第一篇：推理與證明——以幾何教學為例 拓展閱讀4：數學證明的教育價值

數學證明的教育價值

北京師范大學數學系王申懷

目前，數學教育界都在關注《國家數學課程標準(初稿)－－目標體系》的研討，其中一個熱門的話題是如何處理中學幾何課程的改革。爭論焦點之一是如何看待幾何中邏輯推理的教育價值。為此，筆者認為首先應該探討一下數學證明的教育價值。?

一、問題的提出

從一組原始概念和命題(即公理)出發，經過邏輯推理得到一系列的定理和證明，這就是幾千年來數學學科所遵循的研究模式。但隨著數學的發展，特別是電子計算機的出現，人們對上述研究模式產生了懷疑。其中最典型的一個例子就是所謂“四色問題”的證明。下面詳細談一下由“四色問題”所引起的爭論。?1852年，英國數學家F.Guthrie(格思里)在給他弟弟的一封信中說：“看來每幅地圖若用不同顏色標出鄰國，只要用四種顏色就夠了。”這就是“四色問題”的由來。一百多年來數學家們不斷努力企圖用數學方法來證明這個結論。直至1970年左右，問題歸結為計算幾千個不可約構形的問題〔1〕，但其計算量之大是難以想像的，因此人們望而生畏。1976年美國兩位計算機專家K.Appel(阿佩爾)和W.Haken(哈肯)找到了一種新的計算方法。他們用了三臺IBM計算機經過1000多個小時(約52天)的運算，“證明”了格思里提出的結論是正確的。因此，“四色問題”得到了“證明”。?

阿佩爾和哈肯的“證明”引起了人們的爭論。首先，他們的“證明”，其計算機程序就達400多頁，要用人工去檢驗其程序有無問題是十分吃力的。因此，似乎無人愿意再去重復阿－哈的“證明”。其次，能否保證計算機在計算過程中絕對不出錯誤？第三，人們無法確定計算出現錯誤是計算機本身的機械或電子方面的毛病，還是“證明”過程本身邏輯有問題。? 于是就引起了什么是“數學證明”的爭論。?

有些數學家認為數學證明只能是以人工可重復檢驗的邏輯演繹(計算也是一種演繹)過程，否則只能稱為計算機證明，二者不能混為一談。因此，按這種觀點，“四色問題”只能稱已得到了計算機證明，而不能稱已得到了數學證明。?但是，另一些數學家反駁說，用人工來檢驗也可能產生錯誤。例如，數學史上曾有不少數學家(如意大利的Saccheri，法國的Legendre)聲稱他們已“證明”了歐幾里得第五公設(即歐氏平行公理)。但后來發現他們的“證明”均有問題，其主要錯誤在于他們利用了與第五公設等價的命題，因此從邏輯上說他們都犯了循環論證的錯誤。?

另外人工邏輯演繹證明可以重復嗎??

眾所周知，群論中有一個著名的所謂有限單群的分類定理，單群的概念是由Galois(伽羅華)在1830年最初給出的。一百多年來數學家企圖對單群進行分類。直至20世紀80年代，由100多位數學家組成的非正規“隊伍”，他們共同努力列出所有的單群并證明這樣的列舉是完全的。在花費了成千上萬個小時以及發表了幾百篇論文之后，這項工作才得以完成，證明長達15000多頁!〔2〕試問誰還愿意(或說可能)去重復他們長達15000多頁的證明?(恐怕連讀一遍都不愿意。)?于是問題就不集中在“證明”是否可檢驗的問題上了，而在于人們如何來理解“證明”的真正含義。數學證明的功能到底是什么??

二、數學家們對數學證明的看法

國際數學教育委員會(ICMI)在《計算機對數學和數學教學的影響》報告中指出：“借助于計算機的證明不應該比人工證明加以更多的懷疑??，我們不能認為計算機將增加錯誤證明的數目，恰恰相反對計算機證明的批評，例如四色問題的證明，主要集中在它僅依靠蠻力和缺乏思考的洞察力。??計算機證明會給人們帶來一些新啟示，會激勵人們去尋找更好的、更短的、更富有說服力的證明，會鼓勵數學家去更準確地把握形式化的想法。”?

