第一篇：2015屆高考數學總復習幾何證明選講第2課時 圓的進一步認識課時訓練 新人教A版選修4-1

選修4－1 幾何證明選講第2課時 圓的進一步認識(理科專用)

1.如圖，在半徑為7的圓O中，弦AB、CD相交于點P，PA＝PB＝2，PD

＝1，求圓心O到弦CD的距離．

解：連結OD，取CD的中點M.則圓心O到弦CD的距離為OM.4＋15由相交弦定理得PA·PB＝DP·PC，解得PC＝4，所以MD＝＝.2

25?233所以OM＝OD2－MD2＝7－?＝＝.?2?42

2.如圖，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上的射影為E.若

CEAB＝3AD，求的值． EO

AB221解：設圓的半徑為R，則AD＝＝R，OD＝R－R＝R.又OD2＝OE·OC，所以OE333

3OD2118CE＝＝R，CE＝R－R＝R，所以＝8.OC999EO

3.如圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，分別求PD、AB的值．

解：由PD∶DB＝9∶16，可設PD＝9x，DB＝16x.因為PA為圓O的切線，所以PA2＝PDPB，11所以32＝9x(9x＋16x)，化為x2＝，所以x＝.25

59所以PD＝9x＝，PB＝25x＝5.5

因為AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，所以AB⊥PA.所以AB＝PB2－PA2＝52－32＝4.4.如圖，圓O的半徑為1，A、B、C是圓周上的三點，滿足∠ABC＝30°，過點A作圓O的切線與OC的延長線交于點P，求PA的值．

解：連結OA，則∠AOC＝60°，∠OAP＝90°，因為OA＝1，所以PA＝3.5.自圓O外一點P引切線與圓切于點A，M為PA的中點，過M引割線交圓于B、C兩點．求證：∠MCP＝∠MPB.證明：∵ PA與圓相切于A，PMMB＝.MC

PM

∴ MA2＝MB·MC.又M為PA的中點，∴ PM＝MA，∴ PM2＝MB·MC，∴ ∵ ∠BMP＝∠PMC，∴ △BMP∽△PMC，∴ ∠MCP＝∠MPB.16.如圖，圓O的兩條弦AC、BD互相垂直，OE⊥

AB，垂足為E，求證：OE＝CD.證明：連結AO并延長交圓O于F，則AF為圓O的直徑，連結BF、CF，則∠ABF＝

∠ACF＝90°.∵ OE⊥AB，又O為AF的中點，∴ E為AB的中點，∴ OE＝BF.∵ ∠

︵︵

1ACF＝90°，∴ AC⊥CF.又AC⊥BD，∴ BD

∥CF，則DC＝BF，∴ DC＝BF，∴ OE＝CD.7.如圖，AB是圓O的直徑，C、F為圓O上的點，且CA平分∠BAF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D.求證：DC是圓O的切線．

證明：連結OC，所以∠OAC＝∠OCA.又CA平分∠BAF，所以∠OAC＝∠FAC，所以∠FAC＝∠OCA，所以OC∥AD.又CD⊥AF，所以CD⊥OC，所以DC是圓O的切線．

8.如圖，圓O1與圓O2交于M、N兩點，直線AE與這兩個圓及MN依次交于A、B、C、D、E.求證：AB·CD＝BC·DE.證明：因為A、M、D、N四點共圓，所以AC·CD＝MC·CN.同理，有BC·CE＝MC·CN，所以AC·CD＝BC·CE，即(AB＋BC)·CD＝BC·(CD＋DE)，所以AB·CD＝BC·DE.9.如圖，AB、CD是圓的兩條平行弦，BE∥AC，BE交CD于E、交圓于F，過A點的切線交CD的延長線于點P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的長；(2)求證：BE＝EF.(1)解：∵ PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴ PD＝4.又PC＝ED＝1，∴ CE＝2.∵ ∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，PCAC

