第一篇：等腰直角三角形求面積解題心得

今天，老師在數學課上出了這么一道題：一個等腰直角三角形的斜邊長是8厘米，求面積。老師剛說完題目，同學們就議論紛紛，時間一分一秒地過去了，可還是沒有一個人舉手，我忽然靈機一動，想到了一種解法，我便舉起手。老師見了連忙讓我回答；我說：“作等腰直角三角形斜邊上的高，這個等腰三角形既然有一個角是直角，那么這個角是90度，另外兩

個角分別是45度，度數之間的關系是倍數關系。則斜邊與斜邊上的高也是倍數關系；可知斜邊上的高是斜邊的一半。即高就是8÷2=4（厘米）。然后再根據三角形的面積公式求等腰直角三角形的面積。算式是8×4÷2=16（平方厘米）。老師聽了滿意地笑了，忽然我不知哪來的靈感又想了一種解法，于是，我鼓起勇氣對老師說還有一種方法，老師聽了高興地說：“說吧”。“把這個等腰直角三角形對折后再打開，沿折痕剪開，將兩個小等腰直角三角形拼成一個正方形，邊長是原等腰直角三角形斜邊的一半，即8÷2=4（厘米）。這個正方形的面積就是原等腰直角三角形的面積”。算式是4×4=16（平方厘米）。我剛說完教室里響起了一片熱烈的掌聲。

老師聽了我說的兩種方法神秘地說：“還有什么方法。”大家聽后想莫非這道題還有其它解法；正在大家苦思暝想網的時候，班長小紅把手舉得高高的，老師請她站起來說：“還可以用兩個這樣的等腰直角三角形拼成一個大等腰直角三角形，這個大等腰直角三角形的直角邊就是原等腰直角三角形斜邊的長8厘米，原等腰直角三角形的面是拼成大等腰直角三角形面積的一半，算式是:8×8÷2÷2=16（平方厘米）。還可以用四個這樣的等腰直角三角形拼成一個正方形，正方形的邊長是等腰直角三角形斜邊的長8厘米，正方形面積的四分之一就是這個等腰直角三角形的面積，算式是8×8÷4=16（平方厘米）。對這精彩的回答，周圍又響起了一陣熱烈的掌聲。

第二篇：等腰直角三角形的證明范文

已知,在△ABC中,CA=CB,已知O是CA、CB的垂直平分線的交點，M、N分別在直線AC、BC上，∠MOC=∠A=45°

2012-10-13 09:32 雨妕 | 分類：數學 | 瀏覽438次

1.若點M、N分別在邊AC、BC上，求證：CN+MN=AM 2.若點M在邊AC上，點N在BC邊的延長線上，∠MNO=30°，MN=4.求AM的長

向左轉|向右轉

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2012-10-13 09:33 提問者采納

上題一般會問的是：求證：CN+MN=AM或CN、MN、AM之間的關系。求證方法：連接OC，在AM上截取AQ=CN，連接OQ，∵O為CA、CB的垂直平分線的交點，∴OC=OA=OB，∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，在△AOQ和△CON中，AQ=CN，∠A=∠OCN，OA=OC，∴△AOQ≌△CON，∴OQ=ON，∠AOQ=CON，∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，又∠MON=45°，∴∠QOM=45°，在△QOM和△NOM中，OQ=ON，∠MON=∠QOM，OM=OM，∴△QOM≌△NOM，∴QM=NM，則AM=AQ+QM=CN+MN；

