第一篇：重心

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。三角形ABC，E、F是AC，AB的中點。EB、FC交于O。證明：過F作FH平行BE。∵AF=BF且FH//BE ∴AH=HE=1/2AE（中位線定理）

又∵ AE=CE ∴HE=1/2CE ∴FO=1/2CO（⊿CEO∽⊿CHF）

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。證明方法：

在△ABC內(nèi)，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分別為a、b、c邊上的中線根據(jù)重心性質(zhì)知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1過O，A分別作a邊上高H1，H可知OH1=1/3AH 則，S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC)；同理可證S(△AOC)=1/3S(△ABC)，S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以，S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)

3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。(等邊三角形）證明方法：

設(shè)三角形三個頂點為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一點為（x，y）則該點到三頂點距離平方和為：(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2 =3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2 =3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 顯然當(dāng)x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐標(biāo)）時

上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2 最終得出結(jié)論。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；

空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/3

5、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），則M點為△ABC的重心，反之也成立。

已知A,B,C是不共線的三點，O是△ABC內(nèi)的一點，若向量OA+向量OB+向量OC=O.求證：O是△ABC的重心

設(shè)BC中點為D（后面說的都是向量），所以O(shè)B＋OC＝2OD，因為OA＋OB＋OC＝0，所以O(shè)A＋2OD＝0，所以O(shè)A＝－2OD，即O,A,D三點共線，所以APD所在直線為BC邊中線。同理可證另外兩條。綜上，所以O(shè)為三角形重心。（PS，重心是三條中線交點）

7、設(shè)△ABC重心為G點，所在平面有一點O，則向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）

8、相同高三角形面積比為底的比，相同底三角形面積比為高的比。證明方法： ∵D為BC中點，∴BD=CD, 又∵h△ABD=h△ACD，h△BOD=h△COD，∴S△ABD=S△ACD，S△BOD=S△COD，即S△AOF+S△BOF+S△BOD=S△AOE+S△COE+S△COD,S△BOD=S△COD, ∴S△AOF+S△BOF=S△AOE+S△COE。同理，∵E為AC中點，∴S△AOF+S△BOF=S△BOD+S△COD。∴S△AOE+S△COE=S△BOD+S△COD。

又∵S△BOF/S△BOD+S△COD=OF/OC,S△AOF/S△AOE+S△COE, 即S△BOF=S△AOF。∴BF=AF，∴CF為AB邊上的中線，即三角形的三條中線相交于一點。

第二篇：三角形重心

重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。

證明：根據(jù)燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

重心的幾條性質(zhì)：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為

((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：（z1+z2+z3）/35、三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點。

指三角形三條邊的垂直平分線的相交點。用這個點做圓心可以畫三角形的外接圓。指三角形外接圓的圓心，一般叫三角形的外心。

三角形的外心是三邊中垂線的交點,且這點到三角形三頂點的距離相等。

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。

外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結(jié)合垂直平分線定義，外心定理其實極好證。計算外心的重心坐標(biāo)是一件麻煩的事。先計算下列臨時變量：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐標(biāo)：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。

第三篇：向量證明重心

向量證明重心三角形ABC中，重心為O，AD是BC邊上的中線，用向量法證明AO=2OD(1).AB=12b，AC=12c。AD是中線則AB+AC=2AD即12b+12c=2AD，AD=6b+6c;BD=6c-6b。OD=xAD=6xb+6xx。(2).E是AC中點。作DF//BE則EF=EC/2=AC/4=3c。平行線分線段成比OD/AD=EF/AF即(6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).OD=2b+2c，AO=AD-OD=4b+4c=2(2b+2c)=2OD。2 設(shè)BC中點為M∵PA+PB+PC=0∴PA+2PM=0∴PA=2MP∴P為三角形ABC的重心。上來步步可逆、∴P是三角形ABC重心的充要條件是PA+PB+PC=0 3 如何用向量證明三角形的重心將中線分為2：1 設(shè)三角形ABC的三條中線分別為AD、BE、CF，求證AD、BE、CF交于一點O，且AO：OD=BO：OE=CO：OF=2：1 證明：用歸一法

