第一篇：三角形

已知△ABC中,AD,BE,CF分別是∠A,∠B,∠C的平分線。求證：AD,BE,CF交于一點。

證明：設AD與BE交于點P，則要證CF過點P,也就是要證CP平分∠C，用向量知識分析，即要證存在λ，使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)。

為簡便起見，設|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.∵AP平分∠A,BP平分∠B，∴存在λ1, λ2,使得向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)，∵向量AB+向量BP=向量AP，∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)，即(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC

由平面向量基本定理，有：1-λ2/c=λ1/c+λ1/b，λ2/a=λ1/b，消去λ2，求得λ1=bc/(a+b+c)，于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b），∴向量CP=向量CA+向量AP=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)這就證到了存在λ＝ab/(a+b+c），使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)

所以AD,BE,CF交于一點．

2.用向量法證明三角形ABC的三條中線交于一點P，并且對任意一點O有向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）注意：要求用向量法，不使用坐標。

證明：先假設兩條中線AD,BE交與P點，連接CP,取AB中點F連接PF，PA+PC=2PE=BP，PB+PC=2PD=AP，PA+PB=2PF，三式相加，得到

2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF，3PA+3PB+2PC=2PF，6PF+2PC=2PF，PC=-2PF，所以PC,PF共線，PF就是中線，所以ABC的三條中線交于一點P，連接OD,OE,OF，OA+OB=2OF，OC+OB=2OD，OC+OC=2OE，三式相加，OA+OB+OC=OD+OE+OF，OD=OP+PD，OE=OP+PE，OF=OP+PF，OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP，由第一問結論，2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP，2PA+2PB+2PC=0，1/2AP+1/2BP+1/2CP，所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP，向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量），3試用平面向量數量積的知識證明:△ABC的三條高線交于一點。

設三角形ABC中，AB、AC邊上的高分別為交于H，求證：AH⊥BC。

BH⊥AC,CH⊥AB--->BH*AC=CH*AB，AH=AC+CH=AB+BH--->2AH=(AC+AB)+(CH+BH)，又 BC=AC-AB，2AH*BC=[(AC+AB)+(CH+BH)](AC-AB)=(AC^2-AB^2)+(AC*CH-AB*BH)=AC(AC+CH)-AB(AB+BH)=AH(AC-AB)=AH*BC--->AH*BC=0--->AH⊥BC

第二篇：三角形說課稿

小班說課稿：認識三角形

一、教材分析

本教材選自《幼兒園教育教學安排意見》小班內容，認識三角形是幼兒幾何形體教育的內容之一，幼兒的幾何形體教育是幼兒數學教育的重點內容。幼兒學習一些幾何形體的簡單知識能幫助他們對客觀世界中形形色色的物體做出辨別和區分。發展它們的空間知覺能力和初步的空間想象力從而為小學學習幾何形體做些準備。小班幼兒在他們充分獲得對圓形的感知和確認后，再讓他們認識三角形的特征，這對發展幼兒的觀察力、比較能力和空間概念具有重要意義。認識三角形是在認識圓形的基礎上進行的。這就為比較圓形和三角形奠定了知識基礎，有利于幼兒對三角形的感知和掌握。本節課的知識點就是三角形的特征。基于以上對教材的分析，結合幼兒的認知特點，確定以下教學目標：

1、教幼兒知道三角形的名稱和主要特征，知道三角形由3條邊、3個角。

2、教幼兒把三角形和生活中常見的實物進行比較，能找出和三角形相似的物體。

3、發展幼兒觀察力、空間想象力，培養幼兒的動手操作能力。確定目標的依據：小班上學期雖然還沒有進行數的形成教學，但在日常活動中已經滲透了許多數的概念教育，因此，通過數形結合認識三角形的特征幼兒有一定的基礎。3歲幼兒經常會把幾何形體理解為他們所熟悉的實物，因此，教幼兒把三角形和生活中常見的實物進行比較找出和三角形相似的物體有利于發展幼兒對應能力。圍繞教學目標根據小班幼兒的認知特點，我認為本節課的重點是認識三角形的特征，幼兒認知幾何形體對圖形的知覺屬于空間知覺的范疇，從幼兒感知三角形的形狀到表達需要完成配對——指認——圖形的特征，因此，三角形的特征定為本節課的重點。

