第一篇：構造性證明與存在性證明小議

構造性證明與存在性證明小議

幸 克 堅

（遵義師范學院 貴州 遵義 ５６３００２）

摘 要：構造性證明與存在性證明是數學證明中常見兩種證明方法。本文對它們的概念、來歷及證明思路和作用與意義，乃至相互之間的關系，作了概略的議論。并主張將它們作為一對哲學范疇，貫穿在數學教學和數學研究之中。

關鍵詞： 構造性存在性證明

中圖分類號：O171文獻標識碼：E文章編號：1009-3583（2004）04-00

一、構造性證明與存在性證明：

在數學中對命題：“存在x，使得命題F(x)成立”的證明，有兩種辦法：構造性證明與存在性證明。構造性證明就是通過有限步的推導或計算，具體地找（構造）出這樣的x；存在性證明則是從邏輯上證明所述對象x確實存在，但x具體是多少？在哪里？并不一定知道。因此，構造性證明不僅要證明所述對象的存在，而且要具體地求出對象的位置或多少（大小），而存在性證明則只需要證明該對象的存在即可。簡言之,構造性證明相信“眼見為實”，而存在性證明只是證明了“沒有被看到的”的存在，是一種理性的承認。

二、構造性證明的來歷及思路分析

從歷史的淵源上看，構造性證明的基本思路可以說源于我國古代數學。我國古代數學有兩大特點：其一是典型的算法體系，一切結論只是通過計算結果來說明，以漢代的《九章算術》為典型代表，將九類問題總結出九類算法，算法比較機械，有相對固定的步驟（既我們今天常說的程序），每前進一步后，都有有限多個確定的可供選擇的下一步，這樣沿著一條有規律的刻板的道路一直往前走就可以得出結果；另一個特點是宋元時期，把許多幾何問題轉化為代數方程與方程組的求解問題，創造了相當于現代多項式的概念，建立了“天元法、四元法”等代數工具，進一步豐富了算法的內容。這都體現了顯著的“構造性”或稱作“可操作性”特色。

現代意義上的構造性證明則來源與一種被稱為“構造性數學”的數學哲學觀點（流派），它的根本特征就是對可構造性的強調。所謂可構造性是指能具體地給出某一對象或者能給出某一對象的計算方法。即當我們把能證實“存在一個x滿足性質Ａ”的證明稱為構造性的，是指能從這個證明中具體地給出滿足性質Ａ的一個x；或者能從此證明中得到一個機械的方法，使其經有限步驟后即能確定滿足性質Ａ的這個x來。如果進一步追溯下去，構造性數學最早起源于一種構造性哲學思想，這種思想可以追溯到康德那里。康德認為，數學的最終真理性在于數學概念可以通過人的智慧構造出來。他說：“數學必須根

基金項目：遵義師范學院科研基金項目（200418）

收稿日期：2004-12-16

作者簡介：幸克堅（1954--），貴州遵義人，遵義師范學院數學系副教授，從事數學哲學和數學史研究 1

據純粹直觀，在純直觀里它才能夠具體地，然而卻是先天地把它的一切概念提供出來，或者像人們所說的那樣，把這些概念構造出來”。又說“數學知識是從概念的構造得出來的理性知識。構造一個概念，意即先天地提供出來與概念相對應的直觀。”

由于構造性證明不僅要證明所述對象的存在，而且要通過有限的步驟具體地計算或推導求出對象的位置或多少（大小）。所以，在證明過程中就具有鮮明的“構造性”或“可操作性”。如一元二次方程的求解⑴

?b?b2?4ac就是要具體地得出用方程的系數表示解的求根公式：x?，而這個結果是通過配方一步步2a

得到的。

構造性證明基本上都是直接證明，是通過式子的變換一步步“構造”出命題的結論所描述的對象。因此，“構造”時往往具有較高的技巧和靈活性，對相關知識和方法的掌握運用要比較熟練。

三、存在性證明的來歷及思路分析

存在性證明應該說源于經典數學的“公理化”思想方法，起源于古希臘。希臘是一個特別喜好追溯理性、探究一般性真理的民族，他們總是力圖將一切知識體系建立在一個相對比較精練的理論基礎和一套嚴謹的邏輯推理規則上，歐幾里得《幾何原本》就是這方面的代表作，它創造了一套用定義、公理、定理構成的邏輯演繹體系。而現代意義上的存在性證明當首推“數學王子”高斯，高斯發現了代數基本定理并給出存在性證明，是對代數學的重要貢獻，也可以說是開創了數學研究的新途徑。但真正第一個認識到存在性證明的深刻價值和意義的人是“現代數學的巨人”希爾伯特，希爾伯特在解決代數不變式問題時，采用直接的、非算法的方法，證明了不變式系的有限整基的存在性定理。

顧名思義，存在性命題證明的關鍵是證明其存在性，它與構造性證明不同，由于相應命題所述對象的不可構造或不易構造，一般只能從邏輯和理論上證明所述對象確實存在，但不能具體求出。因此，其證明常常表現為間接證明，即假定所述對象不存在，就會導致矛盾；有時候必須依靠一種緊密聯系的“邏輯鏈”才能說明其存在性。如微分學中有兩組定理：其一是三條中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理都屬于存在性命題，證明羅爾定理時的依據是最大值最小值定理，然后對拉格朗日中值定理和柯西中值定理的證明則是構造輔助函數： ⑵

?(x)?f(x)?f(a)?

