第一篇：【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2011屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式的證明隨堂訓(xùn)練 理 蘇教版選修4-5-2

第2課時(shí)不等式的證明

簡答題

1．(蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查)已知a，b是不相等的正實(shí)數(shù)．

求證：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.3證明：因?yàn)閍，b是正實(shí)數(shù)，所以a2b＋a＋b2≥3ab·a·b＝3ab>0，當(dāng)且僅當(dāng)a2b＝a＝b2，3即a＝b＝1時(shí)，等號成立；同理ab2＋a2＋b≥3ab·a·b＝3ab>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，22222等號成立．所以(ab＋a＋b)(ab＋a＋b)≥9ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)，等號成立．

因?yàn)閍≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.1492．(南京調(diào)研)已知a，b為正數(shù)，求證：a＋b.a＋b

?1＋4?＝5＋b＋4a≥5＋2 證明：因?yàn)閍>0，b>0，所以(a＋b?ab?ab

149所以a＋ba＋b

3．已知a，b是正實(shí)數(shù)，求證：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3.證明：∵a＋b≥2ab＞0，a2＋b2≥2ab＞0，① ② ③ b4a×＝9.aba3＋b3≥2ab＞0，∴由①②③迭乘，得(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥ab·abab＝8a3b3.4．已知a，b，x，y∈R，且a2＋b2＝4，x2＋y2＝4，求證：|ax＋by|≤4.證明：要證|ax＋by|≤4，只要證(ax＋by)2≤16，只要證a2x2＋2abxy＋b2y2≤16，只要證a2x2＋2abxy＋b2y2≤(a2＋b2)(x2＋y2)，只要證2abxy≤b2x2＋a2y2，即證(bx－ay)2≥0.顯然此式成立．故原不等式成立．

5．已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：ab＋bc＋ca＜a＋b＋c.證明：a＋b＞ab，b＋c＞2bc，a＋c＞2ac，① ② ③

∴由①②③迭加，得(a＋b)＋(b＋c)＋(a＋c)＞ab＋bc＋2ac，即ab＋bcac＜a＋b＋c.用心愛心專心

6.已知α∈(0，π]，求證：2sin 2α≤

證明：證法一：(作差比較法)sin α 1－cos α

sin α?4cos α－4cos2α－1?sin αsin α2sin 2α－＝4sin αcos α－＝ 1－cos α1－cos α1－cos α

－sin α?2cos α－1?

2＝1－cos α

∵α∈(0，π)，∴sin α>0,1－cos α>0，(2cos α－1)2≥0.∴2sin 2α－sin αsin α0.∴2sin 2α≤.1－cos α1－cos α

證法二：(分析法)

要證明2sin 2 α≤sin αsin α成立，只要證明4sin αcos α≤1－cos α1－cos α

1∵α∈(0，π)，∴sin α>0.只要證明4cos α≤.1－cos α

上式可變形為4≤

∵1－cos α>0，∴1＋4(1－cos α)． 1－cos α14?1－cos α?＝4，1－cos α1＋4(1－cos α)≥2 1－cos α

1π1當(dāng)且僅當(dāng)cos α＝α＝時(shí)取等號．∴4≤＋4(1－cos α)成立． 231－cos α

∴不等式2sin 2α≤

證法三：(綜合法)

∵11π＋4(1－cos α)≥4，(1－cos α>0，當(dāng)且僅當(dāng)cos α＝即α＝時(shí)取等號)231－cos αsin α成立． 1－cos α

sin αsin α∴4cos α≤.∵α∈(0，π)，∴sin α>0.∴4sin αcos α≤∴2sin 2α.1－cos α1－cos α

1－cos α

11．已知a>0，b>0，求證：(a＋b)2＋a＋b)≥2abab)． 2

1證明：要證明(a＋b)2(a＋b)≥2(ab)，只需證明 2

1a＋b＋?≥ab(a＋b)．(a＋b)?2??

1∵a>0，b>0，∴a＋b≥ab>0.只需證明a＋b＋≥a＋b，21111a＋＋?b＋≥＋b.只需證明a＋a>0，b＋b>0.只需證明??4?44

41顯然上式成立．∴(a＋b)2＋a＋b)≥2ab(a＋b)成立． 2

2．已知a、b、c分別為一個(gè)三角形的三邊之長，求證：cab＋a＋bb＋cc＋a

11.2?a＋b?a＋b＋c證明：∵a、b、c為三角形的三邊長，∴a＋b>c.∴2(a＋b)>a＋b＋c>0.∴

c2ca2ab2b兩邊同乘以2c，∴.同理

∴

cab2c2a2b＋<＋2.a＋bb＋ca＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c

第二篇：2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)證明》理 新人教B版

[第68講 數(shù)學(xué)證明]

