第一篇：狹義相對論公式及證明

狹義相對論公式及證明

單位符號單位符號

坐標：m(x, y, z)力： NF(f)

時間：st(T)質量:kgm(M)

位移：mr動量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a沖量：N*sI

長度：ml(L)動能：JEk

路程：ms(S)勢能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛頓力學（預備知識）

(一)：質點運動學基本公式：(1)v=dr/dt, r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt, v=v0+∫adt

(注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式)

當v不變時，(1)表示勻速直線運動。

當a不變時，(2)表示勻變速直線運動。

只要知道質點的運動方程r=r(t)，它的一切運動規律就可知了。

(二)：質點動力學：

(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運動。

(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上。

(4)萬有引力：兩質點間作用力與質量乘積成正比，與距離平方成反比。

F=GMm/r2,G=6.67259*10-11m3/(kg*s2)

動量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動量的變化)

動量守恒：合外力為零時，系統動量保持不變。

動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動能的變化)

機械能守恒：只有重力做功時，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛頓力學的核心是牛二：F=ma,它是運動學與動力學的橋梁，我們的目的是知道物體的運動規律，即求解運動方程r=r(t),若知受力情況，根據牛二可得a,再根據運動學基本公式求之。同樣，若知運動方程r=r(t),可根據運動學基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。)

二：

狹義相對論力學：(注：γ=1/sqr(1-u2/c2),β=u/c, u為慣性系速度。)

(一)基本原理：(1)相對性原理：所有慣性系都是等價的。

(2)光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關的常數。

(此處先給出公式再給出證明)

(二)洛侖茲坐標變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度變換：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c2))

(四)尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源與探測器在一條直線上運動。)

(七)動量表達式：P=Mv=γmv, 即M=γm.(八)相對論力學基本方程：F=dP/dt

(九)質能方程：E=Mc2

(十)能量動量關系：E2=E02+P2c2

(注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內進行，一種在四維時空中證明，實際上他們是等價的。)

三：

三維證明：

(一)由實驗總結出的公理，無法證明。

(二)洛侖茲變換：

設(x, y, z, t)所在坐標系(A系)靜止，(X,Y, Z,T)所在坐標系(B系)速度為u,且沿x軸正向。在A系原點處，x=0,B系中A原點的坐標為X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數(廣義相對論中，由于時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。)同理，B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對于y, z, Y, Z皆與速度無關，可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時，由重合點發出一光信號，則對兩系分別有x=ct, X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u), cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u2/c2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)速度變換：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c2)

同理可得V(y),V(z)的表達式。

(四)尺縮效應：

B系中有一與x軸平行長l的細桿，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時測量兩端的坐標)，則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)鐘慢效應：

由坐標變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c2),故△t=γ(△T+△Xu/c2),又△X=0,(要在同地測量)，故

△t=γ△T.(注：與坐標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時，是不隨坐標變換而變的客觀量。)

(六)光的多普勒效應：(注：聲音的多普勒效應是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原點處一光源發出光信號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鐘，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b),波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b),由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測器開始接收時刻為t1+x/c,最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對運動不影響光信號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)動量表達式:(注：dt=γdτ,此時，γ=1/sqr(1-v2/c2)因為對于動力學質點可選自身為參考系，β=v/c)

牛二在伽利略變換下，保持形勢不變，即無論在那個慣性系內，牛二都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進行修正，要求是在坐標變換下仍保持原有的簡潔形式。

牛頓力學中，v=dr/dt, r在坐標變換下形式不變，（舊坐標系中為（x, y, z）新坐標系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個不變量（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv, 將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm(相對論質量)則p=Mv.這就是相對論力學的基本量：相對論動量。（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）

(八)相對論力學基本方程：

由相對論動量表達式可知：F=dp/dt,這是力的定義式，雖與牛二的形式完全一樣，但內涵不一樣。（相對論中質量是變量）

(九)質能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv2-∫mv/sqr(1-v2/c2)dv=Mv2+mc2*sqr(1-v2/c2)-mc2

=Mv2+Mc2(1-v2/c2)-mc2

=Mc2-mc2

即E=Mc2=Ek+mc2

(十)能量動量關系：

E=Mc2,p=Mv, γ=1/sqr(1-v2/c2),E0=mc2,可得：E2=E02+p2c

2四：

四維證明：

(一)公理，無法證明。

(二)坐標變換：由光速不變原理：dl=cdt,即dx2+dy2+dz2+(icdt)2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔，dS2=dx2+dy2+dz2+(icdt)2,(1).則對光信號dS恒等于0，而對于任意兩時空點的dS一般不為0。dS2>0稱類空間隔，dS2<0稱類時間隔，dS2=0稱類光間隔。相對論原理要求（1）式在坐標變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標變換無關的不變量，dS2dS2光速不變原理要求光信號在坐標變換下dS是不變量。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結論：dS是坐標變換下的不變量。

由數學的旋轉變換公式有：（保持y, z軸不動，旋轉x和ict軸）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

當X=0時，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ, sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)動量表達式及四維矢量：(注：γ=1/sqr(1-v2/c2),下式中dt=γdτ)

