第一篇：初一數學競賽系列講座6

初一數學競賽系列講座(6)

整式的恒等變形

一、知識要點

1、整式的恒等變形

把一個整式通過運算變換成另一個與它恒等的整式叫做整式的恒等變形

2、整式的四則運算

整式的四則運算是指整式的加、減、乘、除，熟練掌握整式的四則運算，善于將一個整式變換成另一個與它恒等的整式，可以解決許多復雜的代數問題，是進一步學習數學的基礎。

3、乘法公式

乘法公式是進行整式恒等變形的重要工具，最常用的乘法公式有以下幾條：

①(a+b)(a-b)=a2-b

2②(a±b)2=a2±2ab+b2

③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b

3④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

⑤(a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca ⑥(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= a3+b3+c3-3abc ⑦(a±b)3= a3±3a2b+3a b2±b3

4、整式的整除

如果一個整式除以另一個整式的余式為零，就說這個整式能被另一個整式整除，也可說除式能整除被除式。

5、余數定理

多項式f?x?除以(x-a)所得的余數等于f?a?。特別地f?a?=0時，多項式f?x?能被(x-a)整除

二、例題精講

例1 在數1，2，3，…，1998前添符號“+”和“-”并依次運算，所得可能的最小非負數是多少？

分析 要得最小非負數，必須通過合理的添符號來產生盡可能多的“0”

1998??1?1998??999?19992解 因1+2+3+…+1998=是一個奇數，又在1，2，3，…，1998前添符號“+”和“-”，并不改變其代數和的奇偶數，故所得最小非負數不會小于1。

先考慮四個連續的自然數n、n+

1、n+

2、n+3之間如何添符號，使其代數和最小。

很明顯 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 所以我們將1，2，3，…，1998中每相鄰四個分成一組，再按上述方法添符號，即(-1+2)+(3-4-5+6)+(7-8-9+10)+…+(1995-1996-1997+1998)=-1+2=1 故所求最小的非負數是1。

例2 計算(2x3-x+6)?(3x2+5x-2)分析 計算整式的乘法時，先逐項相乘(注意不重不漏)，再合并同類項，然后將所得的多項式按字母的降冪排列。

解法1 原式=6x5+10x4-4x3-3x3-5x2+2x+18x2+30x-12 =6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12 評注：對于項數多、次數高的整式乘法，可用分離系數法計算，用分離系數法計算時，多項式要按某一字母降冪排列，如遇缺項，用零補上。

解法2 2+0-1+6 ?)3+5-2 6+0-3+18 10+0-5+30-4+0+2-12 6+10-7+13+32-12 所以，原式=6x5+10x4-7x3+13x2+32x-12

例3 求(2x6-3x5+4x4-7x3+2x-5)(3x5-x3+2x2+3x-8)展開式中x8的系數

解 x8的系數=2?2+(-3)?(-1)+(-7)?3=-14 評注：只要求x8的系數，并不需要把展開式全部展開。

例4計算(3x4-5x3+x2+2)?(x2+3)分析 整式除法可用豎式進行

解 3 x2 – 5x5x3 + x2 + 0x + 2 3x4 +9 x2 5x3-15x-8 x2+15x+ 2-8 x2-24 15x+ 26 所以，商式為3 x2 – 5x – 8，余式為15x+ 26 評注：用豎式進行整式除法要注意：

(1)(1)

被除式和除式要按同一字母的降冪排列；(2)(2)

如被除式和除式中有缺項，要留有空位；(3)(3)

余式的次數要低于除式的次數；

(4)(4)

被除式、除式、商式、余式之間的關系是：被除式=除式?商式+余式

例5計算(2x5-15x3+10x2-9)?(x+3)分析 對于除式是一次項系數為1的一次多項式的整式除法可用綜合除法進行。用綜合除法進行計算，首先要將除式中的常數項改變符號，并用加法計算對應項的系數。解-3 2 0-15 10 0-9-6 18-9-3 9 2-6 3 1-3 0 ∴ 商式=2x 4-6x3+3x2+x-3 評注：用綜合除法進行整式除法要注意：

(1)(1)

被除式按x的降冪排列好，依次寫出各項的系數，遇到缺項，必須用0補上；

(2)(2)

把除式x-a的常數項的相反數a寫在各項系數的左邊，彼此用豎線隔開；

(3)(3)