(時(shí)間：45分鐘 分值：100分)

基礎(chǔ)熱身

1．下列符合三段論推理形式的為()

A．如果p?q，p真，則q真

B．如果b?c，a?b，則a?c

C．如果a∥b，b∥c，則a∥c

D．如果a＞b，c＞0，則ac＞bc

2．[2013·鄭州檢測] 類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)

①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各面都是面積相等的三角形，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等．

A．①B．②

C．①②③D．③

3．[2013·太原檢測] 已知p是q的充分不必要條件，則綈q是綈p的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

22224．[2013·石家莊模擬] 已知ai，bi∈R(i＝1，2，3，?，n)，a1＋a2＋?＋an＝1，b1＋

2b

22＋?＋bn＝1，則a1b1＋a2b2＋?＋anbn的最大值為()

A．1B．2

C．n2D．2n

能力提升

5．[2013·泰州模擬] 設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：

222①(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≠0；

②a＞b，a＜b及a＝b中至少有一個(gè)成立；

③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立．

其中正確判斷的個(gè)數(shù)為()

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

6．已知c>1，ac＋1－c，b＝cc－1，則正確的結(jié)論是()

A．a(chǎn)>bB．a(chǎn)

C．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)，b大小關(guān)系不定

?1?a＋b?，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，則A，B，7．已知函數(shù)f(x)＝?，a，b∈R＋，A＝f???a＋b??2??2???

C的大小關(guān)系為()

A．A≤B≤CB．A

C．A≥B≥CD．A>B>C

x

8．用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是()

A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù) B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)

C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)是偶數(shù) D．假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)是偶數(shù)

1212312342

9．觀察數(shù)列1，，，?，則數(shù)將出現(xiàn)在此數(shù)列的第()

2132143216

A．21項(xiàng)B．22項(xiàng)C．23項(xiàng)D．24項(xiàng)

10．[2013·河南示范性高中檢測] 如圖K68－1，對大于或等于2的自然數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”：

－

1仿此，5的“分裂”中最大的數(shù)是________，5的“分裂”中最小的數(shù)是________．

1??1?11．[2013·哈爾濱模擬] 已知等比數(shù)列{an}中，a2＞a3＝1，則使不等式?a1－?＋?a2－2

?a1??a2?

11??＋?a3－＋?＋?an≥0成立的最大自然數(shù)n是________．

aa

?

??

n

?

12．如圖K68－2所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有

9999

n(n>1，n∈N)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為an，則＋________．

a2a3a3a4a4a5a2 010a2 011

13．[2013·開封模擬] 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意

f（x1）＋f（x2）＋?＋f（xn）?x1＋x2＋?＋xnx1，x2，?，xn，都有≤f?.若y＝sinx在區(qū)間

n

?

n

?

(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．

b2a2

14．(10分)已知a＞0，b＞0a＋b.ab

r

15．(13分)[2013·湖北卷](1)已知函數(shù)f(x)＝rx－x＋(1－r)(x>0)，其中r為有理數(shù)，且0

(2)試用(1)的結(jié)果證明如下命題：

設(shè)a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù)．若b1＋b2＝1，則ab11ab22≤a1b1＋a2b2；(3)請將(2)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題．

αα－1

注：當(dāng)α為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式(x)′＝αx.難點(diǎn)突破

16．(12分)[2013·湖南卷] 已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記A(n)＝a1＋a2＋?＋an，B(n)＝a2＋a3＋?＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋?＋an＋2，n＝1，2，?.*

(1)若a1＝1，a2＝5，且對任意n∈N，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

*

(2)證明：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．

課時(shí)作業(yè)(六十八)

【基礎(chǔ)熱身】

1．B [解析] 由三段論的推理規(guī)則可以得到B為三段論． 2．C [解析] 由類比原理和思想，①②③都是合理、恰當(dāng)?shù)模?/p>

3．A [解析] 反證法的原理：“原命題”與“逆否命題”同真假，即：若p?q，則綈q?綈p.a2＋c2b2＋d22222

4．A [解析] 此結(jié)論為“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，則ac＋bd≤＋

222

a2a2a21＋b12＋b2n＋bn

＝1”的推廣，類比可得a1b1＋a2b2＋?＋anbn≤1.222

【能力提升】

5．B [解析] ①②正確；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同時(shí)成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正確的判斷有2個(gè)．

6．B [解析] 假設(shè)a≥bc＋1－cc－c－1，∴c＋1＋c－1≥c，平方得2c＋2c－1≥4c，2222

2c≤2c－1，cc－1，即c≤c－1，0≤－1，這不可能，∴假設(shè)不成立，故a

7．A [解析] ab≥，又f(x)＝??在R上是單調(diào)減函數(shù)，∴f?2a＋b?2??2?

