第一篇：第五屆全國高中數學青年教師觀摩與評比活動：《正弦定理》教案與說課稿(陜西師大附中張 輝)（范文）

《正弦定理》的設計說明

陜西師大附中 張 輝

點明課題

本節課是普通高中課程標準實驗教科書必修5第二章《解三角形》中的2.1《正弦定理》的內容，該節包括正弦定理的發現、探索、證明和應用，我把這節內容分為2課時，現在我要說的是《正弦定理》的第一課時，主要包括正弦定理的發現、探索、證明和簡單的應用。

下面我從四個方面來說說對這節課的分析和設計：

一、教材地位分析

《正弦定理》是普通高中課程標準實驗教科書必修5中第二章《解三角形》的學習內容，比較系統地研究了解三角形這個課題。對比同學們在初中學習過的解直角三角形，解三角形雖是少了一個字，明顯我們面臨解決的問題范圍卻擴大了。因此，本章內容是對初中解直角三角形內容的直接延伸，在解直角三角形時主要借助三角形內角和定理、三角函數和方程的思想來實現，這種方法當然是局限于直角三角形，面對一般的三角形同學將束手無策。《正弦定理》緊跟必修4（包括三角函數與平面向量）之后，可以啟發學生聯想所學知識，運用三角函數知識作為工具，運用轉化與化歸作為指導思想，推導出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基礎，又是學生了解三角形中存在邊與角的定量關系的一個開端，對進一步學習任意三角形的求解、體會事物是相互聯系的辨證思想均起著舉足輕重的作用。

作為三角形中的一個定理，而定理本身的應用（定理應用放在下一節專門研究）又十分廣泛，因此做好該節內容的教學，使學生通過對任意三角形中正弦定理的探索、發現和證明，感受“類比—猜想—證明”的科學研究問題的思路和方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數學地思考問題和研究問題的思想，養成大膽猜想、善于思考的品質和勇于求真的精神。

同時，通過本節課的學習為后面學習《余弦定理》提供了方法上的模式；為將來解決測量、工業、幾何等方面的實際問題提供了理論基礎，使學生進一步感受、了解到數學在實際中的應用。

二、教學目標分析

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特征，制定如下教學目標：

認知目標：在創設的問題情境中，使學生主動地去發現正弦定理的內容和推證正弦定理及簡單運用正弦定理

能力目標：通過對正弦定理的引入、推導和應用，培養學生的創新意識和思維能力，能體會用“作高”將一般三角形轉化為直角三角形；將幾何問題轉化為代數問題。

情感目標：面向全體學生，創造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發學生學習的興趣；培養學生合情推理探索數學規律的數學思想，體驗由特殊到一般的數學方法，培養學生在方程思想指導下解三角形運算能力。

三、教學問題診斷分析

①為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣被發現的？其證明方法又是如何想到的？還有別的求證方法嗎？這些都是教材沒有回答，而確實又是學生所關心的問題.②教材是從特殊的三角形即直角三角形入手，來研究三角形中所存在的邊與角之間的定量關系的，后又拓展到銳角三角形和鈍角三角形，進而探究出正弦定理，這體現了數學學科中的從特殊到一般的思想。然而現實生活中直角三角形的實例要比斜三角形少的多，而教材卻沒有從斜三角形切入問題，這樣代表性不就降低了嗎？

③教材僅有的兩道例題中，所給出的數據都要用到計算器進行演算。這樣會不會給學生造成一種錯覺，即凡是用正弦定理解決的問題都要使用計算器呢？

④教材中，正弦定理第一課時的教學內容就涉及到了三角形中的“多解”情況，如果按照新課標中“注重學生發現、探究、猜想、證明”的教學理念，那么教學時間是否充裕？

以上問題僅是我個人在教學中的一點體會和認識，尚有諸多不足之處，還望各位專家及老師批評指正。

四、教法特點及預期效果分析

教學設計本著學生心理和發展特點原則，盡量符合學生的認知規律，時時關注學生的興趣、體驗、困惑、疑難等，有效地發揮教師的組織、引導、激勵作用，盡可能使學生在多方面得到發展。

教無定法，貴在得法。下面便是我本節課的一些基本構思

本課基本構思：

本節課，學生在不知正弦定理內容和證明方法的前提下，在我預設的思路中，學生積極主動參與一個個相關聯的探究活動過程，通過“發現類比實驗猜想驗證證明”的數學思想方法發現并證明定理，讓學生經歷了知識形成的過程，感受到創新的快樂，激發學生學習數學的興趣。其次，以問題為導向設計教學情境，促使學生去思考問題，去發現問題，讓學生在“活動”中學習，在“主動”中發展，堂教學太過于重視結論，輕視過程。為了應付考試，為了使對公式定理應用達到所謂的“熟能生巧”，教學中不惜花大量的時間采用題海戰術來進行強化。在數學概念公式的教學中，往往采用的所謂“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學生強化成只會套用公式的解題機器，這樣的學生面對新問題就束手無策。新課程倡導：強調過程，強調學生探索新知識的經歷和獲得新知的體驗，不能再讓學生脫離學生的內心感受，必須讓學生追求過程的體驗，把“數學發現的權利”還給學生。