下移第一個系數作為第三行的第一個數，用它乘以a，加上第二個系數，得到第三行的第二個數，再把這個數乘以a，加上第三個系數，就得到第三行的第三個數，…，依次進行運算，最后一個數即為余數，把它用豎線隔開，線外就是商式的多項式系數。

(4)(4)

如果除式是一次式，但一次項系數不是1，則應把它化到1才能用綜合除法。

例6已知x+y=-3，x3+y3=-18，求x7+y7的值

4分析：先通過x+y=-3，x3+y3=-18，求出xy，再逐步求出x2+y2、x +y 4，最后求出x7+y7的值

解 由x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)得-18=(-3)3-3 xy?(-3)∴xy=1 又由 x2+y2=(x+y)2-2xy 得 x2+y2=(-3)2-2?1=7 而x 4+y 4=(x2+y2)2-2 x2y2=72-2=47 ∴(-18)?47=(x3+y3)(x 4+y 4)= x7+y7+ x3 y3(x+y)= x7+y7-3 從而x7+y7=-843 評注：本題充分利用x+y和xy，與x2+y2、x 4+y

4、x7+y7的關系來解題。

例7 求證：(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3能被2x2+2y2整除

分析 如果將(x2-xy+y2)3與(x2+xy+y2)3直接展開，太繁，可將兩個式子整體處理，分別看作a和b，然后利用乘法公式展開，可將計算簡化。

解(x2-xy+y2)3+(x2+xy+y2)3 =[(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)]3(x2+xy+y2)[(x2-xy+y2)+(x2+xy+y2)] =(2x2+2y2)3-3?(x2-xy+y2)(x2+xy+y2)(2x2+2y2)所以原式能被2x2+2y2整除。

評注：本題采用的是整體處理思想。

例8 試求x285-x83+x71+x9-x3+x被x-1除所得的余數。

解法1 x285-x83+x71+x9-x3+x=(x285-1)–(x83-1)+(x71-1)+(x9-1)–(x3-1)+(x-1)+2 因為x285-

1、x83-

1、x71-

1、x9-

1、x3-

1、x-1均可被x-1整除，所以，原式被x-1除所得的余數是2。

解法2 由余數定理，余數等于x285-x83+x71+x9-x3+x在x=1時值，即

3?(x2-xy+y2)余數=1285-183+171+19-13+1=2 評注：本題兩種解法中，解法1是通過恒等變形，將原式中能被x-1整除的部分分解出，剩下的就是余數。解法2是通過余數定理來求余數，這是這類問題的通法，要熟練掌握。

例9 研究8486，98?92，…的簡便運算，并請你用整式運算形式表示這一簡便運算規律。

分析：觀察8486，98?92，…可得：它們的十位數字特點是8=8，9=9；而它們的個位數字和為4+6=10，8+2=10。則可設十位上的數字為a，個位上的數字為b、c，且b+c=10 解：根據上面的分析，設十位上的數字為a，個位上的數字為b、c，且b+c=10 則(10a+b)(10a+c)=100a2+10a(b+c)+bc =100a2+100a+bc =100a(a+1)+bc 評注：以后，凡是遇到上述類型的運算均可用此結果進行簡便運算。如72?78=100?7?8+2?8=5600+16=5616

例10 已知關于x的三次多項式除以x2-1時，余式是2x-5；除以x2-4時，余式是-3x+4，求這個三次多項式。

分析：利用被除式=除式?商式+余式的關系來解。

解：設這個三次多項式為ax3+bx2+cx+d(a≠0)，因為這個三次多項式分別除以x2-1和x2-4，故可設兩個商式是：ax+m和ax+n，由題意得：

ax3+bx2+cx+d=(x2-1)(ax+m)+2x-5 ① ax3+bx2+cx+d=(x2-4)(ax+n)+(-3x+4)②

在①式中分別取x=1,-1，得a+b+c+d=-3，-a+b-c+d=-7 在②式中分別取x=2,-2，得8a+4b+2c+d=-2，-8a+4b-2c+d= 10

