第一篇：初中幾何證明(北師大版)

初中幾何證明（北師大版）

證明【一】（八年級下）

主要有三個內容：分別是證明的基礎知識，平行線的性質和判定，三角形內角和和外角和。

這部分內容教育價值比較突出，如空間觀念，具體有直覺、想象、運動、轉化、證明；如數學思想方法，具體有公理化、化歸、分類、在關系中研究問題的方法、（兩直線被第三條直線所截）運動變化的觀點；教人嚴謹，初步體會證明的必要性，初步掌握綜合法證明的步驟和格式，學習數學的形式化。本章之前的一些幾何結論，主要是通過直觀的方式確認的，而本章強調從數學的內部，從6條基本事實出發，得到與直觀途徑相同的結論。

雖然本章強調形式化，但這里的幾何并不等同于演繹推理，（傳統幾何就是演繹推理）合情推理還是需要的，本章只是強調體會證明的必要性，體會公理化的必要性，并不是掌握公理化。

本章在內容一方面盡量從學生身邊易于理解的事實出發引入相關的概念和結論，另一方面對證明的意義和格式等作了系統的介紹。

對觀察與歸納所得的結論產生懷疑，進而思考斷定數學結論正確的方法，僅僅依靠經驗、觀察或實驗是不夠的，必須一步一步、有根有據地進行推理，即培養學生證明的意識。

學習中，學生初次接觸嚴格的證明和相關的符號化表示，在這方面會遇到相當的困難。本章所涉及的許多結論都是學生所熟悉的，因此在區分哪些可以作為證明的依據，哪些不可以作為證明的依據時會遇到困難，這是本章的教學難點之一，學習推理時應做到步步有據，并說明其依據的合理性。

《證明【二】》、《證明【三】》（九年級上）

這兩章的學習，可以使學生在原有基礎上加強邏輯推理的訓練，了解相關幾何結論之間的邏輯關系，進一步感受公理化思想和演繹推理的意義與價值，增強科學理性精神，提高準確表達論證過程的技能。

證明

（二）》、《證明

（三）》在熟悉大量幾何事實的基礎上，幫助學生進一步體驗幾何證明的基本要求和范式，以提高其準確表達論證過程的技能；同時，還讓他們感受探究幾何事實的過程對證明思路的啟發與影響，使活動經驗真正成為發現證明思路的支持系統。教材設置了一些學生未曾思考過的新命題，讓學生經歷發現、探索、證明的全過程。教材提供大量機會引導學生對命題進行拓展、引申，進一步思考和證明更具一般性的命題和規律，感受到“抽象與推廣”是數學的重要特征和思維方式。

學習幾何證明，一是形成證明思路；二是書面表達。前者應充分利用背景經驗，體察其中幾何證明的基本策略，必要時進行思想策略的交流和評議。“證明”是基于對問題自身和圖形的分析，發現不同知識之間的內在邏輯關系，有助于形成知識結構。不是對“解題術”中所羅列的各類方法的檢索和匹配。對于后者，證明的表述要嚴謹、縝密、簡潔、規范，要經得起推敲和質問，對此，需要做相應的訓練。

《證明

（二）》與《證明

（三）》的差別不僅僅是對象的變化，由研究三角形到平行四邊形。四邊形中很多問題可以通過作輔助線或三角剖分（類似于拼、擺的活動），通過發現全等三角形獲得解決的。要訓練識別復雜圖形中基本圖形（或要素）之間的結構關系（如三角型中位線定理的證明）。《證明

（三）》開始時不妨討論問題：以前的探索已經知道了很多有關平行四邊形的命題，其中哪些可以直接進行證明，哪些命題還需要先“補證”相關的定理，做出一個清理。有兩種選擇：其一是由教師按證明的邏輯順序排列出來交給學生；另一種是讓學生分析思考充分討論，整理出證明的邏輯順序，形成對知識體系的一種認識，這是一個知識重組的過程。不妨作為“試一試”由學生自己去

完成，利于對公理化方法的解釋。

第二篇：初中幾何證明練習題

初中幾何證明練習題

1.如圖，在△ABC中，BF⊥AC,CG⊥AD,F、G是垂足，D、E分別是BC、FG的中點，求證：DE⊥FG

2.如圖，AE∥BC,D是BC的中點，ED交AC于Q，ED的延長線交AB的延長線于P，求證：PD·QE=PE·QD

求證：?PAC～?PDB

3.如圖，已知點P是圓O的直徑AB上任一點，?APC??BPD，其中C，D為圓上的點，O B

P

4.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接EG 求證：S△ABC?S△AEG

5.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F．

求證：∠DEN＝∠F．

6.設MN是圓O外一直線，過O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線，交圓于B、C及D、E，直線EB及CD分別交MN于P、Q． 求證：AP＝AQ．

