第一篇：你能證明它們嗎

§1.1、你能證明它們嗎(一)

一、教學目標：

1、了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

3、結合實例體會反證法的含義。

二、教學重點：了解作為證明基礎的幾條公理的內容，通過等腰三角形性質證明，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

教學難點：能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理（特別是證明等腰三角形性質時輔助線做法）。

三、教學方法：觀察法。

四、教學過程：

復習：

1、什么是等腰三角形？

2、你會畫一個等腰三角形嗎？并把你畫的等腰三角形栽剪下來。

3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質？

新課講解：

在《證明

（一）》一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，運用下面的公理和已經證明的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論。

同學們和我一起來回憶上學期學過的公理

? 本套教材選用如下命題作為公理 :

? 1.兩直線被 F

形紙片幫議助學生回憶。學生充分討論問題1，借助等腰三角形紙片回憶有關性質。）

（2）你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎？

（等腰三角形（包括等邊三角形）的性質學生已經探索過，這里先讓學生盡可能回憶出來，然后再考慮哪些能夠立即證明。）

定理：等腰三角形的兩個底角相等。

這一定理可以簡單敘述為：等邊對等角。

已知：如圖，在ABC中，AB＝AC。

求證：∠B＝∠C

（引導學生證明定理“等腰三角形的兩個底角相等”，重點引導學生做輔助線，將等腰三角形分成兩個全等的三角形： 我們剛才利用折疊的方法說明了這兩個底角相等。實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等三角形。能否通過作一條線段，得到兩個全等的三角形，從而證明這兩個底角相等呢？）

證明：取BC的中點D，連接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對應邊角相等)

（讓同學們通過探索、合作交流找出其他的證明方法。做∠BAC的平

B分線，交BC邊于D；過點A做AD⊥BC。學生指出該定理的條件

和結論，寫出已知、求證，畫出圖形，并選擇一種方法進行證明。）

想一想：

在上圖中，線段AD還具有怎樣的性質？為什么？由此你能得到什么結論？

（應讓學生回顧前面的證明過程，思考線段AD具有的性質和特征，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發現等腰三角形性質定理的推論，從而得到結論，這一結合通常簡述為“三線合一”。）

推論 等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

隨堂練習：

做教科書第4頁第1，2題。（引導學生分析證明方法，學生動手證明，寫出證明過程。）課堂小結：

通過這節課的學習你學到了什么知識？

（學生小結：通過本課的學習我們了解了作為基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。探體會了反證法的含義。）

五、作業：

1、基礎作業：P5頁習題1.11、2。

2、拓展作業：《目標檢測》

3、預習作業：P5-6頁議一議

六、板書設計：

C

七、課后記：

§1.1、你能證明它們嗎(二)

一、教學目標：

1、進一步了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，并由特殊結論歸納出一般結論。

3、能夠用綜合法證明等腰三角形的判定定理。

4、了解反證法的推理方法。

5、會運用“等角對等邊”解決實際應用問題及相關證明問題。

二、教學重點：正確敘述結論及正確寫出證明過程。熟悉作為證明基礎的幾條公理的內容，通過學習，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

教學難點：等腰三角形的定理應用及由特殊結論歸納出一般結論。

三、教學方法：探究式教學法 自主探究與合作探究

四、教學過程：

復習回顧：

你知道等腰三角形具有怎樣的性質嗎?、探索——發現——猜想——證明

1、引導探索：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高線具有上述的性質，那么，兩底角的平分線、兩腰上的中線和高線又具有怎樣的性質呢？

（提出問題，激發學生探究的欲望。學生猜想）

2、探究中發現：在等腰三角形中做出兩底角的平分線，你會發現圖中有那些相等的線段？你能用文字敘述你的結論嗎？

（學生動手畫圖、探索發現相等的線段并思考為什么相等）

3、證明：（1）例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。

（引導學生分清條件和結論、畫圖、寫出已知、求證。）

已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是 △ ABC的角平分線。

求證：BD＝CE（一生口述證明過程，然后寫出證明過程。）

C 證明：（略）

此題還有其它的證法嗎？

（2）你能證明等腰三角形兩條腰上的中線相等嗎？高呢？

（引導學生分清條件和結論、畫圖、寫出已知、求證并證明。其它證法合作交流完成。）

4、議一議1：

在上圖的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC, ∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE嗎？如果∠ABD＝1/4∠ABC, ∠ACE＝1/4∠ACB呢？由此你能得到一個什么結論？（根據圖形引導學生分析歸納得出一般結論。學生分組思考、交流，在充分討論的基礎上得出一般結論寫出證明過程。）