511a??, b?3，c?，d??833 由上面四式解得： 5311x?3x2?x?83 所以這個三次多項式為3

?評注：對于求多項式的系數問題常常使用待定系數法。

三、三、鞏固練習選擇題

1、若m=10x3-6x2+5x-4，n=2+9x3+4x-2x2，則19x3-8x2+9x-2等于 A、m+2n B、m-n C、3m-2n D、m+n

2、如果(a+b-x)2的結果中不含有x的一次項，則只要a、b滿足()A、a=b B、a=0或b=0 C、a=-b D、以上答案都不對

3、若m2=m+1，n2=n+1，且m?n，則m5+n5的值為()A、5 B、7 C、9 D、11

4、已知x2-6x+1=0，則

x2?1x2的值為()A、32 B、33 C、34 D、35 a3?b3?c3?3abc?3a?b?c5、已知，則(a-b)2+(b-c)2+(a-b)(b-c)的值為()A、1 B、2 C、3 D、4

6、設f?x?=x2+mx+n(m,n均為整數)既是多項式x4+6x2+25的因式，又是多項式3x4+4x2+28x+5的因式，則m和n的值分別是()A、m=2，n=5 B、m=-2，n=5 C、m=2，n=-5 D、m=-2，n=-5 填空題

abcabbccaabc???????abcabbccaabc7、設a、b、c是非零實數，則

8、設(ax3-x+6)?(3x2+5x+b)=6x5+10x 4-7x3+13x2+32x-12，則a= , b=

9、x+2除x4-x3+3x2-10所得的余數是

10、若x+y-2是整式x2+axy+by2-5x+y+6的一個因式，則a+b=

11、(21+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1=

c?a2?b?c??

12、已知a、b、c滿足2?a?b?c?a，則a+b-2c的值為

解答題

13、設x、y、z都是整數，且11整除7x+2y-5z，求證：11整除3x-7y+12z

14、計算：(4x4-6x2+2)(5x3-2x2+x-1)

15、計算：(8x 2-2x+x 4-14)?(x+1)aa2?6，試求42a?a?1a?a2?1的值。

16、已知

17、已知x、y、z滿足條件

?x?y?z?3?222?x?y?z?29?x3?y3?z3?45? 求xyz及x 4+y 4+z 4的值

18、當a、b為何值時，多項式2x4+6x3-3x2-ax+b能被多項式2x2-4x+1整除？

19、設P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，a、b、c、d為常數，P(1)=1993，1?P?11??P??7??4P(2)=3986，P(3)=5979。試計算

20、一個關于x的二次多項式f?x?，它被(x-1)除余2，它被(x-3)除余28，它還可被(x+1)整除，求f?x?

第二篇：初一數學測試題6

完全平方差公式的應用探究

例題.利用公式巧算：

（1）(3a?2)2?(3a?2)2；（2）1002

99?101?1；

（3）(x4?y4)(x2?y2)(x?y)(x?y)

1.(4x2?5y)需乘以下列哪個式子，才能使用平方差公式進行計算()

A.?4x2?5yB.?4x2?5yC.(4x2?5y)2D.2.如果x2?y2?4，那么(x?y)2(x?y)2=。

3.（1）1002?992?982?972???22?1

（2）(2?1)(22?1)(24?1)(28?1)(216?1)(232?1)

4.求(1?1111

22)(1?32)(1?42)(1?52)(1?162)的值。(4x?5y)2

第三篇：初一下數學競賽

初一下數學競賽

班級姓名得分 初一（3）班: 梁健紅75 初一（3）班：閆世奇73 初一（5）班：王語林69 初一（3）班;林凱67 初一（3）班：林雨昕59 初一（9）班：王琪雯54 初一（5）班：楊舵初一（3）班: 李佳輝 初一（5）班: 張璐初一（3）班：張婷初一（5）班: 吳韞初一（1）班：王麗綺 初一（5）班：林燕初一（5）班：陳崢初一（5）班：戴柯迪 初一（3）班：呂嘉睿 初一（3）班;任哲遠初一（5）班：章鳴初一（3）班：朱劉濤 初一（5）班：劉霞初一（5）班：劉思媛5450 50 4949 48 48 47 47 4747 46 45 45 45

第四篇：五年級數學競賽試卷(6)