把問題轉化為利用羅爾定理的結論上來。f(b)?f(a)(x?a)b?a

類似的邏輯鏈式的定理還有：用實數的構造理論想法構造數列證明了單調有界定理——區間套定理——確界存在定理——最大值和最小值定理——介值定理,這幾條定理都屬于存在性命題，其證明也是邏輯上緊密聯系的，并且都是構造一系列區間套，“套”出結論中的對象——那一個點。這種邏輯上的極強前后連貫性（或稱為依賴性），很好地體現了公理化方法的特色。

四、構造性證明與存在性證明的評價及哲學意義

對構造性證明與存在性證明,有兩種比較偏頗的觀點：

第一種觀點認為構造性證明才合理而存在性證明則不合理。如希爾伯特在研究不變量理論時給出一個存在性證明，當時曾引起一場軒然大波。德國的克羅內克認為：“沒有構造就不算是存在”；還說：“上帝⑶

創造了整數，其余都是人做的工作。”主張自然數與數學歸納法是數學最根本的和直觀上最可信的出發點，其它一切數學對象都必須能在有限步驟內從自然數中構造出來，否則就不能作為數學對象。由此克羅內克把許多數學成果劃到不合法的行列里，如無限集合、純存在性證明等。不變量之王果爾丹甚至說：“這不是數學，是神學”。

希爾伯特堅持這樣的觀點：只要能證明一個概念的屬性絕不會引出矛盾，那么就自然確定了這個數學概念在數學上是存在的，克萊因支持并贊美這種證明，說：“非常簡單，在邏輯上是不可抗拒的。”??希爾伯特指出：“純粹的存在性證明之價值恰恰在于，通過它們就可以不必去考慮個別的構造，而且各種不同的構造包括于同一個基本思想之下，使得對證明來說是最本質的東西清楚地突現出來；達到思想的簡潔和經濟，就是存在性證明生存的理由?禁止存在性證明?等于廢棄了數學科學。”

第二種觀點則認為數學應該注重理論上和思想上的價值，從這個意義上說，存在性證明才有說服力。只有建立在古希臘的邏輯、公理體系上的存在性證明才是一種理性思維成果，構造性證明思想實際上是一種相信數學的理念，對數學真理性的認識包括了相當的非理性成分。在這種觀念指導下，在相當長的一段時期和較大的范圍內，存在著這樣一種觀點：建立在算法基礎之上的中國古代數學只是一種“術”——即只停留在技術層面上、功利性地偏重于實用的操作技能，算不上科學。并且以此為理由在數學史中全面否定中國古代數學。

事實上，構造性證明體現了一種所謂的“機械化”思想，即按部就班有步驟地進行，這確實是中國古代數學的特征；“機械化”是相對于“公理化”而言的。公理化思想起源于古希臘，19世紀以來，希爾伯特等一批數學家和哲學家在建立數學基礎的工作中，進一步明確和強調了這種思想。應該說，這確實是中西傳統數學的各自特點，各有其長處，在現代數學體系中也起到了各自的作用。不應該狹隘地看待。

例如，就構造性證明而言，作為人類智慧新成果之一的數學定理的機器證明，就是我國著名數學家和數學史家吳文俊院士繼承我國古代數學傳統開創的數學機械化工作的一部分，吳文俊先生以其深厚的幾何學和拓撲學功底，吸收了我國古代數學的上述兩大特點之后，將幾何問題用代數方程表達，用之于計算機。1977年先在平面幾何定理的機器證明方面取得成功；1978年推廣到微分幾何；1983年我國留美青年學者周咸青在全美定理機器證明學術會議上介紹了吳（文俊）方法，并且自編軟件，一鼓作氣證明了500多條難度頗高的幾何定理，轟動了國際數學界。

而存在性證明那種“非常簡單，在邏輯上不可抗拒”，雄辯地讓人無可辯駁的“理性的承認”確實體現了人類理性思維的威力。如中值定理使我們確實相信“中值”?的存在，代數基本定理中我們確實相信“任何一個n（n＞0）次多項式f(x)在復數域內有n個根。其關鍵是證明其“確實存在”，并沒有回答 “等于多少”或“在什么位置”？甚至在多數情況下，最終也無法回答這個問題。但絲毫不影響對命題結論可靠性的信服和運用。例如，正是立足于代數基本定理的結論，才得到與多項式因式分解理論相關的一系列成果，數學分析中有理函數的不定積分可以說是解決得十分完善的，也得益于這一結果。

而且，存在性證明與構造性證明是常常是緊密相依、相輔相成、互為補充的。首先，在一定意義上說，構造性證明中已經包含了“存在”——不但存在，而且已經找出。其次，存在性的證明往往也需構造，如上述微積分中兩組重要定理的存在性，也是用構造法證明的；再次，有些存在性命題也能夠具體的求出結果，從而轉化為構造性命題，如我們熟知的數列極限、函數極限的“ε—N”、“ε—δ”定義，本身顯然是存在性命題，但對于具體的問題和給定的具體的ε，如果需要的話，也可以求出相應的N和δ。所以可以說“構造中蘊涵著存在，有存在才可能構造”。又如十七世紀產生的將運動變化的辨證法引入數學的微積分、被稱為 “數學中的轉折點”，就充分體現了構造性證明與存在性證明的完美結合：如極限存在的兩個準則——夾逼準則和單調有界準則中夾逼準則“an?bn?cn”需要求出liman與limbn，屬于構造n??n??⑸⑷⑴

性證明，而單調有界準則則是從邏輯上確信其極限存在，屬于存在性證明；又如“求導”過程：從依定義

求了一小部分基本初等函數的導數入手，經過討論導數的運算性質、反函數、復合函數、隱函數的求導法則，十分徹底地解決了整個龐大的初等函數類的求導問題，既解決得十分徹底，又在邏輯上前后緊緊相依，密切聯系，是典型的構造性結果；積分法中的換元與分部乃至特殊函數的積分，也體現出明顯的構造性色彩，具有很強的可操作性。而上述中值定理和區間套定理等兩組重要定理，則可以說是存在性證明的典型例子。

綜上所述，存在性證明與構造性證明之間有緊密的相依關系，二者是互為補充而不是互相對立、互不兼容的關系。從哲學的觀點來看，存在性命題與構造性命題可以作為一對哲學范疇，它們之間體現了一種對立統一關系。按希爾伯特的上述說法，還呈現為一般與特殊、抽象與具體的關系。應該把這種觀點帶到數學教學和研究之中：在向學生傳授具體的數學知識的同時，將存在性證明與構造性證明及其作用與關系結合具體例子介紹，逐步給他們一定的數學哲學、數學史和數學方法論方面的知識。在用這種觀點從事數學研究，有可能使自己看問題更加客觀、全面。

