第一篇：高中數學-公式-不等式

不等式

一、基礎知識

1、兩個實數比較大小的法則：

如果a-b是正數，那么a>b；如果a-b是負數，那么a

2、不等式的性質(1)a?b?b?a

(2)a?b,b?c?a?c(3)a?b?a?c?b?c

(4)a?b,c?d?a?c?b?d(5)a?b,c?d?a?c?b?d(6)a?b,c?0?ac?bc(7)a?b,c?0?ac?bc(8)a?b?0,c?d?0?ac?bd(9)a?b?0?a?b(n?2,n?N)nnab? cd(11)a?b?0?na?nb(n?2,n?N)(10)a?b?0,d?c?0?3含有絕對值得不等式的性質

?a(a?0)?(1)a??0(a?0)

??a(a?0)?(2)ab?a?b，2aa?(b?0)bb2(3)x?a?x?a??a?x?a

x?a?x2?a2?x?a或x??a(a?0)

(4)a?b?a?b?a?b

a?b?a-b?a?b

a?b?ab 2a?b?c3 三個正數的均值不等式是：?abc

3a?a2???ann n個正數的均值不等式是：1?a1a2?an

n4、兩個正數a、b的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、均方根之間的關系是

3、兩個正數的均值不等式是：a?ba2?b2?ab?? 1122?ab4、三個正數a、b、C的調和平均數、幾何平均數、算術平均數、均方根之間的關系是 23a?b?c?3abc??1113??abca2?b2?c2

35、雙向不等式是：a?b?a?b?a?b

左邊在ab?0(?0)時取得等號，右邊在ab?0(?0)時取得等號。

二、不等式的基本解法

f(x)?0(或<0)與不等式f(x)?g(x)?0(或<0)同解。g(x)?f(x)?g(x)?0?f(x)?g(x)?0f(x)不等式或?同解。?0(或≤0)與不等式組同解?g(x)?0g(x)?0g(x)??不等式不等式

?g(x)?0?g(x)?0f(x)?g(x)的同解不等式組是：?或。?2f(x)?0??f(x)??g(x)??g(x)?0?不等式f(x)?g(x)的同解不等式組是：?f(x)?0。

?2??f(x)?g(x)?f(x)?ag(x)(a?0且a?1)的同解不等式是：當a>1時，f(x)?g(x)； 不等式a當0

對數不等式皆需化為型如：logaf(x)?logag(x)(a?0且a?1)的同解不等式，與該不等式同解的不等式組?f(x)?0?f(x)?0??是：當a>1時，?g(x)?0； 當0

?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)??解含有絕對值不等式的關鍵是化原不等式為等價的不含絕對值得不等式或不等式組，一般有以下方法：

(a?0)①f(x)?a?f(x)?a或f(x)??a，f(x)?a??a?f(x)?a，②f(x)?g(x)?f(x)?g(x)

③x?a?x?b?c可采用零點法討論求解。

三、不等式的證明

第二篇：高中數學公式完全總結歸納(均值不等式)

解題技巧

技巧一：湊項

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。

技巧二：湊系數

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。

變式：

技巧三： 分離

第三篇：高中數學公式

高中數學

乘法與因式分 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a

根與系數的關系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韋達定理

判別式

b2-4ac=0 注：方程有兩個相等的實根

b2-4ac>0 注：方程有兩個不等的實根

b2-4ac<0 注：方程沒有實根，有共軛復數根

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角

圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標

圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

拋物線標準方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

第四篇：高中數學公式完全總結歸納(均值不等式) 2

均值不等式歸納總結

a2?b

21.(1)若a,b?R，則a?b?2ab(2)若a,b?R，則ab?2

a?b**2.(1)若a,b?R，則?ab(2)若a,b?R，則a?b?2ab 222（當且僅當a（當且僅當a?b時取“=”）?b時取“=”）

a?b?(當且僅當a?b時取“=”(3)若a,b?R，則ab??）???2?*2

3.若x1?2(當且僅當x?1時取“=”）x

1若x?0，則x???2(當且僅當x??1時取“=”）x?0，則x?

若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當且僅當a?b時取“=”）xxx

4.若ab?0，則a?b?2(當且僅當a?b時取“=”）ba

若ab?0，則ababab）??2即??2或??-2(當且僅當a?b時取“=”bababa

a?b2a2?b2

5.若a,b?R，則(（當且僅當a?b時取“=”）)?22

『ps.(1)當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正

所謂“積定和最小，和定積最大”．

(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用』

例1：求下列函數的值域

（1）y＝3x＋

212x 21（2）y＝x＋x

解：(1)y＝3x＋ 21

2≥22x3x· 216∴值域為[6，+∞）2＝2x

1(2)當x＞0時，y＝x＋ ≥2x1x·＝2； x

1x·=－2 x11當x＜0時，y＝x＋－（－ x－）≤－2xx

∴值域為（－∞，－2]∪[2，+∞）

解題技巧

技巧一：湊項

例已知x?