三角形的特征同時也是本節課的難點。三角形的特征有三條邊、三個角。但是，對于還沒學過一一對應點數的幼兒來說還有一定的難度，所以把三角形的特征定為本節課的難點。

二、教學方法

為了讓幼兒更好地掌握知識，充分發揮教與學的互動作用，更好地完成教學任務，我將采用游戲法和啟發探索法，體現教師為主導，幼兒為主體的師生雙邊活動。

游戲法：在計算教學中運用游戲法能激發幼兒的學習興趣，集中幼兒的注意力，幫助幼兒輕松愉快地理解知識，因此，在本節課中，無論是新知的學習，還是復習鞏固我都采用游戲的形式，如在課的開始，教師以游戲的口吻介紹兩個圖形娃娃到小班做客，激發了幼兒的學習興趣，在復習鞏固三角形特征時，設計了游戲給圖形娃娃找朋友、奇妙的拼圖、拼拼三角形使幼兒進一步鞏固了三角形的特征，又激發了幼兒的學習興趣。

啟發探索法：這一教學方法是教學過程中依靠幼兒已有的數學知識和經驗啟發幼兒去探索并獲得新知。其最大的特點是激發幼兒的興趣，最大限度地調動幼兒學習的積極性、主動性，在本節課認識三角形的特征時，我采用這一方法先出示一個圓形娃娃，再出示一個三角形娃娃，啟發幼兒比較三角形和圓形的不同，在幼兒的觀察探索中得出三角形有角、有邊，通過親自數一數、試一試，讓幼兒明確有三個角的圖形是三角形，三角形的角有點兒扎手。

本節課采用的教具：

⑴圓形、三角形娃娃各一個，用于引出課題，激發幼兒興趣。

⑵圖形拼圖一幅

⑶每桌一盤各類幾何圖形及冰糕棍若干。

選取教具的依據是小班幼兒的年齡特點及認知特點。

三、學法指導

1、復習內容的確定：三角形的特征有三條邊、三個角。幼兒要 掌握三角形的特征，就必須通過數一數來掌握，因此，3的數數的掌握直接影響到幼兒學習三角形的效果，因此將3的數數定為學習內容。采用幼兒比較喜歡的體態動作（拍手、拍肩、拍褪）進行，幼兒比較感興趣又很快地集中了幼兒的注意力。

2、引導幼兒用探索法和操作法學習新知，發展幼兒的觀察力。為了便于幼兒更好地掌握三角形的特征，請幼兒通過觀察圓形和三角形有哪些地方不一樣？通過親自數一數、摸一摸來感知三角形的特征。幼兒從觀察、判斷到表述是幼兒利用舊知獲取新知，主動學習的過程。

3、在操作、游戲中發展幼兒的空間想象力，在復習鞏固三角形特征時，采取了游戲《給圖形娃娃找朋友》、用小棍拼三角形。幼兒在游戲時，就需要將頭腦中三角形的特征的輪廓體現出來，需要幼兒將想象、圖形小棒聯系在一起，進一步發展了幼兒的空間想象力，同時幼兒聯想生活中的實物與三角形想象的物體將圖形與實物相聯系，從而發展幼兒的空間想象力。

4、數形結合，時幼兒在掌握特征的同時，加深幼兒對3的認識在學習三角形特征時讓幼兒數數三角形有幾條邊、幾個角在看拼圖找三角形的游戲中，讓幼兒數數蝴蝶的翅膀、樹身、房頂個由幾個三角形拼成，在數形結合中既鞏固了新知，又發展了幼兒的觀察力和思維能力。