英國數學家Atiyah(阿蒂亞)在評論“四色問題”的證明時說：“這證明是一大成功，但在美學觀點上看極令人失望。完全不靠心智創造，全靠機械的蠻力。科學活動的目的是理解客觀世界并進而駕馭客觀世界，然而我們能說‘理解’了四色問題的證明了嗎?”“數學是一種藝術，一種使人擺脫蠻力計算，而且成熟概念和技巧，使人更輕松地漫游?！薄?〕

Bourbaki(布爾巴基)在《數學的建筑》一書中說：“單是驗證了一個數學證明的逐步邏輯推導，都沒有試圖洞察獲得這一連串推導的背后的意念，并不算理解了那個數學證明?！薄半娮佑嬎銠C證明不滿意者并非它沒有核實命題，難道用人工花幾個月檢驗幾百頁證明便更可靠了嗎?而是它沒有使我們通過證明獲得理解?！?

C.Hanna說：“證明是一種透明的辯論，其中用到的論據、推理過程??都清楚地展示給讀者，任由人們公開批評，不必向權威低頭?！?

J.Horgen在《科學的美國》雜志上發表一篇題為《證明的死亡》中指出：“用計算機作實驗，來證明建立定理，如四色問題，任何人不能執行如此長的計算，也不能指望用其他辦法驗證它。??因此這就突破了傳統證明的觀念，所以，不能再以邏輯推理作為證明數學命題的惟一手段?！?

R.Wilder(懷特)說：“我們不要忘記，所謂證明不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時代也有不同的含義。”“很明顯，我們不會擁有而且極可能永遠不會有一個這樣的證明標準獨立于時代，獨立于所要證明的東西，并且獨立于使用它的個人或某個思想學派。”

更有甚者，英國數學家哈代(G.H.Hardy)說：“嚴格說起來根本沒有所謂數學證明??，歸根到底我們只是指出一些要點，??李特伍德(是和哈代長期合作的一位數學家?筆者注)和我都把證明稱之為廢話，它是為打動某些人而編造的一堆華麗辭藻，是講演時來演示的圖片，是激發小學生想像力的工具。”〔4〕從以上一些數學家對“證明”的看法，我們可以得出這樣的結論：證明的真正含義并不在于檢驗核實命題，而在于理解命題，啟迪思維，交流思想，導致發現。?

很明顯，如果你能給出某一命題的一個證明，那么你可以說你理解了(或說你懂了)這個命題。如果你能用這個命題的證法去解決另一個問題，例如，學生用一個定理的證法去做一道習題，那么，你在解決這個問題的思維過程中必然是受到原來命題證法的啟發。為了你和其他人交流對某一命題的理解，最好的辦法就是你們共同商討對此命題的證明。下面我們再來較詳細地討論一下證明能夠導致發現的功能。?

前面已經說過，意大利數學家Saccheri和法國數學家Legendre對第五公設的“證明”，顯然他們都沒能證明歐氏平行公理，但是通過他們的證明使后來的數學家對歐氏平行公理有了更為深刻、更為清楚的理解，并最后導致了非歐幾何的發現。因此，Saccheri和Legendre等人被公認為發現非歐幾何的先驅者。事實上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已經打開了一條通向非歐幾何的大門。因為他們從第五公設不成立這一假定下推出的許多事實，恰恰就是非歐幾何中的定理。?

計算機證明同樣有導致發現的功能，其中一個較為典型的例子是分形幾何的創立。早在20世紀20年代，法國數學家Julia就開始著手研究分形幾何，但是由于這種幾何圖形的驚人復雜性，Julia的研究沉寂了幾十年。直到60年代以后，美國數學家B.Mandelbrot(曼德勃羅)開始用計算機來畫圖，才使分形幾何得到了真正的發展。因此人們普遍認為分形幾何是由曼德勃羅創始的?！?〕由于計算機的介入，新一代的數學家已經開始在計算機上實驗自己的各種思想。甚至他們宣布自己是實驗數學家，著手建立數學實驗室，創辦《實驗數學》雜志。同時他們對數學提出了一些新的看法：

1.對數學追求的是理解，而不是證明；?

2.重視發現與創造，數學的本質在于思想的充分自由與發揮人的創造能力；?

3.追求對解決問題的數學精神，利用數學更好地解決、處理復雜的自然現象。?

