第一篇：不等式的證明規律及重要公式總結

不等式的證明及重要公式總結

幾個常應用的不等式

221、a?b?2ab,ab?(a?b2)?a2?b2?c2?ab?bc?ca 2222、a?b?a?b?ab?2(a,b?R?)

1122?ab3、a3?b3?c3?3abc(a?b?c?0）

4、a?b?c?3?3abc，abc?(a?b?c3)；(a,b,c?R?)

35、|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|，(a,b,c?R)

?n?226、?ai?bi???aibi?（柯西不等式）

i?1i?1?i?1?nn2

法一：作差：

證明方法

例一：a?b?c?1，求證：a2?b2?c2?1。

31的代換11222222

2證：左－右=(3a?3b?3c?1)????[3a?3b?3c?(a?b?c)]

331?[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]?0 3?2a2b2cb?cc?aa?b法二：作商；設a、b、c?R，且a?b?c，求證：abc?abc

左a2ab2bc2cabc

證：?b?cc?aa?b?aa?baa?cbb?cbb?acc?acc?b?()a?b?()b?c?()c?a

右abcbcaaa?1,a?b?0?()a?b?1 bbaaa?b?1

當0

∴ 不論a>b還是a

當a>b>0時?法三：公式法：例二：a>0,b>0，且a+b=1，求證：

①a?b?1121225

②(a?)?(b?)? 8ab2A2?B2A?BA2?B2A?B2

證①由公式：???()得：

2222a4?b4a2?b22a?b2211?()?[()]??a4?b4?

222168A2?B2A?B2(A?B)222?()?A?B?

證②由 2221111a?b211[(a?)?(b?)]2?[a?b?]?(1?)2

（*）2ab2ab2aba?b211)???4

∵ ab?(24ab1252

∴(*)?(1?4)?

∴ 左?

第二篇：均值不等式公式總結及應用

均值不等式應用

a2?b21.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?

2a?b**2.(1)若a,b?R，則?ab(2)若a,b?R，則a?b?2ab 222（當且僅當a（當且僅當a?b時取“=”）?b時取“=”）

a?b?(當且僅當a?b時取“=”(3)若a,b?R，則ab??）???2?*2

3.若x?0，則x?1?2(當且僅當x?1時取“=”）x

1若x?0，則x???2(當且僅當x??1時取“=”）x

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當且僅當a?b時取“=”）xxx

ab）??2(當且僅當a?b時取“=”ba4.若ab?0，則

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當且僅當a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b25.若a,b?R，則(（當且僅當a?b時取“=”）)?22

『ps.(1)當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所

謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用』 應用一：求最值

例1：求下列函數的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1（2）y＝x＋2x

解：(1)y＝3x 2＋≥22x 2113x 2· 2＝2x

1x·＝2； x6∴值域為[6，+∞）1(2)當x＞0時，y＝x＋≥2x

11當x＜0時，y＝x＋= －（－ x－）≤－2xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

1x·=－2 x

解題技巧

技巧一：湊項

例已知x?

54，求函數y?4x?

2?

1的最大值。4x?5

解：因4x?5?0，所以首先要“調整”符號，又(4x?2)?

不是常數，所以對4x?2要進行拆、湊項，4x?

5511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x??3??2?3?1 ?44x?55?4x??

當且僅當5?4x

?，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。

5?4x

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。技巧二：湊系數 例1.當解析：由

時，求知，y?x(8?2x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但

其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數即可。

當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?

x(8?2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設0

?x?，求函數y?4x(3?2x)的最大值。

232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??

當且僅當2x技巧三： 分離

?3?2x,即x?

3?3?

??0,?時等號成立。4?2?

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?

1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

當,即t=時,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。

評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。y?mg(x)?

例：求函數y?

2的值域。

t(t

?

2)，則y

?1

?t?(t?2)

t11

?0,t??1，但t?解得t??1不在區間?2,???，故等號不成立，考慮單調性。

tt15

因為y?t?在區間?1,???單調遞增，所以在其子區間?2,???為單調遞增函數，故y?。

t2

因t

所以，所求函數的值域為

?5?,???。??2?

練習．求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.11x2?3x?1,x?(0,?),x?3(3)y?2sinx?,(x?0)（2）y?2x?（1）y?

sinxx?3x

2．已知0?條件求最值 1.若實數滿足a

x?

1，求函數y.；3．0?x?，求函數y?

3.?b?2，則3a?3b的最小值是.a

分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3解： 當3

a

?3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，3a和3b都是正數，3a?3b≥23a?3b?3a?b?6

?3b時等號成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即當a?b?1時，3a?3b的最小值是6．

11變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y錯解：?．．

?0，且??1，求x?y的最小值。

xy

1919?x?0,y?0，且??1，?x?y?????

x?y???12故 ?x?y?min?12。?xyxy??

在1?9y?x?y，錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?