基于以上認識，本節課我所考慮的不是簡單的把正弦定理的內容告訴給學生，而是創設一些數學情境，讓學生自己去發現定理，證明定理。從發現定理的過程中讓學生體會到：定理并不是憑空產生的，發現定理并不都是高不可攀的事情，通過努力，也可以做一些看似數學家才能完成的事。在這個過程中，學生在課堂上的主體地位得到充分發揮，極大的激勵了學生的學習興趣，也提高了他們提出問題、解決問題的能力，培養了他們的創新能力，這正是新課程所倡導的教學理念。

授課過程中的一點遺憾：

由于這種探究課型在平時的教學中還不夠深入，有些學生往往以一種觀賞者的身份參與其中，主動探究意識不強，思維水平沒有達到足夠的提升。但相信隨著課改實驗的深入，這種狀況會逐步改善。此外，由于目前高一的學生還沒有學習“平面向量”，因此，對于正弦定理的證明方法沒有涉及到“向量法”。教授本課的收獲：

輕松愉快的課堂是學生思維發展的天地，是合作交流、探索創新的主陣地，是思想教育的好場所。新課標下的課堂是學生和教師共同成長的舞臺！

第二篇：第五屆全國高中數學青年教師觀摩與評比活動-《正弦定理》說課(內蒙古王曉慧)

正弦定理教學設計說明

內蒙古包頭市第一中學

王曉慧

一、本課的教學內容及其地位和作用

《正弦定理》共2課時，本課是第1課時，學生在初中已經學習了直角三角形中的邊角關系和三角形全等的判定，本課是在此基礎上繼續研究任意三角形中的邊角關系，教師帶領學生從已有的知識出發，通過探究得到正弦定理，理解定理的內容并能運用正弦定理解三角形的兩類問題，結合三角形全等的判定，理解在已知邊邊角的情況下，三角形解的個數不確定。學生在此之前已經學習了三角函數、平面向量、圓等內容，使得這部分內容的處理有了比較多的工具，教學過程中按照從簡原則和最近發展區原則，采用“作高”的方式證明了正弦定理，之后，為了發展學生的思維，學會思考數學問題，又引導學生從向量、作外接圓、三角形面積計算等幾個角度找到證明的途徑，滲透了事物間普遍聯系的辯證唯物主義觀點。

本章的中心內容是解三角形，正弦定理是解三角形的重要工具之一，是對三角知識的應用，又是對初中解直角三角形內容的直接延伸，在日常生活和工業生產中也時常有解三角形的問題，在天文、航海測量中也有廣泛應用（在下一節中專門研究），充分體現了“數學是有用的”，對培養學生應用數學的意識起到重要作用。

二、本課的數學本質與教學目標定位

在數學發展史上，受到天文測量、航海測量和地理測量等方面實

踐活動的推動，解三角形的理論得到不斷發展。如：怎樣在航行途中測出海上兩個島嶼之間的距離？怎樣測量底部不可到達的建筑物的高度？怎樣測出在海上航行的輪船的航向和航速？??在生產、生活實際中也會遇到例如：怎樣確定樓間距，使得一樓的住戶也能得到較為充足的陽光？怎樣充分利用廢舊鋼板來節約成本？??這些都是學生非常感興趣的生活現實，大千世界，數學無處不在，正如荷蘭數學家弗賴登塔爾在他所著的《作為教育任務的數學》一書中所講：“數學起源于現實”，“數學教師的任務之一是幫助學生構造數學現實，并在此基礎上發展他們的數學現實。”教學中，通過“如何測出地月之間的距離”來布疑激趣，帶領學生進入解三角形內容的學習，通過探究，由特殊到一般得到正弦定理，引導學生多角度思考證明正弦定理，體會數學知識彼此緊密聯系的特點，從而感受數學的魅力。

教學過程中，讓學生經歷提出問題、解決問題、初步應用等過程，使學生成為正弦定理的“發現者”和“創造者”，《課程標準》將解三角形作為幾何度量問題來展開，重在正弦定理在解三角形中的應用，而不必在恒等變換上進行過于繁瑣的訓練。這就要求在教學中突出幾何的作用和數學量化的思想，發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的探究、再創造過程。

基于此，本課的教學目標定位在：1.在創設的問題情境中，引導學生發現正弦定理，推證正弦定理及簡單運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類問題；2.通過探究在任意三角形中，邊與其對角正弦的比值之間的關系，培養學生觀察，猜想，由特殊到一