參考文獻：

⑴ 郝寧湘．構造性數學及其哲學意義［J］http:// 2004年12月4日

⑵ 杜瑞芝．數學史辭典［M］．濟南∶山東教育出版社．2000．170

⑶ 華東師范大學數學系．數學分析（上）［Z］．北京∶人民教育出版社．1980．197-216

⑷ 張順燕．數學的源與流［Z］．北京∶高等教育出版社．2000．44

⑸ 席澤宗．科學史十論［M］．上海∶復旦大學出版社．2003．4—5

第二篇：高中奧數—存在性證明

數論中的存在性問題

一．概念

滿足一些條件的某些對象存在或不存在的問題稱為數論存在性問題。例如：（2000.第41屆IMO試題）確定是否存在滿足下列條件的正整數n，使得恰好能被2000個互不相同的素數整除，并且2?1能夠被n整除。n

二．基本方法

解決數論存在性問題沒有什么固定的程式，所用知識是普遍的，采取的方法也是靈活多樣的。

但是由于數論中存在性問題是常見的題型，因此，解決的方法我們大致歸納如下：

1．反證法

例1．已知n是確定的正整數，A＝{1，2，……，n}，f：A?A為映射，滿足k1?k2,f(k1)?f(k2)，求證：?m,?f(m)?m

證明：假設對于1?m?n的任何m，都有f(m)?m,則由f(1)?1,f(1)?1?f(1)f(2)?2.所以?f(1)?2,f(2)?2?f(2)?3.以此類推，可得f(n)

?n+1,這與已知矛盾。?假設錯。

2．數學歸納法

例2．在黑板上依次寫出數a1?1,a2,a3，……，法則如下：如果an－2為正整數，而且未寫出過，則寫an?1＝an—2，否則就寫an＋3，證明：所有出現在該序列中的完全平方數都是由寫在它前面的那個數加3得到的。

證明：首先證明，當n=5m的時候，由1到n所有的正整數都已經被寫出，而且

a5m?5m?2，此時，對于任何k?5m，都有ak?5?ak?5。

對m進行歸納：當m＝1，n＝5。a1?1,a2?4,a3?2,a4?5,a5?3,a6?6假設，當n=5m時，結論也成立。

當n＝5（m+1）時，有

a5m?1?5m?1,a5m?2?5m?4,a5m?3?5m?2,a5m?4?5m?5,a5m?5?5m?3

結論也成立。

再考慮平方數被5除的余數，只能是0，1，4。而序列中被5除余0，1，4的數都是由前一個數加3得到的。

例3．證明存在無窮多的合數n，使3n?1?2n?1是n的倍數。

證明：x?y,k?N,有x-y|xk?yk

而32?22t(?2為合數，令)x?y?

ttt23?*2t22?n

則3?2|(3?)

2t|n?12tt2t2kt(2?)2kkt*2?3kt2因此，本題只要證明n?1?2?k即,t

用歸納法證明：t=1時成立

假設t=m時成立

t=m+1時，有32

由假設，2|3

而2|3

命題得證。

2mmm?1。?1?(32?1)(32?1）mm2m?1, ?1,則m+1時也成立。

3．按模分類

例4．非常數的正整數無窮序列{

2，……，求證：數列{an}滿足遞推關系an?1?2an?1或an?1?2a?1，n=1，an}中至少有一項為合數。

證明：用mod3分類。由于單調增，不妨假設a1>3,否則去掉前面幾項（由于是遞增數列）

（1）如果a1?0（mod 3）,則3|a1

（2）如果a1?1（mod 3）,且a1為素數，否則a1為合數。

若a2?2a1?1?a2?0（mod 3）,得證

若a2?2a1?1?a2?1(mod 3）

因此依次分析下去，或者得到ai?0(mod3），或者得到一個序列

a1?a2?……?1（mod 3）,則an?1?2an?1?an?1?1?2(an?1)為等比數列。

?an?1＝2n（a1?1）＋1

a?1由費馬小定理，aa1?21(a1?1)?1?a1?1?1?0（mod a1）?a1|aa1,得到

aa1為合數。

（3）a1?2（mod 3）同理可證。

4．試驗，猜想，證明

例5．證明有無窮多個自然數n，使得n|2n?2,n?1|2n?1

證明：顯然，n＝2滿足條件。

nnn|2?2,n?1|2?1成立。假設，?n?N，使得

nnn|2?2,n?1|2?1，可得2|n,且n不能被4整除。由

由n?1|2n?1?

n?1?k? 2n?1＝k*(n－1)，其中k,n-1為奇數。則 22?1?2(n?1)k?1?(2n?1?1)M，其中M為整數。

?2n?1?1|22?1?2n?2|22?2 n?1n?2

n另一方面，由n|2?2，n不是4的倍數，則可設2?2＝n t ,t為奇數。則

n?2n?2n22?1＝2nt?1?(2n?1)T，其中T為整數。?2n?1|22?1

2nn因此，當n|2?2,n?1|2?1時有2?2|2nn?2?2，2n?1|22?1。找到了無窮多n?2

個n滿足條件。

5．構造法

（1）按歸納法構造

例6．證明：對?n?N，n?2, ?一個由n個整數構成的集合S,使S中任意兩個不同的數

a ,b滿足(a?b)2|ab

證明：對n采用歸納構造。

n=2,取S={1,2}

設n=k時，存在k個元素的集合Sk?{a1,a2,……，ak}滿足ai?aj|aiaj(i?j)令A=a1?a2……ak,考慮如下k個數：

A,A?a1,……,A+ak

考慮它們所構成的集合Sk?1，則可以驗證所得的集合滿足條件。

（2）按階乘構造

例7．證明：可以把N分成兩個子集A,B，使A中任何3個數都不成等差數列，而且不存在由B中無窮多個數構成的等差數列。

證明：令A={n!?n|n?N}，B=N-A

（1）對m?n?k?1有(k!?k)?(m!?m)?m!?m ?