四、教學程序

為了小學過程中更好地突出重點，突破難點取得較好的教學效果，我準備分以下幾個步驟完成教學任務：

1、復習3的數數

設計這一環節的目的是為了在下步學習三角形特征時幼兒能更好地學習掌握，能準確感知圖形特征這一環節，采用體態動作一集體復習的形式進行。

2、學習三角形特征：這一環節是本節課的重點難點所在，我準備分以下幾步完成，以突出重點、突破難點。

⑴引導幼兒觀察比較圓形娃娃和三角形娃娃的不同，提供幼兒每人一三角形，通過自己數一數，試一試，感知圖形特征，并充分讓幼兒表述，得出圖形的特征。

⑵引導幼兒觀察幾個不同形狀、不同大小的三角形，通過驗證得出三角形都有三條邊、三個角，有三條邊、三個角的圖形都是三角形。

⑶老師小結三角形特征，使幼兒獲得的知識完整化。

3、復習鞏固三角形的特征。在幼兒初步掌握三角形特征的基礎上只有通過各種形式的練習才能得以鞏固，準備分三步完成這一環節。

⑴給圖形娃娃找朋友：目的是幼兒排除干擾從眾多幾何圖形卡片中找出三角形。

⑵看圖拼圖找三角形：

圖形拼圖能進一步激發幼兒的學習興趣通過讓幼兒觀察： 這些拼圖像什么？哪些部分是用三角形拼成的？用了幾個三角形？

⑶周圍環境中找出像三角形的東西：幼兒通過自己的聯想尋找發展幼兒的空間想象能力，進一步鞏固了三角形的特征。

四、延伸活動：幼兒用冰糕棒拼三角形，引導幼兒拼完后講一講你拼得三角形有幾條邊？幾個角？用了幾根冰糕棒？

第三篇：三角形課堂實錄[范文]

三角形課堂實錄

馬安中學-----徐付軍

一、對新授課課型的認識

如何優化課堂教學，讓學生學會學習，是我們教育工作者追求的永恒的課題。“自主探究、合作交流”正是新一輪數學課程改革所倡導的學習方式．臨沂市課題組就是本著這一教學理念，承擔了新教學策略這一課題的研究，按照這一策略進行授課，有效地開展了自主學習，探究學習和合作學習，充分地展示了學生的思路、成果、疑惑，盡情的享受學習帶來的滿足感、成就感，極大地調動了學生學習的主動性和積極性，學生真正成了學習的主人。

本文整理了人教版七年級下冊第七章 “三角形的邊”這節新授課的實錄并加以點評，作為新課程改革試驗研究中的一個素材，以“促進學生全員發展、和諧發展、可持續發展和自主發展，全面提高課堂教學的水平與效率”為宗旨，以“學會學習”為主題，以“自主探究—嘗試應用—成果展示—補償提高”為基本教學流程，以“新教學策略”為載體進行試驗和實施的。

當然，研究永無止境，改革需有待于進一步深化和優化，任何改革都須經歷一個過程，本策略的試驗有待于大家共同研究、完善和深化。

二、教材分析

1．地位與作用：

三角形是一種常見的幾何圖形，本節內容是學習三角形的基礎和準備。其中三邊關系體現了數學源于生活，反過來服務于生活的數學理念，是對學生現有生活經驗的一種概括提升，同時又是后繼學習的基礎.2．教學目標：

①知識與技能：

了解三角形有關的概念，會把三角形分別按邊、角分類。能運用三角形的三邊關系解決實際問題。

②過程與方法：

在將三角形分類的過程中，進一步體會分類的原則及類比的數學思想方法；在參與操作、探索的學習過程中，掌握歸納、概括、反思、展示與交流和語言表達的方法與要領；在運用三角形的三邊關系解決實際問題的過程中，進一步理解分類討論的數學思想.③情感態度與價值觀：

體會數學與生活的密切聯系，培養學生的數學應用意識，提高學生學數學的興趣.3．重難點：

本節內容重點是三角形三邊關系定理，它不僅給出了三角形的三邊間的大小關系，更重要的是提供了判斷三條線段能否組成三角形的標準；熟練的運用三角形的兩邊之和大于第三邊，是數學嚴謹性的體現，同時也有助于提高學生全面思考數學問題的能力，它在解決等腰三角形的周長與邊長問題時又是給學生滲透分類思想的重要素材。