?xy19

?xy

即

y?9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步

驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。

正解：?x?0,y

?19?y9x19

?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當且僅當

19y9x

?1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。?時，上式等號成立，又?xyxy

變式：（1）若

x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

y?R?且a?b

x

y

?1，求x

?y的最小值

已知x，y為正實數，且x 2y 2

＝1，求x1＋y 2 的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

同時還應化簡1＋y 2 中y2前面的系數為

12，x1＋y 2 ＝x

1＋y 2

2· ＝x·

＋

y 2

下面將x，12

＋

y 2

分別看成兩個因式：

x·

＋

y 2

x 2＋（12

≤

y 2

＋)222

x 2＋＝

y 21

＋222

＝即x

1＋y 2 ＝2 ·x

＋

y 2≤ 2

4技巧八：

已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函數y＝的最小值.ab

分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

－2 b 2＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

118

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋

16）＋34∵t＋

16≥2

30－2b

30－2b

ttt

t·

t

＝8

∴ ab≤18∴ y≥當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。ab∴ 30－ab≥22 ≤u≤3ab

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2令u＝

ab則u2＋22 u－30≤0，－5

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥

點評：①本題考查不等式

a?b

?（a,b?R?）的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式

2的范圍，關鍵是尋找到

ab?a?2b?30出發求得ab（a,b?R?）

a?b與ab之間的關系，由此想到不等式

a?b

?ab（a,b?R?），這樣將已知條件轉換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.2

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。技巧

九、取平方

5、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W＝

3x ＋

2y 的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本題很簡單

3x ＋2y≤2（3x）2＋（2y）2 ＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2

∴ W≤＝

3x ·

2y ＝10＋2

3x ·

2y ≤10＋（3x)2·（2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

變式

: 求函數y?

解析：注意到2x?

1與5?

2x的和為定值。

?x?)的最大值。

y2?2?4??4?(2x?1)?(5?

2x)?8

又

y?0，所以0?y??

時取等號。故ymax? 2

當且僅當2x?1=5?2x，即x

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。

應用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知

a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

11?ab?c，?1???aaa1）正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c?R，且a?b?c

?

分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“

2”連乘，又可由此變形入手。

解：?a、b、c?R，a?b?

c

?

?1。?

11?ab?

c?1???aaa。同理

?1?b，1?1?

c

述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當且僅當時取等號。?1?1?1??8??????3abc?a??b??c?

應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y

?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的實數m的取值范圍。

xy

19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky

解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?

?2?。?k?16，m????,16? kk

1a?b

(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關系是.22

應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若a

?b?1,P?a?lgb,Q?

分析：∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0

Q?

（lga?lgb)?lga?lgb?p 2

a?b1R?lg()?lgab?lgab?Q∴R>Q>P。

第三篇：不等式證明常用技巧總結

不等式的證明

一、常用方法：

作差、作商法；分析、綜合法；換元法；構造函數法；反證法；放縮法；歸納法；

（分析綜合法）已知a?0,b?0,2c?a?b,求證：c?c2?ab?a?c?c2?ab.二、不等式證明中常用技巧：

1(x?1)的值域。1.加減常數

求函數y?x?x?112.巧變常數

已知0?x?，求函數y＝x（1－2x）的最大值。

25x2?3x?33.分離常數

已知x?，求f(x)?的最值。

22x?44.巧用常數

若x,y?R?且滿足

?416??1，求x＋y的最小值。xy11?)的最小值。a?bc5.統一形式

已知a,b,c?R，求(a?b?c)(證：a2?b2?c2?ab?bc?ac..6.輪換對稱

若a,b,c是互不相等的實數，求7.重要不等式 a?b?0,求證：a?216?16

b(a?b)8.逆向運用公式型已知a,b?R,且a?b?1,求證：a??11?b??2.22a?b1111（提示：將a?，b?轉換成1?a?，）1?b?然后運用公式ab?22222如何巧用常數：

111.若a?0,b?0,且a?2b?1,則??3?22.ab1112.已知a,b,c?R?,且a?b?c?1,求證：???9.abc?1??1?3.已知a,b?R?,且a?b?1,求證：?1???1???9.?a??b?1已知x,y,z均為正數，且x?y?z?1，則x2?y2?z2?.4.3 5.已知x,y,z均為正數，求證：a?b?c?3.b?cc?aa?b2?a??b??c??a?b?c??b?c?a??c?a?b??1??1??1????????????????b?c??c?a??a?b??b?c??c?a??a?b?11?111?9?1?1?(a?b?c)????(b?c)?(c?a)???????(a?b）??.b?cc?aa?b2b?cc?aa?b????2不等式證明中的放縮法

1111????1.1.已知n?N*，且n?2，求證：??2nn?12n2.已知n?N*，求證：1?222?332???nn2?3.kk2??1kk?222??kk?kk(k?1)k?kk?1k(k?1)(k?k?1)2(k?k?1)11?2(?（）k?2）.k(k?1)k?1k