般歸納得出結論的能力和化未知為已知解決問題的能力；3.面向全體學生，創造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發學生學習的興趣。

三、教學診斷分析

學生在初中已經學習了銳角三角函數，在必修4中又研究了任意角的三角函數，所以很容易根據直角三角形中的邊角關系，得出直角三角形中的正弦定理，從而引出課題：這一結論在任意三角形中還成立嗎？證明這個結論是一個難點，特別是鈍角三角形中，教師通過引導學生如何化未知為已知，從而找到解決問題的途徑。再引導學生思考：什么運算可以把長度和角度聯系在一起？從而得到多種解決問題方法。運用定理解三角形不難做到，但是在運用定理的過程中，有一點是學生不容易想到的，也是難以理解的，就是在已知三角形中兩邊和其中一邊的對角時，解的情況不唯一，教師通過引導學生回憶初中所學的三角形全等的判定，“邊邊角”不能判定三角形全等來理解，本節課只需要讓學生知道這一點，詳細探究在以后完成。

四、教法特點和預期效果分析

原蘇聯數學教育家斯托利亞爾在他所著的《數學教育學》一書中指出：“數學教學是數學活動的教學 ”，“數學活動是思維活動，對數學家而言，這是一個發現活動；對于數學教學來說，我們要教給學生的不是死記現成的材料，而是發現數學真理（自己獨立的發現科學上已經發現了的東西），學生發現那些在科學上早已被發現的東西的時

候，他是像第一次發現者那樣去推理的。”在弗賴登塔爾的論述中也指出：“學生通過自己努力得到的結論和創造是數學教育內容的一部分”。新課標也在倡導積極主動、勇于探索的學習方式。基于這樣的理念的指導，結合本課的教學內容，本課采用探究發現式教學法，以“如何測量地月之間的距離”來創設問題情境，以問題驅動課堂，使學生的思維始終活躍于如何解決問題的探究活動中，通過師生之間、生生之間的評價來完善對問題的理解和對定理的應用，創造和諧、愉快、平等的學習氛圍，體現學生的主體地位，讓學生體驗快樂學習，同時培養學生學習數學的興趣和能力。

本課通過引導學生發現直角三角形中的正弦定理，進而探究在任意三角形中是否還成立？將學生帶入探索新知的氛圍，學生從已有的知識經驗出發，探索得出新結論，體驗了成功的樂趣，對如何運用定理解決問題也是躍躍欲試，例題教學中，展示學生答案之后，給全體學生一個暢所欲言的機會，互相評價，最終得到完善的答案，在集體交流中感受合作的巨大力量。這樣做，對于不善于表達自己的學生可能會失去和大家交流的機會，但通過老師和學生的鼓勵，也可以克服。這也體現了一個人成長、發展所必須經歷的過程，對于培養意志品質起到了重要作用。

第三篇：第五屆全國高中數學青年教師觀摩與評比活動：《橢圓及其標準方程》教案與說課稿

橢圓及其標準方程（第一課時）教學設計說明

甘肅省張掖市實驗中學 雒淑英

一．本課數學內容的本質、地位及作用分析：

本節課是《全日制普通高級中學教科書（必修）·數學》（人民教育出版社中學數學室編著）第二冊（上）第八章第一節《橢圓及其標準方程》第一課時。

用一個平面去截一個對頂的圓錐，當平面與圓錐的軸夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是圓、橢圓、拋物線、雙曲線，我們將這些曲線統稱為圓錐曲線。圓錐曲線的發現與研究始于古希臘，當時人們從純粹幾何學的觀點研究了這種與圓密切相關的曲線，它們的幾何性質是圓的幾何性質的自然推廣。17世紀初期，笛卡爾發明了坐標系，人們開始在坐標系的基礎上，用代數方法研究圓錐曲線。在這一章中，我們將繼續用坐標法探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質，并用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡單幾何問題和實際問題，進一步感受數形結合的基本思想。

解析幾何是數學一個重要的分支,它溝通了數學中數與形、代數與幾何等最基本對象之間的聯系。在第七章中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,并在平面直角坐標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形，在第八章，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數方法研究幾何問題。由于教材以橢圓為重點說明了求方程、利用方程討論幾何性質的一般方法,然后在雙曲線、拋物線的教學中應用和鞏固，因此“橢圓及其標準方程”起到了承上啟下的重要作用。