?m(n!)?m?3(n!)?m

?2(n!)?n!?m?2(n!?n)

因此A中任意三個數都不是等差數列。

（2）若B中含有首項為a1，公差為d的的無限長等差數列，則此數列中有一項為a1?((a1?d)!?1)d?(a1?d)!?(a1?d)?A，矛盾！d

因此B中沒有無窮多個數構成的等差數列。

6．關于數論知識的綜合應用

例8．（I）p, q, r, a?N，滿足pq?ra,且r是系數，（p ,q）=1,證明：p ,q中有一個為完全

平方數。

（II）是否存在素數p ,使p(2

證明：（I）顯然。

（II）設p(2p?1p?1?2?1)為完全平方數。?1)?b2,p?2時，b2?14，不是完全平方數

?p?2,設p?2q?1。

由于p|b2?p|b,設b=pa,則有p(2p?1?1)?p2a2，?2p?1?1?pa2，p?1而2?1?22q?2?1?(2q?1?1)(2q?12?pa，由（1）知，?1)

2q?1?1,2q?1?1中有一個數為完全平方。

(1)若2q?1?1?c2?2q?1?c2?1,q?1,則4|2q?1，但是c2?1不是4的倍數?矛盾

?1(2若)q2??1c2?q?122?c??1c?(c?1)(1)

?c?1?2q1,c?1?2q2,q1?q2,。q1?q2?q?1，而2q1?2q2?2 ?2q2(2q2?q1?1)?2。

?2q2?q1?1?1?q1?1,q2?2?q?2?p?5。

但是p(2p?1?1)＝5×63不是完全平方數?矛盾！

因此不存在！

習題：

1． 證明：?n?N,19?8?17都是合數

2． 求證數列｛2—3｝中存在子序列，使其中項兩兩互素 nn

第三篇：根的存在性證明(零點定理)

根的存在性定理：如果f(x)在閉區間[a,b]上連續

f(a)f(b)?0,則存在??（a,b）使得f(?)?0。

證明利用構造法的思想，將f(x)的零點范圍逐步縮小。先將[a,b]二a?ba?ba?b],[,b]，如果f()?0。則定理獲證。如果222

a?ba?bf()?0，)異號，則f(a)和f(b)中必然有一個與f(記這個小區間22

b?a為[a1,b1],它滿足f(a1)f(b1)?0且區間的長度b1-a1?。又將[a1,b1]二等2等分為[a,分，考慮中點的函數值，要么為零，要么不為零。如果中點的函數值為零，則定理獲證。如果中點的函數值不為零，那么必然可以選出一個小區間，使得f(x)在這個區間的端點值異號，記這個小區間為

[a2,b2]，它滿足[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2]，b2?a2?b?a且f(b2)f(a2)?0。采22

用這樣的方法一直進行下去，或者到有限步時，某個區間的中點的函數值為零，這樣定理的結論成立。或者所有區間的中點的函數值不為零，那么我們就會得到一個無窮的區間序列{[an,bn]}，它滿足:①

[a,b]?[a1,b1]?[a2,b2]????；②bn?an?b?a；③f(bn)f(an)?0。2n

an?limbn???[a,b]，如果f(?)?0，由單調有界定理，可以得到limn??n??

則定理獲證。如果f(?)?0，因為f(x)在?點連續，因而由連續函數的局部保號性：存在一個??0，使得f(x)在(???,???)?[a,b]上與f(?)同號。根據所構造的區間的性質②，存在正整數N，當n>N時，[an,bn]?(???,???)?[a,b]。根據區間的性質③，f(bn)f(an)?0，矛盾。

綜上所述，只有f(?)?0，且??[a,b]。定理獲證。

注：上面采用的證明方法是非常有用的二分法，其思想可以廣泛的應用于各個領域，而an,bn實際上是函數零點的近似值。

第四篇：存在與唯一性定理的證明

Picard存在與唯一性定理的證明

定義：設函數f(x,y)在閉區域上有定義，如果存在常數L?0，使對任何(x,y1),(x,y2)?均滿足不等式f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2，則稱f(x,y)在上關于y滿足Lipschitz條件，稱L為

Lipschitz常數

Picard定理：設f(x,y)在閉矩形域：x?x0?a,y?y0?b上連續，且關于y滿足Lipschitz條

?dy

??f(x,y)

件，則初值問題?dx·········①

??y(x0)?y0

在區間I??x0?h,x0?h?上有且只有一個解，其中h?min(a,證明：整個證明過程分成如下五個部分

x

b),M?f(x,y)M(x,y)?Ⅰ，首先證明求初值①的解等價于求積分方程y?y0?

x0

·········②的連續解。?f(x,y)dx,x?I·

?d(?(x))

?f(x,?(x))?

事實上，若y??(x)(x?I)是初值問題①的解，則有?dx,x?I

??(x0)?y0?

由此，f(x,?(x))在I上連續，從而可積，于是對恒等式

x

d(?(x))

?f(x,?(x)),x?I積分并利用初始條件，dx

得到?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I即，y??(x)(x?I)是積分方程②的解

x

反之，設y??(x)(x?I)是方程②的連續解，即有恒等式?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I

x

因為f(x,?(x))在I上連續，故?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I右端是積分上限x?I的可微函數，從而

?(x)在I可微

x

于是將?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I兩邊對x求導，得恒等式

d(?(x))

?f(x,?(x)),x?I，并令x?x0得y(x0)?y0，因此 dx

y?(x)(x?I)是初值問題①的解

因此，我們只需證明積分方程②存在唯一定義在區間I??x0?h,x0?h?上的連續解。我們采用Picard的逐次逼近法來證明，基本思路就是在所設條件下構造出一個一致收斂的連續函數序列，它的極限函數恰是積分方程②的唯一解

Ⅱ，用逐次迭代法在區間I上構造逐次近似的連續函數序列

x

?

?yn?1(x)?y0??f(x,yn(x))dx

·········③ ,x?I·?x0

?

y0(x)?y0?

當n?0時，注意到f(x,y0(x))是I上的連續函數，所以由③知

x

y1(x)?y0??f(x,y0(x)),(x?I)在I

x0

上是連續可微的，而且滿足不等式

x

y1(x)?y0?

x0

?

f(x,y0(x))?Mx?x0于是在區間I上y1(x)?y0?Mh?b

因此，f(x,y1(x))在I上是連續的，所以由式③知

x

y2(x)?y0??f(x,y1(x)),(x?I)

x0

在區間I上是連續可微的，而且滿足

x

y2(x)?y0?

x0

?

f(x,y1(x))dx?Mx?x0于是在區間I上y2(x)?y0?Mh?b

以此類推，應用數學歸納法易證： 由③式給出的所謂Picard序列

?yn(x)?

