第一篇：線性代數(shù)02198自考2009年~2012年真題試題及答案(新)

2009年7月高等教育自學(xué)考試全國(guó)統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)試題

課程代碼：02198 試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表示A的伴隨矩陣；R（A）表示矩陣A的秩；|A|表示A的行列式；E表示單位矩陣。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1．設(shè)A，B，C為同階方陣，下面矩陣的運(yùn)算中不成立的是（）．．．A．（A+B）T=AT+BT C．A（B+C）=BA+CA a11a122．已知a21a22a31a32a132a11a23=3，那么a21a33?2a312a12a22?2a32B．|AB|=|A||B| D．（AB）T=BTAT 2a13a23=（）?2a33A．-24 C．-6

B．-12 D．12 3．若矩陣A可逆，則下列等式成立的是（）

1*A．A=A B．|A|=0 |A|C．（A2）-1=（A-1）2

D．（3A）-1=3A-1

?41?31?2??4．若A=，B=??23?，C=?02?1?，則下列矩陣運(yùn)算的結(jié)果為3×2的矩???152???3?12????21??陣的是（）A．ABC C．CBA

B．ACTBT D．CTBTAT

3線性無(wú)關(guān)，則（α2,α3,α4，其中α1，α2，α5．設(shè)有向量組A：α1,A．α1，α3線性無(wú)關(guān)

4線性相關(guān)）

B．α1，α2，α3，αD．α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)

C．α1，α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)

6．若四階方陣的秩為3，則（）A．A為可逆陣

C．齊次方程組Ax=0只有零解

B．齊次方程組Ax=0有非零解 D．非齊次方程組Ax=b必有解

0???207．已知方陣A與對(duì)角陣B=?0?20?相似，則A2=（）

?0?2??0?A．-64E B．-E

C．4E

8．下列矩陣是正交矩陣的是（）0??10A．?0?10?

??00?1??D．64E

101?1??110? B．

?2??011?cos?C．???sin???sin?? cos???????D．?????2202216661063??3?3??? 3?3??3??9．二次型f=xTAx(A為實(shí)對(duì)稱陣)正定的充要條件是（）A．A可逆

C．A的特征值之和大于0

B．|A|>0

D．A的特征值全部大于0

0??k010．設(shè)矩陣A=?0k?2?正定，則（）

??0?24??A．k＞0 C．k＞1

B．k≥0 D．k≥1

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11．設(shè)A=（1，3，-1），B=（2，1），則ATB=__________.21012．若131=0，則k=__________.k2113．若ad≠bc，A=?ab?，則A-1=__________.??cd??14．已知A2-2A-8E=0，則（A+E）-1=__________.15．向量組α1=（1，1，0，2），α2=（1，0，1，0），α3=（0，1，-1，2）的秩為__________.16．兩個(gè)向量α=（a,1,-1）和β=（b,-2,2）線性相關(guān)的充要條件是__________.?x1?x2?017．方程組?的基礎(chǔ)解系為__________.x?x?03?218．向量α=（3，2，t,1）β=(t,-1,2,1)正交，則t=__________.19．若矩陣A=?10?與矩陣B=?3b?相似，則x=__________.???04???ax??22220．二次型f(x1,x2,x3)=x1?2x2?3x3?x1x2?3x1x3對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是__________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

11121．計(jì)算三階行列式124.141622．已知A=?23?，B=??3?1?，C=?0?11?，D=?120?，矩陣X滿足方程?????10????21???120???101??AX+BX=D-C，求X.23．設(shè)向量組為α1=（2，0，-1，3）

α2=（3，-2，1，-1）α3=（-5，6，-5，9）α4=（4，-4，3，-5）

求向量組的秩，并給出一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組.24．求λ取何值時(shí)，齊次方程組

?(??4)x1?3x2?0? ?4x1?x3?0??5x??x?x?0123?有非零解？并在有非零解時(shí)求出方程組的結(jié)構(gòu)式通解.?1?6?3?25．設(shè)矩陣A=?0?5?3?，求矩陣A的全部特征值和特征向量.?4??06?22226．用正交變換化二次型f(x1,x2,x3)=4x1?3x2?3x3?2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的正交矩陣P.四、證明題（本大題共1小題，6分）

27．若n階方陣A的各列元素之和均為2，證明n維向量x=(1,1,…,1)T為AT的特征向量，并且相應(yīng)的特征值為2.