本節內容蘊含了許多重要的數學思想方法，如：數形結合思想、化歸思想等。因此，教學時應重視體現數學的思想方法及價值。

根據本節內容的特點，教學過程中可充分發揮信息技術的作用，用動態作圖優勢為學生的數學探究與數學思維提供支持。二．教學目標分析：

按照教學大綱的要求，根據教材分析和學情分析，確定如下教學目標： 1．知識與技能目標： ①理解橢圓的定義。

②掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力。2．過程與方法目標：

①經歷橢圓概念的產生過程，學習從具體實例中提煉數學概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數學概念的數學本質，提高學生的歸納概括能力。②鞏固用坐標化的方法求動點軌跡方程。

③對學生進行數學思想方法的滲透，培養學生利用數學思想方法分析和解決問題的意識。3．情感態度價值觀目標：

①充分發揮學生在學習中的主體地位，引導學生活動、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識。

②重視知識的形成過程教學，讓學生知其然并知其所以然，通過學習新知識體會到前人探索的艱辛過程與創新的樂趣。

③通過對橢圓定義的嚴密化，培養學生形成扎實嚴謹的科學作風。

④通過經歷橢圓方程的化簡,增強學生戰勝困難的意志品質并體會數學的簡潔美、對稱美。

⑤利用橢圓知識解決實際問題，使學生感受到數學的廣泛應用性和知識的力量，增強學習數學的興趣和信

心。

三．教學問題診斷：

1．教學的第一個問題可能是橢圓是怎樣畫出的。教學中通過橢圓與圓的關系，讓學生觀察與操作，利用水杯及細繩建立直觀的概念，要鼓勵學生大膽操作。

問題解決方案一：學生可能提出將圓柱形水杯換成圓錐。（解釋方法一致）問題解決方案二：兩定點距離、繩長與圖形的關系，通過操作，完善定義。2．教學的第二個問題是橢圓標準方程的推導與化簡中含有兩個根式的等式化簡。

問題解決方案：由于用兩邊同時平方法化簡較為繁瑣，有些學生完成可能的有困難，老師要及時加以指導。如果學生有能力掌握，可運用方案二“等差數列法”或方案三“三角換元法” 降低難度。

3．教學的第三個問題可能是豎橢圓方程的得出。

問題解決方案：可以利用類比“化歸”的思想，通過翻折和旋轉的方式實現圖形變換，從而利用焦點在x軸上橢圓的標準方程得到焦點在y軸上橢圓的標準方程，避免繁瑣、重復的推導過程。四．教法特點以及預期效果分析：

本節課采用啟發式與試驗探究式相結合的教學方式。

在啟發式教學過程中，以問題引導學生的思維活動。教學設計突出了對問題鏈的設計，教學中，結合學生的思維發展變化不斷追問，使學生對問題本質的思考逐步深入，思維水平不斷提高。

通過學生試驗的方法進行教學。本節課主要是通過直觀感知、操作確認歸納出橢圓的定義。在試驗中注重數學的邏輯性和嚴謹性。本節課立足教材，重視對現象的觀察、分析，引導學生通過自己的觀察、操作等活動獲得數學結論，把合情推理作為一個重要的推理方式融入到學生的學習過程中．

通過學生反思，自己總結歸納學習內容，構建知識鏈。在總結時采用“一個知識點、兩種方法、三種思想”的方式，學生目標明確，學習重點清晰，易于掌握。

新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發展的過程，“提出問題,體驗數學,感知數學,數建立數學,鞏固新知,歸納提煉”。本節課采用讓學生動手實踐、自主探究、合作交流及教師啟發引導的教學方法，按照“創設情境、意義建構、數學理論、數學應用、回顧反思、鞏固提高”的程序設計教學過程，并以多媒體手段輔助教學，使學生經歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學生的學習方式，使學生真正成為學習的主人。

第四篇：第五屆全國高中數學青年教師觀摩與評比活動：《幾類不同增長函數模型》教案與說課稿

3.2.1幾類不同增長的函數模型（第一課時）

浙江省杭州第二中學 詹爽姿

一．內容和內容解析

本節是高中數學必修1（人教A版）第三章《函數的應用》的起始課．該課將經歷運用和選擇函數模型解決實際問題的過程，從而認識在同為增函數的函數模型中，各種函數存在增長的差異；理解直線上升、指數爆炸、對數增長的含義；認識研究函數增長（衰減）差異的方法；感受數學建模的思想．

對不同函數模型在增長差異上的研究，教材圍繞函數模型的應用這一核心，結合具體實例展開討論，讓學生在應用函數模型的過程中，體驗到指數函數、對數函數、冪函數等函數模型在描述客觀世界變化規律時各自的特點．

教材運用自選投資方案和制定獎勵方案這兩個問題，引出函數模型增長情況比較的問題，接著運用信息技術從數值和圖象兩個角度比較了指數函數、對數函數、冪函數的增長情況的差異，說明不同函數類型增長的含義．