不妨設(shè)AD與BE交于點O，向量BA=a,BC=b,則CA=BA-BC=a-b 因為BE是中線，所以BE=(a+b)/2,向量BO與向量BE共線，故設(shè)BO=xBE=(x/2)(a+b)同理設(shè)AO=yAD=(y/2)(AB+AC)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b 在三角形ABO中，AO=BO-BA 所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b 因為向量a和b線性無關(guān)，所以-y=x/2-1 y/2=x/2 解得x=y=2/3 所以A0：AD=BO：BE=2：3 故AO：OD=BO：OE=2:1 設(shè)AD與CF交于O',同理有AO’：O'D=CO':O'F=2:1 所以有AO:OD=AO':O'D=2:1,注意到O和O’都在AD上，因此O=O’ 因此有AO：OD=BO：OE=CO:OF=2:1 證畢!4 設(shè)三角形ABC的頂點A,B,C的坐標(biāo)分別為(X1,Y1),(X2,Y2)，(X3,Y3)證明：三角形ABC的重心(即三條中線的交點)M的坐標(biāo)(X,Y)滿足：X=X1+X2+X3/3 Y=Y1+Y2+Y3/3 設(shè):AB的中點為D.∴Dx=(x1+x2)/2，又M為三角形的重心,∴CD=3MD,∴x3-(x1+x2)/2=3[x-(x1+x2)/2]===>x=(x1+x2+x3)/3同理: y=(y1+y2+y3)/3 5 如圖。

第四篇：芭蕾舞重心教學(xué)

人體的重心是人體質(zhì)量（重量）的中心。它的位置取決于身體各環(huán)節(jié)質(zhì)量（重量）分布情況。當(dāng)人雙腳直立時，人體的重心點在頭正中向下垂直，指向地球中心，身體的重量均分于雙腳支撐面上；當(dāng)人體姿式發(fā)生變化時，重心的位置也發(fā)生變化。如：身體曲膝并向前做傾身，人體的重心位置是在與地心形成垂直線的腰部，其它部位成了平衡身體的各個環(huán)節(jié)重力，身體的重量仍均分于雙腳支撐面上。因此，人體的重心位置是隨著身體各環(huán)節(jié)位置的變化而改變的。在日常生活中，人類已經(jīng)形成了自然的生理平衡意識，地心的引力已不會使健康正常的人東倒西歪。但作為高度專業(yè)性的芭蕾舞，動作的重心概念就不只是自然平衡意識了。首先，人的雙腳要站在兩腳尖各向外分開90度的外開上，挺胸、收腹，以使脊柱盡力得到拉直和伸展，然后整個重力柱（從頭到腳）應(yīng)稍稍前移，“這樣就使體重向前落到雙腳的三個平衡點上昆（即落到拇趾關(guān)節(jié)、小趾關(guān)節(jié)和腳跟上）”（《古典芭蕾舞蹈教學(xué)》瓊.勞遜著，堯登富譯，第４頁）這樣的重心使得芭蕾舞動作中的releve更為方便，也使得動作在起始和結(jié)束時，身體呈現(xiàn)為一種積極的狀態(tài)。這是芭蕾舞中重心感覺的最基本形態(tài)。在此前題下，動作變化中的重心就更加非同尋常。芭蕾舞演員若對此掌握不好的話，就不僅僅是東倒西歪的事了。

正確把握重心使身體變“輕盈”