7、如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：

設MN是圓O的弦，過MN的中點A任作兩弦BC、DE，設CD、EB分別交MN于P、Q．

求證：AP＝AQ．

8.設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD

9.如圖，⊙O中弦AC，BD交于F，過F點作EF∥AB，交DC延 切線EG，G為切點，求證：EF=EG

10.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接BE，CG 求證：

（1）BE=CG（2）BE⊥CG

11.如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點．

求證：四邊形A2B2C2D2是正方形．

A

2CB2

A

1DD

C

12.如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為邊，向外作正方形ABFG和ACDE，連接CE，BG、GE

M、N、P、Q分別是EG、GB、BC、CE的中點 求證：四邊形MNPQ是正方形

第三篇：初中幾何證明口訣

初中幾何證明口訣

三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。斜邊上面作高線，比例中項一大片。半徑與弦長計算，弦心距來中間站。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩

第四篇：初中幾何證明技巧

初中幾何證明技巧（分類）

證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

*9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。*10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。

*12.兩圓的內（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。

*6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應角相等。

*9.圓的內接四邊形的外角等于內對角。

10.等于同一角的兩個角相等。

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

*10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

*11.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。

證明 角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。

2.利用角平分線的定義。

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角。

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例。

2.利用內外角平分線定理。

3.平行線截線段成比例。

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

*5.與圓有關的比例定理---相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

證明四點共圓

*1.對角互補的四邊形的頂點共圓。

*2.外角等于內對角的四邊形內接于圓。

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）。

*4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓。

*5.到頂點距離相等的各點共圓

第五篇：初中幾何證明

初中數學幾何解題思路

從求證出發

你就要想，這道題要求證這個，就要有.....這些條件，再看已知，有了這些條件了，噢，還差這個條件。然后就找條件來證明這個還差的條件，然后全部都搭配齊全了，就證出了題目了

記住，做題要倒推走

把已知的條件從筆在圖上表示出來，方便分析

而且你要牢牢記住一些定理，還有一些特殊角，特殊形狀等等他們的關系 當一些題實在證不出來時，你要注意了，可能要添輔助線，比如剛才我說的 還差什么條件，你就可以畫一個線段，平行線什么的來補充條件，你下子你就一目了然了，不過有些很難的看出的輔助線就要靠你的做題的作戰經驗了，你還要認真做題。

把這些牢牢記住，在記住老師教你們的公里定理些，你就已經成功大半了 作輔助線的方法和技巧

題中有角平分線，可向兩邊作垂線。

線段垂直平分線，可向兩端把線連。

三角形中兩中點，連結則成中位線。

三角形中有中線，延長中線同樣長。

成比例，正相似，經常要作平行線。

圓外若有一切線，切點圓心把線連。

如果兩圓內外切，經過切點作切線。

兩圓相交于兩點，一般作它公共弦。

是直徑，成半圓，想做直角把線連。

作等角，添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。

也可將圖對折看，對稱以后關系現。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗。

三角形中兩中點，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

平行四邊形出現，對稱中心等分點。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動對角線，補成三角形常見。

證相似，比線段，添線平行成習慣。

等積式子比例換，尋找線段很關鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項一大片。

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。

圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。

要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。

弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。

弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。

還要作個內接圓，內角平分線夢圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。

內外相切的兩圓，經過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。

要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。

解題還要多心眼，經常總結方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。

分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線

實戰演練

1.（10分）如圖，矩形ABCD中，CE⊥BD于點E，延長EC，與∠BAD的平分線AF相交于

點F，求證：CF=BD.2.（6分）已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與AD、BC、AC分別交于點E、F、O.求證：四邊形AFCE是菱形.3．如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中, ∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB邊上,取AE的中點F,CD的中點G,連結GF.（1）FG與DC的位置關系是,FG與DC的數量關系是；

（2）若將△BDE繞B點逆時針旋轉180°，其它條件不變,請完成下圖，并判斷（1）中的結論是否仍然成立? 請證明你的結論.F

D EG

B

以上知識來源于網絡 B A C A C