令r=(x, y, z, ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。

則V=(γv, icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）

四維動量：P=mV=(γmv, icγm)=(Mv, icM)

四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF, γicdM/dt)(F為三維力)

四維加速度：ω=/dτ=(γ4a,γ4iva/c)

則f=mdV/dτ=mω

(九)質能方程：

fV=mωV=m(γ5va+i2γ5va)=0

故四維力與四維速度永遠“垂直”，（類似于洛倫茲磁場力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F, v為三維矢量，且Fv=dEk/dt(功率表達式))故dEk/dt=c2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc2-mc2

故E=Mc2=Ek+mc2

關于第六條：

通過速度變換和質能方程（E=Mc2）可以導出兩個坐標系間的能量變換公式（證明很簡單，但很繁瑣，就不寫了）：E'=γE(1-u*v/c2)

(注：u、v都是矢量，u為參考系速度，v為光源速度，*表示點乘，也可以寫做： E'=γE(1-uv（x）/c2))

上式對任意粒子都成立，對于光子：E=hν代入得：

ν'=γν（1-ucosθ/c）(普遍公式)

對于θ=0可得：ν'=νsqr((1-β)/（1+β）)（特例）

利用速度變換和動量關系（p=Mv）一樣可導出兩坐標系之間的動量變換公式：

p(x)'=γp(x)(1-u/v(x))

p(y)'=p(y)

p(z)'=p(z)

動量變換與能量變換不僅僅適用于光子，對所有的粒子都是適用的。

第二篇：狹義相對論公式及證明(幽靈蝶)

狹義相對論公式及證明

單位符號單位符號

坐標：m(x,y,z)力： NF(f)

時間：st(T)質量:kgm(M)

位移：mr動量:kg*m/s p(P)

速度：m/sv(u)能量: JE

加速度： m/s^2 a沖量：N*sI

長度：ml(L)動能：JEk

路程：ms(S)勢能：JEp

角速度： rad/s ω力矩：N*mM

角加速度:rad/s^2α功率：WP

一：

牛頓力學（預備知識）

(一)：質點運動學基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt

(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt

(注：兩式中左式為微分形式，右式為積分形式)

當v不變時，(1)表示勻速直線運動。

當a不變時，(2)表示勻變速直線運動。

只要知道質點的運動方程r=r(t)，它的一切運動規律就可知了。

(二)：質點動力學：

(1)牛一：不受力的物體做勻速直線運動。

(2)牛二：物體加速度與合外力成正比與質量成反比。

F=ma=mdv/dt=dp/dt

(3)牛三：作用力與反作與力等大反向作用在同一直線上。

(4)萬有引力：兩質點間作用力與質量乘積成正比，與距離平方成反比。

F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)

動量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的沖量等于動量的變化)

動量守恒：合外力為零時，系統動量保持不變。

動能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于動能的變化)

機械能守恒：只有重力做功時，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

(注：牛頓力學的核心是牛二：F=ma,它是運動學與動力學的橋梁，我們的目的是知道物體的運動規律，即求解運動方程r=r(t),若知受力情況，根據牛二可得a,再根據運動學基本公式求之。同樣，若知運動方程r=r(t),可根據運動學基本公式求a，再由牛二可知物體的受力情況。)

二：

狹義相對論力學：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u為慣性系速度。)

(一)基本原理：(1)相對性原理：所有慣性系都是等價的。

(2)光速不變原理：真空中的光速是與慣性系無關的常數。

(此處先給出公式再給出證明)

(二)洛侖茲坐標變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)速度變換：

V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

(四)尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ

(五)鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

(六)光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

(光源與探測器在一條直線上運動。)

(七)動量表達式：P=Mv=γmv,即M=γm.(八)相對論力學基本方程：F=dP/dt

(九)質能方程：E=Mc^2

(十)能量動量關系：E^2=(E0)^2+P^2c^2

(注：在此用兩種方法證明，一種在三維空間內進行，一種在四維時空中證明，實際上他們是等價的。)

三：

三維證明：

(一)由實驗總結出的公理，無法證明。

(二)洛侖茲變換：

設(x,y,z,t)所在坐標系(A系)靜止，(X,Y,Z,T)所在坐標系(B系)速度為u,且沿x軸正向。在A系原點處，x=0,B系中A原點的坐標為X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數(廣義相對論中，由于時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。)同理，B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).對于y,z,Y,Z皆與速度無關，可得Y=y,(3).Z=z(4).將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時，由重合點發出一光信號，則對兩系分別有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標變換：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)速度變換：

V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))

=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)

=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

同理可得V(y),V(z)的表達式。

(四)尺縮效應：

B系中有一與x軸平行長l的細桿，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時測量兩端的坐標)，則△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ

(五)鐘慢效應：

由坐標變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地測量)，故△t=γ△T.(注：與坐標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時，是不隨坐標變換而變的客觀量。)

(六)光的多普勒效應：(注：聲音的多普勒效應是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)

B系原點處一光源發出光信號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鐘，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b),波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b),由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為△t(a)=γ△t(b),(1).探測器開始接收時刻為t1+x/c,最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c,則△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相對運動不影響光信號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).(七)動量表達式:(注：dt=γdτ,此時，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對于動力學質點可選自身為參考系，β=v/c)

