第一篇：公式及證明

初中數學幾何定理

1。同角（或等角）的余角相等。2。對頂角相等。3。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和。4。在同一平面內垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。

5。同位角相等，兩直線平行。6。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。7。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

8。在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。

9。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

10。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

11。有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。

12。菱形性質：四條邊相等、對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

13。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。

14。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那么它們所對應的其余各對量都相等。15。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。16。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

18．圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角等于它的內對角。

19。切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

20。切線的性質定理①經過圓心垂直于切線的直線必經過切點。②圓的切線垂直于經過切點的半徑。③經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。

21。切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結圓外一點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角。

22。弦切角定理 弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

23。相交弦定理； 切割線定理； 割線定理；

初中數學幾何一般證題途徑：證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等 2.同一三角形中等角對等邊

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等

12.兩圓的內（外）公切線的長相等 13.等于同一線段的兩條線段相等

證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應角相等 2.同一三角形中等邊對等角

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等 6.同圓（或等圓）中，等弦（或同弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

8.相似三角形的對應角相等 9.圓的內接四邊形的外角等于內對角

10.等于同一角的兩個角相等

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行 2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行

3.平行四邊形的對邊平行 4.三角形的中位線平行于第三邊

5.梯形的中位線平行于兩底 6.平行于同一直線的兩直線平行 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平等行于第三邊

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角

4.鄰補角的平分線互相垂直 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的對角線互相垂直

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦 11.利用半圓上的圓周角是直角

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分線的定義

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊 2.垂線段最短

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對大角 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大 5.全量大于它的任何一部分

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例 2.利用內外角平分線定理

3.平行線截線段成比例 4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理

5.與圓有關的比例定理：相交弦定理、切割線定理及其推論

6.利用比利式或等積式化得

證明四點共圓

1.對角互補的四邊形的頂點共圓 2.外角等于內對角的四邊形內接于圓

3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）

4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓 5.到頂點距離相等的各點共圓

二、空間與圖形

A：圖形的認識：

1：點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構成的。②面與面相交得線，線與線相交得點。③點動成線，線動成面，面動成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側棱是相鄰兩個側面的交線，棱柱的所有側棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧，扇形：①由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。

2：角

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。④經過兩點有且只有一條直線。比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最短。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉而成的。②一條射線繞著他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

3：相交線與平行線

角：①如果兩個角的和是直角,那么稱和兩個角互為余角；如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角。②同角或等角的余角/補角相等。③對頂角相等。④同位角相等/內錯角相等/同旁內角互補，兩直線平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。③三角形三個內角的和等于180度。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個銳角互余。⑥三角形中一個內角的角平分線與他的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個頂點與他對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交于一點，三條中線交于一點。⑨從三角形的一個頂點向他的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交于一點。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個能夠重合的圖形叫全等圖形。全等三角形：①全等三角形的對應邊/角相等。②條件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，反之亦然。

5：四邊形

平行四邊形的性質：①兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫他的對角線。③平行四邊形的對邊/對角相等。④平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對角線互相平分的四邊形/一組對邊平行且相等的四邊形/兩組對邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領心的四條邊相等，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。③判定條件：定義/對角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形的對角線相等，四個角都是直角。③對角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

梯形：①一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線星等，反之亦然。

多邊形：①N邊形的內角和等于（N-2）180度。②多邊心內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，他們的和叫做這個多邊形的內角和（都等于360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

B：圖形與變換：

1：圖形的軸對稱

軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

軸對稱圖形：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對應角相等。

2:圖形的平移和旋轉

平移：①在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。

旋轉：①在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。②經過旋轉，圖形商店每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。3：圖形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。=M/N，那么A+C+。。+M/B+D+。。N=A/B。

黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC與BC，如果AC/AB=BC/AC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比（根號5-1/2）。相似：①各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對應

邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。②條件：AA/SSS/SAS。

相似多邊形的性質：①相似三角形對應高，對應角平分線，對應中線的比都等于相似比。②相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。

D：證明

定義與命題：①對名稱與術語的含義加以描述，作出明確的規定，也就是給出他們的定義。②對事情進行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個命題是由條件和結論兩部分組成。④要說明一個命題是假命題，通常舉出一個離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子叫做反例。

公理：①公認的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實，經過證明的真命題稱為定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁內角互補，兩直線；平行，反之亦然；內錯角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個內角的和等于180度；三角形的一個外交等于和他不相鄰的兩個內角的和；三角心的一個外角大于任何一個和他不相鄰的內角。④由一個公理或定理直接推出的定理，叫做這個公理或定理的推論。

第二篇：三角函數公式及證明

三角函數公式及證明

（本文由hahacjh@qq.com 編輯整理 2013.5.3）

基本定義

1.任意角的三角函數值：

在此單位圓中，弧AB的長度等于?；

B點的橫坐標x?cos?，縱坐標y?sin? ；

（由 三角形OBC面積<弧形OAB的面積<三角形OMA的面積 可得：

sin??a?tana（0????2））

2.正切：

tan??sin?cos?