?2ab.f(ab)≤f??a＋b?

8．B [解析] 至少有一個(gè)的否定是一個(gè)也沒有，即假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)．

9．C [解析] 數(shù)列中各項(xiàng)的分子是按照(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，?的規(guī)律呈現(xiàn)的，分母是按照(1)，(2，1)，(3，2，1)，(4，3，2，1)，?的規(guī)律呈現(xiàn)的，顯然

前五組不可能出現(xiàn)，我們不妨再寫幾個(gè)對應(yīng)的數(shù)組(1，2，3，4，5，6)，(1，2，3，4，5，6

6，7)，(6，5，4，3，2，1)，(7，6，5，4，3，2，1)，可以發(fā)現(xiàn)第六組也不可，故只能是第七組的第二個(gè)．故這個(gè)數(shù)是第(1＋2＋?＋6＋2)項(xiàng)，即第23項(xiàng)．

10．9 21 [

解析] 由已知中“分裂”可得，a＋b

故“5”的“分裂”21.a31

11．5 [解析] ∵a2＞a3＝1，∴0＜q＝＜1，a1＝＞1，a2q

?a1－1＋?a2－1?＋?a3－1?＋?＋?an－1? ????a1a2?a3?an?????????

1?11

＝(a1＋a2＋?＋an)－?＋?＋

an??a1a2

111－a1（1－qn）a1?q?a1（1－qn）q（1－qn）

＝

1－q

－

11－

＝

1－q

－

a1（1－q）q0，q

a1（1－qn）q（1－qn）∴≥1－qa1（1－q）q因?yàn)?＜q＜1，所以，化簡得a1≥

q

－1

q≤q

4n－1，∴4≥n－1，n≤5，所以n的最大值為5.00912.[解析] an＝3(n－1)，anan＋1＝9n(n－1)，裂項(xiàng)求和即可． 2 01033A＋B＋Cπ313.[解析] sinA＋sinB＋sinC≤3sin＝3sin＝2332

b2??a2?b2a2?14．證明：(a＋b)＝?－a?＋?b?

ab?a??b?

（b＋a）（b－a）（a＋b）（a－b）＝ab

?1112

＝(a－b)(a＋b)?＝(a－b)(a＋b)，?ba?ab

b2a2

∵a＞0，b＞0＋a＋b.ab

r－1r－1

15．解：(1)f′(x)＝r－rx＝r(1－x)，令f′(x)＝0，解得x＝1.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1)內(nèi)是減函數(shù)； 當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)． 故函數(shù)f(x)在x＝1處取得最小值f(1)＝0.r

(2)由(1)知，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，有f(x)≥f(1)＝0，即x≤rx＋(1－r)． ① 若a1，a2中有一個(gè)為0，則ab11ab22≤a1b1＋a2b2成立； 若a1，a2均不為0，又b1＋b2＝1，可得b2＝1－b1，于是

a1?b1a1a1?在①中令x＝，r＝b1，可得??≤b1·＋(1－b1)，a2a2?a2?

即ab11a1－b12≤a1b1＋a2(1－b1)，亦即ab11ab22≤a1b1＋a2b2.綜上，對a1≥0，a2≥0，b1，b2為正有理數(shù)且b1＋b2＝1，總有ab11ab22≤a1b1＋a2b2.②

(3)(2)中命題的推廣形式為：

若a1，a2，?，an為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，?，bn為正有理數(shù)． 若b1＋b2＋?＋bn＝1，則ab11ab22?abnn≤a1b1＋a2b2＋?＋anbn.③ 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

①當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝1，有a1≤a1，③成立．

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，③成立，即若a1，a2，?，ak為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，?，bk為正有理數(shù)，且b1＋b2＋?＋bk＝1，則ab11ab22?abkk≤a1b1＋a2b2＋?＋akbk.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，已知a1，a2，?，ak，ak＋1為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，?，bk，bk＋1為正有理數(shù)，且b1＋b2＋?＋bk＋bk＋1＝1，此時(shí)0＜bk＋1＜1，即 1－bk＋1＞0，于是ab11ab22?abkkabk＋1k＋1＝(ab11ab22?abkk)abk＋1k＋1

＝(a1a2?ak)1－bk＋1abk＋1k＋1.1－bk＋11－bk＋11－bk＋1

b1b2bk

b1b2bk

1，由歸納假設(shè)可得

1－bk＋11－bk＋11－bk＋1

b1b2bkb1b2bk

a＋a2·＋?＋ak·＝1a2?ak≤a1·1－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋11－bk＋1

a1b1＋a2b2＋?＋akbk，1－bk＋1

a1b1＋a2b2＋?＋akbk1－bk＋1?從而ab11ab22?abkkabk＋1k＋1≤?abk＋1k＋1.1－bk＋1??