三、數學證明教學價值的新理解

如前所述數學證明的真諦不在于能證明命題的真假，而在于它能啟發人們對命題有更深刻的理解，并能導致發現，因此這就突破了傳統教學中對數學證明的觀念。特別是由于計算機介入了證明之中，用機器證明產生定理(如四色問題等)，所以人們不再以邏輯推理作為證明數學命題的惟一手段，于是提出“實驗證明”的想法，即實驗也應該成為判斷數學命題真假的一種手段。人們不再一味地追求證明所得出的結論，而在于通過證明的過程去追求對數學知識的真正理解。?另外，從認知理論的觀點來看，數學知識不能簡單地由教師傳遞給學生，而應該通過學生自己認知結構的改變去建構學生自己對數學的理解。因此，在數學中如果只重視邏輯演繹式的數學證明將無助于學生真正掌握數學知識，無助于學生形成良好的認知結構。命題教學的目的不應是去核實命題的正確性，而是要讓學生通過證明去理解命題，并能重新構建學生自己的新認知結構。?

綜合以上觀點，我們認為數學證明的教育價值在于：?

1.通過證明的教與學，使學生理解相關的數學知識；?

2.通過證明，訓練和培養學生的思維能力(包括邏輯的和非邏輯的思維)以及數學交流能力；

3.通過證明，幫助學生尋找新舊知識之間的內在聯系，使學生獲得的知識系統化；?

4.通過證明，使學生更牢固地掌握已學到的知識，并盡可能讓學生自己去發現新知識。

根據以上觀點，我們在數學教學中應該重視非邏輯證明的教學；適當降低和減少邏輯演繹在數學教學中的地位與時間，加強實驗、猜測、類比、歸納等合情推理在數學教學中的地位與作用。這里需要注意的是要合理選擇學生能夠接受的邏輯證明與非邏輯證明的方法，強調一種、排斥另一種證明方法都會妨礙學生對數學的認識與理解。

?注：

〔1〕K.Devlin著、李文林等譯：《數學：新的黃金時代》，上海教育出版社版。?

〔2〕申大維等譯：《數學的原理與實踐》，高等教育出版社1998版。?〔3〕M.阿蒂亞著：《數學的統一性》，江蘇教育出版社版。

〔4〕G.H.哈代著：《一個數學家的辯白》，江蘇教育出版社版。?〔5〕王健吾著：《數學思維方法引論》，安徽教育出版社版。

第二篇：推理與證明——以幾何教學為例 拓展閱讀6： 鑲 嵌

鑲 嵌（第一課時）

教材：義務教育課程標準實驗教科書人教版七年級（下冊）第七章第四節

寧夏吳忠市第一中學 馬秀麗

一、教學目標

1、在實驗與探究的學習活動中，使學生了解鑲嵌的含義，認識到正三角形、正四邊形和正六邊形可以鑲嵌平面，并能理解其中的道理。

2、通過探索多邊形覆蓋平面的條件，發展學生的合情推理能力，在活動中使學生的觀察、猜想、歸納及動手操作的能力得以提升。

3、通過現實情境，讓學生體會到數學的應用價值；經歷對平面鑲嵌條件的探索活動，提高數學學習的興趣，建立良好的自信心。

二、教學重點、難點：教學重點：鑲嵌的含義及平面鑲嵌條件的探究。教學難點：探究平面鑲嵌的條件。

三、課前準備:

1、學生準備： ① 每位同學分別準備好6-8個邊長為5厘米長的正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形。② 搜集有關鑲嵌圖片。

