第一篇：費(fèi)爾馬大定理的證明李新福

關(guān)于彎國強(qiáng)的費(fèi)爾馬大定理證明的否定

費(fèi)爾馬大定理成立的條件是:X∧n＋Y∧n=Z∧n;其中(X, Y, Z, n)=1;

而彎國強(qiáng)老師即由:

X∧n =(Z-Y)(Z∧n-1+ Z∧n-2Y+…..+ ZY∧n-2+ Y∧n-1)令: Z-Y=n∧n-1*m∧n;使得(X, n)=n≠1;

所以最多只能認(rèn)為彎國強(qiáng)老師僅證明了費(fèi)爾馬大定理的一個(gè)特例而已。

上海松江北翠路125號(hào)李新福

2013.2.12.

第二篇：證明費(fèi)馬大定理的故事

解答數(shù)學(xué)“大問題”——證明費(fèi)馬大定理的故事

為了尋求費(fèi)馬大定理的解答，三個(gè)多世紀(jì)以來，一代又一代的數(shù)學(xué)家們前赴后繼，卻壯志未酬。1995年，美國普林斯頓大學(xué)的安德魯·懷爾斯教授經(jīng)過8年的孤軍奮戰(zhàn)，用130頁長的篇幅證明了費(fèi)馬大定理。懷爾斯成為整個(gè)數(shù)學(xué)界的英雄。

費(fèi)馬大定理提出的問題非常簡單，它是用一個(gè)每個(gè)中學(xué)生都熟悉的數(shù)學(xué)定理——畢達(dá)哥拉斯定理——來表達(dá)的。2000多年前誕生的畢達(dá)哥拉斯定理說：在一個(gè)直角三角形中，斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和。即X2+Y2=Z2。大約在公元1637年前后，當(dāng)費(fèi)馬在研究畢達(dá)哥拉斯方程時(shí)，他寫下一個(gè)方程，非常類似于畢達(dá)哥拉斯方程：Xn+Yn=Zn,當(dāng)n大于2時(shí)，這個(gè)方程沒有任何整數(shù)解。費(fèi)馬在《算術(shù)》這本書的靠近問題8的頁邊處記下這個(gè)結(jié)論的同時(shí)又寫下一個(gè)附加的評(píng)注：“對(duì)此，我確信已發(fā)現(xiàn)一個(gè)美妙的證法，這里的空白太小，寫不下。”這就是數(shù)學(xué)史上著名的費(fèi)馬大定理或稱費(fèi)馬最后的定理。費(fèi)馬制造了一個(gè)數(shù)學(xué)史上最深?yuàn)W的謎。

大問題 在物理學(xué)、化學(xué)或生物學(xué)中，還沒有任何問題可以敘述得如此簡單和清晰，卻長久不解。E·T·貝爾(Eric Temple Bell)在他的《大問題》(The Last Problem)一書中寫到，文明世界也許在費(fèi)馬大定理得以解決之前就已走到了盡頭。證明費(fèi)馬大定理成為數(shù)論中最值得為之奮斗的事。

安德魯·懷爾斯1953年出生在英國劍橋，父親是一位工程學(xué)教授。少年時(shí)代的懷爾斯已著迷于數(shù)學(xué)了。他在后來的回憶中寫到：“在學(xué)校里我喜歡做題目，我把它們帶回家，編寫成我自己的新題目。不過我以前找到的最好的題目是在我們社區(qū)的圖書館里發(fā)現(xiàn)的。”一天，小懷爾斯在彌爾頓街上的圖書館看見了一本書，這本書只有一個(gè)問題而沒有解答,懷爾斯被吸引住了。

這就是E·T·貝爾寫的《大問題》。它敘述了費(fèi)馬大定理的歷史，這個(gè)定理讓一個(gè)又一個(gè)的數(shù)學(xué)家望而生畏，在長達(dá)300多年的時(shí)間里沒有人能解決它。懷爾斯30多年后回憶起被引向費(fèi)馬大定理時(shí)的感覺：“它看上去如此簡單，但歷史上所有的大數(shù)學(xué)家都未能解決它。這里正擺著我——一個(gè)10歲的孩子——能理解的問題，從那個(gè)時(shí)刻起，我知道我永遠(yuǎn)不會(huì)放棄它。我必須解決它。”

懷爾斯1974年從牛津大學(xué)的Merton學(xué)院獲得數(shù)學(xué)學(xué)士學(xué)位，之后進(jìn)入劍橋大學(xué)Clare學(xué)院做博士。在研究生階段，懷爾斯并沒有從事費(fèi)馬大定理研究。他說：“研究費(fèi)馬可能帶來的問題是：你花費(fèi)了多年的時(shí)間而最終一事無成。我的導(dǎo)師約翰·科茨(John Coates)正在研究橢圓曲線的Iwasawa理論，我開始跟隨他工作。” 科茨說：“我記得一位同事告訴我，他有一個(gè)非常好的、剛完成數(shù)學(xué)學(xué)士榮譽(yù)學(xué)位第三部考試的學(xué)生，他催促我收其為學(xué)生。我非常榮幸有安德魯這樣的學(xué)生。即使從對(duì)研究生的要求來看，他也有很深刻的思想，非常清楚他將是一個(gè)做大事情的數(shù)學(xué)家。當(dāng)然，任何研究生在那個(gè)階段直接開始研究費(fèi)馬大定理是不可能的，即使對(duì)資歷很深的數(shù)學(xué)家來說，它也太困難了。”科茨的責(zé)任是為懷爾斯找到某種至少能使他在今后三年里有興趣去研究的問題。他說：“我認(rèn)為研究生導(dǎo)師能為學(xué)生做的一切就是設(shè)法把他推向一個(gè)富有成果的方向。當(dāng)然，不能保證它一定是一個(gè)富有成果的研究方向，但是也許年長的數(shù)學(xué)家在這個(gè)過程中能做的一件事是使用他的常識(shí)、他對(duì)好領(lǐng)域的直覺。然后，學(xué)生能在這個(gè)方向上有多大成績就是他自己的事了。”

