2(1?52)2

?

1?an

為首項為公比的等比數列。故51?1?(2

?)n

a21?n?2

?[?]?()551?521?()2

a251?5n?2，由(1?)2?(2)2化簡可得 得a?(1?5)n{??[?]?()}n

21?52551?21?5

()2

an?

1?5n1?5n)?()](n?3)(*)驗證可得，當n=

1、n=2時，a1?a2?1故斐波那契數列中，225[（*

對于n?N，(*)式都成立。

*

(Ⅱ)同理，由(2)an?1?an?1?1?(an?1?1?an?2)也可得斐波那契數列中，（*)式對于n?N都成立

222

所以，斐波那契數列的通項公式即為：an?

1?5n1?5n)?()] 225[（木魚石整理

第四篇：斐波那契數列遞歸和迭代&循環鏈表隊列初始化實驗報告

第一次實驗實驗報告

班級：2009211307 姓名：呂博文 學號：09211297 分工情況：個人一組 完成日期：11月5日

斐波那契數列遞歸和迭代算法

一、問題描述

分別寫出下列函數的遞歸算法和迭代算法，并求出n=10時的函數值。Fib(n)= n

當n=0或n=1 Fib(n-2)+ Fib(n-1)當n>=2

二、算法思想

用遞歸算法求解時，若輸入的n的值為0或1，根據問題描述中Fib(n)的遞歸定義，算法直接返回n作為輸出結果。當輸入的n的值大于等于2時，根據Fib(n)的遞歸定義，算法將調用自身計算Fib(n-2)和Fib(n-1)的值，然后返回二者的和。

用迭代算法求解時，先初始化Fib(0)和Fib(1)的值，用兩個變量curValue和preValue存儲，curValue存儲較大的數值，preValue存儲較小的數值。若輸入的n的值為0或1，算法直接返回n。若輸入的n的值大于等于2，循環n-1次，每次循環將curValue和preValue的值相加存入curValue中，并用preValue存儲原來curValue的值，為下一次循環做好準備。最終的curValue的值即為Fib(n)的值。

三、設計描述

先提示輸入n的值，然后調用遞歸算法計算Fib(n)，輸出，再調用迭代算法計算Fib(n)，輸出。

遞歸算法

int ShowFib_1(int n){

if(n == 0 || n == 1)//初始條件 return n;

else//不符合初始條件時，用遞推關系計算 return ShowFib_1(n-2)+ ShowFib_1(n-1);}

迭代算法

int ShowFib_2(int n){ preValue = 0;curValue = 1;//設定第一、第二項的值作為初始條件

if(n == 0 || n == 1)//第一、第二項可直接輸出結果 return n;else

{

for(i = 2;i <= n;i++)//其余各項從前往后逐項相加

{ temp = curValue;curValue = curValue + preValue;preValue = temp;

} returncurValue;

} }

四、源程序

#include using namespace std;

int ShowFib_1(int n);//定義遞歸函數 int ShowFib_2(int n);//定義迭代函數

int main(){ int n;

cout<< “N=?:”;cin>> n;

//遞歸算法

cout<< “用遞歸算法計算” <

//迭代算法

cout<< “用迭代算法計算” <

//遞歸算法

int ShowFib_1(int n){

if(n == 0 || n == 1)//判定初始條件 return n;else//

return ShowFib_1(n-2)+ ShowFib_1(n-1);}

//迭代算法

int ShowFib_2(int n){ intpreValue = 0, curValue = 1;//設定第一、第二項的值 if(n == 0 || n == 1)// return n;else

{

for(int i = 2;i <= n;i++)//其余項從前往后逐項相加

{ int temp;temp = curValue;curValue = curValue + preValue;preValue = temp;

} returncurValue;

} }

五、測試結果

N=40時利用遞歸求算時計算機反應速度較慢

N=10時

六、心得體會

在N=40時，等待遞歸算法算出結果時間較長，可見遞歸算法計算斐波那契數列的效率不高。但使用迭代算法則想法，可見雖然迭代算法的思路稍難于遞歸算法，但時間復雜度與空間復雜度均優于遞歸算法。故更應推薦迭代算法。

另外，本題難度低，過程中沒什么問題，故無太多感想。

第二題

一、問題描述

假設以帶頭結點的循環鏈表表示隊列，并且只設一個指針指向隊尾元素結點而不設頭指針，試編寫相應的隊列初始化、入隊列、出隊列和判斷隊列狀態的算法。

利用上述算法完成下面的各操作，并在每一操作后輸出隊列狀態。

1)下列元素逐一入隊：5,7,3,8,55 狀態：5個元素

2)3個元素出隊

狀態：２個元素

3)再２個元素出隊

狀態：隊空

4)再１個元素出隊

狀態：隊空（指示下溢）

二、算法思想

主函數中新建一個隊列的對象，然后調用其成員函數進行隊列的操作。將5,7,3,8,55 入隊→5,7,3出隊→8,55出隊→在隊列為空時出隊 每次操作后均輸出當前隊列狀態。