是區間I上的連續函數序列，而且滿足不等式

yn(x)?y0?Mx?x0?Mh?b,n?0,1,....Ⅲ，證明Picard序列?yn(x)?在區間I上一致收斂

考慮級數

y0??y1(x)?y0??...??yn(x)?yn?1(x)??...··········④它的部分和為

y0???yk(x)?yk?1(x)??yn(x)，于是，要證明序列?yn(x)?在區間I上一致收斂，只需證明級數④在I

k?1

n

上一致收斂。為此我們歸納證明不等式：

yn?1(x)?yn(x)?ML

n

x?x0

n?1

(n?1)?

(n?0,1,...)·······⑤在I上成立事實上，當n?0時由

x

y1(x)???

x0

f(x,0y(x))?dx

k?1

知式M?0xx⑤成立，假設當n?k時⑤式成立，即有

yk?1(x)?yk(x)?ML

k

x?x0

(k?1)?

x

(k?0,1,...)在I上成立

則由式③知yk?2(x)?yk?1(x)?

x0

?[f(x,y

k?1

(x))?f(x,yk(x))]dx根據Lipschitz條件和歸納假設得

x

yk?2(x)?yk?1(x)?

x

x0

?Ly

k?1

(x)?yk(x)dx

x?x0

k?2

?MLk?1

x0

?

x?x0

k?1

(k?1)?

dx?MLk?1

(k?2)?

即當n?k?1時式⑤也成立，因此有數學歸納法知式⑤得證

hn?1

(n?0,1,...)因當x?I時，x?x0?h，故由式⑤知yn?1(x)?yn(x)?ML

(n?1)?

n

hn?1

因正項級數?ML收斂，故由函數項級數一致收斂的Weierstrass（魏爾斯特拉斯）判別法知級數

(n?1)?n?0

??

n

④在區間I上一致收斂從而Picard序列?yn(x)?在區間I上一致收斂 設其極限函數為?(x)，即當x?I時一致的有limyn(x)??(x)

n??

則y??(x)在I上是連續的且由yn(x)?y0?b推知(x)?y0?b,x?I Ⅳ，證明y??(x),(x?I)是積分方程②的解

x

在式③兩端令n??得到?(x)?y0?lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds

n

x

x

因此問題歸結為證明lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds??f(s,?(s))ds

n

x0

因Picard序列?yn(x)?在I上一致收斂，則任給??0，存在自然數N?N(?)，當n?N時，對I中所

?

Lh

故當x?I時，由Lipschitz條件知

有x有yn(x)??(x)?

x

n

x

x0

?f(s,y(s))ds??f(x,?(x))ds

x0

xx0x

?

?

f(s,yn(s))?f(s,?(x))ds

?

x0x

?Ly(s)??(s)ds

n

??

x0

?L

?dsLh

??

x?x0?h??hh

x

x

n

因此式lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds??f(s,?(s))ds成立

x0

x

因而當x?I時有?(x)?y0?

x0

?f(s,?(s))ds，所以y??(x),(x?I)是積分方程②的一個連續解

Ⅴ，證明積分方程②的連續解的唯一性

x

設y??(x)也是方程②的定義在區間I上的連續解，則?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I于是與步驟Ⅲ類

hn?1

(n?0,1,...)在I上成立 似，可歸納證明得yn(x)??(x)?ML

(n?1)?

n

從而Picard序列?yn(x)?在區間I上也一致收斂與?(x)，因此我們推出?(x)??(x),x?I 所以，積分方程②的連續解是唯一的。至此，定理得證。【注】定理中數h?min{a,b的幾何意義 M

dy

?f(x,y)的積分曲線上任一點的切線斜率介于?Mdx

與M之間。過點p(x0,y0)分別引斜率為?M與M的直線B1C和BC1：

因為在閉矩形域上有f(x,y)?M，所以方程

y?y0?M(x?x0),y?y0?M(x?x0)，當M?

顯然方程

bb

時，如圖㈠所示；當M?時，如圖㈡所示 aa

dy

?f(x,y)過點p(x0,y0)的積分曲線y??(x)(如果存在的話)不可能進入圖㈠或㈡所示的兩dx

bb

(即a?)由圖㈠可見解y??(x)在整個區間?x?a,x?a?上有定義；若

Ma

個陰影區域內。若M?

M?

bb

(即a?)由㈡可見，不能保證解y??(x)在?x?a,x?a?上有定義。它可能在Ma

x?x1(x0?x1?x0?a)或x?x2(x0?a?x2?x0)外到達的上邊界y?y0?b或下邊界y?y0?b，于

是，當x?x1或x?x2時，y??(x)沒有定義。此時，由于點B1,C1,B,C的橫坐標分別為x0?

b

及M

x0?

bbbb??，故可保證解y??(x)在區間?x0?,x0??上有定義。綜上，只要取h?min{a,，則MMMM??

當x?x0?h時，有?(x)??(x0)??(x)?y0?Mx?x0?Mh?b，即當x?I?[x0?h,x0?h]時，積分曲線y??(x)不會躍出閉矩形域

第五篇：信仰之不可證明性與不確定性

一提到“信仰”，無論是宗教意義上的還是政治意義上的，人們首先想到的便是其堅定性和確定性，因為假如沒有這兩個特征，信仰便不足以成為人生的指南。為此，思想家們、信仰主義者們想出種種辦法來強化、鞏固信仰的堅定性，比如基督教思想史上就曾產生過關于上帝存在的諸種理性證明。不過，克爾凱郭爾借假名作者約翰尼斯·克利馬克斯之口不僅強烈反對用理性去證明上帝的存在，而且他還提出了一個驚人的觀點：基督教信仰的死敵是“確定性”，只有在“不確定性”信仰才能找到有用的導師。[i] 從結果上看，克爾凱郭爾并沒有因此削弱信仰的堅定性，相反，在他眼中，“信仰”是一個自身即具有“強力”（Magt;Power）的特殊的“器官”。克爾凱郭爾為什么要反對對上帝存在的理性證明，他為什么視“確定性”為基督教信仰的大敵，這將是本文試圖回答的兩個問題。這里將主要討論克爾凱郭爾歸在假名作者克利馬克斯名下的兩部最具哲學意味的著作《哲學片斷》和《附言》。