又因(1－bk＋1)＋bk＋1＝1，由②得

1－bk＋1

a1b1＋a2b2＋?＋akbk?a1b1＋a2b2＋?＋akbkabk＋1k＋1≤·(1－bk＋1)＋ak＋1bk＋1＝a1b1＋?1－bk＋11－bk＋1??

因

a2b2＋?＋akbk＋ak＋1bk＋1，從而ab11ab22?abkkabk＋1k＋1≤a1b1＋a2b2＋?＋akbk＋ak＋1bk＋1.故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，③成立．

由①②可知，對一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立． 說明：(3)中如果推廣形式中指出③式對n≥2成立，則后續(xù)證明中不需討論n＝1的情況．

【難點(diǎn)突破】

*

16．解：(1)對任意n∈N，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)是等差數(shù)列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列． 于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.*

(2)①必要性：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，則對任意n∈N，有an＋1＝anq.由an

＞0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是

B（n）a2＋a3＋?＋an＋1q（a1＋a2＋?＋an）

＝q，A（n）a1＋a2＋?＋ana1＋a2＋?＋an

C（n）a3＋a4＋?＋an＋2q（a2＋a3＋?＋an＋1）

＝＝q，B（n）a2＋a3＋?＋an＋1a2＋a3＋?＋an＋1

B（n）C（n）即＝＝q.所以三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列． A（n）B（n）

*

②充分性：若對任意n∈N，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)．

于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，得an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.由n＝1有B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，從而an＋2－qan＋1＝0.an＋2

錯誤!＝q.an＋1

故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列．

*

綜上所述，數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N，三個(gè)數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．

因?yàn)閍n＞0，所以

第三篇：2014屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章《不等式與推理證明》(第2課時(shí))知識過關(guān)檢測 理 新人教A版

2014屆高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)知識過關(guān)檢測：第6章《不等式與

推理證明》（第2課時(shí)）（新人教A版）

一、選擇題

1．(2011·高考上海卷)若a，b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是()

22A．a(chǎn)＋b＞2abB．a(chǎn)＋b≥2ab

112baC.D.＋ ababab

解析：選D.∵a＋b－2ab＝(a－b)≥0，∴A錯誤．

對于B、C，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，明顯錯誤．

對于D，∵ab＞0，∴＋≥2 222ba

abba2.ab

1(x>2)在x＝a處取最小值，則a＝()x－22．(2011·高考重慶卷)若函數(shù)f(x)＝x＋

A．1

2C．

3解析：選C.f(x)＝x＋B．1＋3 D．4 11＝x－2＋2.x－2x－2

∵x>2，∴x－2>0.11(x－2)·∴f(x)＝x－2＋2＝4，x－2x－2

1當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即x＝3時(shí)，“＝”成立． x－2

又f(x)在x＝a處取最小值．∴a＝3.3．(2012·高考福建卷)下列不等式一定成立的是()

?21?A．lg?x＋?＞lgx(x＞0)4??

1B．sinx＋x≠kπ，k∈Z)sinx

2C．x＋1≥2|x|(x∈R)

1D.2＞1(x∈R)x＋

113?21解析：選C.取x＝，則lg?x＋＝lgx，故排除A；取xπ，則sinx＝－1，sinx4?22?

11＋2，故排除B；取x＝021，故排除D.應(yīng)選C.sinxx＋1

114．已知a>0，b>0，則2的最小值是()ab

A．2

C．4B．2 D．

5??a＝b112解析：選C.＋2ab≥＋2ab≥22×2＝4.當(dāng)且僅當(dāng)?ab?ab＝1ab?

立，即a＝b＝1時(shí)，不等式取最小值4.時(shí)，等號成5．(2011·高考北京卷)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時(shí)間為1元．為使平均到每8件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()

A．60件B．80件 C．100件D．120件 解析：選B.設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得 800x800xy·20.x8x8

