第一篇：RMI原則在高中幾何教學中的應用

RMI原則在高中幾何教學中的應用

廣東省清遠市清城中學高中部 張愛菊 廣西壯族自治區桂林市桂林理工大學理學院 張浩奇

摘 要：本文簡單介紹了RMI原則，從5個方面以5個例子說明了RMI原則在高中幾何教學中的應用，在解題中突出算法思想，以流程圖的形式清楚地表述出解題思想過程。

關鍵詞：RMI原則；高中幾何；教學；流程圖

1.RMI原則簡介

關系(relation)映射(mapping)反演(inversion)原則是一種普遍的工作原則，簡稱為RMI 原則。其基本思想如圖1:

我們知道，一道數學題或一個數學理論，都是由一些已知的數學對象，已知的數學關系和未知的（待定的）數學對象與關系組成的，我們把由這些對象與關系組成的集合稱為關系結構系統。顯然，上面框圖中我們能在與之間建立起某種確定的對應關系，使

中把映象目標，都是一個關系結構系統。如果中的在中有唯一的元素與之對應，且能夠通過數學手續在確定下來，那么，這種對應就稱為可定

確定”。映映射。同樣，“反演”也是一種對應，且滿足“可以被

RMI 原則告訴我們：如果在原象關系結構系統過適當的可定映映射，將

轉化為，并在中不易確定原象目標，我們可以通

中確定映象目標，再通過反演確定。

2.RMI原則在高中幾何教學中的應用

在高中數學教材中，多處運用了RMI原則解決數學問題的思想和方法，所以，教師在教學中可以向學生明確指出這種思想方法，使之作為一種思想方法自覺運用。讓學生知道，我們在解決數學問題時常推來推去缺不是毫無目的的；而是在尋求一種將“未知、復雜、困難”的問題轉化為“已知、簡單、容易”問題的“映射”，使問題轉化后在新的領域中得到解決，再“反轉”回到原來的領域中去。將學生的思想提高到RMI原則的高度來認識。這樣可以減少學生在解決數學問題時的盲目性，提高學生解決數學問題的能力及學習數學的興趣。加深學生對數學本質的認識，強化“數學細胞”，提高數學素質。

根據新課改后高中教材的知識內容及要求，RMI原則解決數學問題的思想和方法在幾何部分顯得尤為突出。下面，本文將介紹RMI原則在高中幾何教學中的具體應用。

2.1.坐標法

在高中幾何中，由于引入了平面直角坐標系、空間直角坐標系、極坐標系和仿射坐標，所以使許多平面幾何問題可以借助于RMI原則將其映射到代數問題求解，然后反演到幾何問題。由于它借助于坐標系這個工具，所以我們把這種RMI原則方法稱為坐標法。其基本思想如圖2：

例1.如圖3，已知半圓的直徑為，為位于半圓之外，而又垂直于的延長線，其垂足為，且，又是半圓上的不同的兩點，且求證：

.分析：采用平面幾何的方法證明本題是較困難的，但使用RMI原則將此幾何問題映射為代數問題，運用代數變換方法先尋求代數結論，再反演為幾何結論，那就容易多了。其解題思路流程圖如圖4：

解：以 為極點，射線

為極軸，建立極坐標系（圖3）。

設 設，則，則半圓方程為：，且，（1），（2）

又由圖3知：，而，所以

（3）

同理得

由（1）（3）得

由（2）（4）得

（4）上面兩式說明，故

2.2.向量法

，是方程

.的兩根，所以按韋達定理有向量作為高中數學的基本內容之一,兼有代數與幾何兩種形式,具有代數的抽象與幾何的直觀,是集“數”和“形”于一身的數學概念。高中數學中許多難度較大的問題,若引入向量來處理,就能使問題簡單化,這為我們的解題注入新的活力，也完美的體現了RMI原則的思想方法。其基本思想方法如圖5：

例2．如圖6所示，直，的角。

，是

分別是的直徑，的直徑。，與兩圓所在的平面均垂

.求：直線

與

所成分析：求異面直線所成角，我們往往是平移其中一條直線與另一條相交，然后得到要求角，然而，如果我們引入向量，根據向量的平移不變性，我們不需輔助線，而直接運用向量知識就能求出兩異面直線所成角，其解題思路流程圖如圖7：

