第一篇：三角形重心

重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。

證明：根據燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

重心的幾條性質：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為

((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（z1+z2+z3）/35、三角形內到三邊距離之積最大的點。

指三角形三條邊的垂直平分線的相交點。用這個點做圓心可以畫三角形的外接圓。指三角形外接圓的圓心，一般叫三角形的外心。

三角形的外心是三邊中垂線的交點,且這點到三角形三頂點的距離相等。

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。

外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結合垂直平分線定義，外心定理其實極好證。計算外心的重心坐標是一件麻煩的事。先計算下列臨時變量：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐標：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。

第二篇：向量與三角形的重心

向量與三角形的重心

????????????例1 已知A，B，C是不共線的三點，G是△ABC內一點，若GA?GB?GC?0．求

證：G是△ABC的重心．

????????????????????????證明：如圖1所示，因為GA?GB?GC?0，所以GA??(GB?GC)．

????????????????????以GB，GC為鄰邊作平行四邊形BGCD，則有GD?GB?GC，????????所以GD??GA．

????????又因為在平行四邊形BGCD中，BC交GD于點E，所以BE?EC，????????????????GE?ED．所以AE是△ABC的邊BC的中線，且GA?2GE．

故G是△ABC的重心．

點評：①解此題要聯系重心的性質和向量加法的意義；②把平面幾何知識和向量知識結合起來解決問題是解此類問題的常用方法．

變式引申：已知D，E，F分別為△ABC的邊BC，AC，AB的中點．求證： ????????????AD?BE?CF?0．

證明：如圖2的所示，????????????????????????????????????????????AD?AC?CD????????????????2AD?AC?AB?CD?BD，即2AD?AC?AB． AD?AB?BD??

????????????????????????同理2BE?BA?BC，2CF?CA?CB．

?????????????2A(D?BE?C)F?A?C

????????????0?C?F?AD?BE． ????????????????．?AB?BA?B0C? CA?CB????????

點評：該例考查了三角形法則和向量的加法．

例2 如圖3所示，△ABC的重心為G，O為坐標原點，????????????????OA?a，OB?b，OC?c，試用a，b，c表示OG．

解：設AG交BC于點M，則M是BC的中點，????????????b?aAB?AC?BC?c?b．則，c?a，?????1??????1??1?AM?ABb?C?a?(c?b)?(c?b?2a)． 22

2??????21????AGA(c?b?2a．)3

3????????????11故OG?OA?AG?a?(c?b?2a)?(a?b?c)． 33

點評：重心問題是三角形的一個重要知識點，充分利用重心性質及向量加、減運算的幾何意義是解決此類題的關鍵．

變式引申：如圖4，平行四邊形ABCD的中心為O，????1????????????????P為該平面上任意一點，則PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

?????????????????????????????????????PO?PA?AO，PO?PB?BO，PO?PC?CO，證法1：

????????????PO?PD?DO，?????????????????P?BP?C PD?4PO?PA，???? ????1????????????????即PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

????1????????????1????????證法2：?PO?(PA?PC)，PO?(PB?PD)，22

????1?????????????????PO?(PA?PB?PC?PD)． 4

點評：（1）證法1運用了向量加法的三角形法則，證法2運用了向量加法的平行四邊形法則．

????????????????（2）若P與O重合，則上式變為OA?OB?OC?OD?0．

第三篇：三角形的重心定理及其證明

三角形的重心定理及其證明

積石中學王有華

同學們在學習幾何時，常常用到三角形的重心定理.但很多同學不會證明這個定理？下面給出三種證明方法，你閱讀后想一想，哪一種證明方法最好.已知：（如圖）設?ABC中，L、M、N分

別是BC、CA、AB的中點.求證：AL、BM、CN相交于一點G，且

AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.BC證明1（平面幾何法）：（如圖1）假設中

線AL與BM交于G，而且假設C與G的連線與AB邊交于N，首先來證明N是AB的中點.現在，延長GL，并在延長線上取點D，使GL=LD。因為四邊形BDCG的對角線互相平分，所以BDCG是平行四邊形.從而，BG∥DC，即GM∥DC.但M是AC的中點，因此，G是AD的中點.另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但G是AD的中點，因此N是AB的中點.另外，G是AD的中點，因此AG﹕GL=2﹕1.同理可證：BG﹕GM=2﹕1，CG﹕GN=2﹕1.這個點G被叫做?ABC的重心.證明2（向量法）：（如圖2）在?ABC中，設AB邊上的中

1線為CN，AC邊上的中線為BM，其交點為G，邊BC的中點為L，連接AG和GL，因為B、G、M三點共線，且M是AC的中點，?????????