在必修1前兩章，教材安排了函數的性質以及基本初等函數．本節內容是幾類不同增長的函數模型，在此之后是研究函數模型的應用，因此，從內容上看，本節課是對前面所學習的幾種基本初等函數以及函數的性質的綜合應用，從思想方法上講，是對研究函數的方法的進一步鞏固和深化，同時，也在為后面繼續學習各種不同的函數模型的應用舉例奠定基礎，．因此本節內容，既是第二章基本初等函數知識的延續，又是函數模型應用學習的基礎，起著承前啟后的作用.本節內容所涉及的數學思想方法主要包括：由實際問題抽象為函數模型這一過程中蘊涵的符號化、模型化的思想；在解決問題過程中函數與方程的思想．

二．目標和目標解析 本節課的教學任務為：

（1）創設一個投資方案的問題情境，讓學生通過函數建模、列數據表、研究函數圖象和性質，體會直線上升和指數爆炸；

（2）創設一個選擇獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會對數增長模型的特點；

（3）通過建立和運用函數基本模型，讓學生初步體驗數學建模的基本思想，發展學生的創新意識和數學應用意識.根據內容解析和教學任務，本節課的教學目標確定為：

（1）通過實例的解決，運用函數表格、圖象，比較一次函數、指數型函數以及對數函數模型等的增長，認識它們的增長差異，體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同增長的函數模型的意義；

（2）通過恰當地運用函數的三種表示方法（解析法、列表法、圖象法），表達實際問題中的函數關系的操作，認識函數問題的研究方法：觀察—歸納—猜想—證明；

（3）經歷建立和運用函數基本模型的過程，初步體驗數學建模的基本思想，體會數學的作用與價值，培養分析問題、解決問題的能力.這部分內容教科書在處理上，以函數模型的應用這一內容為主線，以幾個重要的函數

模型為對象，將前面已經學習過的內容以及處理問題的思想方法緊密結合起來，使之成為一個整體．因此教學中應當注意貫徹教材的設計意圖，讓學生經歷函數模型應用的全過程，能在這一過程中認識不同增長的差異，認識知曉函數增長差異的作用，認識研究差異的思想方法．

結合以上分析本節課的教學重點為：將實際問題轉化為數學模型，在比較常數函數、一次函數、指數函數、對數函數模型增長差異的過程中，體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同類型函數增長的含義．

三．教學問題診斷

學生在前面已學過函數概念、指數函數、對數函數、冪函數，但由于指數函數、對數函數和冪函數的增長變化復雜，這就使得學生在研究過程中可能遇到困難．因此本節課教學難點確定為：如何結合實際問題讓學生體會不同函數模型的增長差異，以及如何利用這種增長差異來解決一些實際問題．

為了解決這一難點，教科書分三個步驟，創設問題情境，并通過恰點恰時而又層層遞進的問題串，讓學生在不斷的觀察、思考和探究的過程中，弄清幾個函數間的增長差異，并培養分析問題解決問題的能力．第一步，教科書先創設了一個選擇投資方案的問題情境，在解決問題的過程中給出了解析式、數表和圖象三種表示，然后提出了三個思考問題，讓學生一方面從中體會直線上升和指數爆炸，另一方面也學會如何選擇恰當的表示形式對問題進行分析．第二步，教科書又創設了一個選擇公司獎勵模型的問題情境，讓學生在觀察和探究的過程中，體會到對數增長模型的特點．第三步，教科書提出了三種函數存在怎樣的增長差異的問題．先讓學生從不同角度觀察指數函數和冪函數的增長圖象，從中體會二者的差異；再通過兩個探究問題，讓學生對冪函數和對數函數的增長差異，以及三種函數的衰減情況進行自主探究．這樣的安排內容上層次分明，可以引導學生從不同的方面積極地開展觀察、思考和探究活動，對典型的問題，多視點寬角度地進行了研究．對學生分析問題、解決問題能力的培養將有積極的推動．由于本節內容比較豐富，而且研究問題的方法和途徑也比較多，所以本節課我們只能重點解決其中的前兩個問題．

四．教學支持條件分析

要讓學生較為全面地體會函數模型的思想，特別是本節例題中用函數模型研究實際問題有許多數據、圖象等方面處理上的困難，而利用信息技術工具，就可以在不同的范圍觀察到指數函數、對數函數和冪函數的增長差異．這樣，就使學生有機會接觸到一些過去難以接觸到的數學知識和思想方法．因此在本節內容教學的處理上，通過學生收集數據并建立函數模型，利用計算器和計算機，比較指數函數、對數函數以及冪函數間的增長差異；結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義．

五．教學過程設計

一、創設情境，引入課題 1.介紹第三章章頭圖，提出問題．

問題1：澳大利亞的兔子為什么能在短短的幾十年中由5只發展到5億只？ 澳大利亞兔子的急劇增長反映了自然界中一種增長現象：指數增長.問題2：在生活中，你還能舉出其它增長的例子嗎？