2、教師準備： ① 生活中有關鑲嵌圖片。② 多媒體課件。

四、教學過程： 教學環節教學內容 學生活動設計意圖創設情境 引出課題大千世界中蘊涵著大量的數學信息，觀看屏幕上一組生活中的地磚圖片（電腦演示）教師提出問題：同學們仔細觀察這些圖片中都有那些圖形？這些圖形的共同特點是什么？你知道鋪地磚時有什么要求？ 教師點評，明確鑲嵌含義：用地磚鋪地，用瓷磚貼墻，都要求磚與磚嚴絲合縫，不留空隙，把地面或墻面全部覆蓋。從數學角度看，這些工作就是用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌）的問題。引出課題：鑲嵌（第一課時）學生欣賞圖片。學生觀察后，在獨立思考的基礎上，分組交流，然后派代表發表見解。從普通、熟悉的現象中探求數學概念，易使學生產生親切感，容易較快地進入角色。通過一系列圖片的展示下引出課題，使學生感受到生活中處處有數學，讓學生親身經歷體會從具體情景中發現數學問題，進而尋求解決問題的方法的全過程。合作交流 探索新知在前面學生了解了鑲嵌的含義的基礎上依次提出下列問題： 問題1：請你動手拼拼看能否用正三角形鑲嵌成一個平面圖案？ 學生四人一組,由組長負責分工，開始實驗。學生以小組合作的形式動手拼圖。給學生充分的時間在組內進行交流。交流后展示每組的作品。形成結論： 正三角形能鑲嵌成一個平面圖案。正三角形是多邊形中的特殊圖形，因此，從正三角形入手，使學生會感到既熟悉，又輕松，為結論的得出奠定了基礎。教學環節教學內容學生活動設計意圖合作交流 探索新知問題2：動手拼拼看，分別用正四邊形和正六邊形能否鑲嵌成一個平面圖案？ 問題3：拼拼看，用正五邊形能否鑲嵌成一個平面圖案？ 教師將學生的這四種拼圖過程利用多媒體演示給學生。鑲嵌條件的探究： 通過前面的實驗，學生會急于知道：鑲嵌成一個平面圖案的條件到底是什么？教師順勢提出問題： 為什么正三角形、正四邊形、正六邊形能夠能夠鑲嵌成一個平面圖案，而正五邊形卻不能？同一種正多邊形能夠鑲嵌成一個平面圖案的條件是什么？給學生足夠的時間，讓他們充分活動后，在黑板上展示作品。形成結論： 正三角形、正四邊形和正六邊形都能鑲嵌成一個平面圖案，正五邊形不能。學生觀察教師的動態演示。學生先獨立思考2-3分鐘。以組為單位，研究解決問題的方法，從已有經驗出發，試從不同角度尋求解決問題的方法。教師深入到各小組，傾聽學生們的討論，鼓勵學生大膽猜想，暢所欲言，對其中合理的回答給予肯定，對有困難的組要及時進行指導。學生親自操作實驗，再次感受鑲嵌的含義，并會產生探究的欲望，學生會思考：為什么正三角形、正四邊形、正六邊形能夠能夠鑲嵌成一個平面圖案，而正五邊形卻不能？這些內容中蘊涵什么數學規律？從而引出探究的問題。這樣的教學設計將促進學生主動探究、樂于探究。在前面學生動手做的基礎上，比較幾種圖形的共性，以學生的眼觀、腦想、口說，用比較歸納的方法得出平面鑲嵌的條件,并以正五邊形為反例，強化鑲嵌條件。在合作中學習與人交流，集思廣益，通過交流，讓學生用自己的語言清楚地表達解決問題的過程，提高語言表達能力。教學環節教學內容 學生活動設計意圖 合作交流 探索新知教師利用多媒體展示。在全班同學的互相補充和完善下，教師加以總結概括，得到： 結論：多邊形能覆蓋平面需要滿足：拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360°。推論：同一種正多邊形能進行平面鑲嵌的條件是：這個正多邊形內角度數能整除360°。學生觀看教師的動態演示。與教師一起總結歸納鑲嵌條件。閱讀結論，加深理解。通過鑲嵌條件的歸納過程，使不同層次的學生在獨立思考的前提下，在交流與合作過程中感受新知，建立新的知識體系，為學生的進一步探索提供可能。應用推廣 鞏固提高教師提出問題： 你還能找出其它能作鑲嵌的正多邊形嗎？說說你的理由。教師進行總結概括： 要使同一種正多邊形能覆蓋平面，必須要求這個正多邊形內角度數能整除360°。事實上除了正三角形、正四邊形、正六邊形外，其他正多邊形都不可以鑲嵌，并說明這一結論的證明有待于今后知識的學習來獲得。學生通過計算正七邊形、正八邊形、正九邊形的內角后進行歸納，然后小組交流。在不提供其他正多邊形圖片的情景下，讓學生去思辨得出：不存在其它正多邊形的鑲嵌，旨在培養學生的抽象推理能力，使學生由感性認識上升到理性認識，從而使所學知識得到推廣和應用，獲得更具體更堅實的數學經驗。教學環節教學內容 學生活動設計意圖課堂小結 體驗收獲（1）學生談談通過本節課的學習有什么收獲？還有哪些疑惑？ 教師對個別學生富有個性的學習表現給予肯定和激勵，使他們感受到成功的喜悅，并對有疑惑的地方進行補答。（2）學生例舉生活中見過的鑲嵌實例。（3）教師展示更多實例回歸生活。學生反思解決問題的過程并發表個人看法。學生舉出鑲嵌實例，并展示課前搜集好的鑲嵌圖片。觀看教師展示的圖片。通過回顧與反思，使學生養成反思學習過程的習慣，初步學會自我評價學習效果，通過談收獲，讓學生看到自己的進步，激勵學生，促進學生形成良好的心理品質，同時有些學生可能會提出心中的疑問，通過學生相互間解惑，既消除了學生心中的疑惑，又培養了學生口頭表達能力。通過讓對學生舉例，并且觀看教師展示的各種生活圖片，讓學生再次感受幾何美與生活美，激發學生的創作欲望，讓數學再次回歸生活。課 后 拓 展