（3）如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB, 那么BD＝CE嗎？如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB,呢？由此你能得到一個什么結論？

議一議2：

把“等邊對等角”反過來還成立嗎？你能證明？

定理證明

已知：在ΔABC中∠B=∠C

求證：AB=AC（引導學生證明定理）方法如下：

（1）C

（2）

C

C

課堂小結1：

(1)歸納判定等腰三角形判定有幾種方法,(2)證明兩條線段相等的方法有哪幾種。（討論、交流）隨堂練習：

已知：在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC

求證：DB=DE

C（引導學生分析證明方法，學生動手證明，寫出證明過程。）想一想:

小明說，在一個三角形中,如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等,你認為這個結論成立嗎?如果成立,你能證明它?

證明P8

反證法的概念 P8

課堂小結2：

通過這節課的學習你學到了什么知識？了解了什么證明方法？ B C

（學生小結：掌握證明的基本步驟和書寫格式。經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，并由特殊結論歸納出一般結論。等腰三角形的判定定理。了解反證法的推理方法。）

五、作業：

1、基礎作業：P9頁習題1.21、2、3。

2、拓展作業：《目標檢測》

3、預習作業：P10-12頁做一做

六、板書設計：

七、課后記：

§1.1你能證明他們嗎？

（三）一、教學目標：

1、進一步學習證明的基本步驟和書寫格式。

2、掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理。

二、教學重點、難點：關于綜合法在證明過程中的應用。

三、教學過程：

溫故知新

1、已知：∠ABC,∠ACB的平分線相交于

F,過F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E

(1)找出圖中的等腰三角形(2)BD,CE,DE之間存在著怎樣的關系？

(3)證明以上的結論。

2、復習關于反證法的相關知識

練習：

證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°。

（筆試，進一步鞏固學習證明的基本步驟和書寫格式）

學一學

1、探索問題：①一個等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形？

②你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證

明你的思路嗎？（把你的思路與同伴進行交流。）

定理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

2、做一做：用兩個含30°角的三角尺，能拼成一個怎樣的三角形？能拼成一個等邊三角形嗎？說說你的理由。

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小

關系？能證明你的結論嗎？

（提示學生根據兩個三角尺拼出的圖形發現結論，并證明）

證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，則∠B=60°

延長BC至D,使CD=BC,連接 AD

A ∵∠ACB=90°

∴∠ACD=90°

∵AC=AC

∴△ABC≌△ADC(SSS)

∴AB=AD(全等三角形的對應邊相等)

∴△ABD是等邊三角形11∴BC=BD=AB 2

2得到的結論：

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

3、例題學習

等腰三角形的底角為15°，腰長為2a

已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠

度，CD是腰AB上的高

求：CD的長

解：∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

11∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所2

2對的直角邊等于斜邊的一半)

4、練習：課本12頁隨堂練習

1四、課堂小結：

通過這節課的學習你學到了什么知識？了解了什么證明方法？

（學生小結：掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理）

五、作業：

1、基礎作業：P13頁習題1.31、2、3題

2、拓展作業：《目標檢測》

3、預習作業：P15-17頁讀一讀“勾股定理的證明”

六、板書設計：

七、課后記：

第二篇：你能證明它們嗎1.1

石佛中學九年級上冊 數學 學案

第1章 第1節 <<你能證明嗎？>> 第2課時9月 1日

一、學習目標：

1.會證明等腰三角形中的一些“線段”相等；

2.會判斷一個三角形是等腰三角形，并知道證明的另一種方法----反證法。

二、教學重點：正確敘述結論及正確寫出證明過程。熟悉作為證明基礎的幾條公理的內容，通過學習，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

難點：等腰三角形的定理應用及由特殊結論歸納出一般結論。

三、自學指導：

自學指導1：

認真看教材P6—P7關于例1的有關內容，掌握本題的證明格式，在本題中用到了哪些知識點。5’分鐘后，完成下面的學習檢測。

(一)學習檢測：（10’）

1.例1中（用到了什么性質）？

2.在例1中，如果∠ABD=

證明：

(二)思考：在例1中，如果AD=

1313∠ABC，∠ACE=13∠ACB，那么BD=CE嗎？ AC，AE=1

3AB，那么BD=CE嗎？你用什么方法證明的？

綜合P7的（1），（2），你能得到什么結論？

(5分鐘)