2.在學生回答問題的基礎上引出各種不同類型的函數增長模型． 3.揭示課題：幾類不同增長的函數模型．

【設計意圖】運用章頭圖，形成問題情境，產生應用函數的需要，激發學生的學習愿望．

二、分析問題，建立模型

（一）提出問題

例1．假如你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的 回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元； 方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番． 請問：你會選擇哪種投資方式？

（二）分析問題

1.引導審題，抓住關鍵詞“回報”

問題3：你選擇的是什么樣的回報？怎樣比較回報資金的大小？

從解決問題的角度看：

（1）比較三種方案的每日回報；

（2）比較三種方案在若干天內的累計回報.2.引導分析數量關系，建立函數模型

僅從日回報的角度引導學生根據數量關系，歸納概括出相應的函數模型，寫出每個方案的函數解析式.【設計意圖】引發學生思考，經歷建立函數基本模型的過程．

【備注】累計回報的本質是數列求和問題，由于學生目前的知識儲備還不夠，現在僅限于通過對函數模型通過列表計算、圖象觀察來作出判斷和選擇.三、組織探究，感性體驗 1.教師提出問題

問題4：你會選擇哪種投資方案？請用數學語言呈現你的理由． 2.學生分組操作，比較不同增長 從解決問題的方式上：（1）用列表方法來比較；（2）畫出函數圖象來分析.【設計意圖】保成學生合作探究、動手實踐，能借助計算器，利用數據表格、函數圖象對三種模型進行比較、分析，初步感受直線上升和指數爆炸的意義，初步體驗研究函數增長差異的方法．

四、成果交流，階段小結

（一）學生交流

讓學生交流小組探究的成果（表格、圖象、結論）

（二）師生互動

1.閱讀教材上例題解答中的數據表格與圖象（突出散點圖），引導學生關注增長量，感受增長差異． 2.通過教師多媒體動態演示，讓學生進一步體會增長差異．

在不同的函數模型下，雖然都有增長，但增長態勢各具特點．他們的增長不在同一個“檔次”上，當自變量變得很大時，指數型函數比一次函數增長的速度要快得多．

（三）歸納小結

1.通過教師的小結，增強學生對增長差異的認識．

常數函數（沒有增長），直線上升（勻速增長），指數爆炸（急劇增長）．

2.上述問題的解決，是通過考慮其中的數量關系，把它抽象概括成一個函數問題，用解析式、數據表格、圖象這三種函數的表達形式來研究的．

【設計意圖】分享學生成果，達到生生互動、師生互動；借助多媒體展示，幫助學生理解不同增長的函數模型的增長差異，并且初步體驗數學建模的基本思想，認識函數問題的研究方法．

五、深入探究，理性分析

（一）提出問題

例2．某公司為了實現1000萬元利潤的目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%．現有三個獎勵模型：y?0.25x y?log7x?1

y?1.002x．其中哪個模型能符合公司的要求？

（二）引導分析

問題5：你能立刻做出選擇嗎？選擇的依據是什么？

問題6：公司的要求到底意味著怎樣的數學關系？ 問題7：我們提供的三個增長型函數哪一個符合限制條件？

（三）解決問題

1.通過多媒體演示，發現增長差異； 2.結合限制條件，初步作出選擇；

3.通過計算，進一步確認，驗證所得結論；

4.體會對數增長模型的增長特征：當自變量變得很大時平緩增長； 5.揭示函數問題的研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）．

【設計意圖】讓學生在觀察和探究的過程中，學會理性分析，體會對數增長模型的特點．

【備注】對判斷模型二y?log7x?1是否滿足限制條件“log7x?1?0.25x”，考慮到學生現在知識儲備和接受水平，只能采用了直觀教學，通過構造新函數，觀察新函數的圖象來解決（因為該函數單調性的判定，必須運用高二數學中的導數知識與方法才能解決）．

六、拓展延伸，創新設計

這個獎勵方案實施以后，立刻調動了員工的積極性，企業發展蒸蒸日上，但隨著時間的推移，又出現了新的問題，員工缺乏創造高銷售額的積極性.問題8：我們的獎勵方案有什么弊端？ 問題9：你能否設計出更合理的獎勵模型？

【創新設計】為了實現1000萬元利潤的目標，在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨著銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加,要求如下：

10萬～ 50萬，獎金不超過2萬；50萬～ 200萬，獎金不超過4萬；200萬～ 1000萬，獎金不超過20萬．請選擇適當的函數模型，用圖象表達你的設計方案．（四人一組，合作完成）

【設計意圖】設計開放性問題對例2拓展延伸，既檢測了學生對幾類不同模型增長差異的掌握情況，又鼓勵學生學以致用，用以致優，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程．