希望可以幫到你，望采納。。

追問

第二問呢？

提問者評價

謝謝！

第三篇：兩個等腰直角三角形共點專題

兩個等腰直角三角形共點專題

共銳角頂點直角開口方向相反

基本方法：

△EDB中與△ABC不共頂點B的那條線段DE平行移到另外等腰三角△ABC的底邊BC的另一個點C處的CF。

典型例題

同側型

：

連接DC(不共頂點的兩個底角點的連線)，M是中點，求EM,AM的大小關系.方法：平移DE到CF，或倍長EM到MF

思路:證明△AEB≌△AFC

關鍵:證明∠ABE=∠ACF

方法：∵DE⊥BE

∴CG⊥BG

∴∠ABE=∠ACF

回頭看：1.△ABC和△AEF是共直角頂點旋轉

2.四邊形GBCA是共斜邊的兩個直角三角形共圓（外垂直）

對側型：

四邊形ABGC對角互補，共圓

推廣：兩個等腰三角形，頂角互補也可以平移，或中線倍長

提高

．如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中,∠BDE=∠ACB=90°,且BE在AB邊上,取AE的中點F,CD的中點G,連結GF.（1）FG與DC的位置關系是,FG與DC的數量關系是；

（2）若將△BDE繞B點逆時針旋轉180°，其它條件不變,請完成下圖，并判斷（1）中的結論是否仍然成立?

請證明你的結論.B

A

C

B

D

A

F

E

G

C

兩個方法：已知：在△ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABM，和CAN，P是邊BC的中點．求證：PM＝PN

正方形

逆向

15、請閱讀下列材料問題：如圖，在正方形ABCD和平行四邊形BEFG中，點A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG、PC。探究：當PG與PC的夾角為多少度時，平行四邊形BEFG是正方形？

小聰同學的思路是：首先可以說明四邊形BEFG是矩形；然后延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理可以探索出問題的答案。

請你參考小聰同學的思路，探究并解決這個問題。

（1）求證：四邊形BEFG是矩形；

（2）PG與PC的夾角為多少度時？四邊形BEFG是正方形，請說明理由。

14、正方形ABCD和正方形CEFG，M為AF的中點，連接MD、ME．

⑴如圖①，B、C、G依次在同一條直線上，求證：△MDE等腰直角三角形；

⑵如圖②，將正方形CEFG繞頂點C旋轉45°．使B、C、F依次在同一條直線上，則△MDE的形狀是

⑶如圖③、將正方形CEFG任意旋轉，設∠DCE=α°，猜想△MDE的形狀？寫出你的結論并給予證明．

反開口，兩個中點變一個中點再找關系

19.如圖，△ABO與△CDO均為等腰三角形，且∠BAO=∠DCO=90°，M為BD的中點，MN⊥AC，試探究MN與AC的數量關系，并說明理由。

**反開口，角平分線對角互補模七

直角坐標系中，點B（a，0），點C（0，b），點A在第一象限．若a，b滿足（a-t）2+|b-t|=0（t＞0）．

（1）證明：OB=OC；

（2）如圖1，連接AB，過A作AD⊥AB交y軸于D，在射線AD上截取AE=AB，連接CE，F是CE的中點，連接AF，OA，當點A在第一象限內運動（AD不過點C）時，證明：∠OAF的大小不變；

（3）如圖2，B′與B關于y軸對稱，M在線段BC上，N在CB′的延長線上，且BM=NB′，連接MN交x軸于點T，過T作TQ⊥MN交y軸于點Q，求點Q的坐標

反開口

模六

在直角坐標系中,直線y＝x＋4交x軸于A,交y軸于B,△AEF為等腰Rt△,∠AEF＝90°,連BF,M為BF中點.(1)

連EM、OM,問OM與EM的關系是　　　　　,并證明;

(2)

當△AEF繞A點旋轉如圖位置時,EM與OM的關系是否變化,畫圖并說明理由;

(3)

若P為AB中點,G為第三象限內一點,且∠AGO＝90°,求GA+GO/GP的值.反開口模型

把中線位長作出來了（平行四邊形，也就隱含了中點）

已知△ABC和△ADE分別是以AB.AE為底的等腰直角三角形，以CE,CB為邊作平行四邊形CEHB，連DC，CH.(1)如圖(1)，當D點在AB上時，則∠DEH的度數為_____；CH與CD的數量關系是_________，并說明理由，’