解： 以所示），則有

從而有，因此，為原點，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖6

設異面直線 與所成角為，則

所以，異面直線

2.3.復數向量法

與所成角

在高中數學中，通過復平面，使復數、復平面上的點和復平面內以原點為起點的向量，三者之間建立了一一對應的關系。即如圖8：

我們把一個問題映射為有關復數的和向量的關系結構系統，并據此定映和反演的數學方法稱為復數向量法。其基本思想如圖9：

例3.如圖10，已知點橢圓上運動，以 為邊作一個正，又點

在焦點為

點和

點，長軸長為4的，求

點的軌跡。

分析：這是一個典型的平面解析幾何問題。考慮到

可以由

按順時針方向旋轉而得到，所以把它映射為向量問題，進而映射為復數問題求解，這是一個簡單可行的辦法。其解題思路流程圖如圖11：

解： 第一步，先寫出橢圓的復數方程數復數

第二步，進行向量與復數的運算：

因而有

，點對應復數.又知點

對應復數3.于是向量

對應復數，并假設點，而向量

對應復對應.如此，就把原問題的關系結構系統映射為關于復數與向量的關系結構系統了。，所以

由于 滿足方程

.所以有

.整理得：

第三步，根據復數的幾何意義反演為幾何結論可知，為焦點，長軸長為4的橢圓。

2.4.參數法

高中幾何的許多問題中，若引入參數，會使問題更易于解決。我們把借助于參變數進行映射、反演的方法稱為參數法。其過程的模式如圖12:

點軌跡為以點

與點

.例 4：已知橢圓 求這個橢圓上的點的橫坐標與縱坐標之和的最大值與最 小值。

分析：本題直接求解較困難，若用RMI原則中的參數法將顯得比較容易，其解題思路流程圖如圖13：

解：先設橢圓上的點為，那么問題即為求的最大值與最小值。然而，這樣假設以后，在問題給出的關系結構系統

中，仍然很難求得解答。于是我們引入一個參數，令為，從而把

映射為含的關系結構系統

.于是，將

略加變形，就可把它視為一組斜率是的直線系方程。其中的幾何意義是縱截距，因直線系方程中的橢圓上的點的斜率為 必須是橢圓上的坐標，故求的最大值和最小值就映射為求所過的直線的縱截距的最大值和最小值。

由圖14可知橢圓的兩條切線的縱截距為這組直線系中截距的最大者和最小者。又橢圓的切線方程為的最大值為，最小值為

2.5.立體問題平面化法

立體幾何的基本方法是將立體問題平面化，抽出平面圖形，用平面的語言體現元素間的關系，進而轉化為代數問題，這就是RMI 原則的具體應用，借助平面幾何知識有效解決立體幾何問題。其思想過程如圖15：。

.故的最大者為，最小者為，即

例5.如圖16，在正方形

中，棱長為1，為

上任意一點，設

二面角 的平面角分別為，求的最小值。

分析：本題采用立體幾何平面化來處理將顯得簡易，其解題思路流程圖如圖18：

解：如圖16，設于

如圖17，將則

和，繞著

旋轉到面

上，得到

.和，交，且點

于

在底面的射影為點，，過點

分別作.交，=

=.又，由均值不等式得：

故

3.結語，即的最小值為.根據新課標的要求，在高中幾何教學過程中，重要的是要引導學生如何思考問題和解決問題，如何將所學知識聯系在一起，建立知識框架，并巧妙的用來到解決問題。應用RMI 原則進行高中幾何教學，能挖掘出知識之間的內在聯系，有效地發展學生的思維能力，極大地培養學生解決問題的能力。

本文從五個方面以5個實例來闡述RMI 原則在高中幾何教學中的具體應用。靈活運用上面提到的常見映射和相應的反演方法，對學生學習和掌握高中幾何知識有很大的幫助，同時對培養學生處理問題的能力和創新能力也有很大的幫助。

第二篇：RMI原則在高中幾何教學中的應用

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RMI原則在高中幾何教學中的應用

廣東省清遠市清城中學高中部 張愛菊 廣西壯族自治區桂林市桂林理工大學理學院 張浩奇

摘 要：本文簡單介紹了RMI原則，從5個方面以5個例子說明了RMI原則在高中幾何教學中的應用，在解題中突出算法思想，以流程圖的形式清楚地表述出解題思想過程。

關鍵詞：RMI原則；高中幾何；教學；流程圖

1.RMI原則簡介

關系(relation)映射(mapping)反演(inversion)原則是一種普遍的工作原則，簡稱為RMI 原則。其基本思想如圖1:

我們知道，一道數學題或一個數學理論，都是由一些已知的數學對象，已知的數學關系和未知的（待定的）數學對象與關系組成的，我們把由這些對象與關系組成的集合稱為關系結構系統。顯然，上面框圖中間建立起某種確定的對應關系，使手續在中把映象目標

中的，都是一個關系結構系統。如果我們能在在與

之

中有唯一的元素與之對應，且能夠通過數學

確定下來，那么，這種對應就稱為可定映映射。同樣，“反演”也是一

確定”。種對應，且滿足“可以被

RMI 原則告訴我們：如果在原象關系結構系統的可定映映射，將轉化為，并在中不易確定原象目標，我們可以通過適當

中確定映象目標，再通過反演確定。

2.RMI原則在高中幾何教學中的應用

在高中數學教材中，多處運用了RMI原則解決數學問題的思想和方法，所以，教師在教學中可以向學生明確指出這種思想方法，使之作為一種思想方法自覺運用。讓學生知道，我們在解決數學問題時常推來推去缺不是毫無目的的；而是在尋求一種將“未知、復雜、困難”的問題轉化《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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為“已知、簡單、容易”問題的“映射”，使問題轉化后在新的領域中得到解決，再“反轉”回到原來的領域中去。將學生的思想提高到RMI原則的高度來認識。這樣可以減少學生在解決數學問題時的盲目性，提高學生解決數學問題的能力及學習數學的興趣。加深學生對數學本質的認識，強化“數學細胞”，提高數學素質。

根據新課改后高中教材的知識內容及要求，RMI原則解決數學問題的思想和方法在幾何部分顯得尤為突出。下面，本文將介紹RMI原則在高中幾何教學中的具體應用。

2.1.坐標法

在高中幾何中，由于引入了平面直角坐標系、空間直角坐標系、極坐標系和仿射坐標，所以使許多平面幾何問題可以借助于RMI原則將其映射到代數問題求解，然后反演到幾何問題。由于它借助于坐標系這個工具，所以我們把這種RMI原則方法稱為坐標法。其基本思想如圖2：

例1.如圖3，已知半圓的直徑為，為位于半圓之外，而又垂直于的延長線，其垂足為，且，又是半圓上的不同的兩點，且求證：

.分析：采用平面幾何的方法證明本題是較困難的，但使用RMI原則將此幾何問題映射為代數問題，運用代數變換方法先尋求代數結論，再反演為幾何結論，那就容易多了。其解題思路流程圖如圖4：

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解：以 為極點，射線

為極軸，建立極坐標系（圖3）。

設 設，則，則半圓方程為：，且，（1），（2）

又由圖3知：，而，所以

（3）

同理得

由（1）（3）得

由（2）（4）得

上面兩式說明故，是方程.的兩根，所以按韋達定理有，（4）

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2.2.向量法

向量作為高中數學的基本內容之一,兼有代數與幾何兩種形式,具有代數的抽象與幾何的直觀,是集“數”和“形”于一身的數學概念。高中數學中許多難度較大的問題,若引入向量來處理,就能使問題簡單化,這為我們的解題注入新的活力，也完美的體現了RMI原則的思想方法。其基本思想方法如圖5：

例2．如圖6所示，直，是

分別是的直徑，的直徑。，與兩圓所在的平面均垂

.求：直線

與

所成的角。

分析：求異面直線所成角，我們往往是平移其中一條直線與另一條相交，然后得到要求角，然而，如果我們引入向量，根據向量的平移不變性，我們不需輔助線，而直接運用向量知識就能求出兩異面直線所成角，其解題思路流程圖如圖7：

解： 以為原點，所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系（如圖6所示），《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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則有

