第一篇：你能證明它嗎？

苦水中學導學案

科目數學年級九年級主備人魏治泉審核人巨積偉

【學習課題】§1.1.2你能證明它們嗎？

【學習目標】

學會證明等腰三角形中有關相等的線段及等角對等邊，并體會反證法的含義。

【學習重點】

會證明等腰三角形的判定定理，即：“等角對等邊”。

【學習難點】

區別等腰三角形性質定理和判定定理的證明。

【學習過程】

一、初生牛犢不怕虎，讓我來探索：

探索一：

1、證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。

已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分線。求證：BD＝CE。

1※

2、在上圖的等腰三角形ABC中，⑴如果∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝3

111∠ACB，那么BD＝CE嗎？如果∠ABD＝ ∠ABC，∠ACE＝∠ACB344呢？由此你能得到一個什么結論？你能說明理由嗎？

1⑵如果ADAC，AE＝AB，那么BD＝CE嗎？如果AD＝AC，AE

2231

＝AB呢？由此你能得到一個什么結論？你能說明理由嗎？

3探究二：請證明等腰三角形判定定理: 有兩個相等的三角形是等腰三

角形（簡稱：等對等）已知：在△ABC中，∠B＝∠C，證明:AB＝AC，探究三：證明：在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等。

B

C

反證法的一般步驟：

1、假設不成立；

2、由假設推出；

3、錯誤，原命題正確。

二、我的課堂我做主

1、如圖，△ABC中，點D、E分別在AC、AB上，BD與CE相交于O，給出下列四個條件：

⑴∠EBO=∠DCO，⑵∠BEO=∠CDO，⑶BE=CD，⑷OB=OC。上述四個條件，那兩個條件可判定△ABC是等腰三角形？請你寫出一種情形，并加以證明。

2、證明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正數,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,這五個數中至

1少有一個大于或等于5.A

C

三、看我有多棒（1、2題各1分，3題6分，4題2分，共10分）

1、下列命題中，真命題是()

A、等腰三角形的角平分線，中線和高線重合.B、等腰三角形一定是銳角三角形.C、若三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.D、等腰三角形兩角相等.2、在等腰△ABC中，∠A=90°，在底邊BC上截取BD=AC，過D作DE⊥BC交AC于E點，則圖中等腰三角形有()A、1個B、2個C、3個D、4個

3、如圖在△ABC中，AB=AC，BE為角平分線，DE∥BC。求證：①BD=DE;②BD=CE;③CD平分∠ACB.4、已知：△ABC.求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個角是直角.四、學而不思則罔，本節課我的反思：

D E C

第二篇：你能證明它嗎？

永登縣苦水中學導學案

科目數學年級九年級主備人魏治泉審核人巨積偉

【學習課題】§1.1.3你能證明它們嗎？

【學習目標】

學會等邊三角形判定定理的證明；掌握直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊的關系。

【學習重點】

等邊三角形的判定定理和直角三角形的性質定理。

【學習難點】

能夠用綜合法證明等邊三角形的判定定理。

【學習過程】

溫故知新

1、已知：∠ABC,∠ACB的平分線相交于F,過F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E

⑴找出圖中的等腰三角形

⑵BD,CE,DE之間存在著怎樣的關系？

⑶證明以上的結論。

2、復習關于反證法的相關知識 練習：證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°

一、初生牛犢不怕虎，讓我來探索：

定理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

如圖1-7（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則∠B＝60°。

延長BC至D，使CD＝BC，連接AD

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

D（1）（2）

圖

1-7

等腰三角形的底角為15°，腰長為2a，求腰上的高。如圖1-8，在△ABC中，已知AB＝AC＝2a，∠ABC＝∠ACB＝15°，CD是腰AB上的高，求CD的長。

1.已知:如圖,在△ABC中,∠ACB ＝ 90°,∠A=30°,CD⊥AB于D.求證:BD=AB/4.圖1-8

四、練習：

1、證明：三個角都相等的三角形是等邊三角形。

2、試一試知:如圖,點P,Q在BC

上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=60°,AH⊥BC于H.(1)求證:AB=AC;

(2)試在圖中標出各個角的度數;

(3)求出圖中各線段的長度,并說明理由.3、命題“在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°”是真命題嗎？如果是，請你證明它。

⑴若等腰三角形一腰上的高線平分這腰，則這個三角形是______三角形；若等腰三角形底邊上的高等于一腰上的高，則這個三角形是____三角形.⑵等腰三角形的頂角為150°，腰長為10cm，則這個三角形的面積為_______.4.解答題:

如圖1-5，在△ABC中，∠A=90°，∠B=15°，BD=CD，試探索AC與BD有何數量關系？并證明你的結論.四、學而不思則罔，課后反思：

第三篇：你能證明它嗎？

永登縣苦水中學導學案

科目數學年級九年級主備人魏治泉審核人巨積偉

【學習課題】§1.1.1你能證明它們嗎？

【學習目標】

1、了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理。

【學習重點】了解所學公理的內容，通過等腰三角形性質證明，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

【學習難點】證明等腰三角形性質時輔助線做法。

【學習過程】

一、初生牛犢不怕虎，讓我來探索：

探索一：三角形全等的判定

1、與三角形有關的公理：1、2、3、（前三個寫簡稱）

4、推論:（簡寫為）你能證明嗎？已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF，求證：△ABC≌△DEF

探索二：等腰三角形的性質

1、等腰三角形性質：等腰三角形的兩個相等（簡稱：等對等）

已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，求證：∠B＝∠C 證明一：取BC的中點D，連接AD2、推論：等腰三角形的頂角的、底邊上的、底邊上的互相重合（簡稱：）

C3、請證明推論2：等邊三角形的三個角都是，并且每個角都等于。

二、我的課堂我做主

1、在△ABC和△DEF中，以下四個命題中假命題是【】 A、由AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，可判斷△ABC≌△DEF；B、由∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，可判斷△ABC≌△DEF；C、由AB=DE，AC=DF，BC=EF，可判斷△ABC≌△DEF； D、由∠A=∠D，∠B=∠E，AC=EF，可判斷△ABC≌△DEF。

2、如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF，判斷AD是△ABC的中線還是角平分線？說明你的理由。

3、若等腰三角形中有一個角等于50°，則等腰三角形的頂角度數為。

4、已知如圖，△ABC中AB＝AC，點D、E在BC上且AD=AE，求證：BD=CE

B D

E

C

A

三、看我有多棒（1～5題每題1分，6題5分，共10分）

1、在△ABC和△ABC中，①AB=AB②BC=BC③AC=AC④∠A=∠A⑤∠B=∠B⑥∠C=∠C，下列條件中，不能保證△ABC≌△ABC的是【】 A①②③B①②⑤C②④⑤D①③⑤

2、某等腰三角形的兩條邊長分別為3cm和6cm，則它的周長為。

3、如圖1線段AC與BD交于點O，且OA=OC，請添加一個條件，使△OAB≌△OCD4、如圖2，△ABC中AB＝AC，點Ｄ在AC上，且BD=BC=AD，則∠A的度數

'

''''''''''

''''

為

A

圖1 B

圖2 C5、已知等腰三角形的兩內角的度數之比為1：4，則這個等腰三角形的頂角度數為

6、如圖3，A、B、F、D在同一直線上，AB=DF，AE=BC，且AE∥BC。求證：⑴△AEF≌△BCD，⑵EF∥CD

四、學而不思則罔，課后反思：

第四篇：你能證明它們嗎

§1.1、你能證明它們嗎(一)

一、教學目標：

1、了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。

3、結合實例體會反證法的含義。

二、教學重點：了解作為證明基礎的幾條公理的內容，通過等腰三角形性質證明，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

教學難點：能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理（特別是證明等腰三角形性質時輔助線做法）。

三、教學方法：觀察法。

四、教學過程：

復習：

1、什么是等腰三角形？

2、你會畫一個等腰三角形嗎？并把你畫的等腰三角形栽剪下來。

3、試用折紙的辦法回憶等腰三角形有哪些性質？

新課講解：

在《證明

（一）》一章中，我們已經證明了有關平行線的一些結論，運用下面的公理和已經證明的定理，我們還可以證明有關三角形的一些結論。

同學們和我一起來回憶上學期學過的公理

? 本套教材選用如下命題作為公理 :

? 1.兩直線被 F

形紙片幫議助學生回憶。學生充分討論問題1，借助等腰三角形紙片回憶有關性質。）

（2）你能利用已有的公理和定理證明這些結論嗎？

（等腰三角形（包括等邊三角形）的性質學生已經探索過，這里先讓學生盡可能回憶出來，然后再考慮哪些能夠立即證明。）

定理：等腰三角形的兩個底角相等。

這一定理可以簡單敘述為：等邊對等角。

已知：如圖，在ABC中，AB＝AC。

求證：∠B＝∠C

（引導學生證明定理“等腰三角形的兩個底角相等”，重點引導學生做輔助線，將等腰三角形分成兩個全等的三角形： 我們剛才利用折疊的方法說明了這兩個底角相等。實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等三角形。能否通過作一條線段，得到兩個全等的三角形，從而證明這兩個底角相等呢？）

證明：取BC的中點D，連接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD(SSS)

∴∠B=∠C(全等三角形的對應邊角相等)