芭蕾舞是比其它舞蹈種類更力求擺脫地心引力的一門藝術(shù)。在十九世紀(jì)初，世界上就已經(jīng)出現(xiàn)了腳尖舞蹈，演員們以更小的支撐點來承擔(dān)自己身體的重量。那時的意大利女演員瑪麗.?塔里奧妮，正是以腳尖上的舞蹈來表現(xiàn)自己身體的輕巧和敏捷，而成為著名的舞蹈家。這是芭蕾舞史上擺脫地心引力行動的重大飛躍。同時，對演員的重心感覺的掌握提出了更高的要求。在古典芭蕾舞劇《吉賽爾》二幕中，已成為鬼魂的吉賽爾，有一段悲哀的adagio，這是由一系列極難控制的動作組成。不但要求演員掌握極其緩慢的平衡來伸展舞姿，還必須在緩慢的舞姿平衡中間，做一個急促的entrechat quatre，以表現(xiàn)鬼魂身軀的輕虛和飄浮不定。這正是檢驗演員重心和平衡能力的高尺度。所有跳好這段舞的演員都具有良好的把握身體重心平衡的能力，使昆觀眾真真實實地享受《吉賽爾》舞劇中，鬼魂們“輕盈”優(yōu)美的芭蕾舞段。完美的平衡不是輕而易舉地實現(xiàn)的。不僅僅是要通過長期的訓(xùn)練，而且如果沒有正確的重心概念，演員就不可能在腳尖或半腳尖上保持足夠長時間的舞姿，以便給觀眾記憶里留下印象；同時她（他）也不可能保證完全與音樂合拍，因為演員重心失去平衡，舞姿就會先于音樂落下來。這樣也就不可能完美地去表現(xiàn)芭蕾舞藝術(shù)。掌握正確的重心，才能使身體平衡，才能使力量均勻地分布于支撐腳，才能排除不必要的身體緊張，減少身體承重部位的壓迫和損傷。“腳承受的重量越輕，那么腳在芭蕾舞這種高度專業(yè)性的運用中就越不容易受到壓迫和損傷。”、“身體的平衡能力越好，重量也就越容易準(zhǔn)確地落在兩腳最有力的部位。”（《舞蹈解剖學(xué)》[美國]拉烏爾.格拉伯特著，朱立人譯，第68頁）不正確的重心，導(dǎo)致不合理的支撐點，也容易形成歪腰、伸脖子等毛病，出現(xiàn)不規(guī)范舞姿。身體的重量壓迫了人體力量的最弱部位，使得這個部位不堪重負(fù)，日久天長便成了終生的職業(yè)病。這樣的結(jié)果能讓從事多年艱苦訓(xùn)練的芭蕾舞演員，在她（他）風(fēng)華正茂時，含淚對芭蕾舞說一聲“拜拜”啦！一個芭蕾舞者如果懂得正確運用身體的重心，他便可以更多地擺脫重力之苦，使得訓(xùn)練中的動作緊張和疲勞降到最低限度，從而使自己的訓(xùn)練更加有效，技術(shù)能力提高更快。而在舞臺上呈現(xiàn)于觀眾的形象，便是“看她（他）的身體多輕盈！”

把握正確重心的三要素

（一）“外開”與重心

“外開”不僅僅是芭蕾舞的特殊的審美要求，它還為重心提供了一個更為有利的支撐面。“一個人站在一條腿上時，只要把腳轉(zhuǎn)開一點，就會有一個三個點與地面接觸的面積。如果腳站正步，腳趾向前，與地面接觸的面積就會小。”（《芭蕾排練室內(nèi)幕》安.烏廉斯著，黃伯虹譯，第19頁）一個確立自己要以芭蕾為專業(yè)的孩子，進入課堂的第一個動作，就是把身體放在轉(zhuǎn)開的腳位上，并開始以各種方式來進行“外開”訓(xùn)練，以塑造一個非常人所有的、符合芭蕾舞要求的體態(tài)和非常人所有的重心組合方式。這是芭蕾舞者整個技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)。通過對外開的訓(xùn)練，我們獲得有利的支撐面積，獲得髖臼關(guān)節(jié)更為自由的活動范圍；從而使重心更加穩(wěn)固，也使調(diào)節(jié)重心的各環(huán)節(jié)更為自由。“當(dāng)用腳尖做動作時，如果大腿學(xué)會了在髖臼關(guān)節(jié)中轉(zhuǎn)開，大腿就有控制能力，幫助掌握平衡，并使旋轉(zhuǎn)動作增加穩(wěn)定性。”（《芭蕾排練室內(nèi)幕》安.烏廉斯著，?黃伯虹譯，第19頁）外開的方式，“發(fā)生于髖關(guān)節(jié)及其周圍的韌帶和肌腱。外開的幅度取決于舞蹈演員個人的骨盆結(jié)構(gòu)。外開的能力還取決于參加腿部向外旋轉(zhuǎn)的有關(guān)肌肉的狀況。外開始自髖關(guān)節(jié)，通過大腿的骨與肌肉向下傳遞到腳上。”（《舞蹈解剖學(xué)》[美國]拉烏爾.?格拉伯特著，朱立人譯，第21頁）通過這樣一種方式，我們才能夠掌握一個正確的“外開”，同時也獲得了一個不同于平常人的重心概念。因此，我們可以認(rèn)為，“外開”對重心的作用是非常大的。