(2)將圖(1)中的△ADE繞A點逆時針旋轉45°得圖(2)：則∠DEH的度數為______，CH與CD之間的數量關系為________．

(3)將圖(1)中的△ADE繞A點順時針旋轉（O°<<45°）得圖(3)，請探究CH與CD之間的數量關系，并給予證明．

找隱性反開口模型

4、如圖，ABCD、DFGE均為正方形，連AG，作AG的中點H，連BH。

（1）求BH：HE的值。

（2）當正方形ABCD繞點D旋轉時，上述結論是否改變？畫圖，直接寫出結論。

反開口

例1、如圖，以△ABC，AB、AC邊構造等腰Rt△ABD、等腰Rt△ACE，M、N、P分別是AD、AE、BC中點，求線段PM、PN的關系。

變式1：若P為DE中點，求線段BP、CP的關系；

變式2：若以△ABC，AB、AC邊為直角邊構造Rt△ABD、Rt△ACE，且∠DAB=∠CAE=α，P為DE中點，求BP、CP的數量關系；

變式3：若以△ABC，AB、AC邊為斜邊構造Rt△ABD、Rt△ACE，且∠DAB=∠CAE=α，P為BC中點，求DP、EP的數量關系；

反開口

24．（本題10分）已知正方形AEFG的邊AE、AG分別在正方形ABCD的邊AB、AD上。點O為正方形AEFG的對稱中心，點M為CE的中點，連OB、MB。

（1）如圖1，求的值，并證明；

（2）求的值，并證明；

（3）將圖1中的正方形AEFG繞點A旋轉180°至圖2的位置，請直接寫出的值。

圖1

O

圖2

反開口,一中點

1．已知，DE=DA，CA=CB，∠DAE=∠CAB，D、A、B在一條直線上.（1）如圖1，P、M、N分別為EB、AD、AC的中點，∠BAE=120°，①求證：BE=2MN；

②求∠PNM的度數.（2）如圖2，點P、M、N分別為CD、AE、AB的中點，∠BAE=135°，①求∠MNP的度數；

②求的值.反開口兩中點

2．如圖，△ACB、△AED都為等腰直角三角形,∠AED＝∠ACB＝90°,點D在AB上,連CE，M、N分別為BD、CE的中點.（1）①求證：MN＝CE;

（提示：將MN構造為某三角形的中位線.）

②求證：MN⊥CE.（2）如圖，將△ADE繞A點逆時針旋轉一個銳角,（1）中結論①和②是否仍成立,并證明.B

C

反開口,作了平行四邊形后

19．如圖，△ABC和△ADE分別是以AB、AE為底的等腰直角三角形，點D在AB上，點E在AC上，以CE、CB為邊作□CEHB，連DC、BE.（1）求證：HE=AC；

（2）探究：BE與CD之間的數量關系，并證明.反開口和斜邊中線，內垂直

2.如圖1，正方形ABCD中，點M在AB上，點N在CD上，點P在BC上，MN⊥AP于E.（1）求證：AP=MN；

（2）

如圖2，點F在MN上，若EF=EA，連CF，點G為CF的中點，連DG，求證：；

（3）

在（2）的條件下，若DA=DE，且，BM=2，求DG的長.(3)由DA=DE,可得四點AEND共圓(未用)和Rt△AEP,得TN=ND=1.5,邊長為5

反開口，求長度

24、(1)

將兩塊不全等的等腰Rt△ABC和Rt△AED如圖1擺放,G為線段DC的中點,連接BG、EG,求證:

BG=EG,BG⊥EG;

(2)

將圖1中△AED繞點A順時針旋轉45°,連接EB,再將△AEB繞點E順時針旋轉90°,至△EDH處,連接BD、CH,G為CD中點,連接BG、EG.如圖2,四邊形BDHC是何種特殊四邊形?