科茨決定懷爾斯應(yīng)該研究數(shù)學(xué)中稱為橢圓曲線的領(lǐng)域。這個(gè)決定成為懷爾斯職業(yè)生涯中的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，橢圓方程的研究是他實(shí)現(xiàn)夢想的工具。

孤獨(dú)的戰(zhàn)士

1980年懷爾斯在劍橋大學(xué)取得博士學(xué)位后來到了美國普林斯頓大學(xué)，并成為這所大學(xué)的教授。在科茨的指導(dǎo)下，懷爾斯或許比 世界上其他人都更懂得橢圓方程，他已經(jīng)成為一個(gè)著名的數(shù)論學(xué)家，但他清楚地意識(shí)到，即使以他廣博的基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)修養(yǎng)，證明費(fèi)馬大定理的任務(wù)也是極為艱巨的。

在懷爾斯的費(fèi)馬大定理的證明中，核心是證明“谷山-志村猜想”，該猜想在兩個(gè)非常不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域間建立了一座新的橋梁。“那是1986年夏末的一個(gè)傍晚，我正在一個(gè)朋友家中啜飲冰茶。談話間他隨意告訴我，肯·里貝特已經(jīng)證明了谷山-志村猜想與費(fèi)馬大定理間的聯(lián)系。我感到極大的震動(dòng)。我記得那個(gè)時(shí)刻，那個(gè)改變我生命歷程的時(shí)刻，因?yàn)檫@意味著為了證明費(fèi)馬大定理，我必須做的一切就是證明谷山-志村猜想??我十分清楚我應(yīng)該回家去研究谷山-志村猜想。”懷爾斯望見了一條實(shí)現(xiàn)他童年夢想的道路。

20世紀(jì)初，有人問偉大的數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特為什么不去嘗試證明費(fèi)馬大定理，他回答說：“在開始著手之前，我必須用3年的時(shí)間作深入的研究，而我沒有那么多的時(shí)間浪費(fèi)在一件可能會(huì)失敗的事情上。”懷爾斯知道，為了找到證明，他必須全身心地投入到這個(gè)問題中，但是與希爾伯特不一樣，他愿意冒這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)。

懷爾斯作了一個(gè)重大的決定：要完全獨(dú)立和保密地進(jìn)行研究。他說：“我意識(shí)到與費(fèi)馬大定理有關(guān)的任何事情都會(huì)引起太多人的興趣。你確實(shí)不可能很多年都使自己精力集中，除非你的專心不被他人分散，而這一點(diǎn)會(huì)因旁觀者太多而做不到。”懷爾斯放棄了所有與證明費(fèi)馬大定理無直接關(guān)系的工作，任何時(shí)候只要可能他就回到家里工作，在家里的頂樓書房里他開始了通過谷山-志村猜想來證明費(fèi)馬大定理的戰(zhàn)斗。

這是一場長達(dá)7年的持久戰(zhàn)，這期間只有他的妻子知道他在證明費(fèi)馬大定理。

歡呼與等待

經(jīng)過7年的努力，懷爾斯完成了谷山-志村猜想的證明。作為一個(gè)結(jié)果，他也證明了費(fèi)馬大定理。現(xiàn)在是向世界公布的時(shí)候了。1993年6月底，有一個(gè)重要的會(huì)議要在劍橋大學(xué)的牛頓研究所舉行。懷爾斯決定利用這個(gè)機(jī)會(huì)向一群杰出的聽眾宣布他的工作。他選擇在牛頓研究所宣布的另外一個(gè)主要原因是劍橋是他的家鄉(xiāng)，他曾經(jīng)是那里的一名研究生。1993年6月23日，牛頓研究所舉行了20世紀(jì)最重要的一次數(shù)學(xué)講座。兩百名數(shù)學(xué)家聆聽了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數(shù)式所表達(dá)的意思。其余的人來這里是為了見證他們所期待的一個(gè)真正具有意義的時(shí)刻。演講者是安德魯·懷爾斯。懷爾斯回憶起演講最后時(shí)刻的情景：“雖然新聞界已經(jīng)刮起有關(guān)演講的風(fēng)聲，很幸運(yùn)他們沒有來聽演講。但是聽眾中有人拍攝了演講結(jié)束時(shí)的鏡頭，研究所所長肯定事先就準(zhǔn)備了一瓶香檳酒。當(dāng)我宣讀證明時(shí)，會(huì)場上保持著特別莊重的寂靜，當(dāng)我寫完費(fèi)馬大定理的證明時(shí)，我說：‘我想我就在這里結(jié)束’，會(huì)場上爆發(fā)出一陣持久的鼓掌聲。” 《紐約時(shí)報(bào)》在頭版以《終于歡呼“我發(fā)現(xiàn)了!”，久遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)之謎獲解》為題報(bào)道費(fèi)馬大定理被證明的消息。一夜之間，懷爾斯成為世界上最著名的數(shù)學(xué)家，也是唯一的數(shù)學(xué)家。《人物》雜志將懷爾斯與戴安娜王妃一起列為“本25位最具魅力者”。最有創(chuàng)意的贊美來自一家國際制衣大公司，他們邀請(qǐng)這位溫文爾雅的天才作他們新系列男裝的模特。

當(dāng)懷爾斯成為媒體報(bào)道的中心時(shí)，認(rèn)真核對(duì)這個(gè)證明的工作也在進(jìn)行。科學(xué)的程序要求任何數(shù)學(xué)家將完整的手稿送交一個(gè)有聲望的刊物，然后這個(gè)刊物的編輯將它送交一組審稿人，審稿人的職責(zé)是進(jìn)行逐行的審查證明。懷爾斯將手稿投到《數(shù)學(xué)發(fā)明》，整整一個(gè)夏天他焦急地等待審稿人的意見，并祈求能得到他們的祝福。可是，證明的一個(gè)缺陷被發(fā)現(xiàn)了。

我的心靈歸于平靜

由于懷爾斯的論文涉及到大量的數(shù)學(xué)方法，編輯巴里·梅休爾決定不像通常那樣指定2-3個(gè)審稿人，而是6個(gè)審稿人。200頁的證明被分成6章，每位審稿人負(fù)責(zé)其中一章。