自學指導2：

認真看教材P7—P9頁的內容，要求掌握：1.如何判斷一個三角形是等腰三角形？用到了什么方法？2.了解什么是反證法。3分鐘后完成下面的練習。

(一)學習檢測：（10’）

1.請敘述等腰三角形的定義。

2.證明：“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”

已知：在△ABC中，_______________,求證：△ABC是等腰△

方法：（1）過點A作___________________________（最關鍵）

（2）構造兩個全等三角形

（3）由全等三角形證明AB=AC。

3.閱讀P8頁關于反證法的知識，總結什么是反證法？，四、本節小結：（3’）

1.本節課你掌握了哪些知識點？

2.你自查一下，還有哪些知識點沒有掌握？

3.你認為最難學會的知識點是什么？

得分時間: 10 分鐘

1.已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD//BC，且∠1=∠2，求證：AB=AC。

2.已知：如圖，在一個風箏ABCD中，AB=AD，BC=DC。分別在AB，AD的中點E，F處拉兩

根彩線，EC，FC，證明：這兩根彩線的長相等；

第三篇：1.1你能證明它們嗎

1.1你能證明它們嗎（1）

一、復習引入：

師：在八年級下學期，我們用“同位角相等，兩直線平行”以及“兩直線平行，同位角相等”,證明了有關平行線的判定和性質等，積累了一些證明的方法和經驗，本節課開始我們將

探索與三角形有關結論的證明.讓我們先來回顧三角形全等的相關知識.（教學意圖：通過回顧證明

（一）中運用兩個公理證明其它定理的方法，熟悉證明的一般

方法，為本節的證明和運用作鋪墊.）

問題1：請同學們回顧，全等三角形的判定方法和性質有哪些？

（學生先思考，再相互交流，相互補充，師生一起歸納梳理完成.）

生1：三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS公理）.生2：兩邊及夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS公理）.生3：兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA公理）.生4：全等三角形的對應邊相等,對應角相等（公理）.生5：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS).師：很好！前四個命題，本套教材直接選作公理使用，不需要證明.而最后一個命題需要證

明后才可以使用.（教學意圖：設計有挑戰性的問題，讓學生先思考再討論解決，互相交流補充完成；培養學

生學以致用，大膽探索的科學發現精神，激發學生的學習熱情.）

問題2：試證明命題：“兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等”.師：八年級我們已經學過了文字證明題的基本方法和步驟，請你用自己的語言說一說.生：1.分清命題中的題設和結論2.畫出圖形寫出相應已知和求證.3.寫出證明過程.師：總結得很到位.那么我們如何分析這個命題的題設和結論，畫出圖形，寫出相應的已知

和求證.生：已知：(如圖)在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.師：請同學們獨立完成證明過程.生： 證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°.（三角形內角和等于180°）

∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E).又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）.∴∠C=∠F.又∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF.（ASA）

（設計意圖：要讓所有學生熟練的寫出證明過程，準確的理解因為和所以之間的對應關系，有意識地培養學生嚴謹的思維品質，讓學生“言之有據”.）

二、探究新知

師：同學們，三角形按邊分類，分為哪幾類？

生：等腰三角形（包括等邊三角形）和不等邊三角形.（學生互相交流補充，教師點撥強調.）

師：我們已經研究了一般三角形的三邊之間的關系、三角形內角之間的關系及三角形的外角，本節課我們來研究特殊的三角形即等腰三角形的性質，請同學們拿出等腰三角形紙片，觀察等腰三角形具有哪些性質？你會用折疊圖形驗證你的發現嗎？

生1：等腰三角形兩腰相等.生2：等腰三角形的兩個底角相等.生3：等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線互相重合.（等腰三角形的“三

線合一”）

（設計意圖：借助折紙的方法回憶等腰三角形的性質，培養學生的動手能力，理論與實踐相

B

B

B

結合，提高學生的語言表達以及歸納能力.）

問題3：你能利用已有的公理和定理證明“等腰三角形的兩個底角相等”這個結論嗎？ 師：請同學們分析這個命題的題設和結論，畫出圖形，寫出相應的已知和求證.生：已知：如圖，在△ABC中，AB=AC.求證：∠B=∠C