五年級數學競賽試卷（6）

一、填空： 1、1993年的元旦是星期五，那么2001年的六月一日是星期()。

2、32001除以4的余數是()。

3、有一串數1、7、13、19、25、……這列數的第1000個數是()。

4、循環小數0.285714，它的小數點后的第2001位數字是()。

5、將52個乒乓球放在9個盒子里，每個盒子放的乒乓球個數都不相同，每個盒子至少放了一個乒乓球，那么最多的一個盒子放了()個乒乓球。

6、池塘里的睡蓮的面積每天長大一倍，若經17天可以長滿整個池塘，()天，這些睡蓮能長滿半個池塘。

7、小明看一本書，第一天看了一半又10頁，第二天看了剩下的一半又10頁，第三天看了剩下的一半又10頁，還剩下10頁，這本書有()頁。

8、一個湖泊周長18千米，沿湖泊每隔30米栽一棵柳樹，每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹，湖邊栽了()棵柳樹和()棵桃樹。

9、有三個數a、b、c，要求計算a－（b－c），小明把算成a－b－c，結果少56，c＝()10、3＋33＋333＋……＋3333……333和的末三位字是()。

1995個3

二、計算：用簡便方法計算。1、10－9.8－9.6－9.4－9.2－……－0.8－0.6－0.4－0.2 2、4.23×7.12＋42.3×0.398－0.432×11 3、80－9－0.9－0.09－0.009－0.0009

4、已知a＝0.000……0025，b＝0.000……008

2001個0

2001個0 求a×b，a÷b

三、應用題：

1、一張試卷26個題目，答對一題給8分，答錯一題扣5分，有一位考生雖然答完了全部題目，但所得總分為0分，這位考生答對多少題？

2、五年級學生搬磚，有12人每人各搬7塊，有20人每人各搬6塊，其余每人搬5塊，這樣還剩下148塊，如果有30人每人各搬8塊，有8人每人搬9塊，其余每人搬10塊，這樣就余下20塊，五年級有學生多少人？共有多少塊磚？

3、甲、乙兩個工程隊，甲隊人數是乙隊人數的2倍，甲隊調出9人，乙隊調入18人后，甲隊人數是乙隊人數的一半，原來甲隊有多少人？

4、一輛馬車每小時行8.4千米，趕車人為了保持馬的體力，每行50分鐘，就停下來休息10分鐘，照這樣計算，從甲地到乙地共70千米，共需多少小時？

5、今年兄弟倆年齡之和55歲，曾經有一年兄的歲數與今年弟的歲數相同，那時，兄的歲數恰好是弟的歲數的2倍，兄今年幾歲？

6、甲班51人，乙班49人，某次考試兩班全體同學的平均成績是81分，乙班的平均成績要比甲班平均成績高7分，乙班的平均成績是多少分？

7、一條小路圍成邊長100米的正方形。甲乙兩人同時從A點出發，甲逆時針每分鐘行58米，乙順時針每分鐘行42米，當兩人在CD邊上第一次相遇時，甲行多了多少米？

A乙→

B 甲 ↓

D

C8、甲乙兩車同時從A地出發去B地，甲車每小時行50千米，乙車每小時行45千米，途中甲車停車3小時，結果甲車比乙車晚一小時到達B地。AB兩地之間的距離幾千米？

9、為了迎接建國45周年，某街道從東往西按照5面紅旗，三面黃旗，四面綠旗，兩面粉旗的規律排列，共懸掛1995面彩旗，你能算出從西往東第100面彩旗的顏色嗎？

10、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果分給大班小朋友，每人5個缺6個，如果分給小班小朋友，每人3個余4個，已知大班比小班少2個小朋友，問一筐蘋果共幾個？

第五篇：初一下數學競賽（精選）

2017-2018學下學期臨川X中初一數學競賽試卷

考試時間：120分鐘

命題人：

一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．計算正確的是（）

A．（﹣5）=0 B．x+x=x C．（﹣ab）=﹣ab D．2a?a=2a 2．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）0

472

3246

2﹣1A． B． C． D．

3．如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．△ABC的三條中線的交點 B．△ABC三條角平分線的交點 C．△ABC三條高所在直線的交點 D．△ABC三邊的中垂線的交點