懷爾斯在此期間中斷了他的工作，以處理審稿人在電子郵件中提出的問題，他自信這些問題不會(huì)給他造成很大的麻煩。尼克·凱茲負(fù)責(zé)審查第3章，1993年8月23日，他發(fā)現(xiàn)了證明中的一個(gè)小缺陷。數(shù)學(xué)的絕對(duì)主義要求懷爾斯無可懷疑地證明他的方法中的每一步都行得通。懷爾斯以為這又是一個(gè)小問題，補(bǔ)救的辦法可能就在近旁，可是6個(gè)多月過去了，錯(cuò)誤仍未改正，懷爾斯面臨絕境，他準(zhǔn)備承認(rèn)失敗。他向同事彼得·薩克說明自己的情況，薩克向他暗示困難的一部分在于他缺少一個(gè)能夠和他討論問題并且可信賴的人。經(jīng)過長時(shí)間的考慮后，懷爾斯決定邀請(qǐng)劍橋大學(xué)的講師理查德·泰勒到普林斯頓和他一起工作。

泰勒1994年1月份到普林斯頓，可是到了9月，依然沒有結(jié)果，他們準(zhǔn)備放棄了。泰勒鼓勵(lì)他們?cè)賵?jiān)持一個(gè)月。懷爾斯決定在9月底作最后一次檢查。9月19日，一個(gè)星期一的早晨，懷爾斯發(fā)現(xiàn)了問題的答案，他敘述了這一時(shí)刻：“突然間，不可思議地，我有了一個(gè)難以置信的發(fā)現(xiàn)。這是我的事業(yè)中最重要的時(shí)刻，我不會(huì)再有這樣的經(jīng)歷??它的美是如此地難以形容；它又是如此簡單和優(yōu)美。20多分鐘的時(shí)間我呆望它不敢相信。然后白天我到系里轉(zhuǎn)了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在——它還在那里。”

這是少年時(shí)代的夢想和8年潛心努力的終極，懷爾斯終于向世界證明了他的才能。世界不再懷疑這一次的證明了。這兩篇論文總共有130頁，是歷史上核查得最徹底的數(shù)學(xué)稿件，它們發(fā)表在1995年5月的《數(shù)學(xué)年刊》上。懷爾斯再一次出現(xiàn)在《紐約時(shí)報(bào)》的頭版上，標(biāo)題是《數(shù)學(xué)家稱經(jīng)典之謎已解決》。約翰·科茨說：“用數(shù)學(xué)的術(shù)語來說，這個(gè)最終的證明可與分裂原子或發(fā)現(xiàn)DNA的結(jié)構(gòu)相比，對(duì)費(fèi)馬大定理的證明是人類智力活動(dòng)的一曲凱歌，同時(shí)，不能忽視的事實(shí)是它一下子就使數(shù)學(xué)發(fā)生了革命性的變化。對(duì)我說來，安德魯成果的美和魅力在于它是走向代數(shù)數(shù)論的巨大的一步。”

聲望和榮譽(yù)紛至沓來。1995年，懷爾斯獲得瑞典皇家學(xué)會(huì)頒發(fā)的Schock數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，1996年，他獲得沃爾夫獎(jiǎng)，并當(dāng)選為美國科學(xué)院外籍院士。

懷爾斯說：“??再?zèng)]有別的問題能像費(fèi)馬大定理一樣對(duì)我有同樣的意義。我擁有如此少有的特權(quán)，在我的成年時(shí)期實(shí)現(xiàn)我童年的夢想??那段特殊漫長的探索已經(jīng)結(jié)束了，我的心已歸于平靜。”

第三篇：費(fèi)馬大定理的簡單證明

費(fèi)馬大定理的簡單證明

李聯(lián)忠

（營山中學(xué)四川營山 637700）

費(fèi)馬大定理：一個(gè)正整數(shù)的三次以上的冪不能分為兩正整數(shù)的同次冪之和。即不定方程zn?xn?yn當(dāng)n≥3時(shí)無正整數(shù)解。

證明：當(dāng)n=2時(shí)，有z2?x2?y2

∴x2?z2?y2?(z?y)(z?y)（1）

令(z?y)?2m2 則 z?y?2m2代入（1）得

x2?z2?y2?2m2(2y?2m2)?22m2(y?m2)?22m2l2

22∴x?2mly?l2?m2z?l?m

當(dāng)n=3時(shí)，有z3?x3?y3

∴x3?z3?y3?(z?y)(z2?zy?y2)（2）

令(z?y)?32m3 則 z?y?32m3代入（2）得

3x3?z3?y3?32m［(y?32m3)2?(y?32m3)y?y2］

?32m3(3y2?3?32m3y?34m6)?33m3(y2?32m3y?33m6)

若方程z3?x3?y3有正整數(shù)解，則(y2?32m3y?33m6)為某正整數(shù)的三次冪，即

(y2?32m3y?33m6)?l3

∴ y(y?32m3)?l3?33m6?(l?3m2)(l2?3m2l?32m4)

則必有 y?(l?3m)和y?3m?(l?3ml?3m)，而y,m,l都取正整數(shù)時(shí)，這兩等式是不可能同時(shí)成立的。所以(y?3my?3m)?l不成立。即x不可能取得正整數(shù)。所以，當(dāng)n=3時(shí)，方程z?x?y無正整數(shù)解。

當(dāng)n>3時(shí)，同理可證方程z?x?y無正整數(shù)解。

定理得證。

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第四篇：費(fèi)馬大定理的啟示

“費(fèi)馬大定理”的啟示

“設(shè)想你進(jìn)入大廈的第一間房子，里面很黑，一片漆黑，你在家具之間跌跌撞撞，但是你搞清楚了每一件家具所在的位置，最后你經(jīng)過6個(gè)月或者再長些的時(shí)間，你找到了開關(guān)，拉開了燈，突然整個(gè)房間充滿光明，你能確切地明白你身在何處。然后，你又進(jìn)入下一個(gè)房間，又在黑暗中摸索了6個(gè)月。因此每一次這樣的突破，盡管有的時(shí)候只是一瞬間的事，有時(shí)候是一兩天的時(shí)間，但它們實(shí)際上是之前許多個(gè)月在黑暗中跌跌撞撞的最終結(jié)果，沒有前面的這一切它們是不可能出現(xiàn)的”——1996年3月，維爾斯因證明費(fèi)馬大定理獲得沃爾夫獎(jiǎng)