基本定理

1.勾股定理： sin2??cos2??1 1.正弦定理：asinA2=2bsinB2=

csinC= 2R（R為三角形外接圓半徑）

A2.余弦定理：a=b+c-2bccos3.誘導公試:

?cosA?b?c?a2bc222

?2k??

sin?costan?cot

奇變偶不變，符號看相線

4.正余弦和差公式: ①sin(?②cos(?

??)?sin?cos??cos?sin???)?cos?cos??sin?sin?

推導結論

1.基本結論

(sin??cos?)22?1?sin2?1cos?2

tan??1?

2.正切和差公式：

tan(???)??sin(???)?sin?cos??cos?sin???????

cos(???)?cos?cos??sin?sin??tan??tan?1?tan?tan?

3.二倍角公式（包含萬能公式）：

2sin?cos??2tan??sin2??2sin?cos?????222?sin??cos??1?tan?2222

?1?tan2????1?tan2???cos2??sin2?cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin????sin2??cos2??tan2??sin2?cos2??2tan?1?tan?2

sin??221?cos2?21?cos2?2?tan?1?tan?22

cos??

4.半角公式：（符號的選擇由

?2所在的象限確定）sin?2??1?cos?21?cos?21?cos?1?cos? sin2?2?1?cos?21?cos?2 1?cos? 1?cos??2sin2?2 cos?2?? cos2?2??2cos2?2tan?2??sin?cossin?cos?2?cos?cos?sin?sin???2?1?cos??sin?22?2sin?1?cos??2

?2?2

1?sin??(cos?2?sin?2)2?cos?2?sin?2

5.積化和差公式：

sin?cos??121?sin(???)?sin(???)?cos?sin??12?sin(???)?sin(???)?cos?cos??2?cos(???)?cos(???)? sin?sin???12?cos(???)?cos??????

6.和差化積公式：

①sin?③cos? ?sin??2sin???2cos???22 ②sin? ④cos??sin??2cos???22sin???22 ?cos??2cos???2cos????cos???2sin???sin???7.三角形面積公式

S⊿=a?ha=absinC=bcsinA=acsin=2abc4R2221111B

sinAsinBsinC=2R2 =asinBsinC2sinA2=bsinAsinC2sinB2=

csinAsinB2sinC2

=pr =p(p?a)(p?b)(p?c)(海倫公式，證明見下文)(其中p? 12(a?b?c), r為三角形內切圓半徑)定理結論的證明

1.勾股定理的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第I卷 命題47.2.正弦定理的證明：

做三角形外接圓進行證明；需利用結論同弧所對的圓周角相等，及直徑所對圓周角為直角；

同弧所對圓周角相等的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 命題20.直徑所對圓周角為直角的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第III卷 命題31.3.余弦定理的證明：

本證明選自《幾何原本》(歐幾里得)第II卷 命題12,13.4.誘導公式的證明：

同理可證

sin(cos(3?23?2??)?sin(????)?cos(???2??)??sin(?2??)??cos???)?sin?

?2??)??cos(?2本證明選自人教版高中數學教材.5.正余弦和差公式的證明:

sin(???)?sin(??(??))可得sin(???)的結論

本證明選自人教版高中數學教材.5.海倫公式的證明:

本證明選自 http://wenku.baidu.com/view/78e82de50975f46527d3e182.html

第三篇：發展黨員公示及公式證明

渤海大學文理學院外語系

黨總支黨員發展

公示

根據本人申請、組織培養、經黨支部委員會討論通過，擬吸收同志為中共預備黨員。

特此公示

公示對象基本情況與考察情況

外語系黨總支

年月日

公 示 結 果

黨總支于年月日至年月日對

＿同志接收為中國共產黨預備黨員進行了公示,公示結果如下（請在相應欄前的方框內打“√”）：、公示期內未有群眾提出異議或不良反映。、公示期內接到群眾人次提出異議或不良反映，經

查實，不影響發展。（材料另附）、公示期內接到群眾人次提出異議或不良反映，經

查實，暫緩發展。（材料另附）

中共渤海大學文理學院

外語系總支委員會

年月日

第四篇：狹義相對論公式及證明

狹義相對論公式及證明

單位符號單位符號

坐標：m(x, y, z)力： NF(f)

時間：st(T)質量:kgm(M)

位移：mr動量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a沖量：N*sI

長度：ml(L)動能：JEk

路程：ms(S)勢能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛頓力學（預備知識）

(一)：質點運動學基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt

(注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式)