師：我們剛才利用折疊的方法說明了這兩個底角相等.實際上，折痕將等腰三角形分成了兩

個全等三角形.現在你能否添加適當的輔助線，將等腰三角形轉變成全等三角形，來證明它的兩個底角相等呢？

生1：（圖1）證明：取BC的中點D，連接AD.∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對應邊角相等)

圖1圖2圖

3生２：(圖2)證明：做∠BAC的角平分線，交ＢＣ于點Ｄ.∴∠1=∠

2∵AB=AC，AD=AD

∴△ABD≌△ACD(SAS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對應邊角相等)

生３：(圖3)過點Ａ，做ＡＤ⊥ＢＣ，垂足為D.構造兩三角形全等.（HL）

（“ＨＬ”定理我們還沒有證明過，因此它們暫時不能作為證明的依據.但仍要對給出 方法３的學生予以肯定和表揚.）

師：我們已用不同的方法證明了“等腰三角形的兩個底角相等”，簡單的敘述為“等邊對等

角”，那如何用符號語言表達呢？

生：只需把“已知”改成“∵”，“求證”改成“∴”.師：很好！接著板書“∵ AB=AC.∴∠B=∠C”.師：今后這個定理可作為等腰三角形的性質來使用

.（設計意圖：命題的證明是本章的重點，讓學生能用所學知識進行規范證明，輔助線的添加是本節課的難點，讓學生對同一個問題從不同的角度去思考.）

問題4：在上圖中，還存在哪些相等的線段和相等的角？線段AD還具有怎樣的性質？為什么？由此你能得到什么結論？

生：剛才的證明過程中，無論作哪一種輔助線，都能構造三角形全等，從而得出對應邊相等，對應角相等.所以這條線段的特征就更加豐富了，實際就是“三線合一”啦.師生共同總結：推論等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.（簡

稱“三線合一”）.師：等腰三角形的“三線合一”，你會用符號語言敘述嗎？

生1：(如右圖)

∵ AB=AC，BD=CD

∴∠1=∠2，AD⊥BC.生2：∵AB=AC,AD⊥BC

∴BD=DC，∠1=∠2.生3：∵AB=AC, ∠1=∠

2∴AD⊥BD,BD=DC.師：這個推論有什么作用呢？

生1：可以用來證明兩角相等、兩線段相等，或兩線垂直.生2：在等腰三角形中，由其中一種身份，證明其它的身份存在.（先讓學生回顧前面的證明過程，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發現并掌握等腰三角形性質定理的推論，并能掌握性質定理.）

師：同學們總結的很精彩，請大家試著完成下面的練習.三、鞏固練習

證明:等邊三角形的三個角都相等,并且每個角都等于60°.(教師要求學生在練習本上先畫圖、寫出已知、求證，再寫出證明過程.教師巡視,對有困難的學生進行點撥指導,并篩選優秀的結果進行展示交流.)

生:已知：（如圖）在△ABC中，AB=AC=BC.求證: ∠A=∠B=∠C=60°

證明: ∵AB=AC∴∠B=∠C

∵BA=BC∴∠A=∠C

∴∠A=∠B=∠C

又∵∠A+∠B+∠C=180°

∴∠A=∠B=∠C=60°

師: “等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60°.”這一結論今后可以直接使用，作為其它問題推理的依據.(設計意圖:通過本節課的學習，讓學生試著分析命題的條件和結論，試著寫出證明過程.這是本章學習的重點.)

四、你言我語暢談收獲

本節課你在知識或方法上有哪些收獲？試與大家一起分享.生1：通過本節課的學習,我會運用全等三角形的判定方法,會證明等腰三角形的有關性質.生2：學會了用不同方法添加輔助線.生3: 掌握了證明的基本步驟和書寫格式.生4: 我也會證明等邊三角形的性質.師: 你們都有不少收獲!請同學們利用所學的知識來完成下面的檢測.(學生歸納總結，互相交流補充完成.培養學生的語言表達和歸納概括能力.形成完整的知識體系.)

