第一篇：海倫公式的證明
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC =(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
第二篇：海倫公式的幾種證明與推廣
海倫公式的幾種證明與推廣
古鎮(zhèn)高級中學付增德
高中數(shù)學必修⑤第一章在閱讀與思考欄目向?qū)W生介紹一個非常重要且優(yōu)美的公式——海倫公式〔Heron's Formula〕：假設(shè)有一個三角形，邊長分別為a,b,c,，三角形的面積S可由以下公式求得：
s?
(p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?
2(a?b?c)，稱為半周長。
圖
1C
海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表。由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。海倫公式形式漂亮，結(jié)構(gòu)工整，有多種變形，如：S=
p(p?a)(p?b)(p?c)
===
14141
4(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a
=
[(a?b)?c][c14
4ab
?(a?b)]
?b
?c
?2ab)[?(a
?b
?c
?2ab)]
=
?(a
?b?c)
2ab
?2ac
?2bc
?a?b?c
absinC和余弦定理
教課書中并以習題形式出現(xiàn)，給出的參考答案是利用三角形面積計算公式s?
c
?a
?b
?2abcosC的證明過程：s?absinC=ab1?cosnC=
ab1?（a
?b
?c
2ab)
下略。我國南宋著名數(shù)學家秦九韶也發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價的“三斜求積”公式，中國古代的天元術(shù)發(fā)展水平非常高，筆者猜想秦九韶在獨立推出“三斜求積”公式過程中，利用了解方程的方法，因此海倫公式可以作如下推證，從三角形最基本的面積公式S?ABC?
aha入手，利用勾股定理，布列方程組求高。
如圖2，B
圖2
C
?x2?y2?c2
222
?2a?c?b22
在△ABC中，AD為邊BC上的高，根據(jù)勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，2a
?y?z?a?z?
a
?b
?c
2a，x?c
?y
?c
?（a
?c
?b
2a)
?
12a
4ac
?(a
?c
?b)下略。在求
高的方法上，我們也可以用斯特瓦爾特定理，根據(jù)斯氏定理，△ABC頂點A于對邊BC上任一點D間的距離AD有下列等式確定：AB
AD
?DC?AC
?BD?AD
?BC?BD?DC?BC，等式改寫為
?AB
?
DCBC
?AC
?
BDBC
?BC
?
DCBC
?
BDBC
aa
而當點D是頂點A的正射影時,有
BDDC
?
ABcosBACcosC
?
?c?b
?b?c
22，利用比例的性質(zhì)，變形得
BDBC
?
a
?c
?b
2a，DCBC
?
a
?b
?c
2a，代入即求出高AD。推證海倫公式也可以考慮應用三角函數(shù)的恒等式，容易證明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C =180°那么
ABACBCta?ta+tan?tan?tan+tan=1，222222
zz
C
圖
3如圖3,在△ABC中，內(nèi)切圓⊙O的半徑是r,則tan
A2
?
rx, tan
B2
?
ry,tan
C2
?
rz,代入恒等式
tan
A2
?tan
B2
+tan
A2
?tan
C2
+tan
B2
?tan
C2
=1，得
r
xy
?
r
xz
?
r
yz
?1，兩邊同乘xyz，有等式
r(x?y?z)?xyz???①
又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x，所以，x?
z?
a?b?c
b?c?a，同理y?
a?c?b。???②于是△ABC的面積S?
(a?b?c)r=
(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r
=(x?y?z)r=
14，把①、②式代入，即得S?(x?y?z)xyz
(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)
三角形的面積和三邊有如此優(yōu)美和諧的關(guān)系，我們不禁會類比猜想，簡單四邊形的面積和它的四條
邊又是什么關(guān)系呢？由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)四條邊長分別為a,b,c,d，且p?
a?b?c?d,則S四邊形=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)
現(xiàn)根據(jù)猜想進行證明。
證明：如圖，延長DA，CB交于點E。設(shè)EA = eEB = f
○○
∵∠1+∠2 =180∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD ∴
fa?e
=
ef?c
=
bd，S?EABS四邊形
ABCD
=
bd
?b
解得： e =
b(ab?cd)d
?b
③f =
b(ad?bc)d
?b
④由于S四邊形ABCD =
d
?bb
S△EAB
將③，④跟b =
b(dd
?b)?b
代入海倫公式公式變形，得：
∴S四邊形ABCD =
d?b
4eb
?(e
?b
?f)
4b
d
?b
b(ab?cd)(d
(db
224
?b)
=
d
4b
?b)
?[（b(ab?cd)(d
?b)
?
b(d(d
?b)
?b)
?
b(ad?bc)(d
?b)
22)]
?b
=
4b
(d
?b)
?4(ab
?cd)(d
?b)?[(ab?cd)?(d
2222
?b)?(ad?bc)]
?