三、設計描述

class Queue{

//建立一個隊列類 public: Queue(){}

~Queue();

intInit();

//初始化隊列 int Insert(int);

//入隊 int Delete(int&);

//出隊 intQState();

//判斷狀態 private:

typedefstruct node { int data;struct node *next;}Node;Node *rear;};

四、源程序

#include using namespace std;

class Queue { public: Queue(){} ~Queue();

intInit();//初始化隊列

int Insert(int);//入隊

int Delete(int&);//出隊

intQState();//判斷狀態

private: typedefstruct node

{

int data;

struct node *next;}Node;Node *rear;};

int Queue::Init()//初始化 { rear=new Node;if(rear){

rear->data=-1;

rear->next=rear;

return 1;} return 0;}

int Queue::Insert(intelem)//入隊 { Node * newd=new Node;

newd->data=elem;newd->next=rear->next;rear->next=newd;rear=newd;return 1;}

int Queue::Delete(int&elem)//出隊 { if(rear==rear->next)

return 0;

Node *p=rear->next->next;elem=p->data;rear->next->next=p->next;if(p==rear)//刪最后一個

rear=rear->next;free(p);return 1;

}

int Queue::QState()//判定狀態 {

int i=0;Node *q=rear->next;

cout<<“隊列狀態:”<

cout<next->data<<“ ”;

q=q->next;

i++;} if(0==i)

cout<<“空”<

else

cout<

Queue::~Queue()//刪除，如有未釋放空間 { int i;if(rear)

} {

} if(rear->next==rear)free(rear);else { while(rear->next!=rear)

Delete(i);free(rear);} //主函數 int main(){ Queue DQ;intele;DQ.Init();DQ.QState();

cout<<“依次將5,7,3,8,55入隊”<

5,7,3,8,55

cout<<“將5,7,3出隊n”;system(“pause”);

if(DQ.Delete(ele))// 出隊

cout<

if(DQ.Delete(ele))

cout<

if(DQ.Delete(ele))

cout<

DQ.QState();//當前狀態 8,55 cout<<“再將8,55出隊”<

system(“pause”);

if(DQ.Delete(ele))

cout<

cout<

cout<<“下一步將在空的隊列里進行刪除操作”<

if(DQ.Delete(ele))

cout<

} cout<<“隊列已滿，下溢”<

system(“pause”);

五、測試結果

六、心得體會

這個程序的實現關鍵在于類，類對于數據結構可以說是非常重要非常基礎也是必不可少的一個殺手锏。在編這道題的過程中，最初的想法是設計一個程序可以實現入隊、出隊、上溢下溢提示，但考慮到這道題的具體要求，改為了程序自動將題目所要求出入隊的元素進行操作，不過不影響核心算法核心思想的實現。

第五篇：基于信息技術的數學探究課題設計一例——“斐波那契數列”教學課例

桂林師范高等專科學校 蔣曉云 李政

【關鍵詞】斐波那契數列 信息技術探究

【文獻編碼】doi:10.3969/j．issn.0450-9889(B)．2011.02.021 《普通高中數學課程標準》設置了數學建模和數學探究的學習活動。計算機技術和數學軟件的飛速發展使人們對“數學課程與信息技術的整合”有了更深刻的理解，我們可以且應該用計算機“做數學”、“表現數學”，幫助學生學習數學、理解數學、欣賞數學，讓學生在已有的認知結構基礎上去發現和建構新知識。這樣的數學實驗提供了一種全新的數學教學手段和模式，受到了大中小學廣泛的關注。

人民教育出版社和江蘇教育出版社出版的課標教材都介紹了斐波那契數列；人民教育出版社教材中的研究性學習課題“上樓問題的數列模型”是一個與斐波那契數列密切相關的經典名題。我們選擇斐波那契數列作為高中二年級數學探究性學習課題，設計了一節數學探究實驗展示課。

一、教學目標

1．知識方面：使學生理解斐波那契數列，掌握斐波那契數列通項公式的求法，能應用斐波那契數列解決日常生活中的一些問題。

2．能力方面：培養學生的觀察能力、發現能力、解決實際問題的能力和審美意識。3．品質素養方面：使學生體會數學來源于生活的大眾數學思想，培養學生的實踐能力和應用意識。