∴ △PAC∽△CBA，∴ ＝，ACAB

∴ AC2＝PC·AB＝2，∴ AC＝2.(2)證明：∵ BE＝AC2，CE＝2，而CE·ED＝BE·EF，2×

1∴ EF＝2，∴ EF＝BE.10.如圖，AB是圓O的直徑，D、E為圓上位于AB異側的兩點，連結BD并延長至點C，使BD＝DC，連結AC、AE、DE.求證：∠E＝∠C.證明：連結AD.∵ AB是圓O的直徑，∴ ∠ADB＝90°.∴ AD⊥BD.∵ BD＝DC，∴ AD是線段BC的中垂線． ∴ AB＝AC.∴ ∠B＝∠C.又∵ D、E為圓上位于AB異側的兩點，∴ ∠B＝∠E.∴ ∠E＝∠C.11.如圖所示，AB是圓O的直徑，G為AB延長線上的一點，GCD是圓O的割線，過點G作AB的垂線交AC的延長線于點E、交AD的延長線于點F，過G作圓O的切線，切點為H.求證：

(1)C、D、F、E四點共圓；(2)GH2＝GE·

GF.證明：(1)如圖，連結BC.∵ AB是圓O的直徑，∴ ∠ACB＝90°.∵ AG⊥FG，∴ ∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴ ∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴ ∠FDC＝∠AEG.∴ ∠FDC＋∠CEF＝180°.∴ C、D、F、E四點共圓．

(2)∵ GH為圓O的切線，GCD為割線，∴ GH2＝GC·GD.由C、D、F、E四點共圓，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，GCGE

∴ △GCE∽△GFD.∴，GFGD

即GC·GD＝GE·GF，∴ GH2＝GE·

GF.

第二篇：2015屆高考數學總復習幾何證明選講第1課時 相似三角形的進一步認識課時訓練 新人教A版選修4-1

選修4－1 幾何證明選講第1課時 相似三角形的進一步認識

(理科專用)

1.在Rt△ABC中，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，該圖中共有幾個三角形與

△ABC相似？

解：△ACD、△CBD與△ABC相似，共2個．

ABBCAC52.如圖，在△ABC和△DBE

中，＝＝＝，若△ABC與△DBE的周長之差為DBBEDE310 cm，求△ABC的周長．

解：利用相似三角形的相似比等于周長比可得△ABC的周長為25 cm.3.在△ABC中，D、E分別為AB、AC上的點，且DE∥BC，△ADE的面積是2 cm2，梯形DBCE的面積為6 cm2，求DE∶BC的值．

解：△ADE∽△ABC，利用面積比等于相似比的平方可得DE∶BC＝1∶2.4.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，正方形DEFG的邊長是6 cm，且四個頂點都在△ABC的各邊上，CE＝3 cm，求BC的長．

解：∵ 四邊形DEFG是正方形，∴ ∠GDB＝∠FEC＝90°，GD＝DE＝EF＝6 cm.∵ ∠

BDGDB＋∠C＝90°，∠B＋∠BGD＝90°，∴ ∠C＝∠BGD，∴ △BGD∽△FCE，∴ ＝，EFEC

EF·GD即BD＝＝12 cm，∴ BC＝BD＋DE＋EC＝21 cm.EC

EFFG5.如圖，在四邊形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，求＋的值． BCAD

EFAFFGCFEFFGAFCFAF＋CF解：由EF∥BC得＝，由FG∥AD得＝，所以＋＝＋＝BCACADCABCADACCACA

＝1.16.如圖，在△ABC中，D為BC邊上中點，延長BA到E，使AE＝EB，連結DE，3交AC于F.求AF∶FC值．

1解：過D點作DP∥AC(如圖)，因為D是BC的中點，所以P為AB的中點，且DP＝

2AC.1

1又AE

＝EB，所以AE＝AP，所以AF＝DP＝AC，所以AF∶FC＝1∶3.32

4°

7.如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90，且AB＝6，AC＝4，AD＝12.求BE的長．