本節的難點一是三角形按邊分類，很多學生常把等腰三角形與等邊三角形看成獨立的兩類，而在解題時產生錯誤；二是利用三邊關系定理解題時，求出三條

線段后，學生常常忽視檢驗它們是否能構成三角形，分類討論思想在解題中也是學生感到困難的一個地方。

4．學前準備：每人準備長短不同的三條細木棒。

三、課堂實錄及簡析

第七章三角形7.1.1三角形的邊

一、自主探究

1．情景引入

教師：展示多媒體課件：金字塔、飛機、香港中銀大廈、分子結構等。從課件中你發現了什么？

學生：觀察、欣賞課件中的圖形，引起了強烈的求知欲。

教師：同學們，三角形是一種基本的幾何圖形，從古埃及的金字塔到現代的飛機，從宏偉的建筑物到微小的分子結構，到處都有三角形的形象。那么你知道為什么在工程建筑、機械制造中經常采用三角形的結構嗎？下面就讓我們一起來走進三角形的世界，探討7.1.1 三角形的邊。

學生：領會新課意圖，情緒高昂地投入到學習中。

[評析]創設富有新意，聯系生活實際的問題情境，讓學生體會到數學就在我們身邊，從而激起強烈的好奇心和求知欲，為下一步的自主學習奠定了基礎。

2．自主學習

教師：同學們，三角形是我們生活中最常見，用途最廣的幾何圖形，它是學習其它一切圖形的基礎，請你通過閱讀課本，自主完成學案中的自主探究題組。學生：閱讀課本，邊看課本邊完成學案中的自主探究題組。

教師：教師巡視,幫助做題有困難的學生，了解各小組的自主學習進展情況。

[評析] “一切天賦和諾言都不如習慣更有力量”，自主學習習慣是新課標的基本要求。為學生創新、發現、表現提供相應的平臺、空間，使主動參與到自主探究的學習活動中去，這樣不僅能開發出學生潛在的能力，而且又激活了學生學習的積極性.養成良好的學習習慣。

3．組內交流

教師：巡視、了解各小組的題組完成情況，及時搜集信息。

學生：完成題組后，各學習小組的同學自發地交流。

第1題各小組通過拼接，各種不同的見解在小組內產生了激烈的討論，但最終達成了共識，對三角形有了新的認識。

學生1：第2題：對錯誤的敘述舉出了反例，并歸納出理解三角形的概念應注意的三個條件：①不共線；②首尾順次相接；③三條線段。

學生2：第3題：回答了如何數三角形的個數：①先數單個的三角形的個數；②再數相鄰兩個三角形能構成的三角形的個數；③然后數相鄰三個三角形能構成的三角形的個數；④以此類推.并類比以前數線段的條數，角的個數。

教師：同學們，通過以上兩位同學的發言，你有何感想？

學生3：通過以上兩題的學習，我得到的啟示：①學習新知識可以類比以前學過的方法進行學習，譬如數三角形的個數可以類比數線段的條數，角的個數等；②對較復雜的圖形數個數時應按一定的順序（標準）來數。

學生4：第4題：按邊和角分別將三角形分類，并類比以前學習的有理數分類，體會分類時應注意：①分類應先選一標準；②分類時應做到不重不漏。教師：還有其它想法嗎？可以起來說說。