1、分別剪出幾個形狀、大小相同的任意三角形和任意四邊形，拼拼看能否鑲嵌成平面圖案？

2、試用多種正多邊形組合進行鑲嵌設計。

3、創造是人生命中的一個重要使命，充分發揮你的聰明才智和豐富的想象力，設計一個多姿多彩的地板圖案吧。學生利用當堂所學知識，自檢掌握情況。這組課后拓展題的設計，是為了更好的促進每一位學生得到不同的發展，培養學生的實踐能力和創新能力，同時促進學生對自己的學習進行反思，為后續知識的學習起到承上啟下的作用。教學設計說明 《鑲嵌》在教材中是以課題學習的形式呈現的，屬于課程改革的新增內容。我在設計本課時，力求突出課題學習的特點，以問題為主線，以學生的動手操作實驗活動為主，設計了豐富的拼圖活動，讓學生經過自己的操作和思考，體驗和感受知識的形成過程，既激發了學生數學學習的興趣，積累了數學活動的經驗，又使學生的觀察、猜想、歸納等動手操作能力得到提升。本節課以“問題情境--自主探究--拓展應用”的模式展開教學。首先，給學生展示生活中鋪地磚、墻面設計等精美的圖片，創設問題情境，激發學生的學習興趣和動機;之后，從簡單的正多邊形(正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形)入手，讓學生經過充分的拼圖實驗，獲得一些感性認識，在此基礎上經過認真思考、討論交流，上升到理性認識，得到同一種正多邊形鑲嵌平面的條件，并以正五邊形為反例，強化平面鑲嵌的條件；最后，為了讓學生對所學知識有更好的應用，拓寬思路，初步培養學生的創新能力和實踐能力，我設計了幾個課后拓展題結束本課。這個學習過程體現讓學生從生活中學數學、讓學生感受到生活中的數學美，引發和激活學生的創作欲望，讓數學再次回歸生活，使學生走出課本課堂進入生活實踐，進入一個更加廣闊的思考空間。

第三篇：初中數學：幾何推理證明詳解

初中數學：幾何推理證明詳解

幾何推理的依據是定義、公理、定理，做這類題，首先就是要掌握基本公式的知識點，今天瑞德特劉老師就幾何題的解題步驟進行詳解。一、三個關鍵詞：“條件”，“推出”，“結論”。

簡單地講，幾何推理就是由條件推出結論，這與命題的結構（任何一個命題都由條件和結論兩部分組成）是相一致的。推理的依據是命題，而命題就是在講述什么條件可以推出什么結論。上個世紀的初中以及現在的高中推理不僅可以使用“∵”、“∴”，還可以使用推出符號“?”。了解推出符號“?”，可以更好地理解什么是幾何推理。

二、學習幾何推理，就從一步推理開始。

推理的依據是定義、公理、定理。那么每學一個定義、公理、定理，都要熟練掌握它的推理形式。

第四篇：高考數學推理與證明

高考數學推理與證明

1．（08江蘇10）將全體正整數排成一個三角形數陣：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的規律，第n行（n?3）從左向右的第3個數為▲.n2?n?6【答案】 2

【解析】本小題考查歸納推理和等差數列求和公式．前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n

n2?nn2?n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第＋3個，即為22

n2?n?6． 2

2.（09江蘇8）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為▲.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：8

3.（09福建15）五位同學圍成一圈依序循環報數，規定：

①第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；

②若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次

已知甲同學第一個報數，當五位同學依序循環報到第100個數時，甲同學拍手的總次數為________.【答案】：5

解析：由題意可設第n次報數，第n?1次報數，第n?2次報數分別為an，an?1，an?2，所以有an?an?1?an?2，又a1?1,a2?1,由此可得在報到第100個數時，甲同學拍手5次。

4.（09上海）8.已知三個球的半徑R1，R2，R3滿足R1?2R2?3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關系是___________.?