作為一個(gè)數(shù)學(xué)老師，數(shù)學(xué)是大多數(shù)學(xué)生討厭的學(xué)科，而我們教師更多的只是告訴、教會(huì)學(xué)生就這么用，就這么做。怎么才能讓學(xué)生不那么討厭數(shù)學(xué)呢？我想應(yīng)該從尊重?cái)?shù)學(xué)開始。

當(dāng)我第二次翻看《明朝那些事》時(shí)，我不禁又一次感慨：歷史原來可以這樣寫？歷史就應(yīng)該這樣寫。本著這樣的思維，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)敘事中加上事件節(jié)點(diǎn)人物的歷史，可能更有意思一些，最起碼，讓學(xué)生喜歡讀，讀的有趣味。從而使學(xué)生明白偉大的數(shù)學(xué)家是怎么影響整個(gè)世界的。尊重應(yīng)該從這里開始。

這個(gè)念頭一直縈繞腦海，直到我無意中打開選修3-1，才鼓舞起余勇，翻找資料，以費(fèi)馬大定理為主線說說幾千年來數(shù)學(xué)家們前仆后繼的歷史。

222x?y?z

首先，我們來看一個(gè)公式：。

有人說：“這不就是勾股定理嗎？直角三角形的兩條直角邊的平方等于斜邊的平方。誰不知道？”

沒錯(cuò)我們中國人知道勾股定理十分久遠(yuǎn)，公元前1100年，西周開國時(shí)期，周公與商高討論測量時(shí)，商高就提到過“勾廣三，股修四。徑隅五”。這段話被記載于《周脾算經(jīng)》中。而西方記載勾股定理的是哥倫比亞大學(xué)圖書館的泥版“普林頓322”大約公元前1900~公元前1600年的事。

但是中國人說的數(shù)學(xué)嚴(yán)格的說，應(yīng)該叫算學(xué)。我國古代就有豐富的數(shù)學(xué)典籍?注1?，但是你看這些書籍的章節(jié)結(jié)構(gòu)，就不難看出它鮮明的特點(diǎn)——實(shí)用。比如：《九章》中的方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸?shù)龋妥置嬉馑家材芸闯鏊褪菫榱私鉀Q實(shí)際問題。

我們中國就是一個(gè)實(shí)用的民族，就比如勾股定理，你拿去用就可以，不用計(jì)較為什么這樣，這也就是為什么我們的典籍中很少有公理和定律的原因了。所以在世界主流數(shù)學(xué)史中，我國數(shù)學(xué)家是沒有太多地位的，說起這個(gè)就不得不說有一個(gè)讓國人氣憤的事情，1972年，美國數(shù)學(xué)史家莫里斯·克萊因的《古今數(shù)學(xué)思想》?注2?序言里有這么一段話：“為了不讓本書內(nèi)容漫無目的的鋪張，所以有些民族的數(shù)學(xué)我們就自動(dòng)忽略了，如：日本、瑪雅、中國。”他還說：“他們的數(shù)學(xué)對(duì)世界人類的主流思想是沒有什么貢獻(xiàn)的。”很讓人不服氣的說法，但是你回到數(shù)學(xué)歷史的主流，不難發(fā)現(xiàn)我國的算學(xué)，跟世界主流數(shù)學(xué)的目的就不一樣。

言歸正傳，我們回到古希臘。說道古希臘，就不得不提一個(gè)人——畢達(dá)哥拉斯。我們引以為豪的勾股定理，在初中的課本中也是用的畢達(dá)哥拉斯定理來引入的。畢達(dá)哥拉斯定理和勾股定理的區(qū)別就在于他們要證明這個(gè)結(jié)論。從這里你就可以發(fā)現(xiàn)東西方數(shù)學(xué)的區(qū)別，西方數(shù)學(xué)史這種死心眼般的研究精神，完全就是一種剔除了理性的宗教迷狂，是一種不出于實(shí)用的目的完全的智力上的比拼競賽。就是佛教里的“貪嗔癡”！比如那些著名的數(shù)學(xué)問題：“四色問題”，不就是四種顏色就可以區(qū)分出復(fù)雜地圖的行政區(qū)域么，放在我國，知道了就可以，但是在西方就一定要搞清楚為什么？還有“哥德堡七橋問題”，就是不重復(fù)的走過七座橋，對(duì)中國人來說我們講究的是說走就走的旅行，神經(jīng)病才研究這個(gè)，有這功夫，走兩遍不就觀光了嗎？這就是實(shí)用主義和智力競賽之間的區(qū)別。從一開始就分道揚(yáng)鑣了。