從而有，因此，設異面直線 與所成角為，則

所以，異面直線

2.3.復數向量法

與所成角

在高中數學中，通過復平面，使復數、復平面上的點和復平面內以原點為起點的向量，三者之間建立了一一對應的關系。即如圖8：

我們把一個問題映射為有關復數的和向量的關系結構系統，并據此定映和反演的數學方法稱為復數向量法。其基本思想如圖9：

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例3.如圖10，已知點運動，以 為邊作一個正，又點

在焦點為

點和，求

點，長軸長為4的橢圓上點的軌跡。

分析：這是一個典型的平面解析幾何問題。考慮到

可以由

按順時針方向旋轉而得到，所以把它映射為向量問題，進而映射為復數問題求解，這是一個簡單可行的辦法。其解題思路流程圖如圖11：

解： 第一步，先寫出橢圓的復數方程點對應復數.又知點

第二步，進行向量與復數的運算：

因而有，對應復數3.于是向量

對應復數，并假設點，而向量

對應復數，.對應復數如此，就把原問題的關系結構系統映射為關于復數與向量的關系結構系統了。

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所以

由于 滿足方程

.所以有

.整理得：

第三步，根據復數的幾何意義反演為幾何結論可知，點軌跡為以點焦點，長軸長為4的橢圓。

2.4.參數法

高中幾何的許多問題中，若引入參數，會使問題更易于解決。我們把借助于參變數進行映射、反演的方法稱為參數法。其過程的模式如圖12:

與點

為

.例 4：已知橢圓

求這個橢圓上的點的橫坐標與縱坐標之和的最大值與最 小值。

分析：本題直接求解較困難，若用RMI原則中的參數法將顯得比較容易，其解題思路流程圖如圖13：

解：先設橢圓上的點為，那么問題即為求的最大值與最小值。然而，這樣假設以《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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后，在問題給出的關系結構系統

中，仍然很難求得解答。于是我們引入一個參數，令，從而把

映射為含的關系結構系統

.于是，將

略加變形為，就可把它視為一組斜率是系方程中的的斜率為 的直線系方程。其中的幾何意義是縱截距，因直線必須是橢圓上的坐標，故求的最大值和最小值就映射為求所過橢圓上的點的直線的縱截距的最大值和最小值。

由圖14可知橢圓的兩條切線的縱截距為這組直線系中截距的最大者和最小者。又橢圓的切線方程為為，最小值為

2.5.立體問題平面化法

立體幾何的基本方法是將立體問題平面化，抽出平面圖形，用平面的語言體現元素間的關系，進而轉化為代數問題，這就是RMI 原則的具體應用，借助平面幾何知識有效解決立體幾何問題。其思想過程如圖15：。

.故的最大者為，最小者為，即的最大值

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例5.如圖16，在正方形

中，棱長為1，為

上任意一點，設

二面角 的平面角分別為，求的最小值。

分析：本題采用立體幾何平面化來處理將顯得簡易，其解題思路流程圖如圖18：

解：如圖16，設，如圖17，將，和

繞著

旋轉到面

上，得到

.和交于，且點，在底面的射影為點，過點.分別作

交

于，則=

=.又，由均值不等式得：《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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故 3.結語，即的最小值為.根據新課標的要求，在高中幾何教學過程中，重要的是要引導學生如何思考問題和解決問題，如何將所學知識聯系在一起，建立知識框架，并巧妙的用來到解決問題。應用RMI 原則進行高中幾何教學，能挖掘出知識之間的內在聯系，有效地發展學生的思維能力，極大地培養學生解決問題的能力。

本文從五個方面以5個實例來闡述RMI 原則在高中幾何教學中的具體應用。靈活運用上面提到的常見映射和相應的反演方法，對學生學習和掌握高中幾何知識有很大的幫助，同時對培養學生處理問題的能力和創新能力也有很大的幫助。

參考文獻：

①王亞輝.數學方法論[M].北京：北京大學出版社，2007.②史久一，朱梧槚.化歸與歸納〃類比〃聯想[M].大連：大連理工大學出版社，2008.③徐遠東.關系映射反演法在高中數學中的應用[J].林區教學，2008,138（9）：117-120.④韓俊.淺議中學數學中的RMI原則[J].高中數學教與學，2010，第2期：4-6.注：

本文第一作者: 張愛菊，女，27歲，中級教師，研究方向：中學數學教育，聯系地址：廣東省清遠市清城區清城中學.多年從事高三數學教學，獲高中數學競賽優秀教練員稱號，多次獲市、區教學論文獎.基金項目: 廣西教育廳基金項目（200911LX137）；桂林理工大學科研啟動項目.The Application of RMI Principle for Teaching of

High School Geometry

ZHANG Ai-ju , ZHANG Hao-qi

(1.Qingcheng School, Qingyuan Guangdong 511515,China;

2.College of Science, Guilin University of Technology, Guilin Guangxi 541004, China)