一、信仰之不可證明

西方文化具有兩大思想源頭：希臘理性主義和希伯萊信仰主義，在根本上它們是不同的兩類精神系統，甚至在某些方面還相互反對。希臘人不相信、不信任個人的感覺，他們追求從林林總總的現象背后挖掘出恒定不變的規律、規則，追求過硬的理性證明。而“信仰”的英文對應詞faith源自拉丁詞fides，其主要意思就是對某種無法給出證明的東西的堅定信念，或者說在無可證明的前提下對某種信念義無反顧的接受。“信仰”無需亦無從證明，它的最佳伴侶就是“接受”。但是，在基督教思想史上曾經有一些神學家嘗試性地把希臘的理性證明精神與基督教信仰結合起來，成就了一批對上帝存在的著名證明，使“基督教哲學”成為了可能，從而使希臘的哲學精神得以在基督教思想中保存和延續了下來。這些證明不啻將成為人們相信上帝存在的理由，進而成為基督教信仰的強化劑。有證明就有反證明。在基督教思想史上，同樣有一批頗有見地的思想家強烈反對把哲學的證明精神運用到基督教信仰的領域，認為這種做法混淆了哲學和宗教、理智和信仰之間的界限，克爾凱郭爾就是其中一個。

在《哲學片斷》當中，假名作者克利馬克斯針對斯賓諾莎“本質包含存在”的命題對從本體論上證明上帝存在的思路進行了否定和批判。根據斯賓諾莎，“存在”和 “完美性”是上帝的本質屬性，因此從邏輯上講，上帝的存在是不證自明的。某物越完美，它所包含的存在也就越多、越必然。因此，上帝的存在不僅最多，而且最必然。[ii] 在克利馬克斯看來，這個推論犯了偷換概念的毛病。斯賓諾莎命題旨在證明上帝的存在，但實際上它所討論的是“本質”（V?sen）而不是“存在”（V?ren），或者說是“概念的、理想性的存在”而不是“真實的存在”；這些概念之間本應有著嚴格的區分，就像想像中的一百塊錢與口袋中實際擁有的一百塊錢完全不可同日而語一樣。克利馬克斯以一個經驗主義的態度指出，從“概念”推導出“存在”的道路是行不通的，因為對于可感覺事物而言，能夠確定它存在與否的只有我們的感知覺。即便是像“上帝”這樣的“至上概念”也并不享受任何特權；我們并不能因為上帝是一個我們無法設想的比之更完善的東西就得出結論說上帝是存在的（這是圣安瑟倫的基本思路）。克利馬克斯明確而大膽地指出，“就真實的存在而言，討論什么或多或少的存在毫無意義。一只蒼蠅，當其存在的時候，它有著與上帝同樣多的存在。……就真實的存在而言，起作用的是哈姆雷特的辯證法：在還是不在。” [iii]

顯然，克利馬克斯抓住了關于上帝存在的本體論證明的癥結，這類證明把“本質”與“存在”混為一談，以概念與存在的同一性為前提，尤其是以最高的概念本身即包含有實在性為前提，結果在證明開始之前，證明者其實就必須對“上帝是否存在”這一點做出判斷了。假如說上帝不存在，則這證明無法開始；而若說上帝是存在著的，則這證明毫無意義。最終，對上帝存在的本體論證明充其量只能算是在邏輯層面上對“上帝”概念的一種不徹底的展開，一種形式化的邏輯演繹。倘若從奧古斯丁所提出的“信仰尋求理解”的口號出發，這類證明的意義似乎還好理解：先確信“上帝”是存在的，然后調動理性積極探求這種存在的合理性，進一步清除接受信仰的邏輯障礙，從而為信仰注入強心劑。問題是，這類證明對于那些原本無信的人是

否有用？

克利馬克斯的答案顯然是否定的。在他看來，對上帝存在的證明不僅是無效的，而且從虔誠的角度來看，這種證明恰恰暴露出了求證者的懷疑和“心虛”。對于真正的信仰者來說，不管證明與否，上帝都是存在的，證明不能為信仰增添任何份量。相反，那些努力尋求對上帝存在的證明的人在內心深處往往害怕上帝并不存在，或者至少對上帝的存在沒有把握，所以他們才會求助于概念和邏輯的幫助以使自己心安理得。把理性的證明行為看做是“懷疑”的結果這一點并不是克利馬克斯的獨道見解，笛卡爾就曾把嚴格的理性求證與徹底的懷疑精神緊密地聯系在一起。笛卡爾懷疑感覺經驗的可靠性，認為人類只能認識自明的真理，或者認識從自明的前提出發通過邏輯推理得出的真理。因此，為了獲得可靠的知識，我們首先必須采取一種徹底懷疑的態度，懷疑一切可以懷疑且又不會造成自相矛盾的事物。然后從一個不受懷疑影響的基點出發，通過理性推理來獲得知識。所不同的是，克利馬克斯并不懷疑感覺經驗的可靠性，在他看來，錯誤的來源不是感覺經驗，而是我們在此基礎上做出的判斷。而且正是從感覺主義的角度出發，克利馬克斯有力地批駁了混淆“本質”與“存在”的錯誤。雖然克利馬克斯并沒有提到對上帝存在的其他證明，但是我們可以推斷，他從根本上是不贊成用理性來證明上帝存在這一思路的。證明的行為不會使上帝出場，上帝的出場依靠的是一個“跳躍”（Spring），它發生在我們放棄或者終止求證行為之時。上帝的存在應該被視為一個“永恒的設定”，視為是我們生存的勇氣的源泉。

二、信仰之不確定性

在《哲學片斷》中克利馬克斯否定了對上帝存在的理性證明的意義，把人們通常認為的信仰的強化劑剝除掉了。接著，在《附言》當中，他又進一步提出“確定性”為信仰的大敵，把信仰推到某種“不確定性”的狀態之中。[iv] 這與我們通常的認識是反對的。信仰總是對某種確定的東西的相信和接受，確定性能夠給人以目標感、歸屬感，能夠讓人踏踏實實地知道自己信仰的對象是什么、可能的“收益”是什么。信仰之所以能夠成為飄泊心靈的撫慰劑（宗教之為鴉片）正是因為信仰的確定性。而信仰某種不確定性的東西是困難的，我們不僅無法完全認識信仰的對象，更不知道我們的信仰最終能否得到預期的“回報”。但是，如果在這種不確定的情況下我們依然能夠對信仰保持著高度的激情，那么這樣的信仰一定會堅如磐石。在以下的篇幅中我們首先來看看克利馬克斯所謂信仰之不確定性的涵義，從而厘清他反對在信仰與確定性之間聯姻的根據。