七、歸納總結，提煉升華

問題10：通過本節課的學習，你有哪些收獲？請你從知識、方法、思想方面作一個小結．

1.知識：對函數的性質有了進一步的了解，我們體會到同是增長型函數，但其增長差異卻很大：常數函數（沒有增長）；一次函數（直線上升）；指數函數（爆炸增長）；對數函數（平緩增長）．

2.方法：函數有三種表示方法（解析法、列表法、圖象法）；函數問題的一般研究方法（觀察—歸納—猜想—證明）

3.思想：兩個例題都體現了數學建模的思想，即把實際問題數學化：面對實際問題，我們要讀懂問題，運用所學知識，將其轉化成數學模型，最終得到實際問題的解.【設計意圖】理解幾類不同增長的函數模型的增長差異，提煉數學思想方法，認識數學的應用價值．

八、布置作業，鞏固提高

1.課本98頁課后練習1，2；課本107頁習題3.2（A組）第1題；

2.收集一些社會生活中遞增的一次函數、指數函數、對數函數的實例，對它們的增長速度進行比較，了解函數模型的廣泛應用．

【設計意圖】進一步體驗函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，不同的變化規律需要用不同的函數模型來描述；培養學生對數學學科的深刻認識，體會數學的應用價值.

第五篇：第五屆全國高中數學青年教師觀摩與評比活動：《簡單隨機抽樣》教學設計說明(東北師大附中：丁則惠)

“簡單隨機抽樣“教學設計說明

東北師大附中：丁則惠

一、本課教學內容的本質、地位、作用分析

（一）教材所處的地位和前后聯系

本節課是人教版《高中數學》第三冊（選修Ⅱ）的第一章“概率與統計”中的“抽樣方法”的第一課時：簡單隨機抽樣．其主要內容是介紹簡單隨機抽樣的概念以及如何實施簡單隨機抽樣．數理統計學包括兩類問題，一類是如何從總體中抽取樣本，另一類是如何根據對樣本的整理、計算和分析，對總體的情況作出一種推斷．可見，抽樣方法是數理統計學中的重要內容．簡單隨機抽樣作為一種簡單的抽樣方法，又在其中處于一種非常重要的地位．因此它對于學習后面的其它較復雜的抽樣方法奠定了基礎，同時它強化對概率性質的理解，加深了對概率公式的運用．因此它起到了承上啟下的作用，在教材中占有重要地位．

（二）教學重點

①簡單隨機抽樣的概念，②常用實施方法：抽簽法和隨機數表法

（三）教學難點

對簡單隨機抽樣概念中“每次抽取時各個個體被抽到的概率相等”的理解.二、教學目標分析

1、知識目標

（1）理解并掌握簡單隨機抽樣的概念、特點和步驟.（2）掌握簡單隨機抽樣的兩種方法：抽簽法和隨機數表法.2、能力目標

（1）會用抽簽法和隨機數表法從總體中抽取樣本，并能運用這兩種方法和思想解決有關實際問題.（2）靈活運用簡單隨機抽樣的方法解釋日常生活中的常見非數學 問題的現象，加強觀察問題、分析問題和解決問題的能力培養.3、情感、態度目標

（1）培養學生收集信息和處理信息、加工信息的實際能力，分析問題、解決問題的能力.（2）培養學生熱愛生活、學會生活的意識，強化他們學生活的知識、學生存的技能，提高學生的動手能力.三、教學問題診斷

本節課是學生在義教階段學習了數據的收集、抽樣、總體、個體、樣本等統計概念以后，進一步學習統計知識的．這是義教階段統計知識的發展，因此教學過程不應是一種簡單的重復，也不應停留在對普查與抽樣優劣的比較和方法的選擇，而應該發展到對抽樣進一步思考上，主要應集中的以下四個問題上：（1）為什么要進行隨機抽樣；（2）什么是隨機抽樣（數理統計上的隨機抽樣概念）；（3）簡單隨機抽樣應滿足什么樣的條件；（4）如何進行簡單隨機抽樣．教學的重點是使學生關注數據收集的方法應該由目的與要求所決定的，任何數據的收集都有一定的目的，數據的抽取是隨機的．要更加理性地看待數據收集的方法，要從隨機現象本身的規律性來看待數據收集的方法．特別是要突出簡單隨機樣本的兩個特征．要改變學生僅從形式上來理解簡單隨機抽樣的問題．在教學中學生可能會產生隨機抽樣中簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣的雛形，教師不必進一步明確界定概念，可待后續的學習中進一步完善．

如何發現隨機抽樣的公平性，也就是“如何去觀察，才能發現規律”。學生可以很順利地得到幾個事實，但是如何去觀察，這是學生學習時遇到的第一個教學問題。也是本節課的教學難點之一。教學時，應通過實例，幫助學生總結出觀察一定要有目標，并用具體問題讓學生練習進行體會。