2《中學數學信息網》系列資料 www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

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Abstract：This article briefly introduces the RMI principle, describes the application of RMI principle for teaching of high school geometry by five examples, clearly expresses the process of problem-solving in flow chart.Key words: RMI principle;high school geometry;teaching;flow chart.www.tmdps.cn 版權所有@《中學數學信息網》

第三篇：幾何畫板在數學教學中的應用

幾何畫板在數學教學中的應用

正安縣楊興中學：秦月

【摘要】在信息技術突飛猛進的今天，傳統的教學方式已不能適應現代教育教學的要求。尤其是在數學教學這樣一個比較抽象的學科教學中顯得尤為突出，那么如何利用現代信息技術為現在的數學教學服務呢！幾何畫板是當今數學教師運用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個方面作介紹幾何畫板在數學教學中的應用：幾何畫板在一次函數教學中的應用、在軸對稱圖形教學中的應用、在勾股定理教學中的應用、在求解實際問題中的簡單應用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關鍵詞】幾何畫板 函數 參數 動點

在傳統的數學教學中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進行教學。直到今天，尤其是在我們落后鄉村學校，由于各種各樣的原因，這種教學方式依然主宰當前的數學課堂，顯然這種方式已經不能適應當前的教育發展大趨勢，如何改變這種現況，那就得借助現代信息技術，找一個適合數學教學的平臺。縱觀現在常用的軟件，幾何畫板具有操作簡單、功能強大的特點，是廣大數學教師進行現代化數學教學理想工具。在現代的數學教學中已發揮著越來越重要的作用。

幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動態地保持給定的幾何關系，便于學生自行動手在變化的圖形中發現其不變的幾何規律，從而打破傳統純理論數學教學的局面，成為提倡數學實驗，培養學生創新能力的新新工具。把它和數學教學進行有機地整合，能為數學課堂教學營造一種動態的有規律的數學教學新環境。

一、在一次函數教學中的應用

在幾何畫板中，可以新建參數（即變量），然后在函數中進行引用并繪制函數圖像，通過改變參數的值來觀察函數圖像的變化，這在傳統教學中無法辦到。

如在講解一次函數y=kx+b的圖像一節中，如何向學生說明函數圖像與參數“K”、“b”的相互關系一直是傳統教學中的重點和難點，學生難以理解，教師也難以用語言文字表達清楚；在作圖時，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫出多個不同的函數圖像，再進行觀察比較。整個過程十分繁瑣，且費時費力。教師和學生的主要精力放在了重復的計算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結論上。整個過程顯得不夠直觀，重點不突出，學生理解起來也很難。然而在幾何畫板中，只需改變參數“K”、“b”的值，函數圖像便可一目了然。如圖：

通過不斷改變參數“k”、“b”的值，從而得到不同的函數圖像，引導學生觀察一次函數圖像變化的規律。

①當k>0時，函數值隨x的增大而增大；②當k<0時，函數值隨x的增大而減小；③當b>0時，函數圖像相對于b=0時向上移動；④當b<0時，函數圖像相對于b=0時向下移動；⑤當|k|越大時，函數圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當|k|越小時，函數圖像變化越慢，圖像越平滑；

經過我們改變一次函數的參數“K”、“b”的值，函數的圖像會隨之發生變化，這樣學生就很容易理解函數圖像變化的規律，從而使學生從更深層次理解一次函數的本質。

二、在軸對稱圖形教學中的應用

幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應出這些特點。

在講解軸對稱圖形的教學中，可充分利用幾何畫板中提供的圖形變換功能進行講解。首先，畫一個任意三角形△ABC，然后在適當的位置畫一條線段MN，并把雙擊它即可將其標識為鏡面，這時就可以作△ABC關于對稱軸MN的軸對稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關于MN軸對稱。任意拖動△ABC的頂點、邊、對稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發生變化，但兩個圖形始終關于對稱軸MN對稱。同時可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對折后完全重合。

三、在勾股定理教學中的應用

幾何畫板能動態地保持平面圖形中給定的幾何關系，利用這一特點便于在變化的圖形中發現恒定不變的幾何規律。如平行、垂直，中點，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學中如果能很好地發揮幾何畫板中的這些特性，就能為數學教學增輝添色。如在勾股定理的教學中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯系。要弄清楚它們之間的關系，借助于幾何畫板，則一目了然。

在幾何畫板里，先畫一個直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發現，AB和AC、BC的長度已經知道，觀察AB2與AC2+BC2的關系：