800x

當(dāng)且僅當(dāng)＝x>0)，即x＝80時(shí)“＝”成立，故選B.x8

二、填空題

6．函數(shù)y＝解析：y＝

x

x

2＝x＋9

x4＋9x2

x≠0)的最大值為__________，此時(shí)x的值為________． 19≤296

1x2＋2

x

當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，即x3時(shí)取等號．

x

答案：±

367．某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x＝________.400

解析：每年購買次數(shù)為x

400

∴總費(fèi)用為4x≥26400＝160，x

1600

當(dāng)且僅當(dāng)＝4x，即x＝20時(shí)等號成立，故x＝20.x

答案：20

8．設(shè)正數(shù)x，y滿足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，則x＋y的取值范圍是________．

x＋y2

解析：原式等價(jià)于x＋y＋3＝xy≤((當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號)，所以x＋y＋

x＋y23≤(x＋y)－4(x＋y)－12≥0，所以x＋y≥6或x＋y ≤－2(舍去)，故x＋y

∈[6，＋∞)．

答案：[6，＋∞)

三、解答題

ab

49．已知a，b＞0，求證：22baa＋b

abab

1＞0，2·2＝

2babaab

a＋b≥2ab＞0，1?ab∴?2＋2(a＋b)≥2 ·2ab＝4.ab?ba?

ab4∴2＋2≥baa＋b

證明：∵2＋2

ab??22當(dāng)且僅當(dāng)?ba

??a＝b，取等號，即a＝b時(shí)，不等式等號成立．

10．(1)設(shè)0

(2)已知x，y都是正實(shí)數(shù)，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．

解：(1)∵00.∴y＝4x·(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

2x＋3－2x29]＝.22

當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－2x，即x＝時(shí)，等號成立．

33∵∈(0，)，42

∴函數(shù)y＝4x(3－2x)(0

(2)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy.∴xy＋5≤x＋y＋5＝3xy.∴3xy－2－5≥0，∴(xy＋1)(3xy－5)≥0，52

5∴xy≥xy≥，等號成立的條件是x＝y(tǒng).39525

此時(shí)x＝y(tǒng)＝，故xy的最小值是.39

一、選擇題

1．(2011·高考陜西卷)設(shè)0＜a＜b，則下列不等式中正確的是()

a＋ba＋b

A．a(chǎn)＜b＜ab＜B．a(chǎn)＜ab＜b

22a＋ba＋b

C．a(chǎn)ab＜b＜D.ab＜a＜b

2a＋b

解析：選B.∵0＜a＜b，∴a＜b，A、Cab－a＝aba)＞0，ab

＞a，故選B.2．(2012·高考浙江卷)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()2428A.B.55C．5D．6

3解析：選C.∵x＋3y＝5xy，∴＋5，∵x＞0，y＞0，yx

yxyx

＋4y≥5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號．∴3x＋4y的最小值是5，選C.二、填空題

?133x12y

∴(3x＋4y)?＝＋＋9＋4≥

2?yx?

3x12y＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，∴3x

2??21?

13．(2011·高考湖南卷)設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則?x＋2?2＋4y?的最小值為________．

y??x??

12??21122

解析：?x＋22＋4y?＝54xy≥5＋2

?y??x?

xy

12222

·4xy＝9，當(dāng)且僅當(dāng)xy＝時(shí)xy2

“＝”成立．

答案：9

xy

4．(2013·濰坊質(zhì)檢)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，則9＋3的最小值為________．

解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即4(x－1)＋2y＝0,2x＋y＝2，xy2xy9＋3＝3＋3≥23·3＝23＝2×3＝6.2xy??3＝31

(當(dāng)且僅當(dāng)?，即x＝，y＝1時(shí)取等號)

2?2x＋y＝2?

答案：6

三、解答題 5.設(shè)矩形ABCD(AB＞AD)的周長為24，把它關(guān)于AC折起來，AB折過去后交CD于點(diǎn)P，如圖，設(shè)AB＝x，求△ADP的面積的最大值，及此時(shí)x的值．

解：∵AB＝x，∴AD＝12－x，又DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP，即AP＝x－DP，72222

∴(12－x)＋PD＝(x－PD)，得PD＝12－，x

∵AB＞AD，∴6＜x＜12，∴△ADP的面積S＝AD·DP

2721?＝(12－x)?12－ x?2?

?72＝108－6?x≤108－6·272＝108－2，?x?

當(dāng)且僅當(dāng)xx＝2時(shí)取等號，x

∴△ADP面積的最大值為108－2，此時(shí)x＝62.