2010年10月高等教育自學(xué)考試全國(guó)統(tǒng)一命題考試

線性代數(shù)試題

課程代碼：02198 說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩 陣，|A|表示方陣A的行列式，r（A)表示矩陣A的秩.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1．設(shè)矩陣A=??1???1??，B=（1，1）則AB=（）

??A．0 B．（1，-1）C．??1???1???

D．??11?????1?1???

2．設(shè)A為3階矩陣，|A|=1，則|-2AT|=（）

A．-8 B．-2 C．2 D．8 abc?aabc3．設(shè)行列式D1=a1b1c1?a1，D2=a1b1c1，則D1=（a2b2c2?a2a2b2c2A．0 B．D2 C．2D2

D．3D2

*?

?12?4．設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A??34?

??，則A-1=（）

A．?1?4?3B．?1?12?2????21?? 2??????34?? C．?1?2?12????34?? D．?1?2?42???31??? 5．設(shè)A,B均為n階可逆矩陣，則必有（）

A．A+B可逆 B．AB可逆 C．A-B可逆 D．AB+ BA可逆?103?6．設(shè)A為3階矩陣且r(A)=2，B=??010??，則r(AB)=（??001??A．0 B．1 C．2 D．3 7．設(shè)向量組α1=（1，2），α2=（0，2），β=（4，2），則（）））

A．αB．βC．βD．β線性無(wú)關(guān)

不能由α1，α2線性表示

可由α1，α2線性表示，但表示法不惟一 可由α1，α2線性表示，且表示法惟一 1，α2，β

?2x1?x2?x3?0?8．設(shè)齊次線性方程組?x1?x2?x3?0有非零解，則?為（）

??x?x?x?03?12A．-1 B．0 C．1 D．2 9．設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的全部特征值為0，1，1，則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3 10．二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+4x32-2tx2x3正定，則t滿足（）A．-44

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11．行列式0112的值為_________.?12?12．已知A=??23??，則|A|中 ?12?19．與矩陣A=??03??相似的對(duì)角矩陣為_________.??20．二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3的秩為_________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）0121．求行列式D=201012210102的值.100?10?1?2022．設(shè)矩陣A=100，B=2?10，求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.00100023．設(shè)向量組α1=(1,3,0,5)T，α2=(1,2,1,4)T，α3=(1,1,2,3)T，α4=(1,0,3,k)T，確定k的值，使向量組α1，α2，α3，α4的秩為2，并求該向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.x1?2x2?x3?124．當(dāng)數(shù)a為何值時(shí)，線性方程組?2x1?x2?x3?1有無(wú)窮多解？并求出其通解.（要求用它

x1?x2?ax3??2的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）

25．已知3階矩陣A的特征值為-1，1，2，設(shè)B=A2+2A-E，求（1）矩陣A的行列式及A的秩.（2）矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣.?x1?2y1?2y2?y3?26．求二次型f(x1,x2,x3)=-4x1x2+2x1x3+2x2x3經(jīng)可逆線性變換?x2?2y1?2y2?y3所得的標(biāo)準(zhǔn)形.?x?2y3?

3四、證明題（本題6分）

27．已知n階矩陣A，B滿足A2=A，B2=B及(A-B)2=A+B，證明AB=0.

第二篇：0907線性代數(shù)真題及答案

全國(guó)2009年7月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184 試卷說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表示A的伴隨矩陣;R(A)表示矩陣A的秩；|A|表示A的行列式；E表示單位矩陣。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的 括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)A,B,C為同階方陣，下面矩陣的運(yùn)算中不成立的是(C)．．．A.（A+B）T=AT+BT C.A(B+C)=BA+CA a112.已知a21a31a12a22a32a132a11a23=3，那么a21a33?2a312a12a22?2a32B.|AB|=|A||B| D.(AB)T=BTAT 2a13a23=(B)?2a33A.-24 C.-6

B.-12 D.12

3.若矩陣A可逆，則下列等式成立的是（C)A.A=1A* AB.A?0

C.(A2)?1?(A?1)2 D.(3A)?1?3A?1

?41?31?2???02?1???23?4.若A=?，B=，C=2矩陣的??3?12?，則下列矩陣運(yùn)算的結(jié)果為3×??152??????21??是(D)A.ABC C.CBA