如果拖動頂點A（從a圖到b圖），我們通過改變直角三角形邊的長度，從中觀察邊的平方的關系，發現這樣一個定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時，傳統的教學方法只能教師在黑板上演算過程，而用幾何畫板更容易發現其中的不變的規律。

首先，在幾何畫板中構造一個正方形，然后將經過一個頂點作直線，再通過另一相鄰的頂點作這條直線的垂線，得到一個交點。用同樣的方法，可得出另外幾個關鍵點，再將這幾條垂線隱藏，連接對應的點，即可得到下面這個圖形。分別度量AB、AF、FB的長度，最后用不同的方法來計算這個正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個直角三角形和中間的那個小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個正方形的面積，注意觀察得到的結果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來觀察這三種計算方法得到的結果是否一致，如下圖：

四、在求解實際問題中的應用

利用幾何畫板不但可以給幾何問題以準確生動的表達，成為教師教學上的得力“助手”，還可為教師和學生提供幾何探索和發現的一個良好環境，動態是幾何畫板最主要的特點，也正是基于這一點，許多用一般方法不易解決的問題，用它解決起來就要容易得多，現在舉例說明。

如圖，已知二次函數y=ax2+bx+3的圖像經過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C。

（1）求頂點M及點C的坐標；

（2）若直線y=kx+d經過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點P是這個二次函數的對稱軸上一動點，請探索：是否存在這樣的點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問都比較容易解決，第（3）問就是關于動點的，比較抽象，然而運用幾何畫板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因為二次函數經過點A、B、N，且三個點的坐標都已知，可解得二次函數的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經知道C、M兩點的坐標，直線y=kx+d又經過C、M兩個點，可得直線的解析式為y=x+3。D點是直線與X軸的交點，可得D點的坐標為（-3，0），又因為A點的坐標為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點，其坐標都已知，且縱坐標都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點的坐標可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個平行四邊形。

（3）這個問題比較抽象，因為點P是動點。我們現在借助幾何畫板對這種情況進行分析。因為A、B兩點是二次函數與X軸的交點，自然關于函數的對稱軸對稱，兩點到對稱軸上任意一點的距離相等。故以對稱軸上的點為圓心作圓，經過其中一個交點，必定經過另外一個點，因此考慮一個點就行了。

先在二次函數的對稱軸上任找一點P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動P點，看看這個圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒有交點；圖b中，P點離X軸較遠，所作圓與直線CD相交，有兩個交點。試想：圖a中的P點向上移動的到達圖b所在的位置過程中，中間肯定有一個點讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應該怎樣求P點的坐標呢！看右圖：

過P點作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實際上PK這時是圓P的半徑。即PK=PA時，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個點的坐標都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因為：AP2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點的坐標為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細心，把P點再上下拖動，會發現在X軸的下方還在一個點能使點圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點在X軸的下方，所以P點的坐標為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點P在對稱軸上有兩個點： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運用幾何畫板給我們在解決動點問題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發現的問題，在幾何畫板上只要輕輕拖動鼠標就很容易發現，從而有效的避免了漏解情況的發生。

幾何畫板在數學教學中應用遠遠不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費時的，但在幾何畫板中可用鼠標一點完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多實踐，不斷與數學教學相結合，相信就能使它在數學教學中發揮的作用。

【參考文獻】

[1] 田延斌.《《幾何畫板》教學實例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫板》在數學教學中的妙用》.

第四篇：幾何畫板在現代教學中的應用

幾何畫板在現代教學中的應用

幾何畫板5.06是幾何畫板的最新版本，備受數學老師青睞。眾多數學老師表示幾何畫板不僅能夠幫助他們制作出生動的幾何課件，更加有助于學生理解教學內容，并在長期的教學中提高學生的數學理解能力。本教程將向大家介紹幾何在現代教學中的應用。

幾何畫板在教學中的應用示例

一、幾何畫板在低年級的應用

低年級的學生很容易被幾何畫板生動的特性所吸引，從而可以非常迅速地掌握這些基礎技巧。幾何畫板可以幫助學生們在案例中快速地學習和培養數形轉換的能力，從而更深刻的了解分數計算、數據統計和代數學。

二、幾何畫板在代數學中的應用

有些數學問題，雖然可以通過代數演算得到答案，但是還是會覺得不夠直觀，給人知其然而不知其所以然的感覺。這時，我們可以借助幾何畫板，畫出數學圖形，從幾何的角度審視原題，幫助學生更直觀地理解原題中的數學本質。