（二）“肌肉力”與重心

“為了獲得人體總重心的加速度運動，必須有外力施加于人體。但是外力的引起、擴大和減小，又取決于內(nèi)力（肌肉），所以肌肉力是一切動力中的主導(dǎo)力，即肌肉力是人體運動的動力來源。”（《運動生物力學(xué)》人民體育出版社第127頁）肌肉力量在很多運動項目中，是取得優(yōu)異成績的基礎(chǔ)，它是人體一切活動的內(nèi)動力；適宜的肌肉力可以更好地控制重心，以抵抗地心引力和更快地操縱身體。肌肉活動的基本能力還表現(xiàn)在其它方面，如肌肉收縮力量的大小、完成單個動作頻率的快慢、體位移動一定距離的速度、保持肌肉快速工作能力的長短，以及長時間持續(xù)工作的能力等。在芭蕾舞中，腿部肌肉幫助我們雙腿在髖臼關(guān)節(jié)處向外“轉(zhuǎn)開”，并伸直膝蓋、繃直腳背；背部肌肉使arabesque 舞姿挺拔、修長；跳躍中由于肌肉力牽動，使腿推地，從而把身體推向空中并形成各種舞姿；在雙人舞中肌肉力與外力的共同配合，使托舉動作變得“輕而易舉”......對重心而言，肌肉力的作用是在動作過程中，調(diào)節(jié)身體各個不同部分的環(huán)節(jié)重力，維持身體重心、固定舞姿的平衡；在位移動作中，牽引動作腿推地，使重心受力向遠處或高處運動；在旋轉(zhuǎn)中，肌肉力使肢體迅速收攏，集中重心，并排除旋轉(zhuǎn)慣性所產(chǎn)生的離心力，控制著旋轉(zhuǎn)的質(zhì)量；在跳躍中決定身體重心在空中停留的時間和位置，等等。肌肉力的訓(xùn)練是一個長期和遁序漸近的過程。從最初的正確姿式和battement tendu 練習(xí)開始，要進行一系列動作的扶把、離把練習(xí)，來使肌肉把握重心的力量逐漸加強。只有通過若干年的訓(xùn)練，當(dāng)兩條腿的力量和脊柱肌肉（背肌）的力量已經(jīng)變?yōu)槟軌蜻m應(yīng)于承受動力腿往前和往后所給予的重量時，才有可能達到完美的重心平衡。通過對身體各部位肌肉的訓(xùn)練，使得肌肉力在各種劇烈、緩慢、跳躍、旋轉(zhuǎn)等運動中，實現(xiàn)調(diào)節(jié)身體各部位重力的功能，達到控制重心的目的。

（三）“協(xié)調(diào)”與重心

動作的協(xié)調(diào)性存在于人的大腦皮質(zhì)。“以急行跳高為例......進行這一復(fù)雜的運動動作時，運動員要借視覺來分析橫桿的距離和高度；借前庭感覺來分析身體在空間的位置及其變化；借本體感覺來分析肌肉和關(guān)節(jié)活動狀況；借皮膚感覺來分析地面的硬度等等。”（《運動生物力學(xué)》人民體育出版社第115頁）以上的引言中，運動員完成動作的這一系列“借......”，都是大腦在動作間的一瞬反應(yīng)。在舞蹈動作中也是有這樣瞬間的大腦分析活動。比如，在旋轉(zhuǎn)昆中，演員要借助多大的推地力、手和腳應(yīng)遁怎樣的路線、視線應(yīng)朝著哪一方，才能集力于重心而達到旋轉(zhuǎn)起來的目的？在女演員用腳尖做pique arabesque時，要以多大的邁步距離、怎樣的抬腿速度、多大的后背力量，才能集力于重心點達到最合適的平衡昆角度？在大的跳躍中，以多大的幅度做 chasse、多大的腿部力量推地、并以怎樣的手和后背的配合，才能把重心漂亮地拋向空中，然后還要穩(wěn)健地落在舞姿上？以及雙人舞托舉動作中，女伴與男伴合力的大小、時間的合理配合等等，都需要大腦進行一系昆列的分析和判斷才能完成。也就是說，動作的力量和時間都協(xié)調(diào)一致時，才能使重心準(zhǔn)確到位，使動作輕松流暢。動作“起法兒”是否協(xié)調(diào)，也是重心是否順利到位的關(guān)鍵。“沒有預(yù)備性動作就不能有下一個功能性動作，而功能性動作的效果往往又取決于預(yù)備性動作的完成情況。”（《運動生物力學(xué)》人民體育出版社第127頁）不協(xié)調(diào)的“起法兒”，會給旋轉(zhuǎn)造成阻力；會使舞姿失去平衡；會讓重心受力不均而無法騰空；會使雙人舞動作的力量和重心不能合二為一......。任何動作都有它特定的節(jié)奏，掌握好動作的特定節(jié)奏，是動作協(xié)條至關(guān)重要的一部分。尤其是芭蕾舞藝術(shù)，從一開始的訓(xùn)練中，就配合著音樂伴奏。在課堂里，讓學(xué)生在準(zhǔn)確的音樂節(jié)奏里完成動作，是最基礎(chǔ)的協(xié)調(diào)訓(xùn)練。此外，我認(rèn)為，音樂感的培養(yǎng)是協(xié)調(diào)訓(xùn)練的一種極好方式。讓學(xué)生欣賞音樂、學(xué)習(xí)樂理、彈鋼琴，都是對大腦協(xié)調(diào)素質(zhì)的訓(xùn)練。“運動員所以有高度協(xié)調(diào)性，是由于經(jīng)過訓(xùn)練，本體感覺皮質(zhì)部位的興奮與抑制過程在一定空間、一定時間內(nèi)能嚴(yán)格有節(jié)奏轉(zhuǎn)換的結(jié)果。”（《運動生理學(xué)》體育系通用教材，第37頁）一些難度較大的技術(shù)性動作，有必要進行一些專門性的訓(xùn)練，使動作的協(xié)調(diào)性成為一種條件反射，才能使技術(shù)性動作完成得更加成功和完美。尤其是在小的pirouette和grand pirouette中，必須依靠協(xié)調(diào)來集中重心，才能夠達到旋轉(zhuǎn)起來的目的。因此，在動作訓(xùn)練中，建立起成套的條件反射，是動作協(xié)調(diào)的基礎(chǔ)；動作的協(xié)調(diào)也是對重心把握的重要因素。