解：因為AE⊥BC，所以∠AEB＝∠ACD＝90°.因為∠B＝∠D，所以△AEB∽△ACD，ACADAB·AC6×4所以＝，所以AE＝＝2.在Rt△AEB中，BE＝AB－AE＝6－2＝

AEABAD1242.8.如圖，在△ABC中，D是AC中點，E是BD三等分點，AE的延長線交BC于F.求S△BEF

S四邊形DEFC

BFBE1

解：過D點作DM∥AF交BC于M.因為DM∥AF，所以因為EF∥DM，BMBD3

S△1S△22

所以，即S△BDM＝9S△BEF.又＝，即S△DMC＝△BDM＝6S△BEF，所以S四邊形DEFC

3S△BDM9S△BDM3

S△BEF1

＝14S△BEF，因此.S四邊形

DEFC14

9.如圖，若AD是△ABC中∠A的平分線，EF是AD的中垂線且交BC的延長線與F點．求證：FD2＝FC·FB.解：如圖，連結FA.∵ EF是AD的中垂線，∴ AF＝DF，∴ ∠2＋∠3＝∠4＝∠1＋∠B.而∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠B.又∠AFB共用，∴ △FAC∽△FBA.∴ ∴ AF 2＝BF·CF，即DF 2＝BF·

CF.AFBF

FCAF

10.如圖，在△ABC中，AB＝AC，延長BC到D，使CD＝BC，CE⊥BD，交AD于E，連結BE，交AC于點F.求證：AF＝FC.證明：取BC的中點H，連結AH.∵ AB＝AC，∴ AH⊥BC.∵ CE⊥BD，∴ AH∥EC.∵ CD＝BC，∴ CD＝2CH.則DE＝2AE.取ED的中點M，連結CM.則ME＝AE.∵ C為BD的中點，∴ CM∥BE.則F為AC的中點，即AF＝

FC.11.如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于F.BF

(1)求

FC

(2)若△BEF的面積為S1，四邊形CDEF的面積為S2，求S1∶S2的值．

解：(1)過D點作DG∥BC，交AF于G點，∵ E是BD的中點，∴ BE＝DE.又∠EBF＝∠EDG，∠BEF＝∠DEG，∴ △BEF≌△DEG，則BF＝DG，∴ BF∶FC＝DG∶FC.∵ D是AC的中點，則DG∶FC＝1∶2，則BF∶FC＝1∶2.(2)若△BEF以BF為底，△BDC以BC為底，由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD

S△BEF111

＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，其中h1、h2分別為△BEF和△BDC的高，則×，S△BDC326

則S1∶S2＝.

第三篇：【高考精品復習】選修4-1 幾何證明選講 第2講 圓周角定理與圓的切線

第【高考會這樣考】 2講 圓周角定理與圓的切線

考查圓的切線定理和性質定理的應用．

【復習指導】

本講復習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法

.基礎梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)

(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

(2)①切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論 ①定理：弦切角的度數等于所夾弧的度數的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC

為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D

是優弧BC上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠

BAC＝100°，1∴∠BDC＝2∠BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝

60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大

小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與

圓O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝3，則圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以

AP23OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝＝tan 60°2，故圓

O的直徑為4.tan ∠AOP答案

4考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結AD，BC，結合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.CDAD又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2所以cos∠DAP＝

32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝2.答案

2解決本題的關鍵是尋找∠APB與∠DAP的關系以及AD與AB的關系．

【訓練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應用

【例2】?如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉化為線 段之間的比例關系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，BEAB∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AFACBCAF又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF∴AB＝CD，∴BC＝AF，∴8＝6，3015∴EF＝84.15答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，BCCD所以△BDC∽△ECB，故BE＝BC，即BC2＝BE×CD

.高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第四篇：選修4-1 幾何證明選講第2講 圓周角定理與圓的切線

第【復習指導】 2講 圓周角定理與圓的切線

本講復習時，牢牢抓住圓的切線定理和性質定理，以及圓周角定理和弦切角等有關知識，重點掌握解決問題的基本方法.基礎梳理

1．圓周角定理

(1)