第四篇：【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)—贏在高考】2014屆高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(人教A版·理)【配套訓(xùn)練】第七章 不等式 7.2

第2講 不等式的解法

1.不等式>0的解集是()

A.(-2,1)B.(2,+∞)

C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)【答案】C 【解析】原不等式等價(jià)于 ∴x>2或-2

C.(-∞,0]∪[1,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)【答案】D 【解析】當(dāng)x≤0時(shí),由x2≥1,得x≤-1;當(dāng)x>0時(shí),由2x-1≥1,得x≥1.綜上可知,x∈(-∞,-1]∪[1,+∞).3.若(m+1)x2-(m-1)x+3(m-1)<0對任何實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m>1 B.m<-1 C.m<-D.m>1或m<-【答案】C 【解析】當(dāng)m=-1時(shí),不等式變?yōu)?x-6<0, 即x<3,不符合題意.當(dāng)m≠-1時(shí),由題意知

化簡,得解得m<-.4.若關(guān)于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),則關(guān)于x的不等式>0的解集是()A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-1,2)C.(1,2)D.(-∞,1)∪(2,+∞)【答案】A 【解析】由于ax>b的解集為(1,+∞),故有a>0且=1,又>0?(ax+b)(x-2)=a(x+1)(x-2)>0?(x+1)(x-2)>0,故不等式的解集為(-∞,-1)∪(2,+∞).5.(2012·北京東城示范校綜合練習(xí))已知函數(shù)f(x)=則不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是()A.{x|-1≤x≤-1} B.{x|x≤1} C.{x|x≤-1} D.{x|--1≤x≤-1} 【答案】C 【解析】當(dāng)x+1<0,即x<-1時(shí),x+(x+1)f(x+1)=x+(x+1)(-x)≤1,解得x∈R,所以x<-1.當(dāng)x+1≥0,即x≥-1時(shí),x+(x+1)f(x+1)=x+(x+1)x≤1,解得--1≤x≤-1,所以-1≤x≤-1.于是可得原不等式的解集為{x|x≤-1}.6.設(shè)函數(shù)f(x)=已知f(a)>1,則a的取值范圍是()A.(-∞,2)∪

B.C.(-∞,-2)∪ D.∪(1,+∞)【答案】C 【解析】 a≤-1時(shí),由(a+1)2>1,得a<-2或a>0,故a<-2;-11,得a>-,故-1無解.綜上,a的取值范圍是(-∞,-2)∪,故選C.7.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)>0的解集為{x|-3

【答案】B 【解析】由題意可知,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c為二次函數(shù),其圖象為開口向下的拋物線,與x軸的交點(diǎn)是(-3,0),(1,0),又y=f(-x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,故只有B符合.8.(2012·安徽合肥質(zhì)檢)不等式≥0的解集是

.【答案】(1,2] 【解析】因?yàn)椤?等價(jià)于所以不等式≥0的解集為(1,2].9.若不等式a<2x-x2對于任意的x∈[-2,3]恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.【答案】(-∞,-8)【解析】由已知不等式a<-x2+2x對任意x∈[-2,3]恒成立,令f(x)=-x2+2x,x∈[-2,3], 可得當(dāng)x=-2時(shí),f(x)min=f(-2)=-8, ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-8).10.(2012·北京卷,14)已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,則m的取值范圍是

.【答案】(-4,0)【解析】由題意可知,m≥0時(shí)不能保證對?x∈R,f(x)<0或g(x)<0成立.當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,畫出圖象①,顯然滿足條件;(2)當(dāng)-1-(m+3),要使其滿足條件,則需解得-12m,要使其滿足條件,則需解得-4

如圖所示,由穿根法知原不等式的解集為 {x|-2≤x<0或x≥1}.12.已知a<1,解關(guān)于x的不等式>1.【解】原不等式可化為>0, 因?yàn)閍<1,所以a-1<0.故原不等式化為<0,等價(jià)于(x-2)<0.當(dāng)0

當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為?;當(dāng)a<0時(shí),解集為.拓展延伸

13.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+3.(1)若當(dāng)x∈R時(shí),f(x)≥a恒成立,求a的范圍;(2)若當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),f(x)≥a恒成立,求a的范圍.【解】(1)f(x)≥a恒成立,即x2+ax+3-a≥0恒成立,必須且只需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0, 解得-6≤a≤2.(2)f(x)=x2+ax+3=+3-.①當(dāng)-<-2,即a>4時(shí),f(x)min=f(-2)=-2a+7,由-2a+7≥a得a≤,故a∈?.②當(dāng)-2≤-≤2,即-4≤a≤4時(shí),f(x)min=3-, 由3-≥a,得-6≤a≤2.故-4≤a≤2.③當(dāng)->2,即a<-4時(shí),f(x)min=f(2)=2a+7, 由2a+7≥a,得a≥-7,故-7≤a<-4.綜上,得a∈[-7,2].