【解析】S1?4?R1S1?22

S2?2R2S3?2R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1?

2R2?3R3?

5.（09浙江）15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，1593C1C1?7?C1?7C?171C717?27?125，1

………

由以上等式推測到一個一般的結論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?*

答案：24n?1???1?22n?1。【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，n

第二項前有??1?n，二項指數分別為24n?1,22n?1，因此對于n?N

n*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

第五篇：數學《推理與證明(文科)

！

文科數學《推理與證明》練習題

2013-5-10

1.歸納推理和類比推理的相似之處為（）

A、都是從一般到一般B、都是從一般到特殊C、都是從特殊到特殊D、都不一定正確

2.命題“有些有理數是無限循環小數，整數是有理數，所以整數是無限循環小數”是假命題，推理錯誤的原因是使用了（）

A．歸納推理B．類比推理C． “三段論”，但大前提錯誤D．“三段論”，但小前提錯誤

3.三角形的面積為S?1?a?b?c??r,a,b,c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理，2可得出四面體的體積為（）

111abcB、V?ShC、V??S1?S2?S3?S4?r（S1,S2,S3,S4分別為四面體的四33

31個面的面積，r為四面體內切球的半徑）D、V?(ab?bc?ac)h,(h為四面體的高)3A、V?

4.當n?1，2，3，4，5，6時，比較2和n的大小并猜想（）

n2n2n2n2A.n?1時，2?nB.n?3時，2?nC.n?4時，2?nD.n?5時，2?n n

25.已知數列?an?的前n項和為Sn，且a1?1,Sn?n2an n?N，試歸納猜想出Sn的表達式為（）*

A、2n2n?12n?12nB、C、D、n?1n?1n?1n?

26.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密規則為：明文a,b,c,d對應密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d，例如，明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16．當接受方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為（）．

A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7

7.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為?

（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

8.下面使用類比推理恰當的是.①“若a·3=b·3,則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”

②“(a+b)c=ac+bc”類推出“a?bab=+” ccc

a?bab=+(c≠0)” ccc

nnn③“(a+b）c=ac+bc”類推出“nnn④“（ab）=ab”類推出“(a+b)=a+b”

9．“?AC,BD是菱形ABCD的對角線，?AC,BD互相垂直且平分?！毖a充以上推理的大前提是。

10．由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據 “三段論”推理出一個結論，則這個結論是。

11.補充下列推理的三段論：

（1）因為互為相反數的兩個數的和為0，又因為a與b互為相反數且所以b=8.（2）因為又因為e?2.71828?是無限不循環小數，所以e是無理數．

12.在平面直角坐標系中，直線一般方程為Ax?By?C?0，圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)2?(y?y0)2?r2；則類似的，在空間直角坐標系中，平面的一般方程為________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_______________________.13.在平面幾何里，有勾股定理：“設?ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB?AC?BC?！蓖卣沟娇臻g，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面積與底面積間的關系，可以得妯的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則”.14.從1=1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3,1?4?9?16??(1?2?3?4)?，概括出第n個式子為．

15.對函數f(n),n?N*，若滿足f(n)??222?n?100??n?3，試由f?10?4,f?10?3和??????ffn?5n?100?

f?99?,f?98?,f?97?和f?96?的值，猜測f?2??f?31??16.若函數f(n)?k,其中n?N，k是??3.1415926535......的小數點后第n位數字，例

如f(2)?4，則f{f.....f[f(7)]}（共2007個f）17.設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數，則f(4)=；當ｎ＞４時，f(n)＝（用n表示）.18.蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊

形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則

f(4)=_____;f(n)=_____________．

19.在等差數列?an?中，若a10?0，則有等式a1?a2?????an?a1?a2?????a19?n(n?19,n?N?)成立，類比上述性質，相應地：在等比數列?bn?中，若b9?1，則有等式.：