二、重點難點

重點：斐波那契數列、斐波那契數列的應用。

難點：斐波那契數列通項公式的求法，將實際問題轉化為數學問題。

三、教學手段

多媒體輔助教學。

四、教學過程

（一）創設情境

今天這節課我們來看一個有趣的問題，它最初是由一名意大利數學家斐波那契在13世紀初提出的：兔子出生兩個月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄），假如養了初生的小兔一對，試問第八個月共有多少對兔子（若生下的小兔都不死的話）? 先讓學生自由討論，教師再輔以課件分析。

我們用●表示一對大兔，用〇表示一對小兔，則可逐月統計得到每月的兔子對數：

如此推算下去，我們不難得出下面結果：

∴第八個月共有21對兔子。

如果我們用Un表示第n月后的兔子數，則有： {Un}:1,2,3,5,8,13,2l,?

這個數列被稱為斐波那契數列，我們這節課就來研究這個有趣的數列問題。

（二）提出問題

問題1上述問題，兩年后有多少對兔子？三年后、五年呢？

學生發現繼續用上面這種方法來推算，似乎有些“笨”，而且越往后越復雜。學生自然會想有無簡單的辦法推算。

問題2請觀察斐波那契數列，你發現了什么規律？

學生討論后，不難得出該數列中各項有如下遞推關系： 教師在鼓勵學生的同時指出：在當時，這個簡單的遞推關系卻是在斐氏死后近四百年才由一名叫奇拉特的數學家發現的。

由于這一發現，生小兔問題引起人們的極大興趣。最重要的是，計算這列數給我們帶來一定的方便。我們可以輕而易舉地計算兩年后、三年后、五年后??的兔子對數。

問題3若要計算十年、二十年以后的兔子數，我們就不得不計算它前面所有項的兔子對數，用遞推關系，是不是又出現了繁瑣？這時我們迫切地想知道：若已知月份數，能夠馬上計算出兔子對數嗎？

學生馬上想到要推導斐波那契數列的通項公式。

（三）數學實驗

【數學實驗是指學生按照教師提出的要求，親自用電腦完成相應的實驗，努力去發現與所研究問題相關的一些數據中反映出的規律性，對實驗結果做出清楚的描述，它是整個教學過程中的核心環節。作為中學數學實驗工具的常用數學軟件有幾何畫板、Mathematica、Math-CAD、EXCEL等。

請同學們用Mathematica數學軟件，在電腦上完成相應的實驗：

計算出斐波那契數列的前20項并作出其散點圖，觀察斐波那契數列的圖像，連接相鄰的點作折線圖。

問題4仔細觀察圖像，它與哪一種已知函數圖像很近似？

學生發現：fibonacci[i]隨i增加的速度很快，猜想是按指數式增長。

也有學生進一步取對數后再觀察，可以發現圖像近似一條直線。

（四）歸納猜想

【學生在理解了學習課題后，通過直觀觀察、實驗分析、數學靈感等各種途徑和方式，根據已有的信息或新得到的信息，提出猜想。本環節是整個教學過程中的關鍵環節，是數學實驗的高潮階段，同時也是培養學生合情推理能力的過程。】

學生通過實驗、觀察可得出如下猜想：

猜想1：Un=an(2)并且由遞推關系Un=Un-1+Un-2得出an=an-1+an-2,，即a2=a+l，解出兩根a1=(1+√5)/2, a2=(1-√5)/2 無論Un=a1還是Un=a2n，數列Un都能滿足遞推關系Un=Un-1+Un-2。

但有學生馬上指出，無論a=a1或a=a2，Un=an都不能滿足u1=u2=1。

學生討論后，有學生注意到了任意兩個滿足(1)式中的的數列的線性組合仍能滿足(1)式中的遞推關系，于是提出： 猜想2：Un=cla1n+c2a2n(3)并用用條件u1=u2=1來確定系數C1和C2，即解方程組同學們把這個任務交給Mathematica來完成，解出c1=l／√5，C2=-1／√5。由此得到斐波那契數列的通項公式：

這是一個耐人尋味的等式：等式左邊是正整數，右邊卻是由無理數來表達的。

有學生用實驗驗證了這個斐波那契數列的通項公式。

（五）推理論證

【提出猜想之后，需要通過演繹推理的方法來證明猜想的正確性或通過舉出反例的方法來否定猜想。驗證猜想的過程實際上是培養學生求實的學習態度和嚴謹的邏輯推理能力的過程。這是數學實驗不可缺少的環節，是獲得正確結論的關鍵步驟。】