重心三要素的綜合運用

我們以一個受過芭蕾舞專業(yè)訓(xùn)練的女演員動作為例。她在做arabesque grand pirouette en dedan時，以2／4音樂的2小節(jié)做好大四位準(zhǔn)備，后面的腿伸直，重心放在前腿上；ta1?─在重拍之前繼續(xù)加深plie，以獲得支撐腿對地面更大的反作用力；在重拍1上，借助眼睛和大腦皮層的瞬間反應(yīng)，?運用肌肉力和推地的反作用力，使身體各部協(xié)調(diào)行動，迅速形成在特定的舞姿重心上；主力腿與此同時在腳尖與地面的反作用力支撐上，向外盡力轉(zhuǎn)開以穩(wěn)固重心，并以外開形式給予旋轉(zhuǎn)增加內(nèi)動力，達到旋轉(zhuǎn)起來的目的。在結(jié)束動作中，后背肌肉的運用和主力腿plie的轉(zhuǎn)開，使舞姿牢牢地穩(wěn)定在重心上，整個pirouette?動作完整而規(guī)范。這是一個典型的重心與三要素合力而成的動作。在這一點上，學(xué)生很容易使用單方面力量，比如手臂用勁地甩；過量地向上踢腿；后背后仰；主力腿不轉(zhuǎn)開，等等。使動作無法完成。在動作訓(xùn)練中，沒有正確的重心，會造成肌肉無益的疲勞。在把桿訓(xùn)練中，靠拉著把桿才能做動作的現(xiàn)象很常見，這使得所有把桿動作呈現(xiàn)一種假象。一旦放開把桿，身體便失去平衡，這對于在中間完成動作是非常不利的。而且還會造成局部肌肉束的粗壯，有礙芭蕾舞對肌肉線條修長的審美要求。正確的重心，使用小量的肌肉力就能控制身體的平衡，保持重心的穩(wěn)定，從而使肌肉束不但有力，而且向細長型發(fā)展。外開的能力決定著重心平衡的能力，也是保持肌肉線條優(yōu)美流暢的一個方面。外開在動作的開始和結(jié)束時，使重心更有一種安全感。尤其是在pirouette 和grand jete及其它大的跳躍動作結(jié)束時，除了后背肌肉的控制能力外，外開起了“剎車”的作用，使旋轉(zhuǎn)著的舞姿平穩(wěn)靜止和跳躍安全降落；因此，外開具有一種穩(wěn)固重心的作用。動作的不協(xié)調(diào)，會使綜上所述的一切化為烏有。不僅常常使動作失誤，還會造成一種神經(jīng)緊張，人為地使關(guān)節(jié)和肌肉僵直，成為完成動作的一大障礙。“外開”給重心提供更穩(wěn)定的支撐面；肌肉提供內(nèi)動力，對重心作固定、位移、拋舉；協(xié)調(diào)是重心的機制，以大腦的活動來判斷重心所需的力量和位置。協(xié)調(diào)感覺還可以說是重心的合成器，它集各個因素于完成動作的一剎那。芭蕾舞中任何動作，都離不開重心，而把握重心的三要素是掌握好重心的必要條件。這三者是相互依托、相輔相成，缺一不可的關(guān)系。要達到舞姿的完美、旋轉(zhuǎn)的輝煌、跳躍的輕盈和雙人舞的流暢，以重心為主導(dǎo)、配合“協(xié)調(diào)”、運用“肌肉力”和“外開”，才能訓(xùn)練出具芭蕾舞規(guī)范的動作，才能有靈活、輕便的身體來從事芭蕾舞藝術(shù)，才能使觀眾享受到芭蕾舞“輕盈”的魅力。