牛二在伽利略變換下，保持形勢不變，即無論在那個慣性系內，牛二都成立，但在洛倫茲變換下，原本簡潔的形式變得亂七八糟，因此有必要對牛頓定律進行修正，要求是在坐標變換下仍保持原有的簡潔形式。

牛頓力學中，v=dr/dt,r在坐標變換下形式不變，（舊坐標系中為（x,y,z）新坐標系中為(X,Y,Z)）只要將分母替換為一個不變量（當然非固有時dτ莫屬）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv,將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm(相對論質量)則p=Mv.這就是相對論力學的基本量：相對論動量。（注：我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算）

(八)相對論力學基本方程：

由相對論動量表達式可知：F=dp/dt,這是力的定義式，雖與牛二的形式完全一樣，但內涵不一樣。（相對論中質量是變量）

(九)質能方程：

Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

=Mc^2-mc^2

即E=Mc^2=Ek+mc^2

(十)能量動量關系：

E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2

四：

四維證明：

(一)公理，無法證明。

(二)坐標變換：由光速不變原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).則對光信號dS恒等于0，而對于任意兩時空點的dS一般不為0。dS^2〉0稱類空間隔，dS^2<0稱類時間隔，dS^2=0稱類

光間隔。相對論原理要求（1）式在坐標變換下形式不變，因此（1）式中存在與坐標變換無關的不變量，dS^2dS^2光速不變原理要求光信號在坐標變換下dS是不變量。因此在兩個原理的共同制約下，可得出一個重要的結論：dS是坐標變換下的不變量。

由數學的旋轉變換公式有：（保持y,z軸不動，旋轉x和ict軸）

X=xcosφ+(ict)sinφ

icT=-xsinφ+(ict)cosφ

Y=y

Z=z

當X=0時，x=ut,則0=utcosφ+ictsinφ

得：tanφ=iu/c,則cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：

X=γ(x-ut)

Y=y

Z=z

T=γ(t-ux/c^2)

(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。

(七)動量表達式及四維矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)

令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ，V=dr/dτ稱四維速度。

則V=(γv,icγ)γv為三維分量，v為三維速度，icγ為第四維分量。（以下同理）

四維動量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)

四維力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F為三維力)

四維加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)

則f=mdV/dτ=mω

(九)質能方程：

fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0

故四維力與四維速度永遠“垂直”，（類似于洛倫茲磁場力）

由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v為三維矢量，且Fv=dEk/dt(功率表達式))故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2

故E=Mc^2=Ek+mc^2

第三篇：公式及證明

初中數學幾何定理

1。同角（或等角）的余角相等。2。對頂角相等。3。三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和。4。在同一平面內垂直于同一條直線的兩條直線是平行線。

5。同位角相等，兩直線平行。6。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。7。直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半。

8。在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。

9。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

10。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

11。有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。

12。菱形性質：四條邊相等、對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

13。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。

14。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那么它們所對應的其余各對量都相等。15。垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。16。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。相似三角形面積的比等于相似比的平方。

18．圓內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角等于它的內對角。

19。切線的判定定理 經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

20。切線的性質定理①經過圓心垂直于切線的直線必經過切點。②圓的切線垂直于經過切點的半徑。③經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。

21。切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結圓外一點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角。

22。弦切角定理 弦切角的度數等于它所夾的弧的度數的一半。弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

23。相交弦定理； 切割線定理； 割線定理；

初中數學幾何一般證題途徑：證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等 2.同一三角形中等角對等邊

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等

12.兩圓的內（外）公切線的長相等 13.等于同一線段的兩條線段相等

證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應角相等 2.同一三角形中等邊對等角

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等

5.同角（或等角）的余角（或補角）相等 6.同圓（或等圓）中，等弦（或同弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

8.相似三角形的對應角相等 9.圓的內接四邊形的外角等于內對角

10.等于同一角的兩個角相等

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行 2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行

3.平行四邊形的對邊平行 4.三角形的中位線平行于第三邊

5.梯形的中位線平行于兩底 6.平行于同一直線的兩直線平行 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平等行于第三邊

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角

4.鄰補角的平分線互相垂直 5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的對角線互相垂直

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦 11.利用半圓上的圓周角是直角

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分線的定義

3.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊 2.垂線段最短

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對大角 2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大 5.全量大于它的任何一部分

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例 2.利用內外角平分線定理

3.平行線截線段成比例 4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理

5.與圓有關的比例定理：相交弦定理、切割線定理及其推論

6.利用比利式或等積式化得

證明四點共圓

1.對角互補的四邊形的頂點共圓 2.外角等于內對角的四邊形內接于圓

3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）

4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓 5.到頂點距離相等的各點共圓

二、空間與圖形

A：圖形的認識：

1：點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構成的。②面與面相交得線，線與線相交得點。③點動成線，線動成面，面動成體。

展開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側棱是相鄰兩個側面的交線，棱柱的所有側棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方體。②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱。

一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧，扇形：①由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。

2：角

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。④經過兩點有且只有一條直線。比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最短。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點旋轉而成的。②一條射線繞著他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線互相平行。垂直：①如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