20.某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○?，按這種規律往下排，那么第36個圓的顏色應是.21.求垂直于直線2x?6y?1?0并且與曲線y?x?3x?5相切的直線方程

32322．已知函數f(x)?ax?3(a?2)x2?6x?3 2

（1）當a?2時，求函數f(x)極小值；

（2）試討論曲線y?f(x)與x軸公共點的個數。

《2.1合情推理與演繹推理》知識要點梳理

知識點一：推理的概念根據一個或幾個已知事實(或假設)得出一個判斷，這種思維方式叫做推理．從結構上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設)叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結論．

知識點二：合情推理根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果、個人的經驗和直覺等，經過觀察、分析、比較、聯想、歸納、類比等推測出某些結果的推理過程。其中歸納推理和類比推理是最常見的合情推理。

1.歸納推理

（1）定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。

（2）一般模式：部分整體，個體一般

（3）一般步驟：

①通過觀察個別情況發現某些相同性質；

②從已知的相同的性質中猜想出一個明確表述的一般性命題；

③檢驗猜想.（4）歸納推理的結論可真可假

2.類比推理

（1）定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.（2）一般模式：特殊特殊

（3）類比的原則：可以從不同的角度選擇類比對象，但類比的原則是根據當前問題的需要，選擇恰當的類比對象.（4）一般步驟：

①找出兩類對象之間的相似性或一致性；

②用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，得出一個明確的命題（猜想）；

③檢驗猜想.（5）類比推理的結論可真可假

知識點三：演繹推理

（1）定義：從一般性的原理出發，按照嚴格的邏輯法則，推出某個特殊情況下的結論的推理，叫做演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式

① 大前提——已知的一般原理；

② 小前提——所研究的特殊情況；

③ 結論——根據一般原理，對特殊情況作出的結論.（3）用集合的觀點理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質，是的子集，那么中所有元素都具有性質

（4）演繹推理的結論一定正確

演繹推理是一個必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結論一定是正確的，它是完全可靠的推理。

合情推理與演繹推理（文科）答案

1——7.D C C D A C A8.③

9.菱形對角線互相垂直且平分。10.②③?①。11.（1）a=-8；（2）無限不循環小數都是無理數

12.Ax?By?Cz?D?0；(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2；

13.S?BCD?S?ABC?S?ACD?S?ABD；

14.122222?22?32?42???(?1)n?1?n2??(1?2?3???n)；

18．【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關系式 15.97，98；16.1；17.5； n+1）(n-2)；

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?1

【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數據的關系.19.【解析】：在等差數列?an?中，由a10?0，得a1?a19?a2?a18???an?a20?n

?an?1?a19?n?2a10?0

所以a1?a2???an???a19?0即a1?a2???an??a19?a18???an?1

又?a1??a19,a2??a18,?a19?n??an?1

?a1?a2???an??a19?a18???an?1?a1?a2???a19?n

若a9?0，同理可得a1?a2??an?a1?a2???a17?n

相應地等比數列?bn?中，則可得：b1b2?bn?b1b2?b17?nn?17,n?N*

【點評】已知性質成立的理由是應用了“等距和”性質，故類比等比數列中，相應的“等距積”性質，即可求解。

20.白色

21.解：設切點為P(a,b)，函數y?x3?3x2?5的導數為y'?3x2?6x

切線的斜率k?y'|x?a?3a2?6a??3，得a??1，代入到y?x?3x?5

得b??3，即P(?1,?3)，y?3??3(x?1),3x?y?6?0??32

22．解：（1）a2f'(x)?3ax2?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),f(x)極小值為f(1)?? 2a

2（2）①若a?0，則f(x)??3(x?1)，?f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

②若a?0，?f(x)極大值為f(1)??a2?0，?f(x)的極小值為f()?0，2a

?f(x)的圖像與x軸有三個交點；

③若0?a?2，f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

'2④若a?2，則f(x)?6(x?1)?0，?f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

⑤若a?2，由（1）知f(x)的極大值為f()??4（點； 2a1323?)??0，?f(x)的圖像與x軸只有一個交a44

綜上知，若a?0,f(x)的圖像與x軸只有一個交點；若a?0，f(x)的圖像與x軸有三個交點。