五、自我檢測

1.（2013四川）如圖，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，則∠A的度數是（）

A.70°B.55°C.50°D.40°

2.（2013 德州）如圖，AB∥CD，點E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，則∠B的度數為（）

5.（2013十堰）如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE．

參考答案:1.D2.B3.B4.15(此題是一道易錯題,學生出現兩解較多)

5.證明: ∵AB=AC∴∠B=∠C,又∵BD=CE

∴△ABD△≌△ACE(SAS)∴AD=AE

(本題主要練習學生證明的規范性,但有的學生證明較為復雜,需要規范過程.)

六、布置作業

1.必做題：習題1.1----

1、22.選做題：習題1.1----

3、4七、板書設計

本節課主要學習等腰三角形的性質定理及其證明方法，培養學生思維的嚴謹習慣，規范學生做證明題的格式.通過這節課的教學,比較成功的地方有：

1.學生能較好地掌握證明的基本步驟，并能依據學過的公理和定理，對簡單的命題進行證明.2.本節給學生提供了廣闊的探索平臺以及交流空間，發散學生的思維能力，較好地體現了證法的多樣性.3.學生基本掌握了對同一個命題間的三種語言相互轉化，較好地注重了書寫格式.4.注重了學生動口說、動腦思、動手操作，等腰三角形的性質都是通過學生感悟總結的.由于性質是學生自己推出得到的，所以較好地運用等腰三角形性質解決相關的問題.成功的同時，在課堂教學過程中也感到有些遺憾：

由于本節課等腰三角形的性質定理的證明是本節課的重點，特別是證明思路和方法是本節課的重點，但在處理命題的證明的過程中，沒有留出足夠的時間，處理還是倉促；再者，學生認為此部分內容在八年級已經學習過，從思想上輕視，導致課堂氣氛不是很活躍，這是今后要引起注意之處.

第四篇：第一節你能證明它們嗎 教案

課時課題：第一章 第一節你能證明它們嗎 第三課時

課型：新授課

教學目標：

1.證明和掌握等邊三角形的判定定理、有一個角是30°的直角三角形的性質定理.2.進一步學習和規范綜合法證明的基本步驟和書寫格式.3.滲透分類討論思想,培養從實際問題抽象出數學問題的能力，建立解決問題的數學模型． 重點：等邊三角形的判定和有一個角是30°的直角三角形的性質的證明及應用技巧.難點：證明思路的探尋和綜合法證明的書寫表達.教學方法：啟迪誘導—自主探索—反饋升華

教法及學法指導：

為體現學生在教學中的主體地位，促進學生知識、技能和數學素養的提高，確立本節應用“啟迪誘導－自主探究—反饋升華”教學模式，引導學生思考問題、課件演示和學案探究，對設計的問題進行觀察思考、小組討論、主動探究，最后自己得出結論，親身經歷解決問題的全過程.課前準備：制作紙質三角形教具及課件，學生課前進行相關復習及預習導學案.教學過程:

一、創設情境，導入新課

師：同學們好！我們上節課共同探究解決了什么問題?你還記得什么結論?

生：略一思考,舉手回答:等邊對等角和反證法.師：非常清晰!我們再回憶一下,等腰三角形有哪些性質?等邊三角形呢?

生答.(師展示硬紙質三角形,三角板測量一個角為60°,折疊得兩邊相等.)

師:你能判斷出這個三角形的形狀嗎?

生搶答：等邊三角形.二、等邊三角形的判定方法探究

（一）探究一

師:同學們意見一致.這是我們本節課的第一個學習任務.我們一起來明確已知和求證.這個60°的角與兩腰有位置限制嗎?

(生積極思考，通過老師的點撥，認識到需要分類討論:當這個角分別是底角和頂角的情況,學生合作完成證明.師以頂角為例寫出已知和求證.)

已知：如圖，△ABC中，AB=AC, ∠A=60°

求證：△ABD是等邊三角形.師：你是怎樣推理的？

(生紙筆作答，一生板演證明過程)

證明：∵∠A=60°

∴∠B+∠C=120°

又∵AB=AC

∴∠B=∠C=60°(等邊對等角)

∴∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(等角對等邊)

∴△ABD是等邊三角形

(學生完成后互相交換檢查，師巡查指正分類討論和過程的書寫.把證明過的結論作為定理，即等邊三角形判定定理一)

生答、師板書：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.推理形式: 在△ABC中,∵AB=AC,∠B=60°(已知).∴△ABC是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形).師：觀察黑板上的推理過程，有∠A=∠B=∠C.因此，這個條件也可以直接判定等邊三角形, 即等邊三角形判定定理二.生答、師板書：三個角都相等的三角形是等邊三角形.推理形式:在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).（二）學以致用

師：同學們總結得都非常好，數學本來源于生活現象，觀察下面這個小制作，你的結論是什么，依據是什么．

(師將兩個大小一樣的含有30°的直角三角形按如圖方式拼在一起，生分組討論，意見統一后匯報探究結果.)