在克利馬克斯的語匯表中，“確定性”與“客觀性”是相對應的，“不確定性”則與“主觀性”、“主體性”相呼應。因此，疏離信仰與確定性之間的關系首先意味著反對把基督教信仰當成某種客觀的知識體系。“信仰”與“知識”的混淆是克利馬克斯對其時代最大癥結的診斷。基督教信仰不是一種“知識形態”，因為我們信仰的“對象”“上帝”不是某種具有客觀確定性的知識的“對象”，而是一個“不可知者”，是存在中最大的不確定性。不難看出，克利馬克斯的根本出發點來自“ 上帝”的絕對的、至上的超越性存在，這是基督教的立教之本。如果“上帝”成了客觀的、具有確定性的認知對象，這就會與上帝的超越性存在發生矛盾。“上帝” 不是具體的存在者，“上帝”就是全部的存在、是存在本身；“上帝”不是認知的對象，而是智慧本身，因此“上帝”不應該表現為任何確定性的形式，這一點正是耶和華強烈反對偶像崇拜、而且一再強調“人見我的面不能存活” [v] 的理路之所在。問題是，有限性的人類如何才能接近超越性的“上帝”并且領會其傳遞出來的智慧信息呢？在基督教思想史上，許多具有深刻思辨精神的教父們、經院哲學家們提出了“啟示”和“理智認知”兩條道路并行的方法。他們在著作中不約而同地感嘆，相比于上帝的智慧，人類理智是有限的，無論我們如何調動理智也不可能認識上帝的全部，于是接受啟示就是十分必要的。與此同時，他們也并不輕言放棄，他們在明知不可為的情況下依然努力進行理智認知。這類感嘆無疑有著那個時代人類思想遭受禁錮的烙印，但它也傳達出了相當深刻的哲理。如同赫拉克利特曾說的那樣，“自然喜歡躲藏起

來”，對于至上的存在、對于存在本身，無論人類的思維能力如何進步，我們也不可能完全把握其全貌，而這一點又成為人類不斷思考并尋求解決問題的嘗試的起點。不過，克爾凱郭爾并不認同這種“啟示”與“理智認知”并行的辦法，他從基督教的核心思想之一悖論性出發指出，對于“理智”（Forstand，德文Verstand）判斷力而言——請注意，與康德一樣，克爾凱郭爾在這里并沒有采用“理性”（Fornuft，德文Vernunft）的概念，基督教上帝的存在本身即是一個荒謬的、不可思議的悖論，一種最高程度的“不可能性”，它表現為永恒的（《舊約》中所說的“自有永有的”）、神圣的上帝要以人子的身份在時間當中臨現，甚至被釘死在十字架上。這個悖論是被給定的，是信仰者必須接受的前提，如果非要用理智判斷力來把握它的話，那么無論對上帝還是對理智都構成了“冒犯”。信仰與理智是相沖突的兩類不同質的東西，通達信仰的有效途徑不是認識、不是知識，而是激情和愛。

而一旦信仰不再是客觀確定性的“知識形態”，那也就不存在人人都可以通過認知活動來達至信仰的可能性。也就是說，在堅持基督教信仰的悖論性的情況下，人類認知活動所體現出的普遍精神將被消解，信仰將處于一種更大的不確定性之中。克利馬克斯一再強調，在他生活的時代做一名基督徒過于容易了，一個人只要出生在基督教國家、生長在基督教家庭就順理成章就成了一名基督徒，為此，他要使成為基督徒變得困難起來，而他采取的行動的第一步便是重新在關于基督教的知識和對基督教的信仰之間做出嚴格區分，重返被認知活動的普遍精神掩蓋住的基督教的另一個核心思想“差別意識”。

基督教原本就是一種在結果上具有高度不確定性的宗教。克利馬克斯區分并討論過兩種不同的宗教：人的宗教或心性的宗教（即“宗教A”）和基督教（“宗教B”）。“人的宗教”認為人應當在其自身內部與永恒建立關系，真理就存在于人的內心，因此人有能力按照真理塑造自身、有能力解放自己。而在基督教那里，人當與在時間當中顯現的“上帝”的啟示建立關系，人的拯救并非來自我們對上帝的意識，而是來自“上帝”的顯現者。這也就是說，“人的宗教”傳達出的是一種普遍性的精神，真理就在身內，只要我們返求諸己，就有可能修成正果；而基督教倡導的是一種與普遍精神相反對的“不可能性”和“差別意識”，基督教從一開始就沒有為每個人在天堂預留位置，人無法依靠自己的力量戰勝罪從而實現自我解放，人的拯救需要依靠外部的力量。拯救最終取決于上帝的恩典，信仰的最終結果并不在我們的掌握之中，正是這一點使得基督教信仰變得如此不確定。這里，克利馬克斯是在重彈“過窄門”的舊調。《圣經》有言：“你們要進窄門。因為引到滅亡，那門是寬的，路是大的，進去的人也多；引到永生，那門是窄的，路是小的，找著的人也少”。[vi] “ 窄門”并非人人都能通過。只有那些愿意且能夠通過的人才能最終與永恒福祉建立關聯，在克利馬克斯眼中這些人就是“幸福的和不幸的戀人”，那些敢于正視悖論、敢于追求“不可能性”的人們，這類人是有激情的。他并不看好那些出于理性的精明算計而定時定量往個人事功的賬戶上“存款”的平庸之輩，因為這類人自以為能夠通過人為的努力贏得上帝的恩典，恕不知上帝的意志根本不是人類理智所能參透的。