要求學生用數學歸納法證明通項公式。

（六）拓展應用

斐波那契數列是一個十分有趣的數列，在自然科學和數學領域中有著非常廣泛的應用，如樹枝生長問題、蜜蜂進蜂房問題、上樓方式問題??許許多多的事物中都隱含著斐波那契數。啟發學生善于將這些實際問題轉化成數學問題。

應用1．樹枝生長問題

波蘭數學家史坦因豪斯的名著《數學萬花筒》中有這樣一個問題：一棵樹一年后長出一條新枝，新枝隔一年后成為老枝，老枝便可每年長出一條新枝。如此下去，十年后樹枝將有多少?（由學生回答，這個問題只是斐波那契數列問題的簡單變化）

應用2．蜜蜂進蜂房問題

一次蜜蜂從蜂房A出發，想爬到n號蜂房，但只允許它自左向右（不許反方向倒走），則它爬到各號蜂房的路線數各是多少？

學生探討，老師再進行分析、啟發：

設蜜蜂從蜂房A出發，爬到i(i=1，2，?，n)號蜂房的路線數為ui，我們可將爬到n號蜂房的方式分為兩類：一類是不經過n一l號蜂房而直接從n-2號蜂房進入第n號蜂房，路線數有un-2條；另一類是經過n-l號蜂房進入第n號蜂房，路線數有un-1條，所以un=un-1+un-2(ui=l，u2=2)。

應用3 反問兔子問題

兔子出生兩個月后就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對（一雌一雄），假如養了初生的小兔一對，試問第幾個月可以得到360對兔子？(1)用遞推公式

通過利用循環結構編寫計算機程序，運行后即可得出結果為14。(2)作為斐波那契數列通項公式的應用。

拓展1．上樓方式問題

上樓梯時，若允許每次跨一級或兩級，那么樓梯級數為12時上樓的方式數是多少？（數學競賽題）一般地，樓梯級數為n時上樓的方式數是多少？（這個問題等價于斐波那契數列問題）

若允許每次跨一級或兩級或三級，那么對于樓梯級數為n時的上樓方式數是多少？

（可建立上樓問題遞推數列模型：fn+3=fn+2+fn+1+fn，以及f1=l ,f2=2,f3=4，利用循環結構編寫一個計算機程序計算）。

拓展2．楊輝三角形與斐波那契數列

把楊輝三角形中的數據排列在表格中，自左下至右上斜線相加。直覺告訴我們，和數列可能是斐波那契數列。

學生通過觀察和歸納得出了斐波那契數列通項的組合表達式的猜想：

（其中k=[n/2]是不超過n的最大整數）。這一猜想的發現使整個教學過程又達到了一個高潮，這說明學生已經有了一定的洞察力和數學靈感。

拓展3．黃金分割：(√5-1)/2=0.618 斐波那契數列和黃金分割數有很密切的聯系，到底有哪些聯系呢？

拓展4．斐波那契螺旋

由正方形可以構成一系列的長方形，其邊長為斐波那契數列的連續項。在正方形內繪出一個圓的1/4，就可以得到一條螺線，這樣的螺線被稱為斐波那契螺旋。

展示從網上下載的豐富資源，同時指出：斐波那契螺旋在自然界中隨處可見，如蜘蛛網、向日葵、水流的旋渦、蝸牛殼的螺紋以及星系內星球的分布等。【教學反思】

運用現代教育技術能向學生提供豐富多彩的教學內容，使教學內容形象化、生活化，創設良好的問題情境，拓寬學生的視野，激發學生的學習興趣，增進學生對數學的理解，鼓勵學生探究，最終提高數學教學的質量。

基于計算機信息技術的數學實驗課的引入，給高中數學課注入了活力，更能給予學生一個“完整的數學”。教師使用計算機來輔助完成教學任務，通過數學實驗來降低問題的難度，不用太多的語言，而是讓學生自己動手實驗、觀察發現、猜想驗證、合情推理、得出結論。

本節課教師從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，向他們提供了充分地從事數學活動和交流的機會，在分析和解決生兔子問題、樹枝生長問題、上樓方式問題、蜜蜂進蜂房問題時，學生表現出了極大的熱情和興趣。

新教學模式呼喚高素質的教師，數學教師要能像使用粉筆、黑板、常規教具一樣使用計算機來輔助完成教學任務，充分發揮計算機在數學實驗教學中的優勢。目前教師隊伍可能難以適應發展的要求，要提高教師信息技術應用能力，才能更好地使數學實驗課進人中學數學課堂。