學生5：對于第5題，通過作圖，我體會到怎樣的三條線段可以構成三角形？ 方法1：看其中任兩條線段之和是否大于第三條。

方法2：看較短的兩條線段之和是否大于第三條。

教師：很好！同學們都有了自己的見解，通過自主探究，你們可以交流一下自己的感受。

學生：我們學到了很多新的知識點；各知識點應注意的問題；題目中所滲透的數學思想和方法；解決問題所用的不同方法；還存在什么疑惑等等。

4．歸納總結

學生：自主歸納出方法、規律性的東西及該注意的問題。小組間互相爭辯、矯正，個別題目教師以問題的形式啟發學生來總結。

教師：針對學生回答的情況，對出現的共性問題在歸納中給出及時的明晰。從而讓學生選擇出此類題的做法。

[評析]因為學生的程度千差萬別，學生在自主學習中，必然學到了一些新的知識點、方法和規律，同時也會產生新的疑惑，這時他們自發地在本組內充分交流，既給學生提供了展示表現的機會，又增強了學生的合作意識。當學生的歸納總結有缺陷時，教師適當的補充和提升.二、嘗試應用

教師：通過剛才的自主探究，你們已對知識有了新的認識，對方法和規律有了更深的了解，究竟對新知識學習的如何？請完成自我嘗試題組。

學生：

1．自我嘗試

學生根據自主探究出的知識和方法，自主完成嘗試應用中的題組.問題完全由學生自主解決。

2．自我反思

根據自我嘗試所完成的問題，自主思考，總結出解決問題時所用的知識點、方法規律、問題解決的策略和易錯點，從不同角度提出新的問題。并學會自我反思。

3．組內交流

教師：巡回指導，對學有困難的學生進行個別指導。

學生：全員參與。根據自我嘗試，交流總結問題解決的方法、技巧、創新思路和未能解決的問題，為成果展示奠定基礎。

[評析]自主探究的效果如何，必須通過應用才能知曉。知識是能力的基礎，能力是知識的升華，升華的途徑是應用和整合。所以，自主探究后，必須提供必要的問題讓學生自行解決，方法是在應用中探究出來的，應用學過的知識解決新的問題是學生能力形成的根本途徑，也是學生對自主學習效果的自我評價和檢測。因此，嘗試應用是自主探究的檢測和深化。

三、成果展示

教師：同學們，通過剛才的討論交流，你們完成的如何，想不想來展示一下你們的成果？

學生甲：我們小組在做第2題時，一開始是相信的，但在別的同學說明理由時，就馬上感覺不太可能了。

學生乙：我們小組是通過量出靖宏偉（身高190cm）的腿長（84cm）后，才知道即使是姚明也不可能一步走兩米多。

進而有學生談了自己的感想：有些問題憑感覺，憑猜測是不準確的，而應該根據所學的知識說出理由才能確定。

學生丙：我們組在做第4題時，有些同學只考慮了一種情況，其他同學給予補充.通過第3題和第4題的解決，很多同學受到了啟發：

①解決此類問題時要注意分類討論（分類思想）。

②求出三條線段的長度后要注意檢驗是否能構成三角形。

[評析]學會分享與合作是研究性學習的目標之一，也是現代人必備的重要素質。學生在探究學習過程中形成的觀點和看法，往往都還有很大的完善空間，這些空間的完善不能僅靠教師的講解補充（甚至糾正）來實現，而應通過學生之間成果的交流，進行互動爭辯，以實現自我完善。這樣教師就要給學生提供充分展示自己的機會，創設一個交流爭辯的平臺，以增進相互之間的交流，使學生在展示中得到互補，在爭辯中得到提高。通過成果展示，進行思維碰撞，點燃創新火花，從而培養了學生的成就感和自信心。

四、補償提高

教師：同學們，通過本節課的學習，談談你們的收獲。

學生甲：歸納總結本節學到的知識點、思想方法、易錯點。

學生乙：首先受自主探究第3題的啟發，以后如果遇到沒做過，不會的題，可以借鑒以前學過的類似問題的解決思路和方法（類比思想）；其次通過情景引入和嘗試運用的第2題的學習，我覺得只有努力學習，掌握了足夠的文化知識，才能解決現實生活中的一些實際問題，才能提高自己的本事，為以后的工作和生活打下堅實的基礎。

[評析]通過這一環節，既對前幾個環節中出現的問題進行了針對性的補償，又對學有余力的學生進行了拓展提高.特別是通過談收獲，學生又對本節進行了深度反思，對本節所涉及的方法規律、數學思想、易錯內容等又進行了一輪回顧與理解。尤其是學生對學習方法和數學意識的總結，更體現出學生反思的深度和廣度。