=
4(d
?b)1
4(ab?cd)(d
?b)?[{ab?cd}?{d
2222
?b}?{ad?bc}]
2222
=
4(d
?b)1
4(ab?cd)(d
?b)?(ab
2222
?cd
?d
?b
?2db
?ad
?bc)
=
4(d
?b)1
4(ab?cd)(d
?b)?[b(a
2222
?b
?d
?c)?d(d
222
?b
?a
?c)
=
4(d1
?b)
(d
?b)[4(ab?cd)?(c
2222
?d
?b
?a)]
=4
(2ab?2cd?c
?d
?b
?a)(2ab?2cd?d
?b
?a
?c)
=4
a?c)?(b?d)][(b?d)?(a?c)]
2222
(a?b?c?d)(a?b?d?c)(a?d?c?b)(b?d?c?a)
=4
=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)所以，海倫公式的推廣得證。
圖4
參考文獻
［1］ 七市高中選修教材編寫委員會．數(shù)學問題探究[M]．北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，2003：14～
２６．
［2］ 王林全．初等幾何研究教程[M]．廣州：暨南大學出版社，１９９６．
第三篇：海倫公式原理簡介
原理簡介
我國宋代的數(shù)學家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。
假設(shè)在平面內(nèi)，有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p為半周長：
p=(a+b+c)/2
——————————————————————————————————————————————
注1：“Metrica”(《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。
——————————————————————————————————————————————
由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。編輯本段證明過程 證明（1）
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為
cosC =(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 設(shè)p=(a+b+c)/2 則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2，上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 證明（2）
我國宋代的數(shù)學家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數(shù)學家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。
所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}
當P＝1時，△ 2＝q，△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得
△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2}.其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：
已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積
這里用海倫公式的推廣
S圓內(nèi)接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）
代入解得s=8√ 3 證明（3）
在△ABC中∠A、∠B、∠C對應邊a、b、c O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長 有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2)=p(p-a)(p-b)(p-c)∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)證明(4)通過正弦定理:和余弦定理的結(jié)合證明(具體可以參考證明方法1)編輯本段推廣
關(guān)于三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有：
設(shè)△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p =(a+b+c)/2,則
S△ABC
=1/2 aha
=1/2 ab×sinC
= r p
= 2R^2sinAsinBsinC
= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學家海倫的著作《測地術(shù)》中有記載。編輯本段海倫公式在解題中有十分重要的應用。
一、海倫公式的證明
證一 勾股定理
如右圖
勾股定理證明海倫公式。
證二：斯氏定理
如右圖。
斯氏定理證明海倫公式
證三：余弦定理
分析：由變形② S = 可知，運用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 對其進行證明。
證明：要證明S =
則要證S =
=
= ab×sinC
此時S = ab×sinC/2為三角形計算公式，故得證。
證四：恒等式
恒等式證明(1)
恒等式證明(2)證五：半角定理
∵由證一，x = = －c = p－c
y = = －a = p－a
z = = －b = p－b
∴ r3 = ∴ r =
∴S△ABC = r·p = 故得證。
二、海倫公式的推廣
由于在實際應用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)p= ,則S四邊形=
現(xiàn)根據(jù)猜想進行證明。
證明：如圖，延長DA，CB交于點E。
設(shè)EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180° ∠2+∠3 =180° ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = =
解得： e = ① f = ②
由于S四邊形ABCD = S△EAB
將①，②跟b = 代入公式變形④，得到： ∴S四邊形ABCD = 所以，海倫公式的推廣得證。
編輯本段例題：
C語言版：
如圖四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC = x 由海倫公式的推廣，得：(4－x)(2＋x)2 =27
x4－12x2－16x＋27 = 0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)= 0(x－1)(x3＋x2－11x－27)= 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 當x = 1時，AD = BC = 1 ∴ 四邊形可能為等腰梯形。在程序中實現(xiàn)(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox(“請輸入三角形第一邊的長度”)b=inputbox(“請輸入三角形第二邊的長度”)c=inputbox(“請輸入三角形第三邊的長度”)a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c)q=sqr(p)s=(1/4)*q msgbox(“三角形面積為”&s), ,“三角形面積” 在VC中實現(xiàn)
#include
using System;using System.Collections.Generic;using System.Text;namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args)
double a, b, c, p, s;
Console.WriteLine(“輸入第一條邊的長度：n”);a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“輸入第二條邊的長度：n”);b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());Console.WriteLine(“輸入第三條邊的長度：n”);c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine());p =(a+b+c)/2;s = Math.Sqrt(p*(pb)*(p-c));Console.WriteLine(“我算出來的面積是{0}”, s);Console.Read();
第四篇：海倫公式
海倫公式
與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為下述推導[1]
cosC =(a^2+b^2-c^2）/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√（1-cos^2 C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]
=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
設(shè)p=(a+b+c)/2
則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
證明⑵
中國宋代的數(shù)學家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數(shù)學家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。
秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。
所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以
q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
當P=1時，△ 2=q,△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}
因式分解得
△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]
=1/4[(c+a)^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]
=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。
S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}.其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：
已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積
這里用海倫公式的推廣
S圓內(nèi)接四邊形= 根號下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d，為4邊）
代入解得s=8√ 3
證明⑶
在△ABC中∠A、∠B、∠C對應邊a、b、c
O為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長
有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）=r
∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2
∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2）
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2
=ptanA/2tanB/2tanC/2
=r
∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
第五篇：海倫公式與四邊形面積公式
海倫公式與四邊形面積公式
2007年08月01日 星期三 00:43 我們知道，已知三角形的三條邊長度a，b，c（2p＝a+b+c），就可以由海倫公式得到三角形的面積：
所以：已知圓內(nèi)接三角形的三邊長，其面積公式為海倫公式。事實上，對于圓內(nèi)接四邊形，已知其四邊形的四邊長（不妨設(shè)其為a，b，c，d，2p＝a+b+c+d），也可以求其面積，而且公式的形式與海倫公式相類似：
證明：
設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，設(shè)∠BAD=θ，則∠BCD=180°-θ，設(shè)其對角線BD＝x，由余弦定理有：
聯(lián)立兩式解得：
點擊咨詢 