3：相交線與平行線

角：①如果兩個角的和是直角,那么稱和兩個角互為余角；如果兩個角的和是平角，那么稱這兩個角互為補角。②同角或等角的余角/補角相等。③對頂角相等。④同位角相等/內錯角相等/同旁內角互補，兩直線平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大于第三邊。三角形任意兩邊之差小于第三邊。③三角形三個內角的和等于180度。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個銳角互余。⑥三角形中一個內角的角平分線與他的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個頂點與他對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交于一點，三條中線交于一點。⑨從三角形的一個頂點向他的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交于一點。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個能夠重合的圖形叫全等圖形。全等三角形：①全等三角形的對應邊/角相等。②條件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，反之亦然。

5：四邊形

平行四邊形的性質：①兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫他的對角線。③平行四邊形的對邊/對角相等。④平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對角線互相平分的四邊形/一組對邊平行且相等的四邊形/兩組對邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領心的四條邊相等，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。③判定條件：定義/對角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形的對角線相等，四個角都是直角。③對角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

梯形：①一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線星等，反之亦然。

多邊形：①N邊形的內角和等于（N-2）180度。②多邊心內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，他們的和叫做這個多邊形的內角和（都等于360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

B：圖形與變換：

1：圖形的軸對稱

軸對稱：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

軸對稱圖形：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對應角相等。

2:圖形的平移和旋轉

平移：①在平面內，將一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。

旋轉：①在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。②經過旋轉，圖形商店每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。3：圖形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。=M/N，那么A+C+。。+M/B+D+。。N=A/B。

黃金分割：點C把線段AB分成兩條線段AC與BC，如果AC/AB=BC/AC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比（根號5-1/2）。相似：①各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對應

邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。②條件：AA/SSS/SAS。

相似多邊形的性質：①相似三角形對應高，對應角平分線，對應中線的比都等于相似比。②相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比。

D：證明

定義與命題：①對名稱與術語的含義加以描述，作出明確的規定，也就是給出他們的定義。②對事情進行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個命題是由條件和結論兩部分組成。④要說明一個命題是假命題，通常舉出一個離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子叫做反例。

公理：①公認的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實，經過證明的真命題稱為定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁內角互補，兩直線；平行，反之亦然；內錯角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個內角的和等于180度；三角形的一個外交等于和他不相鄰的兩個內角的和；三角心的一個外角大于任何一個和他不相鄰的內角。④由一個公理或定理直接推出的定理，叫做這個公理或定理的推論。

第四篇：狹義相對論讀后感論文

題目三? 你從狹義相對論中學到了哪一點是對你是印象深刻的？

《狹義相對論》我中學就有耳聞，那時候雖然什么都不懂，只知道《狹義相對論》是很厲害的理論，也讓我體會到了世界的奇妙，宇宙萬物的高深，啟發了我對科普知識的濃厚興趣。

簡潔來說狹義相對論有兩條原理1.所有的物理定律在各個不同的慣性坐標系中都相同2.光速恒定不變E=MC2(平方)是根據這兩條原理得出的，只是狹義相對論的一部分 簡單的講就是除了物理定律和光速任何物質都是相對變動的，包括時間和空間。最讓我印象深刻的就是狹義相對論的時空觀，它讓我對物質世界的理解又到了一種層次。俗話說“覆水難收“意思是倒出去的水很難再收回來，時間也是這樣，時間流逝了就很難再回來。但是愛因斯坦的相對論徹底的推翻了這些俗語，當達到光速的時候就有可能做得到穿越時空。

這些觀點衍生出來了很多推論和假設，最出名和最讓人感興趣的就是雙生子佯謬問題。

時鐘佯謬或雙生子佯謬

一對雙生子A和B，A在地球上，B乘火箭去做星際旅行，經過漫長歲月返回地球。愛因斯坦由相對論斷言，二人經歷的時間不同，重逢時B將比A年輕。許多人有疑問，認為A看B在運動，B看A也在運動，為什么不能是A比B年輕呢?由于地球可近似為慣性系，B要經歷加速與減速過程，是變加速運動參考系，真正討論起來非常復雜，因此這個愛因斯坦早已討論清楚的問題被許多人誤認為相對論是自相矛盾的理論。如果用時空圖和世界線的概念討論此問題就簡便多了，只是要用到許多數學知識和公式。在此只是用語言來描述一種最簡單的情形。不過只用語言無法更詳細說明細節，有興趣的請參考一些相對論書籍。我們的結論是，無論在哪個參考系中，B都比A年輕。為使問題簡化，只討論這種情形，火箭經過極短時間加速到亞光速，飛行一段時間后，用極短時間掉頭，又飛行一段時間，用極短時間減速與地球相遇。這樣處理的目的是略去加速和減速造成的影響。在地球參考系中很好討論，火箭始終是動鐘，重逢時B比A年輕。在火箭參考系內，地球在勻速過程中是動鐘，時間進程比火箭內慢，但最關鍵的地方是火箭掉頭的過程。在掉頭過程中，地球由火箭后方很遠的地方經過極短的時間劃過半個圓周，到達火箭的前方很遠的地方。這是一個“超光速”過程。只是這種超光速與相對論并不矛盾，這種“超光速”并不能傳遞任何信息，不是真正意義上的超光速。如果沒有這個掉頭過程，火箭與地球就不能相遇，由于不同的參考系沒有統一的時間，因此無法比較他們的年齡，只有在他們相遇時才可以比較。火箭掉頭后，B不能直接接受A的信息，因為信息傳遞需要時間。B看到的實際過程是