畢達(dá)哥拉斯就是前文那個(gè)公式的發(fā)現(xiàn)者。畢達(dá)哥拉斯（約公元前580～約前500）古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。他的信徒們組成了一個(gè)唯心主義學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)政治和宗教團(tuán)體旨在用“數(shù)”去描述世間一切，他們從數(shù)學(xué)中感受到了整個(gè)世間那種美妙，他們認(rèn)為數(shù)就是世界的規(guī)律。這也難怪，沒有手機(jī)食物單調(diào)，娛樂空乏的年代，人們尤其是那些高智商圣賢智力充裕的人們找到了這個(gè)世界上讓他興奮的事情——從事“數(shù)”的研究，他的門徒們發(fā)現(xiàn)原來世間一切，上帝就是通過“數(shù)”來統(tǒng)治世界的。比如：音樂，和音好聽，是因?yàn)橐桓沂橇硪桓业恼麛?shù)倍。凡此種種，這不就是天神的暗示么，我們就應(yīng)該在數(shù)中生活啊，我們的一切包括生命就應(yīng)該奉獻(xiàn)、祭祀給這些數(shù)。公正的說這個(gè)學(xué)派早期它推動(dòng)了數(shù)學(xué)研究發(fā)揚(yáng)了這種精神，但后期也阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展，著名的數(shù)學(xué)史上“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”就是又這個(gè)學(xué)派成員西帕索斯發(fā)現(xiàn)了2，從而顛覆了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯終生的信仰就是，世間一切都是由整數(shù)構(gòu)成，小數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比，而西帕索斯發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：當(dāng)x=y=1時(shí)，z等于什么？現(xiàn)在的初中生都知道是2。，而根據(jù)那個(gè)時(shí)候的數(shù)系，這推翻了畢達(dá)哥拉斯的世界理論依據(jù)。因?yàn)楦?hào)2是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，無法被兩個(gè)整數(shù)表示。我們來證明根號(hào)2永遠(yuǎn)不能化成分?jǐn)?shù)即可。這里又要用到反證法（高中數(shù)學(xué)課本有證明過程我復(fù)制了一下），我們先假設(shè)√2=a/b（a，b都是正整數(shù)不用說了吧）。現(xiàn)在，我們平方一次，a^2/b^2=2，于是，a^2=2*（b^2），這樣一看，a^2就是偶數(shù)了，那么，a必然也是偶數(shù)。那就設(shè)a=2m吧，（2m）^2=2*（b^2），4*（m^2）=2*（b^2），b^2=2*（m^2），再一看，b也成偶數(shù)了，好吧，設(shè)為2n。現(xiàn)在問題來了，根號(hào)2不僅可以化成a/b，還可以化成m/n，而且，后者更簡潔。按照同樣的方法，可以一直化簡下去，而分?jǐn)?shù)必然存在最簡形式，不可能無限化簡，于是得出矛盾。所以，根號(hào)2永遠(yuǎn)不能化成分?jǐn)?shù)。畢達(dá)哥拉斯最后沒有辦法解決，就像堅(jiān)持日心說的布魯諾一樣西帕索斯本人也就被同門扔到河里殺害。此后30年數(shù)系才進(jìn)一步擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)領(lǐng)域。

考慮到希臘文明的數(shù)學(xué)挺牛的，而這個(gè)畢達(dá)哥拉斯還不夠牛，只是名氣比較大而已，所以，我們得讓古希臘人多出場幾位。接下來，我可以推薦兩個(gè)與費(fèi)馬大定理有關(guān)的重量級(jí)人物。

一個(gè)是歐幾里得，歐幾里得最大的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在幾何學(xué)，最牛的著作叫《幾何原本》。不過，他也有很多數(shù)論成就，所以，在費(fèi)馬大定理的故事中，他的名字會(huì)反復(fù)出現(xiàn)，根號(hào)2是無理數(shù)是他第一個(gè)證的，有無窮多個(gè)素?cái)?shù)是他第一個(gè)證的，算術(shù)基本定理也是他第一個(gè)證的。羅胖不是提到“比如說我們學(xué)平面幾何都知道，由那么簡單的幾個(gè)公理，居然可以推出如此繽紛的一個(gè)定理的世界”，第一個(gè)系統(tǒng)性（這個(gè)系統(tǒng)太牛逼了）地干這個(gè)事情的人就是歐幾里得。至于那么簡單的公理到底是幾個(gè)？這個(gè)是有數(shù)字的，23個(gè)定義，5條公理，5條公設(shè)，這是所有推導(dǎo)的基礎(chǔ)。當(dāng)然，《幾何原本》也有一些不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤剑瑓s仍然笑傲江湖兩千年，直到希爾伯特寫出《幾何基礎(chǔ)》，才算徹底完善了歐幾里得幾何。不過，歐幾里得還是給后人挖了一個(gè)坑，就是他的第五公設(shè)比較啰嗦，怎么看都不像一個(gè)公理而像一個(gè)定理。于是，無所牛人前赴后繼去證明這個(gè)東西，卻發(fā)現(xiàn)，所有宣稱證明了第五公設(shè)的人，其證明都陷入了循環(huán)論證的陷阱中，換句話說，證來證去只是它自己不同的變形而已。這個(gè)第五公設(shè)真正的問題在哪里呢？很簡單，歐幾里得幾何叫平面幾何，這個(gè)第五公設(shè)只在平面幾何中成立，而別的公理或公設(shè)卻都是具有普遍適用性的。修改一下第五公設(shè)，別的公理不變，非歐幾何就誕生了。事實(shí)上，非歐幾何遇到的最大障礙不是數(shù)學(xué)家解決這個(gè)問題的水平不夠，而是來自傳統(tǒng)觀念的壓力。高斯早就研究過非歐幾何，但遲遲不敢發(fā)表，因?yàn)閾?dān)心遭受各種攻擊。還有一個(gè)波爾約，研究非歐幾何成就斐然，可惜被高斯一盆涼水澆滅了激情。再一個(gè)就是羅巴切夫斯基，名氣最大的非歐幾何創(chuàng)始人，生前遭受各種打擊，仍不屈不撓傳播羅氏幾何，死后多年才被承認(rèn)，被贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。這三個(gè)人不約而同地研究了非歐幾何中的雙曲幾何情形，卻留下一種橢圓幾何情形，讓黎曼撿了個(gè)漏。不過，黎曼搞定這種情形可不是憑運(yùn)氣，他從思路上就領(lǐng)先其他人了，其他人都是從公理系統(tǒng)出發(fā)研究，黎曼手握微分幾何之武器直接玩起了曲率，不僅補(bǔ)充了橢圓幾何的情形，還一舉統(tǒng)一了歐氏平面幾何、羅氏雙曲幾何和他的橢圓幾何。這種牛逼人的牛逼事兒講起來還是蠻有意思的。