當v不變時，(1)表示勻速直線運動。

當a不變時，(2)表示勻變速直線運動。

只要知道質點的運動方程r=r(t)，它的一切運動規律就可知了。

(二)：質點動力學：

(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運動。

(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上。

(4)萬有引力：兩質點間作用力與質量乘積成正比，與距離平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)

動量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動量的變化)

動量守恒：合外力為零時，系統動量保持不變。

動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動能的變化)

機械能守恒：只有重力做功時，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛頓力學的核心是牛二：F=ma,它是運動學與動力學的橋梁，我們的目的是知道物體的運動規律，即求解運動方程r=r(t),若知受力情況，根據牛二可得a,再根據運動學基本公式求之。同樣，若知運動方程r=r(t),可根據運動學基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。)

二：

狹義相對論力學：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u為慣性系速度。)

(一)基本原理：(1)相對性原理：所有慣性系都是等價的。

(2)光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關的常數。

(此處先給出公式再給出證明)

(二)洛侖茲坐標變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度變換：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))

(四)尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源與探測器在一條直線上運動。)

(七)動量表達式：P=Mv=γmv, 即M=γm.(八)相對論力學基本方程：F=dP/dt

(九)質能方程：E=Mc2

(十)能量動量關系：E2=E02+P2c2

(注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內進行，一種在四維時空中證明，實際上他們是等價的。)

三：

三維證明：

(一)由實驗總結出的公理，無法證明。

(二)洛侖茲變換：

設(x, y, z, t)所在坐標系(A系)靜止，(X,Y, Z,T)所在坐標系(B系)速度為u,且沿x軸正向。在A系原點處，x=0,B系中A原點的坐標為X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數(廣義相對論中，由于時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。)同理，B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對于y, z, Y, Z皆與速度無關，可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時，由重合點發出一光信號，則對兩系分別有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度變換：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

同理可得V(y),V(z)的表達式。

(四)尺縮效應：

B系中有一與x軸平行長l的細桿，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時測量兩端的坐標)，則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)鐘慢效應：

由坐標變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地測量)，故

△t=γ△T.(注：與坐標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時，是不隨坐標變換而變的客觀量。)

(六)光的多普勒效應：(注：聲音的多普勒效應是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原點處一光源發出光信號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鐘，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b),波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b),由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測器開始接收時刻為t1+x/c,最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對運動不影響光信號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)動量表達式:(注：dt=γdτ,此時，γ=1/sqr(1-v2/c2)因為對于動力學質點可選自身為參考系，β=v/c)

牛二在伽利略變換下，保持形勢不變，即無論在那個慣性系內，牛二都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進行修正，要求是在坐標變換下仍保持原有的簡潔形式。

牛頓力學中，v=dr/dt, r在坐標變換下形式不變，（舊坐標系中為（x, y, z）新坐標系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個不變量（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv, 將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm(相對論質量)則p=Mv.這就是相對論力學的基本量：相對論動量。（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）

(八)相對論力學基本方程：

由相對論動量表達式可知：F=dp/dt,這是力的定義式，雖與牛二的形式完全一樣，但內涵不一樣。（相對論中質量是變量）

(九)質能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2

=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2

=Mc2-mc2

即E=Mc2=Ek+mc2

(十)能量動量關系：

E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c

2四：

四維證明：

(一)公理，無法證明。

(二)坐標變換：由光速不變原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).則對光信號dS恒等于0，而對于任意兩時空點的dS一般不為0。dS2>0稱類空間隔，dS2<0稱類時間隔，dS2=0稱類光間隔。相對論原理要求（1）式在坐標變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標變換無關的不變量，dS2dS2光速不變原理要求光信號在坐標變換下dS是不變量。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結論：dS是坐標變換下的不變量。

由數學的旋轉變換公式有：（保持y, z軸不動，旋轉x和ict軸）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

當X=0時，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)動量表達式及四維矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)

令r=(x, y, z, ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。

則V=(γv, icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）

四維動量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)

四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F為三維力)

四維加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)

則f=mdV/dτ=mω

(九)質能方程：

fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0

故四維力與四維速度永遠“垂直”，（類似于洛倫茲磁場力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v為三維矢量，且Fv=dEk/dt(功率表達式))故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc2-mc2

故E=Mc2=Ek+mc2

關于第六條：

通過速度變換和質能方程（E=Mc2）可以導出兩個坐標系間的能量變換公式（證明很簡單，但很繁瑣，就不寫了）：E'=γE(1-u*v/c2)

(注：u、v都是矢量，u為參考系速度，v為光源速度，*表示點乘，也可以寫做： E'=γE(1-uv（x）/c2))

上式對任意粒子都成立，對于光子：E=hν代入得：

ν'=γν（1-ucosθ/c）(普遍公式)

對于θ=0可得：ν'=νsqr((1-β)/（1+β）)（特例）

利用速度變換和動量關系（p=Mv）一樣可導出兩坐標系之間的動量變換公式：

p(x)'=γp(x)(1-u/v(x))

p(y)'=p(y)

p(z)'=p(z)