（讓同學們通過探索、合作交流找出其他的證明方法。做∠BAC的平

B分線，交BC邊于D；過點A做AD⊥BC。學生指出該定理的條件

和結論，寫出已知、求證，畫出圖形，并選擇一種方法進行證明。）

想一想：

在上圖中，線段AD還具有怎樣的性質？為什么？由此你能得到什么結論？

（應讓學生回顧前面的證明過程，思考線段AD具有的性質和特征，討論圖中存在的相等的線段和相等的角，發現等腰三角形性質定理的推論，從而得到結論，這一結合通常簡述為“三線合一”。）

推論 等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

隨堂練習：

做教科書第4頁第1，2題。（引導學生分析證明方法，學生動手證明，寫出證明過程。）課堂小結：

通過這節課的學習你學到了什么知識？

（學生小結：通過本課的學習我們了解了作為基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的關性質定理和判定定理。探體會了反證法的含義。）

五、作業：

1、基礎作業：P5頁習題1.11、2。

2、拓展作業：《目標檢測》

3、預習作業：P5-6頁議一議

六、板書設計：

C

七、課后記：

§1.1、你能證明它們嗎(二)

一、教學目標：

1、進一步了解作為證明基礎的幾條公理的內容，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，并由特殊結論歸納出一般結論。

3、能夠用綜合法證明等腰三角形的判定定理。

4、了解反證法的推理方法。

5、會運用“等角對等邊”解決實際應用問題及相關證明問題。

二、教學重點：正確敘述結論及正確寫出證明過程。熟悉作為證明基礎的幾條公理的內容，通過學習，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

教學難點：等腰三角形的定理應用及由特殊結論歸納出一般結論。

三、教學方法：探究式教學法 自主探究與合作探究

四、教學過程：

復習回顧：

你知道等腰三角形具有怎樣的性質嗎?、探索——發現——猜想——證明

1、引導探索：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線和高線具有上述的性質，那么，兩底角的平分線、兩腰上的中線和高線又具有怎樣的性質呢？

（提出問題，激發學生探究的欲望。學生猜想）

2、探究中發現：在等腰三角形中做出兩底角的平分線，你會發現圖中有那些相等的線段？你能用文字敘述你的結論嗎？

（學生動手畫圖、探索發現相等的線段并思考為什么相等）

3、證明：（1）例1證明：等腰三角形兩底角的平分線相等。

（引導學生分清條件和結論、畫圖、寫出已知、求證。）

已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是 △ ABC的角平分線。

求證：BD＝CE（一生口述證明過程，然后寫出證明過程。）

C 證明：（略）

此題還有其它的證法嗎？

（2）你能證明等腰三角形兩條腰上的中線相等嗎？高呢？

（引導學生分清條件和結論、畫圖、寫出已知、求證并證明。其它證法合作交流完成。）

4、議一議1：

在上圖的等腰△ABC中，如果∠ABD＝1/3∠ABC, ∠ACE＝1/3∠ACB,那么BD＝CE嗎？如果∠ABD＝1/4∠ABC, ∠ACE＝1/4∠ACB呢？由此你能得到一個什么結論？（根據圖形引導學生分析歸納得出一般結論。學生分組思考、交流，在充分討論的基礎上得出一般結論寫出證明過程。）

（3）如果AD＝1/2AC,AE＝1/2AB, 那么BD＝CE嗎？如果AD＝1/3AC,AE＝1/3AB,呢？由此你能得到一個什么結論？

議一議2：

把“等邊對等角”反過來還成立嗎？你能證明？

定理證明

已知：在ΔABC中∠B=∠C

求證：AB=AC（引導學生證明定理）方法如下：

（1）C

（2）

C

C

課堂小結1：

(1)歸納判定等腰三角形判定有幾種方法,(2)證明兩條線段相等的方法有哪幾種。（討論、交流）隨堂練習：

已知：在ΔABC中，AB=AC，D在AB上，DE∥AC

求證：DB=DE

C（引導學生分析證明方法，學生動手證明，寫出證明過程。）想一想:

小明說，在一個三角形中,如果兩個角不相等,那么這兩個角所對的邊也不相等,你認為這個結論成立嗎?如果成立,你能證明它?