三、幾何畫板在幾何學中的應用

利用幾何畫板可以畫出非常精確的圖形，必要時還可以將圖像“放大”，獲得更精細的圖像，幫助學生發現解答中的疏忽或錯誤，并引導學生進一步思考錯解 的原因。學生還可以通過直接操縱幾何圖形的構造、變換、測量和動畫進行深入的概念理解并提高學習信心，還可以有效地促進學生之間的學習交流及他們的推理和 證明的能力。

四、幾何畫板在高等數學中應用 幾何畫板不僅為數學實驗提供可操作的模型，而且為數學猜想提供驗證的工具。如學生們可以使用幾何畫板繪制以幾何圖形為代表的復雜圖形、為微積分等創 建動態模型。除了強大的函數繪圖功能，了解幾何畫板那高級教程的學生還可以使用自定義工具、基因座、自定義轉換、數字和幾何迭代等功能來構建或編輯數學模 型。

綜上所述，可見在現代教學中幾何畫板的應用還是比較廣泛，是全國初高中人教版教材指定軟件。幾何畫板5.06版本在之前的版本基礎上進行了大量的改進，可以為廣大用戶帶來更加高效便捷的使用體驗。

第五篇：淺談幾何畫板在教學中的應用

淺談《幾何畫板》在數學教學中的應用

常寧市職業中專 譚新芽

對于數學科學來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數學思維系統的發展來說，形象思維是最早出現的，并在數學研究和教學中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學生如果根本不具備數學想象力，要把數學學好那也是不可能的。正如前蘇聯著名數學家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數學家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化。”因此，隨著計算機多媒體的出現和飛速發展，在網絡技術廣泛應用于各個領域的同時，也給學校教育帶來了一場深刻的變革──用計算機輔助教學，改善人們的認知環境──越來越受到重視。從國外引進的教育軟件《幾何畫板》以其學習入門容易和操作簡單的優點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內許多數學教師看好，并已成為制作中學數學課件的主要創作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數學教學中有哪些應用呢？作為一名高中數學教師筆者就此談幾點體會：

一、《幾何畫板》在高中代數教學中的應用

函數”是中學數學中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分；同時，函數是以運動變化的觀點對現實世界數量關系的一種刻劃，這又決定了它是對學生進行素質教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數缺形少直觀，形缺數難入微。”函數的兩種表達方式──解析式和圖象──之間常常需要對照（如研究函數的單調性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數函數和對數函數圖象之間的關系等）。為了解決數形結合的問題，在有關函數的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據函數的解析式快速作出函數的圖象，并且可以在同一個坐標系中作出多個函數的圖象，如在同一個直角坐標系中作出函數y?2x和y??12?的圖象，比較圖象的形狀和位置，歸納指數函數的性質；還可以作出含有若干參數的函數圖象，當參數變化時函數圖象也相應地變化，如在講函數y=Asin(ωx+φ)的圖象時，傳統教學只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數圖象之間的關系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數作圖（如圖1），當拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變三角函數的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學時既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質、定理和解法進行直觀分析──由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2（a、b∈R+）等；再比如，講解數列的極限的概念時，作出數列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學中的應用

立體幾何是在學生已有的平面圖形知識的基礎上討論空間圖形的性質；它所用的研究方法是以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關系來研究圖形的性質。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象的能力及較強的平面與空間圖形的轉化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難。而應用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關系和度量關系惟妙惟肖，使學生x 2 從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當拖動點A時，點A所在的半平面也隨之轉動，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉動起來，使學生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關系由棱錐的性質得出棱臺的性質的同時，讓學生欣賞到數學的美，激發學生學習數學的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應地變動，直觀美麗的畫面在學生學得知識的同時，給人以美的感受，創建一個輕松、樂學的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學中的應用

平面解析幾何是用代數方法來研究幾何問題的一門數學學科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據已知條件，選擇適當的坐標系，借助形和數的對應關系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉化為數來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質，把數的研究轉化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應關系比較抽象，學生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數方程、極坐標方程）的曲線；能對動態的對象進行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應的看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手──如圖7，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師用鼠標拖動點B（即改變線

段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學生開始謹慎起來并認真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時）的情形。經過這個過程，學生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進行數學教學，通過具體的感性的信息呈現，能給學生留下更為深刻的印象，使學生不是把數學作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。這樣，既能激發學生的情感、培養學生的興趣，又能大大提高課堂效率。