3.設n∈N，求證：

(2)引進輔助式，設

比較兩式的對應因式可知

第四篇：初中物理電學公式、規律總結

物理量、物理定律與定義式、物理規律、串并聯電路特點總結

電學中涉及到的物理量：電流 I、電壓 U、電阻 R、電功率 P、電能 W、電熱 Q

※ 歐姆定律：內容 P26 歐姆定律：數學表達式：I = U／R

2※ 焦耳定律：內容 P49 焦耳定律：數學表達式：Q = IRt

22※ 電功率定義式：P = W／t ；計算式： P = UI電熱功率：P= Q／t = U I = IR = U／R

※ 電能的計算： W =P t = UI t（電流的做功與消耗的電能是等值的）對于純電阻電路：Q = W = UI t = IRt = Ut／R

對于非純電阻電路：（通過電流做功）電能轉化為內能和其它形式的能 W≠Q 且 W＞Q，這種情況

2下，電能只能用 W = UI t 來計算，電熱只能用 Q = IRt 來計算。

※ 串聯電路的基本特點與規律：電流：文字表述：電流處處相等，數學表述：I = I1 = I2 = … =In

電壓：文字表述：總電壓等于各部分電壓之和，數學表述：U =U1+U2 +…+Un

電阻：文字表述：總電阻等于各部分電阻之和，數學表述：R =R1+R2 +…+Rn

電功率：總功率等于各部電路消耗的電功率之和，即 P = P1+ P2+…+ Pn

電 能：總電能等于各部電路消耗的電能之和，即 W = W1+ W2+…+ Wn

熱能：總電熱等于各部電路產生的電熱之和，即 Q = Q1+ Q2+…+ Qn

分壓規律：各部分電路兩端的電壓與其電阻成正比，即U1∶U2= R1∶R2

功率分配規律：各部分電路消耗的電功率與其電阻成正比，即：P1∶P2=R1∶R2

※ 并聯電路的基本特點與規律：電流：文字表述：干路電流等于各支路中電流之和，數學表述：I =I1 +I2 +…+In

電壓：文字表述：各支路兩端的電壓都相等，數學表述：U = U1 = U2 = … = Un

電阻：總電阻的倒數等于各支路電阻倒數之和，1／R=1／R1+1／R2 +…+1／Rn

電能：總電能等于各支路消耗的電能之和，即 W =W1+W2+…+Wn

熱能：總電熱等于各支路產生的電熱之和，即 Q =Q1+Q2+…+Qn

電功率：總功率等于各支路消耗的電功率之和，即 P = P1+ P2+…+ Pn

分流規律：流過各支路的電流與其電阻成反比，I1∶I2= R2∶R1

功率分配規律：各支路消耗的電功率與其電阻成反比，即P1∶P2= R2∶R1

※由上述可知：用電器無論串聯還是并聯，總電能、電功率、電熱的計算公式是相同的。電能、電熱的分配規律與電

功率的分配規律相同。

第五篇：不等式證明

不等式證明

不等式是數學的基本內容之一，它是研究許多數學分支的重要工具，在數學中有重要的地位，也是高中數學的重要組成部分，在高考和競賽中都有舉足輕重的地位。不等式的證明變化大，技巧性強，它不僅能夠檢驗學生數學基礎知識的掌握程度，而且是衡量學生數學水平的一個重要標志，本文將著重介紹以下幾種不等式的初等證明方法和部分方法的例題以便理解。

一、不等式的初等證明方法

1.綜合法：由因導果。

2.分析法：執果索因。基本步驟：要證..只需證..，只需證..(1)“分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。

(2)“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達。

3.反證法：正難則反。

4.放縮法：將不等式一側適當的放大或縮小以達證題目的。放縮法的方法有：

(1)添加或舍去一些項，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)將分子或分母放大(或縮小)：

5.換元法：換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題

化難為易、化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

6.構造法：通過構造函數、方程、數列、向量或不等式來證明不等式。

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數學歸納法仍是證明不等式的最基本方法。

7.數學歸納法：數學歸納法證明不等式在數學歸納法中專門研究。

8.幾何法：用數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。

9.函數法：引入一個適當的函數，利用函數的性質達到證明不等式的目的。

10.判別式法：利用二次函數的判別式的特點來證明一些不等式的方法。當a>0時，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。當a<0時，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例題

1.換元法

換元法是數學中應用最廣泛的解題方法之一。有些不等式通過變量替換可以改變問題的結構，便于進行比較、分析，從而起到化難為易、化繁為簡、化隱蔽為外顯的積極效果。

注意：在不等式的證明中運用換元法，能把高次變為低次，分式變為整式，無理式變為有理式，能簡化證明過程。尤其對含有若干個變元的齊次輪換式或輪換對稱式的不等式，通過換元變換形式以揭示內容的實質，可收到事半功倍之效。

2.放縮法

欲證A≥B，可將B適當放大，即B1≥B，只需證明A≥B1。相反，將A適當縮小，即A≥A1，只需證明A1≥B即可。

注意：用放縮法證明數列不等式，關鍵是要把握一個度，如果放得過大或縮得過小，就會導致解決失敗。放縮方法靈活多樣，要能想到一個恰到好處進行放縮的不等式，需要積累一定的不等式知識，同時要求我們具有相當的數學思維能力和一定的解題智慧。

3.幾何法

數形結合來研究問題是數學中常用的方法，若求證的不等式是幾何不等式或有較明顯的幾何意義時，可以考慮構造相關幾何圖形來完成，若運用得好，有時則有神奇的功效。