寫出你的結論,并說明理由;

(3)

圖2中，若AE＝1，EG＝3，求BD的長度。

第四篇：初中解題指導巧用平移求面積

巧用平移求面積

湖北省黃石市鵬程中學 陳貴芳

同學們，你會用平移去求圖形的面積嗎？其實，某些求圖形面積的問題，若能想到用平移知識并將部分圖形平移后去解，那么你會品嘗到方便簡捷的滋味！請看幾例：

例1 圖1是重疊的兩個直角三角形．將其中一個直角三角形沿BC方向平移得到△DEF的位置．若AB=8cm，BE=4cm，DG=3cm，則圖中陰影部分的面積為_____cm．

解析1：雖然陰影部分是一個梯形，但因其上底CG、下底DF和高都不易求出，故直接用梯形的面積公式去求它的面積很困難．由題意，知△DEF是△ABC沿BC方向平移得到的，所以S＝S，從而S

＝

＝S

＝(AB+GE)BE＝ [8＋（8－3）]×4＝26 cm．

解析2：連AD，由平移知，CF＝BE＝AD＝4 cm，所以S

＝S－S

＝CF×AB－ ×AD×DG＝4×8－×4×3＝26 cm．

例2 如圖2，在一個長方形的草坪上有兩條等寬且互相垂直的長方形小路（長度單位：m），那么草坪的面積為______ m

解析：將兩條小路分別作如圖3所示的平移，則草坪的面積就是圖3中空白部分（長方形）的面積，即（50－2）×（30－2）＝1344 m．

例3 如圖4所示是一塊待開發的土地，規劃人員把它分割成①號區（空白部分）、②號區（陰影部分）、③號區（圖下方的空白部分）三塊，擬在①號區種花、②號區建房、③號區植樹，已知圖中四邊形ABCD與四邊形EFGH是兩個完全相同的直角梯形（一腰和底相交成直角的梯形叫做直角梯形，這里∠C和∠G都是直角），求種花部分的面積．

解析：顯然，因①號區是不規則的圖形，不易直接求其面積，考慮到四邊形ABCD與四邊形EFGH是兩個完全相同的直角梯形，故可將四邊形EFGH看成是四邊形ABCD沿AB方向平移得到的，所以①號區面積等于③號區面積，而③號區面積等于×（EM+AD）×MD＝ ×（200－1＋200）×2＝399（m），所以種花部分的面積為399（m）．

例4 如圖5，長方形ABCD中，AD＝2AB，EF分別為AD、BC的中點，扇形塊P（線段EF左邊的陰影部分）和扇形塊Q（右邊的空白部分）的半徑FB、CF的長度都等于acm，求陰影部分的面積．

解析1：如圖5，由條件，知四邊形ABFE和四邊形EFCD是兩個完全相同的正方形，扇形塊P的面積＝扇形塊Q的面積．可將扇形塊Q沿CB方向平移至扇形塊P的位置，知這兩個扇形塊會完全重合，因①號區域（空白部分）的面積＝②號區域（線段EF右邊的陰影部分）的面積，所以陰影部分的面積等于扇形塊P的面積+②號區域面積＝扇形塊P的面積+①號區域的面積＝正方形ABFE的面積＝FB＝a（cm）．

解析2：因扇形塊P的面積＝扇形塊Q的面積，故亦可將②號區域沿DA方向平移至①號區域，顯見陰影部分的面積＝正方形ABFE的面積＝a（cm）．

第五篇：八年級上幾何模型總結之等腰直角三角形與中線角平分線

等腰直角三角形+角平分線模型

例題：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，求證：BE=2CD。

變式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，過E作ED⊥BC于D，求證：BC=AC+CD=AB+DE。

變式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，過E作ED⊥BC于D，求證：△EDC的周長等于BC的長。

變式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，延長BA、CD交于點F，求證：AF+CE=AB。

變式4：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，連接AD，求證：∠ADB＝45°。

變式5：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，1 / 11 若點D為△ABC外一點，且∠ADC＝135°求證：BD⊥DC。

變式6：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延長線于點M，BMAM（1）求AB?BC的值；（2）求BC?AB的值。

變式7：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，1過C作CD⊥BE于D，過A作AT⊥BD于點T，證明：AT+TE=BE。/ 11