好啦，下一個(gè)古希臘人，丟番圖。歐幾里得寫了本《幾何原本》，成了幾何學(xué)的一代宗師，丟番圖寫了本《算術(shù)》，也是數(shù)論中的經(jīng)典之作，他本人也榮登“代數(shù)學(xué)之父”的寶座。他提出的丟番圖方程讓無數(shù)后人為之奮斗，至今仍有大量問題未能解決。《算術(shù)》是本好書，費(fèi)馬有空就抱著讀，費(fèi)馬大定理就是讀《算術(shù)》的心得。

按照時(shí)間順序，下一個(gè)該費(fèi)馬出場了。費(fèi)馬這輩子活得可是夠值了。官場得意、婚姻美滿、家庭幸福、子女爭氣，更牛逼的是，一個(gè)業(yè)余愛好讓他名垂青史。讀讀別的數(shù)學(xué)家的故事，貧困、疾病、家庭不幸，還是來自同行的打擊，各種問題層出不窮，簡直就是“天才多磨難”，而費(fèi)馬的小日子，滋潤得讓人嫉妒。而且，費(fèi)馬這人不像同行那么玩命死磕，不就一業(yè)余愛好嘛，玩票心態(tài)就好了。結(jié)果，很多靈感嗖嗖地冒出來，擋都擋不住。后來人們一總結(jié)，這家伙比很多職業(yè)數(shù)學(xué)家成就還大：解析幾何的發(fā)明者之一，對(duì)于微積分誕生的貢獻(xiàn)僅次于牛頓和萊布尼茨，概率論的主要?jiǎng)?chuàng)始人之一，以及17世紀(jì)數(shù)論界第一人。不過，費(fèi)馬還是干了一件不厚道的事兒，就是在費(fèi)馬大定理的問題上，他宣稱自己有了一個(gè)美妙的證法，就是不說，害得數(shù)學(xué)家們?yōu)橹揽牧巳俣嗄辍?/p>

接下來，該歐拉上場了。歐拉是有史以來最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，雖然眼睛不好使，但心算能力卻是一流，簡直是一臺(tái)人體計(jì)算機(jī)。成就太多太多，就只好省略了。我們知道幾件事就夠了。歐拉無比牛逼，卻僅僅證明了費(fèi)馬大定理n=3的情形，說明費(fèi)馬大定理真的很難。此外，羅胖提到哥德堡七橋問題，想說明西方人這種琢磨精神和中國人不同，其實(shí)，這個(gè)論據(jù)不充分，論點(diǎn)也不對(duì)，中國人也搞出了很多孤立的趣題和難題，這一點(diǎn)，東西方人是相似的。區(qū)別在哪兒呢？區(qū)別在于西方有歐拉這種數(shù)學(xué)家，他不是搞明白一個(gè)孤立問題就完事兒啦，而是由此出發(fā)，上升到理論高度，圓滿地解決一類問題，更牛逼的是，一群數(shù)學(xué)家馬上跟進(jìn)，搞出更多東西，直到形成系統(tǒng)仍在推進(jìn)，這就是我一直強(qiáng)調(diào)的數(shù)理系統(tǒng)的可怕之處。其實(shí)，這個(gè)哥德堡七橋問題本質(zhì)上就是一筆畫問題，中國人恰好也研究過，但中國人只是把它當(dāng)成一種游戲，從來沒想過要搞出一個(gè)數(shù)學(xué)分支。而到了西方人那里，“七橋問題”的研究是圖論研究的開端，同時(shí)也為拓?fù)鋵W(xué)的起源。順便說下，“四色問題”和“七橋問題”是同類問題，屬于圖論，也可以看成拓?fù)鋵W(xué)問題。別看“七橋問題”被歐拉輕松搞定，這個(gè)“四色問題”看似簡單，卻是一道難度絕不亞于費(fèi)馬大定理的難題。愛因斯坦的老師閔可夫斯基就曾經(jīng)在學(xué)生面前夸下海口要證明之，結(jié)果失敗只好放棄。最后，這個(gè)證明是依靠計(jì)算機(jī)完成的，雖然計(jì)算機(jī)的證明無法核對(duì)，這讓很多數(shù)學(xué)家很不爽，但是，這提供了證明問題的新思路，也標(biāo)志著計(jì)算機(jī)將在數(shù)學(xué)世界中發(fā)揮更大的作用，你能說，這種問題的研究沒有意義嗎？更何況，在證明的過程中，雖然多次失敗，數(shù)學(xué)家們得到的東西可比問題本身多得多，這正是證明難題的意義，它會(huì)催生出很多寶貝，從而進(jìn)一步完善數(shù)理體系。

下一個(gè)，該講高斯了。高斯的貢獻(xiàn)就不說了，這種神級(jí)人物，有多大貢獻(xiàn)都是正常的，我講講他的兩個(gè)毛病吧。第一個(gè)，就是研究問題時(shí)，只發(fā)表成熟而完善的證明，卻不讓別人捕捉到他的證明思路的蛛絲馬跡。這非常不好，他的思路會(huì)給別人很多啟發(fā)，反而是證明步驟，可利用價(jià)值低多了。另一個(gè)就是，高斯本人很牛逼，可是，卻沒干過什么提攜后生的事情，反而不利于別人成長。也不是說他故意打擊人家，就是別人覺得他牛逼，想請(qǐng)他指點(diǎn)一二時(shí)，他要么壓根兒不理睬，要么冷冰冰的。前文提到的阿貝爾，其成果寄給高斯看，讓高斯給扔了，伽羅華臨死前寫的東西也沒忘給高斯寄一份兒，估計(jì)高斯也沒看，波爾約（這次可是他朋友的兒子）研究非歐幾何的成果，想得到他的支持，他說自己早就研究過了，波爾約于是心灰意冷。當(dāng)然，高斯雖然有缺點(diǎn)，但他由于過于牛逼，世人贊揚(yáng)崇拜唯恐不及，缺點(diǎn)也就沒人計(jì)較了。