所以向量BG∥BM，所以，存在實數?

1C

??????????????????????????BG??1BM，即 AG?AB??1(AM?AB)

?????????????

所以，AG??1AM?(1??1)AB，使得

????????

=?1AC?(1??1)AB

同理，因為C、G、N三點共線，且N是AB的中點.所

????????????

以存在實數?2，使得 AG??2AN?(1??2)AC

????????1= ?2AB?(1??2)AC

2????????????????1所以?1AC?(1??1)AB = ?2AB?(1??2)AC 22

?????????

又因為AB、AC 不共線，所以 ?

121

2?1?1??2

?

?2?1??

1???????????????

因為L是BC的中點，所以GL?GA?AC?CL

?2????1?????????1????????1????1???1???

=?(AB?AC)?AC?CB =?AB?AC?(AB?AC)

332332

????1????1????

所以 ?1??2?，所以 AG?AB?AC.33

3?????????1????1???

=AB?AC，即AG?2GL66，所以A、G、L三點共線.故AL、BM、CN相交于一點G，且AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕

1證明3（向量法）（如圖3）在?ABC中，BC的中點L

????1????????

對應于OL?(OB?OC)，中線AL上的任意一點G，有

????????????

OG??OA?(1??)OL

????1??????1????????OA?2OB?

2OC.同理，AB的中線

CN上的任意點

G′，?????????OG???OC?1??????12A???????

O2

OB，求中線AL和CN的交點，就是要找一個?和一個?，使

?????????OG?OG?.因此，我們令??

1??

1??1??1??2，?，??

.解之

得?1

????????????3.所以OG?OG??1????1????1????

3OA?3OB?

3OC.由對稱性可知，第三條中線也經過點G.故AL、CN、BM相交于一點G，且易證AG﹕GL= BG﹕GM= CG﹕GN=2﹕1.

第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式

三角形外心、重心、垂心的向量形式

已知△ABC，P為平面上的點，則

(1)P為外心

(2)P為重心

(3)P為垂心

證明(1)如P為△ABC的外心(圖1)，則 PA=PB=PC，(2)如P為△ABC的重心，如圖2，延長AP至D，使PD=PA，設AD與BC相交于E點．

由重心性質

∴ 四邊形PBDC為平行四邊形．

BC和PD之中點．

心．

(3)如圖3，P為△ABC的垂心

同理PA⊥AC，故P為△ABC之垂心．

由上不難得出這三個結論之間的相互關系：

∴ △ABC為正三角形．

∴ △ABC為正三角形，且O為其中心．

第五篇：三角形外心內心重心垂心與向量性質

三 角 形 的“四 心”

所謂三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及內心。當三角形是正三角形時，四心重合為一點，統稱為三角形的中心。一、三角形的外心

定

義：三角形三條中垂線的交點叫外心，即外接圓圓心。?ABC的重心一般用字母O表示。性

質：

1.外心到三頂點等距，即OA?OB?OC。

2.外心與三角形邊的中點的連線垂直于三角形的這一邊，即OD?BC,OE?AC,OF?AB.3.向量性質：若點O為?ABC所在的平面內一點，滿足(OA?OB)?BA?(OB?OC)?CB?(OC?OA)?AC，則點O為?ABC的外心。二、三角形的內心

定

義：三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內心，即內切圓圓心。?ABC的內心一般用字母I表示，它具有如下性質： 性

質：

1.內心到三角形三邊等距，且頂點與內心的連線平分頂角。2.三角形的面積＝1?三角形的周長?內切圓的半徑． 23.向量性質：設???0,???，則向量AP??(點P的軌跡過?ABC的內心。

AB|AB||AC|?AC)，則動 三、三角形的垂心

定

義：三角形三條高的交點叫重心。?ABC的重心一般用字母H表示。性

質：

1.頂點與垂心連線必垂直對邊，即AH?BC,BH?AC,CH?AB。2.向量性質：

結論1：若點O為?ABC所在的平面內一點，滿足OA?OB?OB?OC?OC?OA，則點O為?ABC的垂心。

結論2：若點O為△ABC所在的平面內一點，滿足OA?BC?OB?CA?OC?AB，則點O為?ABC的垂心。

22222

2四、三角形的“重心”：

定

義：三角形三條中線的交點叫重心。?ABC的重心一般用字母G表示。

性

質：

1.頂點與重心G的連線必平分對邊。

2.重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的2倍。

即GA?2GD,GB?2GE,GC?2GF 3.重心的坐標是三頂點坐標的平均值． 即xG?xA?xB?xCy?yB?yC,yG?A.334.向量性質：（1）GA?GB?GC?0；（2）PG?

1(PA?PB?PC)。3 2