在個人需要依靠外部力量獲得拯救的前提下，真正意義上的信徒不能挖空心思地想著如何“討好”上帝，從而為自己在天堂贏得一席之地，他所能做的就是放棄自我，承認自己在上帝面前一無所是，然后“盡心、盡意、盡力”地愛上帝。因為信仰者明白，是我們需要上帝無邊無際的愛而非相反，是我們需要以上帝作為生存的勇氣的源泉。而且，上帝是先愛我們的，上帝不會濫用他的意志，上帝定會做出他的選擇。尤為重要的是，對上帝的愛和信仰并不是一次性的、一勞永逸的，它將貫穿個體整個的生命歷程，貫穿在生命的每一個“瞬間”。“瞬間”是克利馬克斯突出基督教信仰的意義時特意提出的一個重要概念，它與“決斷”是緊密相聯的。[vii] 任何人在面臨是否接受信仰的時候都會做出自己的“決斷”。問題是，有的人只在接受洗禮、堅信禮等重要時刻才做出“決斷”，似乎只要一次性地做出了接受基督教信仰的“決斷”，他就無可爭議地成了基督徒。但是，只此一次地把自我毫無保留地交給上帝并不難，難的是在生命的每一瞬間都做出忠于信仰的正確決斷，無論身處順境還是逆境。而每當個體最終克服了懷疑的情緒、克服了來自理智和意志的沖動并且做出了決斷的時候，他的信仰也就隨之得到了強化。信仰者應該清楚地知道，上帝與人之間存在著無可逾越的鴻溝，因此對于信仰者來說，我們所能做的只是在生命的每一瞬間不斷地去“接近”上帝，從而使上帝充盈到我們生命的整個流程之中。

三、信仰之為特殊的“器官”

在考察了克利馬克斯所謂信仰之不確定性的涵義之后，現在就來看看他心目中的信仰究竟是什么。

從否定的意義上來看，克利馬克斯竭力反對把對信仰的知識與信仰本身等同起來，認為基督教信仰不是客觀的知識體系，它不會從學術性的考量之中直接產生，它甚至也不會從“歷史事件”（指耶穌被釘死在十字架上）直接產生。信仰就是信仰，它是一個與知識完全不同類的“新的器官”，它本身就是有“力量”的；任何想以知識來替代信仰的意向和行動都是對信仰的冒犯。進一步說，信仰與客觀性無關。在《附言》第一部分“關于基督教的客觀真理”之中，克利馬克斯逐一考察了圍繞著基督教真理的三個“客觀的”因素：《圣經》、教會以及基督教發展史，認為它們不僅與人們獲得信仰無關，而且人們還有可能在客觀性之中喪失獲得信仰的條件。

從肯定的意義上來看，克利馬克斯心目中的基督教信仰有三個關鍵性的名詞“精神、心性、主體性”，以及三個有意味的形容詞“充滿激情的、無限的、個體性的 ”。克利馬克斯認為：“基督教是精神，精神是心性，心性是主體性；主體性本質上就是激情，最強烈的激情就是對其永恒福祉的無限的、個體性的投入。” [viii] 信仰完全是一樁個體性的（personal）、主體性的（subjective）事業。永恒福祉只與個體建立關聯，它通過與他、他、每一個單個的他建立關聯，最終才能與所有的人建立關聯。這種一對一的關系是上帝作為惟一神而向人提出的要求。如此一來，信仰只與主體、個體有關，信仰完全是主體與“上帝”之間的一樁“密謀”。一個人成為基督徒不能靠出身，不能因為國教、家庭等客觀因素就自然成為基督徒，一個人必須通過“選擇”而成為基督徒，并且這種選擇是發自主體“心性”的一種精神追求。克利馬克斯一再強調把信仰與知識分離開來就是為了強化信仰的這個涵義。

信仰還是一樁充滿激情的事業。一個人選擇成為基督徒不是因為歷史、現實、知識等客觀因素，不是出自理性的算計，而是出自主體的“激情”，信仰與“激情”才是合適的一對兒，“激情”是應對悖論、應對“不可能性”的惟一有效的手段。對于“激情”所做出的選擇是不需要理性做出任何證明的，只有 當信仰開始喪失激情、當信仰開始終止為信仰的時候，證明才是必要的，為的使自己心安理得，也為了向他人展示自己的堅定性。熱戀中的人往往不需要證明對方是自己惟一的摯愛，只有當熱戀的溫度有所下降的時候，人們才會在心中列舉對方的好處，以此作為自己始終不渝地愛對方的理由。前面說過，克爾凱郭爾與康德在批判關于上帝存在的本體論證明的問題上是有著一定的相通性的，不過，在康德的主張之下，宗教應該成為“純粹理性范圍內的宗教”，而克爾凱郭爾的宗教則在剝除了理智的影響之后進一步向“激情”靠攏，從而成為了對“不可能性”的充滿激情的探索。

最后，由于上帝是存在當中最大的“客觀不確定性”，因此人類能否最終通達“永恒福祉”也就具有了高度的不確定性。但是如果一個人發自內心地選擇了以“永恒福祉”作為至上的目標，那么即使知道自己永遠無法企及之，他仍然會全身心地投入到對“永恒福祉”的追求過程之中。于是，信仰實際上就是個體在其生命的整個歷程之中不斷“接近”永恒福祉的過程，它是個體終其一生的行動，同時也是個體的冒險之旅。這也就是克利馬克斯強調信仰是個體對永恒福祉的“無限的”投入的涵義之所在。

克利馬克斯對信仰的解讀是很深刻的，他的態度不禁讓人聯想到美國作家丹·布朗的暢銷小說《達·芬奇密碼》，[ix] 其中冷靜的符號學家蘭登和狂熱的圣杯歷史學家蒂賓向我們展示

出了一個與我們所熟悉的基督故事完全不同的一個版本。讀完此書后人們不禁會問，這樣的言論會動搖世界上成千上萬的基督徒的信仰嗎？蒂賓認為，一個受過良好教育的基督徒本應了解自己的信仰的歷史，而蘭登教授的解釋似乎更中鵠的。他指出，任何一種宗教信仰都建立在“虛構”的基礎之上，這一點正是信仰的定義——對某種我們認為是真實的、但卻無法證實的東西的接受。宗教教義的傳達都是通過“隱喻”而完成，一個真正理解自己的信仰的人必須明確宗教的隱喻意義，從而他才能借助信仰在這個世界上更好地生活下去。設想，假如克爾凱郭爾知道了“死海古卷”的存在，假如他讀到了《達·芬奇密碼》或者了解到了“圣經考古學”的新發現，他會有什么樣的反應呢？他是否會以慣常的反諷口吻說一句“又當如何”呢？因為在根本上，所有這些歷史性的、學術性的客觀因素都與個體的永恒福祉無關。對于一個從內心深處已經認定基督教作為心靈皈依的個體來說，任什么都不會影響他的選擇的，因為信仰只關乎個體的精神追求和主動選擇。