在掉頭過程中，地球的時間進度猛地加快了。在B看來，A現實比B年輕，接著在掉頭時迅速衰老，返航時，A又比自己衰老的慢了。重逢時，自己仍比A年輕。也就是說，相對論不存在邏輯上的矛盾。

狹義相對論獨特的見解顛覆了傳統的經典力學的時空觀。經典力學認為時間和空間都是絕對的, 同一個事件不同狀態的人測量情況一樣，而相對論認為同一個事件不同的人測量會得出不同的時間, 就象不同的人的表上的不一樣.相對論認為,光速對于任何人是一樣的,所以時間不同,經典力學則不。相對論是關于時空和引力的基本理論，主要由愛因斯坦創立，分為狹義相對論(特殊相對論)和廣義相對論(一般相對論)。相對論的基本假設是光速不變原理，相對性原理和等效原理。相對論和量子力學是現代物理學的兩大基本支柱。奠定了經典物理學基礎的經典力學，不適用于高速運動的物體和微觀條件下的物體。相對論解決了高速運動問題；量子力學解決了微觀亞原子條件下的問題。相對論極大的改變了人類對宇宙和自然的“常識性”觀念，提出了“同時的相對性”，“四維時空”“彎曲空間”等全新的概念。

狹義相對論的四維時空觀正是其中對狹義相對論的一個最形象典型的代表。四維時空是構成真實世界的最低維度，我們的世界恰好是四維，至于高維真實空間，至少現在我們還無法感知。例如，一把尺子在三維空間里（不含時間）轉動，其長度不變，但旋轉它時，它的各坐標值均發生了變化，且坐標之間是有聯系的。四維時空的意義就是時間是第四維坐標，它與空間坐標是有聯系的，也就是說時空是統一的，不可分割的整體，它們是一種“此消彼長”的關系。

四維時空不僅限于此，由質能關系知，質量和能量實際是一回事，質量（或能量）并不是獨立的，而是與運動狀態相關的，比如速度越大，質量越大。在四維時空里，質量（或能量）實際是四維動量的第四維分量，動量是描述物質運動的量，因此質量與運動狀態有關就是理所當然的了。在四維時空里，動量和能量實現了統一，稱為能量動量四矢。另外在四維時空里還定義了四維速度，四維加速度，四維力，電磁場方程組的四維形式等。值得一提的是，電磁場方程組的四維形式更加完美，完全統一了電和磁，電場和磁場用一個統一的電磁場張量來描述。四維時空的物理定律比三維定律要完美的多，這說明我們的世界的確是四維的。可以說至少它比牛頓力學要完美的多。至少由它的完美性，我們不能對它妄加懷疑。相對論中，時間與空間構成了一個不可分割的整體——四維時空，能量與動量也構成了一個不可分割的整體——四維動量。這說明自然界一些看似毫不相干的量之間可能存在深刻的聯系。

如果這些問題得到驗證解決，將會對科學科技有著里程碑式的推進，將會解決現在不可以解決的問題，多維空間的確立甚至可以解決困擾人們至今靈魂學的問題。

《狹義相對論》是一個很著名的理論，愛因斯坦總結創新的狹義相對論更是造福了全人類，推動了科學發展的進程。在吳老師的精彩講課中，生動有趣的課堂更是激發了我對科學的濃厚興趣及源源不斷的求知欲，讓我體會到了這個造物世界的奧妙。

第五篇：狹義相對論20151017教案

一、經典力學的困難

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”，這是說，我們看到的現象，或對事物的描述，往往隨觀測角度的不同而不同。在物理學中描述一個物理過程，離不開參考系。例如，在運動的車廂頂部落下一個包裹，在地面上和在車廂內看到它的軌跡是不同的，這就是所謂事物的相對性。

經典力學中，物體的速度與所選參考系有關，而利用經典電磁學的麥克斯韋方程組可以得出真空中電磁波的傳播速度為真空介電常數ε0與真空磁導率μ0的幾何平均數的倒數，是一個與參考系無關的量。

伽利略相對性原理和他的坐標變換，已經在超越個別參考系的描述方面，邁出重大的一步。它的一個重要結論，是速度的合成律，例如一個人以速度v相對自己擲出一個球，而他本人又以速度u相對地面運動，則球出手時相對地面的速度為u+v。按常識，這種算法是天經地義的；但把這種算法運用到光的傳播問題上，就產生了矛盾。

設想兩個人傳球，甲將一個會發光的球傳給乙。乙看到球，是因為球發出的光線到達乙的眼睛。設兩人之間的距離為L，球發出的光相對它的傳播速度為c。甲即將傳球前，球處于靜止狀態，球發出的光相對地面的速度就是c，乙看到此情景的時刻比甲延遲L/c；在極短沖擊力的作用下，球出手時速度達到v，按上述經典的合成律，此刻由球發出的光相對地面的速度為v+c，乙看到球出手的時刻比甲晚L/(v+c)，也就是說，甲先看到球出手，后看到甲傳球。這種先后顛倒的現象誰也沒看到過。