B.ACTBT D.CTBTAT

5.設(shè)有向量組A：?1，?2，?3，?4，其中?1，?2，?3線性無(wú)關(guān)，則(A)A.?1，?3線性無(wú)關(guān)

C.?1，?2，?3，?4線性相關(guān)

B.?1，?2，?3，?4線性無(wú)關(guān) D.?2，?3，?4線性相關(guān)

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

6.若四階方陣的秩為3，則（B)A.A為可逆陣

C.齊次方程組Ax=0只有零解

B.齊次方程組Ax=0有非零解 D.非齊次方程組Ax=b必有解

7.設(shè)A為m×n矩陣，則n元齊次線性方程Ax=0存在非零解的充要條件是(B)A.A的行向量組線性相關(guān) C.A的行向量組線性無(wú)關(guān)

8.下列矩陣是正交矩陣的是（A)0??10?0?10A.???

??00?1???101?1??110B.?2???011??B.A的列向量組線性相關(guān) D.A的列向量組線性無(wú)關(guān)

?cos?C.???sin??sin??

cos???????D.?????2202216661063??3?3??

3??3??3??9.二次型f?xTAx(A為實(shí)對(duì)稱陣)正定的充要條件是（D)A.A可逆

C.A的特征值之和大于0

0??k0??10.設(shè)矩陣A=?0k?2?正定，則(C)??0?24??B.|A|>0

D.A的特征值全部大于0

A.k>0 C.k>1 ??1?:D1?k?0;?2?:D2?k00k0?k2?0;0kB.k?0 D.k?1 ?3?D3??k?1k?20k?2?k?k?4k?4??4k?k?1??0

?240?2

4二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

1??21??1??2????????6?3.11.設(shè)A=（1，3，-1），B=（2，1），則ATB=?63?。

ATB??3??2,?1??1???2????2?1?1??????21012.若131?0,則k?-1。

k2121021021131?131??????2?k?1??k?1?0.?k??1.k?1?1k21k?1?10?120??0?60???*??630?。20013.設(shè)A=?，則A=????2?1?4?????013??120121*?A?200?3??12?0.?A可逆.?A?1?A20A013?1??A*?AA?1.而?A,E3???2?0?0?120?11??②?4?????010?12-14?013?00?1?③320?100??1?②+(-2)?①?00?010???????0?013?001???0?①+(-2)?②?100?0?③+(-1)?②?0???????010?12?003??121???20?100???40??210?13?001??120??-140?141??

120?120??100?0?0?0?60?1???????????010?12-140?.?A?1??12-140?????630?12??001??1611213???1611213???????2?1?4??0?60??0?60?1???????A*?AA?1??12??????630????630?.?12??????2?1?4??2?1?4?14.已知A2-2A-8E=0，則（A+E）-1=?A2?2A?8E?0.??1?A?3E?。5?A2?2A?3E??5E?0?1?5??A?E??A?3E??5E.?11?A?E??A?3E??E?5?A?3E?A?E???????E.??A?E?? 1?A?3E?5浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

15.向量組?1?(1,1,0,2),?2?(1,0,1,0),?3?(0,1,?1,2)的秩為___2。

將三個(gè)向量的轉(zhuǎn)置向量拼成一個(gè)4?3的矩陣，化簡(jiǎn)此矩陣?1?1A???0??210??110??11???③+1?②?+(-1)?①01?②0?110?1④+(-2)?①④+(-2)?②??????????????01?1??001?1?????02?0?22???000??1?.?r?A??2.?0?0?16.設(shè)齊次線性方程Ax=0有解?，而非齊次線性方程且Ax=b有解?,則???是方程組____Ax=b的解。

?x1?x2?0??17.方程組?的基礎(chǔ)解系為?1???1?。

?x2?x3?0?1???___1。18.向量??(3,2,t,1),??(t,?1,2,1)正交,則t?__________?t????1???,????3,2,t,1????3t?2?2t?1?t?1?0.?t?1.?2????1??1?

?10??3b?119.若矩陣A=?與矩陣B=相似，則x=?4?ab?。???3?04??ax?A?B?103b1??4?3x?ab?x??4?ab?.04ax312?32??1??22220?。20.二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?3x3?x1x2?3x1x3對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是?12??320?3???