54，求函數y?4x?2?1的最大值。4x?5

解：因4x?5?0，所以首先要“調整”符號，又(4x?2)1不是常數，所以對4x?2要進行拆、湊項，4x?

5511???x?,?5?4x?0，?y?4x?2????5?4x???3??2?3?1 44x?55?4x??

當且僅當

5?4x?，即x?1時，上式等號成立，故當x?1時，ymax?1。

5?

4x

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。

技巧二：湊系數 例1.當解析：由

時，求知，y?x(8?2x)的最大值。，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但

其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將y?x(8?2x)湊上一個系數即可。

當，即x＝2時取等號當x＝2時，y?

x(8?

2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設0

?x?，求函數y?4x(3?2x)的最大值。

232x?3?2x?9?解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2??? 222??

當且僅當2x

技巧三： 分離

?3?2x,即x?

3?3?

??0,?時等號成立。4?2?

x2?7x?10

(x??1)的值域。例3.求y?

x?

1解析一：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項，再將其分離。

當,即

時,y?5?9（當且僅當x＝1時取“＝”號）。技巧四：換元

解析二：本題看似無法運用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。

(t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5

ttt

當,即t=時,y?5?9（當t=2即x＝1時取“＝”號）。

評注：分式函數求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或將分母換元后將式子分開再利用不等式求最值。即化為

A

?B(A?0,B?0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用均值不等式來求最值。y?mg(x)?

例：求函數

y?

2的值域。

2?t(t?2)，則y??1

?t?(t?2)

t

?0,t??1，但t?解得t??1不在區間?2,???，故等號不成立，考慮單調性。

tt15

因為y?t?在區間?1,???單調遞增，所以在其子區間?2,???為單調遞增函數，故y?。

t2

因t

所以，所求函數的值域為

?5?

。,?????2?

練習．求下列函數的最小值，并求取得最小值時，x 的值.11x2?3x?1,x?(0,?),x?3(3)y?2sinx?,(x?0)（2）y?2x?（1）y?

sinxx?3x

2．已知0?條件求最值 1.若實數滿足a

x?

1，求函數y?.；3．0?x?，求函數y

3.?b?2，則3a?3b的最小值是.a

分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而且3解： 3當3

a

a

?3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，和3b都是正數，3a?3b≥23a?3b?23a?b?6

?3b時等號成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即當a?b?1時，3a?3b的最小值是6．

11變式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整體代換

多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。2：已知x?0,y

?0，且??1，求x?y的最小值。

xy

錯解：?．．

1919?x?0,y?0，且??1，?x?y???x?y??12故 ?x?y?min?12。?

???xy?xy?

x錯因：解法中兩次連用均值不等式，在x?

在1?9?y?x?y，xy

?

9y

即

y?9x,取等號的條件的不一致，產生錯誤。因此，在利用均值不等式處理問題時，列出等號成立條件是解題的必要步

驟，而且是檢驗轉換是否有誤的一種方法。正解：?x?0,y

?19?y9x19

?0,??1，?x?y??x?y???????10?6?10?16

xy?xy?xy

當且僅當

19y9x

?1，可得x?4,y?12時，?x?y?min?16。?時，上式等號成立，又?xyxy

變式：（1）若

x,y?R?且2x?y?1，求1?1的最小值

x

y

(2)已知a,b,x,技巧七

y?R?且a?b

x

y 2

y

?1，求x

?y的最小值

已知x，y為正實數，且x＋

＝1，求1＋y的最大值.分析：因條件和結論分別是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2。

1＋y2·＝2 x·

同時還應化簡1＋y中y前面的系數為，x1＋y＝x

21y ＋22

下面將x，1y

＋分別看成兩個因式： 22

x＋（x·

1y

＋≤22

1yy12 2

＋)x＋ ＋ 22223＝ ＝即x1＋y＝2 ·x

2

1y3

＋≤ 2224

技巧八：

已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函數y1

ab的最小值.分析：這是一個二元函數的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

30－2b30－2b－2 b ＋30b

法一：a＝，ab＝·b＝

b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15

－2t ＋34t－311616

令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2

ttt

t·＝8

t

∴ ab≤18∴ y≥

當且僅當t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。18

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥22 ab令u＝ab則u＋22 u－30≤0，－52 ≤u≤32

∴ab≤32，ab≤18，∴y≥18點評：①本題考查不等式

a?b

?ab（a,b?R?）的應用、不等式的解法及運算能力；②如何由已知不等式

2的范圍，關鍵是尋找到

ab?a?2b?30出發求得ab（a,b?R?）

a?b與ab之間的關系，由此想到不等式

a?b

?ab（a,b?R?），這樣將已知條件轉換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍.2

變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。

技巧

九、取平方

5、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函數W3x ＋2y 的最值.解法一：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，a＋b

≤

a 2＋b

2，本題很簡單

3x ＋2y≤2（3x）＋（2y）＝2 3x＋2y ＝2

5解法二：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。

W＞0，W＝3x＋2y＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x)·(2y)＝10＋(3x＋2y)＝20

∴ W≤20 ＝25變式:

求函數y?