1、創設情境，揭示課題

用多媒體展示情景：新聞報道全國高校畢業生就業率問題。舉例說明一些實際問題，提出統計的概念。并提出思考問題: 如何收集數據？ 請同學們舉例說明.，請學生自由發言，對學生的發言進行補充，辨析普查與抽樣調查。提出抽樣調查的必要性。從實際問題入手，提出抽樣調查的科學性。教師對學生的發言進行補充，同時向學生介紹我們所要研究的簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣.今天我們就來學習簡單隨機抽樣.（板書課題）

2、學法指導，研探新知 思考1：

從5件產品中任意抽取一件，則每一件產品被抽到的概率是多少？

一般地，從N個個體中任意抽取一個，則每個個體被抽到的概率是多少？ 思考2：

從6件產品中隨機不放回抽取一個容量為3的樣本，在這個抽樣中，每一件產品被抽到的概率是多少？ 一般地，從N個個體中隨機抽取n個個體作為樣本，則每個個體被抽到的概率是多少？ 規律總結：

一般的，如果用簡單隨機抽樣，個體數為N的總體中抽取一個容量為n的樣本，那么每個個體被抽到的概率都相等。.3 實際運用，鞏固升華

簡單隨機抽樣體現了抽樣的客觀性和公平性，如何實施簡單隨機抽樣呢？ ①抽簽法

提出問題學校要進行慶典，每個班到主會場觀看節目有6個名額，高二（24）班共有57人，怎樣分這6個名額？ 要求:每個學生獲得名額的概率相等小組討論設計操作步驟。

.學生很容易聯想到抽簽法這時我又拋出一個問題：那如何實施抽簽法？學生能根據生活中的經驗來實施抽簽法引導學生從解決這個問題的方法得出抽簽法的一般步驟：

先將總體中的所有個體（共有N個）編號（號碼可從1到N）并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上（號簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號簽放在同一個箱子里，進行均勻攪拌，抽簽時每次從中抽一個號簽，連續抽取n次，就得到一個容量為n的樣本.②隨機數表法 請你設計分配方案：

5·12特大地震后，都江堰某地區198戶地震損毀戶需要搬進安居房，規模創造了全國之最．近期首批20套安居房準備發放.要求：每戶首批獲得安居房的概率相同，從而提出隨機數表法的概念

隨機數表法：為了簡化制簽過程，我們借助計算機來取代人工制簽，由計算機制作一個隨機數表，我們只需要按照一定的規則，到隨機數表中選取在編號范圍內的數碼就可以，這種抽樣方法就是隨機數表法。步驟：

（1）將總體中的所有個體編號（每個號碼位數一致）（2）在隨機數表中任取一個數作為開始。

（3）從選定的數開始按一定的方向（或規則）讀下去，得到的號碼若不在編號中，則跳過；若在編號中則取出；如果得到的號碼前面已經取出，也跳過;如此繼續下去，直到取滿為止。（4）根據選定的號碼抽取樣本。

4、動手操作，合作交流

學生親自動手進行抽簽，體會抽簽的公平性。

5、承上啟下，留下懸念

回到開篇提到的實際問題，引出抽樣還有其他方法。

四、教法分析和學法指導

（一）教法分析

1、討論法與自學法相結合

改變傳統的把學生看作是接受知識的“容器”的現象．讓學生參與到教學活動的全過程中來，體現學生參與的主體地位，使學生手、腦、口并用，主動地獲取知識，允許學生爭論，在討論中加深學生對知識的理解與掌握．如在解決“整個抽樣過程中每個個體被抽到的概率是相等的”時組織學生討論，在討論的過程中使學生對這一難點有一個清楚的認識；又如在學習隨機數表法時組織學生自學，既提高了學生獨立學習、主動獲取知識的能力又能滿足學生在自學的過程中獲得的成就感從而培養了自信心．

2、指導法

結合一些具體事件，如對用抽簽法解決問題等事件進行分析，從而使學生對簡單隨機抽樣過程有一個清楚的認識，加深對簡單隨機抽樣方法的理解．

3、利用多媒體輔助教學

（二）學法指導

（1）通過豐富的例子引入數學知識，引導學生應用數學知識解決實際問題，教會學生從生活中發現數學，學習數學，如學生從生活的實例發現問題得出簡單隨機抽樣方法就是從生活 中發現數學，用數學解決實際問題.（2）教會學生獨立思考、自主探索、動手實踐、合作交流的學習數學的方式，體現在整個教學過程中，如“研探新知”、“實際運用”等.五、預期效果

學生能夠用簡單隨機抽樣方法，解決部分實際問題。