證明P8

反證法的概念 P8

課堂小結2：

通過這節課的學習你學到了什么知識？了解了什么證明方法？ B C

（學生小結：掌握證明的基本步驟和書寫格式。經歷“探索－發現－猜想－證明”的過程。能夠用綜合法證明等腰三角形的兩條腰上的中線（高）、兩底角的平分線相等，并由特殊結論歸納出一般結論。等腰三角形的判定定理。了解反證法的推理方法。）

五、作業：

1、基礎作業：P9頁習題1.21、2、3。

2、拓展作業：《目標檢測》

3、預習作業：P10-12頁做一做

六、板書設計：

七、課后記：

§1.1你能證明他們嗎？

（三）一、教學目標：

1、進一步學習證明的基本步驟和書寫格式。

2、掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理。

二、教學重點、難點：關于綜合法在證明過程中的應用。

三、教學過程：

溫故知新

1、已知：∠ABC,∠ACB的平分線相交于

F,過F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E

(1)找出圖中的等腰三角形(2)BD,CE,DE之間存在著怎樣的關系？

(3)證明以上的結論。

2、復習關于反證法的相關知識

練習：

證明：在一個三角形中，至少有一個內角小于或等于60°。

（筆試，進一步鞏固學習證明的基本步驟和書寫格式）

學一學

1、探索問題：①一個等腰三角形滿足什么條件時便成為等邊三角形？

②你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？你能證

明你的思路嗎？（把你的思路與同伴進行交流。）

定理：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

2、做一做：用兩個含30°角的三角尺，能拼成一個怎樣的三角形？能拼成一個等邊三角形嗎？說說你的理由。

由此你能想到，在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小

關系？能證明你的結論嗎？

（提示學生根據兩個三角尺拼出的圖形發現結論，并證明）

證明：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，則∠B=60°

延長BC至D,使CD=BC,連接 AD

A ∵∠ACB=90°

∴∠ACD=90°

∵AC=AC

∴△ABC≌△ADC(SSS)

∴AB=AD(全等三角形的對應邊相等)

∴△ABD是等邊三角形11∴BC=BD=AB 2

2得到的結論：

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

3、例題學習

等腰三角形的底角為15°，腰長為2a

已知：在△ABC中，AB=AC=2a,∠ABC=∠

度，CD是腰AB上的高

求：CD的長

解：∵∠ABC=∠ACB=15°

∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°

11∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所2

2對的直角邊等于斜邊的一半)

4、練習：課本12頁隨堂練習

1四、課堂小結：

通過這節課的學習你學到了什么知識？了解了什么證明方法？

（學生小結：掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關的性質定理和判定定理）

五、作業：

1、基礎作業：P13頁習題1.31、2、3題

2、拓展作業：《目標檢測》

3、預習作業：P15-17頁讀一讀“勾股定理的證明”

六、板書設計：

七、課后記：

第五篇：你能證明它們嗎1.1

石佛中學九年級上冊 數學 學案

第1章 第1節 <<你能證明嗎？>> 第2課時9月 1日

一、學習目標：

1.會證明等腰三角形中的一些“線段”相等；

2.會判斷一個三角形是等腰三角形，并知道證明的另一種方法----反證法。

二、教學重點：正確敘述結論及正確寫出證明過程。熟悉作為證明基礎的幾條公理的內容，通過學習，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

難點：等腰三角形的定理應用及由特殊結論歸納出一般結論。

三、自學指導：

自學指導1：

認真看教材P6—P7關于例1的有關內容，掌握本題的證明格式，在本題中用到了哪些知識點。5’分鐘后，完成下面的學習檢測。

(一)學習檢測：（10’）

1.例1中（用到了什么性質）？

2.在例1中，如果∠ABD=

證明：

(二)思考：在例1中，如果AD=

1313∠ABC，∠ACE=13∠ACB，那么BD=CE嗎？ AC，AE=1

3AB，那么BD=CE嗎？你用什么方法證明的？

綜合P7的（1），（2），你能得到什么結論？

(5分鐘)

自學指導2：

認真看教材P7—P9頁的內容，要求掌握：1.如何判斷一個三角形是等腰三角形？用到了什么方法？2.了解什么是反證法。3分鐘后完成下面的練習。

(一)學習檢測：（10’）

1.請敘述等腰三角形的定義。

2.證明：“有兩個角相等的三角形是等腰三角形”

已知：在△ABC中，_______________,求證：△ABC是等腰△

方法：（1）過點A作___________________________（最關鍵）

（2）構造兩個全等三角形

（3）由全等三角形證明AB=AC。

3.閱讀P8頁關于反證法的知識，總結什么是反證法？，四、本節小結：（3’）

1.本節課你掌握了哪些知識點？

2.你自查一下，還有哪些知識點沒有掌握？

3.你認為最難學會的知識點是什么？

得分時間: 10 分鐘

1.已知：如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD//BC，且∠1=∠2，求證：AB=AC。

2.已知：如圖，在一個風箏ABCD中，AB=AD，BC=DC。分別在AB，AD的中點E，F處拉兩

根彩線，EC，FC，證明：這兩根彩線的長相等；