伽羅華肯定也是要談的，但是，前面講的伽羅華的故事太多了，這里不再贅述。就說一點(diǎn)，有人認(rèn)為伽羅華是一個(gè)好色之徒，這是不公平的。一來，他是法國人，他只是做了一個(gè)正常法國男人會(huì)做的事情；二來，他也沒有到處沾花惹草；三來，這件事本身就可能是一個(gè)圈套，作為一個(gè)激進(jìn)的共和派青年，政府早就想把他弄死。說到底，伽羅華是一個(gè)數(shù)學(xué)天才，但運(yùn)氣不好，他之所以政治上這么激進(jìn)，也是數(shù)學(xué)方面處處碰壁郁悶無處發(fā)泄造成的。當(dāng)然了，伽羅華的悲劇也有自身缺點(diǎn)，就是寫東西太簡潔，年輕人容易浮躁，天才更是年少輕狂，思想本來就已經(jīng)非常超前了，又不表述清楚，那些前輩們?cè)趺磿?huì)認(rèn)真看呢？

前面提到的這些人都是大神，年輕時(shí)就很牛逼，然后牛逼了一輩子（雖然有的人一輩子也很短）。事實(shí)上，數(shù)學(xué)這個(gè)東西，最牛逼的思想往往是年輕人創(chuàng)立的，年長者只能為數(shù)學(xué)大廈添個(gè)磚加個(gè)瓦，卻很少再有開山之舉。一個(gè)數(shù)學(xué)家，如果到三十歲還沒搞出什么成就，這輩子基本上就這樣了。所以，數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)只發(fā)給40歲以下的人，放寬到40歲，已經(jīng)把各種意外都考慮進(jìn)去了，可是，懷爾斯卻是意外中的意外。他年輕時(shí)實(shí)在不夠牛逼，三十多歲還在埋頭苦干，到了四十歲卻一舉成名。我想，與其把懷爾斯的故事看成一個(gè)牛逼數(shù)學(xué)家的創(chuàng)奇，不如看成一個(gè)老屌絲逆襲的勵(lì)志故事。都說數(shù)學(xué)家成名要趁早，比如他的同行陶哲軒同學(xué)，人家7歲進(jìn)高中，9歲進(jìn)大學(xué)，10歲、11歲、12歲參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽分別拿下銅獎(jiǎng)、銀獎(jiǎng)、金獎(jiǎng)，20歲獲得博士學(xué)位，24歲當(dāng)教授，31歲時(shí)拿下菲爾茲獎(jiǎng)。而31歲的懷爾斯在干嘛，默默無聞。混到33歲時(shí)，懷爾斯終于決定要干點(diǎn)什么了，命運(yùn)也正好給了他一個(gè)機(jī)會(huì)。1985年，德國數(shù)學(xué)家格哈德·弗賴指出了谷山-志村猜想和費(fèi)馬大定理之間的關(guān)系，1986年，美國數(shù)學(xué)家里貝特證明了這一命題。懷爾斯意識(shí)到自己的機(jī)會(huì)來啦，費(fèi)馬大定理繞了一大圈，竟然和自己現(xiàn)在最擅長的領(lǐng)域橢圓曲線有關(guān)，必須賭一把了。于是，懷爾斯開始了長達(dá)七年的閉關(guān)修煉，當(dāng)然了，修煉的時(shí)候還得偶爾放放風(fēng)，因?yàn)橹安粔蚺＃淌诘奈恢貌焕喂蹋话l(fā)表論文會(huì)下崗的。修煉的過程前面講過，就不說了，總之，博采眾家之長，功力大大加深，七年之后出山，一舉震動(dòng)江湖。但是，數(shù)學(xué)家對(duì)待證明的態(tài)度是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑪?shù)學(xué)證明一旦通過就永遠(yuǎn)正確，他們必須對(duì)后人負(fù)責(zé)，所以，懷爾斯的論文需要經(jīng)過嚴(yán)格審查。六個(gè)頂級(jí)數(shù)學(xué)家開始對(duì)懷爾斯天書般的論文進(jìn)行漫長的死磕，終于有一天，一個(gè)叫尼克·凱茲的發(fā)現(xiàn)了漏洞。說來也巧，當(dāng)初懷爾斯論文發(fā)表前，想找個(gè)人內(nèi)測一下，找的就是尼克·凱茲，那個(gè)時(shí)候，這哥們兒沒發(fā)現(xiàn)問題，這都公開了，卻揪出問題了，這讓懷爾斯情何以堪：你丫是不是在逗我？事實(shí)上，這是個(gè)大問題，足以破壞懷爾斯的證明。至此，懷爾斯逆襲受挫，如果漏洞不能修復(fù)，不會(huì)有人為費(fèi)馬大定理的證明道路上多一個(gè)失敗者而惋惜。好在這時(shí)懷爾斯已經(jīng)混成了終身教授，不用擔(dān)心下崗的風(fēng)險(xiǎn)了，宅在家里好好研究就行了。這次，他還找了一個(gè)助手，叫泰勒，這人是他之前的學(xué)生，一個(gè)牛逼而又值得信任的人，又經(jīng)過將近一年的奮斗，終于填補(bǔ)了漏洞且簡化了證明。懷爾斯一躍成為武林泰斗，這一次，地位無人撼動(dòng)。接下來，我們要給懷爾斯幾句頒獎(jiǎng)詞：他不一定是最聰明的，也不一定有著耀眼頭銜，但一定以科學(xué)為生命，一定堅(jiān)韌、謙和并一步一個(gè)腳印向前走。在這里，我還要提一下兩個(gè)人：谷山豐和志村五郎。志村五郎是一個(gè)勤奮的人，很多地方和懷爾斯氣質(zhì)很像，而谷山豐，是一個(gè)真正的天才。谷山-志村猜想是費(fèi)馬大定理證明過程中最重要的一環(huán)，可是，在懷爾斯享受各種榮譽(yù)的時(shí)候，卻很少有人愿意提及他們（雖然谷山豐在30多年前就自殺了，但志村五郎還在）。數(shù)學(xué)的世界，有時(shí)候，也是只認(rèn)成功者。講這件事，也是提醒大家：在費(fèi)馬大定理的故事中，懷爾斯不是唯一的主角，無數(shù)人為之奮斗過，他們甘為基石，他們也是英雄。