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）1?340403521.求行列式D=的值。

202?276?22

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

1?3404035解D?202?276?22④+2?①1?340209040352?2624351?2??1???3?22?2按

解：把所有行向量轉(zhuǎn)置為列向量形成4?4的矩陣，并將其化為簡(jiǎn)化階梯形矩陣.?23?54???11?53?????0?26?40?26?4③?①TTT?????A???1T,?2,?3,?4???????11?53??23?54?????3?19?53?19?5??????11?53???11?53???1?②??③+2?①0?26?40?13?2④+3?①2?????????????05?1510??05?1510?????02?6402?64??????10?21??102?1?①+1?②???1?①??③+5?②0?13?201?32④+2?②?1?②?????記為?,?,?,??B.???????1342?0000??0000?????00000000????顯然B是A的簡(jiǎn)化階梯形矩陣.易見：B的秩為2，??從而A的秩為2,原向量組的秩為2.易見：B的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為??1,?2?.T?A的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組為??1T,?2?;從而??1,?2?是原向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.24.求?取何值時(shí),齊次方程組 ?(??4)x1?3x2?0?

?4x1?x3?0

??5x??x?x?0123?

有非零解？并在有非零解時(shí)求出方程組的通解。

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

解?方程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)相同，?考察系數(shù)矩陣A是否為可逆矩陣.??43A?4?50?01?1??430③+1?②4?101?0按

63????1??解?A的特征方陣?En?A??0??53?.?A的特征方程為?0?6??4?????1?En?A?0063??532??53=??-1????-1?????-1???2???2????-1????2??0???5???-4??18????6??4?6??4得?1=?2=1，?3=-2，為A的兩個(gè)特征值.用來(lái)求特征向量的矩陣方程為63??x1??0?????1?x1?6x2?3x3?0???1??????0??53x?0,即齊次線性方程組??E3?A?x?????5?x2?3x3?0.?2????????0??x??0??6??4???6x2????4?x3?03?????屬于?1??2?1的特征向量滿足線性方程組6x2?3x3?0,即x3??2x23個(gè)未知量1個(gè)方程,必有2個(gè)自由未知量,不妨取x1、x2為自由未知量，?1??0??x1??1??0?????令?????或??，則x3?0或?2，于是得2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量p1??0?，p2??1?.?x2??0??1??0???2???????3x1?6x2?3x3?0?屬于?3??2的特征向量滿足線性方程組為?3x2?3x3?0.,即x1?x2??x3,??6x2?6x3?0?3個(gè)未知量2個(gè)方程,必有1個(gè)自由未知量,不妨取x1為自由未知量，令x1?1,則x2?1,x3??1,?1???于是得1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量p3??1?.??1???22226.用配方法求二次型f(x1,x2,x3)?x1?4x2?x3?2x1x3?4x2x3的標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的線性變換。

222解?二次型f(x1,x2,x3)?x12?4x2?x3?2x1x3?4x2x3??x12?2x1x3?x3???4x22?4x2x3?x32??x322??x1?x3???2x2?x3??x322?x1?y1?y3?y1?x1?x3?1??設(shè)?y2?2x2?x3，即?x2??y2?y3?，2?y?x?33?x3?y3??222可使得f(x1,x2,x3)??x1?x3???2x2?x3??x3?g(y1,y2,y3)?y12?y2?y3.即二次型的標(biāo)準(zhǔn)形；221??y1??x1??10??????此時(shí)相應(yīng)的線性變換x?Py為?x2???012?12??y2?.?x??00?1???3????y3?

浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.證明：若向量組?1,?2,??n線性無(wú)關(guān),而?1??1??n,?2??1??2,?3??2??3,?，?n??n?1+?n，則向量組?1,?2,?,?n線性無(wú)關(guān)的充要條件是n為奇數(shù)。