生一：△ABD是等邊三角形.依據是有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.生二補充：

∵∠BAC=∠CAD=30°

∴∠BAD=60°

又∵AB=AD

∴△ABD是等邊三角形

(看到學生再無異議，師提問：已知中的直角這個條件為什么沒有用到？是多余的嗎？如果沒有這個條件，結論還成立嗎？生再討論發現.)

生板演畫圖：不一定成立了，可能是箏形或飛機形.原因是沒有了直角的條件，∠BCD就不一定是180°，即點B、C、D不共線，整個圖形就不是三角形了.師：非常好！你發現了問題所在.因此推理過程要加上：

∵∠BCA=∠DCA=90°

∴∠BCD=180°即點B、C、D三點共線

師：證明的規范性在于：條理清晰，因果相應,言必有據.這是初學證明者謹記和遵循的原則.(學生認真聽講，結合觀察思考中發現的推理漏洞,體會推理思維的嚴謹性.)

三、有一個角是30°的直角三角形的性質定理的探究

（一）探究二

師：同學們學以致用，成功地判斷出來△ABD是等邊三角形，非常聰明！下面我們換個角度思考：等邊三角形可以分成兩個全等的直角三角形，這個直角三角形有什么特點？(師演示折疊紙質三角形.)

學生觀察后回答：生1：三個角分別是30°、60°、90°.生2：改進：只說一個銳角是30°就可以了.生3：BC是BD的一半，從而也是AB的一半，所以這個直角三角形中短直角邊是斜邊的一半。

師：你的思路很正確,通過實際操作探索出的結論還需要給予理論證明，同學們能不能寫出證明過程?

（學生證明.完成后互相交換檢查，師巡查，個別指正.）

探究結論：有一個角是30°的直角三角形的性質定理

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.推理形式: 在△ABC中, ∵∠ACB=90°,∠A=30°

∴BC=AB(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)

（二）講解例題

師：大家看看能否用新知識解決下面這個問題？投影例題，學生思考.例2已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，求CD的長.分析：要敏銳地捕捉到15°的角和30°的角的關系以及直角三角形，從而選定推理方向，湊齊條件。

學生解答：

∵∠B=∠ACB=15°

∴∠CAD=30°

又∵CD是腰AB上的高

∴CD=AC= a

（三）學以致用

已知：一塊形如△ABC的空地，AB=2a米,AC=3a米,∠A=150°，若在其中種上單價20元/平方米的草皮，需要多少錢？

點撥：求面積需要一條邊上的高，由150°又能得到特殊角30°，因此解決問題的關鍵是構造直角三角形.（生小組討論,尋找解題方法.(解略)）

課堂練習：在Rt△ABC中，如圖所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，點D到AB的距離DE=3.8 cm，求BC的長.（小組合作完成，過程略.）

答案：BC=3DE=11.4cm.四、學習體會：

本節課你的收獲有什么?還有什么沒有得到解決的問題愿意擺出來與大家共享嗎?學生主動起立回答.收獲有:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.三個角都相等的三角形是等邊三角形.在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.分類討論的證明方法

由15°等角度去尋找與30°特殊角，從而構造特殊的直角三角形解題.?

五、達標檢測

(A):已知，如圖，在△ABC中,∠ACB＝90°,∠A=30°,CD⊥AB于D.求證:

(B)腰長為2的等腰銳角三角形一腰上的高與另一腰的夾角是30°，求底邊上的高.(這兩個試題，學生根據自身程度任選一題完成.)