費(fèi)馬大定理的故事，至此終于可以結(jié)束了。

回顧人類解開宇宙奧秘的各個(gè)節(jié)點(diǎn)，探得進(jìn)化論，主要靠達(dá)爾文；揭示力學(xué)原理，主要靠牛頓；艱深的相對(duì)論，可能有許多天才不懂，但創(chuàng)建它，也全憑一個(gè)愛因斯坦。發(fā)現(xiàn)元素周期律，創(chuàng)建精神分析理論，還有宇宙大爆炸、DNA分子結(jié)構(gòu)模型……都只有一個(gè)兩個(gè)人。唯獨(dú)這個(gè)中學(xué)生都能看懂的費(fèi)馬大定理，各路英雄好漢，有的退避三舍，有的自愧無力，有的傾盡其力也只抓上一鱗半爪，連萬能的計(jì)算機(jī)也無可奈何。但是，我們不僅僅要看到它的困難，更要看到困難背后的意義，費(fèi)馬大定理是一只“會(huì)下金蛋的鵝”（希爾伯特語）：因?yàn)樗瑪U(kuò)展了“無窮遞降法”和虛數(shù)的應(yīng)用；催生出庫默爾的“理想數(shù)論”；促成了莫德爾猜想、谷山--志村猜想得證；拓展了群論的應(yīng)用；加深了橢圓方程的研究；找到了微分幾何在數(shù)論上的生長點(diǎn)；發(fā)現(xiàn)了伊利瓦金—弗萊切方法與伊娃沙娃理論的結(jié)合點(diǎn)；推動(dòng)了數(shù)學(xué)的整體發(fā)展和研究……費(fèi)馬大定理催生出一批又一批重量級(jí)數(shù)學(xué)家，這是貨真價(jià)實(shí)的事實(shí)，也是真正的厲害之處。“一個(gè)民族有一些關(guān)注天空的人，他們才有希望；一個(gè)民族只是關(guān)心腳下的事情，那是沒有未來的。”

?注1?我國古代就有豐富的數(shù)學(xué)典籍，如：前文中的《周脾算經(jīng)》、東漢末年比美《幾何原本》的《九章算術(shù)》、公元400年的數(shù)學(xué)入門讀物《孫子算經(jīng)》，而盛唐時(shí)的李淳風(fēng)，就是那個(gè)有名的“推背圖”的道學(xué)家，他在算學(xué)館整理編注了著名的《算學(xué)十書》雖然水平很次，沒能培養(yǎng)出什么像樣的數(shù)學(xué)家，但不可否認(rèn)對(duì)盛唐的商業(yè)和天文歷法有積極推動(dòng)作用，此后各種不提，直到共濟(jì)會(huì)的利瑪竇和我國的徐光啟共同翻譯了《幾何原本》等海外著作。但奇怪的是中國的數(shù)學(xué)新著往往都出現(xiàn)在亂世和盛世。數(shù)學(xué)家也星光璀璨，如：祖沖之，秦九韶，劉徽、楊輝，等。

?注2?《古今數(shù)學(xué)思想》不僅在科學(xué)界，在整個(gè)學(xué)術(shù)文化界都廣泛、持久的影響。

第五篇：費(fèi)馬大定理的初等巧妙證明

費(fèi)馬大定理的初等巧妙證明

李聯(lián)忠

（營山中學(xué)四川營山 637700）

費(fèi)馬大定理：一個(gè)正整數(shù)的三次以上的冪不能分為兩正整數(shù)的同次冪之和。即不定方程zn?xn?yn當(dāng)n≥3時(shí)無正整數(shù)解。

證明：當(dāng)n=2時(shí)，有z2?x2?y2

∴x2?z2?y2?(z?y)(z?y)（1）

設(shè)(z?y)?2m2 則 z?y?2m2代入（1）得

x2?z2?y2?2m2(2y?2m2)?22m2(y?m2)?22m2l2

22∴x?2mly?l2?m2z?l?m

當(dāng)n=3時(shí)，有z3?x3?y3

∴x3?z3?y3?(z?y)(z2?zy?y2)（2）

設(shè)(z?y)?32m3 則 z?y?32m3代入（1）得

3x3?z3?y3?32m［(y?32m3)2?(y?32m3)y?y2］

?32m3(3y2?3?32m3y?34m6)?33m3(y2?32m3y?33m6)

設(shè)(y2?32m3y?33m6)?l3（3）

則x?3ml（4）

z?y?32m3（5）

若z,y的公約數(shù)為k,即(z,y)=k，k>1時(shí)，方程x3?z3?y3兩邊可以除以k，下面分析k=1 即（z,y）=1 , 方程x?z?y的正整數(shù)解

因?yàn)椋▃,y）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,l為正整數(shù)時(shí)，x,y,z有正整數(shù)解，由（3）得 3333

y(y?32m3)?l3?33m6?(l?3m2)(l2?3m2l?32m4)

∵ y,m,l都取正整數(shù)

∴y?(l?3m)和y?3m?(l?3ml?3m)不能同時(shí)成立 2232224

∴ y沒有形如y?(l?3m2)或y?(l2?3m2l?32m4)?32m3的正整數(shù)解 若(l?3m2)=ab ,(l2?3m2l?32m4)=cd可得相應(yīng)方程組

222????y?a?l?3m?y?c?l?3m?y?ac?l?3m或?或?這些方程組里的m,l沒有正整?232323????y?3m?bcd?y?3m?abd?y?3m?bd

數(shù)解，因?yàn)槿粲姓麛?shù)解，則與y沒有形如y?(l?3m2)和y?(l2?3m2l?32m4)?32m3的正整數(shù)解矛盾。

又 ∵ y?(l?3m2)在m,l取正整數(shù)的條件下，y可取到任意正整數(shù) ∴y沒有正整數(shù)解。

∴當(dāng)n=3時(shí)，方程z3?x3?y3無正整數(shù)解。

當(dāng)n>3時(shí)，同理可證方程zn?xn?yn無正整數(shù)解。

定理得證。