證?設(shè)k1?1?k2?2???kn?n?0.將已知條件代入得k1??1??n??k2??1??2??k3??2??3????kn??n?1??n??0.整理得?k1?k2??1??k2?k3??2????kn?1?kn??n?1??kn?k1??n?0.??1,?2,??n線性無(wú)關(guān),??k1?k2???k2?k3???kn?1?kn???kn?k1??0.?k1??k2?k3??k4????kn?k1,當(dāng)n為奇數(shù)，則n?1為偶數(shù),則上式為?k1??k2?k3??k4????kn?1?kn??kn?k1.由此?kn??kn?0,?k1?k2?k3?k4???kn?1?kn?0.因此,?1,?2,?,?n線性無(wú)關(guān).?反之,若?1,?2,?,?n線性無(wú)關(guān),即當(dāng)且僅當(dāng)k1?k2?k3?k4???kn?1?kn?0時(shí),等式k1?1?k2?2???kn?n?0才成立,?k1??1??n??k2??1??2??k3??2??3????kn??n?1??n??0??k1?k2??1??k2?k3??2????kn?1?kn??n?1??kn?k1??n?0??1,?2,??n線性無(wú)關(guān),??k1?k2???k2?k3?????kn?1?kn???kn?k1??0?k1??k2?k3??k4????kn?k1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令k1??k2?k3??k4????kn?1,則?1??2??3??4????n?1??n?0也成立,這與條件不符.當(dāng)n?為奇數(shù)時(shí),則n?1為偶數(shù),則有k1??k2?k3??k4????kn?1?kn??kn?k1，立得k1?k2?k3?k4???kn?1?kn?0,等式k1?1?k2?2???kn?n?0才成立，這與條件完全相符.證畢.浙04184# 線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

第三篇：2012年4月自考線性代數(shù)真題及答案

全國(guó)2012年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

a111.設(shè)行列式a21a12a22a32a13?a112a122a222a32?3a13?3a23=（）?3a33D.12 a31A.-12 a23=2,則?a21a33?a31B.-6

C.6 ?120???2.設(shè)矩陣A=?120?,則A*中位于第1行第2列的元素是（）?003???A.-6 B.-3

C.3

D.6

3.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=3，則(?A)?1=（）A.?3 B.?1 3C.1 3D.3 4.已知4?3矩陣A的列向量組線性無(wú)關(guān)，則AT的秩等于（）A.1 B.2

C.3

D.4 ?100???5.設(shè)A為3階矩陣,P =?210?,則用P左乘A，相當(dāng)于將A（）?001???A.第1行的2倍加到第2行

B.第1列的2倍加到第2列 C.第2行的2倍加到第1行

D.第2列的2倍加到第1列 6.齊次線性方程組?A.1

?0?x1?2x2?3x3的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（）?x2+x3?x4= 0?B.2

C.3

D.4 7.設(shè)4階矩陣A的秩為3，?1，?2為非齊次線性方程組Ax =b的兩個(gè)不同的解，c為任意常數(shù)，則該方程組的通解為（）A.?1?c?1??22 B.?1??223 5?c?1 C.?1?c?1??22 D.?1??225 3?c?1

8.設(shè)A是n階方陣，且|5A+3E|=0，則A必有一個(gè)特征值為（）A.?5 3B.?C.5D.??100???9.若矩陣A與對(duì)角矩陣D=?0?10?相似，則A3=（）?00?1???A.E B.D

C.A

D.-E

22210.二次型f(x1,x2,x3)=3x1是（）?2x2?x3A.正定的 B.負(fù)定的 C.半正定的 D.不定的

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

111.行列式21146=____________.41636?001??100?????12.設(shè)3階矩陣A的秩為2，矩陣P =?010?，Q =?010?，若矩陣B=QAP，則r(B)=_____________.?100??101?????13.設(shè)矩陣A=??1?4??48?，B=???，則AB=_______________.??14??12?14.向量組?1=(1,1,1,1),?2=(1,2,3,4),?3=(0,1,2,3)的秩為______________.15.設(shè)?1,?2是5元齊次線性方程組Ax =0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=______________.?10002???16.非齊次線性方程組Ax =b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為?01002?，則方程組的通解是______.?0012-2???17.設(shè)A為3階矩陣，若A的三個(gè)特征值分別為1，2，3，則|A|=___________.18.設(shè)A為3階矩陣，且|A|=6，若A的一個(gè)特征值為2，則A*必有一個(gè)特征值為_________.22219.二次型f(x1,x2,x3)=x1的正慣性指數(shù)為_________.?x2?3x322220.二次型f(x1,x2,x3)=x1?2x2?2x3?4x2x3經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形______________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

35?12?453?321.計(jì)算行列式D =

120120?34?1?30???22.設(shè)A=?210?，矩陣X滿足關(guān)系式A+X=XA,求X.?002???23.設(shè)?，?，?2，?3，?4均為4維列向量，A=（?，?2，?3，?4）和B=（?，?2，?3，?4）為4階方陣.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.24.已知向量組?1=(1,2,?1,1)T,?2=(2,0,t,0)T,?3=(0,?4,5,?2)T,?4=(3,?2,t+4,-1)T（其中t為參數(shù)），求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.?x1?x2?2x3?x4?3?25.求線性方程組?x1?2x2?x3?x4?2的通解..（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）