?x?)的最大值。

解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。

y2?2?4??4?(2x?1)?(5?2x)?8

又

y?

0，所以0?y??32

時取等號。

故

當且僅當2x?1=5?2x，即x

ymax?

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用均值不等式創造了條件。

總之，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用均值不等式。

應用二：利用均值不等式證明不等式

1．已知

a,b,c為兩兩不相等的實數，求證：a2?b2?c2?ab?bc?ca

?1??1??1?

?1。求證：??1???1???1??8

?a??b??c?

11?ab?c，?1???aaa1）正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc 例6：已知a、b、c?R，且a?b?c

?

分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個“2”連乘，又可由此變形入手。

解：?a、b、c?R，a?b?c

?

?1。

?

11?ab?c?1???

aaa。同理

1?1?

b1。上?1?

c述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得

1?1??1??1?a?b?c?。當且僅當時取等號。?8??1???1???1??3?a??b??c?

應用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y

?0且??1，求使不等式x?y?m恒成立的實數m的取值范圍。

xy

19x?y9x?9y10y9x??1，???1.????1 xykxkykkxky

解：令x?y?k,x?0,y?0,?1?

3?2?。?k?16，m????,16? kk

1a?b

(lga?lgb),R?lg()，則P,Q,R的大小關系是.2

2應用四：均值定理在比較大小中的應用： 例：若a

?b?1,P?lga?lgb,Q?

分析：∵a?b?1 ∴lga?0,lgb?0

Q?

（lga?lgb)?lga?lgb?p 2

R?lg（a?b

1)?lgab?lg

ab?Q∴R>Q>P。22

概念：

1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

5、均值定理： 如果 a，b屬于 正實數 那么(a+b)/2≥√ab

且僅當 a=b 時 等號成立。這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R +，當且僅當a1=a2= … =an時取“=”號

第五篇：高中文科數學公式匯總

高中數學公式匯總（文科）

一、復數

1、復數的除法運算

a?bi(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i.??22c?di(c?di)(c?di)c?d2、復數z?a?bi的模|z|=|a?

bi|

3、z?a?bi的共軛復數Z=a-bi二、三角函數、三角變換、解三角形、平面向量

4、同角三角函數的基本關系式sin??cos??1，tan?=22sin?.cos?

5、和角與差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;cos(???)?cos?cos?sin?sin?;tan(???)?tan??tan?.1tan?tan?

6、二倍角公式

sin2??sin?cos?.cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.2tan?tan2??.1?tan2?

1?cos2?;2公式變形：1?cos2?2sin2??1?cos2?,sin2??;22cos2??1?cos2?,cos2??

7、三角函數的周期

函數y?sin(?x??)，x∈R及函數y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?為常數，且A≠0，ω＞0)的周期T?函數y?tan(?x??)，x?k??2??；?

2,k?Z(A,ω,?為常數，且A≠0，ω＞0)的周期T?

b a?.?

8、函數y?sin(?x??)的周期、最值、單調區間、圖象變換

9、輔助角公式y?asinx?bcosx?

10、正弦定理a2?b2sin(x??)其中tan??abc???2R.sinAsinBsinC22222222211、余弦定理a?b?c?2bccosA;b?c?a?2cacosB;c?a?b?2abcosC.11112、三角形面積公式S?absinC?bcsinA?casinB.22213、三角形內角和定理在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)

14、a與b的數量積(或內積)a?b?|a|?|b|cos?

15、平面向量的坐標運算(1)設A(x1,y1)，B(x2,y2),則AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).(2)設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a?b=x1x2?y1y2.(3)設a=(x,y)，則a?

16、兩向量的夾角公式 x2?y

2第1頁（共4頁）

設=(x1,y1),=(x2,y2)，且?，則 cos??