六、作業

預習下一節的內容.板書設計

§1.1你能證明它們嗎（3）

等邊三角形的判定定理1.定理2.有一個角是30°的直角三角形的性質定理

例題

練習

教學反思

本節課的兩個定理對大部分學生來說都是熟悉的，至少也留有印象.因此教學重點放在了等邊三角形的判定和有一個角是30°的直角三角形的性質的證明及應用技巧的引領上.課堂關注分類討論的必要性，利用小組合作學習共同在短時間內完成探究，效果不錯.在有一個角是30°的直角三角形的性質的證明上，則采取延續探究一的練習題的再深入探究，利用折疊很直觀地展示了兩邊的關系和證明思路，學生口述證明，節約了時間.在點撥了例題之后，規范板書，了解題步驟，給學生以書寫指導，同時給學生消化吸收的時間，為接下來變式練習的解決搭好臺階.學生短時間內找到解決方法，攻克了難題也令他們精神大振，信心倍增.值得商榷的一點是關于三點共線證明的必要性的安排，在學生頭腦中完全沒有感到疑問的情況下，教師是否應該主動提出來？利弊相較，在此還需要各位老師考慮學情.

第五篇：《你能證明它們嗎》參考教案

第一章證明

（二）§1.1、你能證明它們嗎(一)

-----孫建彬

一、學習目標：

1、了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理。

3、結合實例體會反證法的含義。

二、學習重點：了解作為證明基礎的幾條公理的內容，通過等腰三角形性質證明，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

學習難點：能夠用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理（特別是證明等腰三角形性質時輔助線做法）。

三、學習方法：觀察法。

四、學習過程：

復習：

1、什么是等腰三角形？

2、你會畫一個等腰三角形嗎？并把你畫的等腰三角形栽剪下來。

3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質？

新課講解：

在《證明

（一）》一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，運用下面的公理和已經證明的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論。

同學們和我一起來回憶上學期學過的公理

? 本套教材選用如下命題作為公理 :

? 1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;

? 2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;

? 3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等;（SAS）

? 4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等;（ASA）

? 5.三邊對應相等的兩個三角形全等;（SSS）

? 6.全等三角形的對應邊相等,對應角相等.由公理5、3、4、6可容易證明下面的推論：

推論 兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。（AAS）/

3證明過程：

已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF

求證：△ABC≌△DEF

證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°

（三角形內角和等于180°）

∴∠C=180°-(∠A+∠B)

∠F=180°-(∠D+∠E)

又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∴∠C=∠F

又∵BC=EF（已知）B

C

EF

∴△ABC≌△DEF（ASA）（這個推論雖然簡單，但也應讓學生進行證明，以熟悉的基本要求和步驟，為下面的推理證明做準備。）

議一議：

（1）還記得我們探索過的等腰三角形的性質嗎？（教師提出問題，并利用等腰三角形紙片幫議助學生回憶。學生充分討論問題1，借助等腰三角形紙片回憶有關性質。）

（2）你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎？

（等腰三角形（包括等邊三角形）的性質學生已經探索過，這里先讓學生盡可能回憶出來，然后再考慮哪些能夠立即證明。）

定理：等腰三角形的兩個底角相等。

這一定理可以簡單敘述為：等邊對等角。

已知：如圖，在ABC中，AB＝AC。求證：∠B＝∠C

（引導學生證明定理“等腰三角形的兩個底角相等”，重點引導學生做輔助線，將等腰三角形分成兩個全等的三角形： 我們剛才利用折疊的方法說明了這兩個底角相等。實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等三角形。能否通過作一條線段，得到兩個全

等的三角形，從而證明這兩個底角相等呢？）

證明：取BC的中點D，連接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對應邊角相等)

（讓同學們通過探索、合作交流找出其他的證明方法。做∠BAC的平分線，交BC邊于D；過點/ 3 BC

A做AD⊥BC。學生指出該定理的條件和結論，寫出已知、求證，畫出圖形，并選擇一種方法進行證明。）

想一想：

在上圖中，線段AD還具有怎樣的性質？為什么？由此你能得到什么結論？

（應讓學生回顧前面的證明過程，思考線段AD具有的性質和特征，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發現等腰三角形性質定理的推論，從而得到結論，這一結合通常簡述為“三線合一”。）推論 等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

隨堂練習：

做教科書第4頁第1，2題。（引導學生分析證明方法，學生動手證明，寫出證明過程。）課堂小結：通過這節課的學習你學到了什么知識？

（學生小結：通過本課的學習我們了解了作為基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。探體會了反證法的含義。）

五、作業：

1、基礎作業：P5頁習題1.11、2。

2、預習作業：P5-6頁議一議

六、板書設計：/ 3