?2x?x?5x?4x?734?1226.已知向量?1=(1,1,1)T，求向量?2，?3,使?1，?2，?3兩兩正交.四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A為m?n實(shí)矩陣，ATA為正定矩陣.證明：線性方程組Ax=0只有零解.全國(guó)2012年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1．D 2.A 3.B 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.D

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

? 2?? 0?? 2?? 0??00?11.16 12.213.?14.2 15.3 16.???k??,k為任意常數(shù) 17.6 ???2???2??00?

???? 0??? 1?2218.3 19.220.y1?4y2

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

3?421.解：D =125?12153?3?4??20130?342201120153?301331???5?120?1?1?10?340?4?3212010?1?1?1

013310?4?3212010?1?1?1?10?12????48 00?10?1216001622.解：由A?X?XA，可知X(A?E)?A，則X?A(A?E)?1，?0?0?30?????1且A?E??200?，(A?E)???13?001??0???0??00? 01??120?0??11?1?30??0122??1?????100???10故X?A(A?E)??210???13??3?

?002??001??002???????23.解: A?B?(???,2?2,2?3,2?4)?8[(?,?2,?3,?4)?(?,?2,?3,?4)]?8A?B?40

???1?2?24.解：（?1,?2,?3,?4）=??1??1?1?0???0??0203??1203??12????0?4?2??0?4?4?8??01??t5t?4??0t?25t?7??0t?2????0?2?1??0?2?2?4??00203??1??112??0?03?t3?t??0??000??00?2?1??112?

03?t3?t??000?03??12?

5t?7??00?t?3時(shí)，秩為2，一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為?1,?2 t?3時(shí)，秩為3，一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為?1,?2,?3.25.解：對(duì)增廣矩陣作初等行變換

?11213??11213??11213???????A?(A,b)??121?12???01?1?2?1???01?1?2?1?

?21547??0?1121??00000????????10334???

??01?1?2?1?

?00000????x1??3x3?3x4?4同解方程組為?.x3，x4是自由未知量，特解?*?(4,?1,0,0)T

?x2?x3?2x4?1?x1??3x3?3x4導(dǎo)出組同解方程組為?.x3，x4是自由未知量，x?x?2x34?2基礎(chǔ)解系?1?(?3,1,1,0)T，?2?(?3,2,0,1)T，通解為???*?k1?1?k2?2,k1,k2?R.26.解：設(shè)?2=(x1,x2,x3)T，?2與?1正交，則有x1?x2?x3?0，故可取?2==(1,0,-1)T, 設(shè)?3=(y1,y2,y3)T，?3與?1，?2兩兩正交，則?故可取?3=(1,?2,1).四、證明題（本題6分）

27.證明：由于ATA為正定矩陣，則秩（ATA）= n，又秩（A）= 秩（ATA）= n，則線性方程組Ax=0只有零解.T?y1?y2?y3?0.?y1?y3 = 0

第四篇：2013年10月自考線性代數(shù)真題

2013年10月自考線性代數(shù)真題

說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。T

*

選擇題部分

注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生務(wù)必將自己的考試課程名稱、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙規(guī)定的位置上。

2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能答在試題卷上。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其選出并將“答題紙”的相應(yīng)代碼涂黑。錯(cuò)涂、多涂或未涂均無(wú)分。1．設(shè)行列式a1a2b1b2?1，a1a2c1c2??2，則

a1a2b1?c1b2?c2?