第五篇：南京大學(xué)附中2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：推理與證明

南京大學(xué)附中2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：推理與證明

本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．

第Ⅰ卷(選擇題 共60分)

一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1．若P?a?a?7，Q?a?3?a?4，(a?0)則P、Q的大小關(guān)系是()

B．P＝Q

D．由a的取值確定 A．P＞Q C．P＜Q

【答案】C

2．如果正數(shù)a,b,c,d滿足a?b?cd?4，那么()

A． ab?c?d且等號成立時(shí)a,b,c,d的取值唯一

B． ab?c?d且等號成立時(shí)a,b,c,d的取值唯一

C． ab?c?d且等號成立時(shí)a,b,c,d的取值不唯一

D． ab?c?d且等號成立時(shí)a,b,c,d的取值不唯一

22【答案】A 3．用反證法證明命題：“如果a?b?0，那么a?b”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()

A．a(chǎn)?b

C．a(chǎn)?b

【答案】C

4．平面內(nèi)有一長度為2的線段AB和一動點(diǎn)P,若滿足|PA|+|PB|=8,則|PA|的取值范圍是()

A．[1,4];B．[2,6];C．[3,5 ];D． [3,6].【答案】C

5．下面哪個(gè)平面圖形與空間的平行六面體作為類比對象較合適()

A．三角形B．平行四邊形

C．梯形D．矩形

【答案】B

6．下邊所示的三角形數(shù)組是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角形，根據(jù)圖中的數(shù)構(gòu)成的規(guī)律，a所表示的數(shù)是()

A．2 B．4 C．6 D．2222B．a(chǎn)?b D．a(chǎn)?b且a?b 22222

2【答案】C

7．由7598139b?mb與之間大小關(guān)系為()?,?,?,?若a>b>0,m>0,則10811102521a?ma

B．前者大 C．后者大 D．不確定 A．相等

【答案】B

8．用反證法證明命題：“a,b,c,d?R,a?b?1,c?d

少有一個(gè)負(fù)數(shù)”時(shí)的假設(shè)為()?1,且ac?bd?1,則a,b,c,d中至

A．a(chǎn),b,c,d中至少有一個(gè)正數(shù)

C．a(chǎn),b,c,d中至多有一個(gè)負(fù)數(shù) B．a(chǎn),b,c,d全為正數(shù) D．a(chǎn),b,c,d全都大于等于0

【答案】D

9．為確保信息安全,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密規(guī)則為:明文a,b,c,d對應(yīng)密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4對應(yīng)密文5,7,18,16.當(dāng)接收方收到密文14,9,23,28時(shí),則解密得到的明文為()

A．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7

【答案】C

2S10．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類a＋b＋c

比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P－ABC的體積為V，則R＝()

V2VA．B．S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S

43V4VC．D． S1＋S2＋S3＋S4S1＋S2＋S3＋S4

【答案】C

11．用反證法證明命題“a，b?N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．則假設(shè)的內(nèi)容是()

A．a(chǎn)，b都能被5整除

C．a(chǎn)不能被5整除

【答案】B B．a(chǎn)，b都不能被5整除D．a(chǎn)，b有1個(gè)不能被5整除

ax?a?x

12．類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個(gè)函數(shù)，S(x)?，2ax?a?x，其中a?0，且a?1，下面正確的運(yùn)算公式是()C(x)?2

①S(x?y)?S(x)C(y)?C(x)S(y)；

②S(x?y)?S(x)C(y)?C(x)S(y)；

③C(x?y)?C(x)C(y)?S(x)S(y)；

④C(x?y)?C(x)C(y)?S(x)S(y)；

A．①③

【答案】Ｄ

第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)

二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)

13．連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦．半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長度分別等于

B．②④ C．①④ D．①②③④

．

【答案】

514．某同學(xué)在證明命題“

要證明7?7???2”時(shí)作了如下分析，請你補(bǔ)充完整.?6?2，只需證明____________,只需證明____________,＋2?9?2，即?,只需證明14?18,____________,展開得9

所以原不等式:7??6?2成立.22(7?2)?(6?)7?2??3【答案】,，因?yàn)?4?18成立。

15．同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第23個(gè)圖案中需用黑色瓷磚塊

.【答案】100

16．在一次珠寶展覽會上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾是 由6顆珠寶（圖中圓圈表示珠寶）構(gòu)成如圖1所示的正六邊形，第三件首飾如圖2，第四件 首飾如圖3，第五件首飾如圖4，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量 的珠寶，使它構(gòu)成更大的正六邊形，依此推斷第7件首飾上應(yīng)有____________顆珠寶。

【答案】9

1三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17．已知a是整數(shù)，a2是偶數(shù)，求證：a也是偶數(shù)．

【答案】（反證法）假設(shè)a不是偶數(shù)，即a是奇數(shù)．

設(shè)a?2n?1(n?Z)，則a2?4n2?4n?1．

∵4(n2?n)是偶數(shù)，∴4n2?4n?1是奇數(shù)，這與已知a2是偶數(shù)矛盾．

由上述矛盾可知，a一定是偶數(shù)．

18．有一種密英文的明文(真實(shí)文)按字母分解,其中英文的a,b,c,?,z的26個(gè)字母(不分大小寫),依次對應(yīng)1,2,3,?,26這26個(gè)自然數(shù),見如下表格

:

給出如下變換公式:

?x?1(x?N,1?x?26,x不能被2整除)??2' X???x?13(x?N,1?x?26,x能被2整除)??