1、如圖，在平面直角坐標系中，A(4，0)，B(0，4)。點N為OA上一點，OM⊥BN于M，且∠ONB=45°+∠MON。（1）求證：BN平分∠OBA；

OM?MN（2）求的值；

BN

（3）若點P為第四象限內一動點，且∠APO=135°，問AP與BP是否存在某種確定的位置關系？請證明你的結論。/ 11

2、如圖，直線AB交X軸負半軸于B（m，0），交Y軸負半軸于A（0，m），OC⊥AB于C（-2，-2）。（1）求m的值；

BF（2）直線AD交OC于D，交X軸于E，過B作BF⊥AD于F,若OD=OE，求的AE值；

（3）如圖，P為x軸上B點左側任一點，以AP為邊作等腰直角△APM，其中PA=PM，直線MB交y軸于Q，當P在x軸上運動時，線段OQ長是否發生變化？若不變，求其值；若變化，說明理由。/ 11 等腰直角三角形+中線模型

例題：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，點D是AC的中點，過A作AE⊥BD于E，求證：∠1=∠2。

變式1：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，點D是AC的中點，點E是線段BD上一點，若∠1=∠2，求證：AE⊥BD。

變式2：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，點D是AC的中點，AF⊥BD于點E，交BC于點F，連接DF，求證：∠1=∠2。

變式3：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，點D、E是AC上兩點且AD=CE，AF⊥BD于點G，交BC于點F連接DF，求證：∠1=∠2。/ 11 變式4：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，點D、E是AC上兩點且AD=CE，AF⊥BD于點G，交BC于點F連接EF，求證：∠1=∠2。

變式5：等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，點D、E是AC上兩點且AD=CE，AF⊥BD于點G，交BC于點F，連接EF交BD于點M，求證：∠1=∠2。/ 11

1、如圖，已知：△ABC是等腰直角三角形，直角頂點C在X軸上，一銳角頂點B在Y軸上。

（1）、如圖①若點C的坐標是（2，0），點A的坐標為（-2，-2），求AB和BC所在的直線解析式；

（2）、在（1）問的條件下，在圖①中設邊AB交X軸于點F，邊AC交Y軸于點E，連接EF。求證：∠CEB=∠AEF

（3）、如圖②所示：直角邊BC在兩坐標軸上滑動，使點A在第四象限內，過點

CO?ADA作Y軸的垂線，垂足為D，在滑動的過程中，兩個結論：①為定值；

BOCO?AD②為定值；其中只有一個結論是正確的，請判斷出正確的結論加以證BO明并求出其定值。/ 11

2、如圖，在平面直角坐標系中，△AOB為等腰直角三角形，A（4，4）。（1）求B點坐標；

（2）若C為x軸正半軸上一動點，以AC為直角邊作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，連OD，求∠AOD的度數；

（3）過A作y軸的垂線交y軸于E，F為x軸負半軸上一點，G在EF的延長線上，以EG為直角邊作等腰Rt△EGH，過A作x軸垂線交EH于點M，連FM，等式AM?FM?1是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由。

OF/ 11

3、已知在Rt△ABC中，AC=BC，P是BC垂直平分線MN上一動點，直線AP交BC于E，過P點后與AP關于MN成軸對稱的直線交AB于D、交BC于F，連CD交PA于G。

（1）如圖1，若點P移動到BC上時，E、F重合，若FD=a，CD=b，則AE=（用含a、b的式子表示）

（2）如圖2，若點P移動到BC的上方時，其他條件不變，求證：CD⊥AE；

（3）如圖3，若點P移動到△ABC的內部時，其他條件不變，線段AE、CD、DF之間是否存在確定的數量關系？請畫出圖形，并直接寫出結論（不需證明）/ 11 正方形與等腰直角三角形 如圖：正方形ABCD和正方形CDFG中,BH=EF, 求證：∠AFH=45° 如圖：正方形ABCD中,AE+CF=EF，求證：(1)∠EBF=45°(2)BE垂直平分HF 等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，過C作CD⊥BE于D，連接AD，求證：∠ADB＝45°。如圖:長方形ABCD和正方形BDGH中,AD=BE,GH=EC,連AC和DE并延長DE交AC于點P． 求證∠APD=45° / 11 如圖:長方形ADGN和正方形DBMF中,AD=BC,BD=EC,點M,B,C 在直線上, 點F,D,G 在直線上 ,連接CD,AE.求證: ∠APD=45° / 11