A.－3 C.1 2．設(shè)4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設(shè)A為2階可逆矩陣，若A?1B.－1 D.3 B.2 D.4 ??1?3??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.??13?*??，則A= ??25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設(shè)A為m×n矩陣，A的秩為r，則 A.r=m時(shí)，Ax=0必有非零解 C.r

222B.r=n時(shí)，Ax=0必有非零解 D.r

5．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.0???8??1?C.0???4? 0212026?8??12? 3???4??6? 3???1?B.0??0??1?D.?4??0?0?8??212? 03???40??26? 63??非選擇題部分

注意事項(xiàng)：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

?12?7．設(shè)A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=??，則A=______.34??a12??a11a12??a118．設(shè)矩陣A=??，B=??，且r(A)=1，則r（B）=______.aaa?aa?a?2122??11211222?9．設(shè)向量α=(1，0，1)，β=(3，5，1)，則β－2α=________．

T10．設(shè)向量α=(3，－4)，則α的長(zhǎng)度||α||=______．

TT11．若向量αl=(1，k)，α2=(－1,1)線性無(wú)關(guān)，則數(shù)k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)為______．

T

T?122???100?????13．已知矩陣A=212與對(duì)角矩陣D=0?10相似，則數(shù)a=______ ?????221??00a?????14．設(shè)3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

15．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1?x2?tx3正定，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是______．

三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

222a?b?c16．計(jì)算行列式D=

2ab?a?c2c2a2bc?a?bT

T2b2c.17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βα=3，A=αβ，求(1)數(shù)k的值；

10(2)A．

?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=231，B=00，求矩陣X，使得AX=B.?????340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0), α2=(－1,－1,－2,0), α3=(－3,4,－4,l), α4=（－6,14,T－6,3）的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出．

T

T

T?2x?3y?z?0?20．設(shè)線性方程組?2x?y?z?1，問：

?x?y??z?1?(1)λ取何值時(shí)，方程組無(wú)解？

(2)λ取何值時(shí)，方程組有解？此時(shí)求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=010的全部特征值與特征向量． ???100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設(shè)向量組α1，α2線性無(wú)關(guān)，且β=clα1+c2α2，證明：當(dāng)cl+c2≠1時(shí)，向量組β－α1,β－α2線性無(wú)關(guān)．

第五篇：自考線性代數(shù)試題

全國(guó)2010年10月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題 課程代碼：04184 說明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則|-2AT|=（）A.-8 C.2 ?1?2.設(shè)矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=（）??B.-2 D.8 A.0 ?1?C.???1??

??B.(1,-1)1??1D.???1?1??

??3.設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣,B為n階反對(duì)稱矩陣,則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是（）A.AB-BA C.AB

B.AB+BA D.BA ?12?-14.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=??34??,則A=（）??A.?1 2?4?3????21?? ???12???34?? ??

B.?1 21 2?1?2????34?? ???42???31?? ??C.?1 2D.?5.下列矩陣中不是初等矩陣的是（）．．?101???A.?010? ?000????100???C.?030?

?001???

?001?

??B.?010?

?100????100???D.?010?

?201???═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第2

?1??3?????2???5?16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個(gè)解,且?1???,?1??3???,則該線性方程

37?????4??9?????組的通解是_________.?1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣3A必有一個(gè)特征值為_________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對(duì)角矩陣為_________.???1?2?T20.設(shè)矩陣A=???2k??,若二次型f=xAx正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.??

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)0121.求行列式D=201012210102的值.10?0?10???1?20?????22.設(shè)矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設(shè)矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A-1;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A2+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第4

C.| A |=| B |

D.A與B有相同特征值

9.若向量α=（1，-2,1）與β=(2，3，t)正交，則t=（）A.-2 C.2

B.0 D.4 10.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則（）A.A正定 C.A負(fù)定

B.A半正定 D.A半負(fù)定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）?3 ?2????2 1 ?1?11.設(shè)A=?0 1?,B=??，則AB=_________________.0 ?1 0???2 4???12.設(shè)A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A-1 |=______________.13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.14.設(shè)α=（-1，2，2），則與α反方向的單位向量是_________________.15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W={x | Ax=0}的維數(shù)是______________.116.設(shè)A為3階方陣，特征值分別為-2，1，則| 5A-1 |=______________.217.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_________________.? 2 ?1 0???18.實(shí)對(duì)稱矩陣??1 0 1 ?所對(duì)應(yīng)的二次型f(x1, x2, x3)=________________.? 0 1 1????1???1?????19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=?2?，α2=? 2?且r(A)=2，則Ax=b的通解是_______________.?3?? 3??????1???20.設(shè)α=?2?，則A=ααT的非零特征值是_______________.?3???