4．如圖，下列4個三角形中，均有AB=AC，則經過三角形的一個頂點的一條直線能夠將這個三角形分成兩個小等腰三角形的是（）

A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

5．．已知a，b，c是三角形的三邊，那么代數式a﹣2ab+b﹣c的值（）A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能確定 6．如圖，已知每個小方格的邊長為1，A，B兩點都在小方格的格點（頂點）上，請在圖中找一個格點C，使△ABC是以AB為腰的等腰三角形，這樣的格點C有（）

A．4個 B．5個 C．6個 D．7

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．若5x﹣3y﹣1=0，則2÷2÷2= ．

5x

3y

321 8．如圖，將長方形ABCD沿BD翻折，點C落在P點處，連結AP．若∠ABP=26°，那么 ∠APB= ．

第8題圖 第9題圖 第10題圖 第11題圖 9．如上圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AD平分∠CAB交BC于D點，E，F分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為

10．如上圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=m°，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為 度． 11．如上圖，∠MON=30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均為等邊三角形．若OA1=1，則△AnBnAn+1的邊長為 ． 12．如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這個三角形為特異三角形．若△ABC是特異三角形，∠A=30°，∠B為鈍角，則∠B的度數可為 ．

三、（本大題共3小題，每小題6分，共18分）

13．先化簡，再求值：2b+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b），其中a=﹣3，b=．

14．“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的．如圖，∠AOB為要三等分的任意角，圖中AC，OB兩滑塊可在角的兩邊內滑動，始終保持有OA=OC=PC． 求∠APB=∠AOB．

15．僅用無刻度的直尺作出符合下列要求的圖形． ．．．（1）如圖甲，在射線OP、OQ上已截取OA=OB，OE=OF．試過點O作射線OM，使得OM將∠POQ平分；

（2）如圖乙，在射線OP、OQ、OR上已截取OA=OB=OC，OE=OF=OG（其中OP、OR在同一根直線上）．試過點O作一對射線OM、ON，使得OM⊥ON．

2四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

16.如圖，點P是∠AOB外的一點，點Q是點P關于OA的對稱點，點R是點P關于OB的對稱點，直線QR分別交∠AOB兩邊OA，OB于點M，N，連結PM，PN，如果∠PMO=30°，∠PNO=70°，求∠QPN的度數．

17．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，∠B=50°，∠BAD=25°，將△ABD沿AD折疊得到△AED，AE與BC交于點F．（1）求∠AFC的度數；（2）求∠EDF的度數．

18．如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF，BD=CE．（1）求△DEF是等腰三角形；（2）當∠A=40°時，求∠DEF的度數．

五、（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

19．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E．

（1）當∠BDA=115°時，∠BAD= °；點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；

（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀也在改變，請直接寫出當∠BDA大小為多少度時，△ADE是一個等腰三角形．

20．在長方形紙片ABCD中，點E、F、H分別是邊AB、BC、AD上的三點，連結EF、FH．（1）將長方形紙片的ABCD按如圖①所示的方式折疊，FE、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′、D′，點B′在F C′上，則∠EFH的度數為 ；（2）將長方形紙片的ABCD按如圖②所示的方式折疊，FE、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′、D′（B′、C′的位置如圖所示），若∠B′FC′=16°，求∠EFH的度數；（3）將長方形紙片的ABCD按如圖③所示的方式折疊，FE、FH為折痕，點B、C、D折疊后的對應點分別為B′、C′、D′（B′、C′的位置如圖所示），若∠EFH=β，請求出∠B′FC′的度數．

21．如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點E，l1與l2相交于點O，連結0B，OC，若△ADE的周長為6cm，△OBC的周長為16cm．（1）求線段BC的長；

（2）連結OA，求線段OA的長；

（3）若∠BAC=?，請求出∠BOC的度數．

六、（本大題共1小題，每小題12分，共12分）

22．已知：如圖所示，直線MA∥NB，∠MAB與∠NBA的平分線交于點C，過點C作一條直線l與兩條直線MA、NB分別相交于點D、E．

（1）如圖1所示，當直線l與直線MA垂直時，猜想線段AD、BE、AB之間的數量關系，請直接寫出結論，不用證明；

（2）如圖2所示，當直線l與直線MA不垂直且交點D、E都在AB的同側時，（1）中的結論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由；

（3）當直線l與直線MA不垂直且交點D、E在AB的異側時，（1）中的結論是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，那么線段AD、BE、AB之間還存在某種數量關系嗎？如果存在，請直接寫出它們之間的數量關系．