第五篇：感想 重心下移

做為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，每天我們都辛勤地耕種在自己的一畝三分地上，你曾經(jīng)為自己的視野狹小苦惱過嗎？聽完精彩報告后激起的思維火花卻被日常的瑣碎悄然泯滅，你遺憾過嗎？遇上了教學(xué)問題卻苦于如何解決，你焦慮過嗎？在新課程改革的一片沸揚中，對如何把握教育的本真，你疑惑過嗎？

讓我們一起來讀一讀這本《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)新視野》吧！仔細閱讀本書能給我們開啟一扇新視野的窗戶，拓展我們教學(xué)研究的視野半徑。

本書的作者吳亞萍女士親歷葉瀾教授主持的“新基礎(chǔ)教育”研究十二年中，將“新基礎(chǔ)教育”理論與數(shù)學(xué)學(xué)科相結(jié)合，并轉(zhuǎn)化為生動而豐富的教學(xué)實踐形態(tài)的一次嘗試，是理論工作者和一線實驗教師十幾年共同努力的結(jié)晶。不僅有十幾年的研究實踐支撐，還有大量課堂中鮮活而真實的事件作為案例進行分析研究，并給出了解決問題的策略和可操作的建議。

本書對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的歷史進行了回顧和反思，而且對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革現(xiàn)狀進行審視與透析，并以此作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)型性變革的基礎(chǔ)和起點，闡述了新課程理念下小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)變革的價值追求、變革目標(biāo)和變革策略；本書還以整體的視野提出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)整體綜合性設(shè)計的四大原則：一是“讀”學(xué)生---了解學(xué)生的前在狀態(tài)、潛在狀態(tài)和發(fā)展可能；二是“讀”教材---研究教材獨特的育人價值，通過對教材編排知識的激活，提升教學(xué)內(nèi)容的生命性；三是在“兩讀”的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生實際起點和發(fā)展可能，確定與教學(xué)內(nèi)容相應(yīng)的“具體目標(biāo)”；四是根據(jù)不同學(xué)生個體之間的差異，作出“開放”和“彈性化”的綜合設(shè)計方案；本書以“教學(xué)”的互動生成作為基本的分析單位，詳盡分析了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程展開的內(nèi)在邏輯；本書最后分析了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)變革與教學(xué)評價、教師發(fā)展的關(guān)系，提出了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)轉(zhuǎn)型性變革的關(guān)鍵是教師思維方式的轉(zhuǎn)變。

學(xué)習(xí)筆記選摘：

◆“長程兩段式”教學(xué)策略：改變數(shù)學(xué)教學(xué)中一個知識點、一個例題、一組練習(xí)“勻速運動”的教學(xué)方式，擺脫和超越具體每一節(jié)課的限制，在思考整個單元的知識結(jié)構(gòu)、特有的育人價值的基礎(chǔ)上，把每一結(jié)構(gòu)單元的教學(xué)分為“教學(xué)結(jié)構(gòu)”階段和“運用結(jié)構(gòu)”階段。“教學(xué)結(jié)構(gòu)”階段主要讓學(xué)生形成知識結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)方法結(jié)構(gòu)，在“運用結(jié)構(gòu)”階段主要讓學(xué)生運用這一結(jié)構(gòu)進行主動的學(xué)習(xí)。