17、向量的平行與垂直a?bab?x1x2?y1y2x1?y1?x2?y2222

2//??? ?x1y2?x2y1?0;?(?)???0?x1x2?y1y2?0.三、函數、導數

18、函數的單調性

(1)設x1、x2?[a,b],x1?x2那么f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是增函數；

f(x1)?f(x2)?0?f(x)在[a,b]上是減函數.(2)設函數y?f(x)在某個區間內可導，若f?(x)?0，則f(x)為增函數；若f?(x)?0，則f(x)為減函數.19、函數的奇偶性

對于定義域內任意的x，都有f(?x)?f(x)，則f(x)是偶函數；

對于定義域內任意的x，都有f(?x)??f(x)，則f(x)是奇函數。

奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。

20、函數y?f(x)在點x0處的導數的幾何意義

函數y?f(x)在點x0處的導數是曲線y?f(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率f?(x0)，相應的切線方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).21、幾種常見函數的導數

'①C?0；②(xn)'?nxn?1；③(sinx)'?cosx；④(cosx)'??sinx；

11'；⑧(lnx)? xlnax

u'u'v?uv'

''''''(v?0).22、導數的運算法則（1）(u?v)?u?v.（2）(uv)?uv?uv.（3）()?2vvx'xx'x⑤(a)?alna；⑥(e)?e；⑦(logax)?'

23、會用導數求單調區間、極值、最值

24、求函數y?f?x?的極值的方法是：解方程f??x??0．當f??x0??0時：

(1)如果在x0附近的左側f??x??0，右側f??x??0，那么f?x0?是極大值；

(2)如果在x0附近的左側f??x??0，右側f??x??0，那么f?x0?是極小值．

x?y?xy，當x?y時等號成立。

2（1）若積xy是定值p，則當x?y時和x?y有最小值2p；

12（2）若和x?y是定值s，則當x?y時積xy有最大值s.4五、數列

四、不等式

25、已知x,y都是正數，則有

26、數列的通項公式與前n項的和的關系

n?1?s1,(數列{an}的前n項的和為sn?a1?a2?an??s?s,n?2?nn?1?an).*

27、等差數列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N)；

n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n.222

2ann?1*29、等比數列的通項公式an?a1q?1?q(n?N)； q28、等差數列其前n項和公式為sn?

30、等比數列前n項的和公式為

?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??sn??1?q 或 sn??1?q.?na,q?1?na,q?1?1?

1六、解析幾何

31、直線的五種方程

（1）點斜式 y?y1?k(x?x1)(直線l過點P1(x1,y1)，且斜率為k)．

（2）斜截式 y?kx?b(b為直線l在y軸上的截距).xy??1(a、b分別為直線的橫、縱截距，a、b?0)ab

（4）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同時為0).(3)截距式

32、兩條直線的平行和垂直

若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b

2①l1||l2?k1?k2,b1?b2;

②l1?l2?k1k2??1.33、平面兩點間的距離公式dA,B

?

34、點到直線的距離

A(x1,y1)，B(x2,y2)).d?(點P(x0,y0),直線l：Ax?By?C?0).22235、圓的三種方程（1）圓的標準方程(x?a)?(y?b)?r.22（2）圓的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).36、直線與圓的位置關系 2

2222直線Ax?By?C?0與圓(x?a)?(y?b)?r的位置關系有三種:

d?r?相離???0;

d?r?相切???0;

d?r?相交???0.弦長=2r2?d2 Aa?Bb?C其中d?.22A?B37、橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標準方程、幾何性質

cx2y

2222橢圓：2?2?1(a?b?0)，a?c?b，離心率e??1 aab

cx2y2b222雙曲線：2?2?1(a>0,b>0)，c?a?b，離心率e??1，漸近線方程是y??x.aaab

pp2拋物線：y?2px，焦點(,0),準線x??。拋物線上的點到焦點距離等于它到準線的距離.22

八、立體幾何

38、證明直線與直線平行的方法

（1）三角形中位線（2）平行四邊形（一組對邊平行且相等）

39、證明直線與平面平行的方法

（1）直線與平面平行的判定定理（證平面外一條直線與平面內的一條直線平行）

（2）先證面面平行

40、證明平面與平面平行的方法

平面與平面平行的判定定理（一個平面內的兩條相交直線分別與另一平面平行）．．．．

41、證明直線與直線垂直的方法

轉化為證明直線與平面垂直

42、證明直線與平面垂直的方法

（1）直線與平面垂直的判定定理（直線與平面內兩條相交直線垂直）．．．．

（2）平面與平面垂直的性質定理（兩個平面垂直，一個平面內垂直交線的直線垂直另一個平面）

43、證明平面與平面垂直的方法

平面與平面垂直的判定定理（一個平面內有一條直線與另一個平面垂直）

44、異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的平面角的定義及計算

45、點到平面距離的計算（定義法、等體積法）

九、概率統計

46、平均數、方差、標準差的計算

x1?x2??xn12222方差:s?[(x1?x)?(x2?x)??(xn?x)] nn

1標準差:s?[(x1?x)2?(x2?x)2??(xn?x)2] n平均數:x?

47、古典概型的計算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復、不遺漏）．．．．．．．．．