會有人說，由于光速非常大，兩個時間差的差別微乎其微，在日常生活中是觀察不到的，這個例子沒有現實意義。那么來看一個天文上的例子。

1731年英國一位天文愛好者用望遠鏡在南方夜空的金牛座發現蟹狀星云。根據后來的觀測推算，蟹狀星云是在公元1060年左右（地球上觀測到的時間）的一次超新星爆發拋出的氣體殼層。這一點在我國的史籍《宋會要》中有以下記載：“嘉佑元年三月，司天監言，客星沒，客去之兆也。初，至和元年五月晨出東方，守天關。晝見如太白，芒角四出，色赤白，凡見二十三日。”當一顆超新星爆發時，它的外圍物質向四面八方飛散，也就是說有些拋射物射向我們。如果光線服從經典速度合成律的話，從蟹狀星云到地球的距離（約5000光年）和爆發中拋射物的速度（約1500千米/秒）來計算，兩者發出的光到達地球的時間將相差25年，即地球將在25年內持續看到超新星開始爆發時發出的強光。而史書記載，客星從出現到隱沒還不到2年。

大海中輪船激起的波浪的速度只與洋流的速度有關，而與船的速度無關。這給上述問題提供了另外一種可能的解釋，即發光物體發出的光的傳播速度與發光物體的速度無關，只與傳播介質的運動狀態有關。于是上述矛盾不復存在；但又出現了一個新的問題：傳播光線的介質是什么？按照舊時的看法，是一種叫做“以太”（aether）的物質，那地球以怎樣的速度在以太中運動？在地球上，如果能夠精確測定各個方向光速的差異，就可以確定地球相對于

v2以太的運動；實驗的精度足夠高時（達到2量級），可在地球上測定各個方向光速的差異。

c1881年，邁克耳孫和莫雷首次用邁克耳孫干涉儀做了觀測實驗；6年后，進行了更精密的測量。從理論上分析，將儀器旋轉90o，應有0.4個條紋的移動；實驗的結果卻是：根本不存在條紋移動。

二、愛因斯坦狹義相對論的基本假設

當別人忙著在經典物理框架內用形形色色的理論來修補“以太說”時，愛因斯坦另辟蹊徑，提出兩個重要假設：

1、相對性原理

愛因斯坦的相對性原理與伽利略的思想基本上一致，即所有慣性系都是等價的，在它們之中所有的物理規律都一樣。但伽利略變換只適用于經典力學，不保證電磁學（包括光）也滿足相對性原理。愛因斯坦提出的相對性原理希望把一切物理規律都包括進去。

2、光速不變原理

在看到經典力學與電磁學存在的矛盾后，愛因斯坦大膽假設提出假設：在所有慣性系中測得的真空光速c的大小都是相同的。

三、洛倫茲變換推導

兩個慣性系S系和S'系，其對應的坐標軸彼此平行。S'系相對S系以速率u沿x軸正方向運動，事件在兩個坐標系的坐標分別為(x,y,z,t)和(x',y',z',t')。當t=t'=0時，兩個坐標系的原點重合。經典力學中從S系到S'系的伽利略坐標變換式為

??x??x?ut ?y??y??z??z逆變換為

??x?x??ut ?y?y???z?z?為調和經典力學和經典電磁學的矛盾，洛倫茲提出不同慣性系的物理方程應該具有相同的形式，為此必須放棄絕對時間的概念，即

x????x?ut??? ?y??y??z??zγ稱為洛倫茲因子，逆變換為

x???x??ut???? ?y?y???z?z?設任意事件從S'系到S系的變換為

任意事件從S系到S'系的變換為

x???x??u?t??

（1）

x????x?u?t?

（2）

將（1）改寫為t'的表達式并把（2）帶入，得到

t????t?1??2???x ?u（3）

設由重合的原點O和O'在t=t'=0時刻發出沿x軸正向的光，波前坐標分別為(x,y,z,t)和(x',y',z',t')，那么根據光速不變原理，有

x?c?t

（4）x??c?t?

（5）

（1）和（2）相乘，得

x?x???2x?x??x??u?t?x?u?t??u2?t?t?

??（6）

將（4）和（5）代入（6），得

c2??22???c?u21u1?2c2

（7）

并記

??u c（8）

當u<

u?x2c t??2u1?2ct?u?x?2c t?2u1?2ct??（9）

（10）

四、狹義相對論的時空觀

1、同時的相對性和時間延緩

假設S'系中兩個事件(x1',t1')和(x2',t2')在不同位置同時發生，即t1'=t2'=t'，則在S系中觀察

u?x????t1???t??21??uc?????x1??2?0 ??t?t2?t1???x2?u?x???ct2???t??22??c????結論：沿兩個慣性系相對運動方向配置的兩個事件，若在一個慣性系中同時發生，則在另一個慣性系中觀測，總是處于前一個慣性系運動后方的事件先發生。

S'系中，在x'位置先后發生的兩個事件間隔事件Δt'=t2'-t1'，則在S系中測得

?t?t2?t1????t???t?1?uc22??t?