◆“先整體再分化”教學(xué)策略：根據(jù)奧蘇伯爾提出的處理教材的兩個原則：設(shè)計先行組織者和逐漸分化，對于知識邏輯體系比較嚴(yán)密的教學(xué)內(nèi)容，可采用“先整體再分化”教學(xué)策略，即先提供學(xué)生總的框架或上位概念，然后根據(jù)具體內(nèi)容對它們逐漸加以充實和分化。這樣有利于學(xué)生整體性理解，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

◆類結(jié)構(gòu)的基本課型：融合滲透型（適用于數(shù)運算的教學(xué)）

歸納探究型（適用于定律、性質(zhì)和公式的教學(xué)）

轉(zhuǎn)化探究型（平面圖形面積計算教學(xué)）整體感悟型（適用于概念、復(fù)合應(yīng)用題、圖形測量等教學(xué)）

復(fù)習(xí)整理型。

◆什么樣的課算一堂好課：真實（待完善的課）、平實（常態(tài)下的課）、扎實（有意義的課）、充實（有效率的課）、豐實（有生成的課）。

第一，真實。要強調(diào)課的真實，是對待課堂教學(xué)實踐的基本態(tài)度和立場，只要是真實的課，就不可能十全十美。如果一點瑕疵也沒有，那么“假課”的可能性就比較大。有的教師期望把課上的一點問題也沒有，這種預(yù)設(shè)的目標(biāo)是錯誤的。正因為真實，所以才有遺憾存在。我們寧要真實的遺憾，不追求虛假的完美。所以，真實的課是不粉飾惡毒，是值得去反思的，也是有待完美的。

第二，平實。強調(diào)課的平實，是期望教師以平常心態(tài)去對待日常課堂教學(xué)實踐，淡化公開課點綴式的意識，強化日常探索與研究的意識。有的公開課就是上的很花哨，讓人看的眼花繚亂，但這種課不可能在每一天的實踐中進行，因為它要教師花費很多的時間和精力去準(zhǔn)備。課天天要上，正因為如此，平實的課是反映教師日常教學(xué)實踐常態(tài)的，也是很實在、很普通卻有質(zhì)量的。

第三，扎實。強調(diào)扎實的課，是期望教師追求課的真實效果，把教學(xué)目標(biāo)落到實處。有的課上，學(xué)生始終沒有認(rèn)識的錯誤，也沒有思維的碰撞，只是為完成教案而“走過場”。這樣的課是很難促使學(xué)生的真實的發(fā)展的，所以扎實的課多學(xué)生來說是有意義的，體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)后的變化，是有真實效果的。

第四，充實。強調(diào)課的充實，是期望教師追求課堂教學(xué)效率的提高，使每一位學(xué)生在原來的基礎(chǔ)上都得到真實的發(fā)展。如果教學(xué)只是對少數(shù)學(xué)生有效率，就不能看作是一堂好課。所以，充實的課對學(xué)生來說是人人有收獲，人人有不同的發(fā)展，也是效率比較高的課。

第五，豐實。強調(diào)課的豐實，什么是課的豐實，即課的生成，是期望教師能運用自己的教學(xué)智慧去把握課堂，在課堂中能促使學(xué)生生成新的觀點和新的想法。這樣的課不完全是預(yù)設(shè)的結(jié)果，師生之間有真實的智慧的投入，學(xué)生的能力有所發(fā)展，學(xué)生的思維不但活躍而且水平有所提高。所以，豐實的課是體現(xiàn)課堂動態(tài)生成的，是提升學(xué)生思維水平和教師教育智慧的，也是體現(xiàn)師生生命活力的。

◆開放教學(xué)有兩層含義：第一，在廣度上開放，教學(xué)需要面向全體學(xué)生，不同學(xué)生解決問題的不同狀態(tài)，包括正確的、錯誤的，都可以成為學(xué)生交流討論的共享資源；第二，在深度上開放，教學(xué)更重要的是展現(xiàn)學(xué)生真實的思維過程，而不僅僅是呈現(xiàn)學(xué)生解決問題的結(jié)果。為了能體現(xiàn)開放的意識，要從封閉性設(shè)計向開放性設(shè)計轉(zhuǎn)換。具體說就是要注意體現(xiàn)以下幾個方面的意圖：開放性的導(dǎo)入；“大問題”設(shè)計；重心下放；信息回收。