285+1將明文轉(zhuǎn)換成密文,如8→+13=17,即h變成q；如5→=3，即e變成c.22

①按上述規(guī)定，將明文good譯成的密文是什么？

②按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來的明文是什么？

【答案】①g→7→7+115+1→d;o→15→→h;d→o;22

則明文good的密文為dhho

②逆變換公式為

'''??2x?1(x?N,1?x?13)x??' ''??2x?26(x?N,14?x?26)

則有s→19→2×19-26=12→l；h→8→2×8-1=15→o；

x→24→2×24-26=22→v；c→3→2×3-1=5→e

故密文shxc的明文為love

19．設(shè){an}和{bn}均為無窮數(shù)列．

(1）若{an}和{bn}均為等比數(shù)列，試研究：{an?bn}和{anbn}是否是等比數(shù)列？請證明你的結(jié)論；若是等比數(shù)列，請寫出其前n項(xiàng)和公式．

(2）請類比（1），針對等差數(shù)列提出相應(yīng)的真命題（不必證明），并寫出相應(yīng)的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（用首項(xiàng)與公差表示）．

【答案】（1）①設(shè)cn?an?bn，則設(shè)cn2n?12n?2n?cn?1cn?1?(a1q1n?1?b1q2)?(a1q1n?b1q2))(a1q1n?2?b1q2

n?2?a1b1q1n?2q2(q1?q2)2

ncn?1an?1?bn?1a1q1n?b1q2??(或）n?1cnan?bna1q1n?1?b1q2

當(dāng)q12?q2時(shí)，對任意的n?N,n?2，cn?cn?1cn?1（或cn?1?q1）恒成立，cn

故{an?bn}為等比數(shù)列；

?n(a1?b1),q1?q2?1,?Sn??(a1?b1)(1?q1n),q1?q2?1.?1?q1?

當(dāng)q1?q2時(shí)，2證法一：對任意的n?N,n?2，cn

證法二：c22?cn?1cn?1，{an?bn}不是等比數(shù)列． 2?c1c3?a1b1[2q1q2?(q12?q2)]?0，{an?bn}不是等比數(shù)列．

②設(shè)dn?anbn，對于任意n?N，*dn?1an?1bn?1??q1q2，{anbn}是等比數(shù)列． dnanbn

?n(a1b1),q1q2?1,?nSn??a1b1(1?q1nq2),qq?1.12?1?qq12?

(2）設(shè){an}，{bn}均為等差數(shù)列，公差分別為d1，d2，則：

①{an?bn}為等差數(shù)列；Sn?(a1?b1)n?n(n?1)(d1?d2)2

②當(dāng)d1與d2至少有一個(gè)為0時(shí)，{anbn}是等差數(shù)列，n(n?1)a1d2； 2

n(n?1)若d2?0，Sn?a1b1n?b1d1． 2若d1?0，Sn?a1b1n?

③當(dāng)d1與d2都不為0時(shí)，{anbn}一定不是等差數(shù)列．

20．求證： 6?【答案】要證：

只需：?即證： > 22?7 ?5>22?77>22?成立，26?7??2> 2??2

只需證：13+242> 13+240

即證：42>40

∵42>40顯然成立，∴ 6?5>22?證畢。

21．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對的邊，求證：

113??。a?bb?ca?b?c

【答案】要證

即證113a?b?ca?b?c，即需證????3。a?bb?ca?bb?ca?b?cca222??1。又需證c(b?c)?a(a?b)?(a?b)(b?c)，需證c?a?ac?b a?bb?c

∵△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列。∴B=60°。由余弦定理，有b2?c2?a2?2cacos60?，即b2?c2?a2?ac。∴c2?a2?ac?b2成立，命題得證。

22．已知x?1,y?1，用分析法證明：x?y??xy.x?y??xy，即證?x?y?2??1?xy?2，22【答案】要證22即證x?y?1?xy，即證x?11?y

因?yàn)?

?2????2??0，??0，不等式得證． x?1,y?1，所以x2?1?0,1?y2?0，22所以x?11?y