動量變換與能量變換不僅僅適用于光子，對所有的粒子都是適用的。

第五篇：狹義相對論公式及證明(幽靈蝶)

狹義相對論公式及證明

單位符號單位符號

坐標：m(x,y,z)力： NF(f)

時間：st(T)質量:kgm(M)

位移：mr動量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a沖量：N*sI

長度：ml(L)動能：JEk

路程：ms(S)勢能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛頓力學（預備知識）

(一)：質點運動學基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt

(注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式)

當v不變時，(1)表示勻速直線運動。

當a不變時，(2)表示勻變速直線運動。

只要知道質點的運動方程r=r(t)，它的一切運動規律就可知了。

(二)：質點動力學：

(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運動。

(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上。

(4)萬有引力：兩質點間作用力與質量乘積成正比，與距離平方成反比。

F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)

動量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動量的變化)

動量守恒：合外力為零時，系統動量保持不變。

動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動能的變化)

機械能守恒：只有重力做功時，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛頓力學的核心是牛二：F=ma,它是運動學與動力學的橋梁，我們的目的是知道物體的運動規律，即求解運動方程r=r(t),若知受力情況，根據牛二可得a,再根據運動學基本公式求之。同樣，若知運動方程r=r(t),可根據運動學基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。)

二：

狹義相對論力學：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u為慣性系速度。)

(一)基本原理：(1)相對性原理：所有慣性系都是等價的。

(2)光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關的常數。

(此處先給出公式再給出證明)

(二)洛侖茲坐標變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)速度變換：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

(四)尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源與探測器在一條直線上運動。)

(七)動量表達式：P=Mv=γmv,即M=γm.(八)相對論力學基本方程：F=dP/dt

(九)質能方程：E=Mc^2

(十)能量動量關系：E^2=(E0)^2+P^2c^2

(注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內進行，一種在四維時空中證明，實際上他們是等價的。)

三：

三維證明：

(一)由實驗總結出的公理，無法證明。

(二)洛侖茲變換：

設(x,y,z,t)所在坐標系(A系)靜止，(X,Y,Z,T)所在坐標系(B系)速度為u,且沿x軸正向。在A系原點處，x=0,B系中A原點的坐標為X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數(廣義相對論中，由于時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。)同理，B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對于y,z,Y,Z皆與速度無關，可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時，由重合點發出一光信號，則對兩系分別有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)速度變換：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

同理可得V(y),V(z)的表達式。

(四)尺縮效應：

B系中有一與x軸平行長l的細桿，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時測量兩端的坐標)，則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)鐘慢效應：

由坐標變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地測量)，故△t=γ△T.(注：與坐標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時，是不隨坐標變換而變的客觀量。)

(六)光的多普勒效應：(注：聲音的多普勒效應是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原點處一光源發出光信號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鐘，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b),波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b),由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測器開始接收時刻為t1+x/c,最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對運動不影響光信號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)動量表達式:(注：dt=γdτ,此時，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對于動力學質點可選自身為參考系，β=v/c)

牛二在伽利略變換下，保持形勢不變，即無論在那個慣性系內，牛二都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進行修正，要求是在坐標變換下仍保持原有的簡潔形式。

牛頓力學中，v=dr/dt,r在坐標變換下形式不變，（舊坐標系中為（x,y,z）新坐標系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個不變量（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv,將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm(相對論質量)則p=Mv.這就是相對論力學的基本量：相對論動量。（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）

(八)相對論力學基本方程：

由相對論動量表達式可知：F=dp/dt,這是力的定義式，雖與牛二的形式完全一樣，但內涵不一樣。（相對論中質量是變量）

(九)質能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mc^2-mc^2

即E=Mc^2=Ek+mc^2

(十)能量動量關系：

E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2

四：

四維證明：

(一)公理，無法證明。

(二)坐標變換：由光速不變原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).則對光信號dS恒等于0，而對于任意兩時空點的dS一般不為0。dS^2〉0稱類空間隔，dS^2<0稱類時間隔，dS^2=0稱類

光間隔。相對論原理要求（1）式在坐標變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標變換無關的不變量，dS^2dS^2光速不變原理要求光信號在坐標變換下dS是不變量。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結論：dS是坐標變換下的不變量。

由數學的旋轉變換公式有：（保持y,z軸不動，旋轉x和ict軸）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

當X=0時，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)動量表達式及四維矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)

令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。

則V=(γv,icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）

四維動量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)

四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F為三維力)

四維加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)

則f=mdV/dτ=mω

(九)質能方程：

fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0

故四維力與四維速度永遠“垂直”，（類似于洛倫茲磁場力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v為三維矢量，且Fv=dEk/dt(功率表達式))故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2

故E=Mc^2=Ek+mc^2