結論：在一個慣性系中同一位置先后發生的兩個事件，在另一個慣性系中觀測其發生的時間間隔變長。

2、長度收縮

??x1????x2?u?t2????x1?u?t1?????l???u??t ?l??x2由于在S系中測兩端坐標為同時發生的事件，所以Δt=0，故

u2?l???l??1?2??l?

?c?l?結論：運動的物體的測量長度縮短。

3、因果的絕對性

???x1??uux2u???????x2?????????????t1?t2????t1?t2??2?x1??t?t1????t?t1?v ?12?1222s?????cct?tc????12??因為u

4、雙生子佯謬

假設有兩個雙生子，甲留在地球上（忽略地球自轉），乙乘極高速的飛船到宇宙空間去旅行。經過若干年，飛船返回到地球，甲和乙重逢時，地球上的甲認為乘飛船航行的乙比他年輕，而飛船上的乙認為地球上的甲比他年輕，相互矛盾。正確的答案是：甲和乙重逢時，乘飛船航行的乙比留在地球上的甲年輕一些。產生問題的原因在于不恰當地運用了狹義相對論，狹義相對論的前提是地球和飛船應是兩個完全等價的慣性系，而本問題不滿足這一條件。乙乘極高速的飛船到宇宙空間去旅行時，地球上的甲認為乘飛船航行的乙衰老速度較慢，而飛船上的乙認為地球上的衰老速度較慢；問題在于飛船返航前調頭的過程，地球相對飛船而言是從后方沿曲線運動到前方，不再是慣性系，故狹義相對論原理不再適用。這個過程需要用廣義相對論原理進行解釋，簡而言之就是在飛船調頭時，飛船內的乙觀測到地球上的甲在迅速衰老。

雙生子實驗在1971年完成：將具有極高精度的銫原子鐘放在飛機上，沿赤道向東和向西繞地球一周，回到原處后，分別比靜止在地面上的鐘慢了59納秒和快了273納秒。因為地球以一定的角速度自西向東轉動，地面不是慣性系，而地心指向太陽的參考系可認為是慣性系。由于飛機的速度總小于太陽的速度，因此飛機相對慣性系總是向東轉的，只是沿赤道向東飛行時相對慣性系的速度大、向西飛行時小，靜止在地面上則介于兩者之間。上述實驗結果與廣義相對論（對時鐘的影響不僅有運動學效應，還有引力效應）的理論計算比較，在實驗誤差范圍內相符。因而，我們今天不在說“雙生子佯謬”，而是稱之為“雙生子效應”。

五、速度的合成

對位置x'和時間t'求導，有

?x????x?u?t??dx????dx?u?dt??u?u?? ?t?????t??x?dt??dt??dx????22?cc?????速度就是位置隨時間的變化，即

v?x?v?udx?dx?u?dt ??xuu?vdt?dt??dx1?x22ccv??udx vx??x?u?vdt1?x2cv?y?vydy?dy ??udt????u?v???dt?2?dx???1?2x?cc????其余速度分量同理。

追光問題：當vx'=c時，vx?c?u?c u?c1?2c即真空光速與參考系無關。

六、狹義相對論動力學

1、相對論動量

假設有兩個靜止時質量相同（都為m0）的小球A和B，在光滑水平面（S系）上以大小相等、方向想法的速度在原點發生完全彈性斜碰撞，運動方向與x軸夾角（銳角）為θ。碰撞后x方向上的速度分量不變，y方向上的速度分量發生交換。碰撞前A在x方向上的速度分量指向x軸正方向，在y方向上的速度分量指向y軸正方向。S'系相對S系的速度為u=v·cosθ，方向為x軸正方向。

?v?sin???u2?碰撞前???1?2??vAy??c?? v???Ay??v?sin?u??碰撞后??1?2vAx??2u??c?????1???c2???????v?sin???u2?碰撞前???1?2??vBy??c?? v???By?v?sin?u??碰撞后??1?2vBx??2u??c?????1???c2?????考慮y'方向上的速度分量：S'系中碰撞前后y'方向上動量守恒，即

m?Av?sin??v?sin??v?sin?v?sin???? ?m?m?mBAB?u2??u2??u2??u2??????????1?c2???1?c2???1?c2???1?c2??????????u21?2c ?m?B?mAu21?2c化簡后得到

當θ→0時，u→v，上式變為

v21?2c ?m?B?mAv21?2c考慮x'方向上的速度分量

v?Bx?vBx?u?2v?cos???0?2v?? 222uvcos?v1?2vBx1?1?2cc2cv?Bx2v?2v?v?Bx?0 2c整理得

解得

?v??1??Bx??1?c?v?

v?Bxc2帶入mB'表達式，得

2?m?B?mA1?v??1??Bx??c?2

當θ→0時，A在S'系中靜止，mA'=m0，所以

m?B?m0?v??1??Bx??c?m01?vc222

即，在慣性系中對一個以速度v運動的物體的質量的測量結果為

m?

即運動物體的測量質量增大。動量為

?m0?v? p?2v1?2c2、力

d??dpF??dt?m0?v?u2?dvdv1?2m?v?v?m0?c?0dt?dt

31dt2222?v??v???c2?1??c2??1?c2??????