第四篇：全等三角形

復習提問 通過前兩個問題復習鞏固上一節所講的知識，通過問題3引導學生認識到三角形全等是證明角相等、線段相等的重要方法，然后設疑，如何證明兩個三角形全等？從而引出課題。

活動二：講授新課 全等三角形的判定條件的探究 首先提出

問題1：兩個三角形三條邊相等、三個角相等，這兩個三角形全等嗎？學生通過觀察圖形和課件演示，會很容易作出懇定的回答。

問題2：兩個三角形全等是不是一定要六個條件呢？若滿足這六個條件中的一個、兩個或三個條件它們是否全等呢？然后教師引導學生分別從“角”和“邊”的角度分析一個條件、兩個條件各有幾種情形。引導全班同學首先共同完成滿足一個條件的情況的探究，然后指導學生分組討論，對滿足兩個條件的 情況進行探究，并在組內交流，教師深入小組參與活動，傾聽學生交流，并幫助學生比較各種情況。最后由教師在投影上給出滿足一個條件和兩個條件的幾組三角形，學生通過觀察圖形就會得到一結論：兩個三角形若滿足這六個條件中的一個或兩個條件是不能保證兩個三角形一定全等的。

問題3：兩個三角形若滿足這六個條件中的三個條件能保證它們全等嗎？滿足三個條件有幾種情形呢？由學生分組討論、交流，最后教師總結，得出可分為四種情況，即三邊對應相等、三角對應相等、兩邊一角對應相等、兩角一邊對應相等。告訴學生這一節先探究兩個三角形滿足三條邊相等時，兩個三角形是否全等？對于此問題我是這樣引導學生探究的，先讓學生在練習本上各畫一個邊長分別為2、3、4的三角形（當然在這里要先給學生講清楚已知三邊如何畫三角形，并且讓學生牢記此種畫三角形的方法），學生畫好之后剪下來，同桌之間進行比較、驗證，看它們是否重合。同時教師在投影上給出兩個邊長為2、3、4的三角形，通過課件演示，學生會看到兩個三角形的三邊對應相等，它們是全等的。從而得到全等三角形的判定方法，即：有三條邊對應相等的兩個三角形是全等三角形。得到全等三角形的判定條件之后，還要給學生講清楚證明三角形全等的書寫格式，即：先要寫出在那兩個三角形中，然后用大括號把全等的三個條件括住，最后寫出全等的結論。由于學生剛開始學習全等三角形的證明，對三角形全等的書寫格式還不熟悉，所以教師在此要強調三角形全等的書寫格式以及應注意的問題。

活動三：題例訓練 例1是兩道填空題，需要補全三角形全等的條件，在講解此題時關鍵是讓學生看清圖中兩個三角形全等已具備哪些條件，還缺什么條件，把所缺的條件補上即可。通過此題要使學生進一步掌握三角形全等的判定條件及證明三角形全等的書寫格式和應注意的問題。

第五篇：三角形重心

重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。

已知：△ABC中，D為BC中點，E為AC中點，AD與BE交于O，CO延長線交AB于F。求證：F為AB中點。

證明：根據燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再應用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

重心的幾條性質：

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角坐標系中，重心的坐標是頂點坐標的算術平均，即其坐標為

((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角坐標系——橫坐標：(X1+X2+X3)/3 縱坐標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標：（z1+z2+z3）/35、三角形內到三邊距離之積最大的點。

指三角形三條邊的垂直平分線的相交點。用這個點做圓心可以畫三角形的外接圓。指三角形外接圓的圓心，一般叫三角形的外心。

三角形的外心是三邊中垂線的交點,且這點到三角形三頂點的距離相等。

外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。

外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。

注意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結合垂直平分線定義，外心定理其實極好證。計算外心的重心坐標是一件麻煩的事。先計算下列臨時變量：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐標：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。