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21.計(jì)算5階行列式D=

0 0 2 0 0 1 0 0 0 222.設(shè)矩陣X滿足方程

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本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第6

A.PA C.QA

B.AP D.AQ

5.已知A是一個(gè)3×4矩陣，下列命題中正確的是（）A.若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩（A）=2 B.若A中存在2階子式不為0，則秩（A）=2 C.若秩（A）=2，則A中所有3階子式都為0 D.若秩（A）=2，則A中所有2階子式都不為0 6.下列命題中錯(cuò)誤的是（）．．A.只含有一個(gè)零向量的向量組線性相關(guān) B.由3個(gè)2維向量組成的向量組線性相關(guān) C.由一個(gè)非零向量組成的向量組線性相關(guān) D.兩個(gè)成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)

7.已知向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)，α1,α2,α3，β線性相關(guān)，則（）A.α1必能由α2,α3，β線性表出 C.α3必能由α1,α2，β線性表出

B.α2必能由α1,α3，β線性表出 D.β必能由α1,α2,α3線性表出

8.設(shè)A為m×n矩陣，m≠n,則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩（）A.小于m C.小于n

B.等于m D.等于n

9.設(shè)A為可逆矩陣，則與A必有相同特征值的矩陣為（）A.AT C.A-1

B.A2 D.A

*22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1?x2?x3?2x1x2的正慣性指數(shù)為（）

A.0 C.2

B.1 D.3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式***0的值為_________________________.?1?13??20????,則ATB=____________________________.12.設(shè)矩陣A=,B=??201??01?????13.設(shè)4維向量??（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ滿足2??γ=3β，則γ=__________.114.設(shè)A為n階可逆矩陣，且|A|=?,則|A-1|=___________________________.n15.設(shè)A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，則|A|=__________________.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第8

??2?26.設(shè)矩陣A=?0???0?03a??0??1??-1?a的三個(gè)特征值分別為1，2，5，求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P，使PAP=?0????3??0??020?0??0?。??5??

四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A，B，A+B均為n階正交矩陣，證明（A+B）-1=A-1+B-1。

全國(guó)2010年1月高等教育自學(xué)考試

說明：本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，αT表示向量α的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，A-1表示方陣A的逆矩陣，r（A）表示矩陣A的秩.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）

2x2y2z41.設(shè)行列式403?1,則行列式01?（）

3111111xyzA.2 3B.1 C.2

8D.32.設(shè)A，B，C為同階可逆方陣，則（ABC）-1=（）A.A-1B-1C-1 C.C-1A-1B-1

B.C-1B-1A-1 D.A-1C-1B-1

3.設(shè)α1，α2，α3，α4是4維列向量，矩陣A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，則|-2A|=（）A.-32 C.4

B.-4 D.32 4.設(shè)α1，α2，α3，α4 是三維實(shí)向量，則（）A.α1，α2，α3，α4一定線性無(wú)關(guān) C.α1，α2，α3，α4一定線性相關(guān)

B.α1一定可由α2，α3，α4線性表出 D.α1，α2，α3一定線性無(wú)關(guān)

5.向量組α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩為（）A.1 C.3

B.2 D.4 6.設(shè)A是4×6矩陣，r（A）=2，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)是（）

A.1 C.3

B.2 D.4 7.設(shè)A是m×n矩陣，已知Ax=0只有零解，則以下結(jié)論正確的是（）A.m≥n

B.Ax=b（其中b是m維實(shí)向量）必有唯一解

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本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第10

?a11??x1??1???x???1?1a117.設(shè)線性方程組????2???有無(wú)窮多個(gè)解，則a=_________.??11a????x3?????2??18.設(shè)n階矩陣A有一個(gè)特征值3，則|-3E+A|=_________.19.設(shè)向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α與β正交，則a=_________.2220.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩為_________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）2321．計(jì)算4階行列式D=453456456756.78?2?31??-14?5222.設(shè)A=?，判斷A是否可逆，若可逆，求其逆矩陣A.????5?73??23.設(shè)向量α=（3，2），求（αTα）101.24.設(shè)向量組α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.（1）求該向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；

（2）將其余向量表示為該極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合.?x1?x2?2x4?0?25.求齊次線性方程組?4x1?x2?x3?x4?0的基礎(chǔ)解系及其通解.?3x?x?x?0123??32?2???26.設(shè)矩陣A=?0?10?，求可逆方陣P，使P-1AP為對(duì)角矩陣.??42?3??

四、證明題（本大題6分）

27.已知向量組α1,α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)，證明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無(wú)關(guān).═════════════════════════════════════════════════════════════════════

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