3、相對論動能

在一維下，???d?mv?dr???F?dr??d?mv?dv?v2?dm?m?v?dv

dtm???m022?m2c2?m0c?m2v2?2m?cdm?2mvdv?2m?vdm?m?vdv?v2dm?c2dm因此有

222

??F?dr?c2dm

設質點從位置a運動到位置b，速度從0增至v，質量從m0變為m，則

b??m222?aF?dr??c?dm?m?c?m0?cm0故質點速度為v時的動能為

Ek?mc2?m0c2

v2當v<

c?????111v2?2?2?2 ?Ek?m0c??1??m0c?1????1?mv0?2c2?22v????1???c2??

4、質能關系

靜能：m0c2

總能：E=Ek+m0c2=mc2 總能增量：ΔE=Δmc2

5、相對論動量與能量的關系

2E?m?c2??v?cp??p?m?v?E??2222422m0c??E?pc?m0c2E? v2?1?2?c?

七、高速運動物體的視覺形象

尺度收縮效應的形象是人們觀測物體上各點對觀察者所在參考系的同一時刻的位置（異地同時測量）構成的形象，可稱為“測量形象”；而物體產生的“視覺形象”，即我們看到的（或照相機拍攝的）形象，是由物體上各點發出后同時到達觀察者的光線所組成，這些光想并不是同時自物體發出的。

以運動物體作為參考系S'系，觀察者所在參考系為S系。S'系相對于觀察者所在的S系以速率u沿x軸正方向運動。S'系中物體上一點P'的坐標為(x',y')，在變換到S系為

??x?1??2x? ???y?y?設觀察者處于垂直于運動的y負方向上，且很遠，這樣便可以認為從物體上各點射向觀察者的光線都平行于y軸。為了使光線同時到達觀察者，以坐標原點為基準，在它以上的點在x方向的位置需要有一定的提前量，以下的點則需要有延遲量。于是物體的形象發生剪切，這才是物體的視覺形象。S系中，在x方向上的平移量為Δx=ut，而t?離y所需的時間。設構成視覺形象的各點坐標為(x,y)，則有變換關系

*

*

y是是光線走過距c??x??x??x?x??y?1??2x???y? ????y?y?y?在遠方的觀察者是物體在垂直于視線方向上的投影。把物體的視覺形象與原物體放在一起對比，P'變到了P*位置，設P'到原點距離為R，以R為半徑作圓，再由P*作平行視線的光線交圓于點Q，則在觀察者看到的投影形象中P'似乎轉動了一個角度Δθ=∠P'OQ。

令P'和Q的極坐標分別為(R,θ)和(R,θ*)，則Δθ=θ*-θ，cos??x? Ry?sin??

R1??2x???y?x? cos???RR?利用三角函數運算法則sin2θ+cos2θ=1計算（考慮象限）得

sin??進而得出

??x??1??2y?R

sin???sin?????sin??cos??cos??sin??????u c該式表明，觀察者看到的高速運動的物體的形象似乎是原物體整體轉過一個角度Δθ=arcsinβ。該現象首先由Terrell發現，故稱為“Terrell轉動”。令

dx?d1??2Rcos???Rsin?0????1??2Rsin???Rcos?

d?d?即 ??cos???結合sin2θ+cos2θ=1，得

1??2?sin?

sin???

則x*的極值為

1??Rcos???Rsin???1??R221??2?sin???Rsin???R?sin???R

這說明，觀察者是“看不到”尺度收縮效應的。

八、閔可夫斯基空間與時空四矢量

1、洛侖茲變換矩陣

?x?????y???0?z????0???i?????i?c?t????01000010i??????x??x?0??y??L?y?

?z?0??z???????i?c?t???i?c?t??式中i為虛數單位。洛侖茲變換矩陣的逆等于其轉置，即L-1=LT。

2、洛侖茲協變矢量：X=(x,y,z,ict)T稱為時空四矢量。其導數dX=(dx,dy,dz,ic﹒dt)T仍為時空四矢量。

3、洛侖茲變換不變量 ?x??2??y??2??z??2?c2?t??2??x?,y?,z?,ict???x?,y?,z?,ict??TTTT??L?x,y,z,ict???L?x,y,z,ict??T ??x,y,z,ict?LTL?x,y,z,ict?T??x,y,z,ict??x,y,z,ict??x2?y2?z2?c2t2即，時空四矢量的各分量的平方和是與參考系無關的常量。

4、間隔的不變性

設有兩個事件：事件1(x1,y1,z1,ict1)，事件2(x2,y2,z2,ict2)。兩個事件的間隔定義為

2222 ?S2???x1?x2???y1?y2???z1?z2???ict1?ict2?

（41）22?c2??t????r?由于兩個時空四矢量的和差仍為時空四矢量，所以ΔS2為不變量。

（1）同地相繼發生的兩個事件：ΔS2=c2(Δt)2，原時Δt為不變量；

（2）異地同時發生的事件：ΔS2=-(Δr)2，Δr大小不變，但方向可能改變；（3）用光信號聯系的兩個事件：ΔS2=0。