大部分的課能向?qū)W生開放，但又有兩個問題：（1）串聯(lián)。如78÷3怎么做？學(xué)生全部試做。然后教師利用實物投影，一一呈現(xiàn)給學(xué)生，這是用串聯(lián)的方式呈現(xiàn)，重復(fù)講述，浪費時間。利用現(xiàn)代技術(shù)手段，雖是方便了教師，但妨礙了信息的交流。建議教師要有并聯(lián)的意識，問題放下去后，學(xué)生會有各種狀態(tài)出現(xiàn)，把各種信息同時呈現(xiàn)在黑板上，讓學(xué)生在比較中體會、體悟、提升。（2）隨意。

學(xué)生做了之后，方案同時出現(xiàn)，小組先交流，再全班匯報。全班交流時，隨便誰來說，這樣處理就沒有資源的意識，就出現(xiàn)了“會哭的孩子有奶吃”，有時會出現(xiàn)思維水平從抽象到具體的這樣一個狀態(tài)，是不利用學(xué)生學(xué)習(xí)的，是違背數(shù)學(xué)要求的。

重心下移的建議：

（1）大問題意識。與大環(huán)節(jié)相聯(lián)系，每一個環(huán)節(jié)就是一次重心下放——信息回收的過程，一節(jié)課有這樣三、四個環(huán)節(jié)就足夠了，三、四個環(huán)節(jié)是一個思維遞進的過程。信息回收要有捕捉的意識和敏感；要有樣本的意識；要有錯誤資源的意識；要有錯誤資源的價值意識。個別的，對全體學(xué)生沒有價值的和與目標(biāo)無關(guān)的就不去選擇，不是越多越好，一定要有“典型”意義。不是凡錯誤都是資源，要分析哪些是典型資源？這個問題可以作為一個課題來研究，資源有哪些？怎樣作出回應(yīng)？哪些是經(jīng)常性出現(xiàn)的資源？（2）大環(huán)節(jié)如何凸顯？ 有了結(jié)構(gòu)意識，才有環(huán)節(jié)意識；有了環(huán)節(jié)的下放和回收意識，才有互動資源；有了互動資源，再加上隱形目標(biāo)的意識，才會有回應(yīng)的有效；回應(yīng)有效才有過程的生成。

學(xué)習(xí)吳亞萍報告體會 ——重心下移，關(guān)注全體

有幸聆聽了 吳亞萍教授“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”的講座，讓我受益匪淺。吳教授指出的不能區(qū)分昨天與今天，課堂一定低效。重心下移，關(guān)注全體等觀點讓我看到了自己教學(xué)中的問題，尤其是吳教授結(jié)合兩節(jié)研討課進行的點評，更讓我反思了自己的教學(xué)。在她的精彩講述，出現(xiàn)頻率最多的詞語就是“重心下移”。“重心下移”就是課堂上真正關(guān)注學(xué)生，以學(xué)生的思考、探究、創(chuàng)新為主，這樣才能成就課堂的精彩。

反思自己的課堂教學(xué)，雖然我也一直努力要把課堂還給學(xué)生。可是，下移什么，怎么下移，我一直找不到良方。教學(xué)中也一直有很多問題困擾著我：我重心下移了，可是學(xué)生不買賬，給我來個冷場。聽了吳教授對兩節(jié)課的重建，我明白了教學(xué)中存在這些問題說明我們“怎么下移”做得不夠，問題的設(shè)計不合理，不會看到學(xué)生的起點。“一個會了=全都會了”這樣的課堂教學(xué)有效嗎，更不用說高效了。重心下移，要下移的不僅僅是課堂的設(shè)計，更是教師的意識。

把重心放下去就要相信學(xué)生有發(fā)展的潛能，放下去就要生成教學(xué)的基礎(chǔ)性資源，放下去就要改變個別學(xué)生“替代思維”，放下去就要改變學(xué)生思維表淺和定勢。還要注意教學(xué)過程中的互動和拓展。

吳教授的講座再次讓我明白，孩子們的潛能是無限的，孩子們的創(chuàng)造力是無窮的。在以后的教學(xué)實踐中，我會努力做到“重心下移”，關(guān)注全體，為孩子們創(chuàng)設(shè)一個思維舞動的平臺，并適時引導(dǎo)、提升，相信我的課堂會煥發(fā)出勃勃生機，會成就無數(shù)的課堂精彩！