(2)(3)圓周角定理的推論

①同弧(或等弧)上的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等． ②半圓(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑．

2．圓的切線

(1)直線與圓的位置關系

(2)①切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑．

②切線的判定定理

過半徑外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線．

(3)切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線長相等．

3．弦切角

(1)

(2)弦切角定理及推論

①定理：弦切角的度數等于所夾弧的度數的一半．

②推論：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角與圓周角相等．

雙基自測

1．如圖所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC為直徑的圓與斜邊交于點P，則BP長為________．

解析 連接CP.由推論2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定

理知，AC2＝

AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案 6.42．如圖所示，AB、AC是⊙O的兩條切線，切點分別為B、C，D是優弧BC上的點，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析 連接OB、OC，則OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，1∴∠BDC＝2BOC＝50°.答案 50°

3．(2011·廣州測試(一))如圖所示，CD是圓O的切線，切點為C，點

A、B在圓O上，BC＝1，∠BCD＝30°，則圓O的面積為________．

解析 連接OC，OB，依題意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC，因此△BOC是等邊三角形，OB＝OC＝BC＝1，即圓O的半徑為1，所以圓O的面積為π×12＝π.答案 π

4．(2011·深圳二次調研)如圖，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC為直徑的圓交AC邊于點D，AD＝2，則∠C的大小為________．

解析 連接BD，則有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°.答案 30°

5．(2011·汕頭調研)如圖，MN是圓O的直徑，MN的延長線與圓

O上過點P的切線PA相交于點A，若∠M＝30°，AP＝23，則

圓O的直徑為________．

解析 連接OP，因為∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因為PA切圓O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝

答案

4考向一 圓周角的計算與證明

【例1】?(2011·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC、BD交于點P，若ABAP3tan 60°＝2，故圓O的直徑為4.tan ∠AOP＝3，CD＝1，則sin∠APB＝________.[審題視點] 連結AD，BC，結合正弦定理求解．

解析 連接AD，BC.因為AB是圓O的直徑，所以∠

ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：CDAD＝＝sin∠DACsin∠ACD

ABsin∠ABDAD1AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝3sin∠ABDsin∠ABD

2以cos∠DAP＝32.2又sin∠APB＝sin(90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝32.2答案

32解決本題的關鍵是尋找∠APB與∠DAP的關系以及AD與AB的關系．

【訓練1】 如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB＝4，∠ACB＝30°，則圓O的面積等于________．

解析 連接AO，OB.因為∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝OA＝AB＝4，圓O的面積S＝πr2＝16π.答案 16π

考向二 弦切角定理及推論的應用

【例2】?如圖，梯形ABCD內接于⊙O，AD∥BC，過B引⊙O的切線分別交DA、CA的延長線于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，則EF的長為________．

[審題視點] 先證明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等條件轉化為線 段之間的比例關系，從而求解．

解析 ∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.BEAB又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴AC＝BC.EFBEABEF又AE∥BC，∴AF＝AC，∴BC＝AF.，又AD∥BC，∴AB＝CD，CDEF5EF3015∴AB＝CD，∴BCAF86EF＝8415答案 4

(1)圓周角定理及其推論與弦切角定理及其推論多用于推出角的關系，從

而證明三角形全等或相似，可求線段或角的大小．

(2)涉及圓的切線問題時要注意弦切角的轉化；關于圓周上的點，常作直線(或半徑)或向弦(弧)兩端畫圓周角或作弦切角．

【訓練2】(2010·新課標全國)如圖，已知圓上的弧AC＝BD，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：

(1)∠ACE＝∠BCD；

(2)BC2＝BE×CD.證明(1)因為AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.BCCD(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BEBC

即BC2＝BE×CD.高考中幾何證明選講問題(二)

從近兩年的新課標高考試題可以看出，圓的切線的有關知識是重點考查對象，并且多以填空題的形式出現．

【示例】?(2011·天津卷)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DF＝CF2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長為________．

第五篇：2015屆高考數學總復習第七章 推理與證明第3課時 數學歸納法課時訓練

1117.設f(n)＝＋?＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝________． 2nn＋1n＋

211答案： 2n＋12n＋2

解析：f(n＋1)－f(n)

11111＝?（n＋1）＋1＋（n＋1）＋2＋?＋2n＋2n＋1＋2（n＋1）? ??

111－?n＋1＋n＋2＋?＋2n ??

11111＝－.2n＋12（n＋1）n＋12n＋12n＋2

－8.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋?＋n×3n1＝3n(na－b)＋c對一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為____________．

11答案：a＝，b＝c＝2

4解析：∵ 等式對一切n∈N*均成立，∴ n＝1，2，3時等式成立，?1＝3（a－b）＋c，?2即?1＋2×3＝3（2a－b）＋c，??1＋2×3＋3×32＝33（3a－b）＋c，3a－3b＋c＝1，??11整理得?18a－9b＋c＝7，解得ab＝c 24??81a－27b＋c＝34，9.已知正項數列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋

*a(n∈N*)．用數學歸納法證明：an

a3證明：當n＝1時，a2＝1＋，a1

2ak＋1ak＋1時，ak0.則當n＝k＋1時，ak＋2－ak＋1＝1＋－ak＋1＝1－1＋ak＋11＋ak＋

1ak＋1－ak?1＋a?＝?1＋ak?（1＋ak）（1＋ak＋1）>0，所以n＝k＋1時，不等式成立．綜上所述，不等式

an

＋－10.求證：an1＋(a＋1)2n1能被a2＋a＋1整除(其中n∈N*)．

證明：① 當n＝1時，a2＋(a＋1)1＝a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即當n＝1時原命題成立．

＋－＋② 假設n＝k(k∈N*)時，ak1＋(a＋1)2k1能被a2＋a＋1整除．則當n＝k＋1時，ak2

＋＋－＋－－＋(a＋1)2k1＝a·ak1＋(a＋1)2·(a＋1)2k1＝a·ak1＋a·(a＋1)2k1＋(a2＋a＋1)·(a＋1)2k1＝

[ak＋1＋（a＋1）2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由歸納假設及a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除可a·

＋＋知，ak2＋(a＋1)2k1也能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1命題也成立．

根據①和②可知，對于任意的n∈N*，原命題成立．

11.設數列{an}的前n項和Sn＝2n－an，先計算數列的前4項，后猜想an并證明之．

3解：由a1＝2－a1，得a1＝1，由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝.由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，2

n2－1715得a3＝.由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝.猜想an＝－.482

下面用數學歸納法證明猜想正確：

2n－121－1① 當n＝1時，左邊a1＝1，右邊＝－－1，猜想成立． 22

k2－12k－1② 假設當n＝k時，猜想成立，就是ak－Sk＝2k－ak＝2k－－.則當n＝22

1k＋1時，由Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1，得Sk＋1－ak＋1＝2(k＋1)－2ak＋1，∴ ak＋1＋1)－Sk]2

kk＋12－1?2－11＝k＋12k－－?＝（＋）－ 2?2?2

這就是說，當n＝k＋1時，等式也成立．

2n－1由①②可知，an＝－n∈N*均成立． 2

12.已知△ABC的三邊長為有理數，求證：

(1)cos A是有理數；

(2)對任意正整數n，cosnA是有理數．

AB2＋AC2－BC2

證明：(1)由AB、BC、AC為有理數及余弦定理知cosA＝ 2AB·AC

(2)用數學歸納法證明cosnA和sinA·sinnA都是有理數．

① 當n＝1時，由(1)知cosA是有理數，從而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理數． ② 假設當n＝k(k≥1)時，coskA和sinA·sinkA都是有理數．

當n＝k＋1時，由cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，由①及歸納假設，知cos(k＋1)A與sin A·sin(k＋1)A都是有理數．

即當n＝k＋1時，結論成立．

綜合①②可知，對任意正整數n，cosnA是有理數．